द्वितीय अवकलज: Difference between revisions

Latest revision as of 16:48, 12 February 2023

द्विघात फलन का द्वितीय अवकलज नियत होता है।

कलन में, किसी फलन $f$ का द्वितीय अवकलज, या द्वितीय कोटि का अवकलज, $f$ के अवकलज का अवकलज होता है। साधारणतया, द्वितीय अवकलज यह मापता है कि राशि के परिवर्तन की दर स्वयं किस प्रकार परिवर्तित हो रही है; उदाहरण के लिए, समय के सापेक्ष किसी वस्तु की स्थिति का द्वितीय अवकलज वस्तु का तात्क्षणिक त्वरण, या समय के सापेक्ष वस्तु के वेग परिवर्तन की दर है। लीबनिज संकेतन में:

\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}},

जहाँ a त्वरण, v वेग, t समय, x स्थिति, और d तात्क्षणिक "डेल्टा" या परिवर्तन है। अंतिम व्यंजक ${\tfrac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}}$ समय के सापेक्ष स्थिति (x) का द्वितीय अवकलज है।

किसी फलन के आलेख पर, द्वितीय अवकलज आलेख की वक्रता या अवतलता के संगत होता है। धनात्मक द्वितीय अवकलज वाले एक फलन का आलेख ऊपर की ओर अवतल होता है, जबकि ऋणात्मक द्वितीय अवकलज वाले फलन का आलेख विपरीत प्रकार से वक्रित होता है।

द्वितीय अवकलज घात नियम

प्रथम अवकलज के लिए घात नियम को दो बार प्रयुक्त करने पर द्वितीय अवकलज का घात नियम निम्नानुसार उत्पन्न होता है:

{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}\left[nx^{n-1}\right]=n{\frac {d}{dx}}\left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}.

संकेतन

किसी फलन $f(x)$ का द्वितीय अवकलज सामान्यतया $f''(x)$ द्वारा निरूपित किया जाता है।^[1]^[2] अर्थात्:

f''=\left(f'\right)'

अवकलज के लिए लीबनिज़ के संकेतन का उपयोग करते समय, स्वतंत्र चर $x$ के सापेक्ष परतंत्र चर $y$ के द्वितीय अवकलज को इस प्रकार लिखा जाता है

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.

यह संकेतन निम्नलिखित सूत्र से व्युत्पन्न किया गया है:

{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).

वैकल्पिक संकेतन

जैसा कि पिछले खंड में वर्णन है, कि द्वितीय अवकलज के लिए मानक लीबनिज़ संकेतन ${\textstyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$ है। हालाँकि, यह रूप बीजगणितीय रूप से हेरफेर करने योग्य नहीं है। अर्थात्, हालाँकि यह अवकलों की एक भिन्न के समान दिखता है, परन्तु भिन्न को टुकड़ों में विभाजित नहीं किया जा सकता है, पदों को निरस्त नहीं किया जा सकता है, आदि। हालाँकि, द्वितीय अवकलज के लिए एक वैकल्पिक सूत्र का उपयोग करके इस सीमा को दूर किया जा सकता है। इसे पहले अवकलज पर भागफल नियम को प्रयुक्त करके प्राप्त किया जा सकता है।^[3] ऐसा करने से निम्न सूत्र प्राप्त होता है:

y''(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)={\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-{\frac {dy}{dx}}{\frac {d^{2}x}{dx^{2}}}

इस सूत्र में, $du$ , $u$ पर प्रयुक्त अवकल संकारक, अर्थात्, $d(u)$ को निरूपित करता है, $d^{2}u$ अवकल संकारक की दो बार प्रयुक्ति, अर्थात् $d(d(u))$ को निरूपित करता है, और $du^{2}$ , $u$ पर प्रयुक्त किए गए अवकल संकारक के वर्ग, अर्थात् $(d(u))^{2}$ को संदर्भित करता है।

जब इसे इस प्रकार (और ऊपर दिए गए अंकन के अर्थ को ध्यान में रखते हुए) लिखा जाता है, तो द्वितीय अवकलज के पदों में किसी अन्य बीजगणितीय पद के रूप में स्वतंत्र रूप से हेर-फेर किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, द्वितीय अवकलज के लिए प्रतिलोम फलन सूत्र को उपरोक्त सूत्र के बीजगणितीय हेर-फेर के साथ-साथ द्वितीय अवकलज के लिए श्रृंखला नियम से भी प्राप्त किया जा सकता है। क्या अंकन में इस प्रकार का परिवर्तन करना समस्या के लिए पर्याप्त रूप से सहायक है, इस पर अभी भी विवाद चल रहा है।^[4]

उदाहरण

दिये गए फलन

f(x)=x^{3},

का अवकलज

f^{\prime }(x)=3x^{2}.

फलन है, फलन $f$ का द्वितीय अवकलज, $f^{\prime }$ का अवकलज है, अर्थात्

f^{\prime \prime }(x)=6x.

आलेख से संबंध

f(x)=\sin(2x)

का

-\pi /4

से

5\pi /4

तक का एक आलेख। यहाँ स्पर्श रेखा का रंग नीला (जहाँ वक्र ऊपर की ओर अवतल है), हरा (जहाँ वक्र नीचे की ओर अवतल है) और नतिपरिवर्तन बिंदुओं (0,

\pi

/2, और

\pi

) पर लाल है।

अवतलता

फलन $f$ के द्वितीय अवकलज का उपयोग $f$ के आलेख की अवतलता को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।^[2] धनात्मक द्वितीय अवकलज वाला एक फलन ऊपर की ओर अवतल (जिसे उत्तल भी कहा जाता है) होता है, जिसका अर्थ है कि स्पर्शरेखा, फलन के आलेख के नीचे स्थित होती है। इसी प्रकार, ऋणात्मक द्वितीय अवकलज वाला एक फलन नीचे की ओर अवतल (जिसे केवल अवतल भी कहा जाता है) होता है, और इसकी स्पर्शरेखाएँ फलन के आलेख के ऊपर स्थित होती हैं।

नतिपरिवर्तन बिंदु

यदि किसी फलन का द्वितीय अवकलज, चिह्न परिवर्तित करता है, तो फलन का आलेख नीचे की ओर अवतल से ऊपर की ओर अवतल या इसके विपरीत परिवर्तित होता है। जिस बिंदु पर यह घटना घटित होती है, उसे नतिपरिवर्तन बिंदु कहा जाता है। माना द्वितीय अवकलज सतत है, तो इसे किसी भी नतिपरिवर्तन बिंदु पर शून्य मान ग्रहण करना चाहिए, हालाँकि शून्य द्वितीय अवकलज वाला प्रत्येक बिंदु अनिवार्य रूप से नतिपरिवर्तन बिंदु नहीं होता है।

द्वितीय अवकलज परीक्षण

द्वितीय अवकलज और आलेख के बीच के संबंध का उपयोग यह परीक्षण करने के लिए किया जा सकता है कि क्या फलन के लिए एक स्थिर बिंदु (अर्थात्, एक बिंदु, जहाँ $f'(x)=0$ ) स्थानीय उच्चिष्ठ या स्थानीय निम्निष्ठ है। विशेष रूप से,

यदि $f^{\prime \prime }(x)<0$ , तब $f$ में $x$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ है
यदि $f^{\prime \prime }(x)>0$ , तब $f$ में $x$ पर स्थानीय निम्निष्ठ है
यदि $f^{\prime \prime }(x)=0$ , तब द्वितीय अवकलज परीक्षण बिंदु $x$ , संभावित नतिपरिवर्तन बिंदु, के सम्बन्ध में कुछ नहीं कहता है।

द्वितीय अवकलज इन परिणामों को उत्पन्न करने का कारण एक वास्तविक दुनिया सादृश्य के माध्यम से देखा जा सकता है। एक वाहन पर विचार करें जो पहले एक बड़े वेग से आगे बढ़ रहा है, लेकिन ऋणात्मक त्वरण के साथ। स्पष्ट रूप से, उस बिंदु पर वाहन की स्थिति जहाँ वेग शून्य तक पहुँचता है, प्रारंभिक स्थिति से अधिकतम दूरी होगी - इस समय के बाद, वेग ऋणात्मक हो जाएगा और वाहन उल्टा हो जाएगा। न्यूनतम के लिए भी यही सच है, एक वाहन के साथ जिसमें पहले तो बहुत ऋणात्मक वेग होता है लेकिन धनात्मक त्वरण होता है।

सीमा

द्वितीय अवकलज के लिए एकल सीमा (गणित) लिखना संभव है:

f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.

इस सीमा को द्वितीय सममित अवकलज कहा जाता है।^[5]^[6] ध्यान दें कि द्वितीय सममित अवकलज का अस्तित्व तब भी हो सकता है, जब (सामान्य) द्वितीय अवकलज का अस्तित्व नहीं होता है।

दाईं ओर के व्यंजक को निम्न अवकल भागफलों के अवकल भागफल के रूप में लिखा जा सकता है:

{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.

इस सीमा को अनुक्रमों (गणित) के द्वितीय अंतर के सतत रूप में देखा जा सकता है।

हालाँकि, उपरोक्त सीमा के अस्तित्व का अर्थ यह नहीं है कि फलन $f$ के द्वितीय अवकलज का अस्तित्व है। ऊपर दी गई सीमा सिर्फ द्वितीय अवकलज की गणना करने की संभावना प्रदान करती है, लेकिन परिभाषा प्रदान नहीं करती है। इसका एक प्रति उदाहरण चिह्न फलन $\operatorname {sgn}(x)$ है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}

चिह्न फलन शून्य पर सतत नहीं है, अतः $x=0$ के लिए द्वितीय अवकलज का अस्तित्व नहीं है। लेकिन $x=0$ के लिए उपरोक्त सीमा का अस्तित्व हैː

{\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}

द्विघात सन्निकटन

जिस प्रकार प्रथम अवकलज रेखीय सन्निकटन से संबंधित है, उसी प्रकार द्वितीय अवकलज एक फलन $f$ के लिए सर्वोत्तम द्विघात सन्निकटन से संबंधित है। यह ऐसा द्विघात फलन है जिसका प्रथम और द्वितीय अवकलज, दिए गए बिंदु पर $f$ के अवकलज के समान है। बिंदु $x = a$ के निकट किसी फलन $f$ के लिए सर्वोत्तम द्विघात सन्निकटन का सूत्र निम्न है

f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.

यह द्विघात सन्निकटन $x = a$ पर केन्द्रित फलन के लिए द्वितीय कोटि का टेलर बहुपद है।

द्वितीय अवकलज के अभिलक्षणिक मान (आइगेन मान) और अभिलक्षणिक सदिश (आइगेन सदिश)

सीमा शर्तों के कई संयोजनों के लिए द्वितीय अवकलज के अभिलक्षणिक मानों और अभिलक्षणिक सदिशों के लिए स्पष्ट सूत्र प्राप्त किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, माना $x\in [0,L]$ और सजातीय डिरिक्ले सीमा शर्तें (अर्थात्, $v(0)=v(L)=0$ ), अभिलक्षणिक मान $\lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}$ और संगत अभिलक्षणिक सदिश (जिसे अभिलक्षणिक फलन भी कहा जाता है) $v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)$ हैं। यहाँ, $v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x),\,j=1,\ldots ,\infty .$

अन्य प्रचलित स्थितियों के लिए, द्वितीय अवकलज के अभिलक्षणिक मान और अभिलक्षणिक सदिश देखें।

उच्च विमाओं का सामान्यीकरण

हेसियन

द्वितीय अवकलज, द्वितीय आंशिक अवकलजों की धारणा के माध्यम से उच्च विमाओं का सामान्यीकरण करता है। एक फलन f: R³ → R के लिए, इनमें तीन द्वितीय- कोटि के आंशिक

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},{\text{ and }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}

और मिश्रित आंशिक

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},{\text{ and }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}.

सम्मिलित हैं, यदि फलन के प्रतिबिम्ब और प्रांत दोनों में क्षमता है, तो ये एक साथ एक सममित आव्यूह में समायोजित होते हैं, जिसे हेसियन के रूप में जाना जाता है। इस आव्यूह के अभिलक्षणिक मानों का उपयोग द्वितीय अवकलज परीक्षण के एक बहुचर एनालॉग को लागू करने के लिए किया जा सकता है। (द्वितीय आंशिक अवकलज परीक्षण भी देखें।)

लाप्लासियन

द्वितीय अवकलज का एक अन्य साधारण सामान्यीकरण लाप्लासियन है। यह डिफरेंशियल संकारक $\nabla ^{2}$ (या $\Delta$ ) है जो निम्न द्वारा परिभाषित है

\nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.

किसी फलन का लाप्लासियन ग्रेडियेंट के विचलन और हेसियन आव्यूह के ट्रेस (रैखिक बीजगणित) के बराबर है।

यह भी देखें

चपलता, तात्क्षणिक चरण का द्वितीय अवकलज
परिमित अवकल, इसका उपयोग द्वितीय अवकलज के सन्निकटन के लिए किया जाता है
द्वितीय आंशिक अवकलज परीक्षण
द्वितीय अवकलज की समरूपता

संदर्भ

↑ "Content - The second derivative". amsi.org.au. Retrieved 2020-09-16.
↑ ^2.0 ^2.1 "Second Derivatives". Math24 (in English). Retrieved 2020-09-16.
↑ Bartlett, Jonathan; Khurshudyan, Asatur Zh (2019). "Extending the Algebraic Manipulability of Differentials". Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, Series A: Mathematical Analysis. 26 (3): 217–230. arXiv:1801.09553.
↑ "Reviews". Mathematics Magazine. 92 (5): 396–397. December 20, 2019. doi:10.1080/0025570X.2019.1673628. S2CID 218542586.
↑ A. Zygmund (2002). Trigonometric Series. Cambridge University Press. pp. 22–23. ISBN 978-0-521-89053-3.
↑ Thomson, Brian S. (1994). Symmetric Properties of Real Functions. Marcel Dekker. p. 1. ISBN 0-8247-9230-0.

अग्रिम पठन

प्रिंट

Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (February 2, 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (8th ed.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5
Apostol, Tom M. (June 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, vol. 1 (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
Apostol, Tom M. (June 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications, vol. 1 (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5
Eves, Howard (January 2, 1990), An Introduction to the History of Mathematics (6th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4
Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (February 28, 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (4th ed.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
Spivak, Michael (September 1994), Calculus (3rd ed.), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8
Stewart, James (December 24, 2002), Calculus (5th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7
Thompson, Silvanus P. (September 8, 1998), Calculus Made Easy (Revised, Updated, Expanded ed.), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0

ऑनलाइन किताबें

Crowell, Benjamin (2003), Calculus
Garrett, Paul (2004), Notes on First-Year Calculus
Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus
Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals
Mauch, Sean (2004), Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, archived from the original on 2006-04-15
Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations
Strang, Gilbert (1991), Calculus
Stroyan, Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, archived from the original on 2005-09-11
Wikibooks, Calculus

बाहरी संबंध

Discrete Second Derivative from Unevenly Spaced Points

[1] "Content - The second derivative". amsi.org.au. Retrieved 2020-09-16.

[:1-2] 2.0 ^2.1 "Second Derivatives". Math24 (in English). Retrieved 2020-09-16.

[3] Bartlett, Jonathan; Khurshudyan, Asatur Zh (2019). "Extending the Algebraic Manipulability of Differentials". Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, Series A: Mathematical Analysis. 26 (3): 217–230. arXiv:1801.09553.

[4] "Reviews". Mathematics Magazine. 92 (5): 396–397. December 20, 2019. doi:10.1080/0025570X.2019.1673628. S2CID 218542586.

[Zygmund2002-5] A. Zygmund (2002). Trigonometric Series. Cambridge University Press. pp. 22–23. ISBN 978-0-521-89053-3.

[6] Thomson, Brian S. (1994). Symmetric Properties of Real Functions. Marcel Dekker. p. 1. ISBN 0-8247-9230-0.

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-{{Short description|Mathematical operation}}
+{{Short description|Mathematical operation}}[[File:4 fonctions du second degré.svg|right|thumb|190x190px|द्विघात फलन का द्वितीय अवकलज नियत होता है।]]कलन में, किसी फलन {{math|''f''}} का '''द्वितीय अवकलज''', या '''द्वितीय कोटि का अवकलज''', {{math|''f''}} के अवकलज का अवकलज होता है। साधारणतया, द्वितीय अवकलज यह मापता है कि राशि के परिवर्तन की दर स्वयं किस प्रकार परिवर्तित हो रही है; उदाहरण के लिए, समय के सापेक्ष किसी वस्तु की स्थिति का द्वितीय अवकलज वस्तु का [[तात्कालिक त्वरण|तात्क्षणिक त्वरण]], या समय के सापेक्ष वस्तु के [[वेग]] परिवर्तन की दर है। [[लीबनिज संकेतन]] में:
-{{Use American English|date = April 2019}}
-{{Calculus |Differential}}
-[[File:4 fonctions du second degré.svg|right|thumb|200px|द्विघात फलन का दूसरा अवकलज नियत फलन होता है।]]कलन में, किसी फलन का दूसरा अवकलज, या दूसरा क्रम अवकलज (गणित) {{math|''f''}} के व्युत्पन्न का व्युत्पन्न है {{math|''f''}}. मोटे तौर पर, दूसरा व्युत्पन्न यह मापता है कि मात्रा के परिवर्तन की दर स्वयं कैसे बदल रही है; उदाहरण के लिए, समय के संबंध में किसी वस्तु की स्थिति का दूसरा व्युत्पन्न वस्तु का [[तात्कालिक त्वरण]] है, या वह दर जिस पर समय के संबंध में वस्तु का [[वेग]] बदल रहा है। [[लीबनिज संकेतन]] में:
 :<math>\mathbf{a} =  \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d^2\boldsymbol{x}}{dt^2},</math>
-जहाँ a त्वरण है, v वेग है, t समय है, x स्थिति है, और d तात्क्षणिक डेल्टा या परिवर्तन है। अंतिम अभिव्यक्ति <math>\tfrac{d^2\boldsymbol{x}}{dt^2}</math> समय के संबंध में स्थिति (x) का दूसरा व्युत्पन्न है।
+जहाँ ''a'' त्वरण, ''v'' वेग, ''t'' समय, ''x'' स्थिति, और ''d'' तात्क्षणिक "डेल्टा" या परिवर्तन है। अंतिम व्यंजक <math>\tfrac{d^2\boldsymbol{x}}{dt^2}</math> समय के सापेक्ष स्थिति (''x'') का द्वितीय अवकलज है।
-किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर, दूसरा व्युत्पन्न ग्राफ़ के [[वक्रता]] या उत्तल फ़ंक्शन से मेल खाता है। एक सकारात्मक दूसरे व्युत्पन्न के साथ एक फ़ंक्शन का ग्राफ ऊपर की ओर अवतल होता है, जबकि एक नकारात्मक दूसरे व्युत्पन्न के साथ एक फ़ंक्शन का ग्राफ विपरीत तरीके से घटता है।
+किसी फलन के आलेख पर, द्वितीय अवकलज आलेख की [[वक्रता]] या अवतलता के संगत होता है। धनात्मक द्वितीय अवकलज वाले एक फलन का आलेख ऊपर की ओर अवतल होता है, जबकि ऋणात्मक द्वितीय अवकलज वाले फलन का आलेख विपरीत प्रकार से वक्रित होता है।
-== दूसरा व्युत्पन्न [[शक्ति नियम]] ==
+== द्वितीय अवकलज घात नियम ==
-पहले व्युत्पन्न के लिए शक्ति नियम, यदि दो बार लागू किया जाता है, तो दूसरा व्युत्पन्न शक्ति नियम निम्नानुसार उत्पन्न होगा:
+प्रथम अवकलज के लिए [[शक्ति नियम|घात नियम]] को दो बार प्रयुक्त करने पर द्वितीय अवकलज का घात नियम निम्नानुसार उत्पन्न होता है:
 : <math>\frac{d^2}{dx^2}\left[x^n\right] = \frac{d}{dx}\frac{d}{dx}\left[x^n\right] = \frac{d}{dx}\left[nx^{n-1}\right] = n\frac{d}{dx}\left[x^{n-1}\right] = n(n - 1)x^{n-2}.</math>
+== संकेतन ==
+{{Details|अवकलन के लिए संकेतन}}
+किसी फलन <math>f(x)</math> का द्वितीय अवकलज सामान्यतया <math>f''(x)</math> द्वारा निरूपित किया जाता है।<ref>{{Cite web|title=Content - The second derivative|url=https://amsi.org.au/ESA_Senior_Years/SeniorTopic3/3b/3b_2content_10.html|access-date=2020-09-16|website=amsi.org.au}}</ref><ref name=":1">{{Cite web|title=Second Derivatives|url=http://192.168.1.121/math2/second-derivatives/|access-date=2020-09-16|website=Math24|language=en-US}}</ref> अर्थात्:
-== नोटेशन ==
-{{Details|Notation for differentiation}}
-किसी फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न <math>f(x)</math> सामान्यतया निरूपित किया जाता है <math>f''(x)</math>.<ref>{{Cite web|title=Content - The second derivative|url=https://amsi.org.au/ESA_Senior_Years/SeniorTopic3/3b/3b_2content_10.html|access-date=2020-09-16|website=amsi.org.au}}</ref><ref name=":1">{{Cite web|title=Second Derivatives|url=http://192.168.1.121/math2/second-derivatives/|access-date=2020-09-16|website=Math24|language=en-US}}</ref> वह है:
 :<math>f'' = \left(f'\right)'</math>
-डेरिवेटिव के लिए लीबनिज़ के संकेतन का उपयोग करते समय, आश्रित चर का दूसरा डेरिवेटिव {{math|''y''}} एक स्वतंत्र चर के संबंध में {{math|''x''}} लिखा है
+अवकलज के लिए लीबनिज़ के संकेतन का उपयोग करते समय, स्वतंत्र चर {{math|''x''}} के सापेक्ष परतंत्र चर {{math|''y''}} के द्वितीय अवकलज को इस प्रकार लिखा जाता है
 :<math>\frac{d^2y}{dx^2}.</math>
-यह संकेतन निम्नलिखित सूत्र से लिया गया है:
+यह संकेतन निम्नलिखित सूत्र से व्युत्पन्न किया गया है:
 :<math>\frac{d^2y}{dx^2} \,=\, \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right).</math>
 == वैकल्पिक संकेतन ==
-जैसा कि पिछले खंड नोट करता है, दूसरे डेरिवेटिव के लिए मानक लीबनिज़ संकेतन है <math display="inline">\frac{d^2y}{dx^2}</math>. हालाँकि, यह रूप बीजगणितीय रूप से हेरफेर करने योग्य नहीं है। अर्थात्, हालांकि यह अंतर के एक अंश की तरह बनता है, अंश को टुकड़ों में विभाजित नहीं किया जा सकता है, शर्तों को रद्द नहीं किया जा सकता है, आदि। हालांकि, दूसरे व्युत्पन्न के लिए एक वैकल्पिक सूत्र का उपयोग करके इस सीमा को दूर किया जा सकता है। यह [[भागफल नियम]] को पहले व्युत्पन्न पर लागू करने से प्राप्त होता है।<ref>{{cite journal |last1=Bartlett |first1=Jonathan |last2=Khurshudyan |first2=Asatur Zh |date=2019 |title=Extending the Algebraic Manipulability of Differentials |arxiv=1801.09553 |journal=Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, Series A: Mathematical Analysis |volume=26 |issue=3 |pages=217–230}}</ref> ऐसा करने से सूत्र प्राप्त होता है:
+जैसा कि पिछले खंड में वर्णन है, कि द्वितीय अवकलज के लिए मानक लीबनिज़ संकेतन <math display="inline">\frac{d^2y}{dx^2}</math> है। हालाँकि, यह रूप बीजगणितीय रूप से हेरफेर करने योग्य नहीं है। अर्थात्, हालाँकि यह अवकलों की एक भिन्न के समान दिखता है, परन्तु भिन्न को टुकड़ों में विभाजित नहीं किया जा सकता है, पदों को निरस्त नहीं किया जा सकता है, आदि। हालाँकि, द्वितीय अवकलज के लिए एक वैकल्पिक सूत्र का उपयोग करके इस सीमा को दूर किया जा सकता है। इसे पहले अवकलज पर [[भागफल नियम]] को प्रयुक्त करके प्राप्त किया जा सकता है।<ref>{{cite journal |last1=Bartlett |first1=Jonathan |last2=Khurshudyan |first2=Asatur Zh |date=2019 |title=Extending the Algebraic Manipulability of Differentials |arxiv=1801.09553 |journal=Dynamics of Continuous, Discrete and Impulsive Systems, Series A: Mathematical Analysis |volume=26 |issue=3 |pages=217–230}}</ref> ऐसा करने से निम्न सूत्र प्राप्त होता है:
 :<math>y''(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right) = \frac{d\left(\frac{dy}{dx}\right)}{dx} = \frac{d^2y}{dx^2} - \frac{dy}{dx}\frac{d^2x}{dx^2}</math>
-इस सूत्र में, <math>du</math> लागू अंतर ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है <math>u</math>, अर्थात।, <math>d(u)</math>, <math>d^2u</math> अंतर ऑपरेटर को दो बार लागू करने का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात, <math>d(d(u))</math>, और <math>du^2</math> लागू किए गए अंतर ऑपरेटर के वर्ग को संदर्भित करता है <math>u</math>, अर्थात।, <math>(d(u))^2</math>.
+इस सूत्र में, <math>du</math>, <math>u</math> पर प्रयुक्त अवकल संकारक, अर्थात्, <math>d(u)</math> को निरूपित करता है, <math>d^2u</math> अवकल संकारक की दो बार प्रयुक्ति, अर्थात् <math>d(d(u))</math> को निरूपित करता है, और <math>du^2</math>, <math>u</math> पर प्रयुक्त किए गए अवकल संकारक के वर्ग, अर्थात् <math>(d(u))^2</math> को संदर्भित करता है।
-जब इस तरह से लिखा जाता है (और ऊपर दिए गए अंकन के अर्थ को ध्यान में रखते हुए), दूसरे व्युत्पन्न की शर्तों को किसी अन्य बीजगणितीय शब्द के रूप में स्वतंत्र रूप से जोड़-तोड़ किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, दूसरे व्युत्पन्न के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन सूत्र को उपरोक्त सूत्र के बीजगणितीय जोड़-तोड़ के साथ-साथ दूसरे व्युत्पन्न के लिए [[श्रृंखला नियम]] से भी निकाला जा सकता है। क्या अंकन में इस तरह का बदलाव करना मुसीबत के लायक होने के लिए पर्याप्त रूप से मददगार है, इस पर अभी भी बहस चल रही है।<ref>{{cite journal |date=December 20, 2019 |title=Reviews |url=https://maa.tandfonline.com/doi/full/10.1080/0025570X.2019.1673628 |journal=Mathematics Magazine |volume=92 |issue=5 |pages=396–397 |doi=10.1080/0025570X.2019.1673628|s2cid=218542586 }}</ref>
+जब इसे इस प्रकार (और ऊपर दिए गए अंकन के अर्थ को ध्यान में रखते हुए) लिखा जाता है, तो द्वितीय अवकलज के पदों में किसी अन्य बीजगणितीय पद के रूप में स्वतंत्र रूप से हेर-फेर किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, द्वितीय अवकलज के लिए प्रतिलोम फलन सूत्र को उपरोक्त सूत्र के बीजगणितीय हेर-फेर के साथ-साथ द्वितीय अवकलज के लिए [[श्रृंखला नियम]] से भी प्राप्त किया जा सकता है। क्या अंकन में इस प्रकार का परिवर्तन करना समस्या के लिए पर्याप्त रूप से सहायक है, इस पर अभी भी विवाद चल रहा है।<ref>{{cite journal |date=December 20, 2019 |title=Reviews |url=https://maa.tandfonline.com/doi/full/10.1080/0025570X.2019.1673628 |journal=Mathematics Magazine |volume=92 |issue=5 |pages=396–397 |doi=10.1080/0025570X.2019.1673628|s2cid=218542586 }}</ref>
 == उदाहरण ==
-समारोह दिया
+दिये गए फलन
 :<math>f(x) = x^3,</math>
-का व्युत्पन्न {{math|''f''}} कार्य है
+का अवकलज
 :<math>f^{\prime}(x) = 3x^2.</math>
-का दूसरा व्युत्पन्न {{math|''f''}} का व्युत्पन्न है <math>f^{\prime}</math>, अर्थात्
+फलन है, फलन {{math|''f''}} का द्वितीय अवकलज, <math>f^{\prime}</math> का अवकलज है, अर्थात्
 :<math>f^{\prime\prime}(x) = 6x.</math>
+== आलेख से संबंध ==
+[[File:Animated illustration of inflection point.gif|523x523px|thumb|<math>f(x) = \sin(2x)</math> का <math>-\pi/4</math> से <math>5\pi/4</math> तक का एक आलेख। यहाँ स्पर्श रेखा का रंग नीला (जहाँ वक्र ऊपर की ओर अवतल है), हरा (जहाँ वक्र नीचे की ओर अवतल है) और नतिपरिवर्तन बिंदुओं (0, <math>\pi</math>/2, और <math>\pi</math>) पर लाल है।]]
+=== अवतलता ===
+फलन {{math|''f''}} के द्वितीय अवकलज का उपयोग {{math|''f''}} के आलेख की '''अवतलता''' को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।<ref name=":1" /> धनात्मक द्वितीय अवकलज वाला एक फलन ऊपर की ओर अवतल (जिसे उत्तल भी कहा जाता है) होता है, जिसका अर्थ है कि स्पर्शरेखा, फलन के आलेख के नीचे स्थित होती है। इसी प्रकार, ऋणात्मक द्वितीय अवकलज वाला एक फलन नीचे की ओर अवतल (जिसे केवल अवतल भी कहा जाता है) होता है, और इसकी स्पर्शरेखाएँ फलन के आलेख के ऊपर स्थित होती हैं।
-== ग्राफ से संबंध ==
+=== नतिपरिवर्तन बिंदु ===
-[[File:Animated illustration of inflection point.gif|500px|thumb|का एक प्लॉट <math>f(x) = \sin(2x)</math> से <math>-\pi/4</math> को <math>5\pi/4</math>. स्पर्श रेखा नीली होती है जहाँ वक्र अवतल होता है, हरा जहाँ वक्र अवतल होता है, और विभक्ति बिंदुओं पर लाल होता है (0, <math>\pi</math>/2, और <math>\pi</math>).]]
+{{main|नतिपरिवर्तन बिंदु}}
-=== अवतलता ===
+यदि किसी फलन का द्वितीय अवकलज, चिह्न परिवर्तित करता है, तो फलन का आलेख नीचे की ओर अवतल से ऊपर की ओर अवतल या इसके विपरीत परिवर्तित होता है। जिस बिंदु पर यह घटना घटित होती है, उसे '''नतिपरिवर्तन बिंदु''' कहा जाता है। माना द्वितीय अवकलज सतत है, तो इसे किसी भी नतिपरिवर्तन बिंदु पर शून्य मान ग्रहण करना चाहिए, हालाँकि शून्य द्वितीय अवकलज वाला प्रत्येक बिंदु अनिवार्य रूप से नतिपरिवर्तन बिंदु नहीं होता है।
-किसी फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न {{math|''f''}} के ग्राफ की अवतलता ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जा सकता है {{math|''f''}}.<ref name=":1" />  एक फ़ंक्शन जिसका दूसरा व्युत्पन्न धनात्मक है अवतल होगा (जिसे उत्तल भी कहा जाता है), जिसका अर्थ है कि स्पर्शरेखा रेखा फ़ंक्शन के ग्राफ़ के नीचे स्थित होगी। इसी तरह, एक फ़ंक्शन जिसका दूसरा व्युत्पन्न ऋणात्मक है, अवतल होगा (जिसे केवल अवतल भी कहा जाता है), और इसकी स्पर्शरेखाएँ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के ऊपर स्थित होंगी।
-=== मोड़ बिंदु ===
+=== द्वितीय अवकलज परीक्षण ===
-{{main|Inflection point}}
+{{main|द्वितीय अवकलज परीक्षण}}
-यदि किसी फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न चिह्न बदलता है, तो फ़ंक्शन का ग्राफ़ अवतल से अवतल से ऊपर या इसके विपरीत स्विच करेगा। एक बिंदु जहां यह होता है एक विभक्ति बिंदु कहा जाता है। मान लें कि दूसरा व्युत्पन्न निरंतर है, इसे किसी भी मोड़ बिंदु पर शून्य का मान लेना चाहिए, हालांकि हर बिंदु जहां दूसरा व्युत्पन्न शून्य है, अनिवार्य रूप से मोड़ का बिंदु नहीं है।
-=== दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण ===
+द्वितीय अवकलज और आलेख के बीच के संबंध का उपयोग यह परीक्षण करने के लिए किया जा सकता है कि क्या फलन के लिए एक [[स्थिर बिंदु]] (अर्थात्, एक बिंदु, जहाँ <math>f'(x)=0</math>) [[स्थानीय अधिकतम|स्थानीय उच्चिष्ठ]] या [[स्थानीय न्यूनतम|स्थानीय निम्निष्ठ]] है। विशेष रूप से,
-{{main|Second derivative test}}
+* यदि <math>f^{\prime\prime}(x) < 0</math>, तब <math>f</math> में <math>x</math> पर स्थानीय उच्चिष्ठ है
-दूसरे व्युत्पन्न और ग्राफ के बीच के संबंध का परीक्षण करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है कि क्या फ़ंक्शन के लिए एक [[स्थिर बिंदु]] (यानी, एक बिंदु जहां <math>f'(x)=0</math>) [[स्थानीय अधिकतम]] या [[स्थानीय न्यूनतम]] है। विशेष रूप से,
+* यदि <math>f^{\prime\prime}(x) > 0</math>, तब <math>f</math> में <math>x</math> पर स्थानीय निम्निष्ठ है
-* अगर <math>f^{\prime\prime}(x) < 0</math>, तब <math>f</math> पर स्थानीय अधिकतम है <math>x</math>.
+* यदि <math>f^{\prime\prime}(x) = 0</math>, तब द्वितीय अवकलज परीक्षण बिंदु <math>x</math>, संभावित नतिपरिवर्तन बिंदु, के सम्बन्ध में कुछ नहीं कहता है।
-* अगर <math>f^{\prime\prime}(x) > 0</math>, तब <math>f</math> स्थानीय न्यूनतम है <math>x</math>.
+द्वितीय अवकलज इन परिणामों को उत्पन्न करने का कारण एक वास्तविक दुनिया सादृश्य के माध्यम से देखा जा सकता है। एक वाहन पर विचार करें जो पहले एक बड़े वेग से आगे बढ़ रहा है, लेकिन ऋणात्मक त्वरण के साथ। स्पष्ट रूप से, उस बिंदु पर वाहन की स्थिति जहाँ वेग शून्य तक पहुँचता है, प्रारंभिक स्थिति से अधिकतम दूरी होगी - इस समय के बाद, वेग ऋणात्मक हो जाएगा और वाहन उल्टा हो जाएगा। न्यूनतम के लिए भी यही सच है, एक वाहन के साथ जिसमें पहले तो बहुत ऋणात्मक वेग होता है लेकिन धनात्मक त्वरण होता है।
-* अगर <math>f^{\prime\prime}(x) = 0</math>, दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण बिंदु के बारे में कुछ नहीं कहता है <math>x</math>, एक संभावित विभक्ति बिंदु।
-दूसरा व्युत्पन्न इन परिणामों को उत्पन्न करने का कारण एक वास्तविक दुनिया सादृश्य के माध्यम से देखा जा सकता है। एक वाहन पर विचार करें जो पहले एक बड़े वेग से आगे बढ़ रहा है, लेकिन नकारात्मक त्वरण के साथ। स्पष्ट रूप से, उस बिंदु पर वाहन की स्थिति जहाँ वेग शून्य तक पहुँचता है, प्रारंभिक स्थिति से अधिकतम दूरी होगी - इस समय के बाद, वेग ऋणात्मक हो जाएगा और वाहन उल्टा हो जाएगा। न्यूनतम के लिए भी यही सच है, एक वाहन के साथ जिसमें पहले तो बहुत नकारात्मक वेग होता है लेकिन सकारात्मक त्वरण होता है।
 == सीमा ==
-दूसरे व्युत्पन्न के लिए एकल [[सीमा (गणित)]] लिखना संभव है:
+द्वितीय अवकलज के लिए एकल [[सीमा (गणित)]] लिखना संभव है:
 :<math>f''(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2}.</math>
-सीमा को [[दूसरा सममित व्युत्पन्न]] कहा जाता है।<ref name="Zygmund2002">{{cite book|author=A. Zygmund|title=Trigonometric Series|title-link= Trigonometric Series |year=2002|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-89053-3|pages=22–23}}</ref><ref>{{cite book
+इस सीमा को [[दूसरा सममित व्युत्पन्न|द्वितीय सममित अवकलज]] कहा जाता है।<ref name="Zygmund2002">{{cite book|author=A. Zygmund|title=Trigonometric Series|title-link= Trigonometric Series |year=2002|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-89053-3|pages=22–23}}</ref><ref>{{cite book
   | first= Brian S.
   | last= Thomson
@@ Line 73: / Line 66: @@
   | isbn= 0-8247-9230-0
   | page = 1
-}}</ref> ध्यान दें कि दूसरा सममित व्युत्पन्न तब भी मौजूद हो सकता है जब (सामान्य) दूसरा व्युत्पन्न नहीं होता है।
+}}</ref> ध्यान दें कि द्वितीय सममित अवकलज का अस्तित्व तब भी हो सकता है, जब (सामान्य) द्वितीय अवकलज का अस्तित्व नहीं होता है।
-दाईं ओर की अभिव्यक्ति को [[अंतर भागफल]]ों के अंतर भागफल के रूप में लिखा जा सकता है:
+दाईं ओर के व्यंजक को निम्न [[अंतर भागफल|अवकल भागफलों]] के अवकल भागफल के रूप में लिखा जा सकता है:
 :<math>\frac{f(x+h) - 2f(x) + f(x-h)}{h^2} = \frac{\frac{f(x+h) - f(x)}{h} - \frac{f(x) - f(x-h)}{h}}{h}.</math>
-इस सीमा को [[अनुक्रम (गणित)]] के दूसरे अंतर के निरंतर संस्करण के रूप में देखा जा सकता है।
+इस सीमा को [[अनुक्रम (गणित)|अनुक्रमों (गणित)]] के द्वितीय अंतर के सतत रूप में देखा जा सकता है।
-हालाँकि, उपरोक्त सीमा के अस्तित्व का अर्थ यह नहीं है कि function <math>f</math> दूसरा व्युत्पन्न है। ऊपर दी गई सीमा सिर्फ दूसरे व्युत्पन्न की गणना करने की संभावना देती है - लेकिन परिभाषा प्रदान नहीं करती है। एक प्रति उदाहरण [[साइन समारोह]] है <math>\sgn(x)</math>, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
+हालाँकि, उपरोक्त सीमा के अस्तित्व का अर्थ यह नहीं है कि फलन<math>f</math> के द्वितीय अवकलज का अस्तित्व है। ऊपर दी गई सीमा सिर्फ द्वितीय अवकलज की गणना करने की संभावना प्रदान करती है, लेकिन परिभाषा प्रदान नहीं करती है। इसका एक प्रति उदाहरण [[साइन समारोह|चिह्न फलन]] <math>\sgn(x)</math> है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 :<math>\sgn(x) = \begin{cases}
@@ Line 85: / Line 78: @@
 & \text{if } x = 0, \\
 & \text{if } x > 0. \end{cases}</math>
-साइन फ़ंक्शन शून्य पर निरंतर नहीं है, और इसलिए दूसरा व्युत्पन्न है <math>x=0</math> मौजूद नहीं होना। लेकिन उपरोक्त सीमा के लिए मौजूद है <math>x=0</math>:
+चिह्न फलन शून्य पर सतत नहीं है, अतः <math>x=0</math> के लिए द्वितीय अवकलज का अस्तित्व नहीं है। लेकिन <math>x=0</math> के लिए उपरोक्त सीमा का अस्तित्व हैː
 :<math>\begin{align}
@@ Line 92: / Line 85: @@
 \end{align}</math>
+== द्विघात सन्निकटन ==
+जिस प्रकार प्रथम अवकलज रेखीय सन्निकटन से संबंधित है, उसी प्रकार द्वितीय अवकलज एक फलन {{math|''f''}} के लिए सर्वोत्तम [[द्विघात सन्निकटन]] से संबंधित है। यह ऐसा द्विघात फलन है जिसका प्रथम और द्वितीय अवकलज, दिए गए बिंदु पर {{math|''f''}} के अवकलज के समान है। बिंदु {{math|''x'' {{=}} ''a''}} के निकट किसी फलन {{math|''f''}} के लिए सर्वोत्तम द्विघात सन्निकटन का सूत्र निम्न है
+:<math>f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \tfrac12 f''(a)(x-a)^2.</math>
+यह द्विघात सन्निकटन {{math|''x''&nbsp;{{=}}&nbsp;''a''}} पर केन्द्रित फलन के लिए द्वितीय कोटि का [[टेलर बहुपद]] है।
-== [[द्विघात सन्निकटन]] ==
+== द्वितीय अवकलज के अभिलक्षणिक मान (आइगेन मान) और अभिलक्षणिक सदिश (आइगेन सदिश) ==
-जिस प्रकार पहला अवकलज रेखीय सन्निकटन से संबंधित होता है, उसी प्रकार दूसरा अवकलज किसी फलन के सर्वोत्तम द्विघात सन्निकटन से संबंधित होता है। {{math|''f''}}. यह द्विघात फलन है जिसका पहला और दूसरा अवकलज वही है जो का है {{math|''f''}} एक निश्चित बिंदु पर। किसी फ़ंक्शन के सर्वोत्तम द्विघात सन्निकटन का सूत्र {{math|''f''}} बिंदु के आसपास {{math|''x'' {{=}} ''a''}} है
-:<math>f(x) \approx f(a) + f'(a)(x-a) + \tfrac12 f''(a)(x-a)^2.</math>
-यह द्विघात सन्निकटन पर केन्द्रित फलन के लिए दूसरे क्रम का [[टेलर बहुपद]] है {{math|''x''&nbsp;{{=}}&nbsp;''a''}}.
-== [[दूसरे व्युत्पन्न के eigenvalues और eigenvectors]] ==
+सीमा शर्तों के कई संयोजनों के लिए [[दूसरे व्युत्पन्न के eigenvalues और eigenvectors|द्वितीय अवकलज के अभिलक्षणिक मानों और अभिलक्षणिक सदिशों]] के लिए स्पष्ट सूत्र प्राप्त किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, माना <math>x \in [0,L]</math> और सजातीय [[डिरिचलेट सीमा की स्थिति|डिरिक्ले सीमा शर्तें]] (अर्थात्, <math> v(0)=v(L)=0</math>), [[eigenvalues|अभिलक्षणिक मान]] <math> \lambda_j = -\tfrac{j^2 \pi^2}{L^2}</math>  और संगत [[eigenvectors|अभिलक्षणिक सदिश]] (जिसे [[eigenfunctions|अभिलक्षणिक फलन]] भी कहा जाता है) <math> v_j(x) = \sqrt{\tfrac{2}{L}} \sin\left(\tfrac{j \pi x}{L}\right) </math> हैं। यहाँ, <math> v''_j(x) = \lambda_j v_j(x), \, j=1,\ldots,\infty.</math>
-सीमा शर्तों के कई संयोजनों के लिए दूसरे व्युत्पन्न के eigenvalues और eigenvectors के लिए स्पष्ट सूत्र प्राप्त किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए मान लेना <math>x \in [0,L]</math> और सजातीय [[डिरिचलेट सीमा की स्थिति]] (यानी, <math> v(0)=v(L)=0</math>), [[eigenvalues]] हैं <math> \lambda_j = -\tfrac{j^2 \pi^2}{L^2}</math> और संबंधित [[eigenvectors]] (जिसे [[eigenfunctions]] भी कहा जाता है) हैं <math> v_j(x) = \sqrt{\tfrac{2}{L}} \sin\left(\tfrac{j \pi x}{L}\right) </math>. यहाँ, <math> v''_j(x) = \lambda_j v_j(x), \, j=1,\ldots,\infty.</math>
+अन्य प्रचलित स्थितियों के लिए, द्वितीय अवकलज के अभिलक्षणिक मान और अभिलक्षणिक सदिश देखें।
-अन्य प्रसिद्ध मामलों के लिए, दूसरे डेरिवेटिव के आइगेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर देखें।
-== उच्च आयामों का सामान्यीकरण ==
+== उच्च विमाओं का सामान्यीकरण ==
 === हेसियन ===
-{{main|Hessian matrix}}
+{{main|हेसियन आव्यूह}}
-दूसरा व्युत्पन्न दूसरे आंशिक डेरिवेटिव की धारणा के माध्यम से उच्च आयामों को सामान्य करता है। किसी फलन f: 'R' के लिए<sup>3</sup> → R, इनमें तीन सेकंड-ऑर्डर आंशिक शामिल हैं
+द्वितीय अवकलज, द्वितीय आंशिक अवकलजों की धारणा के माध्यम से उच्च विमाओं का सामान्यीकरण करता है। एक फलन f: '''R<sup>3</sup>''' → '''R''' के लिए, इनमें तीन द्वितीय- कोटि के आंशिक
 :<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}, \text{ and }\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}</math>
@@ Line 113: / Line 107: @@
 :<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial y}, \; \frac{\partial^2 f}{\partial x \, \partial z}, \text{ and }\frac{\partial^2 f}{\partial y \, \partial z}.</math>
-यदि फ़ंक्शन की छवि और डोमेन दोनों में क्षमता है, तो ये एक साथ एक [[सममित मैट्रिक्स]] में फिट होते हैं जिसे हेसियन के रूप में जाना जाता है। इस मैट्रिक्स के [[eigenvalue]]s दूसरे व्युत्पन्न परीक्षण के एक बहुभिन्नरूपी एनालॉग को लागू करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। ([[दूसरा आंशिक व्युत्पन्न परीक्षण]] भी देखें।)
+सम्मिलित हैं, यदि फलन के प्रतिबिम्ब और प्रांत दोनों में क्षमता है, तो ये एक साथ एक [[सममित मैट्रिक्स|सममित आव्यूह]] में समायोजित होते हैं, जिसे '''हेसियन''' के रूप में जाना जाता है। इस आव्यूह के [[eigenvalue|अभिलक्षणिक मानों]] का उपयोग द्वितीय अवकलज परीक्षण के एक बहुचर एनालॉग को लागू करने के लिए किया जा सकता है। ([[दूसरा आंशिक व्युत्पन्न परीक्षण|द्वितीय आंशिक अवकलज परीक्षण]] भी देखें।)
 === लाप्लासियन ===
-{{main|Laplace operator}}
+{{main|लाप्लास संकारक}}
-दूसरे व्युत्पन्न का एक अन्य सामान्य सामान्यीकरण लाप्लासियन है। यह डिफरेंशियल ऑपरेटर है <math>\nabla^2</math> (या <math>\Delta</math>) द्वारा परिभाषित
+द्वितीय अवकलज का एक अन्य साधारण सामान्यीकरण लाप्लासियन है। यह डिफरेंशियल संकारक <math>\nabla^2</math> (या <math>\Delta</math>) है जो निम्न द्वारा परिभाषित है
 :<math>\nabla^2 f = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.</math>
-किसी फ़ंक्शन का लाप्लासियन [[ग्रेडियेंट]] के [[विचलन]] और हेस्सियन मैट्रिक्स के [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] के बराबर है।
+किसी फलन का लाप्लासियन [[ग्रेडियेंट]] के [[विचलन]] और हेसियन आव्यूह के [[ट्रेस (रैखिक बीजगणित)]] के बराबर है।
 == यह भी देखें ==
-* [[चंचलता]], [[तात्कालिक चरण]] का दूसरा व्युत्पन्न
+* [[चंचलता|चपलता]], [[तात्कालिक चरण|तात्क्षणिक चरण]] का द्वितीय अवकलज
-* [[परिमित अंतर]], दूसरे व्युत्पन्न का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जाता है
+* [[परिमित अंतर|परिमित अवकल]], इसका उपयोग द्वितीय अवकलज के सन्निकटन के लिए किया जाता है
-* दूसरा आंशिक व्युत्पन्न परीक्षण
+* द्वितीय आंशिक अवकलज परीक्षण
-* [[दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता]]
+* [[दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता|द्वितीय अवकलज की समरूपता]]
 == संदर्भ ==
@@ Line 302: / Line 297: @@
 == बाहरी संबंध ==
 *[http://mathformeremortals.wordpress.com/2013/01/12/a-numerical-second-derivative-from-three-points/ Discrete Second Derivative from Unevenly Spaced Points]
-[[Category: गणितीय विश्लेषण]] [[Category: अंतर कलन]] [[Category: कार्य और मानचित्रण]] [[Category: पथरी में रैखिक संचालक]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
 [[Category:Created On 03/02/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
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