समरूपता अवयव: Difference between revisions

Latest revision as of 11:20, 10 March 2023

गणित में, एक समुच्चय पर संचालित द्विआधारी ऑपरेशन (द्विआधारी संचालन) का सर्वसमिका अवयव, या तटस्थ तत्व, समुच्चय का तत्व है जो संचालन प्रयुक्त होने पर समुच्चय के प्रत्येक तत्व को अपरिवर्तित छोड़ देता है।^[1]^[2] इस अवधारणा का उपयोग बीजगणितीय संरचनाओं जैसे कि समूहों और वलयों में किया जाता है। सर्वसमिका(पहचान) तत्व शब्द को प्रायः सर्वसमिका के लिए छोटा किया जाता है (जैसा कि योगात्मक सर्वसमिका और गुणक सर्वसमिका की स्थितियों में)^[3] जब भ्रम की कोई संभावना नहीं होती है, किंतु सर्वसमिका अंतर्निहित रूप से उस द्विआधारी संचालन पर निर्भर करती है जिससे यह जुड़ा हुआ है।

परिभाषाएँ

मान लीजिए (S, ∗) एक समुच्चय S है जिसमें एक बाइनरी संचालन ∗ है। $S$ में सभी $s$ के लिए यदि $e * s = s$ फिर $S$ के तत्व $e$ को left identity और $S$ में सभी $s$ के लिए यदि $s * e = s$ को right identity कहा जाता है।^[4] यदि $e$ वामपंथी सर्वसमिका और दक्षिणपंथी सर्वसमिका दोनों है, तो इसे द्विपक्षीय सर्वसमिका कहा जाता है , अथवा यह मात्र सर्वसमिका होती है।^[5]^[6]^[7]^[8]^[9]

जोड़ के संबंध में सर्वसमिका को योगात्मक सर्वसमिका (प्रायः 0 के रूप में दर्शाया जाता है) और गुणन के संबंध में सर्वसमिका को गुणक सर्वसमिका(प्रायः 1 के रूप में दर्शाया जाता है) कहा जाता है।^[3] इन्हें सामान्य जोड़ और गुणा करने की आवश्यकता नहीं है - क्योंकि अंतर्निहित संचालन स्वचालित हो सकता है। उदाहरण के लिए एक समूह के स्थितियों में, सर्वसमिका अवयव को कभी-कभी मात्र प्रतीक $e$ द्वारा निरूपित किया जाता है। योज्य और गुणक सर्वसमिका के बीच अंतर का उपयोग प्रायः उन समुच्चयों के लिए किया जाता है जो दोनों द्विआधारी संचालन जैसे कि वलयों, अभिन्न डोमेन्स और क्षेत्रों का समर्थन करते हैं। बाद के संदर्भ में गुणात्मक सर्वसमिका को प्रायः एकत्व(एकता के साथ एक वलय ) कहा जाता है ।^[10]^[11]^[12] इसे वलय सिद्धांत में एक इकाई के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो कि गुणक व्युत्क्रम वाला कोई भी तत्व हो सकता है। अपनी परिभाषा के अनुसार, एकता(एकत्व) स्वयं में अनिवार्य रूप से इकाई है।^[13]^[14]

उदाहरण

समूह	संचालन	सर्वसमिका
वास्तविक संख्याएँ	+ (जोड़)	0
वास्तविक संख्याएँ	- (घटाव)	1
मिश्रित संख्याएँ	+ (जोड़)	0
मिश्रित संख्याएँ	* (गुणा)	1
धनात्मक पूर्णांक	न्यूनतम समापवर्तक	1
गैर-ऋणात्मक पूर्णांक	महत्तम सामान्य भाजक	0 (जीसीडी की अधिकांश परिभाषाओं के अनुसार)
सदिश	सदिश जोड़	जीरो सदिश
$m$ -by- $n$ आव्युह	आव्युह जोड़	जीरो आव्युह
$n$ -by- $n$ वर्ग आव्युह	आव्युह गुणा	I_n (सर्वसमिका आव्युह)
$m$ -by- $n$ आव्युह	○ (हैडमार्ड उत्पाद)	$J m, n$ (लोगों का आव्युह)
एक समुच्चय M से स्वयं तक सभी प्रकार्य	∘ (प्रकार्य संघटन)	सर्वसमिका प्रकार्य
समूह पर सभी वितरण, G	∗ सवलन(कनवल्शन)	$δ$ (डायराक डेल्टा)
विस्तारित वास्तविक संख्याएँ	न्यूनतम/अनंत	+∞
विस्तारित वास्तविक संख्याएँ	अधिकतम/सर्वोच्च	−∞
समुच्चय M के उपसमुच्चय	∩ (प्रतिच्छेदन)	$M$
समुच्चय	∪ (संघ)	∅ (रिक्त समुच्चय)
स्ट्रिंग्स, सूचियाँ	संयोजन	रिक्त स्ट्रिंग, रिक्त सूची
बूलियन बीजगणित	∧ (तार्किक और)	⊤ (सत्य)
बूलियन बीजगणित	↔ (तार्किक द्विप्रतिबंध)	⊤ (सत्य)
बूलियन बीजगणित	∨ (तार्किक अथवा)	⊥ (असत्यता)
बूलियन बीजगणित	⊕ (विशिष्ट अथवा)	⊥ (असत्यता)
गांठें	गांठों का योग	बिना गाँठ
सघन सतहें	# (जुड़ा हुआ योग)	S²
समूह	प्रत्यक्ष उत्पाद	तुच्छ समूह
दो तत्व, ${e, f}$	$e * e = f * e = e$ और $f * f = e * f = f$ द्वारा परिभाषित	$e$ और $f$ दोनों वामपंथी सर्वसमिका हैं, लेकिन कोई दक्षिणपंथी सर्वसमिका नहीं है और कोई दो पक्षीय सर्वसमिका नहीं
समुच्चय X पर सजातीय संबंध	सापेक्ष उत्पाद	सर्वसमिका संबंध

गुण

उदाहरण में S = {e, f} दी गई समानता के साथ, S अर्धसमूह है। यह $(S, *)$ के लिए कई वामपंथी सर्वसमिका होने की संभावना को प्रदर्शित करता है। वास्तव में, प्रत्येक तत्व वामपंथी सर्वसमिका हो सकता है। इसी प्रकार, कई दक्षिणपंथी सर्वसमिका भी हो सकती हैं। किंतु अगर दक्षिणपंथी सर्वसमिका और वामपंथी सर्वसमिका दोनों हैं, तो उन्हें समान होना चाहिए, जिसके परिणामस्वरूप एकल द्वि पक्षीय सर्वसमिका प्रस्तुत होती है।

इसे देखने के लिए ध्यान दें कि अगर $l$ वामपंथी सर्वसमिका है और $r$ दक्षिणपंथी सर्वसमिका है, फिर $l = l * r = r$ होता है। विशेष रूप से, एक से अधिक द्विपक्षीय सर्वसमिका कभी नहीं हो सकती है: मान लीजिए यदि ये दो थे, तो इन्हें $e$ तथा $f$ कहें, फिर दोनों $e$ तथा $f$ , $e * f$ के बराबर होना होगा।

यह भी अधिक संभव है कि $(S, *)$ में कोई सर्वसमिका तत्व न हो^[15] जैसे गुणन संक्रिया के अंतर्गत सम पूर्णांकों की स्थिति होती है।^[3] एक अन्य सामान्य उदाहरण यूक्लिडियन सदिश का क्रॉस उत्पाद है, जहां सर्वसमिका अवयव की अनुपस्थिति इस तथ्य से संबंधित है कि किसी भी गैर-शून्य क्रॉस उत्पाद की दिशा सदैव किसी भी तत्व के गुणन के लिए ओर्थोगोनल(लंबकोणीय) होती है। अर्थात वास्तविक दिशा के समान दिशा में गैर-शून्य सदिश(वैक्टर) प्राप्त करना संभव नहीं है। फिर भी सर्वसमिका(समरूपता) अवयव के बिना संरचना का एक और उदाहरण सकारात्मक प्राकृतिक संख्याओं के योगात्मक अर्धसमूह को सम्मिलित करता है।

यह भी देखें

नोट्स और संदर्भ

↑ Weisstein, Eric W. "पहचान तत्व". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2019-12-01.
↑ "पहचान तत्व की परिभाषा". www.merriam-webster.com. Retrieved 2019-12-01.
↑ ^3.0 ^3.1 ^3.2 "पहचान तत्व". www.encyclopedia.com. Retrieved 2019-12-01.
↑ Fraleigh (1976, p. 21)
↑ Beauregard & Fraleigh (1973, p. 96)
↑ Fraleigh (1976, p. 18)
↑ Herstein (1964, p. 26)
↑ McCoy (1973, p. 17)
↑ "पहचान तत्व | शानदार गणित और विज्ञान विकी". brilliant.org (in English). Retrieved 2019-12-01.
↑ Beauregard & Fraleigh (1973, p. 135)
↑ Fraleigh (1976, p. 198)
↑ McCoy (1973, p. 22)
↑ Fraleigh (1976, pp. 198, 266)
↑ Herstein (1964, p. 106)
↑ McCoy (1973, p. 22)

ग्रन्थसूची

Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X
Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
McCoy, Neal H. (1973), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68015225

अग्रिम पठन

M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7, p. 14–15

[1] Weisstein, Eric W. "पहचान तत्व". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2019-12-01.

[2] "पहचान तत्व की परिभाषा". www.merriam-webster.com. Retrieved 2019-12-01.

[:0-3] 3.0 ^3.1 ^3.2 "पहचान तत्व". www.encyclopedia.com. Retrieved 2019-12-01.

[4] Fraleigh (1976, p. 21)

[5] Beauregard & Fraleigh (1973, p. 96)

[6] Fraleigh (1976, p. 18)

[7] Herstein (1964, p. 26)

[8] McCoy (1973, p. 17)

[9] "पहचान तत्व | शानदार गणित और विज्ञान विकी". brilliant.org (in English). Retrieved 2019-12-01.

[10] Beauregard & Fraleigh (1973, p. 135)

[11] Fraleigh (1976, p. 198)

[12] McCoy (1973, p. 22)

[13] Fraleigh (1976, pp. 198, 266)

[14] Herstein (1964, p. 106)

[15] McCoy (1973, p. 22)

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 {{Short description|Specific element of an algebraic structure}}
-गणित में, एक [[सेट (गणित)]] पर चलने वाले [[बाइनरी ऑपरेशन]] का एक पहचान तत्व, या तटस्थ तत्व, सेट का एक तत्व है जो ऑपरेशन लागू होने पर सेट के प्रत्येक तत्व को अपरिवर्तित छोड़ देता है।<ref>{{Cite web |url = http://mathworld.wolfram.com/IdentityElement.html |title = पहचान तत्व|last = Weisstein |first = Eric W. |authorlink = Eric W. Weisstein|website = mathworld.wolfram.com |language = en |access-date = 2019-12-01 }}</ref><ref>{{Cite web |url = https://www.merriam-webster.com/dictionary/identity+element |title = पहचान तत्व की परिभाषा|website = www.merriam-webster.com |access-date = 2019-12-01 }}</ref> इस अवधारणा का उपयोग [[बीजगणितीय संरचना]]ओं जैसे कि [[समूह (गणित)]] और वलय (गणित) में किया जाता है। पहचान तत्व शब्द को अक्सर पहचान के लिए छोटा किया जाता है (जैसा कि योगात्मक पहचान और गुणक पहचान के मामले में)<ref name=":0">{{Cite web |url = https://www.encyclopedia.com/science/encyclopedias-almanacs-transcripts-and-maps/identity-element |title = पहचान तत्व|website = www.encyclopedia.com |access-date = 2019-12-01}}</ref> जब भ्रम की कोई संभावना नहीं होती है, लेकिन पहचान अंतर्निहित रूप से उस बाइनरी ऑपरेशन पर निर्भर करती है जिससे यह जुड़ा हुआ है।
+गणित में, एक समुच्चय पर संचालित [[बाइनरी ऑपरेशन|द्विआधारी ऑपरेशन (द्विआधारी संचालन)]] का सर्वसमिका अवयव, या तटस्थ तत्व, समुच्चय का तत्व है जो संचालन प्रयुक्त होने पर समुच्चय के प्रत्येक तत्व को अपरिवर्तित छोड़ देता है।<ref>{{Cite web |url = http://mathworld.wolfram.com/IdentityElement.html |title = पहचान तत्व|last = Weisstein |first = Eric W. |authorlink = Eric W. Weisstein|website = mathworld.wolfram.com |language = en |access-date = 2019-12-01 }}</ref><ref>{{Cite web |url = https://www.merriam-webster.com/dictionary/identity+element |title = पहचान तत्व की परिभाषा|website = www.merriam-webster.com |access-date = 2019-12-01 }}</ref> इस अवधारणा का उपयोग [[बीजगणितीय संरचना|बीजगणितीय संरचनाओं]] जैसे कि [[समूह (गणित)|समूहों]] और वलयों में किया जाता है। सर्वसमिका(पहचान) तत्व शब्द को प्रायः सर्वसमिका के लिए छोटा किया जाता है (जैसा कि योगात्मक सर्वसमिका और गुणक सर्वसमिका की स्थितियों में)<ref name=":0">{{Cite web |url = https://www.encyclopedia.com/science/encyclopedias-almanacs-transcripts-and-maps/identity-element |title = पहचान तत्व|website = www.encyclopedia.com |access-date = 2019-12-01}}</ref> जब भ्रम की कोई संभावना नहीं होती है, किंतु सर्वसमिका अंतर्निहित रूप से उस द्विआधारी संचालन पर निर्भर करती है जिससे यह जुड़ा हुआ है।
 == परिभाषाएँ ==
-होने देना {{math|(''S'', ∗)}} एक सेट हो{{mvar|S}} बाइनरी ऑपरेशन से लैस ∗। फिर एक तत्व{{mvar|e}} का{{mvar|S}} ए कहा जाता है {{visible anchor|left identity element|text='''[[left and right (algebra)|left]] identity'''}} यदि {{math|1=''e'' ∗ ''s'' = ''s''}} सभी के लिए{{mvar|s}} में{{mvar|S}}, और ए {{visible anchor|right identity element|text='''[[left and right (algebra)|right]] identity'''}} यदि {{math|1=''s'' ∗ ''e'' = ''s''}} सभी के लिए{{mvar|s}} में{{mvar|S}}.<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=21}}</ref> यदि {{mvar|e}} एक बायीं पहचान और एक सही पहचान दोनों है, तो इसे a कहा जाता है{{visible anchor|two-sided identity}}, या बस एक{{visible anchor|identity}}.<ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=96}}</ref><ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=18}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1964|p=26}}</ref><ref>{{harvtxt|McCoy|1973|p=17}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://brilliant.org/wiki/identity-element/|title=पहचान तत्व {{!}} शानदार गणित और विज्ञान विकी|website=brilliant.org|language=en-us|access-date=2019-12-01}}</ref>
+मान लीजिए (S, ∗) एक समुच्चय S है जिसमें एक बाइनरी संचालन ∗ है। {{mvar|S}} में सभी {{mvar|s}} के लिए यदि '''{{math|1=''e'' ∗ ''s'' = ''s''}}''' फिर {{mvar|S}} के तत्व {{mvar|e}} को {{visible anchor|left identity element|text='''[[left and right (algebra)|left]] identity'''}} और {{mvar|S}} में सभी {{mvar|s}} के लिए यदि {{math|1=''s'' ∗ ''e'' = ''s''}} को {{visible anchor|दायें सर्वसमिका तत्व|text='''[[left and right (algebra)|right]] identity'''}} कहा जाता है।<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=21}}</ref> यदि {{mvar|e}} वामपंथी सर्वसमिका और दक्षिणपंथी सर्वसमिका दोनों है, तो इसे {{visible anchor|द्विपक्षीय सर्वसमिका}} कहा जाता है , अथवा यह मात्र {{visible anchor|सर्वसमिका}} होती है।<ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=96}}</ref><ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=18}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1964|p=26}}</ref><ref>{{harvtxt|McCoy|1973|p=17}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://brilliant.org/wiki/identity-element/|title=पहचान तत्व {{!}} शानदार गणित और विज्ञान विकी|website=brilliant.org|language=en-us|access-date=2019-12-01}}</ref>
-जोड़ के संबंध में एक सर्वसमिका को योगात्मक तत्समक कहा जाता है|{{visible anchor|additive identity}}(अक्सर 0 के रूप में दर्शाया जाता है) और गुणन के संबंध में एक पहचान को कहा जाता है{{visible anchor|multiplicative identity}}(अक्सर 1 के रूप में दर्शाया जाता है)।<ref name=":0" />इन्हें सामान्य जोड़ और गुणा करने की आवश्यकता नहीं है - क्योंकि अंतर्निहित ऑपरेशन मनमाना हो सकता है। उदाहरण के लिए एक समूह (गणित) के मामले में, पहचान तत्व को कभी-कभी केवल प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है <math>e</math>. योज्य और गुणक पहचान के बीच अंतर का उपयोग अक्सर उन सेटों के लिए किया जाता है जो दोनों द्विआधारी संचालन का समर्थन करते हैं, जैसे कि रिंग (गणित), [[अभिन्न डोमेन]] और फ़ील्ड (गणित)। गुणात्मक पहचान को अक्सर कहा जाता है{{visible anchor|unity}}बाद के संदर्भ में (एकता के साथ एक अंगूठी)।<ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=135}}</ref><ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=198}}</ref><ref>{{harvtxt|McCoy|1973|p=22}}</ref> इसे रिंग थ्योरी में एक इकाई (रिंग सिद्धांत) के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो कि गुणक व्युत्क्रम वाला कोई भी तत्व है। अपनी परिभाषा के अनुसार, एकता अपने आप में अनिवार्य रूप से एक इकाई है।<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|pp=198,266}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1964|p=106}}</ref>
+जोड़ के संबंध में सर्वसमिका को {{visible anchor|योगात्मक सर्वसमिका}} (प्रायः 0 के रूप में दर्शाया जाता है) और गुणन के संबंध में सर्वसमिका को {{visible anchor|गुणक सर्वसमिका}}(प्रायः 1 के रूप में दर्शाया जाता है) कहा जाता है।<ref name=":0" /> इन्हें सामान्य जोड़ और गुणा करने की आवश्यकता नहीं है - क्योंकि अंतर्निहित संचालन स्वचालित हो सकता है। उदाहरण के लिए एक समूह के स्थितियों में, सर्वसमिका अवयव को कभी-कभी मात्र प्रतीक <math>e</math> द्वारा निरूपित किया जाता है। योज्य और गुणक सर्वसमिका के बीच अंतर का उपयोग प्रायः उन समुच्चयों के लिए किया जाता है जो दोनों द्विआधारी संचालन जैसे कि वलयों, [[अभिन्न डोमेन|अभिन्न डोमेन्स]] और क्षेत्रों का समर्थन करते हैं। बाद के संदर्भ में गुणात्मक सर्वसमिका को प्रायः {{visible anchor|एकत्व}}(एकता के साथ एक वलय ) कहा जाता है ।<ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=135}}</ref><ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=198}}</ref><ref>{{harvtxt|McCoy|1973|p=22}}</ref> इसे वलय सिद्धांत में एक इकाई के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो कि गुणक व्युत्क्रम वाला कोई भी तत्व हो सकता है। अपनी परिभाषा के अनुसार, एकता({{visible anchor|एकत्व}}) स्वयं में अनिवार्य रूप से इकाई है।<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|pp=198,266}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1964|p=106}}</ref>
 == उदाहरण ==
 {| class="wikitable"
-! Set !! Operation !! Identity
+! समूह !! संचालन !! सर्वसमिका
 |-
-| [[Real number]]s || + ([[addition]]) || [[0 (number)|0]]
+| [[Real number|वास्तविक संख्याएँ]] || + ([[addition|जोड़]]) || [[0 (number)|0]]
 |-
-| Real numbers || · ([[multiplication]]) || [[1 (number)|1]]
+| वास्तविक संख्याएँ || - ([[multiplication|घटाव]]) || [[1 (number)|1]]
 |-
-|[[Complex number|Complex numbers]]
+|[[Complex number|मिश्रित संख्याएँ]]
-| + (addition)
+| + (जोड़)
 | 0
 |-
-|Complex numbers
+|मिश्रित संख्याएँ
-|· (multiplication)
+|* (गुणा)
 | 1
 |-
-| [[Positive integer]]s || [[Least common multiple]] || 1
+| [[Positive integer|धनात्मक पूर्णांक]] || [[Least common multiple|न्यूनतम समापवर्तक]] || 1
 |-
-| [[Non-negative integer]]s || [[Greatest common divisor]] || 0 (under most definitions of GCD)
+| [[Non-negative integer|गैर-ऋणात्मक पूर्णांक]] || [[Greatest common divisor|महत्तम सामान्य भाजक]] || 0 (जीसीडी की अधिकांश परिभाषाओं के अनुसार)
 |-
-| [[Vector (mathematics and physics)|Vectors]] || [[Vector addition]]
+| [[Vector (mathematics and physics)|सदिश]] || [[Vector addition|सदिश]] [[Vector addition|जोड़]]
-| [[Zero vector]]
+| [[Zero vector|जीरो]] [[Vector (mathematics and physics)|सदिश]]
 |-
 <!-- ||' ''R'''<sup>''n''</sup> || · (multiplication) || [[1 (number)|1]] -->
-| {{mvar|m}}-by-{{mvar|n}} [[matrix (mathematics)|matrices]] || [[Matrix addition]]
+| {{mvar|m}}-by-{{mvar|n}} [[matrix (mathematics)|आव्युह]] || [[Matrix addition|आव्युह जोड़]]
-| [[Zero matrix]]
+| [[Zero vector|जीरो]] आव्युह
 |-
-| {{mvar|n}}-by-{{mvar|n}} square matrices || [[Matrix multiplication]]
+| {{mvar|n}}-by-{{mvar|n}} वर्ग आव्युह || [[Matrix multiplication|आव्युह गुणा]]
-| ''I''<sub>''n''</sub> ([[identity matrix]])
+| ''I''<sub>''n''</sub> ([[identity matrix|सर्वसमिका आव्युह]])
 |-
-| {{mvar|m}}-by-{{mvar|n}} matrices || ○ ([[Hadamard product (matrices)|Hadamard product]])
+| {{mvar|m}}-by-{{mvar|n}} आव्युह || ○ ([[Hadamard product (matrices)|हैडमार्ड उत्पाद]])
-| {{math|''J''<sub>''m'', ''n''</sub>}} ([[matrix of ones]])
+| {{math|''J''<sub>''m'', ''n''</sub>}} ([[matrix of ones|लोगों का आव्युह]])
 |-
-| All [[function (mathematics)|functions]] from a set,&nbsp;{{mvar|M}}, to itself || ∘ ([[function composition]]) || [[Identity function]]
+| एक समुच्चय M से स्वयं तक सभी [[function composition|प्रकार्य]] || ∘ ([[function composition|प्रकार्य संघटन]]) || [[Identity function|सर्वसमिका प्रकार्य]]
 |-
-| All [[distribution (mathematics)|distributions]] on a [[group (mathematics)|group]],&nbsp;{{mvar|G}}<!-- a crap refurbished --> || ∗ ([[convolution]]) || {{math|''δ''}} ([[Dirac delta]])
+| [[convolution|समूह]] पर सभी [[Identity function|वितरण]], G || ∗ [[convolution|सवलन]](कनवल्शन) || {{math|''δ''}} ([[Dirac delta|डायराक डेल्टा]])
 |-
-| [[Extended real number]]s || [[Minimum]]/infimum || +∞
+| [[Extended real number|विस्तारित वास्तविक संख्याएँ]] || [[Dirac delta|न्यूनतम]]/अनंत || +∞
 |-
-| Extended real numbers || [[Maximum]]/supremum || −∞
+| विस्तारित वास्तविक संख्याएँ || [[Dirac delta|अधिकतम]]/सर्वोच्च || −∞
 |-
-| Subsets of a [[Set (mathematics)|set]]&nbsp;{{mvar|M}} || ∩ ([[set intersection|intersection]]) || {{mvar|M}}
+| [[Identity function|समुच्चय]] M के उपसमुच्चय || ∩ ([[set intersection|प्रतिच्छेदन]]) || {{mvar|M}}
 |-
-| Sets || ∪ ([[set union|union]]) || ∅ ([[empty set]])
+| [[Identity function|समुच्चय]]|| ∪ ([[set union|संघ]]) || ∅ ([[empty set|रिक्त समुच्चय]])
+|
 |-
-| [[string (computer science)|Strings]], [[tuple|lists]] || [[Concatenation]] || [[Empty string]], empty list
+| [[string (computer science)|स्ट्रिंग्स]], [[tuple|सूचियाँ]] || [[Concatenation|संयोजन]] || [[Empty string|रिक्त]] [[string (computer science)|स्ट्रिंग]], [[Empty string|रिक्त]] [[tuple|सूची]]
 |-
-| A [[Boolean algebra (structure)|Boolean algebra]] || ∧ ([[logical and]]) || ⊤ (truth)
+| [[Boolean algebra (structure)|बूलियन बीजगणित]]|| ∧ ([[logical and|तार्किक और]]) || ⊤ (सत्य)
 |-
-| A Boolean algebra || ↔ ([[logical biconditional]]) || ⊤ (truth)
+| बूलियन बीजगणित || ↔ ([[logical biconditional|तार्किक द्विप्रतिबंध]]) || ⊤ (सत्य)
 |-
-| A Boolean algebra || ∨ ([[logical or]]) || ⊥ (falsity)
+| बूलियन बीजगणित || ∨ ([[logical or|तार्किक अथवा]]) || ⊥ (असत्यता)
 |-
-| A Boolean algebra || ⊕ ([[exclusive or]]) || ⊥ (falsity)
+| बूलियन बीजगणित || ⊕ ([[exclusive or|विशिष्ट अथवा]]) || ⊥ (असत्यता)
 |-
-| [[knot (mathematics)|Knots]] || [[Knot sum]] || [[Unknot]]
+| [[knot (mathematics)|गांठें]] || [[exclusive or|गांठों का योग]]|| [[Unknot|बिना गाँठ]]
 |-
-| [[Compact surfaces]] || # ([[connected sum]]) || [[sphere|''S''<sup>2</sup>]]
+| [[Compact surfaces|सघन सतहें]] || # ([[Knot sum|जुड़ा हुआ योग]]) || [[sphere|''S''<sup>2</sup>]]
 |-
-| [[Group (mathematics)|Groups]] || [[Direct product]] || [[Trivial group]]
+| [[Group (mathematics)|समूह]] || [[Direct product|प्रत्यक्ष उत्पाद]] || [[Trivial group|तुच्छ समूह]]
 |-
-| Two elements, {{math|{''e'', ''f''} }}
+| दो तत्व, {{math|{''e'', ''f''} }}
-| ∗ defined by<br> {{math|1=''e'' ∗ ''e'' = ''f'' ∗ ''e'' = ''e''}} and <br> {{math|1=''f'' ∗ ''f'' = ''e'' ∗ ''f'' = ''f''}}
+| {{math|1=''e'' ∗ ''e'' = ''f'' ∗ ''e'' = ''e''}} और <br> {{math|1=''f'' ∗ ''f'' = ''e'' ∗ ''f'' = ''f''}}
-| Both {{mvar|e}} and {{mvar|f}} are left identities,<br> but there is no right identity<br> and no two-sided identity
+द्वारा परिभाषित
+| {{mvar|e}} और {{mvar|f}} दोनों वामपंथी सर्वसमिका हैं,
+लेकिन कोई दक्षिणपंथी सर्वसमिका नहीं है
+और कोई दो पक्षीय सर्वसमिका नहीं
 |-
-| [[Homogeneous relation]]s on a set ''X'' || [[Relative product]] || [[Identity relation]]
+| समुच्चय ''X'' पर [[Homogeneous relation|''सजातीय संबंध'']] || [[Relative product|सापेक्ष उत्पाद]] || [[Identity relation|सर्वसमिका संबंध]]
 |}
 == गुण ==
-उदाहरण में S = {e, f} दी गई समानता के साथ, S एक अर्धसमूह है। की संभावना को प्रदर्शित करता है {{math|(''S'', ∗)}} कई वामपंथी पहचान रखने के लिए। वास्तव में, प्रत्येक तत्व एक वामपंथी पहचान हो सकता है। इसी तरह, कई सही पहचान हो सकती हैं। लेकिन अगर सही पहचान और बाईं पहचान दोनों हैं, तो उन्हें समान होना चाहिए, जिसके परिणामस्वरूप एक दो-तरफा पहचान होती है।
+उदाहरण में S = {e, f} दी गई समानता के साथ, S अर्धसमूह है। यह {{math|(''S'', ∗)}} के लिए कई वामपंथी सर्वसमिका होने की संभावना को प्रदर्शित करता है। वास्तव में, प्रत्येक तत्व वामपंथी सर्वसमिका हो सकता है। इसी प्रकार, कई दक्षिणपंथी सर्वसमिका भी हो सकती हैं। किंतु अगर दक्षिणपंथी सर्वसमिका और वामपंथी सर्वसमिका दोनों हैं, तो उन्हें समान होना चाहिए, जिसके परिणामस्वरूप एकल द्वि पक्षीय सर्वसमिका प्रस्तुत होती है।
-इसे देखने के लिए ध्यान दें कि अगर {{mvar|l}} एक वाम पहचान है और {{mvar|r}} एक सही पहचान है, फिर {{math|1=''l'' = ''l'' ∗ ''r'' = ''r''}}. विशेष रूप से, एक से अधिक दो तरफा पहचान कभी नहीं हो सकती है: यदि दो थे, तो कहें {{mvar|e}} तथा {{mvar|f}}, फिर {{math|''e'' ∗ ''f''}} दोनों के बराबर होना होगा {{mvar|e}} तथा {{mvar|f}}.
+इसे देखने के लिए ध्यान दें कि अगर {{mvar|l}} वामपंथी सर्वसमिका है और {{mvar|r}} दक्षिणपंथी सर्वसमिका है, फिर {{math|1=''l'' = ''l'' ∗ ''r'' = ''r''}} होता है। विशेष रूप से, एक से अधिक द्विपक्षीय सर्वसमिका कभी नहीं हो सकती है: मान लीजिए यदि ये दो थे, तो इन्हें {{mvar|e}} तथा {{mvar|f}} कहें, फिर दोनों {{mvar|e}} तथा {{mvar|f}} , {{math|''e'' ∗ ''f''}} के बराबर होना होगा।
-के लिए भी काफी संभव है {{math|(''S'', ∗)}} कोई पहचान तत्व नहीं होने के लिए,<ref>{{harvtxt|McCoy|1973|p=22}}</ref> जैसे गुणन संक्रिया के अंतर्गत सम पूर्णांकों की स्थिति।<ref name=":0" />एक अन्य सामान्य उदाहरण [[यूक्लिडियन वेक्टर]] का क्रॉस उत्पाद है, जहां एक पहचान तत्व की अनुपस्थिति इस तथ्य से संबंधित है कि किसी भी गैर-शून्य क्रॉस उत्पाद की [[दिशा (ज्यामिति)]] हमेशा किसी भी तत्व के गुणन के लिए [[ओर्थोगोनल]] होती है। यही है, मूल के समान दिशा में गैर-शून्य वेक्टर प्राप्त करना संभव नहीं है। फिर भी पहचान तत्व के बिना संरचना का एक और उदाहरण [[सकारात्मक संख्या]] [[प्राकृतिक संख्या]]ओं के योगात्मक अर्धसमूह को शामिल करता है।
+यह भी अधिक संभव है कि {{math|(''S'', ∗)}} में कोई सर्वसमिका तत्व न हो<ref>{{harvtxt|McCoy|1973|p=22}}</ref> जैसे गुणन संक्रिया के अंतर्गत सम पूर्णांकों की स्थिति होती है।<ref name=":0" /> एक अन्य सामान्य उदाहरण [[यूक्लिडियन वेक्टर|यूक्लिडियन सदिश]] का क्रॉस उत्पाद है, जहां सर्वसमिका अवयव की अनुपस्थिति इस तथ्य से संबंधित है कि किसी भी गैर-शून्य क्रॉस उत्पाद की [[दिशा (ज्यामिति)|दिशा]] सदैव किसी भी तत्व के गुणन के लिए [[ओर्थोगोनल|ओर्थोगोनल(लंबकोणीय)]] होती है। अर्थात वास्तविक दिशा के समान दिशा में गैर-शून्य सदिश(वैक्टर) प्राप्त करना संभव नहीं है। फिर भी सर्वसमिका(समरूपता) अवयव के बिना संरचना का एक और उदाहरण [[सकारात्मक संख्या|सकारात्मक प्राकृतिक संख्याओं]] के योगात्मक अर्धसमूह को सम्मिलित करता है।
 == यह भी देखें ==
-* [[शोषक तत्व]]
+* [[शोषक तत्व|अवशोषित तत्व]]
-* [[योगज प्रतिलोम]]
+* [[योगज प्रतिलोम|योगज(योगात्मक) प्रतिलोम]]
-* [[सामान्यीकृत उलटा]]
+* [[सामान्यीकृत उलटा|सामान्यीकृत प्रतिलोम]]
-* [[पहचान (गणित)]] | पहचान (समीकरण)
+* [[सामान्यीकृत उलटा|सर्वसमिका(समीकरण)]]
-* [[पहचान समारोह]]
+* [[पहचान समारोह|सर्वसमिका प्रकार्य]]
-* [[उलटा तत्व]]
+* [[उलटा तत्व|प्रतिलोम तत्व]]
 * [[मोनोइड]]
-* छद्म-अंगूठी #पहचान से कमजोर गुण|छद्म-अंगूठी
+* [[मोनोइड|छद्म-वलय]]
-* [[quasigroup]]
+* [[quasigroup|अर्धसमूह(क्वासीग्रुप]])
-* [[यूनिटल (बहुविकल्पी)]]
+* यूनिटल (असंबद्धता)
 == नोट्स और संदर्भ ==
 {{reflist}}
 ==ग्रन्थसूची==
@@ Line 107: / Line 107: @@
 * {{ citation | last1 = Herstein | first1 = I. N. |authorlink = I. N. Herstein| title = Topics In Algebra | location = Waltham | publisher = [[Blaisdell Publishing Company]] | year = 1964 | isbn = 978-1114541016 }}
 * {{ citation | last1 = McCoy | first1 = Neal H. | title = Introduction To Modern Algebra, Revised Edition | location = Boston | publisher = [[Allyn and Bacon]] | year = 1973 | lccn = 68015225 }}
-==इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची==
-*अंक शास्त्र
-*अंगूठी (गणित)
-*क्षेत्र (गणित)
-*इकाई (अंगूठी सिद्धांत)
-*गुणात्मक प्रतिलोम
-*semigroup
-*पार उत्पाद
 ==अग्रिम पठन==
 * M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, ''Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs'', De Gruyter Expositions in Mathematics vol.&nbsp;29, Walter de Gruyter, 2000, {{ISBN|3-11-015248-7}}, p.&nbsp;14–15
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