अवलम्बित विकल्प अभिगृहीत: Difference between revisions

Latest revision as of 15:37, 2 November 2023

गणित में, अवलम्बित विकल्प अभिगृहीत, ${\mathsf {DC}}$ द्वारा निरूपित विकल्प के सिद्धांत ( ${\mathsf {AC}}$ ) का कमजोर रूप है जो अभी भी अधिकांश वास्तविक विश्लेषण विकसित करने के लिए पर्याप्त है। यह 1942 के लेख में पॉल बर्नेज़ द्वारा प्रस्तुत किया गया था जो विश्लेषण को विकसित करने के लिए गणित को उलट देता है जो समुच्चय-सैद्धांतिक सिद्धांत की आवश्यकता होती है।^{[lower-alpha 1]}

औपचारिक वक्तव्य

$X$ पर सजातीय संबंध $R$ को कुल संबंध कहा जाता है यदि प्रत्येक $a\in X,$ के लिए कुछ $b\in X$ उपस्थित है जैसे कि $a\,R~b$ सच है।

अवलम्बित विकल्प अभिगृहीत निम्नानुसार कहा जा सकता है:

प्रत्येक गैर-खाली समुच्चय (गणित) के लिए $X$ और हर कुल संबंध $R$ पर $X,$ एक क्रम होता है $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ में $X$ ऐसा है कि

x_{n}\,R~x_{n+1}

सभी के लिए

n\in \mathbb {N} .

वास्तव में, x₀ X के किसी भी वांछित तत्व के रूप में लिया जा सकता है। (इसे देखने के लिए, x₀ से प्रारंभ होने वाले परिमित अनुक्रमों के समुच्चय के ऊपर बताए गए सिद्धांत को प्रयुक्त करें और जिसमें बाद के शब्द संबंध $R$ , एक साथ दूसरे अनुक्रम के इस समुच्चय पर कुल संबंध पहले से एक शब्द जोड़कर प्राप्त किया जा रहा है।)

यदि उपरोक्त समुच्चय $X$ सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय तक सीमित है, तो परिणामी अभिगृहीत को ${\mathsf {DC}}_{\mathbb {R} }.$ द्वारा निरूपित किया जाता है

प्रयोग

इस तरह के सिद्धांत के बिना भी, किसी के लिए भी $n$ , पहला बनाने के लिए कोई साधारण गणितीय आगमन का उपयोग कर सकता है $n$ ऐसे क्रम की शर्तें।

अवलम्बित विकल्प अभिगृहीत कहता है कि हम इस तरह से संपूर्ण (अनगिनत रूप से अनंत) अनुक्रम बना सकते हैं।

सिद्धांत ${\mathsf {DC}}$ का अंश है ${\mathsf {AC}}$ यदि प्रत्येक चरण पर विकल्प बनाना आवश्यक है और यदि उनमें से कुछ विकल्पों को पिछले विकल्पों से स्वतंत्र रूप से नहीं बनाया जा सकता है, तो गणनीय समुच्चय लंबाई के ट्रांसफिनिट रिकर्सन द्वारा निर्मित अनुक्रम के अस्तित्व को दिखाने के लिए आवश्यक है।

समतुल्य कथन

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय थ्योरी पर ${\mathsf {ZF}}$ , ${\mathsf {DC}}$ पूर्ण मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए बायर श्रेणी प्रमेय के बराबर है।^[1]

यह ${\mathsf {ZF}}$ से लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय के बराबर भी है^{[lower-alpha 2]}^[2]

${\mathsf {DC}}$ इस कथन के ${\mathsf {ZF}}$ के बराबर भी है कि $\omega$ स्तरों वाले प्रत्येक प्रूनेड ट्री की शाखा (वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत) होती है (नीचे प्रमाण)।

आगे, ${\mathsf {DC}}$ ज़ोर्न लेम्मा के कमजोर रूप के बराबर है; विशेष रूप से ${\mathsf {DC}}$ इस कथन के समतुल्य है कि कोई भी आंशिक क्रम जैसे कि प्रत्येक सुव्यवस्थित श्रृंखला परिमित और परिमित है, यह अधिकतम तत्व होना चाहिए।^[3]

इसके अतिरिक्त ${\mathsf {DC}}$ ज़ोर्न के लेम्मा एक कमजोर रूप के बराबर है, विशेष रूप से ${\mathsf {DC}}$ इस कथन के बराबर है कि कोई भी आंशिक क्रम जैसे कि प्रत्येक सुव्यवस्थित श्रृंखला परिमित और परिमित है यह अधिकतम तत्व होना चाहिए।

Proof that $\,{\mathsf {DC}}\iff$ Every pruned tree with ω levels has a branch
$(\,\Longleftarrow \,)$ Let $R$ be an entire binary relation on $X$ . The strategy is to define a tree $T$ on $X$ of finite sequences whose neighboring elements satisfy $R.$ Then a branch through $T$ is an infinite sequence whose neighboring elements satisfy $R.$ Start by defining $\langle x_{0},\dots ,x_{n}\rangle \in T$ if $x_{k}R\,x_{k+1}$ for $0\leq k<n.$ Since $R$ is entire, $T$ is a pruned tree with $\omega$ levels. Thus, $T$ has a branch $\langle x_{0},\dots ,x_{n},\dots \rangle .$ So, for all $n\geq 0\!:$ $\langle x_{0},\dots ,x_{n},x_{n+1}\rangle \in T,$ which implies $x_{n}R\,x_{n+1}.$ Therefore, ${\mathsf {DC}}$ is true. $(\,\Longrightarrow \,)$ Let $T$ be a pruned tree on $X$ with $\omega$ levels. The strategy is to define a binary relation $R$ on $T$ so that ${\mathsf {DC}}$ produces a sequence $t_{n}=\langle x_{0},\dots ,x_{f(n)}\rangle$ where $t_{n}R\,t_{n+1}$ and $f(n)$ is a strictly increasing function. Then the infinite sequence $\langle x_{0},\dots ,x_{k},\dots \rangle$ is a branch. (This proof only needs to prove this for $f(n)=m+n.$ ) Start by defining $u\,R\,v$ if $u$ is an initial subsequence of $v,\operatorname {length} (u)>0,\,$ and $\operatorname {length} (v)=$ $\operatorname {length} (u)+1.$ Since $T$ is a pruned tree with $\omega$ levels, $R$ is entire. Therefore, ${\mathsf {DC}}$ implies that there is an infinite sequence $t_{n}$ such that $t_{n}\,R\,t_{n+1}.$ Now $t_{0}=\langle x_{0},\dots ,x_{m}\rangle$ for some $m\geq 0.$ Let $x_{m+n}$ be the last element of $t_{n}.$ Then $t_{n}=\langle x_{0},\dots ,x_{m},\dots ,x_{m+n}\rangle .$ For all $k\geq 0,$ the sequence $\langle x_{0},\dots ,x_{k}\rangle$ belongs to $T$ because it is an initial subsequence of $t_{0}\,(k\leq m)$ or it is a $t_{n}\,(k\geq m).$ Therefore, $\langle x_{0},\dots ,x_{k},\dots \rangle$ is a branch.

अन्य सिद्धांतों के साथ संबंध

पूर्ण ${\mathsf {AC}}$ के विपरीत , ${\mathsf {DC}}$ यह सिद्ध करने के लिए अपर्याप्त है (दिया गया ${\mathsf {ZF}}$ ) कि वास्तविक संख्याओं का गैर-मापने योग्य समुच्चय है, या यह कि बायर की संपत्ति के बिना या पूर्ण समुच्चय संपत्ति के बिना वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यह इस प्रकार है क्योंकि सोलोवे मॉडल ${\mathsf {ZF}}+{\mathsf {DC}}$ संतुष्ट करता है और इस मॉडल में वास्तविक संख्याओं का प्रत्येक समुच्चय लेबेसेग मापने योग्य है, इसमें बायर गुण है और इसके पास पूर्ण समुच्चय गुण है।

अवलम्बित विकल्प अभिगृहीत गणनीय विकल्प अभिगृहीत अर्थ है यह और सख्ती से शक्तिशाली है।^[4]^[5]

ट्रांसफिनिट अनुक्रमों का उत्पादन करने के लिए सिद्धांत को सामान्य बनाना संभव है। यदि इन्हें इच्छानुसार से लंबा करने की अनुमति दी जाती है, तो यह विकल्प के पूर्ण सिद्धांत के बराबर हो जाता है।

↑ "The foundation of analysis does not require the full generality of set theory but can be accomplished within a more restricted frame." Bernays, Paul (1942). "Part III. Infinity and enumerability. Analysis" (PDF). Journal of Symbolic Logic. A system of axiomatic set theory. 7 (2): 65–89. doi:10.2307/2266303. JSTOR 2266303. MR 0006333. S2CID 250344853. The axiom of dependent choice is stated on p. 86.
↑ Moore states that "Principle of Dependent Choices $\Rightarrow$ Löwenheim–Skolem theorem" — that is, ${\mathsf {DC}}$ implies the Löwenheim–Skolem theorem. See table Moore, Gregory H. (1982). Zermelo's Axiom of Choice: Its origins, development, and influence. Springer. p. 325. ISBN 0-387-90670-3.

संदर्भ

↑ "The Baire category theorem implies the principle of dependent choices." Blair, Charles E. (1977). "The Baire category theorem implies the principle of dependent choices". Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astron. Phys. 25 (10): 933–934.
↑ The converse is proved in Boolos, George S.; Jeffrey, Richard C. (1989). Computability and Logic (3rd ed.). Cambridge University Press. pp. 155–156. ISBN 0-521-38026-X.
↑ Wolk, Elliot S. (1983), "On the principle of dependent choices and some forms of Zorn's lemma", Canadian Mathematical Bulletin, 26 (3): 365–367, doi:10.4153/CMB-1983-062-5
↑ Bernays proved that the axiom of dependent choice implies the axiom of countable choice See esp. p. 86 in Bernays, Paul (1942). "Part III. Infinity and enumerability. Analysis" (PDF). Journal of Symbolic Logic. A system of axiomatic set theory. 7 (2): 65–89. doi:10.2307/2266303. JSTOR 2266303. MR 0006333. S2CID 250344853.
↑ For a proof that the Axiom of Countable Choice does not imply the Axiom of Dependent Choice see Jech, Thomas (1973), The Axiom of Choice, North Holland, pp. 130–131, ISBN 978-0-486-46624-8

Jech, Thomas (2003). Set Theory (Third Millennium ed.). Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2. OCLC 174929965. Zbl 1007.03002.

[1] "The foundation of analysis does not require the full generality of set theory but can be accomplished within a more restricted frame." Bernays, Paul (1942). "Part III. Infinity and enumerability. Analysis" (PDF). Journal of Symbolic Logic. A system of axiomatic set theory. 7 (2): 65–89. doi:10.2307/2266303. JSTOR 2266303. MR 0006333. S2CID 250344853. The axiom of dependent choice is stated on p. 86.

[3] Moore states that "Principle of Dependent Choices $\Rightarrow$ Löwenheim–Skolem theorem" — that is, ${\mathsf {DC}}$ implies the Löwenheim–Skolem theorem. See table Moore, Gregory H. (1982). Zermelo's Axiom of Choice: Its origins, development, and influence. Springer. p. 325. ISBN 0-387-90670-3.

[2] "The Baire category theorem implies the principle of dependent choices." Blair, Charles E. (1977). "The Baire category theorem implies the principle of dependent choices". Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astron. Phys. 25 (10): 933–934.

[4] The converse is proved in Boolos, George S.; Jeffrey, Richard C. (1989). Computability and Logic (3rd ed.). Cambridge University Press. pp. 155–156. ISBN 0-521-38026-X.

[Wolk_1983-5] Wolk, Elliot S. (1983), "On the principle of dependent choices and some forms of Zorn's lemma", Canadian Mathematical Bulletin, 26 (3): 365–367, doi:10.4153/CMB-1983-062-5

[6] Bernays proved that the axiom of dependent choice implies the axiom of countable choice See esp. p. 86 in Bernays, Paul (1942). "Part III. Infinity and enumerability. Analysis" (PDF). Journal of Symbolic Logic. A system of axiomatic set theory. 7 (2): 65–89. doi:10.2307/2266303. JSTOR 2266303. MR 0006333. S2CID 250344853.

[7] For a proof that the Axiom of Countable Choice does not imply the Axiom of Dependent Choice see Jech, Thomas (1973), The Axiom of Choice, North Holland, pp. 130–131, ISBN 978-0-486-46624-8

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-गणित में, निर्भर पसंद का स्वयंसिद्ध, द्वारा निरूपित <math> \mathsf{DC} </math>पसंद के स्वयंसिद्ध का एक कमजोर रूप है (<math> \mathsf{AC} </math>) जो अभी भी अधिकांश [[वास्तविक विश्लेषण]] विकसित करने के लिए पर्याप्त है। यह 1942 के एक लेख में [[पॉल बर्नेज़]] द्वारा पेश किया गया था जो विश्लेषण को विकसित करने के लिए गणित को उलट देता है जो [[सेट-सैद्धांतिक]] [[स्वयंसिद्ध]]ों की आवश्यकता होती है।<ref group=lower-alpha>"The foundation of analysis does not require the full generality of set theory but can be accomplished within a more restricted frame." {{cite journal |last=Bernays |first=Paul |year=1942 |series=A system of axiomatic set theory |title=Part&nbsp;III. Infinity and enumerability. Analysis. |journal=Journal of Symbolic Logic |volume=7 |issue=2 |pages=65–89 |mr=0006333 |doi=10.2307/2266303 |jstor=2266303|s2cid=250344853 |url=http://doc.rero.ch/record/290936/files/S0022481200064185.pdf }} The axiom of dependent choice is stated on p.&nbsp;86.</ref>
+गणित में, '''अवलम्बित विकल्प अभिगृहीत''', <math> \mathsf{DC} </math> द्वारा निरूपित विकल्प के सिद्धांत (<math> \mathsf{AC} </math>) का कमजोर रूप है जो अभी भी अधिकांश [[वास्तविक विश्लेषण]] विकसित करने के लिए पर्याप्त है। यह 1942 के लेख में [[पॉल बर्नेज़]] द्वारा प्रस्तुत किया गया था जो विश्लेषण को विकसित करने के लिए गणित को उलट देता है जो [[सेट-सैद्धांतिक|समुच्चय-सैद्धांतिक]] सिद्धांत की आवश्यकता होती है।<ref group=lower-alpha>"The foundation of analysis does not require the full generality of set theory but can be accomplished within a more restricted frame." {{cite journal |last=Bernays |first=Paul |year=1942 |series=A system of axiomatic set theory |title=Part&nbsp;III. Infinity and enumerability. Analysis. |journal=Journal of Symbolic Logic |volume=7 |issue=2 |pages=65–89 |mr=0006333 |doi=10.2307/2266303 |jstor=2266303|s2cid=250344853 |url=http://doc.rero.ch/record/290936/files/S0022481200064185.pdf }} The axiom of dependent choice is stated on p.&nbsp;86.</ref>
+== औपचारिक वक्तव्य ==
+<math>X</math> पर [[सजातीय संबंध]] <math>R</math> को कुल संबंध कहा जाता है यदि प्रत्येक <math>a \in X,</math> के लिए कुछ <math>b \in X</math> उपस्थित है जैसे कि <math>a\,R~b</math> सच है।
-== औपचारिक वक्तव्य ==
+अवलम्बित विकल्प अभिगृहीत निम्नानुसार कहा जा सकता है:
-एक [[सजातीय संबंध]] <math>R</math> पर <math>X</math> यदि प्रत्येक के लिए [[कुल संबंध]] कहा जाता है <math>a \in X,</math> कुछ मौजूद है <math>b \in X</math> ऐसा है कि <math>a\,R~b</math> क्या सच है।
-निर्भर पसंद का स्वयंसिद्ध निम्नानुसार कहा जा सकता है:
+प्रत्येक गैर-खाली [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] के लिए <math>X</math> और हर कुल संबंध <math>R</math> पर <math>X,</math> एक क्रम होता है <math>(x_n)_{n \in \N}</math> में <math>X</math> ऐसा है कि
-प्रत्येक गैर-खाली [[सेट (गणित)]] के लिए <math>X</math> और हर कुल संबंध  <math>R</math> पर <math>X,</math> एक क्रम होता है <math>(x_n)_{n \in \N}</math> में <math>X</math> ऐसा है कि
 :<math>x_n\, R~x_{n + 1}</math> सभी के लिए <math>n \in \N.</math>
-वास्तव में, एक्स<sub>0</sub> एक्स के किसी भी वांछित तत्व के रूप में लिया जा सकता है। (इसे देखने के लिए, एक्स के साथ शुरू होने वाले परिमित अनुक्रमों के सेट पर ऊपर वर्णित स्वयंसिद्ध को लागू करें<sub>0</sub> और जिसमें बाद के पद संबंध में हैं <math>R</math>, एक साथ दूसरे अनुक्रम के इस सेट पर कुल संबंध पहले से एक शब्द जोड़कर प्राप्त किया जा रहा है।)
+वास्तव में, ''x''<sub>0</sub> ''X'' के किसी भी वांछित तत्व के रूप में लिया जा सकता है। (इसे देखने के लिए, ''x''<sub>0</sub> से प्रारंभ होने वाले परिमित अनुक्रमों के समुच्चय के ऊपर बताए गए सिद्धांत को प्रयुक्त करें और जिसमें बाद के शब्द संबंध <math>R</math>, एक साथ दूसरे अनुक्रम के इस समुच्चय पर कुल संबंध पहले से एक शब्द जोड़कर प्राप्त किया जा रहा है।)
-यदि सेट <math>X</math> ऊपर सभी [[वास्तविक संख्या]]ओं के समुच्चय तक सीमित है, तो परिणामी स्वयंसिद्ध को निरूपित किया जाता है <math>\mathsf{DC}_{\R}. </math>
+यदि उपरोक्त समुच्चय <math>X</math> सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय तक सीमित है, तो परिणामी अभिगृहीत को <math>\mathsf{DC}_{\R}. </math> द्वारा निरूपित किया जाता है
+== प्रयोग ==
+इस तरह के सिद्धांत के बिना भी, किसी के लिए भी <math>n</math>, पहला बनाने के लिए कोई साधारण गणितीय आगमन का उपयोग कर सकता है <math>n</math> ऐसे क्रम की शर्तें।
+अवलम्बित विकल्प अभिगृहीत कहता है कि हम इस तरह से संपूर्ण (अनगिनत रूप से अनंत) अनुक्रम बना सकते हैं।
-== प्रयोग ==
+सिद्धांत <math> \mathsf{DC} </math> का अंश है <math> \mathsf{AC} </math> यदि प्रत्येक चरण पर विकल्प बनाना आवश्यक है और यदि उनमें से कुछ विकल्पों को पिछले विकल्पों से स्वतंत्र रूप से नहीं बनाया जा सकता है, तो [[गणनीय सेट|गणनीय समुच्चय]] लंबाई के [[ट्रांसफिनिट रिकर्सन]] द्वारा निर्मित अनुक्रम के अस्तित्व को दिखाने के लिए आवश्यक है।
-इस तरह के स्वयंसिद्ध के बिना भी, किसी के लिए भी <math>n</math>, पहला बनाने के लिए कोई साधारण गणितीय आगमन का उपयोग कर सकता है <math>n</math> ऐसे क्रम की शर्तें।
-निर्भर पसंद का स्वयंसिद्ध कहता है कि हम इस तरह से एक संपूर्ण (अनगिनत रूप से अनंत) अनुक्रम बना सकते हैं।
+== समतुल्य कथन ==
+ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय थ्योरी पर <math> \mathsf{ZF} </math>, <math> \mathsf{DC} </math> पूर्ण मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए बायर श्रेणी प्रमेय के बराबर है।<ref>"The Baire category theorem implies the principle of dependent choices." {{cite journal |author=Blair, Charles E. |year=1977 |title=The Baire category theorem implies the principle of dependent choices |journal=Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astron. Phys. |volume=25 |issue=10 |pages=933–934}}</ref>
-स्वयंसिद्ध <math> \mathsf{DC} </math> का अंश है <math> \mathsf{AC} </math> यदि प्रत्येक चरण पर एक विकल्प बनाना आवश्यक है और यदि उनमें से कुछ विकल्पों को पिछले विकल्पों से स्वतंत्र रूप से नहीं बनाया जा सकता है, तो [[गणनीय सेट]] लंबाई के [[ट्रांसफिनिट रिकर्सन]] द्वारा निर्मित अनुक्रम के अस्तित्व को दिखाने के लिए आवश्यक है।
+यह <math> \mathsf{ZF} </math> से लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय के बराबर भी है<ref group="lower-alpha">Moore states that "Principle of Dependent Choices <math>\Rightarrow</math> Löwenheim–Skolem theorem" — that is, <math>\mathsf{DC}</math> implies the Löwenheim–Skolem theorem. ''See'' table {{cite book |last=Moore |first=Gregory H. |year=1982 |title=Zermelo's Axiom of Choice: Its origins, development, and influence |page=325 |publisher=Springer |isbn=0-387-90670-3}}</ref><ref>The [[Converse (logic)|converse]] is proved in {{cite book |last1=Boolos |first1=George S. |author1link=George Boolos |last2=Jeffrey |first2=Richard C. |author2link=Richard Jeffrey |year=1989 |title=Computability and Logic |url=https://archive.org/details/computabilitylog0000bool_c7g3/page/155 |url-access=registration |edition=3rd |pages=[https://archive.org/details/computabilitylog0000bool_c7g3/page/155 155–156] |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-38026-X }}</ref>
-== समतुल्य कथन ==
+<math> \mathsf{DC} </math> इस कथन के <math> \mathsf{ZF} </math> के बराबर भी है कि <math> \omega </math> स्तरों वाले प्रत्येक प्रूनेड ट्री की शाखा (वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत) होती है (नीचे प्रमाण)।
-ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी पर <math> \mathsf{ZF} </math>, <math> \mathsf{DC} </math> पूर्ण मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए बायर श्रेणी प्रमेय के बराबर है।<ref>"The Baire category theorem implies the principle of dependent choices." {{cite journal |author=Blair, Charles E. |year=1977 |title=The Baire category theorem implies the principle of dependent choices |journal=Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astron. Phys. |volume=25 |issue=10 |pages=933–934}}</ref>
-यह भी बराबर है <math> \mathsf{ZF} </math> लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय के लिए।<ref group=lower-alpha>Moore states that "Principle of Dependent Choices <math>\Rightarrow</math> Löwenheim–Skolem theorem" — that is, <math>\mathsf{DC}</math> implies the Löwenheim–Skolem theorem. ''See'' table {{cite book |last=Moore |first=Gregory H. |year=1982 |title=Zermelo's Axiom of Choice: Its origins, development, and influence |page=325 |publisher=Springer |isbn=0-387-90670-3}}</ref><ref>The [[Converse (logic)|converse]] is proved in {{cite book |last1=Boolos |first1=George S. |author1link=George Boolos |last2=Jeffrey |first2=Richard C. |author2link=Richard Jeffrey |year=1989 |title=Computability and Logic |url=https://archive.org/details/computabilitylog0000bool_c7g3/page/155 |url-access=registration |edition=3rd |pages=[https://archive.org/details/computabilitylog0000bool_c7g3/page/155 155–156] |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-38026-X }}</ref>
-<math> \mathsf{DC} </math> भी बराबर है <math> \mathsf{ZF} </math> इस कथन के साथ कि हर छँटाई पेड़ के साथ <math> \omega </math> स्तरों की एक शाखा (वर्णनात्मक सेट सिद्धांत) (नीचे प्रमाण) है।
+आगे, <math> \mathsf{DC} </math> ज़ोर्न लेम्मा के कमजोर रूप के बराबर है; विशेष रूप से <math> \mathsf{DC} </math> इस कथन के समतुल्य है कि कोई भी आंशिक क्रम जैसे कि प्रत्येक सुव्यवस्थित श्रृंखला परिमित और परिमित है, यह अधिकतम तत्व होना चाहिए।<ref name="Wolk 1983">{{citation|title=On the principle of dependent choices and some forms of Zorn's lemma|first=Elliot S.|last=Wolk |journal=[[Canadian Mathematical Bulletin]]|volume=26|issue=3|pages=365–367 |year=1983 | doi=10.4153/CMB-1983-062-5 | doi-access=free }}</ref>
-आगे, <math> \mathsf{DC} </math> ज़ोर्न लेम्मा के कमजोर रूप के बराबर है; विशेष रूप से <math> \mathsf{DC} </math> इस कथन के समतुल्य है कि कोई भी आंशिक क्रम जैसे कि प्रत्येक सुव्यवस्थित श्रृंखला परिमित और परिमित है, एक अधिकतम तत्व होना चाहिए।<ref name="Wolk 1983">{{citation|title=On the principle of dependent choices and some forms of Zorn's lemma|first=Elliot S.|last=Wolk |journal=[[Canadian Mathematical Bulletin]]|volume=26|issue=3|pages=365–367 |year=1983 | doi=10.4153/CMB-1983-062-5 | doi-access=free }}</ref>
+इसके अतिरिक्त <math> \mathsf{DC} </math> ज़ोर्न के लेम्मा एक कमजोर रूप के बराबर है, विशेष रूप से <math> \mathsf{DC} </math> इस कथन के बराबर है कि कोई भी आंशिक क्रम जैसे कि प्रत्येक सुव्यवस्थित श्रृंखला परिमित और परिमित है यह अधिकतम तत्व होना चाहिए।
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 ! style="background: #f5f5f5;" |Proof that <math>\,\mathsf{DC} \iff</math> Every pruned tree with ω levels has a branch
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 |<math>(\,\Longleftarrow\,)</math> Let <math>R</math> be an entire binary relation on <math>X</math>. The strategy is to define a tree <math>T</math> on <math>X</math> of finite sequences whose neighboring elements satisfy <math>R.</math> Then a branch through <math>T</math> is an infinite sequence whose neighboring elements satisfy <math>R.</math> Start by defining <math>\langle x_0, \dots, x_n\rangle \in T</math> if <math>x_k R\,x_{k+1}</math> for <math>0 \le k < n.</math> Since <math>R</math> is entire, <math>T</math> is a pruned tree with <math>\omega</math> levels. Thus, <math>T</math> has a branch <math>\langle x_0, \dots, x_n, \dots\rangle.</math> So, for all <math>n \ge 0\!:</math> <math>\langle x_0, \dots, x_n, x_{n+1}\rangle \in T,</math> which implies <math>x_nR\,x_{n+1}.</math> Therefore, <math>\mathsf{DC}</math> is true.
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 |}
+== अन्य सिद्धांतों के साथ संबंध ==
+पूर्ण <math> \mathsf{AC} </math> के विपरीत , <math> \mathsf{DC} </math> यह सिद्ध करने के लिए अपर्याप्त है (दिया गया <math> \mathsf{ZF} </math>) कि वास्तविक संख्याओं का गैर-मापने योग्य समुच्चय है, या यह कि बायर की संपत्ति के बिना या पूर्ण समुच्चय संपत्ति के बिना वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यह इस प्रकार है क्योंकि [[कोकिला मॉडल|सोलोवे मॉडल]] <math> \mathsf{ZF} + \mathsf{DC} </math> संतुष्ट करता है और इस मॉडल में वास्तविक संख्याओं का प्रत्येक समुच्चय लेबेसेग मापने योग्य है, इसमें बायर गुण है और इसके पास पूर्ण समुच्चय गुण है।
-== अन्य स्वयंसिद्धों के साथ संबंध ==
+अवलम्बित विकल्प अभिगृहीत गणनीय विकल्प अभिगृहीत अर्थ है यह और सख्ती से शक्तिशाली है।<ref>Bernays proved that the axiom of dependent choice implies the axiom of countable choice ''See esp.'' p.&nbsp;86 in {{cite journal |last=Bernays |first=Paul |year=1942 |series=A system of axiomatic set theory |title=Part&nbsp;III. Infinity and enumerability. Analysis. |journal=Journal of Symbolic Logic |volume=7 |issue=2 |pages=65–89 |mr=0006333 |doi=10.2307/2266303 |jstor=2266303|s2cid=250344853 |url=http://doc.rero.ch/record/290936/files/S0022481200064185.pdf }}</ref><ref>For a proof that the Axiom of Countable Choice does not imply the Axiom of Dependent Choice ''see'' {{Citation |last=Jech |first=Thomas |authorlink=Thomas Jech |year=1973 |title=The Axiom of Choice |pages=130–131 |publisher=North Holland |isbn=978-0-486-46624-8}}</ref>
-पूर्ण के विपरीत <math> \mathsf{AC} </math>, <math> \mathsf{DC} </math> साबित करने के लिए अपर्याप्त है (दिया गया <math> \mathsf{ZF} </math>) कि वास्तविक संख्याओं का एक गैर-मापने योग्य|गैर-मापने योग्य सेट है, या यह कि बायर की संपत्ति के बिना या पूर्ण सेट संपत्ति के बिना वास्तविक संख्याओं का एक सेट है। यह इस प्रकार है क्योंकि [[कोकिला मॉडल]] संतुष्ट करता है <math> \mathsf{ZF} + \mathsf{DC} </math>, और इस मॉडल में वास्तविक संख्याओं का प्रत्येक सेट Lebesgue मापने योग्य है, इसमें Baire गुण है और इसके पास पूर्ण समुच्चय गुण है।
-निर्भर पसंद का स्वयंसिद्ध गणनीय विकल्प का स्वयंसिद्ध अर्थ है और सख्ती से मजबूत है।<ref>Bernays proved that the axiom of dependent choice implies the axiom of countable choice ''See esp.'' p.&nbsp;86 in {{cite journal |last=Bernays |first=Paul |year=1942 |series=A system of axiomatic set theory |title=Part&nbsp;III. Infinity and enumerability. Analysis. |journal=Journal of Symbolic Logic |volume=7 |issue=2 |pages=65–89 |mr=0006333 |doi=10.2307/2266303 |jstor=2266303|s2cid=250344853 |url=http://doc.rero.ch/record/290936/files/S0022481200064185.pdf }}</ref><ref>For a proof that the Axiom of Countable Choice does not imply the Axiom of Dependent Choice ''see'' {{Citation |last=Jech |first=Thomas |authorlink=Thomas Jech |year=1973 |title=The Axiom of Choice |pages=130–131 |publisher=North Holland |isbn=978-0-486-46624-8}}</ref>
+ट्रांसफिनिट अनुक्रमों का उत्पादन करने के लिए सिद्धांत को सामान्य बनाना संभव है। यदि इन्हें इच्छानुसार से लंबा करने की अनुमति दी जाती है, तो यह विकल्प के पूर्ण सिद्धांत के बराबर हो जाता है।
-ट्रांसफिनिट अनुक्रमों का उत्पादन करने के लिए स्वयंसिद्ध को सामान्य बनाना संभव है। यदि इन्हें मनमाने ढंग से लंबा करने की अनुमति दी जाती है, तो यह पसंद के पूर्ण स्वयंसिद्ध के बराबर हो जाता है।
 == टिप्पणियाँ ==
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 {{Set theory}}
-[[Category: पसंद का स्वयंसिद्ध]]
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+[[Category:पसंद का स्वयंसिद्ध]]

v t e समुच्चय सिद्धान्त
अवलोकन	सेट (गणित)
स्वयंसिद्ध	adjunction पसंद गणना योग्य आश्रित ग्लोबल निर्माण (v = l) निर्धारण एक्सटेंशनलिटी अनंत आकार की सीमा जोड़ी पावर सेट नियमितता संघ मार्टिन का स्वयंसिद्ध स्वयंसिद्ध स्कीमा प्रतिस्थापन विनिर्देश
संचालन	कार्तीय गुणन पूरक (यानी सेट अंतर) डे मॉर्गन के कानून असंतुष्ट संघ पहचान चौराहा सत्ता स्थापित सममित अंतर संघ
Concepts Methods	लगभग कार्डिनैलिटी कार्डिनल नंबर ( बड़ा) वर्ग रचनात्मक ब्रह्मांड सातत्य परिकल्पना विकर्ण तर्क तत्व क्रमित युग्म ट्यूपल परिवार फोर्सिंग एक-से-एक पत्राचार क्रमसूचक संख्या सेट-बिल्डर नोटेशन ट्रांसफिनाइट इंडक्शन वेन आरेख
सेट प्रकार	अनाकार काउंट करने योग्य खाली परिमित ( वंशानुगत रूप से) फ़िल्टर आधार सबबेस अल्ट्राफिल्टर फजी अनंत पुनरावर्ती सिंगलटन सबसेट⧼dot-separator⧽सुपरसेट सकर्मक बेशुमार यूनिवर्सल
सिद्धांतों	वैकल्पिक स्वयंसिद्ध भोला कैंटर का प्रमेय* Zermelo** सामान्य* प्रिंसिपिया मैथमेटिक '** नई नींव* Zermelo -fraenkel न्यूमैन से - बर्नेज़ - गोडेल* मोर्स -केली क्रिपे-प्लेटेक टार्स्की -ग्रोथेन्डीक
Paradoxes Problems	रसेल का विरोधाभास सुस्लिन की समस्या Burali-Forti विरोधाभास
सिद्धांतकार सेट	अब्राहम फ्रेंकेल बर्ट्रेंड रसेल अर्नस्ट ज़रमेलो जॉर्ज कैंटर जॉन वॉन न्यूमैन कर्ट गोडेल पॉल बर्नस पॉल कोहेन रिचर्ड डेडेकिंड थॉमस जेक थोरलफ स्कोलेम विलार्ड क्वीन लोरेंज हैलबिसेन

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