यूक्लिडियन प्रभावक्षेत्र: Difference between revisions

Latest revision as of 10:01, 23 February 2023

गणित में, विशेष रूप से रिंग सिद्धांत में, यूक्लिडियन प्रांत (डोमेन) (जिसे यूक्लिडियन रिंग भी कहा जाता है) पूर्णांकी प्रांत है जिसे यूक्लिडियन फलन के साथ संपन्न किया जा सकता है जो पूर्णांकों के यूक्लिडियन विभाजन के उपयुक्त सामान्यीकरण की अनुमति देता प्रदान करता है। इस सामान्यीकृत यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को पूर्णांकों के रिंग में यूक्लिड के मूल एल्गोरिदम के समान कई उपयोगों में रखा जा सकता है: किसी भी यूक्लिडियन प्रांत में, कोई भी दो तत्वों के सबसे बड़े सामान्य विभाजक की गणना करने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को लागू कर सकता है। विशेष रूप से, किन्हीं भी दो तत्वों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक विद्यमान होता है और उन्हें उनके एक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है (बेज़ाउट की सर्वसमिका)। इसके अतिरिक्त यूक्लिडियन प्रांत में प्रत्येक आइडियल सिद्धांत है, जो अंकगणित के मूल प्रमेय के उपयुक्त सामान्यीकरण का तात्पर्य है: प्रत्येक यूक्लिडियन प्रांत विशिष्ट गुणनखंडन प्रांत है।

यूक्लिडियन प्रांत के वर्ग की तुलना प्रमुख आइडियल प्रांत (पीआईडी) के बड़े वर्ग से करना महत्वपूर्ण है। किसी यादृच्छिक पीआईडी में यूक्लिडियन प्रांत (या, वास्तव में, यहां तक कि पूर्णांक की रिंग) के समान "संरचनात्मक गुण" होते हैं, लेकिन जब यूक्लिडियन विभाजन के लिए स्पष्ट एल्गोरिदम ज्ञात हो, तो यूक्लिडियन एल्गोरिदम और विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग महत्‍तम समापवर्तक और बेज़ाउट की सर्वसमिका की गणना करने के लिए किया जा सकता है। विशेष रूप से, फील्ड पर चर में पूर्णांकों और बहुपदों के यूक्लिडियन विभाजन के लिए दक्ष एल्गोरिदम का अस्तित्व कंप्यूटर बीजगणित में मूलभूत महत्व का है।

अतः पूर्णांक प्रांत $R$ दिया गया है, यह ज्ञात होना प्रायः बहुत उपयोगी होता है कि $R$ में यूक्लिडियन फलन होता है: विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है कि $R$ एक पीआईडी है। हालाँकि, यदि कोई "स्पष्ट" यूक्लिडियन फलन नहीं है, तो यह निर्धारित करना कि क्या $R$ एक पीआईडी है, सामान्य रूप से यह निर्धारित करने की तुलना में बहुत सरल समस्या है कि क्या यह एक यूक्लिडियन प्रांत है।

यूक्लिडियन प्रांत वर्ग समावेशन की निम्नलिखित श्रृंखला में दिखाई देते हैं:

rngs ⊃ rings ⊃ commutative rings ⊃ integral domains ⊃ integrally closed domains ⊃ GCD domains ⊃ unique factorization domains ⊃ principal ideal domains ⊃ Euclidean domains ⊃ fields ⊃ algebraically closed fields

परिभाषा

मान लीजिए कि $R$ पूर्णांकीय प्रांत है। $R$ पर यूक्लिडियन फलन $R \ {0}$ से अऋणात्मक पूर्णांकों के लिए फलन $f$ है जो निम्न मूल विभाजन-साथ-शेष गुण को संतुष्ट करता है:

(EF1) यदि $a$ और $b$ , $R$ में हैं और $b$ अशून्य है, अतः $q$ और $r$ , $R$ में विद्यमान होता हैं जैसा यहहै कि $a = bq + r$ और या तो $r = 0$ या $f (r) < f (b)$ ।

यूक्लिडियन प्रांत एक पूर्णांकीय प्रांत है जिसे कम से कम एक यूक्लिडियन फलन से प्राप्त किया जा सकता है। विशेष यूक्लिडियन फलन $f$ यूक्लिडियन प्रांत की परिभाषा का भाग नहीं है, क्योंकि, सामान्य रूप से, यूक्लिडियन प्रांत कई अलग-अलग यूक्लिडियन फलनों को सम्मिलित कर सकता है।

इस संदर्भ में, $q$ और $r$ को क्रमशः भागफल और $a$ द्वारा $b$ के विभाजन (या यूक्लिडियन विभाजन) का शेष कहा जाता है। पूर्णांकों और बहुपदों की स्थिति के विपरीत, भागफल सामान्य रूप से विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं होता है, लेकिन जब एक भागफल का चयन किया जाता है, तो शेष को विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जाता है।

अधिकांश बीजगणित ग्रंथों को निम्नलिखित अतिरिक्त गुण रखने के लिए किसी यूक्लिडियन फलन की आवश्यकता होती है:

(EF2) सभी अशून्य के लिए $R$ में $a$ और $b$ , $f (a) \leq f (ab)$ ।

हालाँकि, यह दिखाया जा सकता है कि (EF1) अकेले यूक्लिडियन प्रांत को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है; यदि पूर्णांकीय प्रांत $R$ किसी फलन $g$ जो (EF1) को संतुष्ट करता है, से संपन्न होता है, तो $R$ एक ऐसे फलन से भी संपन्न हो सकता है जो दोनों (EF1) और (EF2) को एक साथ संतुष्ट करता है। वास्तव में, $a$ में $R \ {0}$ के लिए, $f (a)$ को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:^[1]

f(a)=\min _{x\in R\setminus \{0\}}g(xa)

शब्दों में, कोई $f (a)$ को परिभाषित कर सकता है जो $a$ द्वारा उत्पन्न प्रमुख आइडियल के सभी अशून्य तत्वों के समुच्चय पर $g$ द्वारा प्राप्त न्यूनतम मान है।

यूक्लिडियन फलन $f$ गुणात्मक है यदि $f (ab) = f (a) f (b)$ और $f (a)$ कभी भी शून्य नहीं होता है। यह इस प्रकार है कि $f (1) = 1$ । अधिक सामान्य रूप से, $f (a) = 1$ यदि और केवल यदि $a$ एक इकाई है।

परिभाषा पर टिप्पणियाँ

कई लेखक "यूक्लिडियन फलन" के स्थान पर अन्य शब्दों का उपयोग करते हैं, जैसे "कोटि फलन", "मूल्याकंन फलन", "गेज फलन" या "मानक फलन"।^[2] कुछ लेखकों को यूक्लिडियन फलन के प्रांत को संपूर्ण रिंग $R$ होने की भी आवश्यकता होती है;^[2] हालांकि, यह अनिवार्य रूप से परिभाषा को प्रभावित नहीं करता है, क्योंकि (EF1) में $f (0)$ का मान सम्मिलित नहीं है। परिभाषा को कभी-कभी यूक्लिडियन फलन को किसी भी सुव्यवस्थित समुच्चय में इसके मान लेने की अनुमति प्रदान करके सामान्यीकृत किया जाता है; यह दुर्बलता यूक्लिडियन गुणधर्म के सबसे महत्वपूर्ण निहितार्थों को प्रभावित नहीं करता है।

प्रगुण (EF1) को निम्नानुसार पुन: स्थापित किया जा सकता है: अशून्य जनरेटर $b$ के साथ $R$ के किसी भी प्रमुख आइडियल $I$ के लिए, भागफल रिंग $R / I$ के सभी अशून्य वर्गों में $f (r) < f (b)$ के साथ प्रतिनिधि $r$ है। चूँकि $f$ के संभावित मान सुव्यवस्थित हैं, इस गुण को किसी भी $r \notin I$ के लिए $f (r) < f (b)$ दिखा कर स्थापित किया जा सकता है, जिसकी कक्षा में $f (r)$ का न्यूनतम मान है। ध्यान दें कि, यूक्लिडियन फलन के लिए जो इस प्रकार स्थापित है, वहाँ (EF1) में $q$ और $r$ को निर्धारित करने के लिए प्रभावी विधि विद्यमान नहीं है।

उदाहरण

यूक्लिडियन प्रांत के उदाहरणों में निम्न सम्मिलित हैं:

किसी भी फील्ड। सभी अशून्य $x$ के लिए $f (x) = 1$ परिभाषित करें।
$Z$ , पूर्णांकों की रिंग। परिभाषित करें $f (n) = | n |$ , $n$ का निरपेक्ष मान।^[3]
$Z [i]$ , गाऊसी पूर्णांकों की रिंग। परिभाषित करें $f (a + bi) = a 2 + b 2$ , गॉसियन पूर्णांक $a + bi$ का मानक।
$Z [ω]$ (जहाँ $ω$ प्राथमिक (अ-वास्तविक) एकांक का घनमूल है), आइज़ेंस्ताइन पूर्णांकों की रिंग। $f (a + b ω) = a 2 - ab + b 2$ को परिभाषित करें, आइज़ेंस्टीन पूर्णांक $a + b ω$ का मानक।
$K [X]$ , फील्ड $K$ पर बहुपदों की रिंग। प्रत्येक अशून्य बहुपद $P$ के लिए, $f (P)$ को $P$ की कोटि के रूप में परिभाषित करें।^[4]
$K [[X]]$ , फील्ड $K$ पर आकारिक घात श्रेणी की रिंग। प्रत्येक अशून्य घात श्रेणी $P$ के लिए, $f (P)$ को $P$ के क्रम के रूप में परिभाषित करें, जो कि $P$ में घटित होने वाली $X$ की सबसे छोटी घात की कोटि है। विशेष रूप से, दो अशून्य घात श्रेणी $P$ और $Q$ के लिए, $f (P) \leq f (Q)$ यदि और केवल यदि $P$ $Q$ को विभाजित करता है।
कोई असतत मूल्यांकन रिंग। $f (x)$ को अधिकतम आइडियल $M$ की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित करें जिसमें $x$ सम्मिलित है। समतुल्य रूप से, $g$ को $M$ का जनरेटर होने दें, और $v$ विशिष्ट पूर्णांक हो जैसे कि $g v$ $x$ का एक सहयोगी है, फिर $f (x) = v$ को परिभाषित करें। पूर्व उदाहरण $K [[X]]$ इसका एक विशेष उदाहरण है।
डेडेकिंड प्रांत जिसके साथ परिमित रूप से अनेक अशून्य अभाज्य आइडियल $P 1, ..., P n$ है। $f(x)=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x)$ को परिभाषित करें, जहां $v i$ आइडियल $P i$ के अनुरूप असतत मूल्यांकन है।^[5]

ऐसे प्रांत के उदाहरण जो यूक्लिडियन प्रांत नहीं हैं, उनमें सम्मिलित हैं:

प्रत्येक प्रांत जो प्रमुख आइडियल प्रांत नहीं है, जैसे कि किसी फील्ड पर कम से कम दो अनिश्चित बहुपदों की रिंग, या पूर्णांक गुणांक वाले अविभाज्य बहुपदों की रिंग, या संख्या रिंग $Z [\sqrt -5]$ ।
$Q (\sqrt -19)$ के पूर्णांकों की रिंग, जिसमें $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}a + b√−19/2$ संख्याएँ सम्मिलित हैं, जहाँ $a$ और $b$ पूर्णांक हैं और दोनों सम या दोनों विषम हैं। यह प्रमुख आइडियल प्रांत है जो यूक्लिडियन नहीं है।
रिंग $A = R [X, Y]/(X 2 + Y 2 + 1)$ भी एक प्रमुख आइडियल प्रांत^[6] है जो यूक्लिडियन नहीं है। यह देखने के लिए कि यह एक यूक्लिडियन प्रांत नहीं है, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक अशून्य अभाज्य $p\in A$ के लिए, भागफल प्रतिचित्रण $A\to A/p$ द्वारा प्रेरित प्रतिचित्रण $A^{\times }\to (A/p)^{\times }$ आच्छादक नहीं है।^[7]

गुण

मान लीजिए कि R एक प्रांत है और f R पर यूक्लिडियन फलन है। तब:

R प्रमुख आइडियल प्रांत (पीआईडी) है। वास्तव में, यदि I, R का अशून्य आइडियल नहीं है, तो I \ {0} का कोई भी अवयव f(a) के न्यूनतम मान (उस समुच्चय पर) के साथ I का एक जनरेटर है।^[8] परिणाम के रूप में R भी एक विशिष्ट गुणनखंड प्रांत और नोथेरियन रिंग है। सामान्य प्रमुख आइडियल प्रांत के संबंध में, यूक्लिडियन प्रांत में गुणनखंडों का अस्तित्व (अर्थात, कि R परमाणु प्रांत है) विशेष रूप से सरल है: यूक्लिडियन फलन f जो (EF2) को संतुष्ट करता है, का चयन करते हुए, x का f(x) गैर-इकाई गुणनखण्डों से अधिक में कोई वियोजन नहीं हो सकता है, इसलिए x से आरम्भ करना और बार-बार कम करने योग्य गुणनखण्डों को वियोजित करना अलघुकरणीय (इर्रिडिएबल) तत्वों में गुणनखण्ड उत्पन्न करने के लिए बाध्य है I
R का कोई भी तत्व जिस पर f अपना विश्व स्तर पर न्यूनतम मान लेता है, वह R में व्युत्क्रमणीय होता है। यदि एक f जो (EF2) को संतुष्ट करता है, चयनित किया जाता है, अतः इसका व्युत्क्रम भी धारण करता है, और f, R के व्युत्क्रमणीय तत्वों पर अपना न्यूनतम मान लेता है।
यदि यूक्लिडियन विभाजन एल्गोरिथम है, अर्थात, यदि भागफल और शेषफल की गणना करने के लिए एक एल्गोरिथ्म है, अतः विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को पूर्णांकों की स्थिति में ठीक उसी तरह परिभाषित किया जा सकता है।^[9]
यदि यूक्लिडियन प्रांत फील्ड नहीं है, तो इसमें निम्नलिखित प्रगुण के साथ एक तत्व होता है: किसी भी तत्व x को a से विभाजित नहीं किया जा सकता है, जिसे x = ay + u के रूप में कुछ इकाई u और कुछ तत्व y के रूप में लिखा जा सकता है। यह गैर-इकाई के रूप में f(a) के साथ जितना संभव हो उतना छोटा होने के बाद होता है। इस विचित्र गुण का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि कुछ प्रमुख आइडियल प्रांत यूक्लिडियन प्रांत नहीं होते हैं, क्योंकि सभी पीआईडी में यह गुण नहीं होते है। उदाहरण के लिए, d = −19, −43, −67, −163 के लिए, $\mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ के पूर्णांकों की रिंग पीआईडी है जो यूक्लिडियन नहीं है, लेकिन स्थितियाँ d = −1, −2, −3, −7, −11 यूक्लिडियन हैं।^[10]

हालांकि, ट्राईविअल वर्ग समूह के साथ Q के कई परिमित विस्तारण में, पूर्णांकों की रिंग यूक्लिडियन है (आवश्यक नहीं कि फील्ड के मानक के पूर्ण मूल्य के संबंध में; नीचे देखें)। विस्तारित रीमैन परिकल्पना को मानते हुए, यदि K, Q का परिमित विस्तारण है और K का पूर्णांकों की रिंग अनंत इकाइयों की संख्या वाला एक पीआईडी है, अतः पूर्णांकों की रिंग यूक्लिडियन है।^[11] विशेष रूप से यह ट्राईविअल वर्ग समूह के साथ पूरी तरह से वास्तविक द्विघात संख्या फील्डों की स्थिति में लागू होता है। इसके अतिरिक्त (और ERH माने बिना), यदि फील्ड के Q का गैलोइस विस्तार है, ट्राईविअल वर्ग समूह और इकाई रैंक सख्ती से तीन से अधिक है, तो पूर्णांक की रिंग यूक्लिडियन है।^[12] इसका तात्कालिक परिणाम यह है कि यदि संख्या फील्ड Q पर गैलोइस होता है, इसका वर्ग समूह ट्राईविअल होता है और विस्तारण की कोटि 8 से अधिक है अतः पूर्णांकों की रिंग आवश्यक रूप से यूक्लिडियन है।

नॉर्म-यूक्लिडियन फील्ड

बीजगणितीय संख्या फील्ड K उन पर कैनोनिकल नॉर्म फलन के साथ आते हैं: फील्ड नॉर्म N का निरपेक्ष मान जो α के सभी संयुग्मों के उत्पाद के लिए बीजगणितीय तत्व α प्राप्त करता है। यह नॉर्म संख्या फील्ड K के पूर्णांकों की रिंग को मैप करता है, माना O_K, गैर-नकारात्मक तर्कसंगत पूर्णांकों के लिए, इसलिए यह इस रिंग पर यूक्लिडियन नॉर्म होने का अभ्यर्थी है। यदि यह नॉर्म यूक्लिडियन फलन के सिद्धांतों को संतुष्ट करता है तो संख्या फ़ील्ड K को नॉर्म-यूक्लिडियन या केवल यूक्लिडियन कहा जाता है।^[13]^[14] वास्तव में यह पूर्णांकों की रिंग है जो कि यूक्लिडियन है क्योंकि फ़ील्ड ट्राईविअल रूप से यूक्लिडियन प्रांत हैं, लेकिन शब्दावली नॉर्म है।

यदि कोई फील्ड नॉर्म-यूक्लिडियन नहीं है, तो इसका अर्थ यह नहीं है कि पूर्णांकों की रिंग यूक्लिडियन नहीं है, बस यह कि फील्ड का नॉर्म यूक्लिडियन फलन के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट नहीं करता है। वास्तव में, संख्या फील्डों के पूर्णांकों की रिंग को कई वर्गों में विभाजित किया जा सकता है:

वे जो प्रिंसिपल नहीं हैं और इसलिए यूक्लिडियन नहीं हैं, जैसे कि $\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)$ के पूर्णांक
वे जो प्रिंसिपल हैं और यूक्लिडियन नहीं हैं, जैसे कि $\mathbf {Q} ({\sqrt {-19}}\,)$ के पूर्णांक
वे जो यूक्लिडियन हैं और नॉर्म-यूक्लिडियन नहीं हैं, जैसे कि $\mathbf {Q} ({\sqrt {69}}\,)$ ^[15] के पूर्णांक
वे जो नॉर्म-यूक्लिडियन हैं, जैसे गॉसियन पूर्णांक ( $\mathbf {Q} ({\sqrt {-1}}\,)$ के पूर्णांक)

नॉर्म-यूक्लिडियन द्विघात फील्डों को पूर्ण रूप से वर्गीकृत किया गया है; वे $\mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ हैं जहां $d$ निम्नलिखित मान प्राप्त करता है

-11, -7, -3, -2, -1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 ((sequence A048981 in the OEIS))।^[16]

प्रत्येक यूक्लिडियन काल्पनिक द्विघात फील्ड नॉर्म-यूक्लिडियन है और पूर्व सूची में पहले पांच फील्डों में से एक है।

यह भी देखें

मूल्यांकन (बीजगणित)

↑ Rogers, Kenneth (1971), "The Axioms for Euclidean Domains", American Mathematical Monthly, 78 (10): 1127–8, doi:10.2307/2316324, JSTOR 2316324, Zbl 0227.13007
↑ ^2.0 ^2.1 Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra. Wiley. p. 270. ISBN 9780471433347.
↑ Fraleigh & Katz 1967, p. 377, Example 1
↑ Fraleigh & Katz 1967, p. 377, Example 2
↑ Samuel, Pierre (1 October 1971). "About Euclidean rings". Journal of Algebra. 19 (2): 282–301 (p. 285). doi:10.1016/0021-8693(71)90110-4. ISSN 0021-8693.
↑ Pierre, Samuel (1964). Lectures on Unique Factorization Domains (PDF). Tata Institute of Fundamental Research. pp. 27–28.
↑ "Quotient of polynomials, PID but not Euclidean domain?".
↑ Fraleigh & Katz 1967, p. 377, Theorem 7.4
↑ Fraleigh & Katz 1967, p. 380, Theorem 7.7
↑ Motzkin, Theodore (1949), "The Euclidean algorithm", Bulletin of the American Mathematical Society, 55 (12): 1142–6, doi:10.1090/S0002-9904-1949-09344-8, Zbl 0035.30302
↑ Weinberger, Peter J. (1973), "On Euclidean rings of algebraic integers", Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, AMS, 24: 321–332, doi:10.1090/pspum/024/0337902, ISBN 9780821814246
↑ Harper, Malcolm; Murty, M. Ram (2004), "Euclidean rings of algebraic integers" (PDF), Canadian Journal of Mathematics, 56 (1): 71–76, CiteSeerX 10.1.1.163.7917, doi:10.4153/CJM-2004-004-5
↑ Ribenboim, Paulo (1972). Algebraic Numbers. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-71804-8.
↑ Hardy, G.H.; Wright, E.M.; Silverman, Joseph; Wiles, Andrew (2008). An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5.
↑ Clark, David A. (1994). "A quadratic field which is Euclidean but not norm-Euclidean". Manuscripta Mathematica. 83 (3–4): 327–330. CiteSeerX 10.1.1.360.6129. doi:10.1007/BF02567617. Zbl 0817.11047.
↑ LeVeque, William J. (2002) [1956]. Topics in Number Theory. Vol. I and II. Dover. pp. II:57, 81. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001.

संदर्भ

Fraleigh, John B.; Katz, Victor J. (1967). A first course in abstract algebra (5th ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-53467-3.
Samuel, Pierre (1971). "About Euclidean rings" (PDF). Journal of Algebra. 19 (2): 282–301. doi:10.1016/0021-8693(71)90110-4.

[1] Rogers, Kenneth (1971), "The Axioms for Euclidean Domains", American Mathematical Monthly, 78 (10): 1127–8, doi:10.2307/2316324, JSTOR 2316324, Zbl 0227.13007

[DummitAlgebra-2] 2.0 ^2.1 Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra. Wiley. p. 270. ISBN 9780471433347.

[3] Fraleigh & Katz 1967, p. 377, Example 1

[4] Fraleigh & Katz 1967, p. 377, Example 2

[5] Samuel, Pierre (1 October 1971). "About Euclidean rings". Journal of Algebra. 19 (2): 282–301 (p. 285). doi:10.1016/0021-8693(71)90110-4. ISSN 0021-8693.

[6] Pierre, Samuel (1964). Lectures on Unique Factorization Domains (PDF). Tata Institute of Fundamental Research. pp. 27–28.

[7] "Quotient of polynomials, PID but not Euclidean domain?".

[8] Fraleigh & Katz 1967, p. 377, Theorem 7.4

[9] Fraleigh & Katz 1967, p. 380, Theorem 7.7

[10] Motzkin, Theodore (1949), "The Euclidean algorithm", Bulletin of the American Mathematical Society, 55 (12): 1142–6, doi:10.1090/S0002-9904-1949-09344-8, Zbl 0035.30302

[11] Weinberger, Peter J. (1973), "On Euclidean rings of algebraic integers", Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, AMS, 24: 321–332, doi:10.1090/pspum/024/0337902, ISBN 9780821814246

[12] Harper, Malcolm; Murty, M. Ram (2004), "Euclidean rings of algebraic integers" (PDF), Canadian Journal of Mathematics, 56 (1): 71–76, CiteSeerX 10.1.1.163.7917, doi:10.4153/CJM-2004-004-5

[RibAlgNum-13] Ribenboim, Paulo (1972). Algebraic Numbers. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-71804-8.

[HardyWright-14] Hardy, G.H.; Wright, E.M.; Silverman, Joseph; Wiles, Andrew (2008). An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5.

[15] Clark, David A. (1994). "A quadratic field which is Euclidean but not norm-Euclidean". Manuscripta Mathematica. 83 (3–4): 327–330. CiteSeerX 10.1.1.360.6129. doi:10.1007/BF02567617. Zbl 0817.11047.

[16] LeVeque, William J. (2002) [1956]. Topics in Number Theory. Vol. I and II. Dover. pp. II:57, 81. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001.

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@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{short description|Commutative ring with a Euclidean division}}
-गणित में, विशेष रूप से [[अंगूठी सिद्धांत|रिंग सिद्धांत]] में, एक यूक्लिडियन डोमेन (जिसे यूक्लिडियन रिंग भी कहा जाता है) एक [[अभिन्न डोमेन]] है जिसे यूक्लिडियन फ़ंक्शन के साथ संपन्न किया जा सकता है जो [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] के [[यूक्लिडियन डिवीजन]] के उपयुक्त सामान्यीकरण की अनुमति देता है। इस सामान्यीकृत [[यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म]] को पूर्णांकों की अंगूठी में यूक्लिड के मूल एल्गोरिदम के समान कई उपयोगों में रखा जा सकता है: किसी भी यूक्लिडियन डोमेन में, कोई भी दो तत्वों के सबसे बड़े सामान्य विभाजक की गणना करने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को लागू कर सकता है। विशेष रूप से, किन्हीं भी दो तत्वों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक मौजूद है और उन्हें उनके एक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है (बेज़ाउट की पहचान)। इसके अलावा यूक्लिडियन डोमेन में हर [[प्रमुख आदर्श|आदर्श]] सिद्धांत है, जो अंकगणित के मौलिक प्रमेय के उपयुक्त सामान्यीकरण का तात्पर्य है: प्रत्येक यूक्लिडियन डोमेन एक अद्वितीय कारककरण डोमेन है।
+गणित में, विशेष रूप से [[अंगूठी सिद्धांत|रिंग सिद्धांत]] में, '''यूक्लिडियन प्रांत (डोमेन)''' (जिसे '''यूक्लिडियन रिंग''' भी कहा जाता है) [[अभिन्न डोमेन|पूर्णांकी प्रांत]] है जिसे यूक्लिडियन फलन के साथ संपन्न किया जा सकता है जो [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] के [[यूक्लिडियन डिवीजन|यूक्लिडियन विभाजन]] के उपयुक्त सामान्यीकरण की अनुमति देता प्रदान करता है। इस सामान्यीकृत [[यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म]] को पूर्णांकों के रिंग में यूक्लिड के मूल एल्गोरिदम के समान कई उपयोगों में रखा जा सकता है: किसी भी यूक्लिडियन प्रांत में, कोई भी दो तत्वों के सबसे बड़े सामान्य विभाजक की गणना करने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को लागू कर सकता है। विशेष रूप से, किन्हीं भी दो तत्वों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक विद्यमान होता है और उन्हें उनके एक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है (बेज़ाउट की सर्वसमिका)। इसके अतिरिक्त यूक्लिडियन प्रांत में प्रत्येक [[प्रमुख आदर्श|आइडियल]] सिद्धांत है, जो अंकगणित के मूल प्रमेय के उपयुक्त सामान्यीकरण का तात्पर्य है: प्रत्येक यूक्लिडियन प्रांत विशिष्ट गुणनखंडन प्रांत है।
-यूक्लिडियन डोमेन के [[वर्ग (सेट सिद्धांत)|वर्ग]] की तुलना [[प्रमुख आदर्श डोमेन|प्रिंसिपल आइडियल डोमेन]] (पीआईडी) के बड़े वर्ग से करना महत्वपूर्ण है। एक मनमाने ढंग से पीआईडी में यूक्लिडियन डोमेन (या, वास्तव में, यहां तक कि पूर्णांक की अंगूठी) के समान "संरचनात्मक गुण" होते हैं, लेकिन जब यूक्लिडियन डिवीजन के लिए एक स्पष्ट एल्गोरिदम ज्ञात हो, तो यूक्लिडियन एल्गोरिदम और विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग महानतम आम विभाजक और बेज़ाउट की पहचान की गणना करने के लिए किया जा सकता है। विशेष रूप से, एक [[क्षेत्र (गणित)|क्षेत्र]] पर एक चर में पूर्णांकों और [[बहुपद|बहुपदों]] के [[यूक्लिडियन विभाजन]] के लिए कुशल एल्गोरिदम का अस्तित्व [[कंप्यूटर बीजगणित]] में मूलभूत महत्व का है।
+यूक्लिडियन प्रांत के [[वर्ग (सेट सिद्धांत)|वर्ग]] की तुलना [[प्रमुख आदर्श डोमेन|प्रमुख आइडियल प्रांत]] (पीआईडी) के बड़े वर्ग से करना महत्वपूर्ण है। किसी यादृच्छिक पीआईडी में यूक्लिडियन प्रांत (या, वास्तव में, यहां तक कि पूर्णांक की रिंग) के समान "संरचनात्मक गुण" होते हैं, लेकिन जब यूक्लिडियन विभाजन के लिए स्पष्ट एल्गोरिदम ज्ञात हो, तो यूक्लिडियन एल्गोरिदम और विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग महत्‍तम समापवर्तक और बेज़ाउट की सर्वसमिका की गणना करने के लिए किया जा सकता है। विशेष रूप से, [[क्षेत्र (गणित)|फील्ड]] पर चर में पूर्णांकों और [[बहुपद|बहुपदों]] के [[यूक्लिडियन विभाजन]] के लिए दक्ष एल्गोरिदम का अस्तित्व [[कंप्यूटर बीजगणित]] में मूलभूत महत्व का है।
-इसलिए, एक अभिन्न डोमेन {{mvar|R}} दिया गया है, यह जानना अक्सर बहुत उपयोगी होता है कि {{mvar|R}} में यूक्लिडियन फ़ंक्शन होता है: विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है कि {{mvar|R}} एक पीआईडी है। हालाँकि, यदि कोई "स्पष्ट" यूक्लिडियन फ़ंक्शन नहीं है, तो यह निर्धारित करना कि क्या {{mvar|R}} एक PID है, आमतौर पर यह निर्धारित करने की तुलना में बहुत आसान समस्या है कि क्या यह एक यूक्लिडियन डोमेन है।
+अतः पूर्णांक प्रांत {{mvar|R}} दिया गया है, यह ज्ञात होना प्रायः बहुत उपयोगी होता है कि {{mvar|R}} में यूक्लिडियन फलन होता है: विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है कि {{mvar|R}} एक पीआईडी है। हालाँकि, यदि कोई "स्पष्ट" यूक्लिडियन फलन नहीं है, तो यह निर्धारित करना कि क्या {{mvar|R}} एक पीआईडी है, सामान्य रूप से यह निर्धारित करने की तुलना में बहुत सरल समस्या है कि क्या यह एक यूक्लिडियन प्रांत है।
-यूक्लिडियन डोमेन [[उपवर्ग (सेट सिद्धांत)|वर्ग समावेशन]] की निम्नलिखित श्रृंखला में दिखाई देते हैं:
+यूक्लिडियन प्रांत [[उपवर्ग (सेट सिद्धांत)|वर्ग समावेशन]] की निम्नलिखित श्रृंखला में दिखाई देते हैं:
 {{Commutative ring classes}}
 {{Algebraic structures |Ring}}
 == परिभाषा ==
-मान लीजिए कि {{mvar|R}} एक पूर्णांकीय प्रांत है। {{mvar|R}} पर एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन {{math|''R''&thinsp;\&hairsp;{0<nowiki>}</nowiki>}} से गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के लिए एक फ़ंक्शन {{mvar|f}} है जो निम्न मौलिक विभाजन-साथ-शेष गुण को संतुष्ट करता है:
+मान लीजिए कि {{mvar|R}} पूर्णांकीय प्रांत है। {{mvar|R}} पर '''यूक्लिडियन फलन''' {{math|''R''&thinsp;\&hairsp;{0<nowiki>}</nowiki>}} से अऋणात्मक पूर्णांकों के लिए फलन {{mvar|f}} है जो निम्न मूल विभाजन-साथ-शेष गुण को संतुष्ट करता है:
-*(EF1) अगर {{mvar|a}} और {{mvar|b}} में हैं {{mvar|R}} और {{mvar|b}} अशून्य है, तो वहाँ मौजूद हैं {{mvar|q}} और {{mvar|r}} में {{mvar|R}} ऐसा है कि {{math|''a'' {{=}} ''bq'' + ''r''}} और या तो {{math|1=''r'' = 0}} या {{math|''f''&thinsp;(''r'') < ''f''&thinsp;(''b'')}}.
+*(EF1) यदि {{mvar|a}} और {{mvar|b}}, {{mvar|R}} में हैं और {{mvar|b}} अशून्य है, अतः {{mvar|q}} और {{mvar|r}}, {{mvar|R}} में विद्यमान होता हैं जैसा यहहै कि {{math|''a'' {{=}} ''bq'' + ''r''}} और या तो {{math|1=''r'' = 0}} या {{math|''f''&thinsp;(''r'') < ''f''&thinsp;(''b'')}}।
-एक यूक्लिडियन डोमेन एक अभिन्न डोमेन है जिसे कम से कम एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन से संपन्न किया जा सकता है। एक विशेष यूक्लिडियन फ़ंक्शन {{mvar|f}} यूक्लिडियन डोमेन की परिभाषा का हिस्सा नहीं है, क्योंकि, सामान्य तौर पर, एक यूक्लिडियन डोमेन कई अलग-अलग यूक्लिडियन फ़ंक्शंस को स्वीकार कर सकता है।
+'''यूक्लिडियन प्रांत''' एक पूर्णांकीय प्रांत है जिसे कम से कम एक यूक्लिडियन फलन से प्राप्त किया जा सकता है। विशेष यूक्लिडियन फलन {{mvar|f}} यूक्लिडियन प्रांत की परिभाषा का भाग नहीं है, क्योंकि, सामान्य रूप से, यूक्लिडियन प्रांत कई अलग-अलग यूक्लिडियन फलनों को सम्मिलित कर सकता है।
-इस संदर्भ में, {{mvar|q}} और {{mvar|r}} को क्रमशः एक भागफल और {{mvar|a}} द्वारा {{mvar|b}} के विभाजन (या यूक्लिडियन विभाजन) का शेष कहा जाता है। पूर्णांकों और बहुपदों के मामले के विपरीत, भागफल आमतौर पर विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं होता है, लेकिन जब एक भागफल चुना जाता है, तो शेष को विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जाता है।
+इस संदर्भ में, {{mvar|q}} और {{mvar|r}} को क्रमशः ''भागफल'' और {{mvar|a}} द्वारा {{mvar|b}} के ''विभाजन'' (या ''यूक्लिडियन विभाजन'') का ''शेष'' कहा जाता है। पूर्णांकों और बहुपदों की स्थिति के विपरीत, भागफल सामान्य रूप से विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं होता है, लेकिन जब एक भागफल का चयन किया जाता है, तो शेष को विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जाता है।
-अधिकांश बीजगणित ग्रंथों को निम्नलिखित अतिरिक्त संपत्ति रखने के लिए एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन की आवश्यकता होती है:
+अधिकांश बीजगणित ग्रंथों को निम्नलिखित अतिरिक्त गुण रखने के लिए किसी यूक्लिडियन फलन की आवश्यकता होती है:
-*(EF2) सभी अशून्य के लिए {{mvar|a}} और {{mvar|b}} में {{mvar|R}}, {{math|''f''&thinsp;(''a'') ≤ ''f''&thinsp;(''ab'')}}.
+*(EF2) सभी अशून्य के लिए {{mvar|R}} में {{mvar|a}} और {{mvar|b}}, {{math|''f''&thinsp;(''a'') ≤ ''f''&thinsp;(''ab'')}}।
-हालाँकि, कोई दिखा सकता है कि (EF1) अकेले यूक्लिडियन डोमेन को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है; यदि एक पूर्णांकीय प्रांत {{mvar|R}} एक फलन {{mvar|g}} संतोषजनक (EF1) से संपन्न है, तो {{mvar|R}} एक ऐसे फलन से भी संपन्न हो सकता है जो दोनों (EF1) और (EF2) को एक साथ संतुष्ट करता है। वास्तव में,  {{mvar|a}} में {{math|''R''&thinsp;\&hairsp;{0<nowiki>}</nowiki>}} के लिए, {{math|''f''&thinsp;(''a'')}} को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:<ref>{{Citation | last = Rogers | first = Kenneth | title = The Axioms for Euclidean Domains | journal = [[American Mathematical Monthly]] | volume = 78 | issue = 10 | pages = 1127–8 | year = 1971 | doi = 10.2307/2316324 | jstor = 2316324 | zbl=0227.13007 }}</ref>
+हालाँकि, यह दिखाया जा सकता है कि (EF1) अकेले यूक्लिडियन प्रांत को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है; यदि पूर्णांकीय प्रांत {{mvar|R}} किसी फलन {{mvar|g}} जो (EF1) को संतुष्ट करता है, से संपन्न होता है, तो {{mvar|R}} एक ऐसे फलन से भी संपन्न हो सकता है जो दोनों (EF1) और (EF2) को एक साथ संतुष्ट करता है। वास्तव में,  {{mvar|a}} में {{math|''R''&thinsp;\&hairsp;{0<nowiki>}</nowiki>}} के लिए, {{math|''f''&thinsp;(''a'')}} को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:<ref>{{Citation | last = Rogers | first = Kenneth | title = The Axioms for Euclidean Domains | journal = [[American Mathematical Monthly]] | volume = 78 | issue = 10 | pages = 1127–8 | year = 1971 | doi = 10.2307/2316324 | jstor = 2316324 | zbl=0227.13007 }}</ref>
 :<math>f(a) = \min_{x \in R \setminus \{0\}} g(xa)</math>
-शब्दों में, कोई {{math|''f''&thinsp;(''a'')}} को परिभाषित कर सकता है जो {{mvar|a}} द्वारा उत्पन्न प्रमुख आदर्श के सभी गैर-शून्य तत्वों के सेट पर {{mvar|g}} द्वारा प्राप्त न्यूनतम मान है।
+शब्दों में, कोई {{math|''f''&thinsp;(''a'')}} को परिभाषित कर सकता है जो {{mvar|a}} द्वारा उत्पन्न प्रमुख आइडियल के सभी अशून्य तत्वों के समुच्चय पर {{mvar|g}} द्वारा प्राप्त न्यूनतम मान है।
-एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन {{mvar|f}} गुणात्मक है अगर {{math|''f''&thinsp;(''ab'') {{=}} ''f''&thinsp;(''a'')&thinsp;''f''&thinsp;(''b'')}} और {{math|''f''&thinsp;(''a'')}} कभी भी शून्य नहीं होता है। यह इस प्रकार है कि {{math|''f''&thinsp;(1) {{=}} 1}}। अधिक आम तौर पर, {{math|''f''&thinsp;(''a'') {{=}} 1}} अगर और केवल अगर {{mvar|a}} एक इकाई है।
+यूक्लिडियन फलन {{mvar|f}} '''गुणात्मक''' है यदि {{math|''f''&thinsp;(''ab'') {{=}} ''f''&thinsp;(''a'')&thinsp;''f''&thinsp;(''b'')}} और {{math|''f''&thinsp;(''a'')}} कभी भी शून्य नहीं होता है। यह इस प्रकार है कि {{math|''f''&thinsp;(1) {{=}} 1}}। अधिक सामान्य रूप से, {{math|''f''&thinsp;(''a'') {{=}} 1}} यदि और केवल यदि {{mvar|a}} एक इकाई है।
-=== परिभाषा पर नोट्स ===
+=== परिभाषा पर टिप्पणियाँ ===
-कई लेखक "यूक्लिडियन फ़ंक्शन" के स्थान पर अन्य शब्दों का उपयोग करते हैं, जैसे "डिग्री फ़ंक्शन", "वैल्यूएशन फ़ंक्शन", "गेज फ़ंक्शन" या "मानक फ़ंक्शन"।<ref name="DummitAlgebra">{{Cite book|title=Abstract Algebra|last1=Dummit|first1=David S.|last2=Foote|first2=Richard M.|publisher=Wiley|year=2004|isbn=9780471433347 |page=270}}</ref> कुछ लेखकों को यूक्लिडियन फ़ंक्शन के डोमेन को संपूर्ण रिंग {{mvar|R}} होने की भी आवश्यकता होती है;<ref name="DummitAlgebra"/> हालांकि, यह अनिवार्य रूप से परिभाषा को प्रभावित नहीं करता है, क्योंकि (ईएफ 1) में {{math|''f''&thinsp;(0)}} का मान शामिल नहीं है। परिभाषा को कभी-कभी यूक्लिडियन फ़ंक्शन को किसी भी [[सुव्यवस्थित सेट]] में इसके मान लेने की अनुमति देकर सामान्यीकृत किया जाता है; यह कमजोर पड़ना यूक्लिडियन संपत्ति के सबसे महत्वपूर्ण निहितार्थों को प्रभावित नहीं करता है।
+कई लेखक "यूक्लिडियन फलन" के स्थान पर अन्य शब्दों का उपयोग करते हैं, जैसे "कोटि फलन", "मूल्याकंन फलन", "गेज फलन" या "मानक फलन"।<ref name="DummitAlgebra">{{Cite book|title=Abstract Algebra|last1=Dummit|first1=David S.|last2=Foote|first2=Richard M.|publisher=Wiley|year=2004|isbn=9780471433347 |page=270}}</ref> कुछ लेखकों को यूक्लिडियन फलन के प्रांत को संपूर्ण रिंग {{mvar|R}} होने की भी आवश्यकता होती है;<ref name="DummitAlgebra"/> हालांकि, यह अनिवार्य रूप से परिभाषा को प्रभावित नहीं करता है, क्योंकि (EF1) में {{math|''f''&thinsp;(0)}} का मान सम्मिलित नहीं है। परिभाषा को कभी-कभी यूक्लिडियन फलन को किसी भी [[सुव्यवस्थित सेट|सुव्यवस्थित समुच्चय]] में इसके मान लेने की अनुमति प्रदान करके सामान्यीकृत किया जाता है; यह दुर्बलता यूक्लिडियन गुणधर्म के सबसे महत्वपूर्ण निहितार्थों को प्रभावित नहीं करता है।
-संपत्ति (ईएफ 1) को निम्नानुसार पुन: स्थापित किया जा सकता है: गैर-शून्य जनरेटर {{mvar|b}} के साथ {{mvar|R}} के किसी भी प्रमुख आदर्श {{mvar|I}} के लिए, भागफल रिंग के सभी गैर-शून्य वर्ग {{math|''R''/''I''}} पास {{math|''f''&thinsp;(''r'') < ''f''&thinsp;(''b'')}} के साथ एक प्रतिनिधि {{mvar|r}} है। चूँकि {{mvar|f}} के संभावित मान सुव्यवस्थित हैं, इस संपत्ति को किसी भी {{math|''r'' ∉ ''I''}} के लिए {{math|''f''&thinsp;(''r'') < ''f''&thinsp;(''b'')}} दिखा कर स्थापित किया जा सकता है, जिसकी कक्षा में {{math|''f''&thinsp;(''r'')}} का न्यूनतम मान है। ध्यान दें कि, एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन के लिए जो इस प्रकार स्थापित है, वहाँ (EF1) में {{mvar|q}} और {{mvar|r}} को निर्धारित करने के लिए एक प्रभावी विधि मौजूद नहीं है।
+प्रगुण (EF1) को निम्नानुसार पुन: स्थापित किया जा सकता है: अशून्य जनरेटर {{mvar|b}} के साथ {{mvar|R}} के किसी भी प्रमुख आइडियल {{mvar|I}} के लिए, भागफल रिंग {{math|''R''/''I''}} के सभी अशून्य वर्गों में {{math|''f''&thinsp;(''r'') < ''f''&thinsp;(''b'')}} के साथ प्रतिनिधि {{mvar|r}} है। चूँकि {{mvar|f}} के संभावित मान सुव्यवस्थित हैं, इस गुण को किसी भी {{math|''r'' ∉ ''I''}} के लिए {{math|''f''&thinsp;(''r'') < ''f''&thinsp;(''b'')}} दिखा कर स्थापित किया जा सकता है, जिसकी कक्षा में {{math|''f''&thinsp;(''r'')}} का न्यूनतम मान है। ध्यान दें कि, यूक्लिडियन फलन के लिए जो इस प्रकार स्थापित है, वहाँ (EF1) में {{mvar|q}} और {{mvar|r}} को निर्धारित करने के लिए प्रभावी विधि विद्यमान नहीं है।
 == उदाहरण ==
-यूक्लिडियन डोमेन के उदाहरणों में निम्न शामिल हैं:
+यूक्लिडियन प्रांत के उदाहरणों में निम्न सम्मिलित हैं:
-*किसी भी क्षेत्र। सभी अशून्य {{mvar|x}} के लिए {{math|''f''&thinsp;(''x'') {{=}} 1}} परिभाषित करें।
+*किसी भी फील्ड। सभी अशून्य {{mvar|x}} के लिए {{math|''f''&thinsp;(''x'') {{=}} 1}} परिभाषित करें।
-*{{math|'''Z'''}}, पूर्णांकों का वलय। परिभाषित करें {{math|''f''&thinsp;(''n'') {{=}} {{!}}''n''{{!}}}}, {{mvar|n}} का निरपेक्ष मान।<ref>{{harvnb|Fraleigh|Katz|1967|p=377, Example 1}}</ref>
+*{{math|'''Z'''}}, पूर्णांकों की रिंग। परिभाषित करें {{math|''f''&thinsp;(''n'') {{=}} {{!}}''n''{{!}}}}, {{mvar|n}} का निरपेक्ष मान।<ref>{{harvnb|Fraleigh|Katz|1967|p=377, Example 1}}</ref>
-*{{math|'''Z'''[{{hairsp|''i''}}]}}, गाऊसी पूर्णांकों का वलय। परिभाषित करें {{math|''f''&thinsp;(''a'' + ''bi'') {{=}} ''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}}}}, गॉसियन पूर्णांक {{math|''a'' + ''bi''}} का मानक।
+*{{math|'''Z'''[{{hairsp|''i''}}]}}, गाऊसी पूर्णांकों की रिंग। परिभाषित करें {{math|''f''&thinsp;(''a'' + ''bi'') {{=}} ''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}}}}, गॉसियन पूर्णांक {{math|''a'' + ''bi''}} का मानक।
-* {{math|'''Z'''[ω]}} (जहाँ {{math|ω}} एक आदिम ([[वास्तविक संख्या|गैर-वास्तविक]]) [[एकता का घनमूल]] है), आइज़ेंस्ताइन पूर्णांकों का वलय। {{math|''f''&thinsp;(''a'' + ''b''ω) {{=}} ''a''{{sup|2}} − ''ab'' + ''b''{{sup|2}}}} को परिभाषित करें, आइज़ेंस्टीन पूर्णांक {{math|''a'' + ''b''ω}} का मानक।
+* {{math|'''Z'''[ω]}} (जहाँ {{math|ω}} प्राथमिक (अ-[[वास्तविक संख्या|वास्तविक]]) [[एकता का घनमूल|एकांक का घनमूल]] है), आइज़ेंस्ताइन पूर्णांकों की रिंग। {{math|''f''&thinsp;(''a'' + ''b''ω) {{=}} ''a''{{sup|2}} − ''ab'' + ''b''{{sup|2}}}} को परिभाषित करें, आइज़ेंस्टीन पूर्णांक {{math|''a'' + ''b''ω}} का मानक।
-*{{math|''K''[''X'']}}, क्षेत्र {{mvar|K}} पर बहुपदों का वलय। प्रत्येक शून्येतर बहुपद {{mvar|P}} के लिए, {{math|''f''&thinsp;(''P'')}} को {{mvar|P}} की डिग्री के रूप में परिभाषित करें।<ref>{{harvnb|Fraleigh|Katz|1967|p=377, Example 2}}</ref>
+*{{math|''K''[''X'']}}, फील्ड {{mvar|K}} पर बहुपदों की रिंग। प्रत्येक अशून्य बहुपद {{mvar|P}} के लिए, {{math|''f''&thinsp;(''P'')}} को {{mvar|P}} की कोटि के रूप में परिभाषित करें।<ref>{{harvnb|Fraleigh|Katz|1967|p=377, Example 2}}</ref>
-*{{math|''K''{{brackets|''X''}}}}, क्षेत्र {{mvar|K}} पर [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] का वलय। प्रत्येक गैर-शून्य शक्ति श्रृंखला {{mvar|P}} के लिए, {{math|''f''&thinsp;(''P'')}} को {{mvar|P}} के क्रम के रूप में परिभाषित करें, जो कि {{mvar|P}} में घटित होने वाली {{mvar|X}} की सबसे छोटी शक्ति की डिग्री है। विशेष रूप से, दो गैर शून्य शक्ति श्रृंखला {{mvar|P}} और {{mvar|Q}} के लिए, {{math|''f''&thinsp;(''P'') ≤ ''f''&thinsp;(''Q'')}} अगर और केवल अगर {{mvar|P}} {{mvar|Q}} को विभाजित करता है।
+*{{math|''K''{{brackets|''X''}}}}, फील्ड {{mvar|K}} पर [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला|आकारिक घात श्रेणी]] की रिंग। प्रत्येक अशून्य घात श्रेणी {{mvar|P}} के लिए, {{math|''f''&thinsp;(''P'')}} को {{mvar|P}} के क्रम के रूप में परिभाषित करें, जो कि {{mvar|P}} में घटित होने वाली {{mvar|X}} की सबसे छोटी घात की कोटि है। विशेष रूप से, दो अशून्य घात श्रेणी {{mvar|P}} और {{mvar|Q}} के लिए, {{math|''f''&thinsp;(''P'') ≤ ''f''&thinsp;(''Q'')}} यदि और केवल यदि {{mvar|P}} {{mvar|Q}} को विभाजित करता है।
-* कोई असतत वैल्यूएशन रिंग। {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} को [[अधिकतम आदर्श]] {{mvar|M}} की उच्चतम शक्ति के रूप में परिभाषित करें जिसमें {{mvar|x}} शामिल है। समतुल्य रूप से, {{mvar|g}} को {{mvar|M}} का जनरेटर होने दें, और {{mvar|v}} अद्वितीय पूर्णांक हो जैसे कि {{mvar|g{{hairsp}}{{sup|v}}}} {{mvar|x}} का एक सहयोगी है, फिर {{math|''f''&thinsp;(''x'') {{=}} ''v''}} को परिभाषित करें। पिछला उदाहरण {{math|''K''{{brackets|''X''}}}} इसका एक विशेष उदाहरण है।
+* कोई असतत मूल्यांकन रिंग। {{math|''f''&thinsp;(''x'')}} को [[अधिकतम आदर्श|अधिकतम आइडियल]] {{mvar|M}} की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित करें जिसमें {{mvar|x}} सम्मिलित है। समतुल्य रूप से, {{mvar|g}} को {{mvar|M}} का जनरेटर होने दें, और {{mvar|v}} विशिष्ट पूर्णांक हो जैसे कि {{mvar|g{{hairsp}}{{sup|v}}}} {{mvar|x}} का एक सहयोगी है, फिर {{math|''f''&thinsp;(''x'') {{=}} ''v''}} को परिभाषित करें। पूर्व उदाहरण {{math|''K''{{brackets|''X''}}}} इसका एक विशेष उदाहरण है।
-*एक [[डेडेकिंड डोमेन]] जिसके पास परिमित रूप से अनेक [[अशून्य प्रधान गुणजावली]] {{math|''P''{{sub|1}}, ..., ''P{{sub|n}}''}} है। <math>f(x) = \sum_{i=1}^n v_i(x)</math> को परिभाषित करें, जहां {{mvar|v{{sub|i}}}} आदर्श {{mvar|P{{sub|i}}}} के अनुरूप [[असतत मूल्यांकन]] है।<ref>{{Cite journal|last=Samuel|first=Pierre|date=1 October 1971|title=About Euclidean rings|journal=Journal of Algebra|volume=19|issue=2|pages=282–301 (p. 285)|doi=10.1016/0021-8693(71)90110-4|issn=0021-8693|doi-access=free}}</ref>
+*[[डेडेकिंड डोमेन|डेडेकिंड प्रांत]] जिसके साथ परिमित रूप से अनेक अशून्य [[अशून्य प्रधान गुणजावली|अभाज्य आइडियल]] {{math|''P''{{sub|1}}, ..., ''P{{sub|n}}''}} है। <math>f(x) = \sum_{i=1}^n v_i(x)</math> को परिभाषित करें, जहां {{mvar|v{{sub|i}}}} आइडियल {{mvar|P{{sub|i}}}} के अनुरूप [[असतत मूल्यांकन]] है।<ref>{{Cite journal|last=Samuel|first=Pierre|date=1 October 1971|title=About Euclidean rings|journal=Journal of Algebra|volume=19|issue=2|pages=282–301 (p. 285)|doi=10.1016/0021-8693(71)90110-4|issn=0021-8693|doi-access=free}}</ref>
-ऐसे डोमेन के उदाहरण जो यूक्लिडियन डोमेन नहीं हैं, उनमें शामिल हैं:
+ऐसे प्रांत के उदाहरण जो यूक्लिडियन प्रांत नहीं हैं, उनमें सम्मिलित हैं:
-* प्रत्येक डोमेन जो एक प्रमुख आदर्श डोमेन नहीं है, जैसे कि एक क्षेत्र पर कम से कम दो अनिश्चित बहुपदों की अंगूठी, या पूर्णांक गुणांक वाले यूनिवेरिएट बहुपदों की अंगूठी, या संख्या अंगूठी {{math|'''Z'''[{{hairsp|{{sqrt|&minus;5}}}}]}}।
+* प्रत्येक प्रांत जो प्रमुख आइडियल प्रांत नहीं है, जैसे कि किसी फील्ड पर कम से कम दो अनिश्चित बहुपदों की रिंग, या पूर्णांक गुणांक वाले अविभाज्य बहुपदों की रिंग, या संख्या रिंग {{math|'''Z'''[{{hairsp|{{sqrt|&minus;5}}}}]}}।
-* {{math|'''Q'''({{hairsp|{{sqrt|−19}}}})}} के पूर्णांकों का वलय, जिसमें {{math|{{sfrac|''a'' + ''b''{{sqrt|&minus;19}}|2}}}} संख्याएँ शामिल हैं, जहाँ {{mvar|a}} और {{mvar|b}} पूर्णांक हैं और दोनों सम या दोनों विषम हैं। यह एक प्रमुख आदर्श डोमेन है जो यूक्लिडियन नहीं है।
+* {{math|'''Q'''({{hairsp|{{sqrt|−19}}}})}} के पूर्णांकों की रिंग, जिसमें {{math|{{sfrac|''a'' + ''b''{{sqrt|&minus;19}}|2}}}} संख्याएँ सम्मिलित हैं, जहाँ {{mvar|a}} और {{mvar|b}} पूर्णांक हैं और दोनों सम या दोनों विषम हैं। यह प्रमुख आइडियल प्रांत है जो यूक्लिडियन नहीं है।
-* वलय {{math|1=''A'' = '''R'''[''X'', ''Y'']/(''X''<sup>&thinsp;2</sup> + ''Y''<sup>&thinsp;2</sup> + 1)}} भी एक प्रमुख आदर्श डोमेन<ref>
+* रिंग {{math|1=''A'' = '''R'''[''X'', ''Y'']/(''X''<sup>&thinsp;2</sup> + ''Y''<sup>&thinsp;2</sup> + 1)}} भी एक प्रमुख आइडियल प्रांत<ref>
 {{cite book|last=Pierre|first=Samuel|url=http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr30.pdf|title=Lectures on Unique Factorization Domains|date=1964|publisher=Tata Institute of Fundamental Research|isbn= |pages=27–28|author-link=}}
-</ref> है जो यूक्लिडियन नहीं है। यह देखने के लिए कि यह एक यूक्लिडियन डोमेन नहीं है, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक गैर-शून्य अभाज्य <math>p\in A</math> के लिए, भागफल मानचित्र <math>A\to A/p</math> द्वारा प्रेरित मानचित्र <math>A^\times\to(A/p)^\times</math> [[विशेषण|आच्छादक]] नहीं है।<ref>
+</ref> है जो यूक्लिडियन नहीं है। यह देखने के लिए कि यह एक यूक्लिडियन प्रांत नहीं है, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक अशून्य अभाज्य <math>p\in A</math> के लिए, भागफल प्रतिचित्रण <math>A\to A/p</math> द्वारा प्रेरित प्रतिचित्रण <math>A^\times\to(A/p)^\times</math> [[विशेषण|आच्छादक]] नहीं है।<ref>
 {{cite web
   |url=https://math.stackexchange.com/a/864627
@@ Line 64: / Line 64: @@
 </ref>
 == गुण ==
-मान लीजिए कि R एक प्रांत है और f एक यूक्लिडियन फलन है। तब:
+मान लीजिए कि ''R'' एक प्रांत है और ''f'' ''R'' पर यूक्लिडियन फलन है। तब:
-* आर एक प्रमुख आदर्श डोमेन (पीआईडी) है। वास्तव में, यदि I, R का शून्येतर आदर्श नहीं है, तो I \ {0} का कोई भी अवयव f(a) के न्यूनतम मान (उस सेट पर) के साथ I का एक जनरेटर है।<ref>{{harvnb|Fraleigh|Katz|1967|p=377, Theorem 7.4}}</ref> एक परिणाम के रूप में आर भी एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन और एक [[नोथेरियन रिंग]] है। सामान्य प्रमुख आदर्श डोमेन के संबंध में, यूक्लिडियन डोमेन में गुणनखंडों का अस्तित्व (अर्थात, कि R एक [[परमाणु डोमेन]] है) विशेष रूप से आसान है: एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन f संतोषजनक (EF2) का चयन करते हुए, x का f(x) गैर-इकाई कारकों से अधिक में कोई अपघटन नहीं हो सकता है, इसलिए x से शुरू करना और बार-बार कम करने योग्य कारकों को अपघटित करना [[अलघुकरणीय तत्व|इर्रिडिएबल तत्वों]] में एक कारक बनाने के लिए बाध्य है I
+* ''R'' प्रमुख आइडियल प्रांत (पीआईडी) है। वास्तव में, यदि ''I'', ''R'' का अशून्य आइडियल नहीं है, तो ''I'' \ {0} का कोई भी अवयव ''f''(''a'') के न्यूनतम मान (उस समुच्चय पर) के साथ ''I'' का एक जनरेटर है।<ref>{{harvnb|Fraleigh|Katz|1967|p=377, Theorem 7.4}}</ref> परिणाम के रूप में ''R'' भी एक विशिष्ट गुणनखंड प्रांत और [[नोथेरियन रिंग]] है। सामान्य प्रमुख आइडियल प्रांत के संबंध में, यूक्लिडियन प्रांत में गुणनखंडों का अस्तित्व (अर्थात, कि ''R'' [[परमाणु डोमेन|परमाणु प्रांत]] है) विशेष रूप से सरल है: यूक्लिडियन फलन ''f'' जो (EF2) को संतुष्ट करता है, का चयन करते हुए, ''x'' का ''f''(''x'') गैर-इकाई गुणनखण्डों से अधिक में कोई वियोजन नहीं हो सकता है, इसलिए x से आरम्भ करना और बार-बार कम करने योग्य गुणनखण्डों को वियोजित करना [[अलघुकरणीय तत्व|अलघुकरणीय (इर्रिडिएबल) तत्वों]] में गुणनखण्ड उत्पन्न करने के लिए बाध्य है I
-* R का कोई भी तत्व जिस पर f अपना विश्व स्तर पर न्यूनतम मान लेता है, वह R में व्युत्क्रमणीय होता है। यदि एक f संतोषजनक (EF2) चुना जाता है, तो इसका विलोम भी धारण करता है, और f, R के व्युत्क्रमणीय तत्वों पर अपना न्यूनतम मान लेता है।
+* ''R'' का कोई भी तत्व जिस पर ''f'' अपना विश्व स्तर पर न्यूनतम मान लेता है, वह ''R'' में व्युत्क्रमणीय होता है। यदि एक ''f'' जो (EF2) को संतुष्ट करता है, चयनित किया जाता है, अतः इसका व्युत्क्रम भी धारण करता है, और ''f'', ''R'' के व्युत्क्रमणीय तत्वों पर अपना न्यूनतम मान लेता है।
-*यदि यूक्लिडियन विभाजन एल्गोरिथम है, अर्थात, यदि भागफल और शेषफल की गणना करने के लिए एक एल्गोरिथ्म है, तो एक विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को पूर्णांकों के मामले में ठीक उसी तरह परिभाषित किया जा सकता है।<ref>{{harvnb|Fraleigh|Katz|1967|p=380, Theorem 7.7}}</ref>
+*यदि यूक्लिडियन विभाजन एल्गोरिथम है, अर्थात, यदि भागफल और शेषफल की गणना करने के लिए एक एल्गोरिथ्म है, अतः विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को पूर्णांकों की स्थिति में ठीक उसी तरह परिभाषित किया जा सकता है।<ref>{{harvnb|Fraleigh|Katz|1967|p=380, Theorem 7.7}}</ref>
-*यदि एक यूक्लिडियन डोमेन एक क्षेत्र नहीं है, तो इसमें निम्नलिखित संपत्ति के साथ एक तत्व है: किसी भी तत्व x को a से विभाजित नहीं किया जा सकता है, जिसे x = ay + u के रूप में कुछ इकाई u और कुछ तत्व y के रूप में लिखा जा सकता है। यह एक गैर-इकाई के रूप में f(a) के साथ जितना संभव हो उतना छोटा होने के बाद होता है। इस विचित्र संपत्ति का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि कुछ प्रमुख आदर्श डोमेन यूक्लिडियन डोमेन नहीं हैं, क्योंकि सभी पीआईडी में यह संपत्ति नहीं है। उदाहरण के लिए, d = -19, -43, -67, -163 के लिए, <math>\mathbf{Q}(\sqrt{d}\,)</math> के पूर्णांकों का वलय एक PID है जो यूक्लिडियन नहीं है, लेकिन स्थितियाँ d = −1, −2, −3, −7, −11 यूक्लिडियन हैं।<ref>{{Citation
+*यदि यूक्लिडियन प्रांत फील्ड नहीं है, तो इसमें निम्नलिखित प्रगुण के साथ एक तत्व होता है: किसी भी तत्व ''x'' को ''a'' से विभाजित नहीं किया जा सकता है, जिसे ''x'' = ''ay'' + ''u'' के रूप में कुछ इकाई ''u'' और कुछ तत्व ''y'' के रूप में लिखा जा सकता है। यह गैर-इकाई के रूप में ''f''(''a'') के साथ जितना संभव हो उतना छोटा होने के बाद होता है। इस विचित्र गुण का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि कुछ प्रमुख आइडियल प्रांत यूक्लिडियन प्रांत नहीं होते हैं, क्योंकि सभी पीआईडी में यह गुण नहीं होते है। उदाहरण के लिए, ''d'' = −19, −43, −67, −163 के लिए, <math>\mathbf{Q}(\sqrt{d}\,)</math> के पूर्णांकों की रिंग पीआईडी है जो यूक्लिडियन नहीं है, लेकिन स्थितियाँ ''d'' = −1, −2, −3, −7, −11 यूक्लिडियन हैं।<ref>{{Citation
    | last = Motzkin | first = Theodore | author-link = Theodore Motzkin
    | title = The Euclidean algorithm
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    | doi = 10.1090/S0002-9904-1949-09344-8 | zbl=0035.30302
 | doi-access = free}}</ref>
-हालांकि, [[तुच्छ समूह|छोटे वर्ग समूह]] के साथ क्यू के कई [[परिमित विस्तार]] में, पूर्णांकों की अंगूठी यूक्लिडियन है (जरूरी नहीं कि क्षेत्र के मानक के पूर्ण मूल्य के संबंध में; नीचे देखें)। [[विस्तारित रीमैन परिकल्पना]] को मानते हुए, यदि K, Q का एक परिमित विस्तार है और K का पूर्णांकों का वलय अनंत इकाइयों की संख्या वाला एक PID है, तो पूर्णांकों का वलय यूक्लिडियन है।<ref>{{Citation
+हालांकि, ट्राईविअल [[तुच्छ समूह|वर्ग समूह]] के साथ '''Q''' के कई [[परिमित विस्तार|परिमित विस्तारण]] में, पूर्णांकों की रिंग यूक्लिडियन है (आवश्यक नहीं कि फील्ड के मानक के पूर्ण मूल्य के संबंध में; नीचे देखें)। [[विस्तारित रीमैन परिकल्पना]] को मानते हुए, यदि ''K'', '''Q''' का परिमित विस्तारण है और ''K'' का पूर्णांकों की रिंग अनंत इकाइयों की संख्या वाला एक पीआईडी है, अतः पूर्णांकों की रिंग यूक्लिडियन है।<ref>{{Citation
    | last = Weinberger | first = Peter J. | author-link = Peter J. Weinberger
    | title = On Euclidean rings of algebraic integers
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    | publisher = AMS
    | volume = 24 | pages = 321–332 | year = 1973
-| doi = 10.1090/pspum/024/0337902 | isbn = 9780821814246 }}</ref> विशेष रूप से यह तुच्छ वर्ग समूह के साथ [[पूरी तरह से वास्तविक क्षेत्र|पूरी तरह से वास्तविक]] [[द्विघात क्षेत्र|द्विघात संख्या क्षेत्रों]] के मामले में लागू होता है। इसके अलावा (और ईआरएच को ग्रहण किए बिना), यदि क्षेत्र के क्यू का गैलोइस विस्तार है, तुच्छ वर्ग समूह और इकाई रैंक सख्ती से तीन से अधिक है, तो पूर्णांक की अंगूठी यूक्लिडियन है।<ref>{{Citation
+| doi = 10.1090/pspum/024/0337902 | isbn = 9780821814246 }}</ref> विशेष रूप से यह ट्राईविअल वर्ग समूह के साथ [[पूरी तरह से वास्तविक क्षेत्र|पूरी तरह से वास्तविक]] [[द्विघात क्षेत्र|द्विघात संख्या फील्डों]] की स्थिति में लागू होता है। इसके अतिरिक्त (और ERH माने बिना), यदि फील्ड के '''Q''' का गैलोइस विस्तार है, ट्राईविअल वर्ग समूह और इकाई रैंक सख्ती से तीन से अधिक है, तो पूर्णांक की रिंग यूक्लिडियन है।<ref>{{Citation
    | last1 = Harper | first1 = Malcolm
    | last2 = Murty | first2 = M. Ram | author2-link = M. Ram Murty
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    | url = http://www.mast.queensu.ca/~murty/harper-murty.pdf
    | doi = 10.4153/CJM-2004-004-5
-| citeseerx = 10.1.1.163.7917}}</ref> इसका एक तात्कालिक [[परिणाम]] यह है कि यदि [[संख्या क्षेत्र]] Q के ऊपर Galois है, इसका वर्ग समूह तुच्छ है और विस्तार की [[क्षेत्र विस्तार की डिग्री|डिग्री]] 8 से अधिक है तो पूर्णांकों की अंगूठी आवश्यक रूप से यूक्लिडियन है।
+| citeseerx = 10.1.1.163.7917}}</ref> इसका तात्कालिक [[परिणाम]] यह है कि यदि [[संख्या क्षेत्र|संख्या फील्ड]] '''Q''' पर गैलोइस होता है, इसका वर्ग समूह ट्राईविअल होता है और विस्तारण की [[क्षेत्र विस्तार की डिग्री|कोटि]] 8 से अधिक है अतः पूर्णांकों की रिंग आवश्यक रूप से यूक्लिडियन है।
-== नॉर्म-यूक्लिडियन क्षेत्र ==
+== नॉर्म-यूक्लिडियन फील्ड ==
-बीजगणितीय संख्या क्षेत्र K उन पर एक विहित मानदंड समारोह के साथ आते हैं: क्षेत्र मानक N का निरपेक्ष मान जो α के सभी संयुग्मों के उत्पाद के लिए एक [[बीजगणितीय तत्व]] α लेता है। यह मानक एक संख्या क्षेत्र K के पूर्णांकों की अंगूठी को मैप करता है, ठीक है, गैर-नकारात्मक तर्कसंगत पूर्णांकों के लिए, इसलिए यह इस अंगूठी पर एक यूक्लिडियन मानदंड होने का उम्मीदवार है। यदि यह मानदंड एक यूक्लिडियन फ़ंक्शन के सिद्धांतों को संतुष्ट करता है तो संख्या फ़ील्ड K को नॉर्म-यूक्लिडियन या केवल यूक्लिडियन कहा जाता है।<ref name="RibAlgNum">{{cite book | title=Algebraic Numbers | publisher=Wiley-Interscience | author=Ribenboim, Paulo | year=1972 | isbn=978-0-471-71804-8}}</ref><ref name="HardyWright">{{cite book |first1=G.H. |last1=Hardy |first2=E.M. |last2=Wright |first3=Joseph |last3=Silverman |first4=Andrew |last4=Wiles |title=An Introduction to the Theory of Numbers |url=https://books.google.com/books?id=P6uTBqOa3T4C&pg=PP1 |date=2008 |publisher=Oxford University Press |edition=6th |isbn=978-0-19-921986-5 }}</ref> कड़ाई से बोलना यह पूर्णांकों का वलय है जो कि यूक्लिडियन है क्योंकि फ़ील्ड तुच्छ रूप से यूक्लिडियन डोमेन हैं, लेकिन शब्दावली मानक है।
+बीजगणितीय संख्या फील्ड ''K'' उन पर कैनोनिकल नॉर्म फलन के साथ आते हैं: फील्ड नॉर्म ''N'' का निरपेक्ष मान जो ''α'' के सभी संयुग्मों के उत्पाद के लिए [[बीजगणितीय तत्व]] ''α'' प्राप्त करता है। यह नॉर्म संख्या फील्ड K के पूर्णांकों की रिंग को मैप करता है, माना ''O<sub>K</sub>'', गैर-नकारात्मक तर्कसंगत पूर्णांकों के लिए, इसलिए यह इस रिंग पर यूक्लिडियन नॉर्म होने का अभ्यर्थी है। यदि यह नॉर्म यूक्लिडियन फलन के सिद्धांतों को संतुष्ट करता है तो संख्या फ़ील्ड ''K'' को ''नॉर्म-यूक्लिडियन'' या केवल ''यूक्लिडियन'' कहा जाता है।<ref name="RibAlgNum">{{cite book | title=Algebraic Numbers | publisher=Wiley-Interscience | author=Ribenboim, Paulo | year=1972 | isbn=978-0-471-71804-8}}</ref><ref name="HardyWright">{{cite book |first1=G.H. |last1=Hardy |first2=E.M. |last2=Wright |first3=Joseph |last3=Silverman |first4=Andrew |last4=Wiles |title=An Introduction to the Theory of Numbers |url=https://books.google.com/books?id=P6uTBqOa3T4C&pg=PP1 |date=2008 |publisher=Oxford University Press |edition=6th |isbn=978-0-19-921986-5 }}</ref> वास्तव में यह पूर्णांकों की रिंग है जो कि यूक्लिडियन है क्योंकि फ़ील्ड ट्राईविअल रूप से यूक्लिडियन प्रांत हैं, लेकिन शब्दावली नॉर्म है।
-यदि कोई क्षेत्र मानक-यूक्लिडियन नहीं है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि पूर्णांकों का वलय यूक्लिडियन नहीं है, बस यह कि क्षेत्र का मानदंड यूक्लिडियन फ़ंक्शन के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट नहीं करता है। वास्तव में, संख्या क्षेत्रों के पूर्णांकों के छल्ले को कई वर्गों में विभाजित किया जा सकता है:
+यदि कोई फील्ड नॉर्म-यूक्लिडियन नहीं है, तो इसका अर्थ यह नहीं है कि पूर्णांकों की रिंग यूक्लिडियन नहीं है, बस यह कि फील्ड का नॉर्म यूक्लिडियन फलन के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट नहीं करता है। वास्तव में, संख्या फील्डों के पूर्णांकों की रिंग को कई वर्गों में विभाजित किया जा सकता है:
-* वे जो मूलधन नहीं हैं और इसलिए यूक्लिडियन नहीं हैं, जैसे कि <math>\mathbf{Q}(\sqrt{-5}\,)</math> के पूर्णांक
+* वे जो प्रिंसिपल नहीं हैं और इसलिए यूक्लिडियन नहीं हैं, जैसे कि <math>\mathbf{Q}(\sqrt{-5}\,)</math> के पूर्णांक
 * वे जो प्रिंसिपल हैं और यूक्लिडियन नहीं हैं, जैसे कि <math>\mathbf{Q}(\sqrt{-19}\,)</math> के पूर्णांक
-* वे जो यूक्लिडियन हैं और मानक-यूक्लिडियन नहीं हैं, जैसे कि <math>\mathbf{Q}(\sqrt{69}\,)</math><ref>{{cite journal | last=Clark | first=David A. | title=A quadratic field which is Euclidean but not norm-Euclidean | journal=[[Manuscripta Mathematica]] | volume=83 | number=3–4 | pages=327–330 | year=1994 | doi = 10.1007/BF02567617 | zbl=0817.11047 | citeseerx=10.1.1.360.6129 }}</ref> के पूर्णांक
+* वे जो यूक्लिडियन हैं और नॉर्म-यूक्लिडियन नहीं हैं, जैसे कि <math>\mathbf{Q}(\sqrt{69}\,)</math><ref>{{cite journal | last=Clark | first=David A. | title=A quadratic field which is Euclidean but not norm-Euclidean | journal=[[Manuscripta Mathematica]] | volume=83 | number=3–4 | pages=327–330 | year=1994 | doi = 10.1007/BF02567617 | zbl=0817.11047 | citeseerx=10.1.1.360.6129 }}</ref> के पूर्णांक
 * वे जो नॉर्म-यूक्लिडियन हैं, जैसे गॉसियन पूर्णांक (<math>\mathbf{Q}(\sqrt{-1}\,)</math> के पूर्णांक)
-नॉर्म-यूक्लिडियन द्विघात क्षेत्रों को पूरी तरह से वर्गीकृत किया गया है; वे <math>\mathbf{Q}(\sqrt{d}\,)</math> हैं जहां <math>d</math> मान लेता है
+नॉर्म-यूक्लिडियन द्विघात फील्डों को पूर्ण रूप से वर्गीकृत किया गया है; वे <math>\mathbf{Q}(\sqrt{d}\,)</math> हैं जहां <math>d</math> निम्नलिखित मान प्राप्त करता है
 -11, -7, -3, -2, -1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 ({{OEIS|id=A048981}})।<ref>{{cite book | last = LeVeque | first = William J. | author-link = William J. LeVeque | title = Topics in Number Theory|volume=I and II | publisher = Dover | year = 2002 | orig-year = 1956 | isbn = 978-0-486-42539-9 | zbl = 1009.11001 | pages = [https://archive.org/details/topicsinnumberth0000leve/page/ II:57,81] | url = https://archive.org/details/topicsinnumberth0000leve/page/ }}</ref>
-प्रत्येक यूक्लिडियन काल्पनिक द्विघात क्षेत्र मानक-यूक्लिडियन है और पिछली सूची में पहले पांच क्षेत्रों में से एक है।
+प्रत्येक यूक्लिडियन काल्पनिक द्विघात फील्ड नॉर्म-यूक्लिडियन है और पूर्व सूची में पहले पांच फील्डों में से एक है।
 == यह भी देखें ==
@@ Line 114: / Line 114: @@
 == टिप्पणियाँ ==
 <references/>
 == संदर्भ ==
 *{{cite book |first1=John B. |last1=Fraleigh |first2=Victor J. |last2=Katz |title=A first course in abstract algebra |publisher=Addison-Wesley |edition=5th |year=1967 |isbn=0-201-53467-3 }}
 *{{cite journal |first=Pierre |last=Samuel |title=About Euclidean rings |journal=Journal of Algebra |volume=19 |issue=2 |pages=282–301 |year=1971 |doi=10.1016/0021-8693(71)90110-4 |url=https://core.ac.uk/download/pdf/82126785.pdf|doi-access=free }}
-{{DEFAULTSORT:Euclidean Domain}}[[Category: रिंग थ्योरी]] [[Category: क्रमविनिमेय बीजगणित]] [[Category: यूक्लिड|डोमेन]]
+{{DEFAULTSORT:Euclidean Domain}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:CS1]]
-[[Category:Created On 03/02/2023]]
+[[Category:Created On 03/02/2023|Euclidean Domain]]
+[[Category:Lua-based templates|Euclidean Domain]]
+[[Category:Machine Translated Page|Euclidean Domain]]
+[[Category:Pages with script errors|Euclidean Domain]]
+[[Category:Short description with empty Wikidata description|Euclidean Domain]]
+[[Category:Templates Translated in Hindi|Euclidean Domain]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready|Euclidean Domain]]
+[[Category:Templates that add a tracking category|Euclidean Domain]]
+[[Category:Templates that generate short descriptions|Euclidean Domain]]
+[[Category:Templates using TemplateData|Euclidean Domain]]
+[[Category:क्रमविनिमेय बीजगणित|Euclidean Domain]]
+[[Category:यूक्लिड|डोमेन]]
+[[Category:रिंग थ्योरी|Euclidean Domain]]

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