संख्या रेखा: Difference between revisions

Revision as of 15:30, 17 August 2022

प्राथमिक गणित में, एक संख्या रेखा एक स्नातक की सीधी रेखा की एक चित्र है जो वास्तविक संख्याओं के लिए अमूर्त के रूप में कार्य करती है, जिसे $\mathbb {R}$ द्वारा दर्शाया जाता है। एक संख्या रेखा के प्रत्येक बिंदु को एक वास्तविक संख्या के अनुरूप माना जाता है, और प्रत्येक वास्तविक संख्या को एक बिंदु पर।^[1]

पूर्णांक अक्सर विशेष रूप से चिह्नित बिंदुओं के रूप में दिखाया जाता है, जो समान रूप से रेखा के स्थान पर होते हैं। यद्यपि यह छवि केवल -9 से 9 तक के पूर्णांक को दिखाती है, लाइन में सभी वास्तविक संख्याएं शामिल हैं, जो प्रत्येक दिशा में हमेशा के लिए जारी रहती हैं, और पूर्णांकों के बीच की संख्याएँ भी शामिल हैं। यह प्रायः सरल जोड़ और घटाव को पढ़ाने में सहायता के रूप में उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से नकारात्मक संख्याओं को शामिल किया जाता है।

उन्नत गणित में, संख्या रेखा को एक वास्तविक रेखा के रूप में कहा जा सकता है, जिसे औपचारिक रूप से सभी वास्तविक संख्याओं के सेट आर के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसे ज्यामितीय स्थान के रूप में देखा जाता है, अर्थात् आयाम एक का यूक्लिडियन स्थान। इसे एक वेक्टर स्पेस (या एफिन स्पेस), एक मीट्रिक स्पेस, एक टोपोलॉजिकल स्पेस, एक माप स्थान, या एक रैखिक निरंतरता के रूप में सोचा जा सकता है।

इतिहास

संचालन उद्देश्यों के लिए उपयोग की जाने वाली संख्या लाइन का पहला उल्लेख जॉन वालिस के बीजगणित के ग्रंथ में पाया गया है।^[2] अपने ग्रंथ में, वालिस ने चलने वाले व्यक्ति के रूपक के तहत, आगे और पीछे जाने के मामले में एक संख्या रेखा पर जोड़ और घटाव का वर्णन किया है।

संचालन के लिए उल्लेख के बिना एक पहले का चित्रण, हालांकि, जॉन नेपियर में पाया जाता है लघुगणक की सराहनीय तालिका का विवरण, जो बाएं से दाएं पंक्तिबद्ध मूल्यों 1 से 12 तक दिखाता है।^[3]

लोकप्रिय धारणा के विपरीत, रेने डेसकार्टेस के मूल ला गोमेट्री में एक संख्या रेखा नहीं है, जिसे परिभाषित किया गया है कि हम आज इसका उपयोग करते हैं, हालांकि यह एक समन्वय प्रणाली का उपयोग करता है। विशेष रूप से, डेसकार्टेस के काम में लाइनों पर मैप की गई विशिष्ट संख्याएं नहीं हैं, केवल अमूर्त मात्राएं हैं।^[4]

संख्या रेखा अंकित करना

एक संख्या रेखा को आमतौर पर क्षैतिज होने के रूप में दर्शाया जाता है, लेकिन एक कार्टेशियन समन्वय विमान में ऊर्ध्वाधर अक्ष (वाई- अक्ष) भी एक संख्या रेखा है। एक सम्मेलन के अनुसार, सकारात्मक संख्याएं हमेशा शून्य के दाईं ओर झूठ बोलती हैं, नकारात्मक संख्याएं हमेशा शून्य के बाईं ओर झूठ बोलती हैं, और रेखा के दोनों सिरों पर तीर यह सुझाव देने के लिए होते हैं कि रेखा सकारात्मक और नकारात्मक दिशाओं में अनिश्चित काल तक जारी रहती है। एक अन्य सम्मेलन केवल एक तीर का उपयोग करता है जो उस दिशा को इंगित करता है जिसमें संख्या बढ़ती है।^[5] यह रेखा ज्यामिति के नियमों के अनुसार सकारात्मक और नकारात्मक दिशाओं में अनिश्चित काल तक जारी रहती है जो एक अनंत रेखा के रूप में समापन बिंदु के बिना एक रेखा को परिभाषित करती है, एक अर्धरेखा के रूप में एक समापन बिंदु के साथ एक पंक्ति, और एक लाइन खंड के रूप में दो समापन बिंदुओं के साथ एक पंक्ति।

संख्या की तुलना

यदि कोई विशेष संख्या दूसरी संख्या की तुलना में संख्या रेखा पर दाईं ओर अधिक है, तो पहली संख्या दूसरी से बड़ी है (समतुल्य रूप से, दूसरी पहली से छोटी है)। उनके बीच की दूरी उनके अंतर का परिमाण है — यानी, यह पहली संख्या को घटाकर दूसरे नंबर को मापता है, या समकक्ष रूप से दूसरे नंबर का निरपेक्ष मान घटाता है। इस अंतर को लेना घटाव की प्रक्रिया है।

इस प्रकार, उदाहरण के लिए, 0 और कुछ अन्य संख्या के बीच एक लाइन खंड की लंबाई बाद की संख्या के परिमाण का प्रतिनिधित्व करती है।

0 से किसी एक संख्या तक की लंबाई को "उठाकर" दो संख्याओं को जोड़ा जा सकता है, और इसे फिर से उस अंत के साथ नीचे रखा जा सकता है जो 0 को दूसरी संख्या के ऊपर रखा गया था।

इस उदाहरण में दो संख्याओं को गुणा किया जा सकता है: 5 × 3 को गुणा करने के लिए, ध्यान दें कि यह 5 + 5 + 5 के समान है, इसलिए लंबाई को 0 से 5 तक चयन करें और इसे 5 के दाईं ओर रखें, और फिर चुनें उस लंबाई को फिर से ऊपर रखें और इसे पिछले परिणाम के दाईं ओर रखें। यह एक परिणाम देता है जो 5 प्रत्येक की 3 संयुक्त लंबाई है; चूंकि प्रक्रिया 15 पर समाप्त होती है, हम पाते हैं कि 5 × 3 = 15.

विभाजन निम्नलिखित उदाहरण के रूप में किया जा सकता है: 6 को 2 से विभाजित करने के लिए- यानी, यह पता लगाने के लिए कि कितनी बार 2 कितनी बार 6 में जाता है - ध्यान दें कि 0 से 2 तक की लंबाई 0 से 6 तक लंबाई की शुरुआत में होती है; पिछली लंबाई को उठाएं और इसे फिर से अपनी मूल स्थिति के दाईं ओर रखें, जिसका अंत पूर्व में 0 पर अब 2 पर रखा गया है, और फिर लंबाई को फिर से अपनी नवीनतम स्थिति के दाईं ओर ले जाएं। यह लंबाई 2 के दाहिने छोर को 0 से 6 तक की लंबाई के दाहिने छोर पर रखता है। चूँकि 2 की तीन लम्बाइयाँ 6 को भरती हैं, 2 6 में तीन बार जाता है (अर्थात 6 2 = 3)।

Index.php?title=File:Number line with x smaller than y.svg

संख्या रेखा पर क्रम: बड़े तत्व तीर की दिशा में हैं।
Index.php?title=File:Number line with addition of -2 and 3.svg

The difference 3-2=3+(-2) on the real number line.
Index.php?title=File:Number line with addition of 1 and 2.svg

The addition 1+2 on the real number line
Index.php?title=File:Absolute difference.svg

The absolute difference.
Index.php?title=File:Number line multiplication 2 with 1,5.svg

The multiplication 2 times 1.5
Index.php?title=File:Number line division 3 with 2.svg

The division 3÷2 on the real number line

संख्या रेखा के भाग

बंद अंतराल

[a,b]

।

दो संख्याओं के बीच संख्या रेखा के खंड को अंतराल कहा जाता है।यदि खंड में दोनों संख्याएं शामिल हैं तो इसे एक बंद अंतराल कहा जाता है, जबकि यदि यह दोनों संख्याओं को शामिल नहीं करता है तो इसे एक खुला अंतराल कहा जाता है। यदि इसमें एक संख्या शामिल है लेकिन दूसरी नहीं है, तो इसे अर्ध-खुला अंतराल कहा जाता है।

एक विशेष बिंदु से एक दिशा में हमेशा के लिए फैले सभी बिंदुओं को एक अर्ध रेखा के रूप में जाना जाता है। यदि अर्ध रेखा में विशेष बिंदु शामिल है, तो यह एक बंद अर्ध रेखा है;अन्यथा यह एक खुली अर्ध रेखा है।

अवधारणा का विस्तार

लॉगरिदमिक स्केल(लघुगणक मापक)

लॉग-लॉग प्लॉट = एक्स (नीला), वाई = एक्स ² (हरा), और y = एक्स ³ (लाल)।

संख्या रेखा पर, दो बिंदुओं के बीच की दूरी इकाई की लंबाई है यदि और केवल तभी जब प्रतिनिधित्व की गई संख्याओं का अंतर 1 के बराबर होता है। अन्य विकल्प संभव हैं।

सबसे आम विकल्पों में से एक लॉगरिदमिक स्केल है, जो एक लाइन पर सकारात्मक संख्याओं का प्रतिनिधित्व है, जैसे कि दो बिंदुओं की दूरी इकाई लंबाई है, यदि प्रतिनिधित्व संख्याओं के अनुपात में एक निश्चित मूल्य है, तो आमतौर पर 10। ऐसे लघुगणक पैमाने में, मूल 1 का प्रतिनिधित्व करता है; दाईं ओर एक इंच, एक में 10, एक इंच के दाईं ओर 10 है 10×10 = 100, फिर 10×100 = 1000 = 10³, फिर 10×1000 = 10,000 = 10⁴, आदि। इसी तरह, 1 के बाईं ओर एक इंच, एक है, 1/10 = 10^–1 फिर 1/100 = 10^–2, आदि।

यह दृष्टिकोण उपयोगी है, जब कोई एक ही आकृति पर, परिमाण के बहुत भिन्न क्रम वाले मानों का प्रतिनिधित्व करना चाहता है। उदाहरण के लिए, किसी को ब्रह्मांड में मौजूद विभिन्न निकायों के आकार का एक साथ प्रतिनिधित्व करने के लिए एक लघुगणकीय पैमाने की आवश्यकता होती है, आमतौर पर, एक फोटॉन, एक इलेक्ट्रॉन, एक परमाणु, एक अणु, एक मानव, पृथ्वी, सौर मंडल, एक आकाशगंगा, और दृश्यमान ब्रह्मांड।

लॉगरिदमिक स्केल का उपयोग स्लाइड नियमों में लॉगरिदमिक स्केल पर लंबाई जोड़कर या घटाकर संख्याओं को गुणा या विभाजित करने के लिए किया जाता है।

एक स्लाइड नियम के दो लघुगणकीय मापक

संख्या रेखाओं का संयोजन

मूल से होकर वास्तविक संख्या रेखा पर समकोण पर खींची गई रेखा का उपयोग काल्पनिक संख्याओं को निरूपित करने के लिए किया जा सकता है। यह रेखा, जिसे काल्पनिक रेखा कहा जाता है, संख्या रेखा को एक सम्मिश्र संख्या तल तक विस्तारित करती है, जिसमें सम्मिश्र संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदु होते हैं।

वैकल्पिक रूप से, एक वास्तविक संख्या के संभावित मूल्यों को दर्शाने के लिए एक वास्तविक संख्या रेखा क्षैतिज रूप से खींची जा सकती है, जिसे आमतौर पर x कहा जाता है, और दूसरी वास्तविक संख्या रेखा को दूसरी वास्तविक संख्या के संभावित मूल्यों को दर्शाने के लिए लंबवत रूप से खींचा जा सकता है, जिसे आमतौर पर y कहा जाता है। साथ में ये रेखाएं एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के रूप में जानी जाती हैं, और विमान में कोई भी बिंदु वास्तविक संख्याओं की एक जोड़ी के मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है। इसके अलावा, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को तीसरी संख्या रेखा "स्क्रीन (या पृष्ठ) से बाहर आने" की कल्पना करके बढ़ाया जा सकता है, जिसे z नामक तीसरे चर को मापना है। सकारात्मक संख्याएं स्क्रीन की तुलना में दर्शक की आंखों के अधिक निकट होती हैं, जबकि ऋणात्मक संख्याएं "स्क्रीन के पीछे" होती हैं; बड़ी संख्या स्क्रीन से दूर हैं। फिर त्रि-आयामी अंतरिक्ष में कोई भी बिंदु जिसमें हम रहते हैं, वास्तविक संख्याओं की तिकड़ी के मूल्यों का प्रतिनिधित्व करता है।

यह भी देखें

कालक्रम
जटिल समतल
Cuisenaire छड़ें
विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा
हाइपरल नंबर लाइन
संख्या रूप (न्यूरोलॉजिकल घटना)
Intercept_theorem#the_construction_of_a_decimal_number | दशमलव संख्या का निर्माण

संदर्भ

↑ Stewart, James B.; Redlin, Lothar; Watson, Saleem (2008). College Algebra (5th ed.). Brooks Cole. pp. 13–19. ISBN 978-0-495-56521-5.
↑ Wallis, John (1685). Treatise of algebra. http://lhldigital.lindahall.org/cdm/ref/collection/math/id/11231 pp. 265
↑ Napier, John (1616). A description of the admirable table of logarithmes https://www.math.ru.nl/werkgroepen/gmfw/bronnen/napier1.html
↑ Núñez, Rafael (2017). How Much Mathematics Is "Hardwired", If Any at All Minnesota Symposia on Child Psychology: Culture and Developmental Systems, Volume 38. http://www.cogsci.ucsd.edu/~nunez/COGS152_Readings/Nunez_ch3_MN.pdf pp. 98
↑ Cite error: Invalid <ref> tag; no text was provided for refs named purple

बाहरी संबंध

Media related to Number lines at Wikimedia Commons

] ] ]

[1] Stewart, James B.; Redlin, Lothar; Watson, Saleem (2008). College Algebra (5th ed.). Brooks Cole. pp. 13–19. ISBN 978-0-495-56521-5.

[2] Wallis, John (1685). Treatise of algebra. http://lhldigital.lindahall.org/cdm/ref/collection/math/id/11231 pp. 265

[3] Napier, John (1616). A description of the admirable table of logarithmes https://www.math.ru.nl/werkgroepen/gmfw/bronnen/napier1.html

[4] Núñez, Rafael (2017). How Much Mathematics Is "Hardwired", If Any at All Minnesota Symposia on Child Psychology: Culture and Developmental Systems, Volume 38. http://www.cogsci.ucsd.edu/~nunez/COGS152_Readings/Nunez_ch3_MN.pdf pp. 98

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 == संख्या रेखा अंकित करना ==
-एक संख्या रेखा को आमतौर पर क्षैतिज होने के रूप में दर्शाया जाता है, लेकिन एक कार्टेशियन समन्वय विमान  में ऊर्ध्वाधर अक्ष (वाई- अक्ष) axis(y-axis) भी एक संख्या रेखा है।<ref name=purple>[http://www.purplemath.com/modules/plane.htm Introduction to the x,y-plane] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20151109025636/http://www.purplemath.com/modules/plane.htm |date=2015-11-09 }} "Purplemath" Retrieved 2015-11-13</ref>  ए'''क सम्मेलन के अनुसार, सकारात्मक संख्याएं हमेशा शून्य के दाईं ओर झूठ बोलती हैं, नकारात्मक संख्याएं हमेशा शून्य के बाईं ओर झूठ बोलती हैं,''' और रेखा के दोनों सिरों पर तीर यह सुझाव देने के लिए होते हैं कि रेखा सकारात्मक और नकारात्मक दिशाओं में अनिश्चित काल तक जारी रहती है। एक अन्य सम्मेलन केवल एक तीर का उपयोग करता है जो उस दिशा को इंगित करता है जिसमें संख्या बढ़ती है।<ref name=purple/> यह रेखा ज्यामिति के नियमों के अनुसार सकारात्मक और नकारात्मक दिशाओं में अनिश्चित काल तक जारी रहती है जो एक अनंत रेखा के रूप में समापन बिंदु के बिना एक रेखा को परिभाषित करती है, एक अर्धरेखा के रूप में एक समापन बिंदु के साथ एक पंक्ति, और एक लाइन खंड के रूप में दो समापन बिंदुओं के साथ एक पंक्ति।
+एक संख्या रेखा को आमतौर पर क्षैतिज होने के रूप में दर्शाया जाता है, लेकिन एक कार्टेशियन समन्वय विमान  में ऊर्ध्वाधर अक्ष (वाई- अक्ष) भी एक संख्या रेखा है।  एक सम्मेलन के अनुसार, सकारात्मक संख्याएं हमेशा शून्य के दाईं ओर झूठ बोलती हैं, नकारात्मक संख्याएं हमेशा शून्य के बाईं ओर झूठ बोलती हैं, और रेखा के दोनों सिरों पर तीर यह सुझाव देने के लिए होते हैं कि रेखा सकारात्मक और नकारात्मक दिशाओं में अनिश्चित काल तक जारी रहती है। एक अन्य सम्मेलन केवल एक तीर का उपयोग करता है जो उस दिशा को इंगित करता है जिसमें संख्या बढ़ती है।<ref name="purple" /> यह रेखा ज्यामिति के नियमों के अनुसार सकारात्मक और नकारात्मक दिशाओं में अनिश्चित काल तक जारी रहती है जो एक अनंत रेखा के रूप में समापन बिंदु के बिना एक रेखा को परिभाषित करती है, एक अर्धरेखा के रूप में एक समापन बिंदु के साथ एक पंक्ति, और एक लाइन खंड के रूप में दो समापन बिंदुओं के साथ एक पंक्ति।
-== संख्या की तुलना ==
+==संख्या की तुलना==
 यदि कोई विशेष संख्या दूसरी संख्या की तुलना में संख्या रेखा पर दाईं ओर अधिक है, तो पहली संख्या दूसरी से बड़ी है (समतुल्य रूप से, दूसरी पहली से छोटी है)। उनके बीच की दूरी उनके अंतर का परिमाण है &#x2014; यानी, यह पहली संख्या को घटाकर दूसरे नंबर को मापता है, या समकक्ष रूप से दूसरे नंबर का निरपेक्ष मान घटाता है। इस अंतर को लेना घटाव की प्रक्रिया है।
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 विभाजन निम्नलिखित उदाहरण के रूप में किया जा सकता है: 6 को 2 से विभाजित करने के लिए- यानी, यह पता लगाने के लिए कि कितनी बार 2 कितनी बार 6 में जाता है - ध्यान दें कि 0 से 2 तक की लंबाई 0 से 6 तक लंबाई की शुरुआत में होती है; पिछली लंबाई को उठाएं और इसे फिर से अपनी मूल स्थिति के दाईं ओर रखें, जिसका अंत पूर्व में 0 पर अब 2 पर रखा गया है, और फिर लंबाई को फिर से अपनी नवीनतम स्थिति के दाईं ओर ले जाएं। यह लंबाई 2 के दाहिने छोर को 0 से 6 तक की लंबाई के दाहिने छोर पर रखता है। चूँकि 2 की तीन लम्बाइयाँ 6 को भरती हैं, 2 6 में तीन बार जाता है (अर्थात 6 2 = 3)।
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-File:Number line with x smaller than y.svg|The ordering on the number line: Greater elements are in direction of the arrow.
+File:Index.php?title=File:Number line with x smaller than y.svg|संख्या रेखा पर क्रम: बड़े तत्व तीर की दिशा में हैं।
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 दो संख्याओं के बीच संख्या रेखा के खंड को अंतराल कहा जाता है।यदि खंड में दोनों संख्याएं शामिल हैं तो इसे एक बंद अंतराल कहा जाता है, जबकि यदि यह दोनों संख्याओं को शामिल नहीं करता है तो इसे एक खुला अंतराल कहा जाता है। यदि इसमें एक संख्या शामिल है लेकिन दूसरी नहीं है, तो इसे अर्ध-खुला अंतराल कहा जाता है।
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 एक विशेष बिंदु से एक दिशा में हमेशा के लिए फैले सभी बिंदुओं को एक अर्ध रेखा के रूप में जाना जाता है। यदि अर्ध रेखा में विशेष बिंदु शामिल है, तो यह एक बंद अर्ध रेखा है;अन्यथा यह एक खुली अर्ध रेखा है।
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-=== लॉगरिदमिक स्केल(लघुगणक मापक) ===
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 संख्या रेखा पर, दो बिंदुओं के बीच की दूरी इकाई की लंबाई है यदि और केवल तभी जब प्रतिनिधित्व की गई संख्याओं का अंतर 1 के बराबर होता है। अन्य विकल्प संभव हैं।
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-=== संख्या रेखाओं का संयोजन ===
+===संख्या रेखाओं का संयोजन===
 मूल से होकर वास्तविक संख्या रेखा पर समकोण पर खींची गई रेखा का उपयोग [[:hi:काल्पनिक संख्या|काल्पनिक संख्याओं]] को निरूपित करने के लिए किया जा सकता है। यह रेखा, जिसे [[:hi:काल्पनिक रेखा (गणित)|काल्पनिक रेखा]] कहा जाता है, संख्या रेखा को एक [[:hi:जटिल विमान|सम्मिश्र संख्या तल]] तक विस्तारित करती है, जिसमें [[:hi:समिश्र संख्या|सम्मिश्र संख्याओं]] का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदु होते हैं।
 वैकल्पिक रूप से, एक वास्तविक संख्या के संभावित मूल्यों को दर्शाने के लिए एक वास्तविक संख्या रेखा क्षैतिज रूप से खींची जा सकती है, जिसे आमतौर पर ''x'' कहा जाता है, और दूसरी वास्तविक संख्या रेखा को दूसरी वास्तविक संख्या के संभावित मूल्यों को दर्शाने के लिए लंबवत रूप से खींचा जा सकता है, जिसे आमतौर पर ''y'' कहा जाता है। साथ में ये रेखाएं एक [[:hi:कार्तीय निर्देशांक पद्धति|कार्टेशियन समन्वय प्रणाली]] के रूप में जानी जाती हैं, और विमान में कोई भी बिंदु वास्तविक संख्याओं की एक जोड़ी के मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है। इसके अलावा, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को तीसरी संख्या रेखा "स्क्रीन (या पृष्ठ) से बाहर आने" की कल्पना करके बढ़ाया जा सकता है, जिसे ''z'' नामक तीसरे चर को मापना है। सकारात्मक संख्याएं स्क्रीन की तुलना में दर्शक की आंखों के अधिक निकट होती हैं, जबकि ऋणात्मक संख्याएं "स्क्रीन के पीछे" होती हैं; बड़ी संख्या स्क्रीन से दूर हैं। फिर त्रि-आयामी अंतरिक्ष में कोई भी बिंदु जिसमें हम रहते हैं, वास्तविक संख्याओं की तिकड़ी के मूल्यों का प्रतिनिधित्व करता है।
-== यह भी देखें ==
+==यह भी देखें==
 *कालक्रम
 *जटिल समतल
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Contents

इतिहास

संख्या रेखा अंकित करना

संख्या की तुलना

संख्या रेखा के भाग

अवधारणा का विस्तार

लॉगरिदमिक स्केल(लघुगणक मापक)

संख्या रेखाओं का संयोजन

यह भी देखें

संदर्भ

बाहरी संबंध

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संख्या रेखा अंकित करना

संख्या की तुलना

संख्या रेखा के भाग

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संख्या रेखाओं का संयोजन

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