यूक्लिडियन प्रभावक्षेत्र: Difference between revisions

Latest revision as of 10:01, 23 February 2023

गणित में, विशेष रूप से रिंग सिद्धांत में, यूक्लिडियन प्रांत (डोमेन) (जिसे यूक्लिडियन रिंग भी कहा जाता है) पूर्णांकी प्रांत है जिसे यूक्लिडियन फलन के साथ संपन्न किया जा सकता है जो पूर्णांकों के यूक्लिडियन विभाजन के उपयुक्त सामान्यीकरण की अनुमति देता प्रदान करता है। इस सामान्यीकृत यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को पूर्णांकों के रिंग में यूक्लिड के मूल एल्गोरिदम के समान कई उपयोगों में रखा जा सकता है: किसी भी यूक्लिडियन प्रांत में, कोई भी दो तत्वों के सबसे बड़े सामान्य विभाजक की गणना करने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को लागू कर सकता है। विशेष रूप से, किन्हीं भी दो तत्वों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक विद्यमान होता है और उन्हें उनके एक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है (बेज़ाउट की सर्वसमिका)। इसके अतिरिक्त यूक्लिडियन प्रांत में प्रत्येक आइडियल सिद्धांत है, जो अंकगणित के मूल प्रमेय के उपयुक्त सामान्यीकरण का तात्पर्य है: प्रत्येक यूक्लिडियन प्रांत विशिष्ट गुणनखंडन प्रांत है।

यूक्लिडियन प्रांत के वर्ग की तुलना प्रमुख आइडियल प्रांत (पीआईडी) के बड़े वर्ग से करना महत्वपूर्ण है। किसी यादृच्छिक पीआईडी में यूक्लिडियन प्रांत (या, वास्तव में, यहां तक कि पूर्णांक की रिंग) के समान "संरचनात्मक गुण" होते हैं, लेकिन जब यूक्लिडियन विभाजन के लिए स्पष्ट एल्गोरिदम ज्ञात हो, तो यूक्लिडियन एल्गोरिदम और विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिदम का उपयोग महत्‍तम समापवर्तक और बेज़ाउट की सर्वसमिका की गणना करने के लिए किया जा सकता है। विशेष रूप से, फील्ड पर चर में पूर्णांकों और बहुपदों के यूक्लिडियन विभाजन के लिए दक्ष एल्गोरिदम का अस्तित्व कंप्यूटर बीजगणित में मूलभूत महत्व का है।

अतः पूर्णांक प्रांत $R$ दिया गया है, यह ज्ञात होना प्रायः बहुत उपयोगी होता है कि $R$ में यूक्लिडियन फलन होता है: विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है कि $R$ एक पीआईडी है। हालाँकि, यदि कोई "स्पष्ट" यूक्लिडियन फलन नहीं है, तो यह निर्धारित करना कि क्या $R$ एक पीआईडी है, सामान्य रूप से यह निर्धारित करने की तुलना में बहुत सरल समस्या है कि क्या यह एक यूक्लिडियन प्रांत है।

यूक्लिडियन प्रांत वर्ग समावेशन की निम्नलिखित श्रृंखला में दिखाई देते हैं:

rngs ⊃ rings ⊃ commutative rings ⊃ integral domains ⊃ integrally closed domains ⊃ GCD domains ⊃ unique factorization domains ⊃ principal ideal domains ⊃ Euclidean domains ⊃ fields ⊃ algebraically closed fields

परिभाषा

मान लीजिए कि $R$ पूर्णांकीय प्रांत है। $R$ पर यूक्लिडियन फलन $R \ {0}$ से अऋणात्मक पूर्णांकों के लिए फलन $f$ है जो निम्न मूल विभाजन-साथ-शेष गुण को संतुष्ट करता है:

(EF1) यदि $a$ और $b$ , $R$ में हैं और $b$ अशून्य है, अतः $q$ और $r$ , $R$ में विद्यमान होता हैं जैसा यहहै कि $a = bq + r$ और या तो $r = 0$ या $f (r) < f (b)$ ।

यूक्लिडियन प्रांत एक पूर्णांकीय प्रांत है जिसे कम से कम एक यूक्लिडियन फलन से प्राप्त किया जा सकता है। विशेष यूक्लिडियन फलन $f$ यूक्लिडियन प्रांत की परिभाषा का भाग नहीं है, क्योंकि, सामान्य रूप से, यूक्लिडियन प्रांत कई अलग-अलग यूक्लिडियन फलनों को सम्मिलित कर सकता है।

इस संदर्भ में, $q$ और $r$ को क्रमशः भागफल और $a$ द्वारा $b$ के विभाजन (या यूक्लिडियन विभाजन) का शेष कहा जाता है। पूर्णांकों और बहुपदों की स्थिति के विपरीत, भागफल सामान्य रूप से विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं होता है, लेकिन जब एक भागफल का चयन किया जाता है, तो शेष को विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जाता है।

अधिकांश बीजगणित ग्रंथों को निम्नलिखित अतिरिक्त गुण रखने के लिए किसी यूक्लिडियन फलन की आवश्यकता होती है:

(EF2) सभी अशून्य के लिए $R$ में $a$ और $b$ , $f (a) \leq f (ab)$ ।

हालाँकि, यह दिखाया जा सकता है कि (EF1) अकेले यूक्लिडियन प्रांत को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है; यदि पूर्णांकीय प्रांत $R$ किसी फलन $g$ जो (EF1) को संतुष्ट करता है, से संपन्न होता है, तो $R$ एक ऐसे फलन से भी संपन्न हो सकता है जो दोनों (EF1) और (EF2) को एक साथ संतुष्ट करता है। वास्तव में, $a$ में $R \ {0}$ के लिए, $f (a)$ को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है:^[1]

f(a)=\min _{x\in R\setminus \{0\}}g(xa)

शब्दों में, कोई $f (a)$ को परिभाषित कर सकता है जो $a$ द्वारा उत्पन्न प्रमुख आइडियल के सभी अशून्य तत्वों के समुच्चय पर $g$ द्वारा प्राप्त न्यूनतम मान है।

यूक्लिडियन फलन $f$ गुणात्मक है यदि $f (ab) = f (a) f (b)$ और $f (a)$ कभी भी शून्य नहीं होता है। यह इस प्रकार है कि $f (1) = 1$ । अधिक सामान्य रूप से, $f (a) = 1$ यदि और केवल यदि $a$ एक इकाई है।

परिभाषा पर टिप्पणियाँ

कई लेखक "यूक्लिडियन फलन" के स्थान पर अन्य शब्दों का उपयोग करते हैं, जैसे "कोटि फलन", "मूल्याकंन फलन", "गेज फलन" या "मानक फलन"।^[2] कुछ लेखकों को यूक्लिडियन फलन के प्रांत को संपूर्ण रिंग $R$ होने की भी आवश्यकता होती है;^[2] हालांकि, यह अनिवार्य रूप से परिभाषा को प्रभावित नहीं करता है, क्योंकि (EF1) में $f (0)$ का मान सम्मिलित नहीं है। परिभाषा को कभी-कभी यूक्लिडियन फलन को किसी भी सुव्यवस्थित समुच्चय में इसके मान लेने की अनुमति प्रदान करके सामान्यीकृत किया जाता है; यह दुर्बलता यूक्लिडियन गुणधर्म के सबसे महत्वपूर्ण निहितार्थों को प्रभावित नहीं करता है।

प्रगुण (EF1) को निम्नानुसार पुन: स्थापित किया जा सकता है: अशून्य जनरेटर $b$ के साथ $R$ के किसी भी प्रमुख आइडियल $I$ के लिए, भागफल रिंग $R / I$ के सभी अशून्य वर्गों में $f (r) < f (b)$ के साथ प्रतिनिधि $r$ है। चूँकि $f$ के संभावित मान सुव्यवस्थित हैं, इस गुण को किसी भी $r \notin I$ के लिए $f (r) < f (b)$ दिखा कर स्थापित किया जा सकता है, जिसकी कक्षा में $f (r)$ का न्यूनतम मान है। ध्यान दें कि, यूक्लिडियन फलन के लिए जो इस प्रकार स्थापित है, वहाँ (EF1) में $q$ और $r$ को निर्धारित करने के लिए प्रभावी विधि विद्यमान नहीं है।

उदाहरण

यूक्लिडियन प्रांत के उदाहरणों में निम्न सम्मिलित हैं:

किसी भी फील्ड। सभी अशून्य $x$ के लिए $f (x) = 1$ परिभाषित करें।
$Z$ , पूर्णांकों की रिंग। परिभाषित करें $f (n) = | n |$ , $n$ का निरपेक्ष मान।^[3]
$Z [i]$ , गाऊसी पूर्णांकों की रिंग। परिभाषित करें $f (a + bi) = a 2 + b 2$ , गॉसियन पूर्णांक $a + bi$ का मानक।
$Z [ω]$ (जहाँ $ω$ प्राथमिक (अ-वास्तविक) एकांक का घनमूल है), आइज़ेंस्ताइन पूर्णांकों की रिंग। $f (a + b ω) = a 2 - ab + b 2$ को परिभाषित करें, आइज़ेंस्टीन पूर्णांक $a + b ω$ का मानक।
$K [X]$ , फील्ड $K$ पर बहुपदों की रिंग। प्रत्येक अशून्य बहुपद $P$ के लिए, $f (P)$ को $P$ की कोटि के रूप में परिभाषित करें।^[4]
$K [[X]]$ , फील्ड $K$ पर आकारिक घात श्रेणी की रिंग। प्रत्येक अशून्य घात श्रेणी $P$ के लिए, $f (P)$ को $P$ के क्रम के रूप में परिभाषित करें, जो कि $P$ में घटित होने वाली $X$ की सबसे छोटी घात की कोटि है। विशेष रूप से, दो अशून्य घात श्रेणी $P$ और $Q$ के लिए, $f (P) \leq f (Q)$ यदि और केवल यदि $P$ $Q$ को विभाजित करता है।
कोई असतत मूल्यांकन रिंग। $f (x)$ को अधिकतम आइडियल $M$ की उच्चतम घात के रूप में परिभाषित करें जिसमें $x$ सम्मिलित है। समतुल्य रूप से, $g$ को $M$ का जनरेटर होने दें, और $v$ विशिष्ट पूर्णांक हो जैसे कि $g v$ $x$ का एक सहयोगी है, फिर $f (x) = v$ को परिभाषित करें। पूर्व उदाहरण $K [[X]]$ इसका एक विशेष उदाहरण है।
डेडेकिंड प्रांत जिसके साथ परिमित रूप से अनेक अशून्य अभाज्य आइडियल $P 1, ..., P n$ है। $f(x)=\sum _{i=1}^{n}v_{i}(x)$ को परिभाषित करें, जहां $v i$ आइडियल $P i$ के अनुरूप असतत मूल्यांकन है।^[5]

ऐसे प्रांत के उदाहरण जो यूक्लिडियन प्रांत नहीं हैं, उनमें सम्मिलित हैं:

प्रत्येक प्रांत जो प्रमुख आइडियल प्रांत नहीं है, जैसे कि किसी फील्ड पर कम से कम दो अनिश्चित बहुपदों की रिंग, या पूर्णांक गुणांक वाले अविभाज्य बहुपदों की रिंग, या संख्या रिंग $Z [\sqrt -5]$ ।
$Q (\sqrt -19)$ के पूर्णांकों की रिंग, जिसमें $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}a + b√−19/2$ संख्याएँ सम्मिलित हैं, जहाँ $a$ और $b$ पूर्णांक हैं और दोनों सम या दोनों विषम हैं। यह प्रमुख आइडियल प्रांत है जो यूक्लिडियन नहीं है।
रिंग $A = R [X, Y]/(X 2 + Y 2 + 1)$ भी एक प्रमुख आइडियल प्रांत^[6] है जो यूक्लिडियन नहीं है। यह देखने के लिए कि यह एक यूक्लिडियन प्रांत नहीं है, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक अशून्य अभाज्य $p\in A$ के लिए, भागफल प्रतिचित्रण $A\to A/p$ द्वारा प्रेरित प्रतिचित्रण $A^{\times }\to (A/p)^{\times }$ आच्छादक नहीं है।^[7]

गुण

मान लीजिए कि R एक प्रांत है और f R पर यूक्लिडियन फलन है। तब:

R प्रमुख आइडियल प्रांत (पीआईडी) है। वास्तव में, यदि I, R का अशून्य आइडियल नहीं है, तो I \ {0} का कोई भी अवयव f(a) के न्यूनतम मान (उस समुच्चय पर) के साथ I का एक जनरेटर है।^[8] परिणाम के रूप में R भी एक विशिष्ट गुणनखंड प्रांत और नोथेरियन रिंग है। सामान्य प्रमुख आइडियल प्रांत के संबंध में, यूक्लिडियन प्रांत में गुणनखंडों का अस्तित्व (अर्थात, कि R परमाणु प्रांत है) विशेष रूप से सरल है: यूक्लिडियन फलन f जो (EF2) को संतुष्ट करता है, का चयन करते हुए, x का f(x) गैर-इकाई गुणनखण्डों से अधिक में कोई वियोजन नहीं हो सकता है, इसलिए x से आरम्भ करना और बार-बार कम करने योग्य गुणनखण्डों को वियोजित करना अलघुकरणीय (इर्रिडिएबल) तत्वों में गुणनखण्ड उत्पन्न करने के लिए बाध्य है I
R का कोई भी तत्व जिस पर f अपना विश्व स्तर पर न्यूनतम मान लेता है, वह R में व्युत्क्रमणीय होता है। यदि एक f जो (EF2) को संतुष्ट करता है, चयनित किया जाता है, अतः इसका व्युत्क्रम भी धारण करता है, और f, R के व्युत्क्रमणीय तत्वों पर अपना न्यूनतम मान लेता है।
यदि यूक्लिडियन विभाजन एल्गोरिथम है, अर्थात, यदि भागफल और शेषफल की गणना करने के लिए एक एल्गोरिथ्म है, अतः विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को पूर्णांकों की स्थिति में ठीक उसी तरह परिभाषित किया जा सकता है।^[9]
यदि यूक्लिडियन प्रांत फील्ड नहीं है, तो इसमें निम्नलिखित प्रगुण के साथ एक तत्व होता है: किसी भी तत्व x को a से विभाजित नहीं किया जा सकता है, जिसे x = ay + u के रूप में कुछ इकाई u और कुछ तत्व y के रूप में लिखा जा सकता है। यह गैर-इकाई के रूप में f(a) के साथ जितना संभव हो उतना छोटा होने के बाद होता है। इस विचित्र गुण का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि कुछ प्रमुख आइडियल प्रांत यूक्लिडियन प्रांत नहीं होते हैं, क्योंकि सभी पीआईडी में यह गुण नहीं होते है। उदाहरण के लिए, d = −19, −43, −67, −163 के लिए, $\mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ के पूर्णांकों की रिंग पीआईडी है जो यूक्लिडियन नहीं है, लेकिन स्थितियाँ d = −1, −2, −3, −7, −11 यूक्लिडियन हैं।^[10]

हालांकि, ट्राईविअल वर्ग समूह के साथ Q के कई परिमित विस्तारण में, पूर्णांकों की रिंग यूक्लिडियन है (आवश्यक नहीं कि फील्ड के मानक के पूर्ण मूल्य के संबंध में; नीचे देखें)। विस्तारित रीमैन परिकल्पना को मानते हुए, यदि K, Q का परिमित विस्तारण है और K का पूर्णांकों की रिंग अनंत इकाइयों की संख्या वाला एक पीआईडी है, अतः पूर्णांकों की रिंग यूक्लिडियन है।^[11] विशेष रूप से यह ट्राईविअल वर्ग समूह के साथ पूरी तरह से वास्तविक द्विघात संख्या फील्डों की स्थिति में लागू होता है। इसके अतिरिक्त (और ERH माने बिना), यदि फील्ड के Q का गैलोइस विस्तार है, ट्राईविअल वर्ग समूह और इकाई रैंक सख्ती से तीन से अधिक है, तो पूर्णांक की रिंग यूक्लिडियन है।^[12] इसका तात्कालिक परिणाम यह है कि यदि संख्या फील्ड Q पर गैलोइस होता है, इसका वर्ग समूह ट्राईविअल होता है और विस्तारण की कोटि 8 से अधिक है अतः पूर्णांकों की रिंग आवश्यक रूप से यूक्लिडियन है।

नॉर्म-यूक्लिडियन फील्ड

बीजगणितीय संख्या फील्ड K उन पर कैनोनिकल नॉर्म फलन के साथ आते हैं: फील्ड नॉर्म N का निरपेक्ष मान जो α के सभी संयुग्मों के उत्पाद के लिए बीजगणितीय तत्व α प्राप्त करता है। यह नॉर्म संख्या फील्ड K के पूर्णांकों की रिंग को मैप करता है, माना O_K, गैर-नकारात्मक तर्कसंगत पूर्णांकों के लिए, इसलिए यह इस रिंग पर यूक्लिडियन नॉर्म होने का अभ्यर्थी है। यदि यह नॉर्म यूक्लिडियन फलन के सिद्धांतों को संतुष्ट करता है तो संख्या फ़ील्ड K को नॉर्म-यूक्लिडियन या केवल यूक्लिडियन कहा जाता है।^[13]^[14] वास्तव में यह पूर्णांकों की रिंग है जो कि यूक्लिडियन है क्योंकि फ़ील्ड ट्राईविअल रूप से यूक्लिडियन प्रांत हैं, लेकिन शब्दावली नॉर्म है।

यदि कोई फील्ड नॉर्म-यूक्लिडियन नहीं है, तो इसका अर्थ यह नहीं है कि पूर्णांकों की रिंग यूक्लिडियन नहीं है, बस यह कि फील्ड का नॉर्म यूक्लिडियन फलन के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट नहीं करता है। वास्तव में, संख्या फील्डों के पूर्णांकों की रिंग को कई वर्गों में विभाजित किया जा सकता है:

वे जो प्रिंसिपल नहीं हैं और इसलिए यूक्लिडियन नहीं हैं, जैसे कि $\mathbf {Q} ({\sqrt {-5}}\,)$ के पूर्णांक
वे जो प्रिंसिपल हैं और यूक्लिडियन नहीं हैं, जैसे कि $\mathbf {Q} ({\sqrt {-19}}\,)$ के पूर्णांक
वे जो यूक्लिडियन हैं और नॉर्म-यूक्लिडियन नहीं हैं, जैसे कि $\mathbf {Q} ({\sqrt {69}}\,)$ ^[15] के पूर्णांक
वे जो नॉर्म-यूक्लिडियन हैं, जैसे गॉसियन पूर्णांक ( $\mathbf {Q} ({\sqrt {-1}}\,)$ के पूर्णांक)

नॉर्म-यूक्लिडियन द्विघात फील्डों को पूर्ण रूप से वर्गीकृत किया गया है; वे $\mathbf {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ हैं जहां $d$ निम्नलिखित मान प्राप्त करता है

-11, -7, -3, -2, -1, 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, 73 ((sequence A048981 in the OEIS))।^[16]

प्रत्येक यूक्लिडियन काल्पनिक द्विघात फील्ड नॉर्म-यूक्लिडियन है और पूर्व सूची में पहले पांच फील्डों में से एक है।

यह भी देखें

मूल्यांकन (बीजगणित)

↑ Rogers, Kenneth (1971), "The Axioms for Euclidean Domains", American Mathematical Monthly, 78 (10): 1127–8, doi:10.2307/2316324, JSTOR 2316324, Zbl 0227.13007
↑ ^2.0 ^2.1 Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra. Wiley. p. 270. ISBN 9780471433347.
↑ Fraleigh & Katz 1967, p. 377, Example 1
↑ Fraleigh & Katz 1967, p. 377, Example 2
↑ Samuel, Pierre (1 October 1971). "About Euclidean rings". Journal of Algebra. 19 (2): 282–301 (p. 285). doi:10.1016/0021-8693(71)90110-4. ISSN 0021-8693.
↑ Pierre, Samuel (1964). Lectures on Unique Factorization Domains (PDF). Tata Institute of Fundamental Research. pp. 27–28.
↑ "Quotient of polynomials, PID but not Euclidean domain?".
↑ Fraleigh & Katz 1967, p. 377, Theorem 7.4
↑ Fraleigh & Katz 1967, p. 380, Theorem 7.7
↑ Motzkin, Theodore (1949), "The Euclidean algorithm", Bulletin of the American Mathematical Society, 55 (12): 1142–6, doi:10.1090/S0002-9904-1949-09344-8, Zbl 0035.30302
↑ Weinberger, Peter J. (1973), "On Euclidean rings of algebraic integers", Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, AMS, 24: 321–332, doi:10.1090/pspum/024/0337902, ISBN 9780821814246
↑ Harper, Malcolm; Murty, M. Ram (2004), "Euclidean rings of algebraic integers" (PDF), Canadian Journal of Mathematics, 56 (1): 71–76, CiteSeerX 10.1.1.163.7917, doi:10.4153/CJM-2004-004-5
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संदर्भ

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Samuel, Pierre (1971). "About Euclidean rings" (PDF). Journal of Algebra. 19 (2): 282–301. doi:10.1016/0021-8693(71)90110-4.

[1] Rogers, Kenneth (1971), "The Axioms for Euclidean Domains", American Mathematical Monthly, 78 (10): 1127–8, doi:10.2307/2316324, JSTOR 2316324, Zbl 0227.13007

[DummitAlgebra-2] 2.0 ^2.1 Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract Algebra. Wiley. p. 270. ISBN 9780471433347.

[3] Fraleigh & Katz 1967, p. 377, Example 1

[4] Fraleigh & Katz 1967, p. 377, Example 2

[5] Samuel, Pierre (1 October 1971). "About Euclidean rings". Journal of Algebra. 19 (2): 282–301 (p. 285). doi:10.1016/0021-8693(71)90110-4. ISSN 0021-8693.

[6] Pierre, Samuel (1964). Lectures on Unique Factorization Domains (PDF). Tata Institute of Fundamental Research. pp. 27–28.

[7] "Quotient of polynomials, PID but not Euclidean domain?".

[8] Fraleigh & Katz 1967, p. 377, Theorem 7.4

[9] Fraleigh & Katz 1967, p. 380, Theorem 7.7

[10] Motzkin, Theodore (1949), "The Euclidean algorithm", Bulletin of the American Mathematical Society, 55 (12): 1142–6, doi:10.1090/S0002-9904-1949-09344-8, Zbl 0035.30302

[11] Weinberger, Peter J. (1973), "On Euclidean rings of algebraic integers", Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, AMS, 24: 321–332, doi:10.1090/pspum/024/0337902, ISBN 9780821814246

[12] Harper, Malcolm; Murty, M. Ram (2004), "Euclidean rings of algebraic integers" (PDF), Canadian Journal of Mathematics, 56 (1): 71–76, CiteSeerX 10.1.1.163.7917, doi:10.4153/CJM-2004-004-5

[RibAlgNum-13] Ribenboim, Paulo (1972). Algebraic Numbers. Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-71804-8.

[HardyWright-14] Hardy, G.H.; Wright, E.M.; Silverman, Joseph; Wiles, Andrew (2008). An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed.). Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5.

[15] Clark, David A. (1994). "A quadratic field which is Euclidean but not norm-Euclidean". Manuscripta Mathematica. 83 (3–4): 327–330. CiteSeerX 10.1.1.360.6129. doi:10.1007/BF02567617. Zbl 0817.11047.

[16] LeVeque, William J. (2002) [1956]. Topics in Number Theory. Vol. I and II. Dover. pp. II:57, 81. ISBN 978-0-486-42539-9. Zbl 1009.11001.

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@@ Line 117: / Line 117: @@
 *{{cite book |first1=John B. |last1=Fraleigh |first2=Victor J. |last2=Katz |title=A first course in abstract algebra |publisher=Addison-Wesley |edition=5th |year=1967 |isbn=0-201-53467-3 }}
 *{{cite journal |first=Pierre |last=Samuel |title=About Euclidean rings |journal=Journal of Algebra |volume=19 |issue=2 |pages=282–301 |year=1971 |doi=10.1016/0021-8693(71)90110-4 |url=https://core.ac.uk/download/pdf/82126785.pdf|doi-access=free }}
-{{DEFAULTSORT:Euclidean Domain}}[[Category: रिंग थ्योरी]] [[Category: क्रमविनिमेय बीजगणित]] [[Category: यूक्लिड|डोमेन]]
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