अतिप्रत्यास्थ भौतिक

विभिन्न हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल के लिए तनाव घटता है।

हाइपरलास्टिक या अतिप्रत्यास्थ भौतिकी समान्यतः प्रत्यास्थ भौतिकी के लिए एक प्रकार का प्रलक्षित समीकरण है जिसमे किरचॉफ तनाव और लग्रांगियन विरूपण तनाव मे संबंध तनाव ऊर्जा घनत्व से प्राप्त होता है। हाइपरलास्टिक भौतिकी कॉची प्रत्यास्थ भौतिकी की एक विशेष स्थिति है।

कई भौतिकी मॉडल रैखिक प्रत्यास्थ मॉडल के लिए भौतिक क्रियाविधि का वर्णन नहीं करते हैं। इस प्रकार की भौतिकी का सबसे सामान्य उदाहरण घर्षण है जिसमे किरचॉफ तनाव और लग्रांगियन विरूपण तनाव संबंध को गैर-रैखिक रूप से प्रत्यास्थ, समदैशिक और असंपीड्यता के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। हाइपरलास्टिक ऐसी भौतिकी तनाव को मॉडलिंग करने का एक साधन प्रदान करता है। अपूर्ण, वल्केनाइज्ड प्रत्यास्थता की क्रियाविधि प्रायः हाइपरलास्टिक भौतिकी के अनुरूप होती है। प्रत्यास्थता भौतिकी और जैविक ऊतक भी प्रायः हाइपरलास्टिक प्रलक्षित समीकरण के माध्यम से तैयार किए जाते हैं।

रोनाल्ड रिवलिन और मेल्विन मूनी ने नियो-हुकेन और मूनी-रिवलिन ठोस यांत्रिकी मॉडल के पहले हाइपरलास्टिक मॉडल को विकसित किया था इसके बाद से कई अन्य हाइपरलास्टिक मॉडल विकसित किए गए हैं। अन्य व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल में ओग्डेन मॉडल और अरुडा-बॉयस मॉडल सम्मिलित हैं।

हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल

सेंट वेनेंट-किरचॉफ मॉडल

सबसे सामान्य हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल सेंट वेनेंट-किरचॉफ मॉडल है जो ज्यामितीय रूप से गैर-रैखिक मॉडल के लिए ज्यामितीय रूप से रैखिक प्रत्यास्थ भौतिकी मॉडल का विस्तार है। इस मॉडल का क्रमशः सामान्य और समदैशिक रूप है:

$${\begin{aligned}{\boldsymbol {S}}&={\boldsymbol {C}}:{\boldsymbol {E}}\\{\boldsymbol {S}}&=\lambda ~{\text{tr}}({\boldsymbol {E}}){\boldsymbol {\mathit {I}}}+2\mu {\boldsymbol {E}}{\text{.}}\end{aligned}}$$

जहाँ $\mathbin {:}$ टेंसर संकुचन ${\boldsymbol {S}}$ है दूसरा पिओला-किरचॉफ तनाव ${\boldsymbol {C}}:\mathbb {R} ^{3\times 3}\to \mathbb {R} ^{3\times 3}$ है :और चौथा क्रम कठोरता टेन्सर ${\boldsymbol {E}}$ है, जिसे लग्रांगियन ग्रीन स्ट्रेन द्वारा दिया गया है:

$$\mathbf {E} ={\frac {1}{2}}\left[(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{\textsf {T}}+\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} +(\nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} )^{\textsf {T}}\cdot \nabla _{\mathbf {X} }\mathbf {u} \right]\,\!$$

$\lambda$ और $\mu$ स्थिरांक हैं और ${\boldsymbol {\mathit {I}}}$ दूसरा क्रम इकाई टेन्सर है। जो सेंट वेनांट-किरचॉफ मॉडल के लिए तनाव-ऊर्जा घनत्व कार्य है

$$W({\boldsymbol {E}})={\frac {\lambda }{2}}[{\text{tr}}({\boldsymbol {E}})]^{2}+\mu {\text{tr}}{\mathord {\left({\boldsymbol {E}}^{2}\right)}}$$

और दूसरा पिओला-किरचॉफ तनाव संबंध से प्राप्त किया जा सकता है:

$${\boldsymbol {S}}={\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}~.$$

हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल का वर्गीकरण

हाइपरलास्टिक भौतिकी मॉडल को इस प्रकार वर्गीकृत किया जा सकता है:

1. हाइपरलास्टिक भौतिकी गतिविधि का घटनात्मक विवरण
   • फंग
   • मूनी-रिवलिन
   • ओग्डेन (हाइपरलास्टिक मॉडल)
   • बहुपद (हाइपरलास्टिक मॉडल)
   • सेंट वेनेंट-किरचॉफ
   • योह (हाइपरलेस्टिक मॉडल)
   • मार्लो (हाइपरलास्टिक मॉडल)
2. भौतिकी की अंतर्निहित संरचना के विषय में तर्कों से प्राप्त यांत्रिकीय मॉडल
   • अरुडा-बॉयस मॉडल
   • नियो-हुकेन मॉडल
   • बुके-सिल्बरस्टीन मॉडल
3. यांत्रिकीय और परिघटनात्मक मॉडल के हाइब्रिड
   • जेंट (हाइपरलास्टिक मॉडल)
   • वैन डेर वाल्स (हाइपरेलेटिक मॉडल)

सामान्यतः एक हाइपरलास्टिक मॉडल को ड्रकर स्थिरता मानदंड को पूर्ण करने की आवश्यकता होती है। क्योकि कुछ हाइपरलास्टिक मॉडल वैलेनिस-लैंडल परिकल्पना को सिद्ध करते हैं जो प्रदर्शित करते है कि तनाव ऊर्जा कार्य को प्रमुख भागों $(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})$ के अलग-अलग कार्यों के योग में विभाजित किया जा सकता है।

$$W=f(\lambda _{1})+f(\lambda _{2})+f(\lambda _{3})\,.$$

किरचॉफ तनाव और लग्रांगियन विरूपण मे संबंध

संकुचित हाइपरलास्टिक भौतिकी

पहला पिओला-किरचॉफ तनाव

यदि $W({\boldsymbol {F}})$ तनाव ऊर्जा घनत्व फलन है, तो पहले पिओला-किरचॉफ तनाव टेन्सर की गणना हाइपरलास्टिक भौतिकी के रूप में की जा सकती है:

$${\boldsymbol {P}}={\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}\qquad {\text{or}}\qquad P_{iK}={\frac {\partial W}{\partial F_{iK}}}$$

जहाँ ${\boldsymbol {F}}$ विरूपण प्रवणता है। लग्रांगियन तनाव ${\boldsymbol {E}}$ के संदर्भ में

$${\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\qquad {\text{or}}\qquad P_{iK}=F_{iL}~{\frac {\partial W}{\partial E_{LK}}}~$$

परिमित कॉची-ग्रीन विरूपण टेन्सर ${\boldsymbol {C}}$ के संदर्भ में

$${\boldsymbol {P}}=2~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\qquad {\text{or}}\qquad P_{iK}=2~F_{iL}~{\frac {\partial W}{\partial C_{LK}}}~.$$

दूसरा पियोला-किरचॉफ तनाव

यदि ${\boldsymbol {S}}$ दूसरा पिओला-किरचॉफ तनाव टेंसर है तो

$${\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}\qquad {\text{or}}\qquad S_{IJ}=F_{Ik}^{-1}{\frac {\partial W}{\partial F_{kJ}}}~.$$

लग्रांगियन तनाव के संदर्भ में

$${\boldsymbol {S}}={\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\qquad {\text{or}}\qquad S_{IJ}={\frac {\partial W}{\partial E_{IJ}}}~.$$

परिमित कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर के संदर्भ में

$${\boldsymbol {S}}=2~{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\qquad {\text{or}}\qquad S_{IJ}=2~{\frac {\partial W}{\partial C_{IJ}}}~.$$

उपरोक्त संबंध को भौतिक विरूपण में "डॉयल-एरिक्सन सूत्र" के रूप में भी जाना जाता है।

कॉची तनाव

इसी प्रकार, यह तनाव (भौतिकी) द्वारा दिया जाता है:

$${\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{J}}~{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}~;~~J:=\det {\boldsymbol {F}}\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{ij}={\frac {1}{J}}~{\frac {\partial W}{\partial F_{iK}}}~F_{jK}~.$$

लग्रांगियन ग्रीन तनाव के संदर्भ में

$${\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{ij}={\frac {1}{J}}~F_{iK}~{\frac {\partial W}{\partial E_{KL}}}~F_{jL}~.$$

परिमित सही कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर के संदर्भ में

$${\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{ij}={\frac {2}{J}}~F_{iK}~{\frac {\partial W}{\partial C_{KL}}}~F_{jL}~.$$

उपरोक्त भाव विषमदैशिक मीडिया के लिए भी मान्य हैं जिस स्थिति में, संभावित कार्य को प्रारंभिक फाइबर अभिविन्यास जैसे संदर्भ दिशात्मक राशियों पर निहित रूप से निर्भर करने के लिए समझा जाता है। समदैशिक की विशेष स्थिति में, कॉची तनाव को बाएं कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर के संदर्भ में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:

$${\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {B}}}}\cdot ~{\boldsymbol {B}}\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{ij}={\frac {2}{J}}~B_{ik}~{\frac {\partial W}{\partial B_{kj}}}~.$$

असंपीड्य हाइपरलास्टिक भौतिकी

एक असंपीड्य भौतिकी $J:=\det {\boldsymbol {F}}=1$ के लिए असंपीड्यता अवरोध $J-1=0$ है। हाइपरलास्टिक भौतिकी की असंपीड्यता सुनिश्चित करने के लिए तनाव-ऊर्जा फलन को निम्न प्रकार में लिखा जा सकता है:

$$W=W({\boldsymbol {F}})-p~(J-1)$$

जहां स्थैतिक दाब $p$ असंपीड्यता अवरोध को प्रयुक्त करने के लिए लैग्रेंज गुणक के रूप में कार्य करता है। अब पिओला-किरचॉफ तनाव पहला तनाव बन गया है:

$${\boldsymbol {P}}=-p~J{\boldsymbol {F}}^{-{\textsf {T}}}+{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}=-p~{\boldsymbol {F}}^{-{\textsf {T}}}+{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}=-p~{\boldsymbol {F}}^{-{\textsf {T}}}+2~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}~.$$

इस तनाव टेन्सर को बाद में किसी भी अन्य भौतिकी तनाव टेंसर में परिवर्तित किया जा सकता है, जैसे कॉची तनाव टेन्सर जो इसके द्वारा दिया जाता है

$${\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {P}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{\textsf {T}}~.$$

कॉची तनाव के लिए अभिव्यक्तियाँ

संपीड्य समदैशिक हाइपरलास्टिक भौतिकी

संपीड्य समदैशिक हाइपरलास्टिक भौतिकी के लिए कॉची तनाव को बाएं कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर या दाएं कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर के संपीड्यता के सिद्धांत के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यदि तनाव ऊर्जा घनत्व फलन है:

$$W({\boldsymbol {F}})={\hat {W}}(I_{1},I_{2},I_{3})={\bar {W}}({\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2},J)={\tilde {W}}(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}),$$

तब

$$\begin{array}{rl}\mathit{\sigma <!--\; \sigma \; -->}& =\frac{2}{\sqrt{I_3}}\left[\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{W}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{I}_1}+I_1\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{W}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{I}_2}\right)\mathit{B}-<!--\; -\; -->\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{W}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{I}_2}\mathit{B}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathit{B}\right]+2\sqrt{I_3}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{^<!--\; ^\; -->}{W}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{I}_3}\mathit{1}\\ & =\frac{2}{J}\left[\frac{1}{J^{2/3}}\left(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{W}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{I}}_1}+{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{I}}_1\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{W}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{I}}_2}\right)\mathit{B}-<!--\; -\; -->\frac{1}{J^{4/3}}\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{W}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{I}}_2}\mathit{B}\cdot <!--\; \cdot \; -->\mathit{B}\right]+\left[\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{W}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}J}-<!--\; -\; -->\frac{2}{3J}\left({\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{I}}_1\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{W}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{I}}_1}+2{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{I}}_2\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{W}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{I}}_2}\right)\right]\mathit{1}\\ & =\frac{2}{J}[(\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{W}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{I}}_1}+{\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{I}}_1\frac{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}\stackrel{¯<!--\; ¯\; -->}{W}}{\mathrm{\partial <!--\; \partial \; -->}}\end{array}$$

इन प्रतीकों की परिभाषाओं के लिए बाएँ कॉची-ग्रीन विरूपण टेन्सर सिद्धान्त को देखें।

Proof 1

The second Piola–Kirchhoff stress tensor for a hyperelastic material is given by

$${\boldsymbol {S}}=2~{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}$$

where ${\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}$ is the right Cauchy–Green deformation tensor and ${\boldsymbol {F}}$ is the deformation gradient. The Cauchy stress is given by

$${\boldsymbol {\sigma }}={\frac {1}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\frac {2}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}$$

where $J=\det {\boldsymbol {F}}$. Let $I_{1},I_{2},I_{3}$ be the three principal invariants of ${\boldsymbol {C}}$. Then

$${\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}~.$$

The derivatives of the invariants of the symmetric tensor ${\boldsymbol {C}}$ are

$${\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}~;~~{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}=I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {C}}~;~~{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}=\det({\boldsymbol {C}})~{\boldsymbol {C}}^{-1}$$

Therefore, we can write

$${\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~(I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}})+{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~I_{3}~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~.$$

Plugging into the expression for the Cauchy stress gives

$${\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{J}}~\left[{\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}+{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~(I_{1}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}-{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T})+{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~I_{3}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\right]$$

Using the left Cauchy–Green deformation tensor ${\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}$ and noting that $I_{3}=J^{2}$, we can write

$${\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{\sqrt {I_{3}}}}~\left[\left({\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+2~{\sqrt {I_{3}}}~{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.$$

For an incompressible material $I_{3}=1$ and hence $W=W(I_{1},I_{2})$.Then

$${\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~(I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}})$$

Therefore, the Cauchy stress is given by

$${\boldsymbol {\sigma }}=2\left[\left({\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.$$

where $p$ is an undetermined pressure which acts as a Lagrange multiplier to enforce the incompressibility constraint.

If, in addition, $I_{1}=I_{2}$, we have $W=W(I_{1})$ and hence

$${\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}$$

In that case the Cauchy stress can be expressed as

$${\boldsymbol {\sigma }}=2{\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {B}}-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.$$

Proof 2

The isochoric deformation gradient is defined as ${\bar {\boldsymbol {F}}}:=J^{-1/3}{\boldsymbol {F}}$, resulting in the isochoric deformation gradient having a determinant of 1, in other words it is volume stretch free. Using this one can subsequently define the isochoric left Cauchy–Green deformation tensor ${\bar {\boldsymbol {B}}}:={\bar {\boldsymbol {F}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {F}}}^{T}=J^{-2/3}{\boldsymbol {B}}$. The invariants of ${\bar {\boldsymbol {B}}}$ are

$${\begin{aligned}{\bar {I}}_{1}&={\text{tr}}({\bar {\boldsymbol {B}}})=J^{-2/3}{\text{tr}}({\boldsymbol {B}})=J^{-2/3}I_{1}\\{\bar {I}}_{2}&={\frac {1}{2}}\left({\text{tr}}({\bar {\boldsymbol {B}}})^{2}-{\text{tr}}({\bar {\boldsymbol {B}}}^{2})\right)={\frac {1}{2}}\left(\left(J^{-2/3}{\text{tr}}({\boldsymbol {B}})\right)^{2}-{\text{tr}}(J^{-4/3}{\boldsymbol {B}}^{2})\right)=J^{-4/3}I_{2}\\{\bar {I}}_{3}&=\det({\bar {\boldsymbol {B}}})=J^{-6/3}\det({\boldsymbol {B}})=J^{-2}I_{3}=J^{-2}J^{2}=1\end{aligned}}$$

The set of invariants which are used to define the distortional behavior are the first two invariants of the isochoric left Cauchy–Green deformation tensor tensor, (which are identical to the ones for the right Cauchy Green stretch tensor), and add $J$ into the fray to describe the volumetric behaviour.

To express the Cauchy stress in terms of the invariants ${\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2},J$ recall that

$${\bar {I}}_{1}=J^{-2/3}~I_{1}=I_{3}^{-1/3}~I_{1}~;~~{\bar {I}}_{2}=J^{-4/3}~I_{2}=I_{3}^{-2/3}~I_{2}~;~~J=I_{3}^{1/2}~.$$

The chain rule of differentiation gives us

$${\boldsymbol {\sigma }}={\frac {2}{\sqrt {I_{3}}}}~\left[\left({\frac {\partial W}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\frac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+2~{\sqrt {I_{3}}}~{\frac {\partial W}{\partial I_{3}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.$$