गिब्स घटना

गणित में, गिब्स की घटना, हेनरी विलब्रहम (1848) द्वारा खोजा गया और जे विलार्ड गिब्स (1899) द्वारा पुनर्प्राप्त की गई, एक खंड अनुसार लगातार अलग-अलग आवधिक समारोह की विखंडितता के आसपास एक खंडवार द्विभक्षी श्रृंखला का दोलन व्यवहार है। समारोह का $N$वां आंशिक फूरियर श्रृंखला (इसके सारांश द्वारा गठित $N$ निम्नतम घटक साइनसॉयड) निम्नतम घटक साइनूसोइड जंप के आसपास बड़ी चोटियों का उत्पादन करते हैं जो समारोह के वास्तविक मूल्यों को ओवरशूट (संकेत) और रेखांकित करते हैं। यह सन्निकटन त्रुटि जंप के लगभग 9% की सीमा (गणित) तक पहुंच जाती है क्योंकि अधिक साइनूसोइड का उपयोग किया जाता है, हालांकि अनंतता फूरियर श्रृंखला राशि अंत में लगभग हर जगह पर संपरिवर्तित होती है। गिब्स की घटना प्रायोगिक भौतिकविदों द्वारा देखी गई थी, लेकिन माना जाता है कि यह मापन उपकरण , में अपूर्णताओं के कारण है और यह संकेत आगे बढ़ाना में बजती हुई कलाकृतियाँ का एक कारण है।

विवरण

5 हार्मोनिक्स का उपयोग करके स्क्वायर वेव का कार्यात्मक सन्निकटन

25 हार्मोनिक्स का उपयोग करके स्क्वायर वेव का कार्यात्मक अनुमान

125 हार्मोनिक्स का उपयोग करके स्क्वायर वेव का कार्यात्मक अनुमान

गिब्स की घटना में दोनों तथ्य शामिल हैं कि फूरियर प्लुति असांतत्य पर ओवरशूट का योग देता है, और यह ओवरशूट अधिक साइनसॉयड शब्द जोड़ने के रूप में समाप्त नहीं होता है।

दाईं ओर तीन चित्र एक वर्ग तरंग (ऊंचाई की) के लिए घटना को प्रदर्शित करते हैं ${\tfrac {\pi }{4}}$) जिसकी फूरियर श्रृंखला है

$$\sin(x)+{\frac {1}{3}}\sin(3x)+{\frac {1}{5}}\sin(5x)+\dotsb .$$

अधिक सटीक रूप से, यह स्क्वायर वेव फलन है $f(x)$ जो बराबर है ${\tfrac {\pi }{4}}$ बीच में $2n\pi$ और $(2n+1)\pi$ और $-{\tfrac {\pi }{4}}$ बीच में $(2n+1)\pi$ और $(2n+2)\pi$ प्रत्येक पूर्णांक के लिए $n$; इस प्रकार इस वर्गाकार तरंग में ऊँचाई की प्लुति असांतत्य असततता होती है ${\tfrac {\pi }{2}}$ के प्रत्येक पूर्णांक पर $\pi$.

जैसा कि अधिक ज्यावक्रीय शब्द जोड़े गए हैं, आंशिक फूरियर श्रृंखला की त्रुटि एक निश्चित ऊंचाई पर अभिसरित होती है। लेकिन क्योंकि त्रुटि की चौड़ाई कम होती जा रही है, त्रुटि का क्षेत्र - और इसलिए त्रुटि की ऊर्जा - 0 हो जाती है। [5] वर्ग तरंग के लिए त्रुटि की सीमा का सूत्र प्राप्त करने से पता चलता है कि त्रुटि वर्ग तरंग की ऊंचाई से अधिक है $({\tfrac {\pi }{4}})$ द्वारा

$${\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin t}{t}}\,dt-{\frac {\pi }{4}}={\frac {\pi }{2}}\cdot (0.089489872236\dots )$$

(OEIS: A243268)

या लगभग 9% फलन। अधिक आम तौर पर, किसी भी विभाजन पर, टुकड़े-टुकड़े के साथ लगातार अंतर करने योग्य प्लुति असांतत्य की फलन $a$, द $N$ वें आंशिक फूरियर श्रृंखला होगी (के लिए $N$ वेरी लार्ज) एरर एरर द्वारा इस प्लुति असांतत्य को ओवरशूट कर देता है $a\cdot (0.089489872236\dots )$ एक छोर पर और दूसरे छोर पर उसी राशि से कम; इस प्रकार आंशिक फूरियर श्रृंखला में प्लुति असांतत्य मूल कार्य में प्लुति असांतत्य से लगभग 18% बड़ी होगी। विच्छेदन पर, आंशिक फूरियर श्रृंखला फलन के मध्य बिंदु पर अभिसरण करेगी (अनिरंतरता पर मूल कार्य के वास्तविक मूल्य की परवाह किए बिना)। मात्रा ।

$$\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin t}{t}}\ dt=(1.851937051982\dots )={\frac {\pi }{2}}+\pi \cdot (0.089489872236\dots )$$

(OEIS: A036792) कभी-कभी हेनरी विलब्रहम-गिब्स स्थिरांक के रूप में जाना जाता है।

इतिहास

गिब्स की घटना को पहली बार 1848 के पेपर में हेनरी विल्ब्राहम द्वारा देखा और विश्लेषण किया गया था। 1914 तक पेपर ने थोड़ा ध्यान आकर्षित किया जब क्लेन के विश्वकोश में हेनरिक बर्कहार्ट की गणितीय विश्लेषण की समीक्षा में इसका उल्लेख किया गया था। 1898 में, अल्बर्ट ए. माइकलसन ने एक ऐसा उपकरण विकसित किया जो फूरियर श्रृंखला की गणना और पुनर्संश्लेषण कर सकता था। एक व्यापक मिथक का कहना है कि जब स्क्वायर वेव के लिए फूरियर गुणांक मशीन में इनपुट होते हैं, तो ग्राफ विच्छिन्नता पर दोलन करेगा, और यह कि क्योंकि यह एक भौतिक उपकरण था जो विनिर्माण दोषों के अधीन था, मिशेलसन को विश्वास था कि ओवरशूट त्रुटियों के कारण हुआ था। मशीन में। वास्तव में मशीन द्वारा बनाए गए ग्राफ गिब्स घटना को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करने के लिए पर्याप्त नहीं थे, और माइकलसन ने इस पर ध्यान नहीं दिया होगा क्योंकि उन्होंने अपने पेपर में इस आशय का कोई उल्लेख नहीं किया था। (Michelson & Stratton 1898) उनकी मशीन या प्रकृति (पत्रिका) को उनके बाद के पत्रों के बारे में।

मिशेलसन और ऑगस्टस एडवर्ड हफ़ लव|ए के बीच नेचर में पत्राचार से प्रेरित। ई. एच. स्क्वायर वेव फंक्शन की फूरियर श्रृंखला के अभिसरण के बारे में प्यार, विलार्ड गिब्स | जे। विलार्ड गिब्स ने 1898 में एक नोट प्रकाशित किया था, जिसमें सॉटूथ वेव की फूरियर श्रृंखला के आंशिक योगों के रेखांकन की सीमा और उन आंशिक योगों की सीमा के ग्राफ के बीच महत्वपूर्ण अंतर को इंगित किया गया था। अपने पहले पत्र में गिब्स गिब्स परिघटना को नोटिस करने में विफल रहे, और उन्होंने आंशिक योगों के ग्राफ़ के लिए जिस सीमा का वर्णन किया वह गलत थी। 1899 में उन्होंने एक सुधार प्रकाशित किया जिसमें उन्होंने विच्छिन्नता के बिंदु पर ओवरशूट का वर्णन किया (प्रकृति, 27 अप्रैल, 1899, पृष्ठ 606)। 1906 में, मैक्सिमे बॉचर ने उस ओवरशूट का एक विस्तृत गणितीय विश्लेषण दिया, जिसमें गिब्स फेनोमेनन शब्द गढ़ा गया था। और इस शब्द को व्यापक उपयोग में लाया।

हेनरी विलब्रहम के पेपर के अस्तित्व में आने के बाद व्यापक रूप से ज्ञात हो गया, 1925 में होरेशियो स्कॉट कार्सलॉ ने टिप्पणी की, हम अभी भी फूरियर की श्रृंखला (और कुछ अन्य श्रृंखला) की इस संपत्ति को गिब्स की घटना कह सकते हैं; लेकिन हमें अब यह दावा नहीं करना चाहिए कि संपत्ति की खोज सबसे पहले गिब्स ने की थी।

स्पष्टीकरण

अनौपचारिक रूप से, गिब्स घटना निरंतर कार्य साइनसोइडल तरंगों की एक परिमित श्रृंखला द्वारा एक असतत कार्य को अनुमानित करने में निहित कठिनाई को दर्शाती है। परिमित शब्द पर जोर देना महत्वपूर्ण है, क्योंकि भले ही फूरियर श्रृंखला का प्रत्येक आंशिक योग प्रत्येक विच्छिन्नता के चारों ओर ओवरशूट करता है, यह अनुमानित है, साइनसोइडल तरंगों की अनंत संख्या को समेटने की सीमा नहीं है। ओवरशूट शिखर विच्छिन्नता के करीब और करीब आते हैं क्योंकि अधिक शर्तों को अभिव्यक्त किया जाता है, इसलिए अभिसरण संभव है।

कोई विरोधाभास नहीं है (ओवरशूट त्रुटि के बीच एक गैर-शून्य ऊंचाई में परिवर्तित होने के बावजूद, भले ही अनंत राशि में कोई ओवरशूट न हो), क्योंकि ओवरशूट चोटियों की गति विच्छिन्नता की ओर है। गिब्स घटना इस प्रकार बिंदुवार अभिसरण दर्शाती है, लेकिन समान अभिसरण नहीं। टुकड़े-टुकड़े चिकनाई के लिए#Differentiability_classes|लगातार अलग-अलग (कक्षा C¹) फलन, फूरियर श्रृंखला जंप डिसकंटीन्युटीज को छोड़कर हर बिंदु पर फलन में परिवर्तित होती है। डिरिचलेट स्थितियों के परिणाम के रूप में जम्प डिसकंटीन्युटीज़ पर, अनंत योग जम्प डिसकंटीन्युटी के मध्यबिंदु (यानी जंप के दोनों ओर फलन के मूल्यों का औसत) में परिवर्तित हो जाएगा। गिब्स घटना सिद्धांत से निकटता से संबंधित है कि किसी फलन की चिकनाई उसके फूरियर गुणांक की क्षय दर को नियंत्रित करती है। चिकने कार्यों के फूरियर गुणांक अधिक तेजी से क्षय होंगे (परिणामस्वरूप तेजी से अभिसरण), जबकि असंतत कार्यों के फूरियर गुणांक धीरे-धीरे क्षय होंगे (परिणामस्वरूप धीमी अभिसरण)। उदाहरण के लिए, असंतुलित वर्ग तरंग में फूरियर गुणांक होते हैं $({\tfrac {1}{1}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{3}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{5}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{7}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{9}},{\scriptstyle {\text{0}}},\dots )$ की दर से ही क्षय होता है ${\tfrac {1}{n}}$, जबकि निरंतर त्रिभुज_लहर # हार्मोनिक्स में फूरियर गुणांक हैं $({\tfrac {1}{1^{2}}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {-1}{3^{2}}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{5^{2}}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {-1}{7^{2}}},{\scriptstyle {\text{0}}},{\tfrac {1}{9^{2}}},{\scriptstyle {\text{0}}},\dots )$ की बहुत तेज गति से क्षय होता है ${\tfrac {1}{n^{2}}}$.

यह केवल गिब्स परिघटना की आंशिक व्याख्या प्रदान करता है, क्योंकि पूरी तरह से अभिसारी फूरियर गुणांक वाली फूरियर श्रृंखला वीयरस्ट्रैस एम-टेस्ट द्वारा समान रूप से अभिसरण होगी और इस प्रकार उपरोक्त दोलन व्यवहार को प्रदर्शित करने में असमर्थ होगी। उसी टोकन के द्वारा, एक असंतत कार्य के लिए पूरी तरह से अभिसारी फूरियर गुणांक होना असंभव है, क्योंकि इस प्रकार कार्य निरंतर कार्यों की एक समान सीमा होगी और इसलिए निरंतर, एक विरोधाभास होगा। देखना Convergence of Fourier series § Absolute convergence.

समाधान

व्यवहार में, गिब्स परिघटना से जुड़ी कठिनाइयों को फूरियर श्रृंखला योग की एक आसान विधि का उपयोग करके सुधारा जा सकता है, जैसे कि फ़ेज़र योग या रीज़ योग, या सिग्मा-सन्निकटन का उपयोग करके। निरंतर तरंग परिवर्तन का उपयोग करते हुए, तरंगिका गिब्स घटना कभी भी फूरियर गिब्स घटना से अधिक नहीं होती है। इसके अलावा, हार आधार कार्यों के साथ असतत तरंगिका परिवर्तन का उपयोग करते हुए, गिब्स की घटना फलन के निरंतर डेटा के मामले में बिल्कुल भी नहीं होती है, और असतत मामले में बड़े परिवर्तन बिंदुओं पर न्यूनतम है। तरंगिका विश्लेषण में, इसे आमतौर पर लोंगो परिघटना के रूप में संदर्भित किया जाता है। बहुपद इंटरपोलेशन सेटिंग में, गिब्स घटना को एस-गिब्स एल्गोरिथम का उपयोग करके कम किया जा सकता है।

घटना का औपचारिक गणितीय विवरण

होने देना $f:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} }$ एक टुकड़े की तरह लगातार भिन्न होने वाला कार्य हो जो कुछ अवधि के साथ आवधिक हो $L>0$. मान लीजिए कि किसी बिंदु पर $x_{0}$, बाईं सीमा $f(x_{0}^{-})$ और सही सीमा $f(x_{0}^{+})$ समारोह का $f$ की गैर-शून्य प्लुति असांतत्य से भिन्न होता है $a$:

$$f(x_{0}^{+})-f(x_{0}^{-})=a\neq 0.$$

प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $N$ ≥ 1, चलो $S_{N}f(x)$ हो $N$वें आंशिक फूरियर श्रृंखला

$$S_{N}f(x):=\sum _{-N\leq n\leq N}{\widehat {f}}(n)e^{\frac {2i\pi nx}{L}}={\frac {1}{2}}a_{0}+\sum _{n=1}^{N}\left(a_{n}\cos \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)+b_{n}\sin \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)\right),$$

जहां फूरियर गुणांक ${\widehat {f}}(n),a_{n},b_{n}$ सामान्य सूत्रों द्वारा दिए गए हैं

$${\widehat {f}}(n):={\frac {1}{L}}\int _{0}^{L}f(x)e^{-2i\pi nx/L}\,dx$$

$$a_{n}:={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\cos \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)\,dx$$

$$b_{n}:={\frac {2}{L}}\int _{0}^{L}f(x)\sin \left({\frac {2\pi nx}{L}}\right)\,dx.$$

तो हमारे पास हैं

$$\lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(x_{0}+{\frac {L}{2N}}\right)=f(x_{0}^{+})+a\cdot (0.089489872236\dots )$$

और

$$\lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(x_{0}-{\frac {L}{2N}}\right)=f(x_{0}^{-})-a\cdot (0.089489872236\dots )$$

लेकिन

$$\lim _{N\to \infty }S_{N}f(x_{0})={\frac {f(x_{0}^{-})+f(x_{0}^{+})}{2}}.$$

अधिक सामान्यतः, यदि $x_{N}$ वास्तविक संख्याओं का कोई क्रम है जो अभिसरण करता है $x_{0}$ जैसा $N\to \infty$, और अगर की प्लुति असांतत्य $a$ तब सकारात्मक है

$$\limsup _{N\to \infty }S_{N}f(x_{N})\leq f(x_{0}^{+})+a\cdot (0.089489872236\dots )$$

और

$$\liminf _{N\to \infty }S_{N}f(x_{N})\geq f(x_{0}^{-})-a\cdot (0.089489872236\dots ).$$

अगर इसके बजाय फलनो $a$ नकारात्मक है, किसी को श्रेष्ठ सीमा को निचली सीमा से इंटरचेंज करने की जरूरत है, और इंटरचेंज भी $\leq$ और $\geq$ संकेत, उपरोक्त दो असमानताओं में।

सिग्नल प्रोसेसिंग स्पष्टीकरण

Further information: Ringing artifacts

sinc फलन, आदर्श निम्न-पास फ़िल्टर की आवेग प्रतिक्रिया। सिन फलन को संकुचित करता है, और तदनुसार परिमाण बढ़ाता है (जो यहां नहीं दिखाया गया है), लेकिन अंडरशूट की परिमाण को कम नहीं करता है, जो पूंछ का अभिन्न अंग है।

सिग्नल प्रोसेसिंग के दृष्टिकोण से, गिब्स घटना एक कम-पास फिल्टर की चरण प्रतिक्रिया है, और दोलनों को बज रहा है (संकेत) या रिंगिंग आर्टिफैक्ट्स कहा जाता है। वास्तविक रेखा पर सिग्नल के फूरियर रूपांतरण को कम करना, या आवधिक सिग्नल की फूरियर श्रृंखला (समतुल्य रूप से, सर्कल पर एक संकेत), एक आदर्श (ईंट-दीवार फिल्टर | ईंट-दीवार) के साथ उच्च आवृत्तियों को फ़िल्टर करने के अनुरूप है। लो पास फिल्टर। इसे फ़िल्टर के आवेग प्रतिक्रिया के साथ मूल संकेत के कनवल्शन के रूप में दर्शाया जा सकता है (जिसे कनवल्शन कर्नेल के रूप में भी जाना जाता है), जो कि sinc फलन है। इस प्रकार गिब्स घटना को एक हैवीसाइड स्टेप फंक्शन (यदि आवधिकता की आवश्यकता नहीं है) या एक स्क्वायर वेव (यदि आवधिक) को एक sinc फलन के साथ हल करने के परिणाम के रूप में देखा जा सकता है: sinc फलन में दोलन आउटपुट में तरंगों का कारण बनते हैं।

साइन अभिन्न, वास्तविक रेखा पर एक स्टेप फलन के लिए गिब्स घटना को प्रदर्शित करता है।

हेविसाइड स्टेप फंक्शन के साथ कनवोल्विंग के मामले में, परिणामी फंक्शन वास्तव में sinc फंक्शन का इंटीग्रल है, साइन इंटीग्रल; एक वर्ग तरंग के लिए विवरण उतना आसान नहीं है जितना बताया गया है। स्टेप फंक्शन के लिए, अंडरशूट का परिमाण इस प्रकार पहली नकारात्मक शून्य तक बाईं पूंछ का अभिन्न अंग है: यूनिट सैंपलिंग अवधि के सामान्यीकृत sinc के लिए, यह है ${\textstyle \int _{-\infty }^{-1}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,dx.}$ ओवरशूट उसी परिमाण के अनुसार होता है: दाहिनी पूंछ का अभिन्न अंग या (समतुल्य) नकारात्मक अनंत से पहले सकारात्मक शून्य ऋण 1 (गैर-ओवरशूटिंग मान) के अभिन्न अंग के बीच का अंतर।

ओवरशूट और अंडरशूट को इस प्रकार समझा जा सकता है: कर्नेल आम तौर पर अभिन्न 1 होने के लिए सामान्यीकृत होते हैं, इसलिए वे निरंतर कार्यों के निरंतर कार्यों के मानचित्रण में परिणाम करते हैं - अन्यथा उनके पास लाभ (इलेक्ट्रॉनिक्स) होता है। एक बिंदु पर कनवल्शन का मान इनपुट सिग्नल का एक रैखिक संयोजन है, जिसमें कर्नेल के गुणांक (वजन) होते हैं।

यदि एक कर्नेल गैर-ऋणात्मक है, जैसे गॉसियन कर्नेल के लिए, तो फ़िल्टर किए गए सिग्नल का मान इनपुट मानों का एक उत्तल संयोजन होगा (गुणांक (कर्नेल) 1 से एकीकृत होते हैं, और गैर-ऋणात्मक होते हैं), और इस प्रकार न्यूनतम और अधिकतम इनपुट सिग्नल के बीच गिर जाएगा - यह अंडरशूट या ओवरशूट नहीं होगा। यदि, दूसरी ओर, कर्नेल ऋणात्मक मान ग्रहण करता है, जैसे कि sinc फलन, तो फ़िल्टर किए गए सिग्नल का मान इसके बजाय इनपुट मानों का एक संयोजन होगा, और इनपुट सिग्नल के न्यूनतम और अधिकतम से बाहर हो सकता है गिब्स घटना के रूप में, जिसके परिणामस्वरूप अंडरशूट और ओवरशूट होता है।

एक लंबा विस्तार लेना - एक उच्च आवृत्ति पर काटना - ईंट-दीवार को चौड़ा करने के लिए आवृत्ति डोमेन में मेल खाता है, जो समय डोमेन में sinc फलन को कम करने और उसी कारक द्वारा इसकी ऊंचाई बढ़ाने के अनुरूप होता है, जिससे संबंधित बिंदुओं के बीच अभिन्नता अपरिवर्तित रहती है। . यह फूरियर रूपांतरण की एक सामान्य विशेषता है: एक डोमेन में चौड़ा करना दूसरे में ऊंचाई को कम करने और बढ़ाने से मेल खाता है। इसके परिणामस्वरूप दोलन संकरा और लंबा हो जाता है, और (कनवल्शन के बाद फ़िल्टर किए गए फलन में) ऐसे दोलन उत्पन्न होते हैं जो संकरे होते हैं (और इस प्रकार छोटे क्षेत्र के साथ) लेकिन जिनका परिमाण कम नहीं होता है: किसी भी परिमित आवृत्ति के परिणाम में कटौती sinc फलन, हालांकि संकीर्ण, समान टेल इंटीग्रल के साथ। यह ओवरशूट और अंडरशूट की दृढ़ता की व्याख्या करता है।

<गैलरी शैली = संरेखित करें: केंद्र की चौड़ाई = 285px ऊँचाई = 285px> Image:Gibbs phenomenon 10.svg|दोलनों की व्याख्या sinc के साथ कनवल्शन के रूप में की जा सकती है। Image:Gibbs phenomenon 50.svg|उच्च कटऑफ सिंक को संकरा लेकिन लंबा बनाता है, समान परिमाण वाले टेल इंटीग्रल के साथ, उच्च आवृत्ति दोलनों की उपज होती है, लेकिन जिसका परिमाण गायब नहीं होता है। </गैलरी>

इस प्रकार गिब्स परिघटना की विशेषताओं की व्याख्या इस प्रकार की जाती है:

• अंडरशूट नकारात्मक टेल इंटीग्रल वाले आवेग प्रतिक्रिया के कारण होता है, जो संभव है क्योंकि फलन नकारात्मक मान लेता है;
• ओवरशूट इसे ऑफसेट करता है, समरूपता द्वारा (फ़िल्टरिंग के तहत समग्र अभिन्न नहीं बदलता है);
• दोलनों की दृढ़ता इसलिए है क्योंकि कटऑफ बढ़ने से आवेग प्रतिक्रिया कम हो जाती है, लेकिन इसके अभिन्न अंग को कम नहीं किया जाता है - दोलन इस प्रकार विच्छिन्नता की ओर बढ़ते हैं, लेकिन परिमाण में कमी नहीं करते हैं।

स्क्वायर वेव उदाहरण

हार्मोनिक्स की बढ़ती संख्या के साथ स्क्वायर वेव के योजक संश्लेषण का एनीमेशन। गिब्स घटना विशेष रूप से दिखाई देती है जब हार्मोनिक्स की संख्या बड़ी होती है।

व्यापकता के नुकसान के बिना, हम इसकी जांच कर सकते हैं $N$वें आंशिक फूरियर श्रृंखला $S_{N}f(x)$ एक के साथ एक वर्ग तरंग की $2\pi$ अवधि और ए ${\tfrac {\pi }{2}}$ ऊर्ध्वाधर विच्छेदन पर $x=0$. क्योंकि विषम का मामला $N$ बहुत समान है, आइए हम केवल उस मामले से निपटें जब $N$ सम है:

$$S_{N}f(x)=\sin(x)+{\frac {1}{3}}\sin(3x)+\cdots +{\frac {1}{N-1}}\sin((N-1)x).$$

स्थानापन्न $x=0$, हमने प्राप्त

$$S_{N}f(0)=0={\frac {-{\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{4}}}{2}}={\frac {f(0^{-})+f(0^{+})}{2}}$$

जैसा कि ऊपर दावा किया गया है। अगला, हम गणना करते हैं

$$S_{N}f\left({\frac {2\pi }{2N}}\right)=\sin \left({\frac {\pi }{N}}\right)+{\frac {1}{3}}\sin \left({\frac {3\pi }{N}}\right)+\cdots +{\frac {1}{N-1}}\sin \left({\frac {(N-1)\pi }{N}}\right).$$

यदि हम सामान्यीकृत sinc फलन का परिचय दें, $\operatorname {sinc} (x)\,$, हम इसे इस रूप में फिर से लिख सकते हैं

$$S_{N}f\left({\frac {2\pi }{2N}}\right)={\frac {\pi }{2}}\left[{\frac {2}{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {1}{N}}\right)+{\frac {2}{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {3}{N}}\right)+\cdots +{\frac {2}{N}}\operatorname {sinc} \left({\frac {(N-1)}{N}}\right)\right].$$

लेकिन वर्ग कोष्ठक में अभिव्यक्ति अभिन्न के लिए एक रीमैन योग सन्निकटन है ${\textstyle \int _{0}^{1}\operatorname {sinc} (x)\ dx}$ (अधिक सटीक रूप से, यह रिक्ति के साथ एक मध्यबिंदु नियम सन्निकटन है ${\tfrac {2}{N}}$). चूँकि sinc फलन सतत है, यह सन्निकटन वास्तविक समाकलन के रूप में अभिसरित होता है $N\to \infty$. इस प्रकार हमारे पास है

$${\begin{aligned}\lim _{N\to \infty }S_{N}f\left({\frac {2\pi }{2N}}\right)&={\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{1}\operatorname {sinc} (x)\,dx\\[8pt]&={\frac {1}{2}}\int _{x=0}^{1}{\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}\,d(\pi x)\\[8pt]&={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\pi }{\frac {\sin(t)}{t}}\ dt\quad =\quad {\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{2}}\cdot (0.089489872236\dots ),\end{aligned}}$$

जो पिछले अनुभाग में दावा किया गया था। एक समान गणना दिखाता है

$$\lim _{N\to \infty }S_{N}f\left(-{\frac {2\pi }{2N}}\right)=-{\frac {\pi }{2}}\int _{0}^{1}\operatorname {sinc} (x)\,dx=-{\frac {\pi }{4}}-{\frac {\pi }{2}}\cdot (0.089489872236\dots ).$$

परिणाम

गिब्स घटना अवांछनीय है क्योंकि यह कलाकृतियों का कारण बनती है, अर्थात् ओवरशूट और अंडरशूट से क्लिपिंग (ऑडियो), और दोलनों से रिंगिंग कलाकृतियां। लो-पास फ़िल्टरिंग के मामले में, इन्हें अलग-अलग लो-पास फ़िल्टर का उपयोग करके कम या समाप्त किया जा सकता है।

एमआरआई में, गिब्स घटना स्पष्ट रूप से भिन्न संकेत तीव्रता के आसन्न क्षेत्रों की उपस्थिति में कलाकृतियों का कारण बनती है। यह आमतौर पर रीढ़ की हड्डी के एमआरआई में होता है जहां गिब्स की घटना Syringomyelia की उपस्थिति का अनुकरण कर सकती है।

गिब्स घटना एक छवि के असतत फूरियर रूपांतरण में एक क्रॉस पैटर्न आर्टिफैक्ट के रूप में प्रकट होती है, जहां अधिकांश छवियों (जैसे सूक्ष्मग्राफ या फोटोग्राफ) में छवि के ऊपर/नीचे और बाएं/दाएं सीमाओं के बीच एक तेज असंतोष होता है। जब फूरियर रूपांतरण में आवधिक सीमा की स्थिति लागू की जाती है, तो यह प्लुति असांतत्य विच्छेदन पारस्परिक स्थान में अक्षों के साथ आवृत्तियों की निरंतरता (यानी फूरियर रूपांतरण में तीव्रता का एक क्रॉस पैटर्न) द्वारा दर्शाया जाता है।

और यद्यपि यह लेख मुख्य रूप से केवल एक आंशिक फूरियर श्रृंखला के साथ समय डोमेन में कलाकृतियों के बिना विच्छेदन के निर्माण की कोशिश में कठिनाई पर केंद्रित था, यह भी विचार करना महत्वपूर्ण है क्योंकि फूरियर व्युत्क्रम प्रमेय # व्युत्क्रम परिवर्तन के गुण, समान रूप से कठिनाई है केवल आंशिक फूरियर श्रृंखला का उपयोग करके आवृत्ति डोमेन में असंतोष बनाने की कोशिश कर रहा है। इस प्रकार उदाहरण के लिए क्योंकि आदर्श ईंट-दीवार फ़िल्टर | ईंट-दीवार और आयताकार फलन फ़िल्टर आवृत्ति डोमेन में असंतोष रखते हैं, समय डोमेन में उनके सटीक प्रतिनिधित्व के लिए आवश्यक रूप से एक अनंत आवेग प्रतिक्रिया की आवश्यकता होती है। असीमित-लंबे Sinc_filter#Frequency-domain_sinc, एक परिमित के बाद से आवेग प्रतिक्रिया के परिणामस्वरूप कटऑफ आवृत्ति के पास आवृत्ति प्रतिक्रिया में गिब्स रिपलिंग होगी। आपूर्ती बंद करने की आवृत्ति, हालांकि इस रिपलिंग को विंडो फंक्शन परिमित आवेग प्रतिक्रिया फिल्टर (व्यापक संक्रमण बैंड की कीमत पर) द्वारा कम किया जा सकता है।

यह भी देखें

• मच बैंड
• पिंस्की घटना
• रूंज की घटना (बहुपद सन्निकटन में एक समान घटना)
• सिग्मा सन्निकटन|σ-सन्निकटन जो गिब्स घटना को समाप्त करने के लिए एक फूरियर योग को समायोजित करता है जो अन्यथा विच्छिन्नता पर घटित होगा
• ज्या अभिन्न

संदर्भ

• Gibbs, J. Willard (1898), "Fourier's Series", Nature, 59 (1522): 200, doi:10.1038/059200b0, ISSN 0028-0836, S2CID 4004787
• Gibbs, J. Willard (1899), "Fourier's Series", Nature, 59 (1539): 606, doi:10.1038/059606a0, ISSN 0028-0836, S2CID 13420929
• Michelson, A. A.; Stratton, S. W. (1898), "A new harmonic analyser", Philosophical Magazine, 5 (45): 85–91
• Zygmund, Antoni (1959). Trigonometric Series (2nd ed.). Cambridge University Press. Volume 1, Volume 2.
• Wilbraham, Henry (1848), "On a certain periodic function", The Cambridge and Dublin Mathematical Journal, 3: 198–201
• Paul J. Nahin, Dr. Euler's Fabulous Formula, Princeton University Press, 2006. Ch. 4, Sect. 4.
• Vretblad, Anders (2000), Fourier Analysis and its Applications, Graduate Texts in Mathematics, vol. 223, New York: Springer Publishing, p. 93, ISBN 978-0-387-00836-3

बाहरी संबंध

• Media related to गिब्स घटना at Wikimedia Commons
• "Gibbs phenomenon", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W., "Gibbs Phenomenon". From MathWorld—A Wolfram Web Resource.
• Prandoni, Paolo, "Gibbs Phenomenon".
• Radaelli-Sanchez, Ricardo, and Richard Baraniuk, "Gibbs Phenomenon". The Connexions Project. (Creative Commons Attribution License)
• Horatio S Carslaw : Introduction to the theory of Fourier's series and integrals.pdf (introductiontot00unkngoog.pdf ) at archive.org
• A Python implementation of the S-Gibbs algorithm mitigating the Gibbs Phenomenon https://github.com/pog87/FakeNodes.