द्वितीय अवकलज

द्विघात फलन का द्वितीय अवकलज नियत होता है।

कलन में, किसी फलन f का द्वितीय अवकलज, या द्वितीय कोटि का अवकलज, f के अवकलज का अवकलज होता है। साधारणतया, द्वितीय अवकलज यह मापता है कि राशि के परिवर्तन की दर स्वयं किस प्रकार परिवर्तित हो रही है; उदाहरण के लिए, समय के सापेक्ष किसी वस्तु की स्थिति का द्वितीय अवकलज वस्तु का तात्क्षणिक त्वरण, या समय के सापेक्ष वस्तु के वेग परिवर्तन की दर है। लीबनिज संकेतन में:

$\mathbf {a} ={\frac {d\mathbf {v} }{dt}}={\frac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}},$

जहाँ a त्वरण, v वेग, t समय, x स्थिति, और d तात्क्षणिक "डेल्टा" या परिवर्तन है। अंतिम व्यंजक ${\tfrac {d^{2}{\boldsymbol {x}}}{dt^{2}}}$ समय के सापेक्ष स्थिति (x) का द्वितीय अवकलज है।

किसी फलन के आलेख पर, द्वितीय अवकलज आलेख की वक्रता या अवतलता के संगत होता है। धनात्मक द्वितीय अवकलज वाले एक फलन का आलेख ऊपर की ओर अवतल होता है, जबकि ऋणात्मक द्वितीय अवकलज वाले फलन का आलेख विपरीत प्रकार से वक्रित होता है।

द्वितीय अवकलज घात नियम

प्रथम अवकलज के लिए घात नियम को दो बार प्रयुक्त करने पर द्वितीय अवकलज का घात नियम निम्नानुसार उत्पन्न होता है:

${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}{\frac {d}{dx}}\left[x^{n}\right]={\frac {d}{dx}}\left[nx^{n-1}\right]=n{\frac {d}{dx}}\left[x^{n-1}\right]=n(n-1)x^{n-2}.$

संकेतन

Further information: अवकलन के लिए संकेतन

किसी फलन $f(x)$ का द्वितीय अवकलज सामान्यतया $f''(x)$ द्वारा निरूपित किया जाता है। अर्थात्:

$f''=\left(f'\right)'$

अवकलज के लिए लीबनिज़ के संकेतन का उपयोग करते समय, स्वतंत्र चर x के सापेक्ष परतंत्र चर y के द्वितीय अवकलज को इस प्रकार लिखा जाता है

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}.$

यह संकेतन निम्नलिखित सूत्र से व्युत्पन्न किया गया है:

${\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}\,=\,{\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right).$

वैकल्पिक संकेतन

जैसा कि पिछले खंड में वर्णन है, कि द्वितीय अवकलज के लिए मानक लीबनिज़ संकेतन ${\textstyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}}$ है। हालाँकि, यह रूप बीजगणितीय रूप से हेरफेर करने योग्य नहीं है। अर्थात्, हालाँकि यह अवकलों की एक भिन्न के समान दिखता है, परन्तु भिन्न को टुकड़ों में विभाजित नहीं किया जा सकता है, पदों को निरस्त नहीं किया जा सकता है, आदि। हालाँकि, द्वितीय अवकलज के लिए एक वैकल्पिक सूत्र का उपयोग करके इस सीमा को दूर किया जा सकता है। इसे पहले अवकलज पर भागफल नियम को प्रयुक्त करके प्राप्त किया जा सकता है। ऐसा करने से निम्न सूत्र प्राप्त होता है:

$y''(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {dy}{dx}}\right)={\frac {d\left({\frac {dy}{dx}}\right)}{dx}}={\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}-{\frac {dy}{dx}}{\frac {d^{2}x}{dx^{2}}}$

इस सूत्र में, $du$, $u$ पर प्रयुक्त अवकल संकारक, अर्थात्, $d(u)$ को निरूपित करता है, $d^{2}u$ अवकल संकारक की दो बार प्रयुक्ति, अर्थात् $d(d(u))$ को निरूपित करता है, और $du^{2}$, $u$ पर प्रयुक्त किए गए अवकल संकारक के वर्ग, अर्थात् $(d(u))^{2}$ को संदर्भित करता है।

जब इसे इस प्रकार (और ऊपर दिए गए अंकन के अर्थ को ध्यान में रखते हुए) लिखा जाता है, तो द्वितीय अवकलज के पदों में किसी अन्य बीजगणितीय पद के रूप में स्वतंत्र रूप से हेर-फेर किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, द्वितीय अवकलज के लिए प्रतिलोम फलन सूत्र को उपरोक्त सूत्र के बीजगणितीय हेर-फेर के साथ-साथ द्वितीय अवकलज के लिए श्रृंखला नियम से भी प्राप्त किया जा सकता है। क्या अंकन में इस प्रकार का परिवर्तन करना समस्या के लिए पर्याप्त रूप से सहायक है, इस पर अभी भी विवाद चल रहा है।

उदाहरण

दिये गए फलन

$f(x)=x^{3},$

का अवकलज

$f^{\prime }(x)=3x^{2}.$

फलन है, फलन f का द्वितीय अवकलज, $f^{\prime }$ का अवकलज है, अर्थात्

$f^{\prime \prime }(x)=6x.$

आलेख से संबंध

$f(x)=\sin(2x)$ का $-\pi /4$ से $5\pi /4$ तक का एक आलेख। यहाँ स्पर्श रेखा का रंग नीला (जहाँ वक्र ऊपर की ओर अवतल है), हरा (जहाँ वक्र नीचे की ओर अवतल है) और नतिपरिवर्तन बिंदुओं (0, $\pi$/2, और $\pi$) पर लाल है।

अवतलता

फलन f के द्वितीय अवकलज का उपयोग f के आलेख की अवतलता को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है। धनात्मक द्वितीय अवकलज वाला एक फलन ऊपर की ओर अवतल (जिसे उत्तल भी कहा जाता है) होता है, जिसका अर्थ है कि स्पर्शरेखा, फलन के आलेख के नीचे स्थित होती है। इसी प्रकार, ऋणात्मक द्वितीय अवकलज वाला एक फलन नीचे की ओर अवतल (जिसे केवल अवतल भी कहा जाता है) होता है, और इसकी स्पर्शरेखाएँ फलन के आलेख के ऊपर स्थित होती हैं।

नतिपरिवर्तन बिंदु

Main article: नतिपरिवर्तन बिंदु

यदि किसी फलन का द्वितीय अवकलज, चिह्न परिवर्तित करता है, तो फलन का आलेख नीचे की ओर अवतल से ऊपर की ओर अवतल या इसके विपरीत परिवर्तित होता है। जिस बिंदु पर यह घटना घटित होती है, उसे नतिपरिवर्तन बिंदु कहा जाता है। माना द्वितीय अवकलज सतत है, तो इसे किसी भी नतिपरिवर्तन बिंदु पर शून्य मान ग्रहण करना चाहिए, हालाँकि शून्य द्वितीय अवकलज वाला प्रत्येक बिंदु अनिवार्य रूप से नतिपरिवर्तन बिंदु नहीं होता है।

द्वितीय अवकलज परीक्षण

Main article: द्वितीय अवकलज परीक्षण

द्वितीय अवकलज और आलेख के बीच के संबंध का उपयोग यह परीक्षण करने के लिए किया जा सकता है कि क्या फलन के लिए एक स्थिर बिंदु (अर्थात्, एक बिंदु, जहाँ $f'(x)=0$) स्थानीय उच्चिष्ठ या स्थानीय निम्निष्ठ है। विशेष रूप से,

• यदि $f^{\prime \prime }(x)<0$, तब $f$ में $x$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ है
• यदि $f^{\prime \prime }(x)>0$, तब $f$ में $x$ पर स्थानीय निम्निष्ठ है
• यदि $f^{\prime \prime }(x)=0$, तब द्वितीय अवकलज परीक्षण बिंदु $x$, संभावित नतिपरिवर्तन बिंदु, के सम्बन्ध में कुछ नहीं कहता है।

द्वितीय अवकलज इन परिणामों को उत्पन्न करने का कारण एक वास्तविक दुनिया सादृश्य के माध्यम से देखा जा सकता है। एक वाहन पर विचार करें जो पहले एक बड़े वेग से आगे बढ़ रहा है, लेकिन ऋणात्मक त्वरण के साथ। स्पष्ट रूप से, उस बिंदु पर वाहन की स्थिति जहाँ वेग शून्य तक पहुँचता है, प्रारंभिक स्थिति से अधिकतम दूरी होगी - इस समय के बाद, वेग ऋणात्मक हो जाएगा और वाहन उल्टा हो जाएगा। न्यूनतम के लिए भी यही सच है, एक वाहन के साथ जिसमें पहले तो बहुत ऋणात्मक वेग होता है लेकिन धनात्मक त्वरण होता है।

सीमा

द्वितीय अवकलज के लिए एकल सीमा (गणित) लिखना संभव है:

$f''(x)=\lim _{h\to 0}{\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}.$

इस सीमा को द्वितीय सममित अवकलज कहा जाता है। ध्यान दें कि द्वितीय सममित अवकलज का अस्तित्व तब भी हो सकता है, जब (सामान्य) द्वितीय अवकलज का अस्तित्व नहीं होता है।

दाईं ओर के व्यंजक को निम्न अवकल भागफलों के अवकल भागफल के रूप में लिखा जा सकता है:

${\frac {f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^{2}}}={\frac {{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}-{\frac {f(x)-f(x-h)}{h}}}{h}}.$

इस सीमा को अनुक्रमों (गणित) के द्वितीय अंतर के सतत रूप में देखा जा सकता है।

हालाँकि, उपरोक्त सीमा के अस्तित्व का अर्थ यह नहीं है कि फलन$f$ के द्वितीय अवकलज का अस्तित्व है। ऊपर दी गई सीमा सिर्फ द्वितीय अवकलज की गणना करने की संभावना प्रदान करती है, लेकिन परिभाषा प्रदान नहीं करती है। इसका एक प्रति उदाहरण चिह्न फलन $\operatorname {sgn}(x)$ है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$\operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}$

चिह्न फलन शून्य पर सतत नहीं है, अतः $x=0$ के लिए द्वितीय अवकलज का अस्तित्व नहीं है। लेकिन $x=0$ के लिए उपरोक्त सीमा का अस्तित्व हैː

${\begin{aligned}\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(0+h)-2\operatorname {sgn}(0)+\operatorname {sgn}(0-h)}{h^{2}}}&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)-2\cdot 0+\operatorname {sgn}(-h)}{h^{2}}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {\operatorname {sgn}(h)+(-\operatorname {sgn}(h))}{h^{2}}}=\lim _{h\to 0}{\frac {0}{h^{2}}}=0.\end{aligned}}$

द्विघात सन्निकटन

जिस प्रकार प्रथम अवकलज रेखीय सन्निकटन से संबंधित है, उसी प्रकार द्वितीय अवकलज एक फलन f के लिए सर्वोत्तम द्विघात सन्निकटन से संबंधित है। यह ऐसा द्विघात फलन है जिसका प्रथम और द्वितीय अवकलज, दिए गए बिंदु पर f के अवकलज के समान है। बिंदु x = a के निकट किसी फलन f के लिए सर्वोत्तम द्विघात सन्निकटन का सूत्र निम्न है

$f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)+{\tfrac {1}{2}}f''(a)(x-a)^{2}.$

यह द्विघात सन्निकटन x = a पर केन्द्रित फलन के लिए द्वितीय कोटि का टेलर बहुपद है।

द्वितीय अवकलज के अभिलक्षणिक मान (आइगेन मान) और अभिलक्षणिक सदिश (आइगेन सदिश)

सीमा शर्तों के कई संयोजनों के लिए द्वितीय अवकलज के अभिलक्षणिक मानों ​​​​और अभिलक्षणिक सदिशों के लिए स्पष्ट सूत्र प्राप्त किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, माना $x\in [0,L]$ और सजातीय डिरिक्ले सीमा शर्तें (अर्थात्, $v(0)=v(L)=0$), अभिलक्षणिक मान $\lambda _{j}=-{\tfrac {j^{2}\pi ^{2}}{L^{2}}}$ ​​​ और संगत अभिलक्षणिक सदिश (जिसे अभिलक्षणिक फलन भी कहा जाता है) $v_{j}(x)={\sqrt {\tfrac {2}{L}}}\sin \left({\tfrac {j\pi x}{L}}\right)$ हैं। यहाँ, $v''_{j}(x)=\lambda _{j}v_{j}(x),\,j=1,\ldots ,\infty .$

अन्य प्रचलित स्थितियों के लिए, द्वितीय अवकलज के अभिलक्षणिक मान और अभिलक्षणिक सदिश देखें।

उच्च विमाओं का सामान्यीकरण

हेसियन

Main article: हेसियन आव्यूह

द्वितीय अवकलज, द्वितीय आंशिक अवकलजों की धारणा के माध्यम से उच्च विमाओं का सामान्यीकरण करता है। एक फलन f: R³ → R के लिए, इनमें तीन द्वितीय- कोटि के आंशिक

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}},{\text{ and }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}$

और मिश्रित आंशिक

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}},\;{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial z}},{\text{ and }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial z}}.$

सम्मिलित हैं, यदि फलन के प्रतिबिम्ब और प्रांत दोनों में क्षमता है, तो ये एक साथ एक सममित आव्यूह में समायोजित होते हैं, जिसे हेसियन के रूप में जाना जाता है। इस आव्यूह के अभिलक्षणिक मानों का उपयोग ​​द्वितीय अवकलज परीक्षण के एक बहुचर एनालॉग को लागू करने के लिए किया जा सकता है। (द्वितीय आंशिक अवकलज परीक्षण भी देखें।)

लाप्लासियन

Main article: लाप्लास संकारक

द्वितीय अवकलज का एक अन्य साधारण सामान्यीकरण लाप्लासियन है। यह डिफरेंशियल संकारक $\nabla ^{2}$ (या $\Delta$) है जो निम्न द्वारा परिभाषित है

$\nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.$

किसी फलन का लाप्लासियन ग्रेडियेंट के विचलन और हेसियन आव्यूह के ट्रेस (रैखिक बीजगणित) के बराबर है।

यह भी देखें

• चपलता, तात्क्षणिक चरण का द्वितीय अवकलज
• परिमित अवकल, इसका उपयोग द्वितीय अवकलज के सन्निकटन के लिए किया जाता है
• द्वितीय आंशिक अवकलज परीक्षण
• द्वितीय अवकलज की समरूपता

अग्रिम पठन

प्रिंट

• Anton, Howard; Bivens, Irl; Davis, Stephen (February 2, 2005), Calculus: Early Transcendentals Single and Multivariable (8th ed.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-47244-5
• Apostol, Tom M. (June 1967), Calculus, Vol. 1: One-Variable Calculus with an Introduction to Linear Algebra, vol. 1 (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1
• Apostol, Tom M. (June 1969), Calculus, Vol. 2: Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications, vol. 1 (2nd ed.), Wiley, ISBN 978-0-471-00007-5
• Eves, Howard (January 2, 1990), An Introduction to the History of Mathematics (6th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-029558-4
• Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; Edwards, Bruce H. (February 28, 2006), Calculus: Early Transcendental Functions (4th ed.), Houghton Mifflin Company, ISBN 978-0-618-60624-5
• Spivak, Michael (September 1994), Calculus (3rd ed.), Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-89-8
• Stewart, James (December 24, 2002), Calculus (5th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-534-39339-7
• Thompson, Silvanus P. (September 8, 1998), Calculus Made Easy (Revised, Updated, Expanded ed.), New York: St. Martin's Press, ISBN 978-0-312-18548-0

ऑनलाइन किताबें

• Crowell, Benjamin (2003), Calculus
• Garrett, Paul (2004), Notes on First-Year Calculus
• Hussain, Faraz (2006), Understanding Calculus
• Keisler, H. Jerome (2000), Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals
• Mauch, Sean (2004), Unabridged Version of Sean's Applied Math Book, archived from the original on 2006-04-15
• Sloughter, Dan (2000), Difference Equations to Differential Equations
• Strang, Gilbert (1991), Calculus
• Stroyan, Keith D. (1997), A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus, archived from the original on 2005-09-11
• Wikibooks, Calculus

बाहरी संबंध

• Discrete Second Derivative from Unevenly Spaced Points