बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय

गणित में, बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय कहता है कि बूलियन बीजगणित (संरचना) में आदर्शों को प्रधान आदर्शों तक बढ़ाया जा सकता है। फ़िल्टर (सेट सिद्धांत) के लिए इस कथन की भिन्नता को अल्ट्राफिल्टर लेम्मा के रूप में जाना जाता है। आदर्शों की उपयुक्त धारणाओं के साथ विभिन्न गणितीय संरचनाओं पर विचार करके अन्य प्रमेय प्राप्त किए जाते हैं, उदाहरण के लिए, रिंग (गणित) और प्रमुख आदर्श (रिंग प्रमेय), या वितरणात्मक जाली और अधिकतम आदर्श (आदेश सिद्धांत)। यह लेख क्रम सिद्धांत से प्रमुख आदर्श प्रमेयों पर केंद्रित है।

चूंकि विभिन्न प्रमुख आदर्श प्रमेय सरल और सहज दिखाई दे सकते हैं, लेकिन उन्हें पसंद के स्वयंसिद्ध (संक्षिप्त जेडएफ) के बिना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत के स्वयंसिद्धों से सामान्य रूप से नहीं निकाला जा सकता है। इसके अतिरिक्त, कुछ साक्ष्य पसंद के स्वयंसिद्ध (एसी) के बराबर होते हैं, जबकि अन्य-बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय, उदाहरण के लिए- एसी की तुलना में कठोरता से दुर्बल संपत्ति का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह ZF और ZF + AC (ZFC) के बीच इस मध्यवर्ती स्थिति के कारण है कि बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय को अधिकांशतः सेट सिद्धांत के स्वयंसिद्ध के रूप में लिया जाता है। संक्षिप्ताक्षर बीपीआई या पीआईटी (बूलियन बीजगणित के लिए) कभी-कभी इस अतिरिक्त स्वयंसिद्ध को संदर्भित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

प्रधान आदर्श प्रमेय

आदर्श (आदेश सिद्धांत) एक (गैर-खाली) निर्देशित निचला सेट है। यदि आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट (पॉसेट) में बाइनरी उच्चतम (ए.के.ए. जुड़ें और मिलें) है, जैसा कि इस आलेख के पॉसेट्स करते हैं, तो यह समान रूप से गैर-खाली निचले सेट के रूप में वर्णित है जो कि बाइनरी सर्वोच्च (अर्थात, $x,y\in I$ तात्पर्य $x\vee y\in I$) के लिए बंद है I आदर्श l प्रमुख है यदि पॉसेट में इसका सेट-सैद्धांतिक पूरक फ़िल्टर (अर्थात, $x\wedge y\in I$ तात्पर्य $x\in I$ या $y\in I$)है। आदर्श उचित हैं यदि वे पूरे पोसेट के बराबर नहीं हैं।

ऐतिहासिक रूप से, बाद के प्रमुख आदर्श प्रमेयों से संबंधित पहला साक्ष्य वास्तव में फ़िल्टर-उपसमुच्चय का उल्लेख कर रहा था जो कि द्वैत (आदेश सिद्धांत) आदेश के संबंध में आदर्श हैं। अल्ट्राफिल्टर लेम्मा बताता है कि सेट पर प्रत्येक फिल्टर कुछ अधिकतम (उचित) फिल्टर अल्ट्राफिल्टर के अंदर समाहित है। याद रखें कि सेट पर फ़िल्टर इसके पॉवरसेट के बूलियन बीजगणित के उचित फ़िल्टर हैं। इस विशेष स्थितियों में, अधिकतम फ़िल्टर (अर्थात फ़िल्टर जो किसी भी उचित फ़िल्टर के सख्त उपसमुच्चय नहीं हैं) और आदर्श फ़िल्टर (अर्थात फ़िल्टर जो कि उपसमुच्चय X और Y के प्रत्येक संघ के साथ X या Y भी सम्मिलित हैं) मेल खाते हैं। इस कथन का द्वैत इस प्रकार आश्वासन देता है कि शक्तिसेट का प्रत्येक आदर्श प्रमुख आदर्श में निहित है।

उपरोक्त कथन ने विभिन्न सामान्यीकृत प्रधान आदर्श प्रमेयों को जन्म दिया, जिनमें से प्रत्येक दुर्बल और ठोस रूप में उपस्थित है। दुर्बल प्रधान आदर्श प्रमेय बताते हैं कि निश्चित वर्ग के प्रत्येक गैर-तुच्छ बीजगणित में कम से कम एक प्रधान आदर्श होता है। इसके विपरीत, ठोस प्रमुख आदर्श प्रमेयों की आवश्यकता होती है कि किसी दिए गए फ़िल्टर से अलग होने वाले हर आदर्श को उस प्रमुख आदर्श तक बढ़ाया जा सकता है जो अभी भी उस फ़िल्टर से अलग है। बीजगणित की स्थितियों में जो पॉसेट नहीं हैं, फ़िल्टर के अतिरिक्त अलग-अलग सबस्ट्रक्चर का उपयोग किया जाता है। इन प्रमेयों के कई रूपों को वास्तव में समकक्ष के रूप में जाना जाता है, इसलिए "पीआईटी" धारण करने वाले अभिकथन को सामान्यतः इस अभिकथन के रूप में लिया जाता है कि बूलियन बीजगणित (बीपीआई) के लिए संबंधित कथन मान्य है।

इसी तरह के प्रमेयों की एक और भिन्नता अधिकतम आदर्श द्वारा प्रमुख आदर्श की प्रत्येक घटना को प्रतिस्थापित करके प्राप्त की जाती है। संबंधित अधिकतम आदर्श प्रमेय (एमआईटी) अधिकांशतः उनके पीआईटी समकक्षों की तुलना में ठोस होते हैं।

बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय

बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय बूलियन बीजगणित के लिए प्रबल प्रधान आदर्श प्रमेय है। इस प्रकार औपचारिक कथन है:

मान लीजिए कि B बूलियन बीजगणित है, मान लीजिए I आदर्श है और F को B का फ़िल्टर बना देते है, जैसे कि I और F असंयुक्त सेट हैं। फिर मैं B के कुछ प्रमुख आदर्श में निहित हूं जो F से अलग है।

बूलियन बीजगणित के लिए दुर्बल प्रमुख आदर्श प्रमेय सामान्यतः कहता है:

प्रत्येक बूलियन बीजगणित में एक प्रमुख आदर्श होता है।

हम इन साक्ष्यों को दुर्बल और ठोस बीपीआई कहते हैं। दोनों समतुल्य हैं, क्योंकि ठोस बीपीआई स्पष्ट रूप से दुर्बल बीपीआई का तात्पर्य है, और उचित उद्धरण बीजगणित में प्रमुख आदर्शों को खोजने के लिए दुर्बल बीपीआई का उपयोग करके उल्टा निहितार्थ प्राप्त किया जा सकता है।

बीपीआई को विभिन्न विधियों से व्यक्त किया जा सकता है। इस उद्देश्य के लिए, निम्नलिखित प्रमेय को याद करें:

बूलियन बीजगणित B के किसी भी आदर्श I के लिए, निम्नलिखित समतुल्य हैं:

• I प्रधान आदर्श है।
• I उच्चिष्ठ गुणजावली है, अर्थात किसी उचित गुणजावली J के लिए, यदि I, J में निहित है तो I = J
• B के प्रत्येक तत्व a के लिए, I में ठीक {a, ¬a} में से एक होता है।

यह प्रमेय बूलियन बीजगणित के लिए प्रसिद्ध तथ्य है। इसका द्वैत प्रधान फिल्टर और अल्ट्राफिल्टर की समानता स्थापित करता है। ध्यान दें कि अंतिम संपत्ति वास्तव में स्व-द्वैत है - केवल पूर्व धारणा है कि I आदर्श है जो पूर्ण लक्षण वर्णन देता है। इस प्रमेय के सभी निहितार्थ जेडएफ में सिद्ध किए जा सकते हैं।

इस प्रकार बूलियन बीजगणित के लिए निम्नलिखित (ठोस) अधिकतम आदर्श प्रमेय (एमआईटी) बीपीआई के बराबर है:

माना B बूलियन बीजगणित हो, I आदर्श हो और F को B का फ़िल्टर बनने दें, जैसे कि I और F अलग हैं। फिर I, B के कुछ अधिकतम आदर्शों में निहित हूं जो F से अलग है।

ध्यान दें कि किसी को "वैश्विक" अधिकतमता की आवश्यकता होती है, न कि केवल F से अलग होने के संबंध में अधिकतमता। फिर भी, यह भिन्नता बीपीआई के एक और समकक्ष विशेषता उत्पन्न करती है।

माना B बूलियन बीजगणित हो, I आदर्श हो और F को B का फ़िल्टर बनने दें, जैसे कि I और F अलग हैं। फिर I B के कुछ आदर्श में निहित हूं जो F से अलग सभी आदर्शों में अधिकतम है।

तथ्य यह है कि यह कथन बीपीआई के समतुल्य है, निम्नलिखित प्रमेय को ध्यान में रखते हुए सरलता से स्थापित किया गया है: किसी भी वितरण जाली L के लिए, यदि आदर्श I, L के सभी आदर्शों में अधिकतम है जो किसी दिए गए फ़िल्टर F से अलग हैं, तो I प्रमुख आदर्श है। इस कथन का प्रमाण (जो फिर से जेडएफ सेट सिद्धांत में किया जा सकता है) आदर्शों पर लेख में सम्मिलित है। चूँकि कोई भी बूलियन बीजगणित वितरणात्मक जाली है, यह वांछित प्रभाव को दर्शाता है।

उपरोक्त सभी साक्ष्यों को अब सरलता से समतुल्य देखा जा सकता है। इससे भी आगे जाकर, कोई इस तथ्य का लाभ उठा सकता है कि बूलियन बीजगणित के द्वैत आदेश वास्तव में स्वयं बूलियन बीजगणित हैं। इसलिए, सभी पूर्व कथनों के समतुल्य द्वैत लेते समय, कई प्रमेयों के साथ समाप्त होता है जो समान रूप से बूलियन बीजगणित पर प्रयुक्त होते हैं, लेकिन जहां आदर्श की प्रत्येक घटना को फ़िल्टर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह ध्यान देने योग्य है कि विशेष स्थितियों के लिए जहां विचाराधीन बूलियन बीजगणित उपसमुच्चय ऑर्डरिंग के साथ पावरसेट है, अधिकतम फ़िल्टर प्रमेय को अल्ट्राफ़िल्टर लेम्मा कहा जाता है।

संक्षेप में, बूलियन बीजगणित के लिए, दुर्बल और ठोस एमआईटी, दुर्बल और ठोस पीआईटी, और आदर्शों के स्थान पर फिल्टर वाले ये साक्ष्य सभी समकक्ष हैं। यह ज्ञात है कि ये सभी कथन पसंद का स्वयंसिद्ध, एसी, (आसान प्रमाण ज़ोर्न के लेम्मा का उपयोग करता है) के परिणाम हैं, लेकिन ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत (ज़र्मेलो-फ्रेंकेल एसी के बिना सिद्धांत सेट करें) में सिद्ध नहीं किया जा सकता है, यदि जेडएफ सुसंगत है। फिर भी, बीपीआई पसंद के स्वयंसिद्ध की तुलना में कठोरता से दुर्बल है, चूंकि इस कथन का प्रमाण, जेडी हैल्पर्न और एज़रील लेवी के कारण गैर-तुच्छ है।

इसके अतिरिक्त प्रधान आदर्श प्रमेय

उपरोक्त खंड में बूलियन बीजगणित के लिए जिन प्रोटोटाइपिकल गुणों पर चर्चा की गई थी, उन्हें सरलता से संशोधित किया जा सकता है जिससे अधिक सामान्य जाली (क्रम) सम्मिलित हो सके, जैसे कि वितरणात्मक जाली या हेटिंग बीजगणित। चूंकि, इन स्थितियों में अधिकतम आदर्श प्रधान आदर्शों से भिन्न होते हैं, और पीआईटी और एमआईटी के बीच संबंध स्पष्ट नहीं होता है।

वास्तव में, यह पता चला है कि वितरण जाली के लिए एमआईटी और यहां तक ​​​​कि बीजगणित हेटिंग के लिए भी पसंद के स्वयंसिद्ध के बराबर हैं। दूसरी ओर, यह ज्ञात है कि वितरण जाली के लिए ठोस पीआईटी बीपीआई (अर्थात एमआईटी और बूलियन बीजगणित के लिए पीआईटी) के बराबर है। इसलिए यह कथन पसंद के स्वयंसिद्ध से कठोरता से दुर्बल है। इसके अतिरिक्त, निरीक्षण करें कि हेटिंग बीजगणित स्व-द्वैत नहीं हैं, और इस प्रकार आदर्शों के स्थान पर फिल्टर का उपयोग करने से इस सेटिंग में विभिन्न प्रमेय उत्पन्न होते हैं। संभवतः आश्चर्यजनक रूप से, हेटिंग बीजगणित के द्वैत के लिए एमआईटी बीपीआई से अधिक ठोस नहीं है, जो हेटिंग बीजगणित के लिए उपर्युक्त एमआईटी के विपरीत है।

अंत में, प्रधान आदर्श प्रमेय अन्य (आदेश-सैद्धांतिक नहीं) सार बीजगणित के लिए भी उपस्थित हैं। उदाहरण के लिए, रिंग्स के लिए एमआईटी पसंद के स्वयंसिद्ध को दर्शाता है। इस स्थिति के लिए ऑर्डर-सैद्धांतिक शब्द फ़िल्टर को अन्य अवधारणाओं द्वारा प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता होती है - रिंगों के लिए "गुणात्मक रूप से बंद सबसेट" उपयुक्त है।

अल्ट्राफिल्टर लेम्मा

Main article: अल्ट्राफिल्टर लेम्मा

See also: सेट-सैद्धांतिक टोपोलॉजी

सेट पर फिल्टर X के अरिक्त उपसमुच्चयों का अरिक्त संग्रह X है, जो परिमित चौराहे और सुपरसेट के तहत बंद है। अल्ट्राफिल्टर अधिकतम फिल्टर है।

अल्ट्राफिल्टर लेम्मा बताता है कि सेट X पर प्रत्येक फिल्टर X कुछ अल्ट्राफिल्टर का उपसमुच्चय है। अल्ट्राफिल्टर जिसमें सीमित सेट नहीं होते हैं, उन्हें "गैर-प्रिंसिपल" कहा जाता है। अल्ट्राफिल्टर लेम्मा, और विशेष रूप से गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर के अस्तित्व (परिमित पूरक के साथ सभी सेटों के फिल्टर पर विचार करें), ज़ोर्न के लेम्मा से उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

अल्ट्राफिल्टर लेम्मा पसंद के स्वयंसिद्ध के बिना जेडएफ सेट सिद्धांत में सिद्ध होने वाली समानता के साथ बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय के बराबर है। प्रमाण के पीछे का विचार यह है कि किसी भी सेट के उपसमुच्चय बूलियन बीजगणित को आंशिक रूप से समावेशन द्वारा आदेशित करते हैं, और किसी भी बूलियन बीजगणित को स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय द्वारा सेट के बीजगणित के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है।

यदि सेट X परिमित है तो अल्ट्राफिल्टर लेम्मा को स्वयंसिद्ध जेडएफ से सिद्ध किया जा सकता है। यह अब अनंत समुच्चयों के लिए सत्य नहीं है; यह अब अनंत समुच्चयों के लिए सत्य नहीं है; अतिरिक्त स्वयंसिद्ध मान लिया जाना चाहिए। ज़ोर्न लेम्मा, पसंद का स्वयंसिद्ध, और टाइकोनॉफ़ प्रमेय सभी का उपयोग अल्ट्राफ़िल्टर लेम्मा को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है। अल्ट्राफिल्टर लेम्मा पसंद के स्वयंसिद्ध से कठोरता से दुर्बल है।

अल्ट्राफिल्टर लेम्मा के टोपोलॉजी में कई अनुप्रयोग हैं। अल्ट्राफिल्टर लेम्मा का उपयोग हन-बनाक प्रमेय और अलेक्जेंडर सबबेस प्रमेय को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है।

अनुप्रयोग

सहजता से, बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय कहता है कि बूलियन बीजगणित में इस अर्थ में पर्याप्त प्रमुख आदर्श हैं कि हम प्रत्येक आदर्श को अधिकतम तक बढ़ा सकते हैं। बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय को सिद्ध करने के लिए यह व्यावहारिक महत्व है, स्टोन द्वैत की विशेष स्थिति, जिसमें कोई निश्चित टोपोलॉजी के साथ सभी प्रमुख आदर्शों के सेट को लैस करता है और वास्तव में इस आंकड़े से मूल बूलियन बीजगणित (समरूपता तक) को पुनः प्राप्त कर सकता है। इसके अतिरिक्त, यह पता चला है कि अनुप्रयोगों में कोई भी स्वतंत्र रूप से प्रधान आदर्शों या प्रधान फिल्टर के साथ काम करने के लिए चुन सकता है, क्योंकि प्रत्येक आदर्श विशिष्ट रूप से फिल्टर इसके तत्वों के सभी बूलियन पूरक का सेट निर्धारित करता है। दोनों दृष्टिकोण साहित्य में पाए जाते हैं।

सामान्य टोपोलॉजी के कई अन्य प्रमेय जिन्हें अधिकांशतः पसंद के स्वयंसिद्ध पर विश्वास करने के लिए कहा जाता है, वास्तव में बीपीआई के बराबर हैं। उदाहरण के लिए, प्रमेय कि कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान का उत्पाद कॉम्पैक्ट है, जो बीपीआई के बराबर है। यदि हम हॉसडॉर्फ को छोड़ दें तो हमें टाइकोनॉफ प्रमेय पसंद के पूर्ण स्वयंसिद्ध के बराबर मिलता है।

ग्राफ सिद्धांत में, डी ब्रुजन-एर्डोस प्रमेय बीपीआई के बराबर है। इसमें कहा गया है कि, यदि किसी दिए गए अनंत ग्राफ को किसी ग्राफ रंग में कम से कम कुछ परिमित संख्या k की आवश्यकता होती है, तो उसके पास परिमित सबग्राफ होता है जिसके लिए k की भी आवश्यकता होती है।

बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय का बहुत प्रसिद्ध अनुप्रयोग गैर-मापने योग्य सेट का अस्तित्व है, सामान्यतः दिया गया उदाहरण विटाली सेट है, जिसके लिए पसंद के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है। इससे और तथ्य यह है कि बीपीआई पसंद के स्वयंसिद्ध से कठोरता से दुर्बल है, यह इस प्रकार है कि गैर-मापने योग्य सेटों का अस्तित्व पसंद के स्वयंसिद्ध से कठोरता से दुर्बल है।

रैखिक बीजगणित में, बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय का उपयोग यह सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है कि किसी दिए गए सदिश स्थान के किन्हीं भी दो आधारों में एक ही प्रमुखता है।

यह भी देखें

• बूलियन बीजगणित विषयों की सूची

संदर्भ

• Davey, B. A.; Priestley, H. A. (2002), Introduction to Lattices and Order (2nd ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-78451-1

An easy to read introduction, showing the equivalence of PIT for Boolean algebras and distributive lattices.

• Johnstone, Peter (1982), Stone Spaces, Cambridge studies in advanced mathematics, vol. 3, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-33779-3

The theory in this book often requires choice principles. The notes on various chapters discuss the general relation of the theorems to PIT and MIT for various structures (though mostly lattices) and give pointers to further literature.

• Banaschewski, B. (1983), "The power of the ultrafilter theorem", Journal of the London Mathematical Society, Second Series, 27 (2): 193–202, doi:10.1112/jlms/s2-27.2.193

Discusses the status of the ultrafilter lemma.

• Erné, M. (2000), "Prime ideal theory for general algebras", Applied Categorical Structures, 8: 115–144, doi:10.1023/A:1008611926427, S2CID 31605587

Gives many equivalent statements for the BPI, including prime ideal theorems for other algebraic structures. PITs are considered as special instances of separation lemmas.