एप्सिलॉन नंबर: Difference between revisions

Latest revision as of 17:26, 19 February 2023

गणित में, इप्साइलन संख्याएँ ट्रांसफिनिट संख्या का एक संग्रह है, जिसकी विशेषता को इस प्रकार परिभाषित करना है कि वे घातीय मानचित्र निश्चित बिंदु (गणित) हैं। परिणामस्वरूप, वे चुने हुए घातीय मानचित्र के अनुप्रयोगों की एक परिमित श्रृंखला के माध्यम से 0 से उपलब्ध नहीं हैं और जोड़ और गुणा जैसे दुर्बल संचालन के माध्यम से 0 से पहुंच योग्य नहीं हैं। क्रमसूचक संख्या अंकगणित के संदर्भ में जॉर्ज कैंटर द्वारा मूल इप्साइलन संख्या प्रस्तुत किए गए थे; वे क्रमसूचक संख्या हैं जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं

\varepsilon =\omega ^{\varepsilon },\,

जिसमें ω सबसे छोटा अनंत क्रमसूचक है।

कम से कम इस तरह के क्रमसूचक ε₀ (उच्चारण इप्साइलन शून्य या इप्साइलन शून्य ), जिसे छोटे सीमा क्रम के अनुक्रम से ट्रांसफिनिट पुनरावृत्ति द्वारा प्राप्त सीमा के रूप में देखा जा सकता है:

\varepsilon _{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}=\sup\{\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\dots \}\,,

कहाँ $sup$ अंतिम फलन है, जो वॉन न्यूमैन प्रतिनिधित्व के स्थिति में संघ को समुच्चय करने के बराबर है।

घातीय मानचित्र के बड़े क्रमिक निश्चित बिंदुओं को क्रमबद्ध सदस्यता द्वारा अनुक्रमित किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप $\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots ,\varepsilon _{\omega },\varepsilon _{\omega +1},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{1}},\ldots ,\varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{\cdot _{\cdot _{\cdot }}}}},\ldots$ .^[1] क्रमसूचक ε₀ अभी भी गिनती योग्य है, जैसा कि कोई भी इप्साइलन संख्या है जिसका सूचकांक गिनती योग्य है (अगणनीय क्रमसूचक संख्या उपस्थित हैं, और अगणनीय इप्साइलन संख्या जिनका सूचकांक एक अगणनीय क्रमसूचक संख्या है)।

सबसे छोटा इप्साइलन संख्या ε₀ कई गणितीय प्रेरण प्रमाणों में दिखाई देता है, क्योंकि कई उद्देश्यों के लिए, ट्रांसफिनिट प्रेरण केवल ε तक आवश्यक है₀ (जैसा कि हम वास्तविक हैं की संगति प्रमाण और गुडस्टीन के प्रमेय के प्रमाण में है)।गेंटज़ेन द्वारा इसका उपयोग मीनो अंकगणित की स्थिरता को प्रमाणित करने के लिए, गोडेल के दूसरे अपूर्णता प्रमेय के साथ दिखाते हैं कि मीनो अंकगणित अच्छी तरह से स्थापित संबंध प्रमाणित नहीं कर सकता है। जैसे, प्रूफ-थ्योरिटिक क्रमसूचक संख्या विश्लेषण में, मीनो अंकगणित के सिद्धांत की शक्ति के उपाय के रूप में उपयोग किया जाता है)।

कई बड़े इप्साइलन संख्याओं को वेबलेन फलन का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है।

इप्साइलन संख्याओं के एक अधिक सामान्य वर्ग की पहचान जॉन हॉर्टन कॉनवे और डोनाल्ड नुथ द्वारा वास्तविक संख्या प्रणाली में की गई है, जिसमें सभी सर्जरी सम्मिलित हैं जो आधार के निश्चित बिंदु हैं।

हेसनबर्ग (1906) परिभाषित गामा (Gamma) संख्याएं (योगात्मक क्रमसूचक संख्या देखें), γ> 0 होने के लिए जैसे कि α+γ = γ जब भी α <γ, और डेल्टा संख्या (देखें योगात्मक क्रमसूचक संख्या मल्टीविकालय देखें) Δ> 1 ऐसा है कि αΔ = Δजब भी 0 <α <Δ, और इप्साइलन संख्या संख्या ε> 2 हो जैसे कि α^ω= e जहाँ भी 1 <a <e उनके गामा संख्या फॉर्म ω^{β के हैं^{, और उसके डेल्टा संख्याएँ फॉर्म ω^{ω^B के हैं ।}}}

क्रमसूचक ε संख्या

आधार α के साथ क्रमिक घातांक की मानक परिभाषा है:

$\alpha ^{0}=1\,,$
$\alpha ^{\beta }=\alpha ^{\beta -1}\cdot \alpha \,,$ जब $\beta$ एक तत्काल पूर्ववर्ती $\beta -1$ है।
$\alpha ^{\beta }=\sup \lbrace \alpha ^{\delta }\mid 0<\delta <\beta \rbrace$ , जब कभी भी $\beta$ एक सीमा क्रमसूचक है।

इस परिभाषा से, यह इस प्रकार है कि किसी भी निश्चित क्रमसूचक के लिए α > 1, मानचित्र (गणित) $\beta \mapsto \alpha ^{\beta }$ एक सामान्य फलन है, इसलिए यह सामान्य कार्यों के लिए निश्चित बिंदु लेम्मा द्वारा मनमाने ढंग से बड़े निश्चित बिंदु (गणित) है।जब $\alpha =\omega$ , ये निश्चित बिंदु ठीक से क्रमसूचक संख्या इप्साइलन संख्या हैं।

$\varepsilon _{0}=\sup \lbrace 1,\omega ,\omega ^{\omega },\omega ^{\omega ^{\omega }},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega }}},\ldots \rbrace \,,$
$\varepsilon _{\beta }=\sup \lbrace {\varepsilon _{\beta -1}+1},\omega ^{\varepsilon _{\beta -1}+1},\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\beta -1}+1}},\omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{\beta -1}+1}}},\ldots \rbrace \,,$ जब $\beta$ एक तत्काल पूर्ववर्ती $\beta -1$ है।
$\varepsilon _{\beta }=\sup \lbrace \varepsilon _{\delta }\mid \delta <\beta \rbrace$ , जब कभी भी $\beta$ एक सीमा क्रमसूचक है।

क्योंकि

\omega ^{\varepsilon _{0}+1}=\omega ^{\varepsilon _{0}}\cdot \omega ^{1}=\varepsilon _{0}\cdot \omega \,,

\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}=\omega ^{(\varepsilon _{0}\cdot \omega )}={(\omega ^{\varepsilon _{0}})}^{\omega }=\varepsilon _{0}^{\omega }\,,

\omega ^{\omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}}=\omega ^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}=\omega ^{{\varepsilon _{0}}^{1+\omega }}=\omega ^{(\varepsilon _{0}\cdot {\varepsilon _{0}}^{\omega })}={(\omega ^{\varepsilon _{0}})}^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}={\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\omega }}\,,

एक ही सुप्रीम के साथ एक अलग अनुक्रम, $\varepsilon _{1}$ , 0 से प्रारम्भ करके प्राप्त किया जाता है और आधार₀ के साथ घातांक होता है, के अतिरिक्त:

\varepsilon _{1}=\sup\{1,\varepsilon _{0},{\varepsilon _{0}}^{\varepsilon _{0}},{\varepsilon _{0}}^{{\varepsilon _{0}}^{\varepsilon _{0}}},\ldots \},

सामान्यतः, इप्साइलन संख्या $\varepsilon _{\beta }$ किसी भी क्रमसूचक द्वारा अनुक्रमित जो एक तत्काल पूर्ववर्ती है $\beta -1$ में इसी तरह का निर्माण किया जा सकता है।

\varepsilon _{\beta }=\sup\{1,\varepsilon _{\beta -1},\varepsilon _{\beta -1}^{\varepsilon _{\beta -1}},\varepsilon _{\beta -1}^{\varepsilon _{\beta -1}^{\varepsilon _{\beta -1}}},\dots \}

विशेष रूप से, सूचकांक β एक सीमा क्रमसूचक है या नहीं, $\varepsilon _{\beta }$ एक निश्चित बिंदु है न केवल आधार ω घातांक का बल्कि सभी क्रमसूचक के लिए आधार of घातांक का भी $1<\delta <\varepsilon _{\beta }$ क्रमसूचक है।

चूंकि इप्साइलन संख्या क्रमसूचक संख्याओं का एक अनबाउंड सबक्लास हैं, इसलिए वे स्वयं क्रमिक संख्याओं का उपयोग करके गणना की जाती हैं। क्रमवाचक संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो किसी स्थान पर किसी वस्तु या व्यक्ति की सटीक स्थिति को दर्शाती हैं। यदि किसी सूची में वस्तुओं/व्यक्तियों की संख्या निर्दिष्ट की गई है: वस्तुओं/व्यक्तियों की स्थिति क्रमिक संख्याओं द्वारा परिभाषित की जाती है। किसी चीज/किसी के क्रम को दर्शाने के लिए जिन विशेषण शब्दों का उपयोग किया जाता है, वे हैं पहला - पहला, दूसरा-दूसरा, तीसरा-तीसरा, चौथा-चौथा, पांचवां-पांचवां, छठा-छठा, और इसी तरह ये सभी शब्द क्रमिक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। जबकि गिनने वाली संख्याओं को क्रमसूचक संख्या कहते हैं, जैसे 0, 1, 2, 3, 4, 5, आदि। किसी भी क्रमसूचक संख्या के लिए $\beta$ , $\varepsilon _{\beta }$ क्या कम से कम इप्साइलन संख्या (घातीय मानचित्र का निश्चित बिंदु) पहले से ही समुच्चय में $\{\varepsilon _{\delta }\mid \delta <\beta \}$ नहीं है। ऐसा प्रतीत हो सकता है कि यह पुनरावृत्त घातांक का उपयोग करके रचनात्मक परिभाषा के गैर-निर्माण समतुल्य है; लेकिन दो परिभाषाएँ सीमा अध्यादेशों द्वारा अनुक्रमित चरणों में समान रूप से गैर-कंस्ट्रक्टिव हैं, जो एक घातीय श्रृंखला के सुप्रीम को लेने की तुलना में एक उच्च क्रम के ट्रांसफिनिट पुनरावृत्ति का प्रतिनिधित्व करती हैं।

इप्साइलन संख्याओं के बारे में निम्नलिखित तथ्य प्रमाणित करने के लिए सीधे हैं:

हालांकि यह काफी बड़ी संख्या है, $\varepsilon _{0}$ अभी भी गिनती करने योग्य है, गणना योग्य अध्यादेशों का एक गिनती करने योग्य संघ है; वास्तव में, $\varepsilon _{\beta }$ यदि और केवल और केवल $\beta$ गिनती योग्य है।
इप्साइलन संख्याओं के किसी भी गैर -रिक्त समुच्चय का संघ (या सुप्रीम) एक इप्साइलन संख्या है; उदाहरण के लिए

\varepsilon _{\omega }=\sup\{\varepsilon _{0},\varepsilon _{1},\varepsilon _{2},\ldots \}

एक इप्साइलन संख्या है। इस प्रकार, मानचित्रण

\beta \mapsto \varepsilon _{\beta }

एक सामान्य फलन है।

किसी भी अगणनीय समुच्चय आधारभूत संख्या का वॉन न्यूमैन क्रमसूचक असाइनमेंट एक इप्साइलन संख्या है।

\alpha \geq 1\Rightarrow \varepsilon _{\omega _{\alpha }}=\omega _{\alpha }\,.

ट्री-मूल द्वारा ε₀ का निरूपण

किसी भी इप्साइलन संख्या ε₀ में कैंटर सामान्य रूप $\varepsilon =\omega ^{\varepsilon }$ है, जिसका अर्थ है कि कैंटर सामान्य रूप इप्साइलन संख्याओं के लिए बहुत उपयोगी नहीं है। Ε से कम क्रम, हालांकि, उनके कैंटर सामान्य रूपों द्वारा उपयोगी रूप से वर्णित किया जा सकता है, जो ε₀ का प्रतिनिधित्व करता है जिसके रूप में सभी ट्री (ग्राफ सिद्धांत) मूल के आदेशित समुच्चय के रूप में, निम्नानुसार है। किसी भी क्रमसूचक $\alpha <\varepsilon _{0}$ कैंटर सामान्य रूप है $\alpha =\omega ^{\beta _{1}}+\omega ^{\beta _{2}}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}$ जहां k एक प्राकृतिक संख्या है और $\beta _{1},\ldots ,\beta _{k}$ के साथ क्रमसूचक हैं $\alpha >\beta _{1}\geq \cdots \geq \beta _{k}$ , विशिष्ट रूप से निर्धारित किया गया $\alpha$ । प्रत्येक क्रमसूचक $\beta _{1},\ldots ,\beta _{k}$ बदले में एक समान कैंटर सामान्य रूप है। हम परिमित रूट किए गए ट्री को प्राप्त करते हैं जो α का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो ट्री की मूलों में सम्मिलित होकर प्रतिनिधित्व करते हैं $\beta _{1},\ldots ,\beta _{k}$ एक नई मूल के लिए (इसका परिणाम यह है कि संख्या 0 को एक ही रूट द्वारा दर्शाया गया है जबकि संख्या $1=\omega ^{0}$ एक मूल और एक पत्ती युक्त एक ट्री द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है।) परिमित रूट किए गए ट्री के समुच्चय पर एक आदेश को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया है: हम पहले आदेश घटाने के क्रम में मूल में सम्मिलित हो गए, और फिर इन आदेशित अनुक्रमों पर लेक्सिकोग्राफिकल आदेश का उपयोग करें। इस तरह से सभी परिमित रूट किए गए ट्री का समुच्चय एक अच्छी तरह से आदेश बन जाता है। अच्छी तरह से आदेश किया गया समुच्चय जो ऑर्डर-आइसोमॉर्फिक है।

यह प्रतिनिधित्व गुडस्टीन के प्रमेय के प्रमाण से संबंधित है, जो एक ग्राफ-थ्योरिटिक गेम के रूप में क्रमसूचक के घटते दृश्यों का प्रतिनिधित्व करता है।

वेबलन पदानुक्रम

इप्साइलन मैपिंग के निश्चित बिंदु $x\mapsto \varepsilon _{x}$ एक सामान्य फलन बनाते हैं, जिनके निश्चित बिंदु एक सामान्य कार्य बनाते हैं, इसे वेबलन फलन के रूप में जाना जाता है। (वेबलन फलन के साथ φ₀(α)ω^α) वेलब्लेन पदानुक्रम के अंकन में, इप्साइलन मैपिंग φ₁ है, और इसके निश्चित बिंदुओं को φ₂ द्वारा गणना की जाती है।

इस वेन में जारी रखते हुए, कोई भी नक्शे को परिभाषित कर सकता है, उत्तरोत्तर बड़े क्रमसूचक α_α के लिए (सहित, इस दुर्लभ रूप से ट्रांसफ़िनेट पुनरावृत्ति के रूप में, सीमाएँ सीमाएँ), उत्तरोत्तर बड़े कम से कम निश्चित बिंदुओं के साथ φ_α+1(०) इस प्रक्रिया से 0 से कम से कम क्रमिक नहीं कम से कम क्रमसूचक संख्या α जिसके लिए φ_α(0) = α, या समकक्ष रूप से नक्शे का पहला निश्चित बिंदु $\alpha \mapsto \varphi _{\alpha }(0)$ —इस फफर्मन - शेट्टे क्रमसूचक संख्या γ₀ एक समुच्चय सिद्धांत में जहां इस तरह के एक क्रमसूचक का अस्तित्व प्रमाणित हो सकता है, एक का नक्शा है, जो निश्चित बिंदुओं को दर्शाता है γ₀, सी₁, सी₂, ... का $\alpha \mapsto \varphi _{\alpha }(0)$ ; ये सभी अभी भी इप्साइलन संख्या हैं, क्योंकि वे φ_β की छवि में असत्य प्रमाण देते हैं हर γ, γ₀ के लिए, नक्शे के साथ Y₁, यह इप्साइलन संख्याओं की गणना करता है।

असली ε संख्याएँ

संख्या और खेलों में, वास्तविक संख्या पर क्लासिक प्रदर्शनी, जॉन हॉर्टन कॉनवे ने अवधारणाओं के कई उदाहरण प्रदान किए, जिनमें क्रमसूचक से लेकर सरेल तक प्राकृतिक एक्सटेंशन थे। ऐसा ही एक कार्य है। $\omega$ -नक्शा $n\mapsto \omega ^{n}$ , यह मैपिंग स्वाभाविक रूप से एक फलन के अपने डोमेन में सभी वास्तविक संख्याओं को सम्मिलित करने के लिए सामान्य रूप से सामान्यीकरण करता है, जो बदले में सर्जरी संख्या के लिए क्रमिक अंकगणित कैंटर सामान्य रूप का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण प्रदान करता है।

इस विस्तारित नक्शे के किसी भी निश्चित बिंदु पर एक इप्साइलन संख्या पर विचार करना स्वाभाविक है, चाहे वह कड़ाई से एक क्रमिक संख्या हो या नहीं। गैर-क्रमसूचक संख्या इप्साइलन संख्याओं के कुछ उदाहरण हैं

\varepsilon _{-1}=\{0,1,\omega ,\omega ^{\omega },\ldots \mid \varepsilon _{0}-1,\omega ^{\varepsilon _{0}-1},\ldots \}

और

\varepsilon _{1/2}=\{\varepsilon _{0}+1,\omega ^{\varepsilon _{0}+1},\ldots \mid \varepsilon _{1}-1,\omega ^{\varepsilon _{1}-1},\ldots \}.

परिभाषित करने का एक स्वाभाविक तरीका $\varepsilon _{n}$ है, प्रत्येक वास्तविक संख्या n के लिए, और नक्शा ऑर्डर-संरक्षण रहता है। कॉनवे ने इरेड्यूसिबल वास्तविक संख्याओं के एक व्यापक वर्ग को परिभाषित किया है जिसमें विशेष रूप से दिलचस्प उपक्लास के रूप में इप्साइलन संख्या सम्मिलित हैं।

यह भी देखें

क्रमसूचक अंकगणित
बड़े गिनती योग्य अध्यादेश

संदर्भ

↑ Stephen G. Simpson, Subsystems of Second-order Arithmetic (2009, p.387)

J.H. Conway, On Numbers and Games (1976) Academic Press ISBN 0-12-186350-6
Section XIV.20 of Sierpiński, Wacław (1965), Cardinal and ordinal numbers (2nd ed.), PWN – Polish Scientific Publishers

[1] Stephen G. Simpson, Subsystems of Second-order Arithmetic (2009, p.387)

[1]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{short description|Type of transfinite numbers}}
-{{about|a type of ordinal in mathematics|the physical constant ''ε<sub>0</sub>''|Vacuum permittivity}}
+गणित में, इप्साइलन संख्याएँ [[ट्रांसफ़िनाइट संख्या|ट्रांसफिनिट संख्या]] का एक संग्रह है, जिसकी विशेषता को इस प्रकार परिभाषित करना है कि वे [[घातीय मानचित्र]] निश्चित बिंदु (गणित) हैं। <!-- Do not link 'exponential map': This has little to do with the exp maps of differential geometry --> परिणामस्वरूप, वे चुने हुए घातीय मानचित्र के अनुप्रयोगों की एक परिमित श्रृंखला के माध्यम से 0 से उपलब्ध नहीं हैं और जोड़ और गुणा जैसे दुर्बल संचालन के माध्यम से 0 से पहुंच योग्य नहीं हैं। क्रमसूचक संख्या अंकगणित के संदर्भ में [[जॉर्ज कैंटर]] द्वारा मूल इप्साइलन संख्या प्रस्तुत किए गए थे; वे [[क्रमसूचक संख्या]] हैं जो [[समीकरण]] को संतुष्ट करते हैं
-{{Multiple issues|
-{{More footnotes|date=May 2021}}
-{{Technical|date=January 2023}}
-}}
-गणित में, एप्सिलॉन नंबर [[ट्रांसफ़िनाइट संख्या]] का एक संग्रह है, जिसकी संपत्ति को परिभाषित करना है कि वे निश्चित बिंदु (गणित) हैं <!-- Do not link 'exponential map': This has little to do with the exp maps of differential geometry --> घातीय मानचित्र।नतीजतन, वे चुने हुए घातीय मानचित्र के अनुप्रयोगों की एक परिमित श्रृंखला के माध्यम से 0 से उपलब्ध नहीं हैं और अतिरिक्त और गुणा जैसे कमजोर संचालन के।ऑर्डिनल अंकगणित के संदर्भ में [[जॉर्ज कैंटर]] द्वारा मूल एप्सिलॉन नंबर पेश किए गए थे;वे [[क्रमसूचक संख्या]] '' '' 'हैं जो [[समीकरण]] को संतुष्ट करते हैं
 :<math>\varepsilon = \omega^\varepsilon, \, </math>
-जिसमें are सबसे छोटा अनंत अध्यादेश है।
+जिसमें ω सबसे छोटा अनंत क्रमसूचक है।
-कम से कम इस तरह के अध्यादेश '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '' '<sub>0</sub>(उच्चारण एप्सिलॉन शून्य या एप्सिलॉन ज़ीरो), जिसे छोटे सीमा क्रम के अनुक्रम से ट्रांसफ़िनाइट पुनरावृत्ति द्वारा प्राप्त सीमा के रूप में देखा जा सकता है:
+कम से कम इस तरह के क्रमसूचक ε<sub>0</sub> (उच्चारण इप्साइलन शून्य या इप्साइलन शून्य ), जिसे छोटे सीमा क्रम के अनुक्रम से ट्रांसफिनिट पुनरावृत्ति द्वारा प्राप्त सीमा के रूप में देखा जा सकता है:
 :<math>\varepsilon_0 = \omega^{\omega^{\omega^{\cdot^{\cdot^\cdot}}}} = \sup \{ \omega, \omega^{\omega}, \omega^{\omega^{\omega}}, \omega^{\omega^{\omega^\omega}}, \dots \}\,,</math>
-कहाँ {{math|sup}} [[अंतिम]] फ़ंक्शन है, जो वॉन न्यूमैन प्रतिनिधित्व के मामले में संघ को सेट करने के बराबर है।
+कहाँ {{math|sup}} [[अंतिम]] फलन है, जो वॉन न्यूमैन प्रतिनिधित्व के स्थिति में संघ को समुच्चय करने के बराबर है।
-घातीय मानचित्र के बड़े क्रमिक निश्चित बिंदुओं को क्रमबद्ध सदस्यता द्वारा अनुक्रमित किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप <math>\varepsilon_1, \varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_\omega, \varepsilon_{\omega+1}, \ldots, \varepsilon_{\varepsilon_0}, \ldots, \varepsilon_{\varepsilon_1}, \ldots, \varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{\cdot_{\cdot_{\cdot}}}}},\ldots</math>.<ref>Stephen G. Simpson, ''Subsystems of Second-order Arithmetic'' (2009, p.387)</ref> अध्यादेश ε<sub>0</sub> अभी भी गिनती योग्य है, जैसा कि कोई भी एप्सिलॉन नंबर है जिसका सूचकांक गिनती योग्य है (बेशुमार ऑर्डिनल मौजूद हैं, और बेशुमार एप्सिलॉन नंबर जिनका सूचकांक एक बेशुमार ऑर्डिनल है)।
+घातीय मानचित्र के बड़े क्रमिक निश्चित बिंदुओं को क्रमबद्ध सदस्यता द्वारा अनुक्रमित किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप<math>\varepsilon_1, \varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_\omega, \varepsilon_{\omega+1}, \ldots, \varepsilon_{\varepsilon_0}, \ldots, \varepsilon_{\varepsilon_1}, \ldots, \varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{\cdot_{\cdot_{\cdot}}}}},\ldots</math>.<ref>Stephen G. Simpson, ''Subsystems of Second-order Arithmetic'' (2009, p.387)</ref> क्रमसूचक ε<sub>0</sub> अभी भी गिनती योग्य है, जैसा कि कोई भी इप्साइलन संख्या है जिसका सूचकांक गिनती योग्य है (अगणनीय क्रमसूचक संख्या उपस्थित हैं, और अगणनीय इप्साइलन संख्या जिनका सूचकांक एक अगणनीय क्रमसूचक संख्या है)।
-सबसे छोटा एप्सिलॉन नंबर ε<sub>0</sub> कई [[गणितीय प्रेरण]] प्रमाणों में दिखाई देता है, क्योंकि कई उद्देश्यों के लिए, [[ट्रांसफ़िनाइट इंडक्शन]] केवल ε तक आवश्यक है<sub>0</sub> (जैसा कि [[हम वास्तविक हैं]] की संगति प्रमाण और गुडस्टीन के प्रमेय के प्रमाण में है)।गेंटज़ेन द्वारा इसका उपयोग मीनो अंकगणित की स्थिरता को साबित करने के लिए, गोडेल के दूसरे अपूर्णता प्रमेय के साथ, दिखाते हैं कि मीनो अंकगणित [[अच्छी तरह से स्थापित संबंध]] साबित नहीं कर सकता है।जैसे, प्रूफ-थ्योरिटिक ऑर्डिनल विश्लेषण में, मीनो अंकगणित के सिद्धांत की ताकत के उपाय के रूप में उपयोग किया जाता है)।
+सबसे छोटा इप्साइलन संख्या ε<sub>0</sub> कई [[गणितीय प्रेरण]] प्रमाणों में दिखाई देता है, क्योंकि कई उद्देश्यों के लिए, [[ट्रांसफ़िनाइट इंडक्शन|ट्रांसफिनिट प्रेरण]] केवल ε तक आवश्यक है<sub>0</sub> (जैसा कि [[हम वास्तविक हैं]] की संगति प्रमाण और गुडस्टीन के प्रमेय के प्रमाण में है)।गेंटज़ेन द्वारा इसका उपयोग मीनो अंकगणित की स्थिरता को प्रमाणित करने के लिए, गोडेल के दूसरे अपूर्णता प्रमेय के साथ दिखाते हैं कि मीनो अंकगणित [[अच्छी तरह से स्थापित संबंध]] प्रमाणित नहीं कर सकता है। जैसे, प्रूफ-थ्योरिटिक क्रमसूचक संख्या विश्लेषण में, मीनो [[अंकगणित]] के सिद्धांत की शक्ति के उपाय के रूप में उपयोग किया जाता है)।
-कई बड़े एप्सिलॉन संख्याओं को [[वेबलेन समारोह]] का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है।
+कई बड़े इप्साइलन संख्याओं को [[वेबलेन समारोह|वेबलेन फलन]] का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है।
-एप्सिलॉन नंबरों के एक अधिक सामान्य वर्ग की पहचान [[जॉन हॉर्टन कॉनवे]] और [[डोनाल्ड नुथ]] द्वारा [[वास्तविक संख्या]] प्रणाली में की गई है, जिसमें सभी सर्जरी शामिल हैं जो आधार के निश्चित बिंदु हैं।<sup>x </sup>।
+इप्साइलन संख्याओं के एक अधिक सामान्य वर्ग की पहचान [[जॉन हॉर्टन कॉनवे]] और [[डोनाल्ड नुथ]] द्वारा [[वास्तविक संख्या]] प्रणाली में की गई है, जिसमें सभी सर्जरी सम्मिलित हैं जो आधार के निश्चित बिंदु हैं।
-{{harvtxt|Hessenberg|1906}} परिभाषित GAMMA संख्याएं (Additively Indecompopopopable ordinal देखें) γ> 0 होने के लिए जैसे कि α+γ = γ जब भी α <γ, और डेल्टा संख्या (देखें [[additively indecomposable ordinal]]#multivically indecomposable देखें) Δ> 1 ऐसा है कि αΔ = Δजब भी 0 <α <Δ, और एप्सिलॉन संख्या संख्या ε> 2 हो जैसे कि α<sup>E </kup> = e जहाँ भी 1 <a <e।उनके गामा नंबर फॉर्म ω के हैं<sup>β </sup>, और उसके डेल्टा संख्याएँ फॉर्म ω के हैं<sup>ω<sup>B </sup> </sup>।
+{{harvtxt|हेसनबर्ग|1906}} परिभाषित गामा (Gamma) संख्याएं (योगात्मक क्रमसूचक संख्या देखें), γ> 0 होने के लिए जैसे कि α+γ = γ जब भी α <γ, और डेल्टा संख्या (देखें [[additively indecomposable ordinal|योगात्मक क्रमसूचक संख्या]] मल्टीविकालय देखें) Δ> 1 ऐसा है कि αΔ = Δजब भी 0 <α <Δ, और इप्साइलन संख्या संख्या ε> 2 हो जैसे कि α<sup>ω</sup>= e जहाँ भी 1 <a <e उनके गामा संख्या फॉर्म ω<sup>β के हैं<sup>, और उसके डेल्टा संख्याएँ फॉर्म ω<sup>ω<sup>B</sup> के हैं ।
-== ऑर्डिनल ε संख्या ==
+== क्रमसूचक ε संख्या ==
-{{unsourced section|date=February 2023}}
 आधार α के साथ क्रमिक घातांक की मानक परिभाषा है:
 *<math>\alpha^0 = 1 \,,</math>
-*<math>\alpha^\beta = \alpha^{\beta-1} \cdot \alpha \,,</math> कब <math>\beta</math> एक तत्काल पूर्ववर्ती है <math>\beta - 1</math>।
+*<math>\alpha^\beta = \alpha^{\beta-1} \cdot \alpha \,,</math> जब <math>\beta</math> एक तत्काल पूर्ववर्ती <math>\beta - 1</math> है।
-*<math>\alpha^\beta=\sup \lbrace\alpha^\delta \mid 0 < \delta < \beta\rbrace</math>, जब कभी भी <math>\beta</math> एक सीमा अध्यादेश है।
+*<math>\alpha^\beta=\sup \lbrace\alpha^\delta \mid 0 < \delta < \beta\rbrace</math>, जब कभी भी <math>\beta</math> एक सीमा क्रमसूचक है।
-इस परिभाषा से, यह इस प्रकार है कि किसी भी निश्चित अध्यादेश के लिए {{nowrap|''α'' > 1}}, [[मानचित्र (गणित)]] <math>\beta \mapsto \alpha^\beta</math> एक [[सामान्य कार्य]] है, इसलिए यह सामान्य कार्यों के लिए निश्चित बिंदु लेम्मा द्वारा मनमाने ढंग से बड़े निश्चित बिंदु (गणित) है।कब <math>\alpha = \omega</math>, ये निश्चित बिंदु ठीक से ऑर्डिनल एप्सिलॉन नंबर हैं।
+इस परिभाषा से, यह इस प्रकार है कि किसी भी निश्चित क्रमसूचक के लिए {{nowrap|''α'' > 1}}, [[मानचित्र (गणित)]] <math>\beta \mapsto \alpha^\beta</math> एक [[सामान्य कार्य|सामान्य फलन]] है, इसलिए यह सामान्य कार्यों के लिए निश्चित बिंदु लेम्मा द्वारा मनमाने ढंग से बड़े निश्चित बिंदु (गणित) है।जब <math>\alpha = \omega</math>, ये निश्चित बिंदु ठीक से क्रमसूचक संख्या इप्साइलन संख्या हैं।
 *<math>\varepsilon_0 = \sup \lbrace 1, \omega, \omega^\omega, \omega^{\omega^\omega}, \omega^{\omega^{\omega^\omega}}, \ldots\rbrace \,,</math>
-*<math>\varepsilon_\beta = \sup \lbrace {\varepsilon_{\beta-1}+1}, \omega^{\varepsilon_{\beta-1}+1}, \omega^{\omega^{\varepsilon_{\beta-1}+1}}, \omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\beta-1}+1}}}, \ldots\rbrace \,,</math> कब <math>\beta</math> एक तत्काल पूर्ववर्ती है <math>\beta - 1</math>।
+*<math>\varepsilon_\beta = \sup \lbrace {\varepsilon_{\beta-1}+1}, \omega^{\varepsilon_{\beta-1}+1}, \omega^{\omega^{\varepsilon_{\beta-1}+1}}, \omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_{\beta-1}+1}}}, \ldots\rbrace \,,</math> जब <math>\beta</math> एक तत्काल पूर्ववर्ती <math>\beta - 1</math> है।
-*<math>\varepsilon_\beta=\sup \lbrace \varepsilon_\delta \mid \delta < \beta \rbrace</math>, जब कभी भी <math>\beta</math> एक सीमा अध्यादेश है।
+*<math>\varepsilon_\beta=\sup \lbrace \varepsilon_\delta \mid \delta < \beta \rbrace</math>, जब कभी भी <math>\beta</math> एक सीमा क्रमसूचक है।
 क्योंकि
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 :<math>\omega^{\omega^{\varepsilon_0 + 1}} = \omega^{(\varepsilon_0 \cdot \omega)} = {(\omega^{\varepsilon_0})}^\omega = \varepsilon_0^\omega \,,</math>
 :<math>\omega^{\omega^{\omega^{\varepsilon_0 + 1}}} = \omega^{{\varepsilon_0}^\omega} = \omega^{{\varepsilon_0}^{1+\omega}} = \omega^{(\varepsilon_0\cdot{\varepsilon_0}^\omega)} = {(\omega^{\varepsilon_0})}^{{\varepsilon_0}^\omega} = {\varepsilon_0}^{{\varepsilon_0}^\omega} \,,</math>
-एक ही सुप्रीम के साथ एक अलग अनुक्रम, <math>\varepsilon_1</math>, 0 से शुरू करके प्राप्त किया जाता है और आधार के साथ घातांक होता है<sub>0</sub> बजाय:
+एक ही सुप्रीम के साथ एक अलग अनुक्रम, <math>\varepsilon_1</math>, 0 से प्रारम्भ करके प्राप्त किया जाता है और आधार<sub>0</sub> के साथ घातांक होता है, के अतिरिक्त:
 :<math>\varepsilon_1 = \sup\{1, \varepsilon_0, {\varepsilon_0}^{\varepsilon_0}, {\varepsilon_0}^{{\varepsilon_0}^{\varepsilon_0}}, \ldots\},</math>
-आम तौर पर, एप्सिलॉन संख्या <math>\varepsilon_{\beta}</math> किसी भी अध्यादेश द्वारा अनुक्रमित जो एक तत्काल पूर्ववर्ती है <math>\beta-1</math> इसी तरह का निर्माण किया जा सकता है।
+सामान्यतः, इप्साइलन संख्या <math>\varepsilon_{\beta}</math> किसी भी क्रमसूचक द्वारा अनुक्रमित जो एक तत्काल पूर्ववर्ती है <math>\beta-1</math> में इसी तरह का निर्माण किया जा सकता है।
 :<math>\varepsilon_{\beta} = \sup\{1, \varepsilon_{\beta-1}, \varepsilon_{\beta-1}^{\varepsilon_{\beta-1}}, \varepsilon_{\beta-1}^{\varepsilon_{\beta-1}^{\varepsilon_{\beta-1}}}, \dots\}</math>
-विशेष रूप से, सूचकांक β एक सीमा अध्यादेश है या नहीं, <math>\varepsilon_\beta</math> एक निश्चित बिंदु है न केवल आधार ω घातांक का बल्कि सभी ऑर्डिनल्स के लिए आधार of घातांक का भी <math>1 < \delta < \varepsilon_\beta</math>।
+विशेष रूप से, सूचकांक β एक सीमा क्रमसूचक है या नहीं, <math>\varepsilon_\beta</math> एक निश्चित बिंदु है न केवल आधार ω घातांक का बल्कि सभी क्रमसूचक के लिए आधार of घातांक का भी <math>1 < \delta < \varepsilon_\beta</math> क्रमसूचक है।
-चूंकि एप्सिलॉन नंबर ऑर्डिनल नंबरों का एक अनबाउंड सबक्लास हैं, इसलिए वे स्वयं क्रमिक संख्याओं का उपयोग करके गणना की जाती हैं।किसी भी अध्यादेश संख्या के लिए <math>\beta</math>, <math>\varepsilon_\beta</math> क्या कम से कम एप्सिलॉन नंबर (घातीय मानचित्र का निश्चित बिंदु) पहले से ही सेट में नहीं है <math>\{ \varepsilon_\delta\mid \delta < \beta \}</math>।ऐसा प्रतीत हो सकता है कि यह पुनरावृत्त घातांक का उपयोग करके रचनात्मक परिभाषा के गैर-निर्माण समतुल्य है;लेकिन दो परिभाषाएँ सीमा अध्यादेशों द्वारा अनुक्रमित चरणों में समान रूप से गैर-कंस्ट्रक्टिव हैं, जो एक घातीय श्रृंखला के सुप्रीम को लेने की तुलना में एक उच्च क्रम के ट्रांसफ़िनाइट पुनरावृत्ति का प्रतिनिधित्व करती हैं।
+चूंकि इप्साइलन संख्या क्रमसूचक संख्याओं का एक अनबाउंड सबक्लास हैं, इसलिए वे स्वयं क्रमिक संख्याओं का उपयोग करके गणना की जाती हैं। क्रमवाचक संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो किसी स्थान पर किसी वस्तु या व्यक्ति की सटीक स्थिति को दर्शाती हैं। यदि किसी सूची में वस्तुओं/व्यक्तियों की संख्या निर्दिष्ट की गई है: वस्तुओं/व्यक्तियों की स्थिति क्रमिक संख्याओं द्वारा परिभाषित की जाती है। किसी चीज/किसी के क्रम को दर्शाने के लिए जिन विशेषण शब्दों का उपयोग किया जाता है, वे हैं पहला - पहला, दूसरा-दूसरा, तीसरा-तीसरा, चौथा-चौथा, पांचवां-पांचवां, छठा-छठा, और इसी तरह ये सभी शब्द क्रमिक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। जबकि गिनने वाली संख्याओं को क्रमसूचक संख्या कहते हैं, जैसे 0, 1, 2, 3, 4, 5, आदि। किसी भी क्रमसूचक संख्या के लिए <math>\beta</math>, <math>\varepsilon_\beta</math> क्या कम से कम इप्साइलन संख्या (घातीय मानचित्र का निश्चित बिंदु) पहले से ही समुच्चय में <math>\{ \varepsilon_\delta\mid \delta < \beta \}</math> नहीं है। ऐसा प्रतीत हो सकता है कि यह पुनरावृत्त घातांक का उपयोग करके रचनात्मक परिभाषा के गैर-निर्माण समतुल्य है; लेकिन दो परिभाषाएँ सीमा अध्यादेशों द्वारा अनुक्रमित चरणों में समान रूप से गैर-कंस्ट्रक्टिव हैं, जो एक घातीय श्रृंखला के सुप्रीम को लेने की तुलना में एक उच्च क्रम के ट्रांसफिनिट पुनरावृत्ति का प्रतिनिधित्व करती हैं।
-एप्सिलॉन संख्याओं के बारे में निम्नलिखित तथ्य साबित करने के लिए सीधे हैं:
+इप्साइलन संख्याओं के बारे में निम्नलिखित तथ्य प्रमाणित करने के लिए सीधे हैं:
-* हालांकि यह काफी बड़ी संख्या है, <math>\varepsilon_0</math> अभी भी गिनती करने योग्य है, गणना योग्य अध्यादेशों का एक गिनती करने योग्य संघ है;वास्तव में, <math>\varepsilon_\beta</math> यदि और केवल अगर और केवल अगर <math>\beta</math> गिनती योग्य है।
+* हालांकि यह काफी बड़ी संख्या है, <math>\varepsilon_0</math> अभी भी गिनती करने योग्य है, गणना योग्य अध्यादेशों का एक गिनती करने योग्य संघ है; वास्तव में, <math>\varepsilon_\beta</math> यदि और केवल और केवल <math>\beta</math> गिनती योग्य है।
-* एप्सिलॉन नंबरों के किसी भी गैर -रिक्त सेट का संघ (या सुप्रीम) एक एप्सिलॉन नंबर है;उदाहरण के लिए
+* इप्साइलन संख्याओं के किसी भी गैर -रिक्त समुच्चय का संघ (या सुप्रीम) एक इप्साइलन संख्या है; उदाहरण के लिए
 ::<math>\varepsilon_\omega = \sup\{\varepsilon_0, \varepsilon_1, \varepsilon_2, \ldots\}</math>
-: एक एप्सिलॉन नंबर है।इस प्रकार, मानचित्रण <math>\beta \mapsto \varepsilon_\beta</math> एक सामान्य कार्य है।
+: एक इप्साइलन संख्या है। इस प्रकार, मानचित्रण <math>\beta \mapsto \varepsilon_\beta</math> एक सामान्य फलन है।
-* किसी भी [[बेशुमार सेट]] [[बुनियादी संख्या]] का [[वॉन न्यूमैन कार्डिनल असाइनमेंट]] एक एप्सिलॉन नंबर है।
+* किसी भी [[बेशुमार सेट|अगणनीय]] समुच्चय [[बुनियादी संख्या|आधारभूत संख्या]] का [[वॉन न्यूमैन कार्डिनल असाइनमेंट|वॉन न्यूमैन क्रमसूचक असाइनमेंट]] एक इप्साइलन संख्या है।
 ::<math>\alpha \ge 1 \Rightarrow \varepsilon_{\omega_{\alpha}} = \omega_{\alpha} \,.</math>
-== ε का प्रतिनिधित्व<sub>0</sub> जड़ित पेड़ों द्वारा ==
+== ट्री-मूल द्वारा ε<sub>0</sub> का निरूपण ==
-किसी भी एप्सिलॉन नंबर ε में [[कैंटर सामान्य रूप]] है <math>\varepsilon =\omega ^{\varepsilon }</math>, जिसका अर्थ है कि कैंटर सामान्य रूप एप्सिलॉन संख्याओं के लिए बहुत उपयोगी नहीं है।Ε से कम क्रम<sub>0</sub>, हालांकि, उनके कैंटर सामान्य रूपों द्वारा उपयोगी रूप से वर्णित किया जा सकता है, जो ε का प्रतिनिधित्व करता है<sub>0</sub> के रूप में सभी पेड़ (ग्राफ सिद्धांत) #Rooted पेड़ के आदेशित सेट के रूप में, निम्नानुसार है।किसी भी अध्यादेश <math>\alpha<\varepsilon_0</math> कैंटर सामान्य रूप है <math>\alpha=\omega^{\beta_1}+\omega^{\beta_2}+\cdots+\omega^{\beta_k}</math> जहां k एक प्राकृतिक संख्या है और <math>\beta_1,\ldots,\beta_k</math> के साथ अध्यादेश हैं <math>\alpha>\beta_1\geq\cdots\geq\beta_k</math>, विशिष्ट रूप से निर्धारित किया गया <math>\alpha</math>।प्रत्येक अध्यादेश <math>\beta_1,\ldots,\beta_k</math> बदले में एक समान कैंटर सामान्य रूप है।हम परिमित रूट किए गए पेड़ को प्राप्त करते हैं जो α का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो पेड़ों की जड़ों में शामिल होकर प्रतिनिधित्व करते हैं <math>\beta_1,\ldots,\beta_k</math> एक नई जड़ के लिए।(इसका परिणाम यह है कि नंबर 0 को एक ही रूट द्वारा दर्शाया गया है जबकि संख्या <math>1=\omega^0</math> एक जड़ और एक पत्ती युक्त एक पेड़ द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है।) परिमित रूट किए गए पेड़ों के सेट पर एक आदेश को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया है: हम पहले आदेश घटाने के क्रम में जड़ में शामिल हो गए, और फिर इन आदेशित अनुक्रमों पर [[लेक्सिकोग्राफिकल ऑर्डर]] का उपयोग करेंउपप्रकार।इस तरह से सभी परिमित रूट किए गए पेड़ों का सेट एक अच्छी तरह से ऑर्डर बन जाता है। अच्छी तरह से ऑर्डर किया गया सेट जो ऑर्डर-आइसोमॉर्फिक है<sub>0</sub>।
+किसी भी इप्साइलन संख्या ε<sub>0</sub> में [[कैंटर सामान्य रूप]] <math>\varepsilon =\omega ^{\varepsilon }</math> है, जिसका अर्थ है कि कैंटर सामान्य रूप इप्साइलन संख्याओं के लिए बहुत उपयोगी नहीं है। Ε से कम क्रम, हालांकि, उनके कैंटर सामान्य रूपों द्वारा उपयोगी रूप से वर्णित किया जा सकता है, जो ε<sub>0</sub> का प्रतिनिधित्व करता है जिसके रूप में सभी ट्री (ग्राफ सिद्धांत) मूल के आदेशित समुच्चय के रूप में, निम्नानुसार है। किसी भी क्रमसूचक <math>\alpha<\varepsilon_0</math> कैंटर सामान्य रूप है <math>\alpha=\omega^{\beta_1}+\omega^{\beta_2}+\cdots+\omega^{\beta_k}</math> जहां k एक प्राकृतिक संख्या है और <math>\beta_1,\ldots,\beta_k</math> के साथ क्रमसूचक हैं <math>\alpha>\beta_1\geq\cdots\geq\beta_k</math>, विशिष्ट रूप से निर्धारित किया गया <math>\alpha</math>। प्रत्येक क्रमसूचक <math>\beta_1,\ldots,\beta_k</math> बदले में एक समान कैंटर सामान्य रूप है। हम परिमित रूट किए गए ट्री को प्राप्त करते हैं जो α का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो ट्री की मूलों में सम्मिलित होकर प्रतिनिधित्व करते हैं <math>\beta_1,\ldots,\beta_k</math> एक नई मूल के लिए (इसका परिणाम यह है कि संख्या 0 को एक ही रूट द्वारा दर्शाया गया है जबकि संख्या <math>1=\omega^0</math> एक मूल और एक पत्ती युक्त एक ट्री द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है।) परिमित रूट किए गए ट्री के समुच्चय पर एक आदेश को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया है: हम पहले आदेश घटाने के क्रम में मूल में सम्मिलित हो गए, और फिर इन आदेशित अनुक्रमों पर [[लेक्सिकोग्राफिकल ऑर्डर|लेक्सिकोग्राफिकल]] आदेश का उपयोग करें। इस तरह से सभी परिमित रूट किए गए ट्री का समुच्चय एक अच्छी तरह से आदेश बन जाता है। अच्छी तरह से आदेश किया गया समुच्चय जो ऑर्डर-आइसोमॉर्फिक है।
-यह प्रतिनिधित्व गुडस्टीन के प्रमेय के प्रमाण से संबंधित है, जो एक ग्राफ-थ्योरिटिक गेम के रूप में ऑर्डिनल्स के घटते दृश्यों का प्रतिनिधित्व करता है।
+यह प्रतिनिधित्व गुडस्टीन के प्रमेय के प्रमाण से संबंधित है, जो एक ग्राफ-थ्योरिटिक गेम के रूप में क्रमसूचक के घटते दृश्यों का प्रतिनिधित्व करता है।
 == वेबलन पदानुक्रम ==
-{{Main|Veblen function}}
+{{Main|वेब्लेन फलन}}
-एप्सिलॉन मैपिंग के निश्चित बिंदु <math>x \mapsto \varepsilon_x</math> एक सामान्य फ़ंक्शन बनाते हैं, जिनके निश्चित बिंदु एक सामान्य कार्य बनाते हैं;इसे वेबलन फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है (वेबलन फ़ंक्शन के साथ φ<sub>0</sub>(α) & nbsp; = & nbsp; ω<sup>α </sup>)।वेलब्लेन पदानुक्रम के अंकन में, एप्सिलॉन मैपिंग φ है<sub>1</sub>, और इसके निश्चित बिंदुओं को φ द्वारा गणना की जाती है<sub>2</sub>।
-इस नस में जारी रखते हुए, कोई भी नक्शे को परिभाषित कर सकता है<sub>α</sub> उत्तरोत्तर बड़े ऑर्डिनल्स α के लिए (सहित, इस दुर्लभ रूप से ट्रांसफ़िनेट पुनरावृत्ति के रूप में, सीमाएँ सीमाएँ), उत्तरोत्तर बड़े कम से कम निश्चित बिंदुओं के साथ φ<sub>α+1</sub>(०)।इस प्रक्रिया से 0 से कम से कम क्रमिक नहीं - मैं।ई।, कम से कम ऑर्डिनल α जिसके लिए φ<sub>α</sub>(0) = α, या समकक्ष रूप से नक्शे का पहला निश्चित बिंदु <math>\alpha \mapsto \varphi_\alpha(0)</math>—इस फफर्मन - शेट्टे ऑर्डिनल γ<sub>0</sub>।एक सेट सिद्धांत में जहां इस तरह के एक अध्यादेश का अस्तित्व साबित हो सकता है, एक का नक्शा है, जो निश्चित बिंदुओं को दर्शाता है γ<sub>0</sub>, सी<sub>1</sub>, सी<sub>2</sub>, ... का <math>\alpha \mapsto \varphi_\alpha(0)</math>;ये सभी अभी भी एप्सिलॉन नंबर हैं, क्योंकि वे φ की छवि में झूठ बोलते हैं<sub>β</sub> हर γ γ के लिए<sub>0</sub>, नक्शे के साथ,<sub>1</sub> यह एप्सिलॉन संख्याओं की गणना करता है।
+इप्साइलन मैपिंग के निश्चित बिंदु <math>x \mapsto \varepsilon_x</math> एक सामान्य फलन बनाते हैं, जिनके निश्चित बिंदु एक सामान्य कार्य बनाते हैं, इसे वेबलन फलन के रूप में जाना जाता है। (वेबलन फलन के साथ φ<sub>0</sub>(α)ω<sup>α</sup>) वेलब्लेन पदानुक्रम के अंकन में, इप्साइलन मैपिंग φ<sub>1</sub> है, और इसके निश्चित बिंदुओं को φ<sub>2</sub> द्वारा गणना की जाती है।
+इस वेन में जारी रखते हुए, कोई भी नक्शे को परिभाषित कर सकता है, उत्तरोत्तर बड़े क्रमसूचक α<sub>α</sub> के लिए (सहित, इस दुर्लभ रूप से ट्रांसफ़िनेट पुनरावृत्ति के रूप में, सीमाएँ सीमाएँ), उत्तरोत्तर बड़े कम से कम निश्चित बिंदुओं के साथ φ<sub>α+1</sub>(०) इस प्रक्रिया से 0 से कम से कम क्रमिक नहीं कम से कम क्रमसूचक संख्या α जिसके लिए φ<sub>α</sub>(0) = α, या समकक्ष रूप से नक्शे का पहला निश्चित बिंदु <math>\alpha \mapsto \varphi_\alpha(0)</math>—इस फफर्मन - शेट्टे क्रमसूचक संख्या γ<sub>0</sub> एक समुच्चय सिद्धांत में जहां इस तरह के एक क्रमसूचक का अस्तित्व प्रमाणित हो सकता है, एक का नक्शा है, जो निश्चित बिंदुओं को दर्शाता है γ<sub>0</sub>, सी<sub>1</sub>, सी<sub>2</sub>, ... का <math>\alpha \mapsto \varphi_\alpha(0)</math>; ये सभी अभी भी इप्साइलन संख्या हैं, क्योंकि वे φ<sub>β</sub> की छवि में असत्य प्रमाण देते हैं हर γ, γ<sub>0</sub> के लिए, नक्शे के साथ Y<sub>1</sub>, यह इप्साइलन संख्याओं की गणना करता है।
 == असली ε संख्याएँ ==
-संख्या और खेलों में, वास्तविक संख्या पर क्लासिक प्रदर्शनी, जॉन हॉर्टन कॉनवे ने अवधारणाओं के कई उदाहरण प्रदान किए, जिनमें ऑर्डिनल्स से लेकर सरेल तक प्राकृतिक एक्सटेंशन थे।ऐसा ही एक कार्य है।<math>\omega</math>-नक्शा <math>n \mapsto \omega^n</math>;यह मैपिंग स्वाभाविक रूप से एक फ़ंक्शन के अपने डोमेन में सभी वास्तविक संख्याओं को शामिल करने के लिए सामान्य रूप से सामान्यीकरण करता है, जो बदले में सर्जरी संख्या के लिए क्रमिक अंकगणित#कैंटर सामान्य रूप का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण प्रदान करता है।
+संख्या और खेलों में, वास्तविक संख्या पर क्लासिक प्रदर्शनी, जॉन हॉर्टन कॉनवे ने अवधारणाओं के कई उदाहरण प्रदान किए, जिनमें क्रमसूचक से लेकर सरेल तक प्राकृतिक एक्सटेंशन थे। ऐसा ही एक कार्य है। <math>\omega</math>-नक्शा <math>n \mapsto \omega^n</math>, यह मैपिंग स्वाभाविक रूप से एक फलन के अपने डोमेन में सभी वास्तविक संख्याओं को सम्मिलित करने के लिए सामान्य रूप से सामान्यीकरण करता है, जो बदले में सर्जरी संख्या के लिए क्रमिक अंकगणित कैंटर सामान्य रूप का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण प्रदान करता है।
-इस विस्तारित नक्शे के किसी भी निश्चित बिंदु पर एक एप्सिलॉन नंबर पर विचार करना स्वाभाविक है, चाहे वह कड़ाई से एक क्रमिक संख्या हो या नहीं।गैर-ऑर्डिनल एप्सिलॉन नंबरों के कुछ उदाहरण हैं
+इस विस्तारित नक्शे के किसी भी निश्चित बिंदु पर एक इप्साइलन संख्या पर विचार करना स्वाभाविक है, चाहे वह कड़ाई से एक क्रमिक संख्या हो या नहीं। गैर-क्रमसूचक संख्या इप्साइलन संख्याओं के कुछ उदाहरण हैं
 :<math>\varepsilon_{-1} = \{0, 1, \omega, \omega^\omega, \ldots \mid \varepsilon_0 - 1, \omega^{\varepsilon_0 - 1}, \ldots\}</math>
@@ Line 80: / Line 75: @@
 :<math>\varepsilon_{1/2} = \{\varepsilon_0 + 1, \omega^{\varepsilon_0 + 1}, \ldots \mid \varepsilon_1 - 1, \omega^{\varepsilon_1 - 1}, \ldots\}.</math>
-परिभाषित करने का एक स्वाभाविक तरीका है <math>\varepsilon_n</math> प्रत्येक वास्तविक संख्या n के लिए, और नक्शा ऑर्डर-संरक्षण रहता है।कॉनवे ने इरेड्यूसिबल वास्तविक संख्याओं के एक व्यापक वर्ग को परिभाषित किया है जिसमें विशेष रूप से दिलचस्प उपक्लास के रूप में एप्सिलॉन नंबर शामिल हैं।
+परिभाषित करने का एक स्वाभाविक तरीका <math>\varepsilon_n</math>है, प्रत्येक वास्तविक संख्या n के लिए, और नक्शा ऑर्डर-संरक्षण रहता है। कॉनवे ने इरेड्यूसिबल वास्तविक संख्याओं के एक व्यापक वर्ग को परिभाषित किया है जिसमें विशेष रूप से दिलचस्प उपक्लास के रूप में इप्साइलन संख्या सम्मिलित हैं।
 == यह भी देखें ==
-*अध्यादेश अंकगणित
+*क्रमसूचक अंकगणित
 *[[बड़े गिनती योग्य अध्यादेश]]
@@ Line 100: / Line 95: @@
 }}
-{{countable ordinals}}
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
-[[Category: क्रमसूचक संख्या]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 13/02/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Short description with empty Wikidata description]]
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