समरूपता अवयव: Difference between revisions
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गणित में, एक समुच्चय पर संचालित [[बाइनरी ऑपरेशन|द्विआधारी ऑपरेशन (द्विआधारी संचालन)]] | गणित में, एक समुच्चय पर संचालित [[बाइनरी ऑपरेशन|द्विआधारी ऑपरेशन (द्विआधारी संचालन)]] का सर्वसमिका अवयव, या तटस्थ तत्व, समुच्चय का तत्व है जो संचालन प्रयुक्त होने पर समुच्चय के प्रत्येक तत्व को अपरिवर्तित छोड़ देता है।<ref>{{Cite web |url = http://mathworld.wolfram.com/IdentityElement.html |title = पहचान तत्व|last = Weisstein |first = Eric W. |authorlink = Eric W. Weisstein|website = mathworld.wolfram.com |language = en |access-date = 2019-12-01 }}</ref><ref>{{Cite web |url = https://www.merriam-webster.com/dictionary/identity+element |title = पहचान तत्व की परिभाषा|website = www.merriam-webster.com |access-date = 2019-12-01 }}</ref> इस अवधारणा का उपयोग [[बीजगणितीय संरचना|बीजगणितीय संरचनाओं]] जैसे कि [[समूह (गणित)|समूहों]] और वलयों में किया जाता है। सर्वसमिका(पहचान) तत्व शब्द को प्रायः सर्वसमिका के लिए छोटा किया जाता है (जैसा कि योगात्मक सर्वसमिका और गुणक सर्वसमिका की स्थितियों में)<ref name=":0">{{Cite web |url = https://www.encyclopedia.com/science/encyclopedias-almanacs-transcripts-and-maps/identity-element |title = पहचान तत्व|website = www.encyclopedia.com |access-date = 2019-12-01}}</ref> जब भ्रम की कोई संभावना नहीं होती है, किंतु सर्वसमिका अंतर्निहित रूप से उस द्विआधारी संचालन पर निर्भर करती है जिससे यह जुड़ा हुआ है। | ||
== परिभाषाएँ == | == परिभाषाएँ == | ||
मान लीजिए (S, ∗) एक समुच्चय S है जिसमें एक बाइनरी संचालन ∗ है। | मान लीजिए (S, ∗) एक समुच्चय S है जिसमें एक बाइनरी संचालन ∗ है। {{mvar|S}} में सभी {{mvar|s}} के लिए यदि '''{{math|1=''e'' ∗ ''s'' = ''s''}}''' फिर {{mvar|S}} के तत्व {{mvar|e}} को {{visible anchor|left identity element|text='''[[left and right (algebra)|left]] identity'''}} और {{mvar|S}} में सभी {{mvar|s}} के लिए यदि {{math|1=''s'' ∗ ''e'' = ''s''}} को {{visible anchor|दायें सर्वसमिका तत्व|text='''[[left and right (algebra)|right]] identity'''}} कहा जाता है।<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=21}}</ref> यदि {{mvar|e}} वामपंथी सर्वसमिका और दक्षिणपंथी सर्वसमिका दोनों है, तो इसे {{visible anchor|द्विपक्षीय सर्वसमिका}} कहा जाता है , अथवा यह मात्र {{visible anchor|सर्वसमिका}} होती है।<ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=96}}</ref><ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=18}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1964|p=26}}</ref><ref>{{harvtxt|McCoy|1973|p=17}}</ref><ref>{{Cite web|url=https://brilliant.org/wiki/identity-element/|title=पहचान तत्व {{!}} शानदार गणित और विज्ञान विकी|website=brilliant.org|language=en-us|access-date=2019-12-01}}</ref> | ||
जोड़ के संबंध में | जोड़ के संबंध में सर्वसमिका को {{visible anchor|योगात्मक सर्वसमिका}} (प्रायः 0 के रूप में दर्शाया जाता है) और गुणन के संबंध में सर्वसमिका को {{visible anchor|गुणक सर्वसमिका}}(प्रायः 1 के रूप में दर्शाया जाता है) कहा जाता है।<ref name=":0" /> इन्हें सामान्य जोड़ और गुणा करने की आवश्यकता नहीं है - क्योंकि अंतर्निहित संचालन स्वचालित हो सकता है। उदाहरण के लिए एक समूह के स्थितियों में, सर्वसमिका अवयव को कभी-कभी मात्र प्रतीक <math>e</math> द्वारा निरूपित किया जाता है। योज्य और गुणक सर्वसमिका के बीच अंतर का उपयोग प्रायः उन समुच्चयों के लिए किया जाता है जो दोनों द्विआधारी संचालन जैसे कि वलयों, [[अभिन्न डोमेन|अभिन्न डोमेन्स]] और क्षेत्रों का समर्थन करते हैं। बाद के संदर्भ में गुणात्मक सर्वसमिका को प्रायः {{visible anchor|एकत्व}}(एकता के साथ एक वलय ) कहा जाता है ।<ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=135}}</ref><ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|p=198}}</ref><ref>{{harvtxt|McCoy|1973|p=22}}</ref> इसे वलय सिद्धांत में एक इकाई के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो कि गुणक व्युत्क्रम वाला कोई भी तत्व हो सकता है। अपनी परिभाषा के अनुसार, एकता({{visible anchor|एकत्व}}) स्वयं में अनिवार्य रूप से इकाई है।<ref>{{harvtxt|Fraleigh|1976|pp=198,266}}</ref><ref>{{harvtxt|Herstein|1964|p=106}}</ref> | ||
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उदाहरण में S = {e, f} दी गई समानता के साथ, S | उदाहरण में S = {e, f} दी गई समानता के साथ, S अर्धसमूह है। यह {{math|(''S'', ∗)}} के लिए कई वामपंथी सर्वसमिका होने की संभावना को प्रदर्शित करता है। वास्तव में, प्रत्येक तत्व वामपंथी सर्वसमिका हो सकता है। इसी प्रकार, कई दक्षिणपंथी सर्वसमिका भी हो सकती हैं। किंतु अगर दक्षिणपंथी सर्वसमिका और वामपंथी सर्वसमिका दोनों हैं, तो उन्हें समान होना चाहिए, जिसके परिणामस्वरूप एकल द्वि पक्षीय सर्वसमिका प्रस्तुत होती है। | ||
इसे देखने के लिए ध्यान दें कि अगर {{mvar|l}} | इसे देखने के लिए ध्यान दें कि अगर {{mvar|l}} वामपंथी सर्वसमिका है और {{mvar|r}} दक्षिणपंथी सर्वसमिका है, फिर {{math|1=''l'' = ''l'' ∗ ''r'' = ''r''}} होता है। विशेष रूप से, एक से अधिक द्विपक्षीय सर्वसमिका कभी नहीं हो सकती है: मान लीजिए यदि ये दो थे, तो इन्हें {{mvar|e}} तथा {{mvar|f}} कहें, फिर दोनों {{mvar|e}} तथा {{mvar|f}} , {{math|''e'' ∗ ''f''}} के बराबर होना होगा। | ||
यह भी अधिक संभव है कि {{math|(''S'', ∗)}} में कोई सर्वसमिका तत्व न हो<ref>{{harvtxt|McCoy|1973|p=22}}</ref> जैसे गुणन संक्रिया के अंतर्गत सम पूर्णांकों की स्थिति होती है।<ref name=":0" /> एक अन्य सामान्य उदाहरण [[यूक्लिडियन वेक्टर|यूक्लिडियन सदिश]] का क्रॉस उत्पाद है, जहां सर्वसमिका अवयव की अनुपस्थिति इस तथ्य से संबंधित है कि किसी भी गैर-शून्य क्रॉस उत्पाद की [[दिशा (ज्यामिति)|दिशा]] सदैव किसी भी तत्व के गुणन के लिए [[ओर्थोगोनल|ओर्थोगोनल(लंबकोणीय)]] होती है। अर्थात वास्तविक दिशा के समान दिशा में गैर-शून्य सदिश(वैक्टर) प्राप्त करना संभव नहीं है। फिर भी सर्वसमिका(समरूपता) अवयव के बिना संरचना का एक और उदाहरण [[सकारात्मक संख्या|सकारात्मक प्राकृतिक संख्याओं]] के योगात्मक अर्धसमूह को सम्मिलित करता है। | |||
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* M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, ''Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs'', De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, {{ISBN|3-11-015248-7}}, p. 14–15 | * M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, ''Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs'', De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, {{ISBN|3-11-015248-7}}, p. 14–15 | ||
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Latest revision as of 11:20, 10 March 2023
गणित में, एक समुच्चय पर संचालित द्विआधारी ऑपरेशन (द्विआधारी संचालन) का सर्वसमिका अवयव, या तटस्थ तत्व, समुच्चय का तत्व है जो संचालन प्रयुक्त होने पर समुच्चय के प्रत्येक तत्व को अपरिवर्तित छोड़ देता है।[1][2] इस अवधारणा का उपयोग बीजगणितीय संरचनाओं जैसे कि समूहों और वलयों में किया जाता है। सर्वसमिका(पहचान) तत्व शब्द को प्रायः सर्वसमिका के लिए छोटा किया जाता है (जैसा कि योगात्मक सर्वसमिका और गुणक सर्वसमिका की स्थितियों में)[3] जब भ्रम की कोई संभावना नहीं होती है, किंतु सर्वसमिका अंतर्निहित रूप से उस द्विआधारी संचालन पर निर्भर करती है जिससे यह जुड़ा हुआ है।
परिभाषाएँ
मान लीजिए (S, ∗) एक समुच्चय S है जिसमें एक बाइनरी संचालन ∗ है। S में सभी s के लिए यदि e ∗ s = s फिर S के तत्व e को left identity और S में सभी s के लिए यदि s ∗ e = s को right identity कहा जाता है।[4] यदि e वामपंथी सर्वसमिका और दक्षिणपंथी सर्वसमिका दोनों है, तो इसे द्विपक्षीय सर्वसमिका कहा जाता है , अथवा यह मात्र सर्वसमिका होती है।[5][6][7][8][9]
जोड़ के संबंध में सर्वसमिका को योगात्मक सर्वसमिका (प्रायः 0 के रूप में दर्शाया जाता है) और गुणन के संबंध में सर्वसमिका को गुणक सर्वसमिका(प्रायः 1 के रूप में दर्शाया जाता है) कहा जाता है।[3] इन्हें सामान्य जोड़ और गुणा करने की आवश्यकता नहीं है - क्योंकि अंतर्निहित संचालन स्वचालित हो सकता है। उदाहरण के लिए एक समूह के स्थितियों में, सर्वसमिका अवयव को कभी-कभी मात्र प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है। योज्य और गुणक सर्वसमिका के बीच अंतर का उपयोग प्रायः उन समुच्चयों के लिए किया जाता है जो दोनों द्विआधारी संचालन जैसे कि वलयों, अभिन्न डोमेन्स और क्षेत्रों का समर्थन करते हैं। बाद के संदर्भ में गुणात्मक सर्वसमिका को प्रायः एकत्व(एकता के साथ एक वलय ) कहा जाता है ।[10][11][12] इसे वलय सिद्धांत में एक इकाई के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो कि गुणक व्युत्क्रम वाला कोई भी तत्व हो सकता है। अपनी परिभाषा के अनुसार, एकता(एकत्व) स्वयं में अनिवार्य रूप से इकाई है।[13][14]
उदाहरण
| समूह | संचालन | सर्वसमिका | |
|---|---|---|---|
| वास्तविक संख्याएँ | + (जोड़) | 0 | |
| वास्तविक संख्याएँ | - (घटाव) | 1 | |
| मिश्रित संख्याएँ | + (जोड़) | 0 | |
| मिश्रित संख्याएँ | * (गुणा) | 1 | |
| धनात्मक पूर्णांक | न्यूनतम समापवर्तक | 1 | |
| गैर-ऋणात्मक पूर्णांक | महत्तम सामान्य भाजक | 0 (जीसीडी की अधिकांश परिभाषाओं के अनुसार) | |
| सदिश | सदिश जोड़ | जीरो सदिश | |
| m-by-n आव्युह | आव्युह जोड़ | जीरो आव्युह | |
| n-by-n वर्ग आव्युह | आव्युह गुणा | In (सर्वसमिका आव्युह) | |
| m-by-n आव्युह | ○ (हैडमार्ड उत्पाद) | Jm, n (लोगों का आव्युह) | |
| एक समुच्चय M से स्वयं तक सभी प्रकार्य | ∘ (प्रकार्य संघटन) | सर्वसमिका प्रकार्य | |
| समूह पर सभी वितरण, G | ∗ सवलन(कनवल्शन) | δ (डायराक डेल्टा) | |
| विस्तारित वास्तविक संख्याएँ | न्यूनतम/अनंत | +∞ | |
| विस्तारित वास्तविक संख्याएँ | अधिकतम/सर्वोच्च | −∞ | |
| समुच्चय M के उपसमुच्चय | ∩ (प्रतिच्छेदन) | M | |
| समुच्चय | ∪ (संघ) | ∅ (रिक्त समुच्चय) | |
| स्ट्रिंग्स, सूचियाँ | संयोजन | रिक्त स्ट्रिंग, रिक्त सूची | |
| बूलियन बीजगणित | ∧ (तार्किक और) | ⊤ (सत्य) | |
| बूलियन बीजगणित | ↔ (तार्किक द्विप्रतिबंध) | ⊤ (सत्य) | |
| बूलियन बीजगणित | ∨ (तार्किक अथवा) | ⊥ (असत्यता) | |
| बूलियन बीजगणित | ⊕ (विशिष्ट अथवा) | ⊥ (असत्यता) | |
| गांठें | गांठों का योग | बिना गाँठ | |
| सघन सतहें | # (जुड़ा हुआ योग) | S2 | |
| समूह | प्रत्यक्ष उत्पाद | तुच्छ समूह | |
| दो तत्व, {e, f} | e ∗ e = f ∗ e = e और f ∗ f = e ∗ f = f द्वारा परिभाषित |
e और f दोनों वामपंथी सर्वसमिका हैं,
लेकिन कोई दक्षिणपंथी सर्वसमिका नहीं है और कोई दो पक्षीय सर्वसमिका नहीं | |
| समुच्चय X पर सजातीय संबंध | सापेक्ष उत्पाद | सर्वसमिका संबंध |
गुण
उदाहरण में S = {e, f} दी गई समानता के साथ, S अर्धसमूह है। यह (S, ∗) के लिए कई वामपंथी सर्वसमिका होने की संभावना को प्रदर्शित करता है। वास्तव में, प्रत्येक तत्व वामपंथी सर्वसमिका हो सकता है। इसी प्रकार, कई दक्षिणपंथी सर्वसमिका भी हो सकती हैं। किंतु अगर दक्षिणपंथी सर्वसमिका और वामपंथी सर्वसमिका दोनों हैं, तो उन्हें समान होना चाहिए, जिसके परिणामस्वरूप एकल द्वि पक्षीय सर्वसमिका प्रस्तुत होती है।
इसे देखने के लिए ध्यान दें कि अगर l वामपंथी सर्वसमिका है और r दक्षिणपंथी सर्वसमिका है, फिर l = l ∗ r = r होता है। विशेष रूप से, एक से अधिक द्विपक्षीय सर्वसमिका कभी नहीं हो सकती है: मान लीजिए यदि ये दो थे, तो इन्हें e तथा f कहें, फिर दोनों e तथा f , e ∗ f के बराबर होना होगा।
यह भी अधिक संभव है कि (S, ∗) में कोई सर्वसमिका तत्व न हो[15] जैसे गुणन संक्रिया के अंतर्गत सम पूर्णांकों की स्थिति होती है।[3] एक अन्य सामान्य उदाहरण यूक्लिडियन सदिश का क्रॉस उत्पाद है, जहां सर्वसमिका अवयव की अनुपस्थिति इस तथ्य से संबंधित है कि किसी भी गैर-शून्य क्रॉस उत्पाद की दिशा सदैव किसी भी तत्व के गुणन के लिए ओर्थोगोनल(लंबकोणीय) होती है। अर्थात वास्तविक दिशा के समान दिशा में गैर-शून्य सदिश(वैक्टर) प्राप्त करना संभव नहीं है। फिर भी सर्वसमिका(समरूपता) अवयव के बिना संरचना का एक और उदाहरण सकारात्मक प्राकृतिक संख्याओं के योगात्मक अर्धसमूह को सम्मिलित करता है।
यह भी देखें
- अवशोषित तत्व
- योगज(योगात्मक) प्रतिलोम
- सामान्यीकृत प्रतिलोम
- सर्वसमिका(समीकरण)
- सर्वसमिका प्रकार्य
- प्रतिलोम तत्व
- मोनोइड
- छद्म-वलय
- अर्धसमूह(क्वासीग्रुप)
- यूनिटल (असंबद्धता)
नोट्स और संदर्भ
- ↑ Weisstein, Eric W. "पहचान तत्व". mathworld.wolfram.com (in English). Retrieved 2019-12-01.
- ↑ "पहचान तत्व की परिभाषा". www.merriam-webster.com. Retrieved 2019-12-01.
- ↑ 3.0 3.1 3.2 "पहचान तत्व". www.encyclopedia.com. Retrieved 2019-12-01.
- ↑ Fraleigh (1976, p. 21)
- ↑ Beauregard & Fraleigh (1973, p. 96)
- ↑ Fraleigh (1976, p. 18)
- ↑ Herstein (1964, p. 26)
- ↑ McCoy (1973, p. 17)
- ↑ "पहचान तत्व | शानदार गणित और विज्ञान विकी". brilliant.org (in English). Retrieved 2019-12-01.
- ↑ Beauregard & Fraleigh (1973, p. 135)
- ↑ Fraleigh (1976, p. 198)
- ↑ McCoy (1973, p. 22)
- ↑ Fraleigh (1976, pp. 198, 266)
- ↑ Herstein (1964, p. 106)
- ↑ McCoy (1973, p. 22)
ग्रन्थसूची
- Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields, Boston: Houghton Mifflin Company, ISBN 0-395-14017-X
- Fraleigh, John B. (1976), A First Course In Abstract Algebra (2nd ed.), Reading: Addison-Wesley, ISBN 0-201-01984-1
- Herstein, I. N. (1964), Topics In Algebra, Waltham: Blaisdell Publishing Company, ISBN 978-1114541016
- McCoy, Neal H. (1973), Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, LCCN 68015225
अग्रिम पठन
- M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7, p. 14–15
