वैश्विक विकल्प अवलम्बित: Difference between revisions

Latest revision as of 12:41, 14 March 2023

गणित में, विशेष रूप से वर्ग सिद्धांतों में, वैश्विक विकल्प का स्वयंसिद्ध विकल्प के स्वयंसिद्ध का एक शक्तिशाली रूप है जो समुच्चय के उचित वर्गों के साथ-साथ समुच्चय के समुच्चय पर भी प्रयुक्त होता है। अनौपचारिक रूप से यह बताता है कि एक साथ प्रत्येक गैर-खाली समुच्चय से एक तत्व चुन सकता है।

कथन

वैश्विक विकल्प का स्वयंसिद्ध बताता है कि वैश्विक विकल्प फलन या बॉरबाकी ताऊ फलन τ है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक गैर-खाली समुच्चय z के लिए, τ(z) z का तत्व है।

वैश्विक विकल्प के स्वयंसिद्ध को सीधे जेडएफसी की भाषा में नहीं कहा जा सकता है (अर्नेस्ट ज़र्मेलो समुच्चय थ्योरी विथ द एक्सिओम ऑफ़ विकल्प), क्योंकि विकल्प फलन τ उचित वर्ग है और जेडएफसी में कोई भी कक्षाओं की मात्रा निर्धारित नहीं कर सकता है। इसे जेडएफसी की भाषा में नया फलन प्रतीक τ जोड़कर कहा जा सकता है, संपत्ति के साथ कि τ वैश्विक विकल्प फलन है। यह जेडएफसी का रूढ़िवादी विस्तार है: इस विस्तारित सिद्धांत का प्रत्येक सिद्ध कथन जो जेडएफसी की भाषा में कहा जा सकता है, जेडएफसी में पहले से ही सिद्ध है। (फ्रेंकेल, बार-हिल्लेल & लेवी 1973, पी.72). वैकल्पिक रूप से, कर्ट गोडेल | गोडेल ने दिखाया कि निर्माण के स्वयंसिद्ध को देखते हुए स्पष्ट (चूंकि कुछ जटिल) विकल्प फलन τ को जेडएफसी की भाषा में लिखा जा सकता है, इसलिए कुछ अर्थों में निर्माण क्षमता का स्वयंसिद्ध वैश्विक विकल्प (वास्तव में, (जेडएफसी) साबित करता है कि) यूनरी फलन प्रतीक τ द्वारा विस्तारित भाषा में, निर्माण के स्वयंसिद्ध का अर्थ है कि यदि τ को स्पष्ट रूप से निश्चित फलन कहा जाता है, तो यह τ वैश्विक विकल्प फलन है। और फिर वैश्विक विकल्प नैतिक रूप से, τ को गवाह के रूप में रखता है ( अंक शास्त्र))।

वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समुच्चय थ्योरी (एनबीजी) और मोर्स-केली समुच्चय थ्योरी की भाषा में, वैश्विक विकल्प के स्वयंसिद्ध को सीधे कहा जा सकता है (फ्रेंकेल, बार-हिल्लेल & लेवी 1973, पी.133), और कई अन्य बयानों के सामान्य है:

गैर-खाली समुच्चयों के प्रत्येक वर्ग में विकल्प कार्य होता है।
V \ {∅} का विकल्प फलन है (जहाँ V वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड है)।
V का सुक्रम है।
V और सभी क्रमिक संख्याओं के वर्ग के बीच आक्षेप है।

वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समुच्चय सिद्धांत में, वैश्विक विकल्प 'समुच्चय' (उचित वर्ग नहीं) के बारे में कोई परिणाम नहीं जोड़ता है, जो विकल्प के सामान्य स्वयंसिद्ध से निकाला जा सकता है।

वैश्विक विकल्प आकार की सीमा के स्वयंसिद्ध का परिणाम है।

संदर्भ

Fraenkel, Abraham A.; Bar-Hillel, Yehoshua; Levy, Azriel (1973), Foundations of set theory, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, vol. 67 (Second revised ed.), Amsterdam-London: North-Holland Publishing Co., ISBN 978-0720422702, MR 0345816
Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
John L. Kelley; General Topology; ISBN 0-387-90125-6

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-गणित में, विशेष रूप से वर्ग सिद्धांतों में, वैश्विक [[पसंद का स्वयंसिद्ध|विकल्प का स्वयंसिद्ध]] विकल्प के स्वयंसिद्ध का '''एक''' मजबूत रूप है जो [[सेट (गणित)|सेट]] के [[उचित वर्ग|उचित वर्गों]] के साथ-साथ सेट के सेट पर भी प्रयुक्त होता है। अनौपचारिक रूप से यह बताता है कि एक साथ प्रत्येक गैर-[[खाली सेट]] से '''एक''' तत्व चुन सकता है।
+गणित में, विशेष रूप से वर्ग सिद्धांतों में, वैश्विक [[पसंद का स्वयंसिद्ध|विकल्प का स्वयंसिद्ध]] विकल्प के स्वयंसिद्ध का '''एक''' शक्तिशाली रूप है जो [[सेट (गणित)|समुच्चय]] के [[उचित वर्ग|उचित वर्गों]] के साथ-साथ समुच्चय के समुच्चय पर भी प्रयुक्त होता है। अनौपचारिक रूप से यह बताता है कि एक साथ प्रत्येक गैर-[[खाली सेट|खाली समुच्चय]] से '''एक''' तत्व चुन सकता है।
 == कथन ==
-वैश्विक विकल्प का स्वयंसिद्ध बताता है कि वैश्विक विकल्प फलन या बॉरबाकी ताऊ फलन τ है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक गैर-खाली सेट z के लिए, τ(z) z का तत्व है।
+वैश्विक विकल्प का स्वयंसिद्ध बताता है कि वैश्विक विकल्प फलन या बॉरबाकी ताऊ फलन τ है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक गैर-खाली समुच्चय z के लिए, τ(z) z का तत्व है।
-वैश्विक विकल्प के स्वयंसिद्ध को सीधे [[ZFC|जेडएफसी]] की भाषा में नहीं कहा जा सकता है ([[अर्नेस्ट ज़र्मेलो]] सेट थ्योरी विथ द एक्सिओम ऑफ़ विकल्प), क्योंकि च्वाइस फंक्शन τ उचित वर्ग है और जेडएफसी में कोई भी कक्षाओं की मात्रा निर्धारित नहीं कर सकता है। इसे जेडएफसी की भाषा में नया फलन प्रतीक τ जोड़कर कहा जा सकता है, संपत्ति के साथ कि τ वैश्विक विकल्प फलन है। यह जेडएफसी का [[रूढ़िवादी विस्तार]] है: इस विस्तारित सिद्धांत का प्रत्येक सिद्ध कथन जो जेडएफसी की भाषा में कहा जा सकता है, जेडएफसी में पहले से ही सिद्ध है। {{harv|Fraenkel|Bar-Hillel|Levy|1973|loc=p.72}}. वैकल्पिक रूप से, कर्ट गोडेल | गोडेल ने दिखाया कि निर्माण के स्वयंसिद्ध को देखते हुए स्पष्ट (हालांकि कुछ जटिल) विकल्प फलन τ को जेडएफसी की भाषा में लिखा जा सकता है, इसलिए कुछ अर्थों में निर्माण क्षमता का स्वयंसिद्ध वैश्विक विकल्प (वास्तव में, (जेडएफसी) साबित करता है कि) यूनरी फलन प्रतीक τ द्वारा विस्तारित भाषा में, निर्माण के स्वयंसिद्ध का अर्थ है कि यदि τ को स्पष्ट रूप से निश्चित फलन कहा जाता है, तो यह τ वैश्विक विकल्प फलन है। और फिर वैश्विक विकल्प नैतिक रूप से, τ को गवाह के रूप में रखता है ( अंक शास्त्र))।
+वैश्विक विकल्प के स्वयंसिद्ध को सीधे [[ZFC|जेडएफसी]] की भाषा में नहीं कहा जा सकता है ([[अर्नेस्ट ज़र्मेलो]] समुच्चय थ्योरी विथ द एक्सिओम ऑफ़ विकल्प), क्योंकि विकल्प फलन τ उचित वर्ग है और जेडएफसी में कोई भी कक्षाओं की मात्रा निर्धारित नहीं कर सकता है। इसे जेडएफसी की भाषा में नया फलन प्रतीक τ जोड़कर कहा जा सकता है, संपत्ति के साथ कि τ वैश्विक विकल्प फलन है। यह जेडएफसी का [[रूढ़िवादी विस्तार]] है: इस विस्तारित सिद्धांत का प्रत्येक सिद्ध कथन जो जेडएफसी की भाषा में कहा जा सकता है, जेडएफसी में पहले से ही सिद्ध है। {{harv|फ्रेंकेल|बार-हिल्लेल|लेवी|1973|loc=पी.72}}. वैकल्पिक रूप से, कर्ट गोडेल | गोडेल ने दिखाया कि निर्माण के स्वयंसिद्ध को देखते हुए स्पष्ट (चूंकि कुछ जटिल) विकल्प फलन τ को जेडएफसी की भाषा में लिखा जा सकता है, इसलिए कुछ अर्थों में निर्माण क्षमता का स्वयंसिद्ध वैश्विक विकल्प (वास्तव में, (जेडएफसी) साबित करता है कि) यूनरी फलन प्रतीक τ द्वारा विस्तारित भाषा में, निर्माण के स्वयंसिद्ध का अर्थ है कि यदि τ को स्पष्ट रूप से निश्चित फलन कहा जाता है, तो यह τ वैश्विक विकल्प फलन है। और फिर वैश्विक विकल्प नैतिक रूप से, τ को गवाह के रूप में रखता है ( अंक शास्त्र))।
-वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट थ्योरी (NBG) और मोर्स-केली सेट थ्योरी की भाषा में, वैश्विक विकल्प के स्वयंसिद्ध को सीधे कहा जा सकता है {{harv|Fraenkel|Bar-Hillel|Levy|1973|loc=p.133}}, और कई अन्य बयानों के बराबर है:
+वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समुच्चय थ्योरी (एनबीजी) और मोर्स-केली समुच्चय थ्योरी की भाषा में, वैश्विक विकल्प के स्वयंसिद्ध को सीधे कहा जा सकता है {{harv|फ्रेंकेल|बार-हिल्लेल|लेवी|1973|loc=पी.133}}, और कई अन्य बयानों के सामान्य है:
-* गैर-खाली सेटों के प्रत्येक वर्ग में विकल्प कार्य होता है।
+* गैर-खाली समुच्चयों के प्रत्येक वर्ग में विकल्प कार्य होता है।
 * V \ {∅} का [[पसंद समारोह|विकल्प फलन]] है (जहाँ V वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड है)।
 * V का सुक्रम है।
 * V और सभी क्रमिक संख्याओं के वर्ग के बीच आक्षेप है।
-वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत में, वैश्विक विकल्प 'सेट' (उचित वर्ग नहीं) के बारे में कोई परिणाम नहीं जोड़ता है, जो विकल्प के सामान्य स्वयंसिद्ध से निकाला जा सकता है।
+वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समुच्चय सिद्धांत में, वैश्विक विकल्प 'समुच्चय' (उचित वर्ग नहीं) के बारे में कोई परिणाम नहीं जोड़ता है, जो विकल्प के सामान्य स्वयंसिद्ध से निकाला जा सकता है।
 वैश्विक विकल्प आकार की सीमा के स्वयंसिद्ध का परिणाम है।
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 *{{citation|mr= 0345816|last= Fraenkel|first= Abraham A.|author-link=Abraham Fraenkel|last2= Bar-Hillel|first2= Yehoshua|author-link2=Yehoshua Bar-Hillel|last3= Levy|first3= Azriel|author-link3=Azriel Lévy|title= Foundations of set theory|edition= Second revised|series= Studies in Logic and the Foundations of Mathematics|volume= 67|publisher= North-Holland Publishing Co.|place= Amsterdam-London|year= 1973|isbn= 978-0720422702|url-access= registration|url= https://archive.org/details/foundationsofset0000frae}}
-*[[Thomas Jech|Jech, Thomas]], 2003. ''Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded''.  Springer.  {{ISBN|3-540-44085-2}}.
+*[[Thomas Jech|Jech, Thomas]], 2003. ''Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded''. Springer. {{ISBN|3-540-44085-2}}.
 * [[John L. Kelley]]; <cite>General Topology</cite>; {{ISBN|0-387-90125-6}}
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v t e समुच्चय सिद्धान्त
अवलोकन	सेट (गणित)
स्वयंसिद्ध	adjunction पसंद गणना योग्य आश्रित ग्लोबल निर्माण (v = l) निर्धारण एक्सटेंशनलिटी अनंत आकार की सीमा जोड़ी पावर सेट नियमितता संघ मार्टिन का स्वयंसिद्ध स्वयंसिद्ध स्कीमा प्रतिस्थापन विनिर्देश
संचालन	कार्तीय गुणन पूरक (यानी सेट अंतर) डे मॉर्गन के कानून असंतुष्ट संघ पहचान चौराहा सत्ता स्थापित सममित अंतर संघ
Concepts Methods	लगभग कार्डिनैलिटी कार्डिनल नंबर ( बड़ा) वर्ग रचनात्मक ब्रह्मांड सातत्य परिकल्पना विकर्ण तर्क तत्व क्रमित युग्म ट्यूपल परिवार फोर्सिंग एक-से-एक पत्राचार क्रमसूचक संख्या सेट-बिल्डर नोटेशन ट्रांसफिनाइट इंडक्शन वेन आरेख
सेट प्रकार	अनाकार काउंट करने योग्य खाली परिमित ( वंशानुगत रूप से) फ़िल्टर आधार सबबेस अल्ट्राफिल्टर फजी अनंत पुनरावर्ती सिंगलटन सबसेट⧼dot-separator⧽सुपरसेट सकर्मक बेशुमार यूनिवर्सल
सिद्धांतों	वैकल्पिक स्वयंसिद्ध भोला कैंटर का प्रमेय* Zermelo** सामान्य* प्रिंसिपिया मैथमेटिक '** नई नींव* Zermelo -fraenkel न्यूमैन से - बर्नेज़ - गोडेल* मोर्स -केली क्रिपे-प्लेटेक टार्स्की -ग्रोथेन्डीक
Paradoxes Problems	रसेल का विरोधाभास सुस्लिन की समस्या Burali-Forti विरोधाभास
सिद्धांतकार सेट	अब्राहम फ्रेंकेल बर्ट्रेंड रसेल अर्नस्ट ज़रमेलो जॉर्ज कैंटर जॉन वॉन न्यूमैन कर्ट गोडेल पॉल बर्नस पॉल कोहेन रिचर्ड डेडेकिंड थॉमस जेक थोरलफ स्कोलेम विलार्ड क्वीन लोरेंज हैलबिसेन

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