यूक्लिडियन प्रभावक्षेत्र: Difference between revisions

Revision as of 13:02, 14 February 2023

गणित में, विशेष रूप से रिंग सिद्धांत में, एक यूक्लिडियन डोमेन (जिसे यूक्लिडियन रिंग भी कहा जाता है) एक अभिन्न डोमेन है जिसे यूक्लिडियन फ़ंक्शन के साथ संपन्न किया जा सकता है जो पूर्णांकों के यूक्लिडियन डिवीजन के उपयुक्त सामान्यीकरण की अनुमति देता है। इस सामान्यीकृत यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को पूर्णांकों की अंगूठी में यूक्लिड के मूल एल्गोरिदम के समान कई उपयोगों में रखा जा सकता है: किसी भी यूक्लिडियन डोमेन में, कोई भी दो तत्वों के सबसे बड़े सामान्य विभाजक की गणना करने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को लागू कर सकता है। विशेष रूप से, किन्हीं भी दो तत्वों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक मौजूद है और उन्हें उनके एक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है (बेज़ाउट की पहचान)। इसके अलावा यूक्लिडियन डोमेन में हर आदर्श सिद्धांत है, जो अंकगणित के मौलिक प्रमेय के उपयुक्त सामान्यीकरण का तात्पर्य है: प्रत्येक यूक्लिडियन डोमेन एक अद्वितीय कारककरण डोमेन है।

यूक्लिडियन डोमेन के वर्ग की तुलना प्रिंसिपल आइडियल डोमेन (पीआईडी) के बड़े वर्ग से करना महत्वपूर्ण है। एक मनमाने ढंग से पीआईडी में यूक्लिडियन डोमेन (या, वास्तव में, यहां तक कि पूर्णांक की अंगूठी) के समान "संरचनात्मक गुण" होते हैं, लेकिन जब यूक्लिडियन डिवीजन के लिए एक स्पष्ट एल्गोरिदम ज्ञात हो, तो यूक्लिडियन एल्गोरिदम और विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग महानतम आम विभाजक और बेज़ाउट की पहचान की गणना करने के लिए किया जा सकता है। विशेष रूप से, एक क्षेत्र पर एक चर में पूर्णांकों और बहुपदों के यूक्लिडियन विभाजन के लिए कुशल एल्गोरिदम का अस्तित्व कंप्यूटर बीजगणित में मूलभूत महत्व का है।

इसलिए, एक अभिन्न डोमेन $R$ दिया गया है, यह जानना अक्सर बहुत उपयोगी होता है कि $R$ में यूक्लिडियन फ़ंक्शन होता है: विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है कि $R$ एक पीआईडी है। हालाँकि, यदि कोई "स्पष्ट" यूक्लिडियन फ़ंक्शन नहीं है, तो यह निर्धारित करना कि क्या $R$ एक PID है, आमतौर पर यह निर्धारित करने की तुलना में बहुत आसान समस्या है कि क्या यह एक यूक्लिडियन डोमेन है।

यूक्लिडियन डोमेन वर्ग समावेशन की निम्नलिखित श्रृंखला में दिखाई देते हैं:

rngs ⊃ rings ⊃ commutative rings ⊃ integral domains ⊃ integrally closed domains ⊃ GCD domains ⊃ unique factorization domains ⊃ principal ideal domains ⊃ Euclidean domains ⊃ fields ⊃ algebraically closed fields

परिभाषा

मान लीजिए कि $R$ एक पूर्णांकीय प्रांत है। $R$ पर एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन $R \ {0}$ से गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के लिए एक फ़ंक्शन $f$ है जो निम्न मौलिक विभाजन-साथ-शेष गुण को संतुष्ट करता है:

(EF1) अगर $a$ और $b$ में हैं $R$ और $b$ अशून्य है, तो वहाँ मौजूद हैं $q$ और $r$ में $R$ ऐसा है कि $a = bq + r$ और या तो $r = 0$ या $f (r) < f (b)$ .

एक यूक्लिडियन डोमेन एक अभिन्न डोमेन है जिसे कम से कम एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन से संपन्न किया जा सकता है। एक विशेष यूक्लिडियन फ़ंक्शन $f$ यूक्लिडियन डोमेन की परिभाषा का हिस्सा नहीं है, क्योंकि, सामान्य तौर पर, एक यूक्लिडियन डोमेन कई अलग-अलग यूक्लिडियन फ़ंक्शंस को स्वीकार कर सकता है।

इस संदर्भ में, $q$ और $r$ को क्रमशः एक भागफल और $a$ द्वारा $b$ के विभाजन (या यूक्लिडियन विभाजन) का शेष कहा जाता है। पूर्णांकों और बहुपदों के मामले के विपरीत, भागफल आमतौर पर विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं होता है, लेकिन जब एक भागफल चुना जाता है, तो शेष को विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जाता है।

अधिकांश बीजगणित ग्रंथों को निम्नलिखित अतिरिक्त संपत्ति रखने के लिए एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन की आवश्यकता होती है:

(EF2) सभी अशून्य के लिए $a$ और $b$ में $R$ , $f (a) \leq f (ab)$ .

हालाँकि, कोई दिखा सकता है कि (EF1) अकेले यूक्लिडियन डोमेन को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है; यदि एक पूर्णांकीय प्रांत $R$ एक फलन $g$ संतोषजनक (EF1) से संपन्न है, तो $R$ एक ऐसे फलन से भी संपन्न हो सकता है जो दोनों (EF1) और (EF2) को एक साथ संतुष्ट करता है। वास्तव में, $a$ में $R \ {0}$ के लिए, $f (a)$ को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:^[1]

f(a)=\min _{x\in R\setminus \{0\}}g(xa)

शब्दों में, कोई $f (a)$ को परिभाषित कर सकता है जो $a$ द्वारा उत्पन्न प्रमुख आदर्श के सभी गैर-शून्य तत्वों के सेट पर $g$ द्वारा प्राप्त न्यूनतम मान है।

एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन $f$ गुणात्मक है अगर $f (ab) = f (a) f (b)$ और $f (a)$ कभी भी शून्य नहीं होता है। यह इस प्रकार है कि $f (1) = 1$ । अधिक आम तौर पर, $f (a) = 1$ अगर और केवल अगर $a$ एक इकाई है।

परिभाषा पर नोट्स

कई लेखक "यूक्लिडियन फ़ंक्शन" के स्थान पर अन्य शब्दों का उपयोग करते हैं, जैसे "डिग्री फ़ंक्शन", "वैल्यूएशन फ़ंक्शन", "गेज फ़ंक्शन" या "मानक फ़ंक्शन"।^[2] कुछ लेखकों को यूक्लिडियन फ़ंक्शन के डोमेन को संपूर्ण रिंग $R$ होने की भी आवश्यकता होती है;^[2] हालांकि, यह अनिवार्य रूप से परिभाषा को प्रभावित नहीं करता है, क्योंकि (ईएफ 1) में $f (0)$ का मान शामिल नहीं है। परिभाषा को कभी-कभी यूक्लिडियन फ़ंक्शन को किसी भी सुव्यवस्थित सेट में इसके मान लेने की अनुमति देकर सामान्यीकृत किया जाता है; यह कमजोर पड़ना यूक्लिडियन संपत्ति के सबसे महत्वपूर्ण निहितार्थों को प्रभावित नहीं करता है।

संपत्ति (ईएफ 1) को निम्नानुसार पुन: स्थापित किया जा सकता है: गैर-शून्य जनरेटर $b$ के साथ $R$ के किसी भी प्रमुख आदर्श $I$ के लिए, भागफल रिंग के सभी गैर-शून्य वर्ग $R / I$ पास $f (r) < f (b)$ के साथ एक प्रतिनिधि $r$ है। चूँकि $f$ के संभावित मान सुव्यवस्थित हैं, इस संपत्ति को किसी भी $r \notin I$ के लिए $f (r) < f (b)$ दिखा कर स्थापित किया जा सकता है, जिसकी कक्षा में $f (r)$ का न्यूनतम मान है। ध्यान दें कि, एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन के लिए जो इस प्रकार स्थापित है, वहाँ (EF1) में $q$ और $r$ को निर्धारित करने के लिए एक प्रभावी विधि मौजूद नहीं है।

उदाहरण

यूक्लिडियन डोमेन के उदाहरणों में निम्न शामिल हैं:

किसी भी क्षेत्र। सभी अशून्य $x$ के लिए $f (x) = 1$ परिभाषित करें।
$Z$ , पूर्णांकों का वलय। परिभाषित करें $f (n) = | n |$ , $n$ का निरपेक्ष मान।^[3]
$Z [i]$ , गाऊसी पूर्णांकों का वलय। परिभाषित करें $f (a + bi) = a 2 + b 2$ , गॉसियन पूर्णांक $a + bi$ का मानक।
$Z [ω]$ (जहाँ $ω$ एक आदिम (गैर-वास्तविक) एकता का घनमूल है), आइज़ेंस्ताइन पूर्णांकों का वलय। $f (a + b ω) = a 2 - ab + b 2$ को परिभाषित करें, आइज़ेंस्टीन पूर्णांक $a + b ω$ का मानक।
$K [X]$ , क्षेत्र $K$ पर बहुपदों का वलय। प्रत्येक शून्येतर बहुपद $P$ के लिए, $f (P)$ को $P$ की डिग्री के रूप में परिभाषित करें।^[4]
$K [[X]]$ , क्षेत्र $K$ पर औपचारिक शक्ति श्रृंखला का वलय। प्रत्येक गैर-शून्य शक्ति श्रृंखला $P$ के लिए, $f (P)$ को $P$ के क्रम के रूप में परिभाषित करें, जो कि $P$ में घटित होने वाली $X$ की सबसे छोटी शक्ति की डिग्री है। विशेष रूप से, दो गैर शून्य शक्ति श्रृंखला $P$ और $Q$ के लिए, $f (P) \leq f (Q)$ अगर और केवल अगर $P$ $Q$ को विभाजित करता है।
कोई असतत वैल्यूएशन रिंग। $f (x)$ को अधिकतम आदर्श $M$ की उच्चतम शक्ति के रूप में परिभाषित करें जिसमें $x$ शामिल है। समतुल्य रूप से, $g$ को $M$ का जनरेटर होने दें, और $v$ अद्वितीय पूर्णांक हो जैसे कि $g v$ $x$ का एक सहयोगी है, फिर $f (x) = v$ को परिभाषित करें। पिछला उदाहरण $K [[X]]$ इसका एक विशेष उदाहरण है।
एक डेडेकिंड डोमेन जिसके पास परिमित रूप से अनेक अशून्य प्रधान गुणजावली $P 1, ..., P n$ है। $f(x)=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x)$ को परिभाषित करें, जहां $v i$ आदर्श $P i$ के अनुरूप असतत मूल्यांकन है।^[5]

ऐसे डोमेन के उदाहरण जो यूक्लिडियन डोमेन नहीं हैं, उनमें शामिल हैं:

प्रत्येक डोमेन जो एक प्रमुख आदर्श डोमेन नहीं है, जैसे कि एक क्षेत्र पर कम से कम दो अनिश्चित बहुपदों की अंगूठी, या पूर्णांक गुणांक वाले यूनिवेरिएट बहुपदों की अंगूठी, या संख्या अंगूठी $Z [\sqrt -5]$ ।
$Q (\sqrt -19)$ के पूर्णांकों का वलय, जिसमें $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}a + b√−19/2$ संख्याएँ शामिल हैं, जहाँ $a$ और $b$ पूर्णांक हैं और दोनों सम या दोनों विषम हैं। यह एक प्रमुख आदर्श डोमेन है जो यूक्लिडियन नहीं है।
वलय $A = R [X, Y]/(X 2 + Y 2 + 1)$ भी एक प्रमुख आदर्श डोमेन^[6] है जो यूक्लिडियन नहीं है। यह देखने के लिए कि यह एक यूक्लिडियन डोमेन नहीं है, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक गैर-शून्य अभाज्य $p\in A$ के लिए, भागफल मानचित्र $A\to A/p$ द्वारा प्रेरित मानचित्र $A^{\times }\to (A/p)^{\times }$ आच्छादक नहीं है।^[7]

गुण

मान लीजिए कि R एक प्रांत है और f एक यूक्लिडियन फलन है। तब:

आर एक प्रमुख आदर्श डोमेन (पीआईडी) है। वास्तव में, यदि I, R का शून्येतर आदर्श नहीं है, तो I \ {0} का कोई भी अवयव f(a) के न्यूनतम मान (उस सेट पर) के साथ I का एक जनरेटर है।^[8] एक परिणाम के रूप में आर भी एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन और एक नोथेरियन रिंग है। सामान्य प्रमुख आदर्श डोमेन के संबंध में, यूक्लिडियन डोमेन में गुणनखंडों का अस्तित्व (अर्थात, कि R एक परमाणु डोमेन है) विशेष रूप से आसान है: एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन f संतोषजनक (EF2) का चयन करते हुए, x का f(x) गैर-इकाई कारकों से अधिक में कोई अपघटन नहीं हो सकता है, इसलिए x से शुरू करना और बार-बार कम करने योग्य कारकों को अपघटित करना इर्रिडिएबल तत्वों में एक कारक बनाने के लिए बाध्य है I
R का कोई भी तत्व जिस पर f अपना विश्व स्तर पर न्यूनतम मान लेता है, वह R में व्युत्क्रमणीय होता है। यदि एक f संतोषजनक (EF2) चुना जाता है, तो इसका विलोम भी धारण करता है, और f, R के व्युत्क्रमणीय तत्वों पर अपना न्यूनतम मान लेता है।
यदि यूक्लिडियन विभाजन एल्गोरिथम है, अर्थात, यदि भागफल और शेषफल की गणना करने के लिए एक एल्गोरिथ्म है, तो एक विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को पूर्णांकों के मामले में ठीक उसी तरह परिभाषित किया जा सकता है।^[9]
यदि एक यूक्लिडियन डोमेन एक क्षेत्र नहीं है, तो इसमें निम्नलिखित संपत्ति के साथ एक तत्व है: किसी भी तत्व x को a से विभाजित नहीं किया जा सकता है, जिसे x = ay + u के रूप में कुछ इकाई u और कुछ तत्व y के रूप में लिखा जा सकता है। यह एक गैर-इकाई के रूप में f(a) के साथ जितना संभव हो उतना छोटा होने के बाद होता है। इस विचित्र संपत्ति का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि कुछ प्रमुख आदर्श डोमेन यूक्लिडियन डोमेन नहीं हैं, क्योंकि सभी पीआईडी में यह संपत्ति नहीं है। उदाहरण के लिए, d = -19, -43, -67, -163 के लिए, $\mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ के पूर्णांकों का वलय एक PID है जो यूक्लिडियन नहीं है, लेकिन स्थितियाँ d = −1, −2, −3, −7, −11 यूक्लिडियन हैं।^[10]

हालांकि, छोटे वर्ग समूह के साथ क्यू के कई परिमित विस्तार में, पूर्णांकों की अंगूठी यूक्लिडियन है (जरूरी नहीं कि क्षेत्र के मानक के पूर्ण मूल्य के संबंध में; नीचे देखें)। विस्तारित रीमैन परिकल्पना को मानते हुए, यदि K, Q का एक परिमित विस्तार है और K का पूर्णांकों का वलय अनंत इकाइयों की संख्या वाला एक PID है, तो पूर्णांकों का वलय यूक्लिडियन है।^[11] विशेष रूप से यह तुच्छ वर्ग समूह के साथ पूरी तरह से वास्तविक द्विघात संख्या क्षेत्रों के मामले में लागू होता है। इसके अलावा (और ईआरएच को ग्रहण किए बिना), यदि क्षेत्र के क्यू का गैलोइस विस्तार है, तुच्छ वर्ग समूह और इकाई रैंक सख्ती से तीन से अधिक है, तो पूर्णांक की अंगूठी यूक्लिडियन है।^[12] इसका एक तात्कालिक परिणाम यह है कि यदि संख्या क्षेत्र Q के ऊपर Galois है, इसका वर्ग समूह तुच्छ है और विस्तार की डिग्री 8 से अधिक है तो पूर्णांकों की अंगूठी आवश्यक रूप से यूक्लिडियन है।

नॉर्म-यूक्लिडियन क्षेत्र

बीजगणितीय संख्या क्षेत्र K उन पर एक विहित मानदंड समारोह के साथ आते हैं: क्षेत्र मानक N का निरपेक्ष मान जो α के सभी संयुग्मों के उत्पाद के लिए एक बीजगणितीय तत्व α लेता है। यह मानक एक संख्या क्षेत्र K के पूर्णांकों की अंगूठी को मैप करता है, ठीक है, गैर-नकारात्मक तर्कसंगत पूर्णांकों के लिए, इसलिए यह इस अंगूठी पर एक यूक्लिडियन मानदंड होने का उम्मीदवार है। यदि यह मानदंड एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन के सिद्धांतों को संतुष्ट करता है तो संख्या फ़ील्ड K को नॉर्म-यूक्लिडियन या केवल यूक्लिडियन कहा जाता है।^[13]^[14] कड़ाई से बोलना यह पूर्णांकों का वलय है जो कि यूक्लिडियन है क्योंकि फ़ील्ड तुच्छ रूप से यूक्लिडियन डोमेन हैं, लेकिन शब्दावली मानक है।

यदि कोई क्षेत्र मानक-यूक्लिडियन नहीं है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि पूर्णांकों का वलय यूक्लिडियन नहीं है, बस यह कि क्षेत्र का मानदंड यूक्लिडियन फ़ंक्शन के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट नहीं करता है। वास्तव में, संख्या क्षेत्रों के पूर्णांकों के छल्ले को कई वर्गों में विभाजित किया जा सकता है:

वे जो मूलधन नहीं हैं और इसलिए यूक्लिडियन नहीं हैं, जैसे कि $\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)$ के पूर्णांक
वे जो प्रिंसिपल हैं और यूक्लिडियन नहीं हैं, जैसे कि $\mathbf {Q} ({\sqrt {-19}}\,)$ के पूर्णांक
वे जो यूक्लिडियन हैं और मानक-यूक्लिडियन नहीं हैं, जैसे कि $\mathbf {Q} ({\sqrt {69}}\,)$ ^[15] के पूर्णांक
वे जो नॉर्म-यूक्लिडियन हैं, जैसे गॉसियन पूर्णांक ( $\mathbf {Q} ({\sqrt {-1}}\,)$ के पूर्णांक)

नॉर्म-यूक्लिडियन द्विघात क्षेत्रों को पूरी तरह से वर्गीकृत किया गया है; वे $\mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ हैं जहां $d$ मान लेता है

-11, -7, -3, -2, -1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 ((sequence A048981 in the OEIS))।^[16]

प्रत्येक यूक्लिडियन काल्पनिक द्विघात क्षेत्र मानक-यूक्लिडियन है और पिछली सूची में पहले पांच क्षेत्रों में से एक है।

यह भी देखें

मूल्यांकन (बीजगणित)

↑ Rogers, Kenneth (1971), "The Axioms for Euclidean Domains", American Mathematical Monthly, 78 (10): 1127–8, doi:10.2307/2316324, JSTOR 2316324, Zbl 0227.13007
↑ ^2.0 ^2.1 Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra. Wiley. p. 270. ISBN 9780471433347.
↑ Fraleigh & Katz 1967, p. 377, Example 1
↑ Fraleigh & Katz 1967, p. 377, Example 2
↑ Samuel, Pierre (1 October 1971). "About Euclidean rings". Journal of Algebra. 19 (2): 282–301 (p. 285). doi:10.1016/0021-8693(71)90110-4. ISSN 0021-8693.
↑ Pierre, Samuel (1964). Lectures on Unique Factorization Domains (PDF). Tata Institute of Fundamental Research. pp. 27–28.
↑ "Quotient of polynomials, PID but not Euclidean domain?".
↑ Fraleigh & Katz 1967, p. 377, Theorem 7.4
↑ Fraleigh & Katz 1967, p. 380, Theorem 7.7
↑ Motzkin, Theodore (1949), "The Euclidean algorithm", Bulletin of the American Mathematical Society, 55 (12): 1142–6, doi:10.1090/S0002-9904-1949-09344-8, Zbl 0035.30302
↑ Weinberger, Peter J. (1973), "On Euclidean rings of algebraic integers", Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, AMS, 24: 321–332, doi:10.1090/pspum/024/0337902, ISBN 9780821814246
↑ Harper, Malcolm; Murty, M. Ram (2004), "Euclidean rings of algebraic integers" (PDF), Canadian Journal of Mathematics, 56 (1): 71–76, CiteSeerX 10.1.1.163.7917, doi:10.4153/CJM-2004-004-5
↑ Ribenboim, Paulo (1972). Algebraic Numbers. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-71804-8.
↑ Hardy, G.H.; Wright, E.M.; Silverman, Joseph; Wiles, Andrew (2008). An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5.
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संदर्भ

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[1] Rogers, Kenneth (1971), "The Axioms for Euclidean Domains", American Mathematical Monthly, 78 (10): 1127–8, doi:10.2307/2316324, JSTOR 2316324, Zbl 0227.13007

[DummitAlgebra-2] 2.0 ^2.1 Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra. Wiley. p. 270. ISBN 9780471433347.

[3] Fraleigh & Katz 1967, p. 377, Example 1

[4] Fraleigh & Katz 1967, p. 377, Example 2

[5] Samuel, Pierre (1 October 1971). "About Euclidean rings". Journal of Algebra. 19 (2): 282–301 (p. 285). doi:10.1016/0021-8693(71)90110-4. ISSN 0021-8693.

[6] Pierre, Samuel (1964). Lectures on Unique Factorization Domains (PDF). Tata Institute of Fundamental Research. pp. 27–28.

[7] "Quotient of polynomials, PID but not Euclidean domain?".

[8] Fraleigh & Katz 1967, p. 377, Theorem 7.4

[9] Fraleigh & Katz 1967, p. 380, Theorem 7.7

[10] Motzkin, Theodore (1949), "The Euclidean algorithm", Bulletin of the American Mathematical Society, 55 (12): 1142–6, doi:10.1090/S0002-9904-1949-09344-8, Zbl 0035.30302

[11] Weinberger, Peter J. (1973), "On Euclidean rings of algebraic integers", Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, AMS, 24: 321–332, doi:10.1090/pspum/024/0337902, ISBN 9780821814246

[12] Harper, Malcolm; Murty, M. Ram (2004), "Euclidean rings of algebraic integers" (PDF), Canadian Journal of Mathematics, 56 (1): 71–76, CiteSeerX 10.1.1.163.7917, doi:10.4153/CJM-2004-004-5

[RibAlgNum-13] Ribenboim, Paulo (1972). Algebraic Numbers. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-71804-8.

[HardyWright-14] Hardy, G.H.; Wright, E.M.; Silverman, Joseph; Wiles, Andrew (2008). An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5.

[15] Clark, David A. (1994). "A quadratic field which is Euclidean but not norm-Euclidean". Manuscripta Mathematica. 83 (3–4): 327–330. CiteSeerX 10.1.1.360.6129. doi:10.1007/BF02567617. Zbl 0817.11047.

[16] LeVeque, William J. (2002) [1956]. Topics in Number Theory. Vol. I and II. Dover. pp. II:57, 81. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001.

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 {{short description|Commutative ring with a Euclidean division}}
-गणित में, अधिक विशेष रूप से [[अंगूठी सिद्धांत]] में, एक यूक्लिडियन डोमेन (जिसे यूक्लिडियन रिंग भी कहा जाता है) एक [[अभिन्न डोमेन]] है जिसे #परिभाषा के साथ संपन्न किया जा सकता है जो [[पूर्णांक]]ों के यूक्लिडियन डिवीजन के उपयुक्त सामान्यीकरण की अनुमति देता है। इस सामान्यीकृत [[यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म]] को पूर्णांकों के वलय (गणित) में यूक्लिड के मूल [[कलन विधि]] के समान कई उपयोगों के लिए रखा जा सकता है: किसी भी यूक्लिडियन डोमेन में, महानतम सामान्य विभाजक की गणना करने के [[विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म]] को लागू किया जा सकता है # किसी भी दो के क्रमविनिमेय छल्ले में तत्व। विशेष रूप से, किसी भी दो तत्वों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक मौजूद है और इसे रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है
+गणित में, विशेष रूप से [[अंगूठी सिद्धांत|रिंग सिद्धांत]] में, एक यूक्लिडियन डोमेन (जिसे यूक्लिडियन रिंग भी कहा जाता है) एक [[अभिन्न डोमेन]] है जिसे यूक्लिडियन फ़ंक्शन के साथ संपन्न किया जा सकता है जो [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] के [[यूक्लिडियन डिवीजन]] के उपयुक्त सामान्यीकरण की अनुमति देता है। इस सामान्यीकृत [[यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म]] को पूर्णांकों की अंगूठी में यूक्लिड के मूल एल्गोरिदम के समान कई उपयोगों में रखा जा सकता है: किसी भी यूक्लिडियन डोमेन में, कोई भी दो तत्वों के सबसे बड़े सामान्य विभाजक की गणना करने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को लागू कर सकता है। विशेष रूप से, किन्हीं भी दो तत्वों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक मौजूद है और उन्हें उनके एक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है (बेज़ाउट की पहचान)। इसके अलावा यूक्लिडियन डोमेन में हर [[प्रमुख आदर्श|आदर्श]] सिद्धांत है, जो अंकगणित के मौलिक प्रमेय के उपयुक्त सामान्यीकरण का तात्पर्य है: प्रत्येक यूक्लिडियन डोमेन एक अद्वितीय कारककरण डोमेन है।
-उनमें से (बेज़ाउट की पहचान)। यूक्लिडियन डोमेन में भी हर आदर्श (रिंग थ्योरी) [[प्रमुख आदर्श]] है, जो अंकगणित के मौलिक प्रमेय के उपयुक्त सामान्यीकरण का अर्थ है: प्रत्येक यूक्लिडियन डोमेन एक अद्वितीय कारक डोमेन है।
-यूक्लिडियन डोमेन के [[वर्ग (सेट सिद्धांत)]] की तुलना [[प्रमुख आदर्श डोमेन]] (पीआईडी) के बड़े वर्ग के साथ करना महत्वपूर्ण है। एक मनमाने ढंग से पीआईडी में यूक्लिडियन डोमेन (या, वास्तव में, पूर्णांकों की अंगूठी के भी) के समान संरचनात्मक गुण हैं, लेकिन जब यूक्लिडियन डिवीजन के लिए एक स्पष्ट एल्गोरिदम ज्ञात है, तो यूक्लिडियन एल्गोरिदम और विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग सबसे बड़ी गणना करने के लिए किया जा सकता है। सामान्य विभाजक और बेज़ाउट की पहचान। विशेष रूप से, एक [[क्षेत्र (गणित)]] पर एक चर में पूर्णांकों और [[बहुपद]]ों के [[यूक्लिडियन विभाजन]] के लिए कुशल एल्गोरिदम का अस्तित्व [[कंप्यूटर बीजगणित]] में बुनियादी महत्व का है।
+यूक्लिडियन डोमेन के [[वर्ग (सेट सिद्धांत)|वर्ग]] की तुलना [[प्रमुख आदर्श डोमेन|प्रिंसिपल आइडियल डोमेन]] (पीआईडी) के बड़े वर्ग से करना महत्वपूर्ण है। एक मनमाने ढंग से पीआईडी में यूक्लिडियन डोमेन (या, वास्तव में, यहां तक कि पूर्णांक की अंगूठी) के समान "संरचनात्मक गुण" होते हैं, लेकिन जब यूक्लिडियन डिवीजन के लिए एक स्पष्ट एल्गोरिदम ज्ञात हो, तो यूक्लिडियन एल्गोरिदम और विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग महानतम आम विभाजक और बेज़ाउट की पहचान की गणना करने के लिए किया जा सकता है। विशेष रूप से, एक [[क्षेत्र (गणित)|क्षेत्र]] पर एक चर में पूर्णांकों और [[बहुपद|बहुपदों]] के [[यूक्लिडियन विभाजन]] के लिए कुशल एल्गोरिदम का अस्तित्व [[कंप्यूटर बीजगणित]] में मूलभूत महत्व का है।
-अतः, पूर्णांकीय प्रांत दिया गया है {{mvar|R}}, यह जानना अक्सर बहुत उपयोगी होता है {{mvar|R}} एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन है: विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है कि {{mvar|R}} एक पीआईडी है। हालाँकि, यदि कोई स्पष्ट यूक्लिडियन फ़ंक्शन नहीं है, तो यह निर्धारित करना कि क्या {{mvar|R}} यह एक यूक्लिडियन डोमेन है या नहीं यह निर्धारित करने की तुलना में एक पीआईडी आम तौर पर एक बहुत आसान समस्या है।
+इसलिए, एक अभिन्न डोमेन {{mvar|R}} दिया गया है, यह जानना अक्सर बहुत उपयोगी होता है कि {{mvar|R}} में यूक्लिडियन फ़ंक्शन होता है: विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है कि {{mvar|R}} एक पीआईडी है। हालाँकि, यदि कोई "स्पष्ट" यूक्लिडियन फ़ंक्शन नहीं है, तो यह निर्धारित करना कि क्या {{mvar|R}} एक PID है, आमतौर पर यह निर्धारित करने की तुलना में बहुत आसान समस्या है कि क्या यह एक यूक्लिडियन डोमेन है।
-यूक्लिडियन डोमेन [[उपवर्ग (सेट सिद्धांत)]] की निम्नलिखित श्रृंखला में दिखाई देते हैं:
+यूक्लिडियन डोमेन [[उपवर्ग (सेट सिद्धांत)|वर्ग समावेशन]] की निम्नलिखित श्रृंखला में दिखाई देते हैं:
 {{Commutative ring classes}}
 {{Algebraic structures |Ring}}
 == परिभाषा ==
-होने देना {{mvar|R}} एक अभिन्न डोमेन हो। एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन ऑन {{mvar|R}} एक कार्य है (गणित) {{mvar|f}} से {{math|''R''&thinsp;\&hairsp;{0} }}गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के लिए निम्नलिखित मौलिक विभाजन-साथ-शेष संपत्ति को संतुष्ट करते हैं:
+मान लीजिए कि {{mvar|R}} एक पूर्णांकीय प्रांत है। {{mvar|R}} पर एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन {{math|''R''&thinsp;\&hairsp;{0<nowiki>}</nowiki>}} से गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के लिए एक फ़ंक्शन {{mvar|f}} है जो निम्न मौलिक विभाजन-साथ-शेष गुण को संतुष्ट करता है:
 *(EF1) अगर {{mvar|a}} और {{mvar|b}} में हैं {{mvar|R}} और {{mvar|b}} अशून्य है, तो वहाँ मौजूद हैं {{mvar|q}} और {{mvar|r}} में {{mvar|R}} ऐसा है कि {{math|''a'' {{=}} ''bq'' + ''r''}} और या तो {{math|1=''r'' = 0}} या {{math|''f''&thinsp;(''r'') < ''f''&thinsp;(''b'')}}.
-यूक्लिडियन डोमेन एक अभिन्न डोमेन है जिसे कम से कम एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन के साथ संपन्न किया जा सकता है। एक विशेष यूक्लिडियन समारोह {{mvar|f}} यूक्लिडियन डोमेन की परिभाषा का हिस्सा नहीं है, जैसा कि, सामान्य तौर पर, एक यूक्लिडियन डोमेन कई अलग-अलग यूक्लिडियन कार्यों को स्वीकार कर सकता है।
+एक यूक्लिडियन डोमेन एक अभिन्न डोमेन है जिसे कम से कम एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन से संपन्न किया जा सकता है। एक विशेष यूक्लिडियन फ़ंक्शन {{mvar|f}} यूक्लिडियन डोमेन की परिभाषा का हिस्सा नहीं है, क्योंकि, सामान्य तौर पर, एक यूक्लिडियन डोमेन कई अलग-अलग यूक्लिडियन फ़ंक्शंस को स्वीकार कर सकता है।
-इस संदर्भ में, {{mvar|q}} और {{mvar|r}} का भागफल और शेष भाग (या यूक्लिडियन विभाजन) कहलाते हैं {{mvar|a}} द्वारा {{mvar|b}}. पूर्णांकों और बहुपदों के मामले के विपरीत, भागफल आमतौर पर विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं होता है, लेकिन जब एक भागफल चुना जाता है, तो शेष को विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जाता है।
+इस संदर्भ में, {{mvar|q}} और {{mvar|r}} को क्रमशः एक भागफल और {{mvar|a}} द्वारा {{mvar|b}} के विभाजन (या यूक्लिडियन विभाजन) का शेष कहा जाता है। पूर्णांकों और बहुपदों के मामले के विपरीत, भागफल आमतौर पर विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं होता है, लेकिन जब एक भागफल चुना जाता है, तो शेष को विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जाता है।
 अधिकांश बीजगणित ग्रंथों को निम्नलिखित अतिरिक्त संपत्ति रखने के लिए एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन की आवश्यकता होती है:
@@ Line 25: / Line 23: @@
 *(EF2) सभी अशून्य के लिए {{mvar|a}} और {{mvar|b}} में {{mvar|R}}, {{math|''f''&thinsp;(''a'') ≤ ''f''&thinsp;(''ab'')}}.
-हालाँकि, कोई यह दिखा सकता है कि यूक्लिडियन डोमेन को परिभाषित करने के लिए अकेले (EF1) पर्याप्त है; अगर एक अभिन्न डोमेन {{mvar|R}} एक समारोह से संपन्न है {{mvar|g}} संतोषजनक (EF1), फिर {{mvar|R}} (EF1) और (EF2) दोनों को एक साथ संतुष्ट करने वाले फलन से भी संपन्न किया जा सकता है। दरअसल, के लिए {{mvar|a}} में {{math|''R''&thinsp;\&hairsp;{0} }}, कोई परिभाषित कर सकता है {{math|''f''&thinsp;(''a'')}} निम्नलिखित नुसार:<ref>{{Citation | last = Rogers | first = Kenneth | title = The Axioms for Euclidean Domains | journal = [[American Mathematical Monthly]] | volume = 78 | issue = 10 | pages = 1127–8 | year = 1971 | doi = 10.2307/2316324 | jstor = 2316324 | zbl=0227.13007 }}</ref>
+हालाँकि, कोई दिखा सकता है कि (EF1) अकेले यूक्लिडियन डोमेन को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है; यदि एक पूर्णांकीय प्रांत {{mvar|R}} एक फलन {{mvar|g}} संतोषजनक (EF1) से संपन्न है, तो {{mvar|R}} एक ऐसे फलन से भी संपन्न हो सकता है जो दोनों (EF1) और (EF2) को एक साथ संतुष्ट करता है। वास्तव में,  {{mvar|a}} में {{math|''R''&thinsp;\&hairsp;{0<nowiki>}</nowiki>}} के लिए, {{math|''f''&thinsp;(''a'')}} को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:<ref>{{Citation | last = Rogers | first = Kenneth | title = The Axioms for Euclidean Domains | journal = [[American Mathematical Monthly]] | volume = 78 | issue = 10 | pages = 1127–8 | year = 1971 | doi = 10.2307/2316324 | jstor = 2316324 | zbl=0227.13007 }}</ref>
 :<math>f(a) = \min_{x \in R \setminus \{0\}} g(xa)</math>
-शब्दों में परिभाषित कर सकते हैं {{math|''f''&thinsp;(''a'')}} द्वारा प्राप्त न्यूनतम मूल्य होना {{mvar|g}} द्वारा उत्पन्न प्रमुख आदर्श के सभी गैर-शून्य तत्वों के सेट पर {{mvar|a}}.
+शब्दों में, कोई {{math|''f''&thinsp;(''a'')}} को परिभाषित कर सकता है जो {{mvar|a}} द्वारा उत्पन्न प्रमुख आदर्श के सभी गैर-शून्य तत्वों के सेट पर {{mvar|g}} द्वारा प्राप्त न्यूनतम मान है।
-एक यूक्लिडियन समारोह {{mvar|f}} गुणक है अगर {{math|''f''&thinsp;(''ab'') {{=}} ''f''&thinsp;(''a'')&thinsp;''f''&thinsp;(''b'')}} और {{math|''f''&thinsp;(''a'')}} कभी शून्य नहीं होता। यह इस प्रकार है कि {{math|''f''&thinsp;(1) {{=}} 1}}. आम तौर पर अधिक, {{math|''f''&thinsp;(''a'') {{=}} 1}} अगर और केवल अगर {{mvar|a}} एक इकाई (रिंग थ्योरी) है।
+एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन {{mvar|f}} गुणात्मक है अगर {{math|''f''&thinsp;(''ab'') {{=}} ''f''&thinsp;(''a'')&thinsp;''f''&thinsp;(''b'')}} और {{math|''f''&thinsp;(''a'')}} कभी भी शून्य नहीं होता है। यह इस प्रकार है कि {{math|''f''&thinsp;(1) {{=}} 1}}। अधिक आम तौर पर, {{math|''f''&thinsp;(''a'') {{=}} 1}} अगर और केवल अगर {{mvar|a}} एक इकाई है।
 === परिभाषा पर नोट्स ===
-कई लेखक यूक्लिडियन फ़ंक्शन के स्थान पर अन्य शब्दों का उपयोग करते हैं, जैसे डिग्री फ़ंक्शन, वैल्यूएशन फ़ंक्शन, गेज फ़ंक्शन या मानदंड फ़ंक्शन।<ref name="DummitAlgebra">{{Cite book|title=Abstract Algebra|last1=Dummit|first1=David S.|last2=Foote|first2=Richard M.|publisher=Wiley|year=2004|isbn=9780471433347 |page=270}}</ref> कुछ लेखकों को यूक्लिडियन फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के डोमेन को संपूर्ण रिंग होने की भी आवश्यकता होती है {{mvar|R}};<ref name="DummitAlgebra"/>हालाँकि, यह अनिवार्य रूप से परिभाषा को प्रभावित नहीं करता है, क्योंकि (EF1) में का मान शामिल नहीं है {{math|''f''&thinsp;(0)}}. यूक्लिडियन फ़ंक्शन को किसी भी [[सुव्यवस्थित सेट]] में इसके मान लेने की अनुमति देकर परिभाषा को कभी-कभी सामान्यीकृत किया जाता है; यह कमजोर होना यूक्लिडियन संपत्ति के सबसे महत्वपूर्ण प्रभावों को प्रभावित नहीं करता है।
+कई लेखक "यूक्लिडियन फ़ंक्शन" के स्थान पर अन्य शब्दों का उपयोग करते हैं, जैसे "डिग्री फ़ंक्शन", "वैल्यूएशन फ़ंक्शन", "गेज फ़ंक्शन" या "मानक फ़ंक्शन"।<ref name="DummitAlgebra">{{Cite book|title=Abstract Algebra|last1=Dummit|first1=David S.|last2=Foote|first2=Richard M.|publisher=Wiley|year=2004|isbn=9780471433347 |page=270}}</ref> कुछ लेखकों को यूक्लिडियन फ़ंक्शन के डोमेन को संपूर्ण रिंग {{mvar|R}} होने की भी आवश्यकता होती है;<ref name="DummitAlgebra"/> हालांकि, यह अनिवार्य रूप से परिभाषा को प्रभावित नहीं करता है, क्योंकि (ईएफ 1) में {{math|''f''&thinsp;(0)}} का मान शामिल नहीं है। परिभाषा को कभी-कभी यूक्लिडियन फ़ंक्शन को किसी भी [[सुव्यवस्थित सेट]] में इसके मान लेने की अनुमति देकर सामान्यीकृत किया जाता है; यह कमजोर पड़ना यूक्लिडियन संपत्ति के सबसे महत्वपूर्ण निहितार्थों को प्रभावित नहीं करता है।
-संपत्ति (ईएफ 1) को निम्नानुसार बहाल किया जा सकता है: किसी भी प्रमुख आदर्श के लिए {{mvar|I}} का {{mvar|R}} अशून्य जनरेटर के साथ {{mvar|b}}भागफल वलय के सभी अशून्य वर्ग {{math|''R''/''I''}} एक प्रतिनिधि हो {{mvar|r}} साथ {{math|''f''&thinsp;(''r'') < ''f''&thinsp;(''b'')}}. के संभावित मूल्यों के बाद से {{mvar|f}} सुव्यवस्थित हैं, यह संपत्ति दिखाकर स्थापित की जा सकती है {{math|''f''&thinsp;(''r'') < ''f''&thinsp;(''b'')}} किसी के लिए {{math|''r'' ∉ ''I''}} के न्यूनतम मूल्य के साथ {{math|''f''&thinsp;(''r'')}} इसकी कक्षा में। ध्यान दें कि, एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन के लिए जो इतना स्थापित है, निर्धारित करने के लिए एक प्रभावी विधि मौजूद नहीं है {{mvar|q}} और {{mvar|r}} में (EF1)।
+संपत्ति (ईएफ 1) को निम्नानुसार पुन: स्थापित किया जा सकता है: गैर-शून्य जनरेटर {{mvar|b}} के साथ {{mvar|R}} के किसी भी प्रमुख आदर्श {{mvar|I}} के लिए, भागफल रिंग के सभी गैर-शून्य वर्ग {{math|''R''/''I''}} पास {{math|''f''&thinsp;(''r'') < ''f''&thinsp;(''b'')}} के साथ एक प्रतिनिधि {{mvar|r}} है। चूँकि {{mvar|f}} के संभावित मान सुव्यवस्थित हैं, इस संपत्ति को किसी भी {{math|''r'' ∉ ''I''}} के लिए {{math|''f''&thinsp;(''r'') < ''f''&thinsp;(''b'')}} दिखा कर स्थापित किया जा सकता है, जिसकी कक्षा में {{math|''f''&thinsp;(''r'')}} का न्यूनतम मान है। ध्यान दें कि, एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन के लिए जो इस प्रकार स्थापित है, वहाँ (EF1) में {{mvar|q}} और {{mvar|r}} को निर्धारित करने के लिए एक प्रभावी विधि मौजूद नहीं है।
 == उदाहरण ==
-यूक्लिडियन डोमेन के उदाहरणों में शामिल हैं:
+यूक्लिडियन डोमेन के उदाहरणों में निम्न शामिल हैं:
-*किसी भी क्षेत्र। परिभाषित करना {{math|''f''&thinsp;(''x'') {{=}} 1}} सभी अशून्य के लिए {{mvar|x}}.
+*किसी भी क्षेत्र। सभी अशून्य {{mvar|x}} के लिए {{math|''f''&thinsp;(''x'') {{=}} 1}} परिभाषित करें।
-*{{math|'''Z'''}}, पूर्णांकों का वलय। परिभाषित करना {{math|''f''&thinsp;(''n'') {{=}} {{!}}''n''{{!}}}}, का निरपेक्ष मान {{mvar|n}}.<ref>{{harvnb|Fraleigh|Katz|1967|p=377, Example 1}}</ref>
+*{{math|'''Z'''}}, पूर्णांकों का वलय। परिभाषित करें {{math|''f''&thinsp;(''n'') {{=}} {{!}}''n''{{!}}}}, {{mvar|n}} का निरपेक्ष मान।<ref>{{harvnb|Fraleigh|Katz|1967|p=377, Example 1}}</ref>
-*{{math|'''Z'''[{{hairsp|''i''}}]}}, गाऊसी पूर्णांकों का वलय। परिभाषित करना {{math|''f''&thinsp;(''a'' + ''bi'') {{=}} ''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}}}}, गाऊसी पूर्णांक का क्षेत्र मानदंड {{math|''a'' + ''bi''}}.
+*{{math|'''Z'''[{{hairsp|''i''}}]}}, गाऊसी पूर्णांकों का वलय। परिभाषित करें {{math|''f''&thinsp;(''a'' + ''bi'') {{=}} ''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}}}}, गॉसियन पूर्णांक {{math|''a'' + ''bi''}} का मानक।
-* {{math|'''Z'''[ω]}} (कहाँ {{math|ω}} एकता की जड़ है # सामान्य परिभाषा (गैर-[[वास्तविक संख्या]]) [[एकता का घनमूल]]), आइज़ेंस्ताइन पूर्णांकों का वलय। परिभाषित करना {{math|''f''&thinsp;(''a'' + ''b''ω) {{=}} ''a''{{sup|2}} − ''ab'' + ''b''{{sup|2}}}}, आइज़ेंस्टीन पूर्णांक का मानदंड {{math|''a'' + ''b''ω}}.
+* {{math|'''Z'''[ω]}} (जहाँ {{math|ω}} एक आदिम ([[वास्तविक संख्या|गैर-वास्तविक]]) [[एकता का घनमूल]] है), आइज़ेंस्ताइन पूर्णांकों का वलय। {{math|''f''&thinsp;(''a'' + ''b''ω) {{=}} ''a''{{sup|2}} − ''ab'' + ''b''{{sup|2}}}} को परिभाषित करें, आइज़ेंस्टीन पूर्णांक {{math|''a'' + ''b''ω}} का मानक।
-*{{math|''K''[''X'']}}, एक क्षेत्र पर बहुपद वलय (गणित) {{mvar|K}}. प्रत्येक अशून्य बहुपद के लिए {{mvar|P}}, परिभाषित करना {{math|''f''&thinsp;(''P'')}} के बहुपद की कोटि होना {{mvar|P}}.<ref>{{harvnb|Fraleigh|Katz|1967|p=377, Example 2}}</ref>
+*{{math|''K''[''X'']}}, क्षेत्र {{mvar|K}} पर बहुपदों का वलय। प्रत्येक शून्येतर बहुपद {{mvar|P}} के लिए, {{math|''f''&thinsp;(''P'')}} को {{mvar|P}} की डिग्री के रूप में परिभाषित करें।<ref>{{harvnb|Fraleigh|Katz|1967|p=377, Example 2}}</ref>
-*{{math|''K''{{brackets|''X''}}}}, क्षेत्र के ऊपर [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] का वलय {{mvar|K}}. प्रत्येक अशून्य शक्ति श्रृंखला के लिए {{mvar|P}}, परिभाषित करना {{math|''f''&thinsp;(''P'')}} के क्रम (शक्ति श्रृंखला) के रूप में {{mvar|P}}, की सबसे छोटी शक्ति की डिग्री है {{mvar|X}} में होने वाला {{mvar|P}}. विशेष रूप से, दो अशून्य शक्ति श्रृंखला के लिए {{mvar|P}} और {{mvar|Q}}, {{math|''f''&thinsp;(''P'') ≤ ''f''&thinsp;(''Q'')}} अगर और केवल अगर {{mvar|P}} औपचारिक शक्ति श्रृंखला#विभाजन श्रृंखला {{mvar|Q}}.
+*{{math|''K''{{brackets|''X''}}}}, क्षेत्र {{mvar|K}} पर [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] का वलय। प्रत्येक गैर-शून्य शक्ति श्रृंखला {{mvar|P}} के लिए, {{math|''f''&thinsp;(''P'')}} को {{mvar|P}} के क्रम के रूप में परिभाषित करें, जो कि {{mvar|P}} में घटित होने वाली {{mvar|X}} की सबसे छोटी शक्ति की डिग्री है। विशेष रूप से, दो गैर शून्य शक्ति श्रृंखला {{mvar|P}} और {{mvar|Q}} के लिए, {{math|''f''&thinsp;(''P'') ≤ ''f''&thinsp;(''Q'')}} अगर और केवल अगर {{mvar|P}} {{mvar|Q}} को विभाजित करता है।
-* कोई असतत मूल्यांकन रिंग। परिभाषित करना {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} [[अधिकतम आदर्श]] की उच्चतम शक्ति होना {{mvar|M}} युक्त {{mvar|x}}. समान रूप से, चलो {{mvar|g}} का जनक हो {{mvar|M}}, और {{mvar|v}} अद्वितीय पूर्णांक हो जैसे कि {{mvar|g{{hairsp}}{{sup|v}}}} का [[संबद्ध तत्व]] है {{mvar|x}}, फिर परिभाषित करें {{math|''f''&thinsp;(''x'') {{=}} ''v''}}. पिछला उदाहरण {{math|''K''{{brackets|''X''}}}} इसका एक विशेष मामला है।
+* कोई असतत वैल्यूएशन रिंग। {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} को [[अधिकतम आदर्श]] {{mvar|M}} की उच्चतम शक्ति के रूप में परिभाषित करें जिसमें {{mvar|x}} शामिल है। समतुल्य रूप से, {{mvar|g}} को {{mvar|M}} का जनरेटर होने दें, और {{mvar|v}} अद्वितीय पूर्णांक हो जैसे कि {{mvar|g{{hairsp}}{{sup|v}}}} {{mvar|x}} का एक सहयोगी है, फिर {{math|''f''&thinsp;(''x'') {{=}} ''v''}} को परिभाषित करें। पिछला उदाहरण {{math|''K''{{brackets|''X''}}}} इसका एक विशेष उदाहरण है।
-*एक [[डेडेकिंड डोमेन]] जिसके पास निश्चित रूप से कई [[शून्य आदर्श]] अभाज्य गुणजावली हैं {{math|''P''{{sub|1}}, ..., ''P{{sub|n}}''}}. परिभाषित करना <math>f(x) = \sum_{i=1}^n v_i(x)</math>, कहाँ {{mvar|v{{sub|i}}}} आदर्श के अनुरूप [[असतत मूल्यांकन]] है {{mvar|P{{sub|i}}}}.<ref>{{Cite journal|last=Samuel|first=Pierre|date=1 October 1971|title=About Euclidean rings|journal=Journal of Algebra|volume=19|issue=2|pages=282–301 (p. 285)|doi=10.1016/0021-8693(71)90110-4|issn=0021-8693|doi-access=free}}</ref>
+*एक [[डेडेकिंड डोमेन]] जिसके पास परिमित रूप से अनेक [[अशून्य प्रधान गुणजावली]] {{math|''P''{{sub|1}}, ..., ''P{{sub|n}}''}} है। <math>f(x) = \sum_{i=1}^n v_i(x)</math> को परिभाषित करें, जहां {{mvar|v{{sub|i}}}} आदर्श {{mvar|P{{sub|i}}}} के अनुरूप [[असतत मूल्यांकन]] है।<ref>{{Cite journal|last=Samuel|first=Pierre|date=1 October 1971|title=About Euclidean rings|journal=Journal of Algebra|volume=19|issue=2|pages=282–301 (p. 285)|doi=10.1016/0021-8693(71)90110-4|issn=0021-8693|doi-access=free}}</ref>
-यूक्लिडियन डोमेन नहीं होने वाले डोमेन के उदाहरणों में शामिल हैं:
+ऐसे डोमेन के उदाहरण जो यूक्लिडियन डोमेन नहीं हैं, उनमें शामिल हैं:
-* प्रत्येक डोमेन जो एक प्रमुख आदर्श डोमेन नहीं है, जैसे कि एक क्षेत्र पर कम से कम दो अनिश्चित में बहुपदों की अंगूठी, या पूर्णांक गुणांक वाले अविभाजित बहुपदों की अंगूठी, या संख्या की अंगूठी {{math|'''Z'''[{{hairsp|{{sqrt|&minus;5}}}}]}}.
+* प्रत्येक डोमेन जो एक प्रमुख आदर्श डोमेन नहीं है, जैसे कि एक क्षेत्र पर कम से कम दो अनिश्चित बहुपदों की अंगूठी, या पूर्णांक गुणांक वाले यूनिवेरिएट बहुपदों की अंगूठी, या संख्या अंगूठी {{math|'''Z'''[{{hairsp|{{sqrt|&minus;5}}}}]}}।
-* के पूर्णांकों का वलय {{math|'''Q'''({{hairsp|{{sqrt|−19}}}})}}, संख्याओं से मिलकर {{math|{{sfrac|''a'' + ''b''{{sqrt|&minus;19}}|2}}}} कहाँ {{mvar|a}} और {{mvar|b}} पूर्णांक हैं और दोनों सम या दोनों विषम हैं। यह एक प्रमुख आदर्श डोमेन है जो यूक्लिडियन नहीं है।
+* {{math|'''Q'''({{hairsp|{{sqrt|−19}}}})}} के पूर्णांकों का वलय, जिसमें {{math|{{sfrac|''a'' + ''b''{{sqrt|&minus;19}}|2}}}} संख्याएँ शामिल हैं, जहाँ {{mvar|a}} और {{mvar|b}} पूर्णांक हैं और दोनों सम या दोनों विषम हैं। यह एक प्रमुख आदर्श डोमेन है जो यूक्लिडियन नहीं है।
-* अंगूठी {{math|1=''A'' = '''R'''[''X'', ''Y'']/(''X''<sup>&thinsp;2</sup> + ''Y''<sup>&thinsp;2</sup> + 1)}} एक प्रमुख आदर्श डोमेन भी है<ref>
+* वलय {{math|1=''A'' = '''R'''[''X'', ''Y'']/(''X''<sup>&thinsp;2</sup> + ''Y''<sup>&thinsp;2</sup> + 1)}} भी एक प्रमुख आदर्श डोमेन<ref>
 {{cite book|last=Pierre|first=Samuel|url=http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr30.pdf|title=Lectures on Unique Factorization Domains|date=1964|publisher=Tata Institute of Fundamental Research|isbn= |pages=27–28|author-link=}}
-</ref> वह यूक्लिडियन नहीं है। यह देखने के लिए कि यह यूक्लिडियन डोमेन नहीं है, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक गैर-शून्य प्राइम के लिए <math>p\in A</math>, नक्शा <math>A^\times\to(A/p)^\times</math> भागफल मानचित्र द्वारा प्रेरित <math>A\to A/p</math> [[विशेषण]] नहीं है।<ref>
+</ref> है जो यूक्लिडियन नहीं है। यह देखने के लिए कि यह एक यूक्लिडियन डोमेन नहीं है, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक गैर-शून्य अभाज्य <math>p\in A</math> के लिए, भागफल मानचित्र <math>A\to A/p</math> द्वारा प्रेरित मानचित्र <math>A^\times\to(A/p)^\times</math> [[विशेषण|आच्छादक]] नहीं है।<ref>
 {{cite web
   |url=https://math.stackexchange.com/a/864627
@@ Line 65: / Line 63: @@
   |quote=}}
 </ref>
 == गुण ==
 मान लीजिए कि R एक प्रांत है और f एक यूक्लिडियन फलन है। तब:
-* R एक प्रमुख आदर्श डोमेन (PID) है। वास्तव में, यदि I, R का एक शून्येतर आदर्श (रिंग थ्योरी) है तो I\\ {0} का कोई भी तत्व f(a) के न्यूनतम मान (उस सेट पर) के साथ I का एक जनरेटर है।<ref>{{harvnb|Fraleigh|Katz|1967|p=377, Theorem 7.4}}</ref> एक परिणाम के रूप में आर भी एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन और एक [[नोथेरियन रिंग]] है। सामान्य प्रमुख आदर्श डोमेन के संबंध में, गुणनखंडों का अस्तित्व (अर्थात, कि R एक [[परमाणु डोमेन]] है) यूक्लिडियन डोमेन में [[गणितीय प्रमाण]] के लिए विशेष रूप से आसान है: एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन f संतोषजनक (EF2) चुनना, x का इससे अधिक में कोई अपघटन नहीं हो सकता f(x) नॉनयूनिट फैक्टर्स, इसलिए x से शुरू होकर और बार-बार रिड्यूसिबल फैक्टर्स को डीकंपोज करने से [[अलघुकरणीय तत्व]] में फैक्टराइजेशन पैदा होता है।
+* आर एक प्रमुख आदर्श डोमेन (पीआईडी) है। वास्तव में, यदि I, R का शून्येतर आदर्श नहीं है, तो I \ {0} का कोई भी अवयव f(a) के न्यूनतम मान (उस सेट पर) के साथ I का एक जनरेटर है।<ref>{{harvnb|Fraleigh|Katz|1967|p=377, Theorem 7.4}}</ref> एक परिणाम के रूप में आर भी एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन और एक [[नोथेरियन रिंग]] है। सामान्य प्रमुख आदर्श डोमेन के संबंध में, यूक्लिडियन डोमेन में गुणनखंडों का अस्तित्व (अर्थात, कि R एक [[परमाणु डोमेन]] है) विशेष रूप से आसान है: एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन f संतोषजनक (EF2) का चयन करते हुए, x का f(x) गैर-इकाई कारकों से अधिक में कोई अपघटन नहीं हो सकता है, इसलिए x से शुरू करना और बार-बार कम करने योग्य कारकों को अपघटित करना [[अलघुकरणीय तत्व|इर्रिडिएबल तत्वों]] में एक कारक बनाने के लिए बाध्य है I
-* R का कोई भी तत्व जिस पर f अपना विश्व स्तर पर न्यूनतम मान लेता है, R में व्युत्क्रमणीय होता है। यदि एक f संतोषजनक (EF2) चुना जाता है, तो इसका विलोम (तर्क) भी धारण करता है, और f अपना न्यूनतम मान ठीक R के व्युत्क्रमणीय तत्वों पर लेता है। .
+* R का कोई भी तत्व जिस पर f अपना विश्व स्तर पर न्यूनतम मान लेता है, वह R में व्युत्क्रमणीय होता है। यदि एक f संतोषजनक (EF2) चुना जाता है, तो इसका विलोम भी धारण करता है, और f, R के व्युत्क्रमणीय तत्वों पर अपना न्यूनतम मान लेता है।
-*यदि यूक्लिडियन विभाजन एल्गोरिथम है, अर्थात, यदि भागफल और शेष की गणना करने के लिए एक एल्गोरिथ्म है, तो एक विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को पूर्णांकों के मामले में ठीक उसी तरह परिभाषित किया जा सकता है।<ref>{{harvnb|Fraleigh|Katz|1967|p=380, Theorem 7.7}}</ref>
+*यदि यूक्लिडियन विभाजन एल्गोरिथम है, अर्थात, यदि भागफल और शेषफल की गणना करने के लिए एक एल्गोरिथ्म है, तो एक विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को पूर्णांकों के मामले में ठीक उसी तरह परिभाषित किया जा सकता है।<ref>{{harvnb|Fraleigh|Katz|1967|p=380, Theorem 7.7}}</ref>
-*यदि एक यूक्लिडियन डोमेन एक क्षेत्र नहीं है, तो इसमें निम्नलिखित संपत्ति के साथ एक तत्व है: कोई भी तत्व x जो a से विभाज्य नहीं है, उसे x = ay + u के रूप में कुछ इकाई u और कुछ तत्व y के रूप में लिखा जा सकता है। यह एक गैर-इकाई के रूप में f(a) के साथ जितना संभव हो उतना छोटा होने के बाद होता है। इस अजीब संपत्ति का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि कुछ प्रमुख आदर्श डोमेन यूक्लिडियन डोमेन नहीं हैं, क्योंकि सभी पीआईडी में यह संपत्ति नहीं है। उदाहरण के लिए, d = -19, -43, -67, -163 के लिए, पूर्णांकों का वलय <math>\mathbf{Q}(\sqrt{d}\,)</math> एक पीआईडी है जो है {{em|not}} यूक्लिडियन, लेकिन मामले d = −1, −2, −3, −7, −11 {{em|are}} यूक्लिडियन।<ref>{{Citation
+*यदि एक यूक्लिडियन डोमेन एक क्षेत्र नहीं है, तो इसमें निम्नलिखित संपत्ति के साथ एक तत्व है: किसी भी तत्व x को a से विभाजित नहीं किया जा सकता है, जिसे x = ay + u के रूप में कुछ इकाई u और कुछ तत्व y के रूप में लिखा जा सकता है। यह एक गैर-इकाई के रूप में f(a) के साथ जितना संभव हो उतना छोटा होने के बाद होता है। इस विचित्र संपत्ति का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि कुछ प्रमुख आदर्श डोमेन यूक्लिडियन डोमेन नहीं हैं, क्योंकि सभी पीआईडी में यह संपत्ति नहीं है। उदाहरण के लिए, d = -19, -43, -67, -163 के लिए, <math>\mathbf{Q}(\sqrt{d}\,)</math> के पूर्णांकों का वलय एक PID है जो यूक्लिडियन नहीं है, लेकिन स्थितियाँ d = −1, −2, −3, −7, −11 यूक्लिडियन हैं।<ref>{{Citation
    | last = Motzkin | first = Theodore | author-link = Theodore Motzkin
    | title = The Euclidean algorithm
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    | doi = 10.1090/S0002-9904-1949-09344-8 | zbl=0035.30302
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-हालांकि, [[तुच्छ समूह]] [[आदर्श वर्ग समूह]] के साथ क्यू के कई [[परिमित विस्तार]] में, पूर्णांकों की अंगूठी यूक्लिडियन है (जरूरी नहीं कि क्षेत्र मानदंड के पूर्ण मूल्य के संबंध में; नीचे देखें)।
+हालांकि, [[तुच्छ समूह|छोटे वर्ग समूह]] के साथ क्यू के कई [[परिमित विस्तार]] में, पूर्णांकों की अंगूठी यूक्लिडियन है (जरूरी नहीं कि क्षेत्र के मानक के पूर्ण मूल्य के संबंध में; नीचे देखें)। [[विस्तारित रीमैन परिकल्पना]] को मानते हुए, यदि K, Q का एक परिमित विस्तार है और K का पूर्णांकों का वलय अनंत इकाइयों की संख्या वाला एक PID है, तो पूर्णांकों का वलय यूक्लिडियन है।<ref>{{Citation
-[[विस्तारित रीमैन परिकल्पना]] को मानते हुए, यदि ''K'' Q का एक परिमित क्षेत्र विस्तार है और ''K'' के पूर्णांकों का वलय अनंत इकाइयों के साथ एक PID है, तो पूर्णांकों का वलय यूक्लिडियन है।<ref>{{Citation
    | last = Weinberger | first = Peter J. | author-link = Peter J. Weinberger
    | title = On Euclidean rings of algebraic integers
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    | publisher = AMS
    | volume = 24 | pages = 321–332 | year = 1973
-| doi = 10.1090/pspum/024/0337902 | isbn = 9780821814246 }}</ref>
+| doi = 10.1090/pspum/024/0337902 | isbn = 9780821814246 }}</ref> विशेष रूप से यह तुच्छ वर्ग समूह के साथ [[पूरी तरह से वास्तविक क्षेत्र|पूरी तरह से वास्तविक]] [[द्विघात क्षेत्र|द्विघात संख्या क्षेत्रों]] के मामले में लागू होता है। इसके अलावा (और ईआरएच को ग्रहण किए बिना), यदि क्षेत्र के क्यू का गैलोइस विस्तार है, तुच्छ वर्ग समूह और इकाई रैंक सख्ती से तीन से अधिक है, तो पूर्णांक की अंगूठी यूक्लिडियन है।<ref>{{Citation
-विशेष रूप से यह तुच्छ वर्ग समूह के साथ [[पूरी तरह से वास्तविक क्षेत्र]] [[द्विघात क्षेत्र]] के मामले में लागू होता है।
-इसके अलावा (और ईआरएच को मानने के बिना), यदि क्षेत्र के 'क्यू' का गैलोइस विस्तार है, तो छोटे वर्ग समूह और डिरिचलेट की इकाई प्रमेय तीन से सख्ती से अधिक है, तो पूर्णांक की अंगूठी यूक्लिडियन है।<ref>{{Citation
    | last1 = Harper | first1 = Malcolm
    | last2 = Murty | first2 = M. Ram | author2-link = M. Ram Murty
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    | url = http://www.mast.queensu.ca/~murty/harper-murty.pdf
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-| citeseerx = 10.1.1.163.7917}}</ref>
+| citeseerx = 10.1.1.163.7917}}</ref> इसका एक तात्कालिक [[परिणाम]] यह है कि यदि [[संख्या क्षेत्र]] Q के ऊपर Galois है, इसका वर्ग समूह तुच्छ है और विस्तार की [[क्षेत्र विस्तार की डिग्री|डिग्री]] 8 से अधिक है तो पूर्णांकों की अंगूठी आवश्यक रूप से यूक्लिडियन है।
-इसका एक तात्कालिक [[परिणाम]] यह है कि यदि [[संख्या क्षेत्र]] Q के ऊपर गाल्वा है, इसका वर्ग समूह तुच्छ है और विस्तार में 8 से अधिक [[क्षेत्र विस्तार की डिग्री]] है तो पूर्णांकों का वलय आवश्यक रूप से यूक्लिडियन है।
+== नॉर्म-यूक्लिडियन क्षेत्र ==
-<!--
-== Euclidean domains according to Motzkin and Samuel ==
--->
+बीजगणितीय संख्या क्षेत्र K उन पर एक विहित मानदंड समारोह के साथ आते हैं: क्षेत्र मानक N का निरपेक्ष मान जो α के सभी संयुग्मों के उत्पाद के लिए एक [[बीजगणितीय तत्व]] α लेता है। यह मानक एक संख्या क्षेत्र K के पूर्णांकों की अंगूठी को मैप करता है, ठीक है, गैर-नकारात्मक तर्कसंगत पूर्णांकों के लिए, इसलिए यह इस अंगूठी पर एक यूक्लिडियन मानदंड होने का उम्मीदवार है। यदि यह मानदंड एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन के सिद्धांतों को संतुष्ट करता है तो संख्या फ़ील्ड K को नॉर्म-यूक्लिडियन या केवल यूक्लिडियन कहा जाता है।<ref name="RibAlgNum">{{cite book | title=Algebraic Numbers | publisher=Wiley-Interscience | author=Ribenboim, Paulo | year=1972 | isbn=978-0-471-71804-8}}</ref><ref name="HardyWright">{{cite book |first1=G.H. |last1=Hardy |first2=E.M. |last2=Wright |first3=Joseph |last3=Silverman |first4=Andrew |last4=Wiles |title=An Introduction to the Theory of Numbers |url=https://books.google.com/books?id=P6uTBqOa3T4C&pg=PP1 |date=2008 |publisher=Oxford University Press |edition=6th |isbn=978-0-19-921986-5 }}</ref> कड़ाई से बोलना यह पूर्णांकों का वलय है जो कि यूक्लिडियन है क्योंकि फ़ील्ड तुच्छ रूप से यूक्लिडियन डोमेन हैं, लेकिन शब्दावली मानक है।
-== नॉर्म-यूक्लिडियन क्षेत्र ==
+यदि कोई क्षेत्र मानक-यूक्लिडियन नहीं है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि पूर्णांकों का वलय यूक्लिडियन नहीं है, बस यह कि क्षेत्र का मानदंड यूक्लिडियन फ़ंक्शन के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट नहीं करता है। वास्तव में, संख्या क्षेत्रों के पूर्णांकों के छल्ले को कई वर्गों में विभाजित किया जा सकता है:
+* वे जो मूलधन नहीं हैं और इसलिए यूक्लिडियन नहीं हैं, जैसे कि <math>\mathbf{Q}(\sqrt{-5}\,)</math> के पूर्णांक
+* वे जो प्रिंसिपल हैं और यूक्लिडियन नहीं हैं, जैसे कि <math>\mathbf{Q}(\sqrt{-19}\,)</math> के पूर्णांक
+* वे जो यूक्लिडियन हैं और मानक-यूक्लिडियन नहीं हैं, जैसे कि <math>\mathbf{Q}(\sqrt{69}\,)</math><ref>{{cite journal | last=Clark | first=David A. | title=A quadratic field which is Euclidean but not norm-Euclidean | journal=[[Manuscripta Mathematica]] | volume=83 | number=3–4 | pages=327–330 | year=1994 | doi = 10.1007/BF02567617 | zbl=0817.11047 | citeseerx=10.1.1.360.6129 }}</ref> के पूर्णांक
+* वे जो नॉर्म-यूक्लिडियन हैं, जैसे गॉसियन पूर्णांक (<math>\mathbf{Q}(\sqrt{-1}\,)</math> के पूर्णांक)
-बीजगणितीय संख्या फ़ील्ड K उन पर एक विहित मानदंड फ़ंक्शन के साथ आते हैं: फ़ील्ड मानक N का निरपेक्ष मान जो एक [[बीजगणितीय तत्व]] α को α के सभी संयुग्मित तत्व (फ़ील्ड सिद्धांत) के उत्पाद में ले जाता है। यह मानदंड एक संख्या क्षेत्र K के पूर्णांकों के वलय को मैप करता है, O कहते हैं<sub>''K''</sub>, गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए, इसलिए यह इस अंगूठी पर यूक्लिडियन मानदंड होने का उम्मीदवार है। यदि यह मानदंड एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है तो संख्या फ़ील्ड K को नॉर्म-यूक्लिडियन या केवल यूक्लिडियन कहा जाता है।<ref name="RibAlgNum">{{cite book | title=Algebraic Numbers | publisher=Wiley-Interscience | author=Ribenboim, Paulo | year=1972 | isbn=978-0-471-71804-8}}</ref><ref name="HardyWright">{{cite book |first1=G.H. |last1=Hardy |first2=E.M. |last2=Wright |first3=Joseph |last3=Silverman |first4=Andrew |last4=Wiles |title=An Introduction to the Theory of Numbers |url=https://books.google.com/books?id=P6uTBqOa3T4C&pg=PP1 |date=2008 |publisher=Oxford University Press |edition=6th |isbn=978-0-19-921986-5 }}</ref> कड़ाई से बोलना यह पूर्णांकों का वलय है जो कि यूक्लिडियन है क्योंकि फ़ील्ड तुच्छ रूप से यूक्लिडियन डोमेन हैं, लेकिन शब्दावली मानक है।
+नॉर्म-यूक्लिडियन द्विघात क्षेत्रों को पूरी तरह से वर्गीकृत किया गया है; वे <math>\mathbf{Q}(\sqrt{d}\,)</math> हैं जहां <math>d</math> मान लेता है
-यदि कोई क्षेत्र मानदंड-यूक्लिडियन नहीं है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि पूर्णांकों का वलय यूक्लिडियन नहीं है, बस यह कि क्षेत्र मानदंड यूक्लिडियन फ़ंक्शन के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट नहीं करता है। वास्तव में, संख्या क्षेत्रों के पूर्णांकों के छल्ले को कई वर्गों में विभाजित किया जा सकता है:
+-11, -7, -3, -2, -1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 ({{OEIS|id=A048981}})।<ref>{{cite book | last = LeVeque | first = William J. | author-link = William J. LeVeque | title = Topics in Number Theory|volume=I and II | publisher = Dover | year = 2002 | orig-year = 1956 | isbn = 978-0-486-42539-9 | zbl = 1009.11001 | pages = [https://archive.org/details/topicsinnumberth0000leve/page/ II:57,81] | url = https://archive.org/details/topicsinnumberth0000leve/page/ }}</ref>
-*वे जो प्रमुख आदर्श डोमेन नहीं हैं और इसलिए यूक्लिडियन नहीं हैं, जैसे कि पूर्णांक <math>\mathbf{Q}(\sqrt{-5}\,)</math>
-*वे जो मुख्य हैं और यूक्लिडियन नहीं हैं, जैसे कि पूर्णांक <math>\mathbf{Q}(\sqrt{-19}\,)</math>
-*वे जो यूक्लिडियन हैं और मानक-यूक्लिडियन नहीं हैं, जैसे कि पूर्णांक <math>\mathbf{Q}(\sqrt{69}\,)</math><ref>{{cite journal | last=Clark | first=David A. | title=A quadratic field which is Euclidean but not norm-Euclidean | journal=[[Manuscripta Mathematica]] | volume=83 | number=3–4 | pages=327–330 | year=1994 | doi = 10.1007/BF02567617 | zbl=0817.11047 | citeseerx=10.1.1.360.6129 }}</ref>
-* वे जो मानक-यूक्लिडियन हैं, जैसे गॉसियन पूर्णांक (के पूर्णांक <math>\mathbf{Q}(\sqrt{-1}\,)</math>)
-मानदंड-यूक्लिडियन द्विघात क्षेत्रों को पूरी तरह से वर्गीकृत किया गया है; वे हैं <math>\mathbf{Q}(\sqrt{d}\,)</math> कहाँ <math>d</math> मान लेता है
-:−11, −7, −3, −2, −1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 {{OEIS|id=A048981}}.<ref>{{cite book | last = LeVeque | first = William J. | author-link = William J. LeVeque | title = Topics in Number Theory|volume=I and II | publisher = Dover | year = 2002 | orig-year = 1956 | isbn = 978-0-486-42539-9 | zbl = 1009.11001 | pages = [https://archive.org/details/topicsinnumberth0000leve/page/ II:57,81] | url = https://archive.org/details/topicsinnumberth0000leve/page/ }}</ref>
 प्रत्येक यूक्लिडियन काल्पनिक द्विघात क्षेत्र मानक-यूक्लिडियन है और पिछली सूची में पहले पांच क्षेत्रों में से एक है।
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-== Euclidean rings with zero-divisors ==
-== ''k''-stage Euclidean domains ==
-== Euclidean ideal classes ==
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