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Latest revision as of 11:03, 10 March 2023

गणित में, विशेष रूप से समरूपता सिद्धांत में, सतत मानचित्रण है-

i:A\to X

,

जहाँ $A$ और $X$ टोपोलॉजिकल स्पेस हैं, यदि कोफिब्रेशन मानचित्रण की होमोटॉपी कक्षाऐ प्रदान करता है तब $[A,S]$ मानचित्रण की होमोटॉपी की कक्षाओं को विस्तारित किया जा सकता है। जब $[X,S]$ कोई मानचित्रण $f\in {\text{Hom}}_{\textbf {Top}}(A,S)$ द्वारा विस्तारित किया जा सकता है। यदि $f'\in {\text{Hom}}_{\textbf {Top}}(X,S)$ जहाँ $f'\circ i=f$ , इसलिए उनके संबद्ध होमोटोपी $[f]=[f'\circ i]$ वर्ग समान हैं।

इस प्रकार की संरचना को सभी स्थानों के संबंध में होमोटॉपी एक्सटेंशन संपत्ति होने की तकनीकी स्थिति के साथ $S$ को एन्कोड किया जा सकता है। यह परिभाषा कंपन की दोहरी है, जो सभी रिक्त स्थान के संबंध में होमोटॉपी की संपत्ति को संतुष्ट करने के लिए आवश्यक है। इस द्वैत को अनौपचारिक रूप से एकमैन-हिल्टन द्वैत कहा जाता है। सामान्यता के कारण यह तकनीकी स्थिति है, इसका उपयोग मॉडल श्रेणी में किया जा सकता है।

परिभाषा

होमोटॉपी सिद्धांत

निम्नलिखित में, $I=[0,1]$ को इकाई अंतराल में निरूपित किया गया है।

मानचित्रण के टोपोलॉजिकल स्पेस $i\colon A\to X$ को कोफिब्रेशन कहा जाता है^[1]यदि किसी मानचित्र के लिए $f:A\to S$ का विस्तार $X$ है, मानचित्रण $f':X\to S$ है। मानचित्रण $f'\circ i=f$ , द्वारा समरूपता का विस्तार कर सकते हैं। $H:A\times I\to S$ मानचित्रों की समरूपता के लिए $H':X\times I\to S$ , जहां

${\begin{aligned}H(a,0)&=f(a)\\H'(x,0)&=f'(x)\end{aligned}}$

हम निम्नलिखित क्रमविनिमेय आरेख में इस स्थिति को सांकेतिक शब्दों में परिवर्तित कर सकते है।

जहाँ $S^{I}={\text{Hom}}_{\textbf {Top}}(I,S)$ का पाथ स्पेस कंपन $S$ है।

कोफ़िब्रेंट ऑब्जेक्ट

मॉडल श्रेणी के लिए ${\mathcal {M}}$ , जैसे पॉइंटेड टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए, ऑब्जेक्ट $X$ को कोफाइब्रेंट कहा जाता है। यदि मानचित्रण $*\to X$ कोफिब्रेशन है। ध्यान दें कि पॉइंटेड टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी में, कोफिब्रेशन की धारणा पूर्व परिभाषा के साथ युग्मित होती है, यह मानते हुए कि मानचित्र टोपोलॉजिकल स्पेस हैं।

उदाहरण

टोपोलॉजी में

कम्प्यूटेशनल परिप्रेक्ष्य से कोफिब्रेशन मानचित्र का विचित्र वर्ग है क्योंकि उन्हें औपचारिक तकनीकी उपकरण के रूप में अधिक सरलता से देखा जाता है जो किसी टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के साथ होमोटोपी सैद्धांतिक निर्माण करने में सक्षम बनाता है। सौभाग्य से, किसी भी मानचित्र के लिए-

f:X\to Y

टोपोलॉजिकल स्पेस में कॉफिब्रेशन जुड़ा होता है, $Mf$ को मैपिंग सिलेंडर कहा जाता है (जहाँ $Y$ विरूपण वापसी है, इसलिए होमोटोपी इसके समतुल्य है) जिसमें प्रेरित कोफिब्रेशन होता है जिसे कोफिब्रेशन के साथ मानचित्र को परिवर्तित करना कहा जाता है।

i:X\to Mf

मानचित्रण $Mf\to Y$ के माध्यम से और $f$ कारकों के माध्यम से, जिसका अर्थ है कि क्रमविनिमेय आरेख है-

जहाँ

r

होमोटॉपी तुल्यता है।

उदाहरण के अतिरिक्त और भी वर्ग हैं।

प्रायः उपयोग किया जाने वाला तथ्य यह है कि सेलुलर समावेशन कोफिब्रेशन है (उदाहरण के लिए, यदि $(X,A)$ सीडब्ल्यू-जोड़ी है, तो $A\to X$ कोफिब्रेशन है)। यह पूर्व तथ्य से इस प्रकार है $S^{n-1}\to D^{n}$ प्रत्येक के लिए कोफिब्रेशन है $n$ , और पुशआउट्स ग्लूइंग मानचित्रण हैं $n-1$ स्केलेटन है।
कोफिब्रेशन को पुशआउट्स और कंपोजीशन के अंतर्गत संरक्षित किया जाता है, जिसे ठीक नीचे बताया गया है।

श्रृंखला परिसरों में

यदि $C_{+}({\mathcal {A}})$ श्रृंखला परिसरों की श्रेणी हैं $0$ डिग्री में $q<<0$ , मॉडल श्रेणी संरचना है^[2]जहां शक्तिहीन समकक्ष अर्ध-समरूपता हैं।

$i:C_{\bullet }\to D_{\bullet }$

जो एकैकी और कोकर्नेल कॉम्प्लेक्स हैं ${\text{Coker}}(i)_{\bullet }$ में प्रक्षेप्य वस्तु का कॉम्प्लेक्स ${\mathcal {A}}$ है, इसके अतिरिक्त, कॉफ़िब्रेंट ऑब्जेक्ट वे कॉम्प्लेक्स हैं जिनका प्रक्षेपीय ऑब्जेक्ट ${\mathcal {A}}$ हैं।

अर्ध-सरल सेट

श्रेणी के लिए $ss{\textbf {Set}}$ अर्ध-सरलीकृत सेट हैं।^[2] (जिसका अर्थ है कि डिग्री में कोई सह-अध: पतन मानचित्र नहीं हैं), कान-फिब्रेशन द्वारा दिए गए फ़िब्रेशन के साथ मॉडल श्रेणी संरचना है, कोफिब्रेशन एकैकी मानचित्रण, और ज्यामितीय प्राप्ति के पश्चात शक्तिहीन समकक्षों का उपयोग किया जाता है।

गुण

हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान के लिए, प्रत्येक कोफिब्रेशन का बंद समावेशन है; परिणाम भी शक्तिहीन हॉउसडॉर्फ रिक्त स्थान के लिए सामान्यीकृत होता है।
कोफिब्रेशन का पुशआउट (श्रेणी सिद्धांत) कॉफिब्रेशन है। यदि $g\colon A\to B$ कोई भी (निरंतर) मानचित्रण है (कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न किए गए रिक्त स्थान के मध्य), और $i\colon A\to X$ कोफिब्रेशन है, फिर प्रेरित मानचित्रण $B\to B\cup _{g}X$ कोफिब्रेशन है।
मानचित्रण अनुसार के सिलेंडर को पुशआउट के रूप में जाना जाता है। $i\colon A\to X$ एम्बेडिंग (इकाई अंतराल का सिरा) $i_{0}\colon A\to A\times I$ . है। अर्थात्, मानचित्रण सिलेंडर को इस प्रकार $Mi=X\cup _{i}(A\times I)$ परिभाषित किया जा सकता है। पुशआउट की सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा, $i$ कोफिब्रेशन है जब प्रत्येक स्थान X के लिए मानचित्रण सिलेंडर का निर्माण किया जा सकता है।
मानचित्रण सिलेंडर निर्माण के माध्यम से प्रत्येक मानचित्र को कोफिब्रेशन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। यही इच्छानुसार (निरंतर) मानचित्रण $f\colon X\to Y$ दिया गया है। (कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न रिक्त स्थान के मध्य), मानचित्रण सिलेंडर को परिभाषित करता है-

Mf=Y\cup _{f}(X\times I)

.

एक तो विघटित होता है,

f

कोफिब्रेशन और होमोटॉपी तुल्यता के सम्मिश्रण में

f

को मानचित्र के रूप में लिखा जा सकता है-

X\xrightarrow {j} Mf\xrightarrow {r} Y

साथ

f=rj

, जहाँ

j\colon x\mapsto (x,0)

समावेशन है, और

r\colon y\mapsto y

पर

Y

और

r\colon (x,s)\mapsto f(x)

पर

X\times I

. है।

कोफिब्रेशन (A, X) है, यदि $X\times I$ विरूपण को $(A\times I)\cup (X\times \{0\})$ से पीछे हटना है। चूंकि पुशआउट (श्रेणी सिद्धांत) है और इस प्रकार आरेख में प्रत्येक स्थान के लिए मानचित्र को प्रेरित करता है।
विरूपण-वापसी जोड़े और अन्तःखंडा विरूपण-वापसी जोड़े के लिए समान समानताएं होती है।

कोफिब्रेशन के साथ निर्माण

कोफ़िब्रेंट प्रतिस्थापन

ध्यान दें कि मॉडल श्रेणी में ${\mathcal {M}}$ यदि $i:*\to X$ कोफिब्रेशन नहीं है, तो मानचित्रण सिलेंडर $Mi$ कोफ़िब्रेंट प्रतिस्थापन बनाता है। वास्तव में, यदि हम सिर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी में कार्य करते हैं, तो किसी भी मानचित्र के लिए बिंदु से स्पेस तक कोफिब्रेंट प्रतिस्थापन बनाता है।

कोफाइबर

कोफिब्रेशन के लिए $A\to X$ कोफाइबर को प्रेरित भागफल स्थान के रूप में $X/A$ को परिभाषित करते हैं। सामान्यतः, $f:X\to Y$ , कोफाइबर^[1] को भागफल स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है। $C_{f}=M_{f}/(A\times \{0\})$

जो $f$ मानचित्रण शंकु है, होमोटोपिक रूप में $f:X\to Y$ कोफाइबर मानचित्र के होमोटॉपी कोकर्नेल के रूप में कार्य करता है। वास्तव में, पॉइंटेड टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए, होमोटॉपी कोलिमिट ऑफ़ ${\underset {\to }{\text{hocolim}}}\left({\begin{matrix}X&\xrightarrow {f} &Y\\\downarrow &&\\*\end{matrix}}\right)=C_{f}$

वास्तव में, मानचित्रण का क्रम $X\to Y\to C_{f}$ कोफाइबर अनुक्रम से सहज है जो त्रिकोणीय श्रेणियों में विशिष्ट त्रिकोण के जैसे कार्य करता है।

यह भी देखें

कंपन
होमोटॉपी कोलिमिट
होमोटॉपी फाइबर

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 May, J. Peter. (1999). बीजगणितीय टोपोलॉजी में एक संक्षिप्त पाठ्यक्रम. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-51182-0. OCLC 41266205.
↑ ^2.0 ^2.1 Quillen, Daniel G. (1967). समरूप बीजगणित. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-03914-3. OCLC 294862881.

Peter May, "A Concise Course in Algebraic Topology" : chapter 6 defines and discusses cofibrations, and they are used throughout
Brown, Ronald. "7. Cofibrations". Topology and Groupoids. ISBN 978-1-4196-2722-4. Chapter 7 has many results not found elsewhere.

[:0-1] 1.0 ^1.1 May, J. Peter. (1999). बीजगणितीय टोपोलॉजी में एक संक्षिप्त पाठ्यक्रम. Chicago: University of Chicago Press. ISBN 0-226-51182-0. OCLC 41266205.

[:1-2] 2.0 ^2.1 Quillen, Daniel G. (1967). समरूप बीजगणित. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-03914-3. OCLC 294862881.

[1]

[2]

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 :<math>i: A \to X</math>,
-जहाँ <math>A</math> और <math>X</math> [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] हैं, यदि कोफिब्रेशन मानचित्रण की होमोटॉपी कक्षाऐ प्रदान करता है तब <math>[A,S]</math> मानचित्रण की होमोटॉपी कक्षाओं तक विस्तारित किया जा सकता है। जब <math>[X,S]</math> कोई मानचित्रण <math>f \in \text{Hom}_{\textbf{Top}}(A,S)</math> द्वारा विस्तारित किया जा सकता है। यदि <math>f' \in \text{Hom}_{\textbf{Top}}(X,S)</math> जहाँ  <math>f'\circ i = f</math>, इसलिए उनके संबद्ध होमोटोपी वर्ग <math>[f] = [f'\circ i]</math> समान हैं।
+जहाँ <math>A</math> और <math>X</math> [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] हैं, यदि कोफिब्रेशन मानचित्रण की होमोटॉपी कक्षाऐ प्रदान करता है तब <math>[A,S]</math> मानचित्रण की होमोटॉपी की कक्षाओं को विस्तारित किया जा सकता है। जब <math>[X,S]</math> कोई मानचित्रण <math>f \in \text{Hom}_{\textbf{Top}}(A,S)</math> द्वारा विस्तारित किया जा सकता है। यदि <math>f' \in \text{Hom}_{\textbf{Top}}(X,S)</math> जहाँ  <math>f'\circ i = f</math>, इसलिए उनके संबद्ध होमोटोपी <math>[f] = [f'\circ i]</math> वर्ग समान हैं।
 इस प्रकार की संरचना को सभी स्थानों के संबंध में [[होमोटॉपी एक्सटेंशन संपत्ति]] होने की तकनीकी स्थिति के साथ <math>S</math> को एन्कोड किया जा सकता है। यह परिभाषा [[कंपन]] की दोहरी है, जो सभी रिक्त स्थान के संबंध में होमोटॉपी की संपत्ति को संतुष्ट करने के लिए आवश्यक है। इस द्वैत को अनौपचारिक रूप से एकमैन-हिल्टन द्वैत कहा जाता है। सामान्यता के कारण यह तकनीकी स्थिति है, इसका उपयोग [[मॉडल श्रेणी]] में किया जा सकता है।
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 निम्नलिखित में, <math>I = [0,1]</math> को इकाई अंतराल में निरूपित किया गया है।
-मानचित्रण के टोपोलॉजिकल स्पेस  <math>i\colon A \to X</math> को कोफिब्रेशन कहा जाता है<ref name=":0">{{Cite book|last=May, J. Peter.|url=https://www.worldcat.org/oclc/41266205|title=बीजगणितीय टोपोलॉजी में एक संक्षिप्त पाठ्यक्रम|date=1999|publisher=University of Chicago Press|isbn=0-226-51182-0|location=Chicago|oclc=41266205}}</ref>पृष्ठ 51 यदि किसी मानचित्र के लिए <math>f:A \to S</math> जैसे कि विस्तार <math>X</math> है, मानचित्रण <math>f':X \to S</math> है। मानचित्रण <math>f'\circ i = f</math>, द्वारा समरूपता का विस्तार कर सकते हैं। <math>H:A\times I \to S</math> मानचित्रों की समरूपता के लिए <math>H': X\times I \to S</math>, जहां<blockquote><math>\begin{align}
+मानचित्रण के टोपोलॉजिकल स्पेस  <math>i\colon A \to X</math> को कोफिब्रेशन कहा जाता है<ref name=":0">{{Cite book|last=May, J. Peter.|url=https://www.worldcat.org/oclc/41266205|title=बीजगणितीय टोपोलॉजी में एक संक्षिप्त पाठ्यक्रम|date=1999|publisher=University of Chicago Press|isbn=0-226-51182-0|location=Chicago|oclc=41266205}}</ref>यदि किसी मानचित्र के लिए <math>f:A \to S</math> का विस्तार <math>X</math> है, मानचित्रण <math>f':X \to S</math> है। मानचित्रण <math>f'\circ i = f</math>, द्वारा समरूपता का विस्तार कर सकते हैं। <math>H:A\times I \to S</math> मानचित्रों की समरूपता के लिए <math>H': X\times I \to S</math>, जहां<blockquote><math>\begin{align}
 H(a,0) &= f(a) \\
 H'(x,0) &= f'(x)
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 === टोपोलॉजी में ===
-कम्प्यूटेशनल परिप्रेक्ष्य से कोफिब्रेशन नक्शे का एक अजीब वर्ग है क्योंकि उन्हें एक औपचारिक तकनीकी उपकरण के रूप में अधिक आसानी से देखा जाता है जो किसी को टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के साथ होमोटोपी सैद्धांतिक निर्माण करने में सक्षम बनाता है। सौभाग्य से, किसी भी नक्शे के लिए
+कम्प्यूटेशनल परिप्रेक्ष्य से कोफिब्रेशन मानचित्र का विचित्र वर्ग है क्योंकि उन्हें औपचारिक तकनीकी उपकरण के रूप में अधिक सरलता से देखा जाता है जो किसी टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के साथ होमोटोपी सैद्धांतिक निर्माण करने में सक्षम बनाता है। सौभाग्य से, किसी भी मानचित्र के लिए-
 :<math>f:X \to Y</math>
-टोपोलॉजिकल स्पेस में, स्पेस से जुड़ा एक कॉफिब्रेशन होता है <math>Mf</math> [[मैपिंग सिलेंडर]] कहा जाता है (जहाँ <math>Y</math> एक विरूपण वापसी है, इसलिए होमोटोपी इसके समतुल्य है) जिसमें एक प्रेरित कोफिब्रेशन होता है जिसे कोफिब्रेशन के साथ मैप को बदलना कहा जाता है
+टोपोलॉजिकल स्पेस में कॉफिब्रेशन जुड़ा होता है, <math>Mf</math> को [[मैपिंग सिलेंडर]] कहा जाता है (जहाँ <math>Y</math> विरूपण वापसी है, इसलिए होमोटोपी इसके समतुल्य है) जिसमें प्रेरित कोफिब्रेशन होता है जिसे कोफिब्रेशन के साथ मानचित्र को परिवर्तित करना कहा जाता है।
 :<math>i: X \to Mf</math>
-और एक मानचित्रण<math>Mf \to Y</math> जिसके माध्यम से <math>f</math> कारकों के माध्यम से, जिसका अर्थ है कि एक क्रमविनिमेय आरेख है
+मानचित्रण <math>Mf \to Y</math> के माध्यम से और <math>f</math> कारकों के माध्यम से, जिसका अर्थ है कि क्रमविनिमेय आरेख है-
-:[[File:Mapping cylinder from X to Y.png|frameकम|108x108पीएक्स]]कहाँ <math>r</math> एक होमोटॉपी तुल्यता है।
+:[[File:Mapping cylinder from X to Y.png|frameकम|108x108पीएक्स]]
+:जहाँ <math>r</math> होमोटॉपी तुल्यता है।
-उदाहरणों के इस वर्ग के अतिरिक्त, और भी हैं
+उदाहरण के अतिरिक्त और भी वर्ग हैं।
-*प्रायः उपयोग किया जाने वाला तथ्य यह है कि एक सेलुलर समावेशन एक कोफिब्रेशन है (इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि <math>(X, A)</math> एक सीडब्ल्यू-जोड़ी है, तो <math>A \to X</math> एक कोफिब्रेशन है)। यह पिछले तथ्य से इस प्रकार है <math>S^{n-1} \to D^n</math> प्रत्येक के लिए एक कोफिब्रेशन है <math>n</math>, और पुशआउट्स ग्लूइंग मैप्स हैं <math>n-1 </math> कंकाल।
+*प्रायः उपयोग किया जाने वाला तथ्य यह है कि सेलुलर समावेशन कोफिब्रेशन है (उदाहरण के लिए, यदि <math>(X, A)</math> सीडब्ल्यू-जोड़ी है, तो <math>A \to X</math> कोफिब्रेशन है)। यह पूर्व तथ्य से इस प्रकार है <math>S^{n-1} \to D^n</math> प्रत्येक के लिए कोफिब्रेशन है <math>n</math>, और पुशआउट्स ग्लूइंग मानचित्रण हैं <math>n-1 </math> स्केलेटन है।
 *कोफिब्रेशन को पुशआउट्स और कंपोजीशन के अंतर्गत संरक्षित किया जाता है, जिसे ठीक नीचे बताया गया है।
 === श्रृंखला परिसरों में ===
-यदि हम जाने दें <math>C_+(\mathcal{A})</math> श्रृंखला परिसरों की श्रेणी हो जो हैं <math>0</math> डिग्री में <math>q << 0</math>, तो वहाँ एक मॉडल श्रेणी संरचना है<ref name=":1">{{Cite book|last=Quillen, Daniel G.|url=https://www.worldcat.org/oclc/294862881|title=समरूप बीजगणित|date=1967|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-3-540-03914-3|location=Berlin|oclc=294862881}}</ref><sup>pg 1.2</sup> जहां कमजोर समकक्ष [[अर्ध-समरूपता]] हैं।<math>i:C_\bullet \to D_\bullet</math>जो इंजेक्शन और कोकर्नेल कॉम्प्लेक्स हैं <math>\text{Coker}(i)_\bullet</math> में [[ प्रक्षेप्य वस्तु ]] का एक कॉम्प्लेक्स है <math>\mathcal{A}</math>. इसके अतिरिक्त, कॉफ़िब्रेंट ऑब्जेक्ट वे कॉम्प्लेक्स हैं जिनकी ऑब्जेक्ट सभी प्रोजेक्टिव ऑब्जेक्ट हैं <math>\mathcal{A}</math>.
+यदि <math>C_+(\mathcal{A})</math> श्रृंखला परिसरों की श्रेणी हैं <math>0</math> डिग्री में <math>q << 0</math>, मॉडल श्रेणी संरचना है<ref name=":1">{{Cite book|last=Quillen, Daniel G.|url=https://www.worldcat.org/oclc/294862881|title=समरूप बीजगणित|date=1967|publisher=Springer-Verlag|isbn=978-3-540-03914-3|location=Berlin|oclc=294862881}}</ref>जहां शक्तिहीन समकक्ष [[अर्ध-समरूपता]] हैं।
+<math>i:C_\bullet \to D_\bullet</math>
+जो एकैकी और कोकर्नेल कॉम्प्लेक्स हैं <math>\text{Coker}(i)_\bullet</math> में[[ प्रक्षेप्य वस्तु | प्रक्षेप्य वस्तु]] का कॉम्प्लेक्स <math>\mathcal{A}</math> है, इसके अतिरिक्त, कॉफ़िब्रेंट ऑब्जेक्ट वे कॉम्प्लेक्स हैं जिनका प्रक्षेपीय ऑब्जेक्ट <math>\mathcal{A}</math> हैं।
 === अर्ध-सरल सेट ===
-श्रेणी के लिए <math>ss\textbf{Set}</math> अर्ध-सरल सेटों की<ref name=":1" /><sup>pg 1.3</sup> (जिसका अर्थ है कि डिग्री में कोई सह-अध: पतन मानचित्र नहीं हैं), कान-फिब्रेशन द्वारा दिए गए फ़िब्रेशन के साथ एक मॉडल श्रेणी संरचना है, कोफिब्रेशन इंजेक्शन मैप्स, और ज्यामितीय प्राप्ति के बाद कमजोर समकक्षों द्वारा दी गई कमजोर समकक्षता।
+श्रेणी के लिए <math>ss\textbf{Set}</math> अर्ध-सरलीकृत सेट हैं।<ref name=":1" /> (जिसका अर्थ है कि डिग्री में कोई सह-अध: पतन मानचित्र नहीं हैं), कान-फिब्रेशन द्वारा दिए गए फ़िब्रेशन के साथ मॉडल श्रेणी संरचना है, कोफिब्रेशन एकैकी मानचित्रण, और ज्यामितीय प्राप्ति के पश्चात शक्तिहीन समकक्षों का उपयोग किया जाता है।
 == गुण ==
-* हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान के लिए, प्रत्येक कोफिब्रेशन एक बंद समावेशन (बंद छवि के साथ अंतःक्षेपण) है; परिणाम भी कमजोर हॉउसडॉर्फ रिक्त स्थान के लिए सामान्यीकृत होता है।
+* हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान के लिए, प्रत्येक कोफिब्रेशन का बंद समावेशन है; परिणाम भी शक्तिहीन हॉउसडॉर्फ रिक्त स्थान के लिए सामान्यीकृत होता है।
-* कोफिब्रेशन का [[पुशआउट (श्रेणी सिद्धांत)]] एक कॉफिब्रेशन है। यानी यदि <math>g\colon A\to B</math> कोई भी (निरंतर) मानचित्रणहै (कॉम्पैक्ट रूप से जेनरेट किए गए रिक्त स्थान के बीच), और <math>i\colon A\to X</math> एक कोफिब्रेशन है, फिर प्रेरित मानचित्रण<math>B\to B\cup_g X</math> एक कोफिब्रेशन है।
+* कोफिब्रेशन का [[पुशआउट (श्रेणी सिद्धांत)]] कॉफिब्रेशन है। यदि <math>g\colon A\to B</math> कोई भी (निरंतर) मानचित्रण है (कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न किए गए रिक्त स्थान के मध्य), और  <math>i\colon A\to X</math> कोफिब्रेशन है, फिर प्रेरित मानचित्रण <math>B\to B\cup_g X</math> कोफिब्रेशन है।
-* मैपिंग सिलेंडर को पुशआउट के रूप में समझा जा सकता है <math>i\colon A\to X</math> और एम्बेडिंग (इकाई अंतराल के एक छोर पर) <math>i_0\colon A\to A\times I</math>. अर्थात्, मैपिंग सिलेंडर को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है <math>Mi=X\cup_i(A\times I)</math>. पुशआउट की [[सार्वभौमिक संपत्ति]] द्वारा, <math>i</math> एक कोफिब्रेशन ठीक है जब प्रत्येक स्थान एक्स के लिए मैपिंग सिलेंडर का निर्माण किया जा सकता है।
+* मानचित्रण अनुसार के सिलेंडर को पुशआउट के रूप में जाना जाता है। <math>i\colon A\to X</math> एम्बेडिंग (इकाई अंतराल का सिरा) <math>i_0\colon A\to A\times I</math>. है। अर्थात्, मानचित्रण सिलेंडर को इस प्रकार <math>Mi=X\cup_i(A\times I)</math> परिभाषित किया जा सकता है। पुशआउट की [[सार्वभौमिक संपत्ति]] द्वारा, <math>i</math> कोफिब्रेशन है जब प्रत्येक स्थान X के लिए मानचित्रण सिलेंडर का निर्माण किया जा सकता है।
-* मैपिंग सिलेंडर निर्माण के माध्यम से प्रत्येक मानचित्र को कोफिब्रेशन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। यही है, एक मनमाना (निरंतर) मानचित्रणदिया गया है <math>f\colon X\to Y</math> (कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न रिक्त स्थान के बीच), एक मैपिंग सिलेंडर को परिभाषित करता है
+* मानचित्रण सिलेंडर निर्माण के माध्यम से प्रत्येक मानचित्र को कोफिब्रेशन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। यही इच्छानुसार (निरंतर) मानचित्रण <math>f\colon X\to Y</math> दिया गया है। (कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न रिक्त स्थान के मध्य), मानचित्रण सिलेंडर को परिभाषित करता है-
 ::<math>Mf=Y\cup_f(X\times I)</math>.
-: एक तो decomposes <math>f</math> एक कोफिब्रेशन और एक [[होमोटॉपी तुल्यता]] के सम्मिश्रण में। वह है, <math>f</math> मानचित्र के रूप में लिखा जा सकता है
+: एक तो विघटित होता है, <math>f</math> कोफिब्रेशन और [[होमोटॉपी तुल्यता]] के सम्मिश्रण में <math>f</math> को मानचित्र के रूप में लिखा जा सकता है-
 ::<math>X \xrightarrow{j} Mf\xrightarrow{r} Y</math>
-:साथ <math>f=rj</math>, कब <math>j\colon x\mapsto (x,0)</math> समावेशन है, और <math>r\colon y\mapsto y</math> पर <math>Y</math> और <math>r\colon(x,s)\mapsto f(x)</math> पर <math>X\times I</math>.
+:साथ <math>f=rj</math>, जहाँ <math>j\colon x\mapsto (x,0)</math> समावेशन है, और <math>r\colon y\mapsto y</math> पर <math>Y</math> और <math>r\colon(x,s)\mapsto f(x)</math> पर <math>X\times I</math>. है।
-* एक कोफिब्रेशन (ए, एक्स) है, यदि और केवल यदि विरूपण से पीछे हटना है <math> X \times I </math> को <math> (A \times I) \cup (X \times \{0\})</math>, चूंकि यह पुशआउट (श्रेणी सिद्धांत) है और इस प्रकार आरेख में समझदार प्रत्येक स्थान के लिए नक्शे को प्रेरित करता है।
+* कोफिब्रेशन (''A'', ''X'') है, यदि <math> X \times I </math> विरूपण को <math> (A \times I) \cup (X \times \{0\})</math> से पीछे हटना है। चूंकि पुशआउट (श्रेणी सिद्धांत) है और इस प्रकार आरेख में प्रत्येक स्थान के लिए मानचित्र को प्रेरित करता है।
-* विरूपण-वापसी जोड़े और पड़ोस विरूपण-वापसी जोड़े के लिए समान समानताएं बताई जा सकती हैं।
+* विरूपण-वापसी जोड़े और अन्तःखंडा विरूपण-वापसी जोड़े के लिए समान समानताएं होती है।
 == कोफिब्रेशन के साथ निर्माण ==
 === कोफ़िब्रेंट प्रतिस्थापन ===
-ध्यान दें कि एक मॉडल श्रेणी में <math>\mathcal{M}</math> यदि <math>i:* \to X</math> कोफिब्रेशन नहीं है, तो मैपिंग सिलेंडर <math>Mi</math> एक कोफ़िब्रेंट प्रतिस्थापन बनाता है। वास्तव में, यदि हम सिर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी में काम करते हैं, तो किसी भी मैप के लिए एक बिंदु से स्पेस तक कोफिब्रेंट रिप्लेसमेंट कोफिब्रेंट रिप्लेसमेंट बनाता है।
+ध्यान दें कि मॉडल श्रेणी में <math>\mathcal{M}</math> यदि <math>i:* \to X</math> कोफिब्रेशन नहीं है, तो मानचित्रण सिलेंडर <math>Mi</math> कोफ़िब्रेंट प्रतिस्थापन बनाता है। वास्तव में, यदि हम सिर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी में कार्य करते हैं, तो किसी भी मानचित्र के लिए बिंदु से स्पेस तक कोफिब्रेंट प्रतिस्थापन बनाता है।
 === कोफाइबर ===
-कोफिब्रेशन के लिए <math>A \to X</math> हम कोफाइबर को प्रेरित भागफल स्थान के रूप में परिभाषित करते हैं <math>X/A</math>. सामान्यतः, के लिए <math>f:X \to Y</math>, कोफाइबर<ref name=":0" /><sup>पृष्ठ 59 </sup> को भागफल स्थान <ब्लॉककोट> के रूप में परिभाषित किया गया है<math>C_f = M_f/(A\times \{0\})</math>जिसका मैपिंग कोन है <math>f</math>. होमोटोपिक रूप से, कोफाइबर मानचित्र के होमोटॉपी कोकर्नेल के रूप में कार्य करता है <math>f:X \to Y</math>. वास्तव में, पॉइंटेड टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए, [[होमोटॉपी कोलिमिट]] ऑफ़ <ब्लॉकक्वोट><math>\underset{\to}{\text{hocolim}}\left(\begin{matrix}
+कोफिब्रेशन के लिए <math>A \to X</math> कोफाइबर को प्रेरित भागफल स्थान के रूप में <math>X/A</math> को परिभाषित करते हैं। सामान्यतः, <math>f:X \to Y</math>, कोफाइबर<ref name=":0" /> को भागफल स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है।<math>C_f = M_f/(A\times \{0\})</math>
+जो <math>f</math> मानचित्रण शंकु है, होमोटोपिक रूप में <math>f:X \to Y</math> कोफाइबर मानचित्र के होमोटॉपी कोकर्नेल के रूप में कार्य करता है। वास्तव में, पॉइंटेड टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए, [[होमोटॉपी कोलिमिट]] ऑफ़ <math>\underset{\to}{\text{hocolim}}\left(\begin{matrix}
 X & \xrightarrow{f} & Y \\
 \downarrow & & \\
 *
-\end{matrix}\right) = C_f</math>दरअसल, मानचित्रण का क्रम <math>X \to Y \to C_f</math> [[ कोफाइबर अनुक्रम ]] से लैस आता है जो त्रिकोणीय श्रेणियों में एक विशिष्ट त्रिकोण की तरह काम करता है।
+\end{matrix}\right) = C_f</math>
+वास्तव में, मानचित्रण का क्रम <math>X \to Y \to C_f</math> [[ कोफाइबर अनुक्रम | कोफाइबर अनुक्रम]] से सहज है जो त्रिकोणीय श्रेणियों में विशिष्ट त्रिकोण के जैसे कार्य करता है।
 == यह भी देखें ==
@@ Line 77: / Line 86: @@
 * {{cite book |url=http://groupoids.org.uk/topgpds.html |first=Ronald |last=Brown |author-link=Ronald Brown (mathematician) |title=Topology and Groupoids |chapter=7. Cofibrations |isbn=978-1-4196-2722-4 }} Chapter 7 has many results not found elsewhere.
-{{Manifolds}}
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-[[Category: समरूप बीजगणित]] [[Category: होमोटॉपी सिद्धांत]]
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 [[Category:Created On 01/03/2023]]
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