आधार (टोपोलॉजी): Difference between revisions

Revision as of 17:17, 19 February 2023

गणित में, टोपोलॉजी (संरचना) के लिए आधार (या आधार) $τ$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $(X, τ)$ समुच्चयों का परिवार है ${\mathcal {B}}$ के खुले समुच्चयों का $X$ ऐसा है कि टोपोलॉजी का हर खुला समुच्चय कुछ उप समुच्चय के संघ स्थापित करें के बराबर है | उप-परिवार ${\mathcal {B}}$ . उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्या रेखा में सभी खुले अंतरालों का समुच्चय $\mathbb {R}$ यूक्लिडियन टोपोलॉजी का आधार है $\mathbb {R}$ क्योंकि प्रत्येक विवृत्त अंतराल एक विवृत्त समुच्चय होता है, और प्रत्येक विवृत्त उपसमुच्चय भी $\mathbb {R}$ खुले अंतराल के कुछ परिवार के संघ के रूप में लिखा जा सकता है।

आधार पूरे टोपोलॉजी में सर्वव्यापी हैं। एक टोपोलॉजी के लिए बेस में समुच्चय, जो कहलाते हैं मूलभूत खुले समुच्चय, मनमाने ढंग से खुले समुच्चयों की तुलना में प्रायः वर्णन करना और उपयोग करना आसान होता है।^[1] निरंतर कार्य और अभिसरण (टोपोलॉजी) जैसी कई महत्वपूर्ण टोपोलॉजिकल परिभाषाओं की जांच मनमाने ढंग से खुले समुच्चयों के बजाय केवल मूल खुले समुच्चयों का उपयोग करके की जा सकती है। कुछ टोपोलॉजी में विशिष्ट उपयोगी गुणों के साथ खुले समुच्चय का आधार होता है जो ऐसी टोपोलॉजिकल परिभाषाओं की जाँच को आसान बना सकता है।

समुच्चय के उप समुच्चय के सभी परिवार नहीं $X$ एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार तैयार करें $X$ . नीचे दी गई कुछ शर्तों के तहत, उप समुच्चय का परिवार एक (अद्वितीय) टोपोलॉजी के लिए आधार बनाएगा $X$ , सबफैमिली के सभी संभावित यूनियनों को लेकर प्राप्त किया गया। टोपोलॉजी को परिभाषित करने के लिए समुच्चय के ऐसे परिवारों का प्रायः उपयोग किया जाता है। आधारों से संबंधित एक कमजोर धारणा एक टोपोलॉजी के लिए उप-आधार की है। टोपोलॉजी के आधार भी पड़ोस के ठिकानों से निकटता से संबंधित हैं।

परिभाषा और मूलभूत गुण

टोपोलॉजिकल स्पेस दिया गया $(X,\tau )$ , आधार^[2]^[3]^[4]^[5] (या आधार^[6]) टोपोलॉजी (संरचना) के लिए $\tau$ (के लिए एक आधार भी कहा जाता है $X$ यदि टोपोलॉजी को समझा जाए) समुच्चयों का परिवार है ${\mathcal {B}}\subseteq \tau$ खुले समुच्चयों का ऐसा कि टोपोलॉजी के हर खुले समुच्चय को कुछ उपपरिवारों के मिलन के रूप में दर्शाया जा सकता है ${\mathcal {B}}$ .^{[note 1]} के तत्व ${\mathcal {B}}$ बेसिक ओपन समुच्चय कहलाते हैं। समान रूप से, एक परिवार ${\mathcal {B}}$ के उप समुच्चय का $X$ टोपोलॉजी का आधार है $\tau$ यदि और केवल यदि ${\mathcal {B}}\subseteq \tau$ और हर खुले समुच्चय के लिए $U$ में $X$ और बिंदु $x\in U$ कुछ मूलभूत खुला समुच्चय है $B\in {\mathcal {B}}$ ऐसा है कि $x\in B\subseteq U$ .

उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा में सभी खुले अंतरालों का संग्रह वास्तविक संख्याओं पर मानक टोपोलॉजी के लिए आधार बनाता है। अधिक सामान्यतः, एक मीट्रिक स्थान में $M$ के अंक के बारे में सभी खुली गेंदों का संग्रह $M$ टोपोलॉजी के लिए एक आधार बनाता है।

सामान्य तौर पर, एक सामयिक स्थान $(X,\tau )$ अनेक आधार हो सकते हैं। संपूर्ण टोपोलॉजी $\tau$ हमेशा अपने लिए एक आधार होता है (अर्थात, $\tau$ का आधार है $\tau$ ). वास्तविक रेखा के लिए, सभी खुले अंतरालों का संग्रह टोपोलॉजी का आधार है। उदाहरण के लिए, तर्कसंगत अंतराल के साथ सभी खुले अंतरालों का संग्रह, या तर्कहीन अंत बिंदुओं के साथ सभी खुले अंतरालों का संग्रह। ध्यान दें कि दो अलग-अलग आधारों के लिए सामान्य रूप से मूलभूत खुला समुच्चय होना आवश्यक नहीं है। अंतरिक्ष के सामयिक गुणों में से एक $X$ इसकी टोपोलॉजी के लिए आधार की न्यूनतम प्रमुखता है, जिसे वजन कहा जाता है $X$ और निरूपित $w(X)$ . उपरोक्त उदाहरणों से, वास्तविक रेखा में गणनीय भार होता है।

यदि ${\mathcal {B}}$ टोपोलॉजी का आधार है $\tau$ एक स्थान का $X$ , यह निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:^[7]^[3]:(बी1) के तत्व ${\mathcal {B}}$ आवरण (टोपोलॉजी) $X$ , यानी, हर बिंदु $x\in X$ के किसी तत्व से संबंधित है ${\mathcal {B}}$ .

(B2) प्रत्येक के लिए

B_{1},B_{2}\in {\mathcal {B}}

और हर बिंदु

x\in B_{1}\cap B_{2}

, कुछ मौजूद है

B_{3}\in {\mathcal {B}}

ऐसा है कि

x\in B_{3}\subseteq B_{1}\cap B_{2}

.

संपत्ति (B1) इस तथ्य से मेल खाती है कि $X$ एक खुला समुच्चय है; संपत्ति (B2) इस तथ्य से मेल खाती है कि $B_{1}\cap B_{2}$ एक खुला समुच्चय है।

इसके विपरीत मान लीजिए $X$ बिना किसी टोपोलॉजी के सिर्फ एक समुच्चय है और ${\mathcal {B}}$ के उपसमुच्चय का परिवार है $X$ संतोषजनक गुण (B1) और (B2) है। तब ${\mathcal {B}}$ यह उत्पन्न होने वाली टोपोलॉजी के लिए एक आधार है। अधिक सटीक, चलो $\tau$ के सभी उपसमूहों का परिवार हो $X$ जो कि उप-परिवारों के संघ हैं ${\mathcal {B}}.$ तब $\tau$ पर एक टोपोलॉजी है $X$ और ${\mathcal {B}}$ का आधार है $\tau$ .^[7]^[8] (स्केच: $\tau$ एक टोपोलॉजी को परिभाषित करता है क्योंकि यह निर्माण द्वारा मनमाना संघों के तहत स्थिर है, यह परिमित चौराहों के तहत स्थिर है (B2), इसमें शामिल है $X$ द्वारा (B1), और इसमें खाली उपपरिवार के मिलन के रूप में खाली समुच्चय शामिल है ${\mathcal {B}}$ . परिवार ${\mathcal {B}}$ तब के लिए एक आधार है $\tau$ निर्माण द्वारा है। समुच्चय के ऐसे परिवार एक टोपोलॉजी को परिभाषित करने का एक बहुत ही सामान्य तरीका है।

सामान्य तौर पर, यदि $X$ एक समुच्चय है और ${\mathcal {B}}$ के उप समुच्चय का मनमाना संग्रह है $X$ , एक (अद्वितीय) सबसे छोटी टोपोलॉजी है $\tau$ पर $X$ युक्त ${\mathcal {B}}$ . (यह टोपोलॉजी सभी टोपोलॉजी का प्रतिच्छेदन (समुच्चय थ्योरी) है $X$ युक्त ${\mathcal {B}}$ ।) टोपोलॉजी $\tau$ द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी कहलाती है ${\mathcal {B}}$ , और ${\mathcal {B}}$ के लिए उप आधार कहलाता है $\tau$ . टोपोलॉजी $\tau$ के तत्वों के परिमित चौराहों के सभी मनमाने संघों के समुच्चय के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है ${\mathcal {B}}$ . (सबबेस के बारे में लेख देखें।) अब, यदि ${\mathcal {B}}$ गुणों (B1) और (B2) को भी संतुष्ट करता है, जिसके द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी ${\mathcal {B}}$ चौराहों को लिए बिना सरल तरीके से वर्णित किया जा सकता है: $\tau$ के तत्वों के सभी संघों का समुच्चय है ${\mathcal {B}}$ (और ${\mathcal {B}}$ के लिए आधार है $\tau$ उस मामले में)।

हालत (B2) की जांच करने का प्रायः आसान तरीका होता है। यदि किन्हीं दो तत्वों का प्रतिच्छेदन ${\mathcal {B}}$ का ही एक अंग है ${\mathcal {B}}$ या खाली है, तो स्थिति (B2) स्वत: संतुष्ट हो जाती है (लेकर $B_{3}=B_{1}\cap B_{2}$ ). उदाहरण के लिए, समतल पर यूक्लिडियन टोपोलॉजी एक आधार के रूप में क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर पक्षों के साथ सभी खुले आयतों के समुच्चय को स्वीकार करती है, और ऐसे दो मूलभूत खुले समुच्चयों का एक गैर-रिक्त चौराहा भी एक मूलभूत खुला समुच्चय है। लेकिन उसी टोपोलॉजी के लिए एक अन्य आधार सभी खुली डिस्क का संग्रह है; और यहाँ पूर्ण (B2) शर्त आवश्यक है।

खुले समुच्चयों के संग्रह का एक उदाहरण जो आधार नहीं है, समुच्चय है $S$ रूपों के सभी अर्ध-अनंत अंतरालों की $(-\infty ,a)$ और $(a,\infty )$ साथ $a\in \mathbb {R}$ . द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी $S$ सभी खुले अंतराल शामिल हैं $(a,b)=(-\infty ,b)\cap (a,\infty )$ , इस तरह $S$ वास्तविक रेखा पर मानक टोपोलॉजी उत्पन्न करता है। लेकिन $S$ टोपोलॉजी के लिए केवल एक उप-आधार है, आधार नहीं: एक परिमित खुला अंतराल $(a,b)$ का कोई तत्व नहीं है $S$ (समतुल्य रूप से, गुण (B2) धारण नहीं करता है)।

उदाहरण

समुच्चय $Γ$ सभी खुले अंतरालों में $\mathbb {R}$ यूक्लिडियन टोपोलॉजी के लिए एक आधार बनाता है $\mathbb {R}$ .

समुच्चय के उप समुच्चय का एक गैर-खाली परिवार $X$ जो दो या दो से अधिक समुच्चयों के परिमित चौराहों के अंतर्गत बंद है, जिसे पाई-सिस्टम कहा जाता है $π$ -सिस्टम चालू $X$ , अनिवार्य रूप से एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार है $X$ यदि और केवल यदि यह कवर करता है $X$ . परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक सिग्मा-बीजगणित|σ-बीजगणित, प्रत्येक फ़िल्टर (समुच्चय सिद्धांत) (और इसलिए विशेष रूप से, प्रत्येक पड़ोस व्यवस्था), और प्रत्येक टोपोलॉजिकल स्पेस#टोपोलॉजी एक आवरण है $π$ -प्रणाली और इसलिए एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार भी। वास्तव में, यदि $Γ$ एक फिल्टर चालू है $X$ तब ${ \emptyset } \cup Γ$ पर एक टोपोलॉजी है $X$ और $Γ$ इसका एक आधार है। एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार को परिमित चौराहों के तहत बंद नहीं करना पड़ता है और कई नहीं होते हैं। लेकिन फिर भी, कई टोपोलॉजी उन आधारों द्वारा परिभाषित की जाती हैं जो परिमित चौराहों के तहत भी बंद हैं। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित परिवारों में से प्रत्येक के उपसमुच्चय $\mathbb {R}$ परिमित चौराहों के नीचे बंद है और इसलिए प्रत्येक कुछ टोपोलॉजी के लिए आधार बनाता है $\mathbb {R}$ :

समुच्चय $Γ$ सभी बाध्य खुले अंतरालों में से $\mathbb {R}$ पर सामान्य यूक्लिडियन टोपोलॉजी उत्पन्न करता है $\mathbb {R}$ .
समुच्चय $Σ$ सभी परिबद्ध बंद अंतरालों में से $\mathbb {R}$ पर असतत टोपोलॉजी उत्पन्न करता है $\mathbb {R}$ और इसलिए यूक्लिडियन टोपोलॉजी इस टोपोलॉजी का एक उप समुच्चय है। यह इस तथ्य के बावजूद है कि $Γ$ का उपसमुच्चय नहीं है $Σ$ . नतीजतन, द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी $Γ$ , जो कि यूक्लिडियन टोपोलॉजी है $\mathbb {R}$ , टोपोलॉजी द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी की तुलना है $Σ$ . वास्तव में, यह सख्ती से मोटा है क्योंकि $Σ$ गैर-खाली कॉम्पैक्ट समुच्चय शामिल हैं जो यूक्लिडियन टोपोलॉजी में कभी खुले नहीं होते हैं।
समुच्चय $\mathbb {Q}$ सभी अंतरालों में $Γ$ जैसे कि अंतराल के दोनों समापन बिंदु परिमेय संख्याएँ समान टोपोलॉजी उत्पन्न करती हैं $Γ$ . यह सच रहता है यदि प्रतीक का प्रत्येक उदाहरण $Γ$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $Σ$ .
$\mathbb {R}$ एक टोपोलॉजी उत्पन्न करता है जो टोपोलॉजी द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी की तुलना में टोपोलॉजी की तुलना करता है $Σ$ . का कोई तत्व नहीं $Σ \infty$ यूक्लिडियन टोपोलॉजी में खुला है $\mathbb {R}$ .
$\mathbb {R}$ एक ऐसी टोपोलॉजी उत्पन्न करता है जो यूक्लिडियन टोपोलॉजी और इसके द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी दोनों की तुलना में सख्त है $Σ \infty$ . समुच्चय $Σ \infty$ और $Γ \infty$ अलग हैं, लेकिन फिर भी $Γ \infty$ द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी का एक उप समुच्चय है $Σ \infty$ .

=== आधार === के संदर्भ में परिभाषित वस्तुएं

पूरी तरह से ऑर्डर किए गए समुच्चय पर आदेश टोपोलॉजी आधार के रूप में ओपन-इंटरवल-जैसे समुच्चय के संग्रह को स्वीकार करती है।
मीट्रिक स्थान में सभी खुली गेंदों का संग्रह टोपोलॉजी के लिए आधार बनाता है।
असतत टोपोलॉजी में आधार के रूप में सभी सिंगलटन (गणित) का संग्रह है।
एक [[दूसरा गणनीय स्थान]] वह है जिसका एक गणनीय आधार है।

रिंग के स्पेक्ट्रम पर जरिस्की टोपोलॉजी में एक आधार होता है जिसमें खुले समुच्चय होते हैं जिनमें विशिष्ट उपयोगी गुण होते हैं। इस टोपोलॉजी के सामान्य आधार के लिए, मूलभूत खुले समुच्चयों का प्रत्येक परिमित चौराहा एक मूलभूत खुला समुच्चय है।

जारिस्की की टोपोलॉजी $\mathbb {C} ^{n}$ वह टोपोलॉजी है जिसमें बीजगणितीय समुच्चय बंद समुच्चय के रूप में होते हैं। इसका एक आधार है जो एफाइन बीजगणितीय हाइपरसर्फेस के समुच्चय पूरक द्वारा बनाया गया है।
रिंग के स्पेक्ट्रम (प्रमुख आदर्श का समुच्चय) के ज़ारिस्की टोपोलॉजी का एक आधार ऐसा होता है कि प्रत्येक तत्व में सभी प्राइम आइडियल्स होते हैं जिनमें रिंग का कोई तत्व नहीं होता है।

प्रमेय

एक टोपोलॉजी $\tau _{2}$ एक टोपोलॉजी की तुलना में टोपोलॉजी की तुलना है $\tau _{1}$ यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए $x\in X$ और प्रत्येक मूलभूत खुला समुच्चय $B$ का $\tau _{1}$ युक्त $x$ , का एक मूलभूत खुला समुच्चय है $\tau _{2}$ युक्त $x$ और में समाहित है $B$ .
यदि ${\mathcal {B}}_{1},\ldots ,{\mathcal {B}}_{n}$ टोपोलॉजी के आधार हैं $\tau _{1},\ldots ,\tau _{n}$ फिर सभी कार्टेशियन उत्पाद का संग्रह $B_{1}\times \cdots \times B_{n}$ प्रत्येक के साथ $B_{i}\in {\mathcal {B}}_{i}$ उत्पाद टोपोलॉजी का आधार है $\tau _{1}\times \cdots \times \tau _{n}.$ एक अनंत उत्पाद के मामले में, यह अभी भी लागू होता है, सिवाय इसके कि सभी मूल तत्वों के अलावा सभी को संपूर्ण स्थान होना चाहिए।
होने देना ${\mathcal {B}}$ के लिए आधार हो $X$ और जाने $Y$ का एक सामयिक स्थान हो $X$ . फिर यदि हम के प्रत्येक तत्व को प्रतिच्छेद करते हैं ${\mathcal {B}}$ साथ $Y$ , समुच्चय का परिणामी संग्रह उप-स्थान के लिए एक आधार है $Y$ .
यदि कोई फ़ंक्शन $f:X\to Y$ के हर मूलभूत खुले समुच्चय को मैप करता है $X$ के एक खुले समुच्चय में $Y$ , यह एक खुला नक्शा है। इसी तरह, यदि एक बेसिक ओपन समुच्चय का हर प्रीइमेज $Y$ में खुला है $X$ , तब $f$ निरंतरता (टोपोलॉजी) है।
${\mathcal {B}}$ टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए एक आधार है $X$ यदि और केवल यदि के तत्वों का उपसंग्रह ${\mathcal {B}}$ किसमें है $x$ पर एक स्थानीय आधार बनाएँ $x$ , किसी भी बिंदु के लिए $x\in X$ .

बंद समुच्चय के लिए आधार

बंद समुच्चय अंतरिक्ष की टोपोलॉजी का वर्णन करने में समान रूप से कुशल हैं। इसलिए, टोपोलॉजिकल स्पेस के बंद समुच्चय के लिए आधार की दोहरी धारणा है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस दिया गया $X,$ समुच्चय का एक परिवार ${\mathcal {C}}$ बंद समुच्चय बंद समुच्चय के लिए एक आधार बनाते हैं यदि और केवल प्रत्येक बंद समुच्चय के लिए $A$ और प्रत्येक बिंदु $x$ अंदर नही $A$ का एक तत्व मौजूद है ${\mathcal {C}}$ युक्त $A$ लेकिन युक्त नहीं $x.$ एक परिवार ${\mathcal {C}}$ के बंद समुच्चय के लिए एक आधार है $X$ यदि और केवल यदि इसकी dual में $X,$ वह परिवार है $\{X\setminus C:C\in {\mathcal {C}}\}$ के सदस्यों के पूरक (समुच्चय सिद्धांत) का ${\mathcal {C}}$ , के खुले समुच्चय के लिए एक आधार है $X.$ होने देना ${\mathcal {C}}$ के बंद समुच्चय के लिए आधार बनें $X.$ तब

$\bigcap {\mathcal {C}}=\varnothing$
प्रत्येक के लिए $C_{1},C_{2}\in {\mathcal {C}}$ संगठन $C_{1}\cup C_{2}$ के कुछ उपपरिवार का प्रतिच्छेदन है ${\mathcal {C}}$ (यानी, किसी के लिए $x\in X$ अंदर नही $C_{1}{\text{ or }}C_{2}$ वहाँ कुछ $C_{3}\in {\mathcal {C}}$ युक्त $C_{1}\cup C_{2}$ और युक्त नहीं $x$ ).

किसी समुच्चय के उप समुच्चय का कोई भी संग्रह $X$ इन गुणों को संतुष्ट करना एक टोपोलॉजी के बंद समुच्चय के लिए आधार बनाता है $X.$ इस टोपोलॉजी के बंद समुच्चय सदस्यों के चौराहे हैं ${\mathcal {C}}.$ कुछ मामलों में खुले समुच्चय के बजाय बंद समुच्चय के लिए आधार का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है। उदाहरण के लिए, एक स्थान पूरी तरह से नियमित है यदि और केवल यदि शून्य समुच्चय बंद समुच्चय के लिए आधार बनाते हैं। किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस को देखते हुए $X,$ शून्य समुच्चय कुछ टोपोलॉजी के बंद समुच्चयों के लिए आधार बनाते हैं $X.$ यह टोपोलॉजी बेहतरीन पूरी तरह से नियमित टोपोलॉजी होगी $X$ मूल की तुलना में मोटा। इसी तरह, ए पर जरिस्की टोपोलॉजीⁿ को बंद समुच्चयों के आधार के रूप में बहुपद कार्यों के शून्य समुच्चयों को लेकर परिभाषित किया गया है।

वजन और चरित्र

हम में स्थापित धारणाओं के साथ काम करेंगे (Engelking 1989, p. 12, pp. 127-128).

X को एक टोपोलॉजिकल स्पेस फिक्स करें। यहाँ, एक 'नेटवर्क' एक परिवार है ${\mathcal {N}}$ समुच्चयों की संख्या, जिसके लिए, x वाले सभी बिंदुओं और खुले पड़ोस U के लिए, में B मौजूद है ${\mathcal {N}}$ जिसके लिए $x\in B\subseteq U.$ ध्यान दें कि, आधार के विपरीत, नेटवर्क में समुच्चय खुले होने की आवश्यकता नहीं है।

हम वज़न को परिभाषित करते हैं, w(X), एक आधार की न्यूनतम कार्डिनैलिटी के रूप में; हम नेटवर्क भार को परिभाषित करते हैं, nw(X), एक नेटवर्क की न्यूनतम कार्डिनैलिटी के रूप में; एक बिंदु का चरित्र, $\chi (x,X),$ एक्स में एक्स के लिए पड़ोस के आधार की न्यूनतम कार्डिनैलिटी के रूप में; और X का 'चरित्र' होना

\chi (X)\triangleq \sup\{\chi (x,X):x\in X\}.

चरित्र और वजन की गणना करने का बिंदु यह बताने में सक्षम होना है कि किस प्रकार के आधार और स्थानीय आधार मौजूद हो सकते हैं। हमारे पास निम्नलिखित तथ्य हैं:

एनडब्ल्यू (एक्स) ≤ डब्ल्यू (एक्स)।
यदि X असतत है, तो w(X) = nw(X) = |X|.
यदि X हॉसडॉर्फ है, तो nw(X) परिमित है यदि और केवल यदि X परिमित असतत है।
यदि बी एक्स का आधार है तो आधार है $B'\subseteq B$ आकार का $|B'|\leq w(X).$
यदि N, X में x के लिए एक पड़ोस का आधार है, तो एक पड़ोस का आधार है $N'\subseteq N$ आकार का $|N'|\leq \chi (x,X).$
यदि $f:X\to Y$ एक सतत अनुमान है, तो nw(Y) ≤ w(X). (बस वाई-नेटवर्क पर विचार करें $f'''B\triangleq \{f''U:U\in B\}$ एक्स के प्रत्येक आधार बी के लिए।)
यदि $(X,\tau )$ हॉसडॉर्फ है, तो एक कमजोर हॉसडॉर्फ टोपोलॉजी मौजूद है $(X,\tau ')$ ताकि $w(X,\tau ')\leq nw(X,\tau ).$ तो एक उदाहरण, यदि X भी कॉम्पैक्ट है, तो ऐसी टोपोलॉजी मेल खाती है और इसलिए हमारे पास पहले तथ्य के साथ संयुक्त है, nw(X) = w(X)।
यदि $f:X\to Y$ कॉम्पैक्ट मेट्रिजेबल स्पेस से हॉसडॉर्फ स्पेस तक एक सतत प्रक्षेपण मानचित्र, फिर वाई कॉम्पैक्ट मेट्रिजेबल है।

अंतिम तथ्य f(X) कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ होने से आता है, और इसलिए $nw(f(X))=w(f(X))\leq w(X)\leq \aleph _{0}$ (चूंकि कॉम्पैक्ट मेट्रिज़ेबल स्पेस आवश्यक रूप से दूसरे काउंटेबल हैं); साथ ही तथ्य यह है कि कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान मेट्रिजेबल हैं, यदि वे दूसरे गणनीय हैं। (उदाहरण के लिए, इसका एक अनुप्रयोग यह है कि हॉसडॉर्फ अंतरिक्ष में प्रत्येक पथ कॉम्पैक्ट मेट्रिजेबल है।)

खुले समुच्चयों की बढ़ती श्रृंखला

उपरोक्त संकेतन का उपयोग करते हुए, मान लीजिए कि w(X) ≤ κ कुछ अनंत कार्डिनल हैं। फिर लंबाई ≥ κ के खुले समुच्चयों के सख्ती से बढ़ते अनुक्रम (समान रूप से बंद समुच्चयों के सख्ती से घटते क्रम) मौजूद नहीं हैं⁺.

इसे देखने के लिए (पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना), ठीक करें

\left\{U_{\xi }\right\}_{\xi \in \kappa },

खुले समुच्चय के आधार के रूप में। और प्रति विपरीत मान लीजिए, वह

\left\{V_{\xi }\right\}_{\xi \in \kappa ^{+}}

खुले समुच्चयों का सख्ती से बढ़ता क्रम था। इसका मतलब यह है

\forall \alpha <\kappa ^{+}:\qquad V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }\neq \varnothing .

के लिए

x\in V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi },

हम कुछ यू खोजने के लिए आधार का उपयोग कर सकते हैं_γयू में एक्स के साथ_γ⊆ वी_α. इस प्रकार हम एक मानचित्र, f : κ को अच्छी तरह से परिभाषित कर सकते हैं⁺ → κ प्रत्येक α की मैपिंग कम से कम γ जिसके लिए U_γ⊆ वी_αऔर मिलता है

V_{\alpha }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }.

यह मानचित्र अंतःक्षेपी है, अन्यथा इसमें α < β होगा जिसमें f(α) = f(β) = γ होगा, जिसका अर्थ आगे U होगा_γ⊆ वी_αबल्कि मिलते भी हैं

V_{\beta }\setminus \bigcup _{\xi <\alpha }V_{\xi }\subseteq V_{\beta }\setminus V_{\alpha },

जो एक विरोधाभास है। लेकिन इससे यह पता चलेगा कि κ⁺ ≤ κ, एक विरोधाभास।

यह भी देखें

एसेनिन-वोल्पिन प्रमेय
ग्लूइंग स्वयंसिद्ध
पड़ोस व्यवस्था

संदर्भ

↑ Adams & Franzosa 2009, pp. 46–56.
↑ Willard, Definition 5.1
↑ ^3.0 ^3.1 Engelking, p. 12
↑ Bourbaki, Definition 6, p. 21
↑ Arkhangel'skii & Ponomarev, p. 40
↑ Dugundji, Definition 2.1, p. 64
↑ ^7.0 ^7.1 Willard, Theorem 5.3
↑ Engelking, Proposition 1.2.1

ग्रन्थसूची

Adams, Colin; Franzosa, Robert (2009). Introduction to Topology: Pure and Applied. New Delhi: Pearson Education. ISBN 978-81-317-2692-1. OCLC 789880519.
Arkhangel'skij, A.V.; Ponomarev, V.I. (1984). Fundamentals of general topology: problems and exercises. Mathematics and Its Applications. Vol. 13. Translated from the Russian by V. K. Jain. Dordrecht: D. Reidel Publishing. Zbl 0568.54001.
Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. General Topology: Chapters 1–4 [Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129.
Dugundji, James (1966). Topology. Boston: Allyn and Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC 395340485.
Engelking, Ryszard (1989). General topology. Berlin: Heldermann Verlag. ISBN 3-88538-006-4.
Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.

[7] The empty set, which is always open, is the union of the empty family.

[FOOTNOTEAdamsFranzosa200946–56-1] Adams & Franzosa 2009, pp. 46–56.

[2] Willard, Definition 5.1

[engelking-p12-3] 3.0 ^3.1 Engelking, p. 12

[4] Bourbaki, Definition 6, p. 21

[5] Arkhangel'skii & Ponomarev, p. 40

[6] Dugundji, Definition 2.1, p. 64

[willard-5.3-8] 7.0 ^7.1 Willard, Theorem 5.3

[9] Engelking, Proposition 1.2.1

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{short description|Collection of open sets used to define a topology}}
-गणित में, [[टोपोलॉजी (संरचना)]] के लिए एक आधार (या आधार) {{math|τ}} एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] का {{math|(''X'', τ)}} सेट्स का परिवार है <math>\mathcal{B}</math> के खुले सेटों का {{math|''X''}} ऐसा है कि टोपोलॉजी का हर खुला सेट कुछ [[सबसेट]] के [[संघ स्थापित करें]] के बराबर है | उप-परिवार <math>\mathcal{B}</math>. उदाहरण के लिए, [[वास्तविक संख्या रेखा]] में सभी खुले अंतरालों का समुच्चय <math>\R</math> [[यूक्लिडियन टोपोलॉजी]] का आधार है <math>\R</math> क्योंकि प्रत्येक विवृत्त अंतराल एक विवृत्त समुच्चय होता है, और प्रत्येक विवृत्त उपसमुच्चय भी <math>\R</math> खुले अंतराल के कुछ परिवार के संघ के रूप में लिखा जा सकता है।
+गणित में, [[टोपोलॉजी (संरचना)]] के लिए आधार (या आधार) {{math|τ}} एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] का {{math|(''X'', τ)}} समुच्चयों का परिवार है <math>\mathcal{B}</math> के खुले समुच्चयों का {{math|''X''}} ऐसा है कि टोपोलॉजी का हर खुला समुच्चय कुछ [[सबसेट|उप समुच्चय]] के [[संघ स्थापित करें]] के बराबर है | उप-परिवार <math>\mathcal{B}</math>. उदाहरण के लिए, [[वास्तविक संख्या रेखा]] में सभी खुले अंतरालों का समुच्चय <math>\R</math> [[यूक्लिडियन टोपोलॉजी]] का आधार है <math>\R</math> क्योंकि प्रत्येक विवृत्त अंतराल एक विवृत्त समुच्चय होता है, और प्रत्येक विवृत्त उपसमुच्चय भी <math>\R</math> खुले अंतराल के कुछ परिवार के संघ के रूप में लिखा जा सकता है।
-आधार पूरे टोपोलॉजी में सर्वव्यापी हैं। एक टोपोलॉजी के लिए बेस में सेट, जो कहलाते हैं {{em|basic open sets}}, मनमाने ढंग से खुले सेटों की तुलना में अक्सर वर्णन करना और उपयोग करना आसान होता है।{{sfn|Adams|Franzosa|2009|pp=46-56}} [[निरंतर कार्य]] और [[अभिसरण (टोपोलॉजी)]] जैसी कई महत्वपूर्ण टोपोलॉजिकल परिभाषाओं की जांच मनमाने ढंग से खुले सेटों के बजाय केवल मूल खुले सेटों का उपयोग करके की जा सकती है। कुछ टोपोलॉजी में विशिष्ट उपयोगी गुणों के साथ खुले सेट का आधार होता है जो ऐसी टोपोलॉजिकल परिभाषाओं की जाँच को आसान बना सकता है।
+आधार पूरे टोपोलॉजी में सर्वव्यापी हैं। एक टोपोलॉजी के लिए बेस में समुच्चय, जो कहलाते हैं {{em|मूलभूत खुले समुच्चय}}, मनमाने ढंग से खुले समुच्चयों की तुलना में प्रायः वर्णन करना और उपयोग करना आसान होता है।{{sfn|Adams|Franzosa|2009|pp=46-56}} [[निरंतर कार्य]] और [[अभिसरण (टोपोलॉजी)]] जैसी कई महत्वपूर्ण टोपोलॉजिकल परिभाषाओं की जांच मनमाने ढंग से खुले समुच्चयों के बजाय केवल मूल खुले समुच्चयों का उपयोग करके की जा सकती है। कुछ टोपोलॉजी में विशिष्ट उपयोगी गुणों के साथ खुले समुच्चय का आधार होता है जो ऐसी टोपोलॉजिकल परिभाषाओं की जाँच को आसान बना सकता है।
-एक सेट के सबसेट के सभी परिवार नहीं <math>X</math> एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार तैयार करें <math>X</math>. नीचे दी गई कुछ शर्तों के तहत, सबसेट का एक परिवार एक (अद्वितीय) टोपोलॉजी के लिए आधार बनाएगा <math>X</math>, सबफैमिली के सभी संभावित यूनियनों को लेकर प्राप्त किया गया। टोपोलॉजी को परिभाषित करने के लिए सेट के ऐसे परिवारों का अक्सर उपयोग किया जाता है। आधारों से संबंधित एक कमजोर धारणा एक टोपोलॉजी के लिए उप-आधार की है। टोपोलॉजी के आधार भी पड़ोस के ठिकानों से निकटता से संबंधित हैं।
+समुच्चय के उप समुच्चय के सभी परिवार नहीं <math>X</math> एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार तैयार करें <math>X</math>. नीचे दी गई कुछ शर्तों के तहत, उप समुच्चय का परिवार एक (अद्वितीय) टोपोलॉजी के लिए आधार बनाएगा <math>X</math>, सबफैमिली के सभी संभावित यूनियनों को लेकर प्राप्त किया गया। टोपोलॉजी को परिभाषित करने के लिए समुच्चय के ऐसे परिवारों का प्रायः उपयोग किया जाता है। आधारों से संबंधित एक कमजोर धारणा एक टोपोलॉजी के लिए उप-आधार की है। टोपोलॉजी के आधार भी पड़ोस के ठिकानों से निकटता से संबंधित हैं।
-== परिभाषा और बुनियादी गुण ==
+== परिभाषा और मूलभूत गुण ==
-एक टोपोलॉजिकल स्पेस दिया गया <math>(X,\tau)</math>, एक आधार<ref>Willard, Definition 5.1</ref><ref name=engelking-p12>Engelking, p. 12</ref><ref>Bourbaki, Definition 6, p. 21</ref><ref>Arkhangel'skii & Ponomarev, p. 40</ref> (या आधार<ref>Dugundji, Definition 2.1, p. 64</ref>) टोपोलॉजी (संरचना) के लिए <math>\tau</math> (के लिए एक आधार भी कहा जाता है <math>X</math> यदि टोपोलॉजी को समझा जाए) समुच्चयों का परिवार है <math>\mathcal{B}\subseteq\tau</math> खुले सेटों का ऐसा कि टोपोलॉजी के हर खुले सेट को कुछ उपपरिवारों के मिलन के रूप में दर्शाया जा सकता है <math>\mathcal{B}</math>.<ref group=note>The [[empty set]], which is always open, is the union of the empty family.</ref> के तत्व <math>\mathcal{B}</math> बेसिक ओपन सेट कहलाते हैं।
+टोपोलॉजिकल स्पेस दिया गया <math>(X,\tau)</math>, आधार<ref>Willard, Definition 5.1</ref><ref name=engelking-p12>Engelking, p. 12</ref><ref>Bourbaki, Definition 6, p. 21</ref><ref>Arkhangel'skii & Ponomarev, p. 40</ref> (या आधार<ref>Dugundji, Definition 2.1, p. 64</ref>) टोपोलॉजी (संरचना) के लिए <math>\tau</math> (के लिए एक आधार भी कहा जाता है <math>X</math> यदि टोपोलॉजी को समझा जाए) समुच्चयों का परिवार है <math>\mathcal{B}\subseteq\tau</math> खुले समुच्चयों का ऐसा कि टोपोलॉजी के हर खुले समुच्चय को कुछ उपपरिवारों के मिलन के रूप में दर्शाया जा सकता है <math>\mathcal{B}</math>.<ref group=note>The [[empty set]], which is always open, is the union of the empty family.</ref> के तत्व <math>\mathcal{B}</math> बेसिक ओपन समुच्चय कहलाते हैं।
-समान रूप से, एक परिवार <math>\mathcal{B}</math> के सबसेट का <math>X</math> टोपोलॉजी का आधार है <math>\tau</math> अगर और केवल अगर <math>\mathcal{B}\subseteq\tau</math> और हर खुले सेट के लिए <math>U</math> में <math>X</math> और बिंदु <math>x\in U</math> कुछ बुनियादी खुला सेट है <math>B\in\mathcal{B}</math> ऐसा है कि <math>x\in B\subseteq U</math>.
+समान रूप से, एक परिवार <math>\mathcal{B}</math> के उप समुच्चय का <math>X</math> टोपोलॉजी का आधार है <math>\tau</math> यदि और केवल यदि <math>\mathcal{B}\subseteq\tau</math> और हर खुले समुच्चय के लिए <math>U</math> में <math>X</math> और बिंदु <math>x\in U</math> कुछ मूलभूत खुला समुच्चय है <math>B\in\mathcal{B}</math> ऐसा है कि <math>x\in B\subseteq U</math>.
 उदाहरण के लिए, [[वास्तविक रेखा]] में सभी खुले अंतरालों का संग्रह वास्तविक संख्याओं पर मानक टोपोलॉजी के लिए आधार बनाता है। अधिक सामान्यतः, एक मीट्रिक स्थान में <math>M</math> के अंक के बारे में सभी खुली गेंदों का संग्रह <math>M</math> टोपोलॉजी के लिए एक आधार बनाता है।
-सामान्य तौर पर, एक सामयिक स्थान <math>(X,\tau)</math> अनेक आधार हो सकते हैं। संपूर्ण टोपोलॉजी <math>\tau</math> हमेशा अपने लिए एक आधार होता है (अर्थात, <math>\tau</math> का आधार है <math>\tau</math>). वास्तविक रेखा के लिए, सभी खुले अंतरालों का संग्रह टोपोलॉजी का आधार है। उदाहरण के लिए, तर्कसंगत अंतराल के साथ सभी खुले अंतरालों का संग्रह, या तर्कहीन अंत बिंदुओं के साथ सभी खुले अंतरालों का संग्रह। ध्यान दें कि दो अलग-अलग आधारों के लिए सामान्य रूप से कोई बुनियादी खुला सेट होना आवश्यक नहीं है। अंतरिक्ष के सामयिक गुणों में से एक <math>X</math> इसकी टोपोलॉजी के लिए आधार की न्यूनतम [[प्रमुखता]] है, जिसे वजन कहा जाता है <math>X</math> और निरूपित <math>w(X)</math>. उपरोक्त उदाहरणों से, वास्तविक रेखा में गणनीय भार होता है।
+सामान्य तौर पर, एक सामयिक स्थान <math>(X,\tau)</math> अनेक आधार हो सकते हैं। संपूर्ण टोपोलॉजी <math>\tau</math> हमेशा अपने लिए एक आधार होता है (अर्थात, <math>\tau</math> का आधार है <math>\tau</math>). वास्तविक रेखा के लिए, सभी खुले अंतरालों का संग्रह टोपोलॉजी का आधार है। उदाहरण के लिए, तर्कसंगत अंतराल के साथ सभी खुले अंतरालों का संग्रह, या तर्कहीन अंत बिंदुओं के साथ सभी खुले अंतरालों का संग्रह। ध्यान दें कि दो अलग-अलग आधारों के लिए सामान्य रूप से मूलभूत खुला समुच्चय होना आवश्यक नहीं है। अंतरिक्ष के सामयिक गुणों में से एक <math>X</math> इसकी टोपोलॉजी के लिए आधार की न्यूनतम [[प्रमुखता]] है, जिसे वजन कहा जाता है <math>X</math> और निरूपित <math>w(X)</math>. उपरोक्त उदाहरणों से, वास्तविक रेखा में गणनीय भार होता है।
-अगर <math>\mathcal{B}</math> टोपोलॉजी का आधार है <math>\tau</math> एक स्थान का <math>X</math>, यह निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:<ref name="willard-5.3">Willard, Theorem 5.3</ref><ref name="engelking-p12"/>:(बी1) के तत्व <math>\mathcal{B}</math> [[आवरण (टोपोलॉजी)]] <math>X</math>, यानी, हर बिंदु <math>x\in X</math> के किसी तत्व से संबंधित है <math>\mathcal{B}</math>.
+यदि <math>\mathcal{B}</math> टोपोलॉजी का आधार है <math>\tau</math> एक स्थान का <math>X</math>, यह निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:<ref name="willard-5.3">Willard, Theorem 5.3</ref><ref name="engelking-p12"/>:(बी1) के तत्व <math>\mathcal{B}</math> [[आवरण (टोपोलॉजी)]] <math>X</math>, यानी, हर बिंदु <math>x\in X</math> के किसी तत्व से संबंधित है <math>\mathcal{B}</math>.
-:(बी2) प्रत्येक के लिए <math>B_1,B_2\in\mathcal{B}</math> और हर बिंदु <math>x\in B_1\cap B_2</math>, कुछ मौजूद है <math>B_3\in\mathcal{B}</math> ऐसा है कि <math>x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2</math>.
+:('''B'''2) प्रत्येक के लिए <math>B_1,B_2\in\mathcal{B}</math> और हर बिंदु <math>x\in B_1\cap B_2</math>, कुछ मौजूद है <math>B_3\in\mathcal{B}</math> ऐसा है कि <math>x\in B_3\subseteq B_1\cap B_2</math>.
-संपत्ति (बी 1) इस तथ्य से मेल खाती है कि <math>X</math> एक खुला सेट है; संपत्ति (बी 2) इस तथ्य से मेल खाती है कि <math>B_1\cap B_2</math> एक खुला सेट है।
+संपत्ति (B1) इस तथ्य से मेल खाती है कि <math>X</math> एक खुला समुच्चय है; संपत्ति (B2) इस तथ्य से मेल खाती है कि <math>B_1\cap B_2</math> एक खुला समुच्चय है।
-इसके विपरीत मान लीजिए <math>X</math> बिना किसी टोपोलॉजी के सिर्फ एक सेट है और <math>\mathcal{B}</math> के उपसमुच्चय का परिवार है <math>X</math> संतोषजनक गुण (B1) और (B2)। तब <math>\mathcal{B}</math> यह उत्पन्न होने वाली टोपोलॉजी के लिए एक आधार है। अधिक सटीक, चलो <math>\tau</math> के सभी उपसमूहों का परिवार हो <math>X</math> जो कि उप-परिवारों के संघ हैं <math>\mathcal{B}.</math> तब <math>\tau</math> पर एक टोपोलॉजी है <math>X</math> और <math>\mathcal{B}</math> का आधार है <math>\tau</math>.<ref name="willard-5.3"/><ref>Engelking, Proposition 1.2.1</ref>
+इसके विपरीत मान लीजिए <math>X</math> बिना किसी टोपोलॉजी के सिर्फ एक समुच्चय है और <math>\mathcal{B}</math> के उपसमुच्चय का परिवार है <math>X</math> संतोषजनक गुण (B1) और (B2) है। तब <math>\mathcal{B}</math> यह उत्पन्न होने वाली टोपोलॉजी के लिए एक आधार है। अधिक सटीक, चलो <math>\tau</math> के सभी उपसमूहों का परिवार हो <math>X</math> जो कि उप-परिवारों के संघ हैं <math>\mathcal{B}.</math> तब <math>\tau</math> पर एक टोपोलॉजी है <math>X</math> और <math>\mathcal{B}</math> का आधार है <math>\tau</math>.<ref name="willard-5.3"/><ref>Engelking, Proposition 1.2.1</ref>
-(स्केच: <math>\tau</math> एक टोपोलॉजी को परिभाषित करता है क्योंकि यह निर्माण द्वारा मनमाना संघों के तहत स्थिर है, यह परिमित चौराहों के तहत स्थिर है (बी 2), इसमें शामिल है <math>X</math> द्वारा (बी 1), और इसमें खाली उपपरिवार के मिलन के रूप में खाली सेट शामिल है <math>\mathcal{B}</math>. परिवार <math>\mathcal{B}</math> तब के लिए एक आधार है <math>\tau</math> निर्माण द्वारा।) सेट के ऐसे परिवार एक टोपोलॉजी को परिभाषित करने का एक बहुत ही सामान्य तरीका है।
+(स्केच: <math>\tau</math> एक टोपोलॉजी को परिभाषित करता है क्योंकि यह निर्माण द्वारा मनमाना संघों के तहत स्थिर है, यह परिमित चौराहों के तहत स्थिर है (B2), इसमें शामिल है <math>X</math> द्वारा (B1), और इसमें खाली उपपरिवार के मिलन के रूप में खाली समुच्चय शामिल है <math>\mathcal{B}</math>. परिवार <math>\mathcal{B}</math> तब के लिए एक आधार है <math>\tau</math> निर्माण द्वारा है। समुच्चय के ऐसे परिवार एक टोपोलॉजी को परिभाषित करने का एक बहुत ही सामान्य तरीका है।
-सामान्य तौर पर, अगर <math>X</math> एक सेट है और <math>\mathcal{B}</math> के सबसेट का मनमाना संग्रह है <math>X</math>, एक (अद्वितीय) सबसे छोटी टोपोलॉजी है <math>\tau</math> पर <math>X</math> युक्त <math>\mathcal{B}</math>. (यह टोपोलॉजी सभी टोपोलॉजी का प्रतिच्छेदन (सेट थ्योरी) है <math>X</math> युक्त <math>\mathcal{B}</math>।) टोपोलॉजी <math>\tau</math> द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी कहलाती है <math>\mathcal{B}</math>, और <math>\mathcal{B}</math> के लिए उप आधार कहलाता है <math>\tau</math>. टोपोलॉजी <math>\tau</math> के तत्वों के परिमित चौराहों के सभी मनमाने संघों के सेट के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है <math>\mathcal{B}</math>. (सबबेस के बारे में लेख देखें।) अब, अगर <math>\mathcal{B}</math> गुणों (बी 1) और (बी 2) को भी संतुष्ट करता है, जिसके द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी <math>\mathcal{B}</math> चौराहों को लिए बिना सरल तरीके से वर्णित किया जा सकता है: <math>\tau</math> के तत्वों के सभी संघों का समुच्चय है <math>\mathcal{B}</math> (और <math>\mathcal{B}</math> के लिए आधार है <math>\tau</math> उस मामले में)।
+सामान्य तौर पर, यदि <math>X</math> एक समुच्चय है और <math>\mathcal{B}</math> के उप समुच्चय का मनमाना संग्रह है <math>X</math>, एक (अद्वितीय) सबसे छोटी टोपोलॉजी है <math>\tau</math> पर <math>X</math> युक्त <math>\mathcal{B}</math>. (यह टोपोलॉजी सभी टोपोलॉजी का प्रतिच्छेदन (समुच्चय थ्योरी) है <math>X</math> युक्त <math>\mathcal{B}</math>।) टोपोलॉजी <math>\tau</math> द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी कहलाती है <math>\mathcal{B}</math>, और <math>\mathcal{B}</math> के लिए उप आधार कहलाता है <math>\tau</math>. टोपोलॉजी <math>\tau</math> के तत्वों के परिमित चौराहों के सभी मनमाने संघों के समुच्चय के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है <math>\mathcal{B}</math>. (सबबेस के बारे में लेख देखें।) अब, यदि <math>\mathcal{B}</math> गुणों (B1) और (B2) को भी संतुष्ट करता है, जिसके द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी <math>\mathcal{B}</math> चौराहों को लिए बिना सरल तरीके से वर्णित किया जा सकता है: <math>\tau</math> के तत्वों के सभी संघों का समुच्चय है <math>\mathcal{B}</math> (और <math>\mathcal{B}</math> के लिए आधार है <math>\tau</math> उस मामले में)।
-हालत (बी2) की जांच करने का अक्सर एक आसान तरीका होता है। यदि किन्हीं दो तत्वों का प्रतिच्छेदन <math>\mathcal{B}</math> का ही एक अंग है <math>\mathcal{B}</math> या खाली है, तो स्थिति (B2) स्वत: संतुष्ट हो जाती है (लेकर <math>B_3=B_1\cap B_2</math>). उदाहरण के लिए, समतल पर यूक्लिडियन टोपोलॉजी एक आधार के रूप में क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर पक्षों के साथ सभी खुले आयतों के सेट को स्वीकार करती है, और ऐसे दो बुनियादी खुले सेटों का एक गैर-रिक्त चौराहा भी एक बुनियादी खुला सेट है। लेकिन उसी टोपोलॉजी के लिए एक अन्य आधार सभी खुली डिस्क का संग्रह है; और यहाँ पूर्ण (B2) शर्त आवश्यक है।
+हालत (B2) की जांच करने का प्रायः आसान तरीका होता है। यदि किन्हीं दो तत्वों का प्रतिच्छेदन <math>\mathcal{B}</math> का ही एक अंग है <math>\mathcal{B}</math> या खाली है, तो स्थिति (B2) स्वत: संतुष्ट हो जाती है (लेकर <math>B_3=B_1\cap B_2</math>). उदाहरण के लिए, समतल पर यूक्लिडियन टोपोलॉजी एक आधार के रूप में क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर पक्षों के साथ सभी खुले आयतों के समुच्चय को स्वीकार करती है, और ऐसे दो मूलभूत खुले समुच्चयों का एक गैर-रिक्त चौराहा भी एक मूलभूत खुला समुच्चय है। लेकिन उसी टोपोलॉजी के लिए एक अन्य आधार सभी खुली डिस्क का संग्रह है; और यहाँ पूर्ण (B2) शर्त आवश्यक है।
-खुले सेटों के संग्रह का एक उदाहरण जो आधार नहीं है, सेट है <math>S</math> रूपों के सभी अर्ध-अनंत अंतरालों की <math>(-\infty,a)</math> और <math>(a,\infty)</math> साथ <math>a\in\mathbb{R}</math>. द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी <math>S</math> सभी खुले अंतराल शामिल हैं <math>(a,b)=(-\infty,b)\cap(a,\infty)</math>, इस तरह <math>S</math> वास्तविक रेखा पर मानक टोपोलॉजी उत्पन्न करता है। लेकिन <math>S</math> टोपोलॉजी के लिए केवल एक उप-आधार है, आधार नहीं: एक परिमित खुला अंतराल <math>(a,b)</math> का कोई तत्व नहीं है <math>S</math> (समतुल्य रूप से, गुण (B2) धारण नहीं करता है)।
+खुले समुच्चयों के संग्रह का एक उदाहरण जो आधार नहीं है, समुच्चय है <math>S</math> रूपों के सभी अर्ध-अनंत अंतरालों की <math>(-\infty,a)</math> और <math>(a,\infty)</math> साथ <math>a\in\mathbb{R}</math>. द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी <math>S</math> सभी खुले अंतराल शामिल हैं <math>(a,b)=(-\infty,b)\cap(a,\infty)</math>, इस तरह <math>S</math> वास्तविक रेखा पर मानक टोपोलॉजी उत्पन्न करता है। लेकिन <math>S</math> टोपोलॉजी के लिए केवल एक उप-आधार है, आधार नहीं: एक परिमित खुला अंतराल <math>(a,b)</math> का कोई तत्व नहीं है <math>S</math> (समतुल्य रूप से, गुण (B2) धारण नहीं करता है)।
 == उदाहरण ==
-सेट {{math|Γ}} सभी खुले अंतरालों में <math>\mathbb{R}</math> यूक्लिडियन टोपोलॉजी के लिए एक आधार बनाता है <math>\mathbb{R}</math>.
+समुच्चय {{math|Γ}} सभी खुले अंतरालों में <math>\mathbb{R}</math> यूक्लिडियन टोपोलॉजी के लिए एक आधार बनाता है <math>\mathbb{R}</math>.
-एक सेट के सबसेट का एक गैर-खाली परिवार {{mvar|X}} जो दो या दो से अधिक सेटों के परिमित चौराहों के अंतर्गत बंद है, जिसे पाई-सिस्टम कहा जाता है{{pi}}-सिस्टम चालू {{mvar|X}}, अनिवार्य रूप से एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार है {{mvar|X}} अगर और केवल अगर यह कवर करता है {{mvar|X}}. परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक सिग्मा-बीजगणित|σ-बीजगणित, प्रत्येक [[फ़िल्टर (सेट सिद्धांत)]] (और इसलिए विशेष रूप से, प्रत्येक [[पड़ोस व्यवस्था]]), और प्रत्येक टोपोलॉजिकल स्पेस#टोपोलॉजी एक आवरण है {{pi}}-प्रणाली और इसलिए एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार भी। वास्तव में, अगर {{math|Γ}} एक फिल्टर चालू है {{mvar|X}} तब {{math|{ ∅ } ∪ Γ}} पर एक टोपोलॉजी है {{mvar|X}} और {{math|Γ}} इसका एक आधार है। एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार को परिमित चौराहों के तहत बंद नहीं करना पड़ता है और कई नहीं होते हैं। लेकिन फिर भी, कई टोपोलॉजी उन आधारों द्वारा परिभाषित की जाती हैं जो परिमित चौराहों के तहत भी बंद हैं। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित परिवारों में से प्रत्येक के उपसमुच्चय {{mvar|<math>\mathbb{R}</math>}} परिमित चौराहों के नीचे बंद है और इसलिए प्रत्येक कुछ टोपोलॉजी के लिए आधार बनाता है <math>\mathbb{R}</math>:
+समुच्चय के उप समुच्चय का एक गैर-खाली परिवार {{mvar|X}} जो दो या दो से अधिक समुच्चयों के परिमित चौराहों के अंतर्गत बंद है, जिसे पाई-सिस्टम कहा जाता है{{pi}}-सिस्टम चालू {{mvar|X}}, अनिवार्य रूप से एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार है {{mvar|X}} यदि और केवल यदि यह कवर करता है {{mvar|X}}. परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक सिग्मा-बीजगणित|σ-बीजगणित, प्रत्येक [[फ़िल्टर (सेट सिद्धांत)|फ़िल्टर (समुच्चय सिद्धांत)]] (और इसलिए विशेष रूप से, प्रत्येक [[पड़ोस व्यवस्था]]), और प्रत्येक टोपोलॉजिकल स्पेस#टोपोलॉजी एक आवरण है {{pi}}-प्रणाली और इसलिए एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार भी। वास्तव में, यदि {{math|Γ}} एक फिल्टर चालू है {{mvar|X}} तब {{math|{ ∅ } ∪ Γ}} पर एक टोपोलॉजी है {{mvar|X}} और {{math|Γ}} इसका एक आधार है। एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार को परिमित चौराहों के तहत बंद नहीं करना पड़ता है और कई नहीं होते हैं। लेकिन फिर भी, कई टोपोलॉजी उन आधारों द्वारा परिभाषित की जाती हैं जो परिमित चौराहों के तहत भी बंद हैं। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित परिवारों में से प्रत्येक के उपसमुच्चय {{mvar|<math>\mathbb{R}</math>}} परिमित चौराहों के नीचे बंद है और इसलिए प्रत्येक कुछ टोपोलॉजी के लिए आधार बनाता है <math>\mathbb{R}</math>:
-* सेट {{math|Γ}} सभी <em>बाध्य</em> खुले अंतरालों में से <math>\mathbb{R}</math> पर सामान्य यूक्लिडियन टोपोलॉजी उत्पन्न करता है <math>\mathbb{R}</math>.
-* सेट {{math|Σ}} सभी परिबद्ध <em>बंद</em> अंतरालों में से <math>\mathbb{R}</math> पर [[असतत टोपोलॉजी]] उत्पन्न करता है <math>\mathbb{R}</math> और इसलिए यूक्लिडियन टोपोलॉजी इस टोपोलॉजी का एक सबसेट है। यह इस तथ्य के बावजूद है कि {{math|Γ}} का उपसमुच्चय नहीं है {{math|Σ}}. नतीजतन, द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी {{math|Γ}}, जो कि यूक्लिडियन टोपोलॉजी है <math>\mathbb{R}</math>, टोपोलॉजी द्वारा उत्पन्न [[टोपोलॉजी की तुलना]] है {{math|Σ}}. वास्तव में, यह <em>सख्ती से</em> मोटा है क्योंकि {{math|Σ}} गैर-खाली कॉम्पैक्ट सेट शामिल हैं जो यूक्लिडियन टोपोलॉजी में कभी खुले नहीं होते हैं।
-* सेट {{math|Γ<sub><math>\mathbb{Q}</math></sub>}} सभी अंतरालों में {{math|Γ}} जैसे कि अंतराल के दोनों समापन बिंदु परिमेय संख्याएँ समान टोपोलॉजी उत्पन्न करती हैं {{math|Γ}}. यह सच रहता है यदि प्रतीक का प्रत्येक उदाहरण {{math|Γ}} द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है {{math|Σ}}.
+समुच्चय के उप समुच्चय का एक गैर-खाली परिवार {{mvar|X}} जो दो या दो से अधिक समुच्चयों के परिमित चौराहों के अंतर्गत बंद है, जिसे पाई-सिस्टम कहा जाता है{{pi}}-सिस्टम चालू {{mvar|X}}, अनिवार्य रूप से एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार है {{mvar|X}} यदि और केवल यदि यह कवर करता है {{mvar|X}}. परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक सिग्मा-बीजगणित|σ-बीजगणित, प्रत्येक [[फ़िल्टर (सेट सिद्धांत)|फ़िल्टर (समुच्चय सिद्धांत)]] (और इसलिए विशेष रूप से, प्रत्येक [[पड़ोस व्यवस्था]]), और प्रत्येक टोपोलॉजिकल स्पेस#टोपोलॉजी एक आवरण है {{pi}}-प्रणाली और इसलिए एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार भी। वास्तव में, यदि {{math|Γ}} एक फिल्टर चालू है {{mvar|X}} तब {{math|{ ∅ } ∪ Γ}} पर एक टोपोलॉजी है {{mvar|X}} और {{math|Γ}} इसका एक आधार है। एक टोपोलॉजी के लिए एक आधार को परिमित चौराहों के तहत बंद नहीं करना पड़ता है और कई नहीं होते हैं। लेकिन फिर भी, कई टोपोलॉजी उन आधारों द्वारा परिभाषित की जाती हैं जो परिमित चौराहों के तहत भी बंद हैं। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित परिवारों में से प्रत्येक के उपसमुच्चय {{mvar|<math>\mathbb{R}</math>}} परिमित चौराहों के नीचे बंद है और इसलिए प्रत्येक कुछ टोपोलॉजी के लिए आधार बनाता है <math>\mathbb{R}</math>:
-* {{math|1=Σ<sub>∞</sub> = { [''r'', ∞) : ''r'' ∈ <math>\mathbb{R}</math> } }} एक टोपोलॉजी उत्पन्न करता है जो टोपोलॉजी द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी की तुलना में टोपोलॉजी की तुलना करता है {{math|Σ}}. का कोई तत्व नहीं {{math|1=Σ<sub>∞</sub>}} यूक्लिडियन टोपोलॉजी में खुला है <math>\mathbb{R}</math>.
+* समुच्चय {{math|Γ}} सभी <em>बाध्य</em> खुले अंतरालों में से <math>\mathbb{R}</math> पर सामान्य यूक्लिडियन टोपोलॉजी उत्पन्न करता है <math>\mathbb{R}</math>.
-* {{math|1=Γ<sub>∞</sub> = { (''r'', ∞) : ''r'' ∈ <math>\mathbb{R}</math> } }} एक ऐसी टोपोलॉजी उत्पन्न करता है जो यूक्लिडियन टोपोलॉजी और इसके द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी दोनों की तुलना में सख्त है {{math|Σ<sub>∞</sub>}}. सेट {{math|Σ<sub>∞</sub>}} और {{math|Γ<sub>∞</sub>}} अलग हैं, लेकिन फिर भी {{math|Γ<sub>∞</sub>}} द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी का एक सबसेट है {{math|Σ<sub>∞</sub>}}.
+* समुच्चय {{math|Σ}} सभी परिबद्ध <em>बंद</em> अंतरालों में से <math>\mathbb{R}</math> पर [[असतत टोपोलॉजी]] उत्पन्न करता है <math>\mathbb{R}</math> और इसलिए यूक्लिडियन टोपोलॉजी इस टोपोलॉजी का एक उप समुच्चय है। यह इस तथ्य के बावजूद है कि {{math|Γ}} का उपसमुच्चय नहीं है {{math|Σ}}. नतीजतन, द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी {{math|Γ}}, जो कि यूक्लिडियन टोपोलॉजी है <math>\mathbb{R}</math>, टोपोलॉजी द्वारा उत्पन्न [[टोपोलॉजी की तुलना]] है {{math|Σ}}. वास्तव में, यह <em>सख्ती से</em> मोटा है क्योंकि {{math|Σ}} गैर-खाली कॉम्पैक्ट समुच्चय शामिल हैं जो यूक्लिडियन टोपोलॉजी में कभी खुले नहीं होते हैं।
+* समुच्चय {{math|Γ<sub><math>\mathbb{Q}</math></sub>}} सभी अंतरालों में {{math|Γ}} जैसे कि अंतराल के दोनों समापन बिंदु परिमेय संख्याएँ समान टोपोलॉजी उत्पन्न करती हैं {{math|Γ}}. यह सच रहता है यदि प्रतीक का प्रत्येक उदाहरण {{math|Γ}} द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है {{math|Σ}}.
+* {{math|1=Σ<sub>∞</sub> = { [''r'', ∞) : ''r'' ∈ <math>\mathbb{R}</math> <nowiki>}</nowiki> }} एक टोपोलॉजी उत्पन्न करता है जो टोपोलॉजी द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी की तुलना में टोपोलॉजी की तुलना करता है {{math|Σ}}. का कोई तत्व नहीं {{math|1=Σ<sub>∞</sub>}} यूक्लिडियन टोपोलॉजी में खुला है <math>\mathbb{R}</math>.
+* {{math|1=Γ<sub>∞</sub> = { (''r'', ∞) : ''r'' ∈ <math>\mathbb{R}</math> <nowiki>}</nowiki> }} एक ऐसी टोपोलॉजी उत्पन्न करता है जो यूक्लिडियन टोपोलॉजी और इसके द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी दोनों की तुलना में सख्त है {{math|Σ<sub>∞</sub>}}. समुच्चय {{math|Σ<sub>∞</sub>}} और {{math|Γ<sub>∞</sub>}} अलग हैं, लेकिन फिर भी {{math|Γ<sub>∞</sub>}} द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी का एक उप समुच्चय है {{math|Σ<sub>∞</sub>}}.
 === आधार === के संदर्भ में परिभाषित वस्तुएं
-* पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेट पर [[आदेश टोपोलॉजी]] आधार के रूप में ओपन-इंटरवल-जैसे सेट के संग्रह को स्वीकार करती है।
+* पूरी तरह से ऑर्डर किए गए समुच्चय पर [[आदेश टोपोलॉजी]] आधार के रूप में ओपन-इंटरवल-जैसे समुच्चय के संग्रह को स्वीकार करती है।
 * [[मीट्रिक स्थान]] में सभी [[खुली गेंद]]ों का संग्रह टोपोलॉजी के लिए आधार बनाता है।
 * असतत टोपोलॉजी में आधार के रूप में सभी [[सिंगलटन (गणित)]] का संग्रह है।
 * एक [[दूसरा [[गणनीय]] स्थान]] वह है जिसका एक गणनीय आधार है।
-रिंग के स्पेक्ट्रम पर [[जरिस्की टोपोलॉजी]] में एक आधार होता है जिसमें खुले सेट होते हैं जिनमें विशिष्ट उपयोगी गुण होते हैं। इस टोपोलॉजी के सामान्य आधार के लिए, बुनियादी खुले सेटों का प्रत्येक परिमित चौराहा एक बुनियादी खुला सेट है।
+रिंग के स्पेक्ट्रम पर [[जरिस्की टोपोलॉजी]] में एक आधार होता है जिसमें खुले समुच्चय होते हैं जिनमें विशिष्ट उपयोगी गुण होते हैं। इस टोपोलॉजी के सामान्य आधार के लिए, मूलभूत खुले समुच्चयों का प्रत्येक परिमित चौराहा एक मूलभूत खुला समुच्चय है।
-* जारिस्की की टोपोलॉजी <math>\C^n</math> वह टोपोलॉजी है जिसमें [[बीजगणितीय सेट]] बंद सेट के रूप में होते हैं। इसका एक आधार है जो एफाइन बीजगणितीय हाइपरसर्फेस के [[सेट पूरक]] द्वारा बनाया गया है।
+* जारिस्की की टोपोलॉजी <math>\C^n</math> वह टोपोलॉजी है जिसमें [[बीजगणितीय सेट|बीजगणितीय समुच्चय]] बंद समुच्चय के रूप में होते हैं। इसका एक आधार है जो एफाइन बीजगणितीय हाइपरसर्फेस के [[सेट पूरक|समुच्चय पूरक]] द्वारा बनाया गया है।
-* रिंग के स्पेक्ट्रम ([[प्रमुख आदर्श]] का सेट) के ज़ारिस्की टोपोलॉजी का एक आधार ऐसा होता है कि प्रत्येक तत्व में सभी प्राइम आइडियल्स होते हैं जिनमें रिंग का कोई तत्व नहीं होता है।
+* रिंग के स्पेक्ट्रम ([[प्रमुख आदर्श]] का समुच्चय) के ज़ारिस्की टोपोलॉजी का एक आधार ऐसा होता है कि प्रत्येक तत्व में सभी प्राइम आइडियल्स होते हैं जिनमें रिंग का कोई तत्व नहीं होता है।
 == प्रमेय ==
-* एक टोपोलॉजी <math>\tau_2</math> एक टोपोलॉजी की तुलना में टोपोलॉजी की तुलना है <math>\tau_1</math> अगर और केवल अगर प्रत्येक के लिए <math>x\in X</math> और प्रत्येक बुनियादी खुला सेट <math>B</math> का <math>\tau_1</math> युक्त <math>x</math>, का एक बुनियादी खुला सेट है <math>\tau_2</math> युक्त <math>x</math> और में समाहित है <math>B</math>.
+* एक टोपोलॉजी <math>\tau_2</math> एक टोपोलॉजी की तुलना में टोपोलॉजी की तुलना है <math>\tau_1</math> यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए <math>x\in X</math> और प्रत्येक मूलभूत खुला समुच्चय <math>B</math> का <math>\tau_1</math> युक्त <math>x</math>, का एक मूलभूत खुला समुच्चय है <math>\tau_2</math> युक्त <math>x</math> और में समाहित है <math>B</math>.
-* अगर <math>\mathcal{B}_1, \ldots, \mathcal{B}_n</math> टोपोलॉजी के आधार हैं <math>\tau_1, \ldots, \tau_n</math> फिर सभी कार्टेशियन उत्पाद का संग्रह <math>B_1 \times \cdots \times B_n</math> प्रत्येक के साथ <math>B_i\in\mathcal{B}_i</math> [[उत्पाद टोपोलॉजी]] का आधार है <math>\tau_1 \times \cdots \times \tau_n.</math> एक अनंत उत्पाद के मामले में, यह अभी भी लागू होता है, सिवाय इसके कि सभी मूल तत्वों के अलावा सभी को संपूर्ण स्थान होना चाहिए।
+* यदि <math>\mathcal{B}_1, \ldots, \mathcal{B}_n</math> टोपोलॉजी के आधार हैं <math>\tau_1, \ldots, \tau_n</math> फिर सभी कार्टेशियन उत्पाद का संग्रह <math>B_1 \times \cdots \times B_n</math> प्रत्येक के साथ <math>B_i\in\mathcal{B}_i</math> [[उत्पाद टोपोलॉजी]] का आधार है <math>\tau_1 \times \cdots \times \tau_n.</math> एक अनंत उत्पाद के मामले में, यह अभी भी लागू होता है, सिवाय इसके कि सभी मूल तत्वों के अलावा सभी को संपूर्ण स्थान होना चाहिए।
-* होने देना <math>\mathcal{B}</math> के लिए आधार हो <math>X</math> और जाने <math>Y</math> का एक सामयिक स्थान हो <math>X</math>. फिर अगर हम के प्रत्येक तत्व को प्रतिच्छेद करते हैं <math>\mathcal{B}</math> साथ <math>Y</math>, सेट का परिणामी संग्रह उप-स्थान के लिए एक आधार है <math>Y</math>.
+* होने देना <math>\mathcal{B}</math> के लिए आधार हो <math>X</math> और जाने <math>Y</math> का एक सामयिक स्थान हो <math>X</math>. फिर यदि हम के प्रत्येक तत्व को प्रतिच्छेद करते हैं <math>\mathcal{B}</math> साथ <math>Y</math>, समुच्चय का परिणामी संग्रह उप-स्थान के लिए एक आधार है <math>Y</math>.
-* यदि कोई फ़ंक्शन <math>f : X \to Y</math> के हर बुनियादी खुले सेट को मैप करता है <math>X</math> के एक खुले सेट में <math>Y</math>, यह एक [[खुला नक्शा]] है। इसी तरह, अगर एक बेसिक ओपन सेट का हर प्रीइमेज <math>Y</math> में खुला है <math>X</math>, तब <math>f</math> [[निरंतरता (टोपोलॉजी)]] है।
+* यदि कोई फ़ंक्शन <math>f : X \to Y</math> के हर मूलभूत खुले समुच्चय को मैप करता है <math>X</math> के एक खुले समुच्चय में <math>Y</math>, यह एक [[खुला नक्शा]] है। इसी तरह, यदि एक बेसिक ओपन समुच्चय का हर प्रीइमेज <math>Y</math> में खुला है <math>X</math>, तब <math>f</math> [[निरंतरता (टोपोलॉजी)]] है।
 * <math>\mathcal{B}</math> टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए एक आधार है <math>X</math> यदि और केवल यदि के तत्वों का उपसंग्रह <math>\mathcal{B}</math> किसमें है <math>x</math> पर एक [[स्थानीय आधार]] बनाएँ <math>x</math>, किसी भी बिंदु के लिए <math>x\in X</math>.
-== [[बंद सेट]] के लिए आधार ==
+== [[बंद सेट|बंद समुच्चय]] के लिए आधार ==
-बंद सेट अंतरिक्ष की टोपोलॉजी का वर्णन करने में समान रूप से कुशल हैं। इसलिए, टोपोलॉजिकल स्पेस के बंद सेट के लिए आधार की दोहरी धारणा है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस दिया गया <math>X,</math> सेट का एक परिवार <math>\mathcal{C}</math> बंद सेट बंद सेट के लिए एक आधार बनाते हैं यदि और केवल प्रत्येक बंद सेट के लिए <math>A</math> और प्रत्येक बिंदु <math>x</math> अंदर नही <math>A</math> का एक तत्व मौजूद है <math>\mathcal{C}</math> युक्त <math>A</math> लेकिन युक्त नहीं <math>x.</math>
+बंद समुच्चय अंतरिक्ष की टोपोलॉजी का वर्णन करने में समान रूप से कुशल हैं। इसलिए, टोपोलॉजिकल स्पेस के बंद समुच्चय के लिए आधार की दोहरी धारणा है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस दिया गया <math>X,</math> समुच्चय का एक परिवार <math>\mathcal{C}</math> बंद समुच्चय बंद समुच्चय के लिए एक आधार बनाते हैं यदि और केवल प्रत्येक बंद समुच्चय के लिए <math>A</math> और प्रत्येक बिंदु <math>x</math> अंदर नही <math>A</math> का एक तत्व मौजूद है <math>\mathcal{C}</math> युक्त <math>A</math> लेकिन युक्त नहीं <math>x.</math>
-एक परिवार <math>\mathcal{C}</math> के बंद सेट के लिए एक आधार है <math>X</math> अगर और केवल अगर इसकी {{em|dual}} में <math>X,</math> वह परिवार है <math>\{X\setminus C: C\in \mathcal{C}\}</math> के सदस्यों के [[पूरक (सेट सिद्धांत)]] का <math>\mathcal{C}</math>, के खुले सेट के लिए एक आधार है <math>X.</math>
+एक परिवार <math>\mathcal{C}</math> के बंद समुच्चय के लिए एक आधार है <math>X</math> यदि और केवल यदि इसकी {{em|dual}} में <math>X,</math> वह परिवार है <math>\{X\setminus C: C\in \mathcal{C}\}</math> के सदस्यों के [[पूरक (सेट सिद्धांत)|पूरक (समुच्चय सिद्धांत)]] का <math>\mathcal{C}</math>, के खुले समुच्चय के लिए एक आधार है <math>X.</math>
-होने देना <math>\mathcal{C}</math> के बंद सेट के लिए आधार बनें <math>X.</math> तब
+होने देना <math>\mathcal{C}</math> के बंद समुच्चय के लिए आधार बनें <math>X.</math> तब
 #<math>\bigcap \mathcal{C} = \varnothing</math>
 #प्रत्येक के लिए <math>C_1, C_2 \in \mathcal{C}</math> संगठन <math>C_1 \cup C_2</math> के कुछ उपपरिवार का प्रतिच्छेदन है <math>\mathcal{C}</math> (यानी, किसी के लिए <math>x \in X</math> अंदर नही <math>C_1 \text{ or } C_2</math> वहाँ कुछ <math>C_3 \in \mathcal{C}</math> युक्त <math>C_1 \cup C_2</math> और युक्त नहीं <math>x</math>).
-किसी सेट के सबसेट का कोई भी संग्रह <math>X</math> इन गुणों को संतुष्ट करना एक टोपोलॉजी के बंद सेट के लिए आधार बनाता है <math>X.</math> इस टोपोलॉजी के बंद सेट सदस्यों के चौराहे हैं <math>\mathcal{C}.</math>
+किसी समुच्चय के उप समुच्चय का कोई भी संग्रह <math>X</math> इन गुणों को संतुष्ट करना एक टोपोलॉजी के बंद समुच्चय के लिए आधार बनाता है <math>X.</math> इस टोपोलॉजी के बंद समुच्चय सदस्यों के चौराहे हैं <math>\mathcal{C}.</math>
-कुछ मामलों में खुले सेट के बजाय बंद सेट के लिए आधार का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है। उदाहरण के लिए, एक स्थान [[पूरी तरह से नियमित]] है अगर और केवल अगर [[शून्य सेट]] बंद सेट के लिए आधार बनाते हैं। किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस को देखते हुए <math>X,</math> शून्य सेट कुछ टोपोलॉजी के बंद सेटों के लिए आधार बनाते हैं <math>X.</math> यह टोपोलॉजी बेहतरीन पूरी तरह से नियमित टोपोलॉजी होगी <math>X</math> मूल की तुलना में मोटा। इसी तरह, ए पर जरिस्की टोपोलॉजी<sup>n</sup> को बंद सेटों के आधार के रूप में बहुपद कार्यों के शून्य सेटों को लेकर परिभाषित किया गया है।
+कुछ मामलों में खुले समुच्चय के बजाय बंद समुच्चय के लिए आधार का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है। उदाहरण के लिए, एक स्थान [[पूरी तरह से नियमित]] है यदि और केवल यदि [[शून्य सेट|शून्य समुच्चय]] बंद समुच्चय के लिए आधार बनाते हैं। किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस को देखते हुए <math>X,</math> शून्य समुच्चय कुछ टोपोलॉजी के बंद समुच्चयों के लिए आधार बनाते हैं <math>X.</math> यह टोपोलॉजी बेहतरीन पूरी तरह से नियमित टोपोलॉजी होगी <math>X</math> मूल की तुलना में मोटा। इसी तरह, ए पर जरिस्की टोपोलॉजी<sup>n</sup> को बंद समुच्चयों के आधार के रूप में बहुपद कार्यों के शून्य समुच्चयों को लेकर परिभाषित किया गया है।
 == वजन और चरित्र ==
 हम में स्थापित धारणाओं के साथ काम करेंगे {{harv|Engelking|1989|loc=p. 12, pp. 127-128}}.
-X को एक टोपोलॉजिकल स्पेस फिक्स करें। यहाँ, एक 'नेटवर्क' एक परिवार है <math>\mathcal{N}</math> समुच्चयों की संख्या, जिसके लिए, x वाले सभी बिंदुओं और खुले पड़ोस U के लिए, में B मौजूद है <math>\mathcal{N}</math> जिसके लिए <math>x \in B \subseteq U.</math> ध्यान दें कि, आधार के विपरीत, नेटवर्क में सेट खुले होने की आवश्यकता नहीं है।
+X को एक टोपोलॉजिकल स्पेस फिक्स करें। यहाँ, एक 'नेटवर्क' एक परिवार है <math>\mathcal{N}</math> समुच्चयों की संख्या, जिसके लिए, x वाले सभी बिंदुओं और खुले पड़ोस U के लिए, में B मौजूद है <math>\mathcal{N}</math> जिसके लिए <math>x \in B \subseteq U.</math> ध्यान दें कि, आधार के विपरीत, नेटवर्क में समुच्चय खुले होने की आवश्यकता नहीं है।
 हम वज़न को परिभाषित करते हैं, ''w''(''X''), एक आधार की न्यूनतम कार्डिनैलिटी के रूप में; हम नेटवर्क भार को परिभाषित करते हैं, ''nw''(''X''), एक नेटवर्क की न्यूनतम कार्डिनैलिटी के रूप में; एक बिंदु का चरित्र, <math>\chi(x,X),</math> एक्स में एक्स के लिए पड़ोस के आधार की न्यूनतम कार्डिनैलिटी के रूप में; और X का 'चरित्र' होना
@@ Line 83: / Line 86: @@
 * यदि बी एक्स का आधार है तो आधार है <math>B'\subseteq B</math> आकार का <math>|B'|\leq w(X).</math>
 * यदि N, X में x के लिए एक पड़ोस का आधार है, तो एक पड़ोस का आधार है <math>N'\subseteq N</math> आकार का <math>|N'|\leq \chi(x,X).</math>
-* अगर <math>f : X \to Y</math> एक सतत अनुमान है, तो nw(Y) ≤ w(X). (बस वाई-नेटवर्क पर विचार करें <math>f'''B \triangleq \{f''U : U\in B\}</math> एक्स के प्रत्येक आधार बी के लिए।)
+* यदि <math>f : X \to Y</math> एक सतत अनुमान है, तो nw(Y) ≤ w(X). (बस वाई-नेटवर्क पर विचार करें <math>f'''B \triangleq \{f''U : U\in B\}</math> एक्स के प्रत्येक आधार बी के लिए।)
-* अगर <math>(X,\tau)</math> हॉसडॉर्फ है, तो एक कमजोर हॉसडॉर्फ टोपोलॉजी मौजूद है <math>(X,\tau')</math> ताकि <math>w(X,\tau')\leq nw(X,\tau).</math> तो एक उदाहरण, यदि X भी कॉम्पैक्ट है, तो ऐसी टोपोलॉजी मेल खाती है और इसलिए हमारे पास पहले तथ्य के साथ संयुक्त है, nw(X) = w(X)।
+* यदि <math>(X,\tau)</math> हॉसडॉर्फ है, तो एक कमजोर हॉसडॉर्फ टोपोलॉजी मौजूद है <math>(X,\tau')</math> ताकि <math>w(X,\tau')\leq nw(X,\tau).</math> तो एक उदाहरण, यदि X भी कॉम्पैक्ट है, तो ऐसी टोपोलॉजी मेल खाती है और इसलिए हमारे पास पहले तथ्य के साथ संयुक्त है, nw(X) = w(X)।
-* अगर <math>f : X \to Y</math> कॉम्पैक्ट मेट्रिजेबल स्पेस से हॉसडॉर्फ स्पेस तक एक सतत प्रक्षेपण मानचित्र, फिर वाई कॉम्पैक्ट मेट्रिजेबल है।
+* यदि <math>f : X \to Y</math> कॉम्पैक्ट मेट्रिजेबल स्पेस से हॉसडॉर्फ स्पेस तक एक सतत प्रक्षेपण मानचित्र, फिर वाई कॉम्पैक्ट मेट्रिजेबल है।
-अंतिम तथ्य f(X) कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ होने से आता है, और इसलिए <math>nw(f(X))=w(f(X))\leq w(X)\leq\aleph_0</math> (चूंकि कॉम्पैक्ट मेट्रिज़ेबल स्पेस आवश्यक रूप से दूसरे काउंटेबल हैं); साथ ही तथ्य यह है कि कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान मेट्रिजेबल हैं, अगर वे दूसरे गणनीय हैं। (उदाहरण के लिए, इसका एक अनुप्रयोग यह है कि हॉसडॉर्फ अंतरिक्ष में प्रत्येक पथ कॉम्पैक्ट मेट्रिजेबल है।)
+अंतिम तथ्य f(X) कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ होने से आता है, और इसलिए <math>nw(f(X))=w(f(X))\leq w(X)\leq\aleph_0</math> (चूंकि कॉम्पैक्ट मेट्रिज़ेबल स्पेस आवश्यक रूप से दूसरे काउंटेबल हैं); साथ ही तथ्य यह है कि कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान मेट्रिजेबल हैं, यदि वे दूसरे गणनीय हैं। (उदाहरण के लिए, इसका एक अनुप्रयोग यह है कि हॉसडॉर्फ अंतरिक्ष में प्रत्येक पथ कॉम्पैक्ट मेट्रिजेबल है।)
-=== खुले सेटों की बढ़ती श्रृंखला ===
+=== खुले समुच्चयों की बढ़ती श्रृंखला ===
-उपरोक्त संकेतन का उपयोग करते हुए, मान लीजिए कि w(X) ≤ κ कुछ अनंत कार्डिनल हैं। फिर लंबाई ≥ κ के खुले सेटों के सख्ती से बढ़ते अनुक्रम (समान रूप से बंद सेटों के सख्ती से घटते क्रम) मौजूद नहीं हैं<sup>+</sup>.
+उपरोक्त संकेतन का उपयोग करते हुए, मान लीजिए कि w(X) ≤ κ कुछ अनंत कार्डिनल हैं। फिर लंबाई ≥ κ के खुले समुच्चयों के सख्ती से बढ़ते अनुक्रम (समान रूप से बंद समुच्चयों के सख्ती से घटते क्रम) मौजूद नहीं हैं<sup>+</sup>.
 इसे देखने के लिए (पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना), ठीक करें
 <math display=block>\left \{ U_{\xi} \right \}_{\xi\in\kappa},</math>
-खुले सेट के आधार के रूप में। और प्रति विपरीत मान लीजिए, वह
+खुले समुच्चय के आधार के रूप में। और प्रति विपरीत मान लीजिए, वह
 <math display=block>\left \{ V_{\xi}\right \}_{\xi\in\kappa^{+}}</math>
-खुले सेटों का सख्ती से बढ़ता क्रम था। इसका मतलब यह है
+खुले समुच्चयों का सख्ती से बढ़ता क्रम था। इसका मतलब यह है
 <math display=block>\forall \alpha<\kappa^+: \qquad V_{\alpha}\setminus\bigcup_{\xi<\alpha} V_{\xi} \neq \varnothing.</math>
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परिभाषा और मूलभूत गुण

उदाहरण

प्रमेय

बंद समुच्चय के लिए आधार

वजन और चरित्र

खुले समुच्चयों की बढ़ती श्रृंखला

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