समन्वय मुक्त: Difference between revisions
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समन्वय-मुक्त, या घटक-मुक्त, वैज्ञानिक सिद्धांत या गणितीय विषय का प्रशोधन किसी विशेष समन्वय प्रणाली के संदर्भ के बिना किसी भी प्रकार के कई गुना पर अपनी अवधारणा विकसित करता है। | |||
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समन्वय-मुक्त | समन्वय-मुक्त प्रशोधन सामान्य रूप से समीकरणों की सरल प्रणालियों के लिए स्वीकृति देते हैं और कुछ प्रकार की असंगति को स्वाभाविक रूप से बाधित करते हैं, निर्देशांक की विशेष प्रणाली के अंदर इन समीकरणों का मूल्यांकन करने के लिए आवश्यक विस्तृत सूत्रों से कुछ अमूर्त की कीमत पर अधिक [[गणितीय लालित्य|गणितीय रम्यता]] की स्वीकृति देते हैं। | ||
रम्यता के अतिरिक्त, समन्वय-मुक्त प्रशोधन कुछ अनुप्रयोगों में यह प्रमाणित करने के लिए महत्वपूर्ण हैं कि दी गई परिभाषा अच्छी तरह से तैयार की गई है। उदाहरण के लिए, वेक्टर स्थान के लिए <math>V</math> के आधार पर एक सदिश स्थान <math>v_1, ..., v_n</math>, यह द्विक स्थान <math>V^*</math> को प्रतीक के औपचारिक विस्तार के रूप में बनाना आकर्षक हो सकता है। <math>v_1^*, ..., v_n^*</math> वर्ग के साथ <math>\langle \sum \alpha_i v_i , \sum \beta_i v_i^* \rangle := \sum \alpha_i \beta_i</math>, लेकिन यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि यह निर्माण चयनित प्रारंभिक समन्वय प्रणाली से मुक्त है। इसके अतिरिक्त, निर्माण करना सबसे अच्छा है <math>V^*</math> वर्ग के साथ रैखिक कार्यात्मकताओं के स्थान के रूप में,<math>\langle v, \varphi \rangle = \varphi(v)</math>, का निर्माण करना सबसे अच्छा है और फिर इस निर्माण से समन्वय-आधारित सूत्र प्राप्त करें। | |||
हालाँकि, यह कभी-कभी समन्वय-मुक्त प्रशोधन से आगे बढ़ने के लिए बहुत जटिल हो सकता है, या समन्वय-मुक्त प्रशोधन विशिष्टता की प्रत्याभुति दे सकता है, लेकिन वर्णित वस्तु का स्थिति नहीं है, या समन्वय-मुक्त प्रशोधन सम्मिलित नहीं हो सकता है। पिछली स्थिति के उदाहरण के रूप में, मानचित्रण <math>v_i \mapsto v_i^*</math> परिमित-आयामी सदिश स्थान और उसके द्वैत के बीच एक सामान्य समरूपता को इंगित करता है लेकिन यह समरूपता किसी भी समन्वय-मुक्त परिभाषा द्वारा प्रमाणित नहीं है। दूसरी स्थिति के उदाहरण के रूप में, [[योजनाओं के फाइबर उत्पाद]] के निर्माण के सामान्य तरीके में एफ़िन पैच के साथ [[ग्लूइंग स्वयंसिद्ध]] सम्मिलित है।<ref>{{cite book |last=Hartshorne |first=Robin |date=1977 |title=Algebraic Geometry |publisher=Springer |page=87 |isbn=978-0387902449}}</ref> इस निर्माण की अशुद्धता को कम करने के लिए, फाइबर उत्पाद तब सुविधाजनक [[सार्वभौमिक संपत्ति|सार्वभौमिक गुण]] के रूप में चित्रित किया जाता है, और चयन गए प्रारम्भिक एफ़िन पैच से स्वतंत्र प्रमाणित होता है। | |||
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[[डेसकार्टेस]] द्वारा | [[डेसकार्टेस]] (फ्रांसीसी दार्शनिक व गणितज्ञ) द्वारा विश्लेषणात्मक [[ज्यामिति]] के विकास से पहले समन्वय-मुक्त प्रशोधन ज्यामिति के लिए एकमात्र उपलब्ध दृष्टिकोण थे (और अब [[सिंथेटिक ज्यामिति|सांश्लेषिक ज्यामिति]] के रूप में जाना जाता है)। सामान्य रूप से समन्वय-आधारित प्रदर्शनी के कई शताबदी के बाद, आधुनिक प्रवृत्ति सामान्य रूप से छात्रों को समन्वय-मुक्त प्रशोधन के लिए प्रारंभ करने के लिए प्रस्तुत करती है, और फिर समन्वय-आधारित प्रशोधन को इसके विपरीत समन्वय-मुक्त प्रशोधन से प्राप्त करने के लिए होती है। | ||
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जिन क्षेत्रों को अब | जिन क्षेत्रों को अब प्रायः समन्वय-मुक्त प्रशोधन के साथ प्रस्तुत किया जाता है, उनमें [[वेक्टर पथरी|वेक्टर कलन]], [[टेन्सर|प्रदिश]], [[अंतर ज्यामिति|अवकल ज्यामिति]] और [[कंप्यूटर चित्रलेख|अभिकलित्र आलेखिकी]] सम्मिलित हैं।<ref>{{cite book|last1=DeRose|first1=Tony D.|title=Three-Dimensional Computer Graphics: A Coordinate-Free Approach|url=http://graphics.pixar.com/people/derose/publications/GeometryBook/|accessdate=25 September 2017}}</ref> | ||
भौतिक विज्ञान में, भौतिक सिद्धांतों के समन्वय-मुक्त उपचारों का स्थिति [[सामान्य सहप्रसरण|सामान्य सहसंयोजक]] के सिद्धांत का परिणाम है। | |||
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* [[ज्यामिति की नींव]] | * [[ज्यामिति की नींव]] | ||
* [[आधार परिवर्तन]] | * [[आधार परिवर्तन]] | ||
* [[समन्वय की स्थिति]] | * [[समन्वय की स्थिति]] | ||
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* [[पृष्ठभूमि स्वतंत्रता]] | * [[पृष्ठभूमि स्वतंत्रता|परिप्रेक्ष्य मुक्तता]] | ||
* [[व्यर्थ टोपोलॉजी]] | * [[व्यर्थ टोपोलॉजी|निरर्थक सांस्थिति]] | ||
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समन्वय-मुक्त, या घटक-मुक्त, वैज्ञानिक सिद्धांत या गणितीय विषय का प्रशोधन किसी विशेष समन्वय प्रणाली के संदर्भ के बिना किसी भी प्रकार के कई गुना पर अपनी अवधारणा विकसित करता है।
लाभ
समन्वय-मुक्त प्रशोधन सामान्य रूप से समीकरणों की सरल प्रणालियों के लिए स्वीकृति देते हैं और कुछ प्रकार की असंगति को स्वाभाविक रूप से बाधित करते हैं, निर्देशांक की विशेष प्रणाली के अंदर इन समीकरणों का मूल्यांकन करने के लिए आवश्यक विस्तृत सूत्रों से कुछ अमूर्त की कीमत पर अधिक गणितीय रम्यता की स्वीकृति देते हैं।
रम्यता के अतिरिक्त, समन्वय-मुक्त प्रशोधन कुछ अनुप्रयोगों में यह प्रमाणित करने के लिए महत्वपूर्ण हैं कि दी गई परिभाषा अच्छी तरह से तैयार की गई है। उदाहरण के लिए, वेक्टर स्थान के लिए के आधार पर एक सदिश स्थान , यह द्विक स्थान को प्रतीक के औपचारिक विस्तार के रूप में बनाना आकर्षक हो सकता है। वर्ग के साथ , लेकिन यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि यह निर्माण चयनित प्रारंभिक समन्वय प्रणाली से मुक्त है। इसके अतिरिक्त, निर्माण करना सबसे अच्छा है वर्ग के साथ रैखिक कार्यात्मकताओं के स्थान के रूप में,, का निर्माण करना सबसे अच्छा है और फिर इस निर्माण से समन्वय-आधारित सूत्र प्राप्त करें।
हालाँकि, यह कभी-कभी समन्वय-मुक्त प्रशोधन से आगे बढ़ने के लिए बहुत जटिल हो सकता है, या समन्वय-मुक्त प्रशोधन विशिष्टता की प्रत्याभुति दे सकता है, लेकिन वर्णित वस्तु का स्थिति नहीं है, या समन्वय-मुक्त प्रशोधन सम्मिलित नहीं हो सकता है। पिछली स्थिति के उदाहरण के रूप में, मानचित्रण परिमित-आयामी सदिश स्थान और उसके द्वैत के बीच एक सामान्य समरूपता को इंगित करता है लेकिन यह समरूपता किसी भी समन्वय-मुक्त परिभाषा द्वारा प्रमाणित नहीं है। दूसरी स्थिति के उदाहरण के रूप में, योजनाओं के फाइबर उत्पाद के निर्माण के सामान्य तरीके में एफ़िन पैच के साथ ग्लूइंग स्वयंसिद्ध सम्मिलित है।[1] इस निर्माण की अशुद्धता को कम करने के लिए, फाइबर उत्पाद तब सुविधाजनक सार्वभौमिक गुण के रूप में चित्रित किया जाता है, और चयन गए प्रारम्भिक एफ़िन पैच से स्वतंत्र प्रमाणित होता है।
इतिहास
डेसकार्टेस (फ्रांसीसी दार्शनिक व गणितज्ञ) द्वारा विश्लेषणात्मक ज्यामिति के विकास से पहले समन्वय-मुक्त प्रशोधन ज्यामिति के लिए एकमात्र उपलब्ध दृष्टिकोण थे (और अब सांश्लेषिक ज्यामिति के रूप में जाना जाता है)। सामान्य रूप से समन्वय-आधारित प्रदर्शनी के कई शताबदी के बाद, आधुनिक प्रवृत्ति सामान्य रूप से छात्रों को समन्वय-मुक्त प्रशोधन के लिए प्रारंभ करने के लिए प्रस्तुत करती है, और फिर समन्वय-आधारित प्रशोधन को इसके विपरीत समन्वय-मुक्त प्रशोधन से प्राप्त करने के लिए होती है।
अनुप्रयोग
जिन क्षेत्रों को अब प्रायः समन्वय-मुक्त प्रशोधन के साथ प्रस्तुत किया जाता है, उनमें वेक्टर कलन, प्रदिश, अवकल ज्यामिति और अभिकलित्र आलेखिकी सम्मिलित हैं।[2]
भौतिक विज्ञान में, भौतिक सिद्धांतों के समन्वय-मुक्त उपचारों का स्थिति सामान्य सहसंयोजक के सिद्धांत का परिणाम है।
यह भी देखें
- सामान्य सहसंयोजक
- ज्यामिति की नींव
- आधार परिवर्तन
- समन्वय की स्थिति
- प्रदिश का घटक-मुक्त प्रशोधन
- परिप्रेक्ष्य मुक्तता
- निरर्थक सांस्थिति
संदर्भ
- ↑ Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Springer. p. 87. ISBN 978-0387902449.
- ↑ DeRose, Tony D. Three-Dimensional Computer Graphics: A Coordinate-Free Approach. Retrieved 25 September 2017.
