घन फलन

Not to be confused with Cubic equation.

एक फ़ंक्शन के 3 वास्तविक संख्या रूट के साथ एक क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ (जहां वक्र क्षैतिज अक्ष को पार करता है - जहां y = 0)।दिखाए गए मामले में दो महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) हैं।यहाँ कार्य है f(x) = (x³ + 3x² − 6x − 8)/4।

गणित में, एक घन फलन रूप का एक फलन है $f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$

जहाँ गुणांक a, b, c और d सम्मिश्र संख्याएँ हैं, और चर x वास्तविक मान लेता है, और $a\neq 0$। दूसरे शब्दों में, यह डिग्री तीन का बहुपद फलन और वास्तविक फलन दोनों है।विशेष रूप से, डोमेन और कोडोमेन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय हैं।

f(x) = 0 स्थापन करना प्रपत्र का घन समीकरण उत्पन्न करता है

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,$

जिनके हल फलन के रूट्स कहलाते हैं।

एक घन फलन के या तो एक या तीन वास्तविक रूट्स होते हैं (जो भिन्न नहीं हो सकते हैं); सभी विषम-डिग्री बहुपद का कम से कम एक वास्तविक रूट होता है।

घन फलन के लेखाचित्र (ग्राफ़) में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है। इसके दो महत्वपूर्ण बिंदु हो सकते हैं, एक स्थानीय न्यूनतम और एक स्थानीय अधिकतम। अन्यथा, एक घन फलन एकदिष्ट (मोनोटोनिक) है। एक घन फलन का लेखाचित्र इसके विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है; यही है, अर्थात्, यह इस बिंदु के चारों ओर एक आधे चक्कर के घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है। एक अफ़िन परिवर्तन तक, घन फलन के लिए केवल तीन संभावित लेखाचित्र हैं।

घन प्रक्षेप के लिए घन फलन मौलिक हैं।

इतिहास

Main article: घन समीकरण § इतिहास

महत्वपूर्ण और विभक्ति अंक

The roots, stationary points, inflection point and concavity of a cubic polynomial x³ − 3x² − 144x + 432 (black line) and its first and second derivatives (red and blue).

घन फलन के महत्वपूर्ण बिंदु इसके स्थिर बिंदु हैं, अर्थात वे बिंदु जहां फलन का ढलान शून्य है। इस प्रकार घन फलन f के महत्वपूर्ण बिंदु द्वारा परिभाषित किया गया है

f(x) = ax³ + bx² + cx + d,

x के मानों पर होता है जैसे कि व्युत्पन्न

$3ax^{2}+2bx+c=0$

घन फलन का शून्य है।

इस समीकरण के समाधान महत्वपूर्ण बिंदुओं के x-मान हैं और द्विघात सूत्र का उपयोग करके दिए गए हैं।

$x_{\text{critical}}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-3ac}}}{3a}}.$

वर्गमूल के अंदर अभिव्यक्ति का संकेत महत्वपूर्ण बिंदुओं की संख्या निर्धारित करता है। यदि यह सकारात्मक है, तो दो महत्वपूर्ण बिंदु हैं, एक स्थानीय अधिकतम और दूसरा स्थानीय न्यूनतम है। यदि b² – 3ac = 0, फिर केवल एक महत्वपूर्ण बिंदु है, जो एक विभक्ति बिंदु है। यदि b² – 3ac < 0, है, तो कोई (वास्तविक) महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं। बाद के दो मामलों में, यानी, अगर b² – 3ac गैर-सकारात्मक है, तो घन फलन सख्ती से एकदिष्ट है। केस Δ0 > 0 के उदाहरण के लिए चित्र देखें।

किसी फलन का विभक्ति बिंदु वह होता है जहां वह फलन अवतलता को बदलता है। एक विभक्ति बिंदु तब होता है जब दूसरा व्युत्पन्न होता है $f''(x)=6ax+2b,$ शून्य है, और तीसरा व्युत्पन्न अशून्य है। इस प्रकार एक घन फलन में हमेशा एक ही विभक्ति बिंदु होता है, जो पर होता है

$x_{\text{inflection}}=-{\frac {b}{3a}}.$

वर्गीकरण

रूप के घन कार्य $y=x^{3}+cx.$
किसी भी क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ इस तरह के वक्र के लिए समानता (ज्यामिति) है।

क्यूबिक फ़ंक्शन के एक फ़ंक्शन का ग्राफ एक क्यूबिक वक्र है, हालांकि कई क्यूबिक वक्र कार्यों के ग्राफ़ नहीं हैं।

यद्यपि क्यूबिक फ़ंक्शन चार मापदंडों पर निर्भर करते हैं, उनके ग्राफ में केवल बहुत कम आकार हो सकते हैं।वास्तव में, एक क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ हमेशा फॉर्म के फ़ंक्शन के ग्राफ के लिए समानता (ज्यामिति) होता है

$y=x^{3}+px.$ इस समानता को निर्देशांक अक्षों के समानांतर अनुवाद ों की संरचना के रूप में बनाया जा सकता है, एक एक प्रकार का (एक समान स्केलिंग ), और, संभवतः, एक प्रतिबिंब (गणित) (मिरर छवि) के संबंध में y-एक्सिस।एक और समान स्केलिंग | गैर-समान स्केलिंग ग्राफ को तीन क्यूबिक कार्यों में से एक के ग्राफ में बदल सकता है

${\begin{aligned}y&=x^{3}+x\\y&=x^{3}\\y&=x^{3}-x.\end{aligned}}$

इसका मतलब यह है कि क्यूबिक कार्यों के केवल तीन रेखांकन एक एफाइन परिवर्तन तक हैं।

उपरोक्त ज्यामितीय परिवर्तन ों को निम्नलिखित तरीके से बनाया जा सकता है, जब एक सामान्य क्यूबिक फ़ंक्शन से शुरू होता है

$y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d.$

सबसे पहले, अगर a < 0, चर का परिवर्तन x → –x दमन करने की अनुमति देता है a > 0।चर के इस परिवर्तन के बाद, नया ग्राफ पिछले एक की दर्पण छवि है, के संबंध में y-एक्सिस।

फिर, चर का परिवर्तन x = x₁ – b/3a फॉर्म का एक कार्य प्रदान करता है

$y=ax_{1}^{3}+px_{1}+q.$

यह एक अनुवाद के समानांतर से मेल खाता है x-एक्सिस।

चर का परिवर्तन y = y₁ + q के संबंध में एक अनुवाद से मेल खाती है y-एक्सिस, और फॉर्म का एक कार्य देता है

$y_{1}=ax_{1}^{3}+px_{1}.$

चर का परिवर्तन $\textstyle x_{1}={\frac {x_{2}}{\sqrt {a}}},y_{1}={\frac {y_{2}}{\sqrt {a}}}$ एक समान स्केलिंग से मेल खाती है, और द्वारा गुणन के बाद देता है ${\sqrt {a}},$ प्रपत्र का एक कार्य

$y_{2}=x_{2}^{3}+px_{2},$

जो सबसे सरल रूप है जिसे एक समानता द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

तो अगर p ≠ 0, गैर-समान स्केलिंग $\textstyle x_{2}=x_{3}{\sqrt {|p|}},\quad y_{2}=y_{3}{\sqrt {|p|^{3}}}$ द्वारा विभाजन के बाद देता है $\textstyle {\sqrt {|p|^{3}}},$

$y_{3}=x_{3}^{3}+x_{3}\operatorname {sgn}(p),$

कहाँ पे $\operatorname {sgn}(p)$ के संकेत के आधार पर मूल्य 1 या -1 है p।यदि कोई परिभाषित करता है $\operatorname {sgn}(0)=0,$ फ़ंक्शन का उत्तरार्द्ध का रूप सभी मामलों पर लागू होता है) $x_{2}=x_{3}$ तथा $y_{2}=y_{3}$)।

समरूपता

प्रपत्र के एक घन समारोह के लिए $y=x^{3}+px,$ विभक्ति बिंदु इस प्रकार मूल है।जैसा कि एक फ़ंक्शन एक विषम कार्य है, इसका ग्राफ विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है, और विभक्ति बिंदु के चारों ओर एक आधा मोड़ के रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय है।चूंकि ये गुण समानता (ज्यामिति) द्वारा अपरिवर्तनीय हैं, इसलिए सभी क्यूबिक कार्यों के लिए निम्नलिखित सही है।

एक क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ इसके विभक्ति बिंदु के संबंध में सममित है, और विभक्ति बिंदु के चारों ओर एक आधा मोड़ के रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय है।

collinearities

बिंदु P₁, P₂, तथा P₃ (नीले रंग में) कोलेनियर हैं और के ग्राफ से संबंधित हैं x³ + 3/2x² − 5/2x + 5/4।बिंदु T₁, T₂, तथा T₃ (लाल रंग में) ग्राफ के साथ इन बिंदुओं पर ग्राफ के लिए (बिंदीदार) स्पर्शरेखा लाइनों के चौराहे हैं।वे कोलेनियर भी हैं।

तीन कोलिनियर बिंदुओं पर एक क्यूबिक फ़ंक्शन के ग्राफ के लिए स्पर्शरेखा रेखाएं क्यूबिक को फिर से कोलीनियर बिंदुओं पर रोकती हैं। इस प्रकार इसे देखा जा सकता है।

चूंकि यह संपत्ति एक कठोर गति के तहत अपरिवर्तनीय है, इसलिए कोई यह मान सकता है कि फ़ंक्शन का रूप है

$f(x)=x^{3}+px.$

यदि α एक वास्तविक संख्या है, तो के ग्राफ के लिए स्पर्शरेखा f बिंदु पर (α, f(α)) लाइन है

{(x, f(α) + (x − α)f ′(α)) : x ∈ R}।

तो, इस लाइन और ग्राफ के बीच का चौराहा बिंदु f समीकरण को हल करने के लिए प्राप्त किया जा सकता है f(x) = f(α) + (x − α)f ′(α), वह है

$x^{3}+px=\alpha ^{3}+p\alpha +(x-\alpha )(3\alpha ^{2}+p),$

जिसे फिर से लिखा जा सकता है

$x^{3}-3\alpha ^{2}x+2\alpha ^{3}=0,$

और के रूप में कारक

$(x-\alpha )^{2}(x+2\alpha )=0.$

तो, स्पर्शरेखा पर क्यूबिक को रोकता है

$(-2\alpha ,-8\alpha ^{3}-2p\alpha )=(-2\alpha ,-8f(\alpha )+6p\alpha ).$

तो, वह कार्य जो एक बिंदु को मैप करता है (x, y) ग्राफ के दूसरे बिंदु पर जहां स्पर्शरेखा ग्राफ को रोकती है

$(x,y)\mapsto (-2x,-8y+6px).$

यह एक affine परिवर्तन है जो कोलिनियर पॉइंट्स को Collinear बिंदुओं में बदल देता है।यह दावा किए गए परिणाम को साबित करता है।

क्यूबिक प्रक्षेप

Main article: Spline interpolation

एक फ़ंक्शन के मूल्यों और दो बिंदुओं पर इसके व्युत्पन्न को देखते हुए, ठीक एक क्यूबिक फ़ंक्शन है जिसमें समान चार मान हैं, जिसे क्यूबिक हरमाइट स्पलाइन कहा जाता है।

इस तथ्य का उपयोग करने के लिए दो मानक तरीके हैं।सबसे पहले, यदि कोई जानता है, उदाहरण के लिए भौतिक माप द्वारा, एक फ़ंक्शन के मूल्यों और कुछ नमूने बिंदुओं पर इसके व्युत्पन्न, कोई भी फ़ंक्शन को निरंतर रूप से भिन्न कार्य के साथ प्रक्षेपित कर सकता है, जो एक टुकड़ाज क्यूबिक फ़ंक्शन है।

यदि किसी फ़ंक्शन का मान कई बिंदुओं पर जाना जाता है, तो क्यूबिक इंटरपोलेशन में फ़ंक्शन को लगातार अलग -अलग फ़ंक्शन द्वारा अनुमानित किया जाता है, जो कि टुकड़ा क्यूबिक है।एक विशिष्ट रूप से परिभाषित प्रक्षेप होने के लिए, दो और बाधाओं को जोड़ा जाना चाहिए, जैसे कि एंडपॉइंट पर डेरिवेटिव के मान, या एंडपॉइंट पर एक शून्य वक्रता ।

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बाहरी संबंध

• "Cardano formula", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• History of quadratic, cubic and quartic equations on MacTutor archive.