इकाई भिन्न: Difference between revisions

Latest revision as of 20:14, 9 February 2023

इकाई भिन्न एक परिमेय संख्या होती है जिसे अंश (गणित) के रूप में लिखा जाता है जहाँ अंश 1 (संख्या) है और हर एक धनात्मक पूर्णांक है। इसलिए एक इकाई भिन्न एक धनात्मक पूर्णांक, 1/n का गुणनात्मक प्रतिलोम है। उदाहरण 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, आदि हैं।

अंकगणित

प्राथमिक अंकगणित

किन्हीं भी दो इकाई भिन्नों काे गुणा करने पर एक गुणनफल प्राप्त होता है जो एक और इकाई अंश है।^[1]

{\frac {1}{x}}\times {\frac {1}{y}}={\frac {1}{xy}}.

जबकि, जोड़,^[2] घटाव,^[2]या दो इकाई अंशों को विभाजित करने से एक परिणाम उत्पन्न करते हैं जो आम तौर पर एक इकाई अंश नहीं होता है ।

{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}={\frac {x+y}{xy}}

{\frac {1}{x}}-{\frac {1}{y}}={\frac {y-x}{xy}}

{\frac {1}{x}}\div {\frac {1}{y}}={\frac {y}{x}}.

प्रमापीय अंकगणित

प्रमापीय अंकगणित में, इकाई अंशों को अधिकतर सबसे बड़े सामान्य भाजक के आधार पर गणना का उपयोग करके समतुल्य पूर्णांक में परिवर्तित किया जा सकता है। बदले में, इस रूपांतरण का उपयोग प्रमापीय अंकगणित में भाग संचालन को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है, उन्हें समतुल्य गुणन कार्यों में परिवर्तित करके विशेष रूप से, मान से विभाजित करने की समस्या पर विचार करें $x$ मापांक $y$ इस विभाजन को अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए, $x$ और $y$ अपेक्षाकृत प्रमुख होना चाहिए। जब वे होते हैं, तो सबसे बड़े सामान्य विभाजक के लिए विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का उपयोग पूर्णांकों को खोजने के लिए किया जा सकता है $a$ और $b$ ऐसा है कि बेजाउट की पहचान संतुष्ट है:

\displaystyle ax+by=\gcd(x,y)=1.

y

अंकगणित, शब्द

by

को हटाया जा सकता है क्योंकि यह शून्य के सापेक्ष है

y

यह छोड़ देता है

\displaystyle ax\equiv 1{\pmod {y}}.

a

का प्रमापीय प्रतिलोम है

x

वह संख्या जिससे गुणा करने पर

x

एक आता है समान रूप से,^[3]^[4]

a\equiv {\frac {1}{x}}{\pmod {y}}.

इस प्रकार विभाजन द्वारा

x

(मापांक

y

) के पूर्णांक से गुणा करके किया जा सकता है

a

^[5]

युग्म

परिमित राशि

किसी भी धनात्मक परिमेय संख्या को कई तरीकों से इकाई भिन्नों के योग के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए,

{\frac {4}{5}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}.

प्राचीन मिस्र की सभ्यताओं ने अधिक सामान्य परिमेय संख्याओं के लिए अपने चिन्हों में इकाई भिन्नों के योग का उपयोग किया था, और इसलिए ऐसे योगों को प्राय: मिश्रत भिन्न कहा जाता है। एक भिन्नात्मक संख्या के लिए संभावित अभ्यावेदन के बीच चयन करने के लिए और इस तरह के निरूपण के साथ गणना करने के लिए पूर्वजों द्वारा उपयोग की जाने वाली विधियों को अलग करने में आज भी रुचि है।^[6] मिस्र के अंशों के विषय में भी आधुनिक संख्या सिद्धांत में रुचि देखी गई है; उदाहरण के लिए, एर्दोस-ग्राहम अनुमान और एर्दोस-स्ट्रॉस अनुमान इकाई अंशों के योग से संबंधित हैं, जैसा कि अयस्क की लयबद्ध संख्याओं की परिभाषा में है।

ज्यामितीय समूह सिद्धांत में, त्रिभुज समूह को यूक्लिडियन, गोलाकार, और अतिशयोक्तिपूर्ण स्थितियों में विभाजित किया जाता है कि क्या इकाई अंशों का एक संबद्ध योग एक के बराबर है, एक से अधिक है, या एक से कम है।

अनंत श्रृंखला

कई प्रसिद्ध श्रृंखला (गणित) में ऐसी शर्तें हैं जो इकाई अंश में सम्मिलित हैं

हार्मोनिक श्रृंखला (गणित), सभी सकारात्मक इकाई अंशों का योग। यह राशि विचलन करती है, और इसकी आंशिक रकम ${\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}$ के प्राकृतिक लघुगणक का बारीकी से अनुमान लगाएं $n$ साथ ही यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक।जिसके एक घटाव में हर दूसरे जोड़ को बदलने से वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला उत्पन्न होती है, जो 2 के प्राकृतिक लघुगणक के बराबर होती है: $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots =\ln 2.$
π के लिए लीबनिज सूत्र है $1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}.$
बेसल समस्या वर्ग इकाई अंशों के योग से संबंधित है: $1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.$ इसी तरह, एपेरी का स्थिरांक एक अपरिमेय संख्या है, जो घन इकाई अंशों का योग है।
बाइनरी ज्यामितीय श्रृंखला है $1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots =2.$

मैट्रिक्स

हिल्बर्ट मैट्रिक्स के साथ आव्यूह है।

B_{i,j}={\frac {1}{i+j-1}}.

इसकी असामान्य संपत्ति है कि इसके आव्यूह व्युत्क्रम में सभी तत्व पूर्णांक हैं।^[7] इसी प्रकार, Richardson (2001) तत्वों के साथ एक आव्यूह परिभाषित किया।

C_{i,j}={\frac {1}{F_{i+j-1}}},

जहां एफ i फाइबोनैचि संख्या को दर्शाता है। वह इस आव्यूह को फिल्बर्ट आव्यूह कहते हैं और इसमें पूर्णांक के प्रतिलोम होने का समान गुण होता है।^[8]

निकटता और फोर्ड सर्कल

स्पर्शरेखा Ford हलकों के अंश एक इकाई अंश से भिन्न होते हैं

स्पर्शरेखा एक इकाई अंश से भिन्न होते हैं, लेकिन आसन्न नहीं होते हैं, क्योंकि उनके लिए $ad-bc=3$ . शब्दावली फोर्ड सर्किलों के अध्ययन से आती है,जिन्हें सन्निकटन कहा जाता है जिसका अर्थ है अन्तर । जो किसी दिए गए अंश पर संख्या रेखा के स्पर्शरेखा हैं और उनके व्यास के रूप में अंश का वर्गित भाजक है: अंश $a/b$ और $c/d$ आसन्न हैं और उनके फोर्ड मंडल स्पर्शरेखा मंडल हैं।^[9]

अनुप्रयोग

संभाव्यता और आंकड़ों में

समान वितरण (विच्छेद) में, सभी प्रायिकताएँ समान इकाई में भिन्न होती हैं। उदासीनता के सिद्धांत के कारण, सांख्यिकीय गणनाओं में इस रूप की संभावनाएं प्राय: उत्पन्न होती हैं।^[10] इसके अतिरिक्त, जिपफ के नियम में कहा गया है कि, एक आदेशित अनुक्रम में वस्तुओं के चयन से जुड़ी कई देखी गई घटनाओं की, संभावना है कि nवें स्थान का चयन इकाई अंश 1/n के समानुपाती होता है।^[11]

भौतिकी में

हाइड्रोजन परमाणु द्वारा अवशोषित या उत्सर्जित किया जा सकने वालेफोटोन के ऊर्जा स्तर, रिडबर्ग सूत्र के अनुसार, दो इकाई अंशों के अंतर के समानुपाती होते हैं। बोहर मॉडल द्वारा इस घटना के लिए एक स्पष्टीकरण प्रदान गया है, जिसके अनुसार हाइड्रोजन परमाणु में परमाणु कक्षीय ऊर्जा वर्ग इकाई अंशों के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं, और एक फोटॉन की ऊर्जा दो स्तरों के बीच अंतर के लिए परिमाणीकरण (भौतिकी) होती है। ^[12]आर्थर एडिंगटन ने कहा कि ठीक-संरचना स्थिर एक इकाई अंश था, पहले 1/136 फिर 1/137। यह तर्क गलत सिद्ध हुआ है, यह देखते हुए कि ठीक संरचना स्थिरांक का वर्तमान अनुमान 1/137.036 है।^[13]

यह भी देखें

सबमल्टीपल

संदर्भ

↑ Solomon, Pearl Gold (2007), The Math We Need to Know and Do in Grades 6 9: Concepts, Skills, Standards, and Assessments, Corwin Press, p. 157, ISBN 9781412917261
↑ ^2.0 ^2.1 Betz, William (1957), Algebra for Today, First Year, Ginn, p. 370
↑ Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001) [1990], "31.4 Solving modular linear equations", Introduction to Algorithms (2nd ed.), MIT Press and McGraw-Hill, pp. 869–872, ISBN 0-262-03293-7
↑ Goodrich, Michael T.; Tamassia, Roberto (2015), "Section 24.2.2: Modular multiplicative inverses", Algorithm Design and Applications, Wiley, pp. 697–698, ISBN 978-1-118-33591-8
↑ Brent, Richard P.; Zimmermann, Paul (2010), "2.5 Modular division and inversion", Modern Computer Arithmetic (PDF), Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, vol. 18, Cambridge University Press, pp. 65–68, arXiv:1004.4710, doi:10.1017/cbo9780511921698.001, ISBN 9781139492287
↑ Guy, Richard K. (2004), "D11. Egyptian Fractions", Unsolved problems in number theory (3rd ed.), Springer-Verlag, pp. 252–262, ISBN 978-0-387-20860-2.
↑ Choi, Man Duen (1983), "Tricks or treats with the Hilbert matrix", The American Mathematical Monthly, 90 (5): 301–312, doi:10.2307/2975779, JSTOR 2975779, MR 0701570.
↑ Richardson, Thomas M. (2001), "The Filbert matrix" (PDF), Fibonacci Quarterly, 39 (3): 268–275, arXiv:math.RA/9905079, Bibcode:1999math......5079R
↑ Ford, L. R. (1938), "Fractions", The American Mathematical Monthly, 45 (9): 586–601, doi:10.1080/00029890.1938.11990863, JSTOR 2302799, MR 1524411
↑ Welsh, Alan H. (1996), Aspects of statistical inference, Wiley Series in Probability and Statistics, vol. 246, John Wiley and Sons, p. 66, ISBN 978-0-471-11591-5.
↑ Saichev, Alexander; Malevergne, Yannick; Sornette, Didier (2009), Theory of Zipf's Law and Beyond, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, vol. 632, Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-02945-5.
↑ Yang, Fujia; Hamilton, Joseph H. (2009), Modern Atomic and Nuclear Physics, World Scientific, pp. 81–86, ISBN 978-981-283-678-6.
↑ Kilmister, Clive William (1994), Eddington's search for a fundamental theory: a key to the universe, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-37165-0.

बाहरी कड़ियाँ

Weisstein, Eric W., "Unit Fraction", MathWorld

[1] Solomon, Pearl Gold (2007), The Math We Need to Know and Do in Grades 6 9: Concepts, Skills, Standards, and Assessments, Corwin Press, p. 157, ISBN 9781412917261

[betz-2] 2.0 ^2.1 Betz, William (1957), Algebra for Today, First Year, Ginn, p. 370

[3] Cormen, Thomas H.; Leiserson, Charles E.; Rivest, Ronald L.; Stein, Clifford (2001) [1990], "31.4 Solving modular linear equations", Introduction to Algorithms (2nd ed.), MIT Press and McGraw-Hill, pp. 869–872, ISBN 0-262-03293-7

[4] Goodrich, Michael T.; Tamassia, Roberto (2015), "Section 24.2.2: Modular multiplicative inverses", Algorithm Design and Applications, Wiley, pp. 697–698, ISBN 978-1-118-33591-8

[5] Brent, Richard P.; Zimmermann, Paul (2010), "2.5 Modular division and inversion", Modern Computer Arithmetic (PDF), Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, vol. 18, Cambridge University Press, pp. 65–68, arXiv:1004.4710, doi:10.1017/cbo9780511921698.001, ISBN 9781139492287

[6] Guy, Richard K. (2004), "D11. Egyptian Fractions", Unsolved problems in number theory (3rd ed.), Springer-Verlag, pp. 252–262, ISBN 978-0-387-20860-2.

[7] Choi, Man Duen (1983), "Tricks or treats with the Hilbert matrix", The American Mathematical Monthly, 90 (5): 301–312, doi:10.2307/2975779, JSTOR 2975779, MR 0701570.

[8] Richardson, Thomas M. (2001), "The Filbert matrix" (PDF), Fibonacci Quarterly, 39 (3): 268–275, arXiv:math.RA/9905079, Bibcode:1999math......5079R

[9] Ford, L. R. (1938), "Fractions", The American Mathematical Monthly, 45 (9): 586–601, doi:10.1080/00029890.1938.11990863, JSTOR 2302799, MR 1524411

[10] Welsh, Alan H. (1996), Aspects of statistical inference, Wiley Series in Probability and Statistics, vol. 246, John Wiley and Sons, p. 66, ISBN 978-0-471-11591-5.

[11] Saichev, Alexander; Malevergne, Yannick; Sornette, Didier (2009), Theory of Zipf's Law and Beyond, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, vol. 632, Springer-Verlag, ISBN 978-3-642-02945-5.

[12] Yang, Fujia; Hamilton, Joseph H. (2009), Modern Atomic and Nuclear Physics, World Scientific, pp. 81–86, ISBN 978-981-283-678-6.

[13] Kilmister, Clive William (1994), Eddington's search for a fundamental theory: a key to the universe, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-37165-0.

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 {{Short description|One over a whole number}}
-इकाई भिन्न एक परिमेय संख्या होती है जिसे अंश (गणित) के रूप में लिखा जाता है जहाँ अंश [[1 (संख्या)]] है और हर एक धनात्मक [[पूर्णांक]] है। इसलिए एक इकाई भिन्न एक धनात्मक पूर्णांक, 1/''n'' का गुणनात्मक व्युत्क्रम है। उदाहरण 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, आदि हैं।
+इकाई भिन्न एक परिमेय संख्या होती है जिसे अंश (गणित) के रूप में लिखा जाता है जहाँ अंश [[1 (संख्या)]] है और हर एक धनात्मक [[पूर्णांक]] है। इसलिए एक इकाई भिन्न एक धनात्मक पूर्णांक, 1/''n'' का गुणनात्मक प्रतिलोम है। उदाहरण 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, आदि हैं।
 == अंकगणित ==
 === प्राथमिक अंकगणित ===
-किन्हीं भी दो इकाई भिन्नों  काे गुणा करने पर एक गुणनफल प्राप्त  होता है जो एक और इकाई अंश है:<ref>{{citation|title=The Math We Need to Know and Do in Grades 6 9: Concepts, Skills, Standards, and Assessments|first=Pearl Gold|last=Solomon|publisher=Corwin Press|year=2007|isbn=9781412917261|page=157|url=https://books.google.com/books?id=QMWZptwg_d0C&pg=PA157}}</ref>
+किन्हीं भी दो इकाई भिन्नों  काे गुणा करने पर एक गुणनफल प्राप्त  होता है जो एक और इकाई अंश है।<ref>{{citation|title=The Math We Need to Know and Do in Grades 6 9: Concepts, Skills, Standards, and Assessments|first=Pearl Gold|last=Solomon|publisher=Corwin Press|year=2007|isbn=9781412917261|page=157|url=https://books.google.com/books?id=QMWZptwg_d0C&pg=PA157}}</ref>
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-जबकि, जोड़,<ref name=betz>{{citation|title=Algebra for Today, First Year|first=William|last=Betz|publisher=Ginn|year=1957|page=370}}</ref> [[घटाव]],<ref name=betz/>या दो इकाई अंशों को विभाजित करने से एक परिणाम उत्पन्न करते हैं जो आम तौर पर एक इकाई अंश नहीं होता है:
+जबकि, जोड़,<ref name=betz>{{citation|title=Algebra for Today, First Year|first=William|last=Betz|publisher=Ginn|year=1957|page=370}}</ref> [[घटाव]],<ref name=betz/>या दो इकाई अंशों को विभाजित करने से एक परिणाम उत्पन्न करते हैं जो आम तौर पर एक इकाई अंश नहीं होता है ।
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 === प्रमापीय अंकगणित ===
-प्रमापीय अंकगणित में, इकाई अंशों को अधिकतर सबसे बड़े सामान्य भाजक के आधार पर गणना का उपयोग करके समतुल्य पूर्णांक में परिवर्तित किया जा सकता है। बदले में, इस रूपांतरण का उपयोग प्रमापीय अंकगणित में भाग संचालन को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है, उन्हें समतुल्य गुणन कार्यों में परिवर्तित करके विशेष रूप से, मान से विभाजित करने की समस्या पर विचार करें <math>x</math>मापांक <math>y</math>. इस विभाजन को अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए, <math>x</math> और <math>y</math> अपेक्षाकृत प्रमुख होना चाहिए। जब वे होते हैं, तो सबसे बड़े सामान्य विभाजक के लिए [[विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म]] का उपयोग पूर्णांकों को खोजने के लिए किया जा सकता है <math>a</math> और <math>b</math> ऐसा है कि बेजाउट की पहचान संतुष्ट है:
+प्रमापीय अंकगणित में, इकाई अंशों को अधिकतर सबसे बड़े सामान्य भाजक के आधार पर गणना का उपयोग करके समतुल्य पूर्णांक में परिवर्तित किया जा सकता है। बदले में, इस रूपांतरण का उपयोग प्रमापीय अंकगणित में भाग संचालन को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है, उन्हें समतुल्य गुणन कार्यों में परिवर्तित करके विशेष रूप से, मान से विभाजित करने की समस्या पर विचार करें <math>x</math> मापांक <math>y</math> इस विभाजन को अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए, <math>x</math> और <math>y</math> अपेक्षाकृत प्रमुख होना चाहिए। जब वे होते हैं, तो सबसे बड़े सामान्य विभाजक के लिए [[विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म]] का उपयोग पूर्णांकों को खोजने के लिए किया जा सकता है <math>a</math> और <math>b</math> ऐसा है कि बेजाउट की पहचान संतुष्ट है:
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-<math>y</math> अंकगणित, शब्द <math>by</math>को हटाया  जा सकता है क्योंकि यह शून्य के सापेक्ष है <math>y</math>. यह छोड़ देता है
+<math>y</math> अंकगणित, शब्द <math>by</math> को हटाया  जा सकता है क्योंकि यह शून्य के सापेक्ष है <math>y</math> यह छोड़ देता है
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-<math>a</math> का प्रमापीय प्रतिलोम है <math>x</math>, वह संख्या जिससे गुणा करने पर <math>x</math> एक आता  है। समान रूप से,<ref>{{Introduction to Algorithms|edition=2|chapter=31.4 Solving modular linear equations|pages=869–872|mode=cs2}}</ref><ref>{{citation |last1=Goodrich |first1=Michael T. |author1-link=Michael T. Goodrich |last2=Tamassia |first2=Roberto |author2-link=Roberto Tamassia |year=2015 |title=Algorithm Design and Applications |contribution=Section 24.2.2: Modular multiplicative inverses |publisher=Wiley |isbn=978-1-118-33591-8 |pages=697–698}}</ref>
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 <math display=block>a \equiv \frac1x \pmod y.</math>
-इस प्रकार विभाजन द्वारा <math>x</math> (मापांक <math>y</math>)  के पूर्णांक से गुणा करके किया जा सकता है <math>a</math>.<ref>{{citation|title=Modern Computer Arithmetic|volume=18|series=Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics|first1=Richard P.|last1=Brent|author1-link=Richard P. Brent|first2=Paul|last2=Zimmermann|author2-link=Paul Zimmermann (mathematician)|publisher=Cambridge University Press|year=2010|isbn=9781139492287|url=https://maths-people.anu.edu.au/~brent/pd/mca-cup-0.5.9.pdf|arxiv=1004.4710|contribution=2.5 Modular division and inversion|pages=65–68|doi=10.1017/cbo9780511921698.001 }}</ref>
+इस प्रकार विभाजन द्वारा <math>x</math> (मापांक <math>y</math>)  के पूर्णांक से गुणा करके किया जा सकता है <math>a</math><ref>{{citation|title=Modern Computer Arithmetic|volume=18|series=Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics|first1=Richard P.|last1=Brent|author1-link=Richard P. Brent|first2=Paul|last2=Zimmermann|author2-link=Paul Zimmermann (mathematician)|publisher=Cambridge University Press|year=2010|isbn=9781139492287|url=https://maths-people.anu.edu.au/~brent/pd/mca-cup-0.5.9.pdf|arxiv=1004.4710|contribution=2.5 Modular division and inversion|pages=65–68|doi=10.1017/cbo9780511921698.001 }}</ref>
-== संयोजन ==
+== युग्म ==
 === परिमित राशि ===
-{{Main|List of sums of reciprocals#Finitely many terms}}
+{{Main|व्युत्क्रमों के योगों की सूची#बिल्कुल अनेक पद}}
 किसी भी धनात्मक परिमेय संख्या को कई तरीकों से इकाई भिन्नों के योग के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए,
 :<math>\frac45=\frac12+\frac14+\frac1{20}=\frac13+\frac15+\frac16+\frac1{10}.</math>
-प्राचीन मिस्र की सभ्यताओं ने अधिक सामान्य परिमेय संख्याओं के लिए अपने अंकन में विशिष्ट इकाई भिन्नों के योग का उपयोग किया था, और इसलिए ऐसे योगों को अक्सर मिस्री भिन्न कहा जाता है। एक भिन्नात्मक संख्या के लिए संभावित अभ्यावेदन के बीच चयन करने के लिए और इस तरह के निरूपण के साथ गणना करने के लिए पूर्वजों द्वारा उपयोग की जाने वाली विधियों का विश्लेषण करने में आज भी रुचि है।<ref>{{citation
+प्राचीन मिस्र की सभ्यताओं ने अधिक सामान्य परिमेय संख्याओं के लिए अपने चिन्हों में  इकाई भिन्नों के योग का उपयोग किया था, और इसलिए ऐसे योगों को प्राय: मिश्रत भिन्न कहा जाता है। एक भिन्नात्मक संख्या के लिए संभावित अभ्यावेदन के बीच चयन करने के लिए और इस तरह के निरूपण के साथ गणना करने के लिए पूर्वजों द्वारा उपयोग की जाने वाली विधियों को अलग करने में आज भी रुचि है।<ref>{{citation
   | last = Guy | first = Richard K. | author-link = Richard K. Guy
   | contribution = D11. Egyptian Fractions
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   | publisher = Springer-Verlag
   | title = Unsolved problems in number theory
-  | year = 2004}}.</ref> मिस्र के अंशों के विषय में भी आधुनिक [[संख्या सिद्धांत]] में रुचि देखी गई है; उदाहरण के लिए, एर्दोस-ग्राहम अनुमान और एर्दोस-स्ट्रॉस अनुमान इकाई अंशों के योग से संबंधित हैं, जैसा कि अयस्क की हार्मोनिक संख्याओं की परिभाषा में है।
+  | year = 2004}}.</ref> मिस्र के अंशों के विषय में भी आधुनिक [[संख्या सिद्धांत]] में रुचि देखी गई है; उदाहरण के लिए, एर्दोस-ग्राहम अनुमान और एर्दोस-स्ट्रॉस अनुमान इकाई अंशों के योग से संबंधित हैं, जैसा कि अयस्क की लयबद्ध संख्याओं की परिभाषा में है।
-[[ज्यामितीय समूह सिद्धांत]] में, [[त्रिभुज समूह]]ों को यूक्लिडियन, गोलाकार, और अतिशयोक्तिपूर्ण मामलों में वर्गीकृत किया जाता है कि क्या इकाई अंशों का एक संबद्ध योग एक के बराबर है, एक से अधिक है, या एक से कम है।
+[[ज्यामितीय समूह सिद्धांत]] में, [[त्रिभुज समूह]] को यूक्लिडियन, गोलाकार, और अतिशयोक्तिपूर्ण स्थितियों में विभाजित किया जाता है कि क्या इकाई अंशों का एक संबद्ध योग एक के बराबर है, एक से अधिक है, या एक से कम है।
 === अनंत श्रृंखला ===
-{{Main|List of sums of reciprocals#Infinitely many terms}}
+{{Main|व्युत्क्रमों के योगों की सूची# अपरिमित रूप से अनेक पद}}
-कई प्रसिद्ध [[श्रृंखला (गणित)]] में ऐसी शर्तें हैं जो इकाई अंश हैं। इसमे शामिल है:
+कई प्रसिद्ध [[श्रृंखला (गणित)]] में ऐसी शर्तें हैं जो इकाई अंश में सम्मिलित हैं
-* [[हार्मोनिक श्रृंखला (गणित)]], सभी सकारात्मक इकाई अंशों का योग। यह राशि विचलन करती है, और इसकी आंशिक रकम <math display=block>\frac11 + \frac12 + \frac13 + \cdots + \frac1n</math> के [[प्राकृतिक]] लघुगणक का बारीकी से अनुमान लगाएं <math>n</math> साथ ही यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक। एक घटाव में हर दूसरे जोड़ को बदलने से वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला उत्पन्न होती है, जो 2 के प्राकृतिक लघुगणक के बराबर होती है: <math display=block>\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \cdots = \ln 2.</math>
+* [[हार्मोनिक श्रृंखला (गणित)]], सभी सकारात्मक इकाई अंशों का योग। यह राशि विचलन करती है, और इसकी आंशिक रकम <math display=block>\frac11 + \frac12 + \frac13 + \cdots + \frac1n</math> के [[प्राकृतिक]] लघुगणक का बारीकी से अनुमान लगाएं <math>n</math> साथ ही यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक।जिसके एक घटाव में हर दूसरे जोड़ को बदलने से वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला उत्पन्न होती है, जो 2 के प्राकृतिक लघुगणक के बराबर होती है: <math display=block>\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \cdots = \ln 2.</math>
 * π के लिए लीबनिज सूत्र है <math display=block>1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}.</math>
-* [[बेसल समस्या]] वर्ग इकाई अंशों के योग से संबंधित है: <math display=block>1 + \frac14 + \frac19 + \frac1{16} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}.</math> इसी तरह, एपेरी का स्थिरांक एक [[अपरिमेय संख्या]] है, घन इकाई अंशों का योग।
+* [[बेसल समस्या]] वर्ग इकाई अंशों के योग से संबंधित है: <math display=block>1 + \frac14 + \frac19 + \frac1{16} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}.</math> इसी तरह, एपेरी का स्थिरांक एक [[अपरिमेय संख्या]] है, जो घन इकाई अंशों का योग है।
 * बाइनरी ज्यामितीय श्रृंखला है <math display=block>1 + \frac12 + \frac14 + \frac18 + \frac1{16} + \cdots = 2.</math>
 === मैट्रिक्स ===
-[[हिल्बर्ट मैट्रिक्स]] तत्वों के साथ मैट्रिक्स है
+[[हिल्बर्ट मैट्रिक्स]] के साथ आव्यूह है।
 :<math>B_{i,j} = \frac1{i+j-1}.</math>
-इसकी असामान्य संपत्ति है कि इसके मैट्रिक्स व्युत्क्रम में सभी तत्व पूर्णांक हैं।<ref>{{citation
+इसकी असामान्य संपत्ति है कि इसके आव्यूह व्युत्क्रम में सभी तत्व पूर्णांक हैं।<ref>{{citation
   | last = Choi | first = Man Duen
   | doi = 10.2307/2975779
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   | volume = 90
   | year = 1983| jstor = 2975779
-  }}.</ref> इसी प्रकार, {{harvtxt|Richardson|2001}} तत्वों के साथ एक मैट्रिक्स परिभाषित किया
+  }}.</ref> इसी प्रकार, {{harvtxt|Richardson|2001}} तत्वों के साथ एक आव्यूह परिभाषित किया।
 :<math>C_{i,j} = \frac1{F_{i+j-1}},</math>
-जहां एफ<sub>i</sub> iवें [[फाइबोनैचि संख्या]] को दर्शाता है। वह इस मैट्रिक्स को फिल्बर्ट मैट्रिक्स कहते हैं और इसमें पूर्णांक व्युत्क्रम होने का समान गुण होता है।<ref>{{citation
+जहां एफ i [[फाइबोनैचि संख्या]] को दर्शाता है। वह इस आव्यूह को फिल्बर्ट आव्यूह कहते हैं और इसमें पूर्णांक के प्रतिलोम होने का समान गुण होता है।<ref>{{citation
    | last = Richardson | first = Thomas M.
    | title = The Filbert matrix
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 === निकटता और फोर्ड सर्कल ===
-[[File:Ford circles colour.svg|thumb|स्पर्शरेखा Ford हलकों के अंश एक इकाई अंश से भिन्न होते हैं]]दो अंश <math>a/b</math> और <math>c/d</math> (न्यूनतम शब्दों में) को आसन्न कहा जाता है यदि <math>ad-bc=\pm1</math>, जिसका अर्थ है कि उनका अंतर <math>|ad-bc|/bd</math> इकाई अंश है। उदाहरण के लिए, <math>\tfrac12</math> और <math>\tfrac35</math> आसन्न हैं: <math>1\cdot 5-2\cdot 3=-1</math> और <math>\tfrac35-\tfrac12=\tfrac1{10}</math>. हालाँकि, भिन्नों के कुछ जोड़े जिनका अंतर एक इकाई भिन्न है, इस अर्थ में आसन्न नहीं हैं: उदाहरण के लिए, <math>\tfrac13</math> और <math>\tfrac23</math> एक इकाई अंश से भिन्न होते हैं, लेकिन आसन्न नहीं होते हैं, क्योंकि उनके लिए <math>ad-bc=3</math>. शब्दावली फोर्ड सर्किलों के अध्ययन से आती है, सर्कल जो किसी दिए गए अंश पर [[संख्या रेखा]] के स्पर्शरेखा हैं और उनके व्यास के रूप में अंश का वर्गित भाजक है: अंश <math>a/b</math> और <math>c/d</math> आसन्न हैं अगर और केवल अगर उनके फोर्ड मंडल [[स्पर्शरेखा मंडल]] हैं।<ref>{{citation
+[[File:Ford circles colour.svg|thumb|स्पर्शरेखा Ford हलकों के अंश एक इकाई अंश से भिन्न होते हैं]][[स्पर्शरेखा मंडल|स्पर्शरेखा]] एक इकाई अंश से भिन्न होते हैं, लेकिन आसन्न नहीं होते हैं, क्योंकि उनके लिए <math>ad-bc=3</math>. शब्दावली फोर्ड सर्किलों के अध्ययन से आती है,जिन्हें सन्निकटन कहा जाता है जिसका अर्थ है अन्तर । जो किसी दिए गए अंश पर [[संख्या रेखा]] के स्पर्शरेखा हैं और उनके व्यास के रूप में अंश का वर्गित भाजक है: अंश <math>a/b</math> और <math>c/d</math> आसन्न हैं  और  उनके फोर्ड मंडल [[स्पर्शरेखा मंडल]] हैं।<ref>{{citation
   | last = Ford | first = L. R. | author-link = Lester R. Ford
   | doi = 10.1080/00029890.1938.11990863
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 === संभाव्यता और आंकड़ों में ===
-समान वितरण (विच्छेद) में, सभी प्रायिकताएँ समान इकाई भिन्न होती हैं। उदासीनता के सिद्धांत के कारण, सांख्यिकीय गणनाओं में इस रूप की संभावनाएं अक्सर उत्पन्न होती हैं।<ref>{{citation|page=66|title=Aspects of statistical inference|volume=246|series=Wiley Series in Probability and Statistics|first=Alan H.|last=Welsh|publisher=John Wiley and Sons|year=1996|isbn=978-0-471-11591-5}}.</ref> इसके अतिरिक्त, जिपफ के नियम में कहा गया है कि, एक आदेशित अनुक्रम से वस्तुओं के चयन से जुड़ी कई देखी गई घटनाओं के लिए, संभावना है कि nth आइटम का चयन इकाई अंश 1/n के समानुपाती होता है।<ref>{{citation|title=Theory of Zipf's Law and Beyond|volume=632|series=Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems|first1=Alexander|last1=Saichev|first2=Yannick|last2=Malevergne|first3=Didier|last3=Sornette|publisher=Springer-Verlag|year=2009|isbn=978-3-642-02945-5}}.</ref>
+समान वितरण (विच्छेद) में, सभी प्रायिकताएँ समान इकाई  में भिन्न होती हैं। उदासीनता के सिद्धांत के कारण, सांख्यिकीय गणनाओं में इस रूप की संभावनाएं प्राय: उत्पन्न होती हैं।<ref>{{citation|page=66|title=Aspects of statistical inference|volume=246|series=Wiley Series in Probability and Statistics|first=Alan H.|last=Welsh|publisher=John Wiley and Sons|year=1996|isbn=978-0-471-11591-5}}.</ref> इसके अतिरिक्त, जिपफ के नियम में कहा गया है कि, एक आदेशित अनुक्रम में वस्तुओं के चयन से जुड़ी कई देखी गई घटनाओं की, संभावना है कि nवें स्थान का चयन इकाई अंश 1/n के समानुपाती होता है।<ref>{{citation|title=Theory of Zipf's Law and Beyond|volume=632|series=Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems|first1=Alexander|last1=Saichev|first2=Yannick|last2=Malevergne|first3=Didier|last3=Sornette|publisher=Springer-Verlag|year=2009|isbn=978-3-642-02945-5}}.</ref>
 === भौतिकी में ===
-[[हाइड्रोजन परमाणु]] द्वारा अवशोषित या उत्सर्जित किए जा सकने वाले [[फोटोन]] के ऊर्जा स्तर, [[रिडबर्ग सूत्र]] के अनुसार, दो इकाई अंशों के अंतर के समानुपाती होते हैं। इस घटना के लिए एक स्पष्टीकरण [[बोहर मॉडल]] द्वारा प्रदान किया गया है, जिसके अनुसार हाइड्रोजन परमाणु में [[परमाणु कक्षीय]] ऊर्जा स्तर वर्ग इकाई अंशों के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं, और एक फोटॉन की ऊर्जा दो स्तरों के बीच अंतर के लिए [[परिमाणीकरण (भौतिकी)]] होती है। .<ref>{{citation|pages=81–86|title=Modern Atomic and Nuclear Physics|first1=Fujia|last1=Yang|first2=Joseph H.|last2=Hamilton|publisher=World Scientific|year=2009|isbn=978-981-283-678-6}}.</ref>
+[[हाइड्रोजन परमाणु]] द्वारा अवशोषित या उत्सर्जित किया जा सकने  वाले[[फोटोन]] के ऊर्जा स्तर, [[रिडबर्ग सूत्र]] के अनुसार, दो इकाई अंशों के अंतर के समानुपाती होते हैं।  [[बोहर मॉडल]] द्वारा इस घटना के लिए एक स्पष्टीकरण प्रदान गया है, जिसके अनुसार हाइड्रोजन परमाणु में [[परमाणु कक्षीय]] ऊर्जा  वर्ग इकाई अंशों के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं, और एक फोटॉन की ऊर्जा दो स्तरों के बीच अंतर के लिए [[परिमाणीकरण (भौतिकी)]] होती है। <ref>{{citation|pages=81–86|title=Modern Atomic and Nuclear Physics|first1=Fujia|last1=Yang|first2=Joseph H.|last2=Hamilton|publisher=World Scientific|year=2009|isbn=978-981-283-678-6}}.</ref>[[आर्थर एडिंगटन]] ने कहा  कि [[ठीक-संरचना स्थिर]]  एक इकाई अंश था, पहले 1/136 फिर 1/137। यह तर्क गलत सिद्ध हुआ है, यह देखते हुए कि ठीक संरचना स्थिरांक का वर्तमान अनुमान 1/137.036 है।<ref>{{citation|title=Eddington's search for a fundamental theory: a key to the universe|first=Clive William|last=Kilmister|publisher=Cambridge University Press|year=1994|isbn=978-0-521-37165-0}}.</ref>
-[[आर्थर एडिंगटन]] ने तर्क दिया कि [[ठीक-संरचना स्थिर]]ांक एक इकाई अंश था, पहले 1/136 फिर 1/137। यह तर्क गलत साबित हुआ है, यह देखते हुए कि ठीक संरचना स्थिरांक का वर्तमान अनुमान (6 महत्वपूर्ण अंकों तक) 1/137.036 है।<ref>{{citation|title=Eddington's search for a fundamental theory: a key to the universe|first=Clive William|last=Kilmister|publisher=Cambridge University Press|year=1994|isbn=978-0-521-37165-0}}.</ref>
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 {{Fractions and ratios}}
-[[Category: अंश (गणित)]] [[Category: 1 (संख्या)]] [[Category: प्राथमिक अंकगणित]] [[Category: पूर्णांकों]]
+[[Category:1 (संख्या)]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Collapse templates]]
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+[[Category:Templates using TemplateData]]
+[[Category:Wikipedia metatemplates]]
+[[Category:अंश (गणित)]]
+[[Category:पूर्णांकों]]
+[[Category:प्राथमिक अंकगणित]]

v t e Fractions and ratios
	Division and ratio	Dividend ÷ Divisor = Quotient
	Fraction	Numerator/Denominator = Quotient
	Algebraic Aspect Binary Continued Decimal Dyadic Egyptian Golden Silver Integer Irreducible Reduction Just intonation LCD Musical interval Paper size Percentage Unit

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अंकगणित

प्राथमिक अंकगणित

प्रमापीय अंकगणित

युग्म

परिमित राशि

अनंत श्रृंखला

मैट्रिक्स

निकटता और फोर्ड सर्कल

अनुप्रयोग

संभाव्यता और आंकड़ों में

भौतिकी में

यह भी देखें

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युग्म

परिमित राशि

अनंत श्रृंखला

मैट्रिक्स

निकटता और फोर्ड सर्कल

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संभाव्यता और आंकड़ों में

भौतिकी में

यह भी देखें

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