स्पर्शज्या सदिश: Difference between revisions

Latest revision as of 10:07, 15 March 2023

गणित में स्पर्शरेखा सदिश सदिश (ज्यामिति) होता है जो किसी दिए गए बिंदु पर किसी वक्र या सतह (गणित) पर स्पर्शरेखा होता है। स्पर्शरेखा सदिशों का वर्णन R में वक्रों के संदर्भ में वक्रों की विभेदक ज्यामिति में किया गया है, इस प्रकार अधिकांशतः स्पर्शरेखा सदिश अलग-अलग कई गुना के स्पर्शरेखा स्थान के तत्व होते हैं। स्पर्शरेखा सदिशों को जर्म (गणित) के संदर्भ में भी वर्णित किया जा सकता है। औपचारिक रूप से, बिंदु पर स्पर्शरेखा सदिश $x$ कीटाणुओं के सेट द्वारा परिभाषित बीजगणित का रेखीय व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित) $x$ द्वारा प्रदर्शित होता हैं।

प्रेरणा

स्पर्शरेखा सदिश की सामान्य परिभाषा पर आगे बढ़ने से पहले, हम कलन में इसके उपयोग और इसके टेन्सर गुणों पर चर्चा करते हैं।

स्पर्श रेखा

इसमें $\mathbf {r} (t)$ पैरामीट्रिक चिकना वक्र बनाता हैं। इस प्रकार स्पर्शरेखा वेक्टर $\mathbf {r} '(t)$ द्वारा दिया गया है, जहां हमने पैरामीटर के संबंध में भिन्नता को इंगित करने के लिए सामान्य बिंदु के अतिरिक्त प्राइम $t$ का उपयोग किया है।^[1] इसमें इकाई स्पर्शरेखा वेक्टर द्वारा दिया गया है

\mathbf {T} (t)={\frac {\mathbf {r} '(t)}{|\mathbf {r} '(t)|}}\,.

उदाहरण के लिए यहाँ वक्र दिया गया हैं।

\mathbf {r} (t)=\left\{\left(1+t^{2},e^{2t},\cos {t}\right)\mid t\in \mathbb {R} \right\}

जिसमें

\mathbb {R} ^{3}

इकाई स्पर्शरेखा वेक्टर पर

t=0

द्वारा दिया गया है

\mathbf {T} (0)={\frac {\mathbf {r} '(0)}{\|\mathbf {r} '(0)\|}}=\left.{\frac {(2t,2e^{2t},-\sin {t})}{\sqrt {4t^{2}+4e^{4t}+\sin ^{2}{t}}}}\right|_{t=0}=(0,1,0)\,.

विपरीतता

यदि $\mathbf {r} (t)$ n-आयामी निर्देशांक प्रणाली n-आयामी निर्देशांक प्रणाली में पैरामीट्रिक रूप $x i$ से दिया गया है, (यहां हमने सामान्य सबस्क्रिप्ट के अतिरिक्त सुपरस्क्रिप्ट को इंडेक्स के रूप में उपयोग किया है)। $\mathbf {r} (t)=(x^{1}(t),x^{2}(t),\ldots ,x^{n}(t))$ या

\mathbf {r} =x^{i}=x^{i}(t),\quad a\leq t\leq b\,,

फिर स्पर्शरेखा सदिश क्षेत्र

\mathbf {T} =T^{i}

द्वारा दिया गया है

T^{i}={\frac {dx^{i}}{dt}}\,.

निर्देशांक के परिवर्तन के अनुसार

u^{i}=u^{i}(x^{1},x^{2},\ldots ,x^{n}),\quad 1\leq i\leq n

स्पर्शरेखा वेक्टर

{\bar {\mathbf {T} }}={\bar {T}}^{i}

में

u i

-निर्देशांक प्रणाली किसके द्वारा दी जाती है

{\bar {T}}^{i}={\frac {du^{i}}{dt}}={\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}{\frac {dx^{s}}{dt}}=T^{s}{\frac {\partial u^{i}}{\partial x^{s}}}

जहां हमने आइंस्टीन संकेतन का उपयोग किया है। इसलिए, चिकने वक्र का स्पर्शरेखा सदिश सहप्रसरण के रूप में रूपांतरित होगा और निर्देशांक के परिवर्तन के अनुसार क्रम के सदिशों के प्रतिप्रसरण के रूप में परिवर्तित होगा।^[2]

परिभाषा

इस प्रकार इस परिभाषा के अनुसार $f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ भिन्न कार्य हो और $\mathbf {v}$ में वेक्टर $\mathbb {R} ^{n}$ बनें तो हम दिशात्मक व्युत्पन्न को $\mathbf {v}$ बिंदु पर दिशा $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ द्वारा परिभाषित करते हैं।

\nabla _{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {v} )\right|_{t=0}=\sum _{i=1}^{n}v_{i}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(\mathbf {x} )\,.

बिंदु पर स्पर्शरेखा सदिश

\mathbf {x}

तब परिभाषित किया जा सकता है^[3] जैसे

\mathbf {v} (f(\mathbf {x} ))\equiv (\nabla _{\mathbf {v} }(f))(\mathbf {x} )\,.

गुण

इस प्रकार $f,g:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ अलग-अलग फं हो, तब इस स्थिति में $\mathbf {v} ,\mathbf {w}$ स्पर्शरेखा वैक्टर $\mathbb {R} ^{n}$ पर $\mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{n}$ , और जाने $a,b\in \mathbb {R}$ . बनाते हैं तब इस स्थिति में

$(a\mathbf {v} +b\mathbf {w} )(f)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {w} (f)$
$\mathbf {v} (af+bg)=a\mathbf {v} (f)+b\mathbf {v} (g)$
$\mathbf {v} (fg)=f(\mathbf {x} )\mathbf {v} (g)+g(\mathbf {x} )\mathbf {v} (f)\,.$

कई गुना पर स्पर्शरेखा वेक्टर

इस प्रकार $M$ अलग करने योग्य कई गुना हो और $A(M)$ पर वास्तविक-मूल्यवान भिन्न-भिन्न कार्यों का बीजगणित $M$ हो इस स्थिति में स्पर्शरेखा वेक्टर को $M$ बिंदु पर $x$ कई गुना व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित) $D_{v}:A(M)\rightarrow \mathbb {R}$ द्वारा दिया जाता है जो रैखिक होगा - अर्थात, किसी के लिए भी $f,g\in A(M)$ और $a,b\in \mathbb {R}$ द्वारा प्रदर्शित होता हैं इस कारण हमारे सामने उक्त समीकरण व्युत्पन्न होते हैं।

D_{v}(af+bg)=aD_{v}(f)+bD_{v}(g)\,.

ध्यान दें कि व्युत्पत्ति परिभाषा के अनुसार लीबनिज़ मान को प्रकट करेंगे।

D_{v}(f\cdot g)(x)=D_{v}(f)(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot D_{v}(g)(x)\,.

यह भी देखें

अवकलनीय वक्र § स्पर्शरेखा सदिश
अवकलनीय सतह § स्पर्शरेखा तल और सामान्य सदिश

संदर्भ

↑ J. Stewart (2001)
↑ D. Kay (1988)
↑ A. Gray (1993)

ग्रन्थसूची

Gray, Alfred (1993), Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces, Boca Raton: CRC Press.
Stewart, James (2001), Calculus: Concepts and Contexts, Australia: Thomson/Brooks/Cole.
Kay, David (1988), Schaums Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus, New York: McGraw-Hill.

[1] J. Stewart (2001)

[2] D. Kay (1988)

[3] A. Gray (1993)

[1]

[2]

[3]

@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{short description|Vector tangent to a curve or surface at a given point}}
+{{short description|Vector tangent to a curve or surface at a given point}}गणित में [[स्पर्शरेखा]] सदिश सदिश (ज्यामिति) होता है जो किसी दिए गए बिंदु पर किसी [[वक्र]] या [[सतह (गणित)]] पर स्पर्शरेखा होता है। स्पर्शरेखा सदिशों का वर्णन R में वक्रों के संदर्भ में [[वक्रों की विभेदक ज्यामिति]] में किया गया है, इस प्रकार अधिकांशतः स्पर्शरेखा सदिश अलग-अलग कई गुना के [[स्पर्शरेखा स्थान]] के तत्व होते हैं। स्पर्शरेखा सदिशों को जर्म (गणित) के संदर्भ में भी वर्णित किया जा सकता है। औपचारिक रूप से, बिंदु पर स्पर्शरेखा सदिश <math>x</math> कीटाणुओं के सेट द्वारा परिभाषित बीजगणित का रेखीय [[व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित)]] <math>x</math> द्वारा प्रदर्शित होता हैं।
-{{For|a more general, but more technical, treatment of tangent vectors|Tangent space}}
-गणित में, एक [[स्पर्शरेखा]] सदिश एक सदिश (ज्यामिति) होता है जो किसी दिए गए बिंदु पर किसी [[वक्र]] या [[सतह (गणित)]] पर स्पर्शरेखा होता है। स्पर्शरेखा सदिशों का वर्णन R में वक्रों के संदर्भ में [[वक्रों की विभेदक ज्यामिति]] में किया गया है<sup>एन</sup>. अधिक आम तौर पर, स्पर्शरेखा सदिश एक अलग-अलग कई गुना के [[स्पर्शरेखा स्थान]] के तत्व होते हैं। स्पर्शरेखा सदिशों को जर्म (गणित) के संदर्भ में भी वर्णित किया जा सकता है। औपचारिक रूप से, बिंदु पर एक स्पर्शरेखा सदिश <math>x</math> कीटाणुओं के सेट द्वारा परिभाषित बीजगणित का एक रेखीय [[व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित)]] है <math>x</math>.
 == प्रेरणा ==
 स्पर्शरेखा सदिश की सामान्य परिभाषा पर आगे बढ़ने से पहले, हम कलन में इसके उपयोग और इसके [[टेन्सर]] गुणों पर चर्चा करते हैं।
-=== पथरी ===
+=== स्पर्श रेखा ===
-होने देना <math>\mathbf{r}(t)</math> एक पैरामीट्रिक [[चिकनी वक्र]] बनें। स्पर्शरेखा वेक्टर द्वारा दिया गया है <math>\mathbf{r}'(t)</math>, जहां हमने पैरामीटर के संबंध में भेदभाव को इंगित करने के लिए सामान्य बिंदु के बजाय प्राइम का उपयोग किया है {{mvar|t}}.<ref>J. Stewart (2001)</ref> इकाई स्पर्शरेखा वेक्टर द्वारा दिया गया है
+इसमें <math>\mathbf{r}(t)</math> पैरामीट्रिक [[चिकनी वक्र|चिकना वक्र]] बनाता हैं। इस प्रकार स्पर्शरेखा वेक्टर <math>\mathbf{r}'(t)</math> द्वारा दिया गया है, जहां हमने पैरामीटर के संबंध में भिन्नता को इंगित करने के लिए सामान्य बिंदु के अतिरिक्त प्राइम {{mvar|t}} का उपयोग किया है।<ref>J. Stewart (2001)</ref> इसमें इकाई स्पर्शरेखा वेक्टर द्वारा दिया गया है<math display="block">\mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}\,.</math>उदाहरण के लिए यहाँ वक्र दिया गया हैं।<math display="block">\mathbf{r}(t) = \left\{\left(1+t^2, e^{2t}, \cos{t}\right) \mid t\in\R\right\}</math>जिसमें <math>\R^3</math> इकाई स्पर्शरेखा वेक्टर पर <math>t = 0</math> द्वारा दिया गया है<math display="block">\mathbf{T}(0) = \frac{\mathbf{r}'(0)}{\|\mathbf{r}'(0)\|} = \left.\frac{(2t, 2e^{2t}, -\sin{t})}{\sqrt{4t^2 + 4e^{4t} + \sin^2{t}}}\right|_{t=0} = (0,1,0)\,.</math>
-<math display="block">\mathbf{T}(t) = \frac{\mathbf{r}'(t)}{|\mathbf{r}'(t)|}\,.</math>
-==== उदाहरण ====
-वक्र दिया
-<math display="block">\mathbf{r}(t) = \left\{\left(1+t^2, e^{2t}, \cos{t}\right) \mid t\in\R\right\}</math>
-में <math>\R^3</math>, इकाई स्पर्शरेखा वेक्टर पर <math>t = 0</math> द्वारा दिया गया है
-<math display="block">\mathbf{T}(0) = \frac{\mathbf{r}'(0)}{\|\mathbf{r}'(0)\|} = \left.\frac{(2t, 2e^{2t}, -\sin{t})}{\sqrt{4t^2 + 4e^{4t} + \sin^2{t}}}\right|_{t=0} = (0,1,0)\,.</math>
 === विपरीतता ===
-अगर <math>\mathbf{r}(t)</math> n-आयामी निर्देशांक प्रणाली|n-आयामी निर्देशांक प्रणाली में पैरामीट्रिक रूप से दिया गया है {{math|''x<sup>i</sup>''}} (यहां हमने सामान्य सबस्क्रिप्ट के बजाय सुपरस्क्रिप्ट को इंडेक्स के रूप में उपयोग किया है)। <math>\mathbf{r}(t) = (x^1(t), x^2(t), \ldots, x^n(t))</math> या
+यदि <math>\mathbf{r}(t)</math> n-आयामी निर्देशांक प्रणाली n-आयामी निर्देशांक प्रणाली में पैरामीट्रिक रूप {{math|''x<sup>i</sup>''}} से दिया गया है, (यहां हमने सामान्य सबस्क्रिप्ट के अतिरिक्त सुपरस्क्रिप्ट को इंडेक्स के रूप में उपयोग किया है)। <math>\mathbf{r}(t) = (x^1(t), x^2(t), \ldots, x^n(t))</math>
-<math display="block">\mathbf{r} = x^i = x^i(t), \quad a\leq t\leq b\,,</math>
+या<math display="block">\mathbf{r} = x^i = x^i(t), \quad a\leq t\leq b\,,</math>फिर स्पर्शरेखा सदिश क्षेत्र <math>\mathbf{T} = T^i</math> द्वारा दिया गया है<math display="block">T^i = \frac{dx^i}{dt}\,.</math>निर्देशांक के परिवर्तन के अनुसार<math display="block">u^i = u^i(x^1, x^2, \ldots, x^n), \quad 1\leq i\leq n</math>स्पर्शरेखा वेक्टर <math>\bar{\mathbf{T}} = \bar{T}^i</math> में {{math|''u<sup>i</sup>''}}-निर्देशांक प्रणाली किसके द्वारा दी जाती है<math display="block">\bar{T}^i = \frac{du^i}{dt} = \frac{\partial u^i}{\partial x^s} \frac{dx^s}{dt} = T^s \frac{\partial u^i}{\partial x^s}</math>जहां हमने [[ आइंस्टीन संकेतन |आइंस्टीन संकेतन]] का उपयोग किया है। इसलिए, चिकने वक्र का स्पर्शरेखा सदिश सहप्रसरण के रूप में रूपांतरित होगा और निर्देशांक के परिवर्तन के अनुसार क्रम के सदिशों के प्रतिप्रसरण के रूप में परिवर्तित होगा।<ref>D. Kay (1988)</ref>
-फिर स्पर्शरेखा सदिश क्षेत्र <math>\mathbf{T} = T^i</math> द्वारा दिया गया है
-<math display="block">T^i = \frac{dx^i}{dt}\,.</math>
-निर्देशांक के परिवर्तन के तहत
-<math display="block">u^i = u^i(x^1, x^2, \ldots, x^n), \quad 1\leq i\leq n</math>
-स्पर्शरेखा वेक्टर <math>\bar{\mathbf{T}} = \bar{T}^i</math> में {{math|''u<sup>i</sup>''}}-निर्देशांक प्रणाली किसके द्वारा दी जाती है
-<math display="block">\bar{T}^i = \frac{du^i}{dt} = \frac{\partial u^i}{\partial x^s} \frac{dx^s}{dt} = T^s \frac{\partial u^i}{\partial x^s}</math>
-जहां हमने [[ आइंस्टीन संकेतन ]] का इस्तेमाल किया है। इसलिए, एक चिकने वक्र का एक स्पर्शरेखा सदिश एक सहप्रसरण के रूप में रूपांतरित होगा और निर्देशांक के परिवर्तन के तहत एक क्रम के सदिशों के प्रतिप्रसरण के रूप में परिवर्तित होगा।<ref>D. Kay (1988)</ref>
 == परिभाषा ==
-होने देना <math>f: \R^n \to \R</math> एक भिन्न कार्य हो और चलो <math>\mathbf{v}</math> में एक वेक्टर बनें <math>\R^n</math>. हम दिशात्मक व्युत्पन्न को परिभाषित करते हैं <math>\mathbf{v}</math> एक बिंदु पर दिशा <math>\mathbf{x} \in \R^n</math> द्वारा
+इस प्रकार इस परिभाषा के अनुसार <math>f: \R^n \to \R</math> भिन्न कार्य हो और <math>\mathbf{v}</math> में वेक्टर <math>\R^n</math> बनें तो हम दिशात्मक व्युत्पन्न को <math>\mathbf{v}</math> बिंदु पर दिशा <math>\mathbf{x} \in \R^n</math> द्वारा परिभाषित करते हैं। <math display="block">\nabla_\mathbf{v} f(\mathbf{x}) = \left.\frac{d}{dt} f(\mathbf{x} + t\mathbf{v})\right|_{t=0} = \sum_{i=1}^{n} v_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{x})\,.</math>बिंदु पर स्पर्शरेखा सदिश <math>\mathbf{x}</math> तब परिभाषित किया जा सकता है<ref>A. Gray (1993)</ref> जैसे<math display="block">\mathbf{v}(f(\mathbf{x})) \equiv (\nabla_\mathbf{v}(f)) (\mathbf{x})\,.</math>
-<math display="block">\nabla_\mathbf{v} f(\mathbf{x}) = \left.\frac{d}{dt} f(\mathbf{x} + t\mathbf{v})\right|_{t=0} = \sum_{i=1}^{n} v_i \frac{\partial f}{\partial x_i}(\mathbf{x})\,.</math>
-बिंदु पर स्पर्शरेखा सदिश <math>\mathbf{x}</math> तब परिभाषित किया जा सकता है<ref>A. Gray (1993)</ref> जैसा
-<math display="block">\mathbf{v}(f(\mathbf{x})) \equiv (\nabla_\mathbf{v}(f)) (\mathbf{x})\,.</math>
 == गुण ==
-होने देना <math>f,g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math> अलग-अलग कार्य हो, चलो <math>\mathbf{v},\mathbf{w}</math> स्पर्शरेखा वैक्टर बनें <math>\mathbb{R}^n</math> पर <math>\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n</math>, और जाने <math>a,b\in\mathbb{R}</math>. तब
+इस प्रकार <math>f,g:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}</math> अलग-अलग फं हो, तब इस स्थिति में <math>\mathbf{v},\mathbf{w}</math> स्पर्शरेखा वैक्टर <math>\mathbb{R}^n</math> पर <math>\mathbf{x}\in\mathbb{R}^n</math>, और जाने <math>a,b\in\mathbb{R}</math>. बनाते हैं तब इस स्थिति में
 #<math>(a\mathbf{v}+b\mathbf{w})(f)=a\mathbf{v}(f)+b\mathbf{w}(f)</math>
 #<math>\mathbf{v}(af+bg)=a\mathbf{v}(f)+b\mathbf{v}(g)</math>
 #<math>\mathbf{v}(fg)=f(\mathbf{x})\mathbf{v}(g)+g(\mathbf{x})\mathbf{v}(f)\,.</math>
 == कई गुना पर स्पर्शरेखा वेक्टर ==
-होने देना <math>M</math> एक अलग करने योग्य कई गुना हो और चलो <math>A(M)</math> पर वास्तविक-मूल्यवान भिन्न-भिन्न कार्यों का बीजगणित हो <math>M</math>. फिर स्पर्शरेखा वेक्टर को <math>M</math> एक बिंदु पर <math>x</math> कई गुना व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित) द्वारा दिया जाता है <math>D_v:A(M)\rightarrow\mathbb{R}</math> जो रैखिक होगा - अर्थात, किसी के लिए भी <math>f,g\in A(M)</math> और <math>a,b\in\mathbb{R}</math> अपने पास
+इस प्रकार <math>M</math> अलग करने योग्य कई गुना हो और <math>A(M)</math> पर वास्तविक-मूल्यवान भिन्न-भिन्न कार्यों का बीजगणित <math>M</math> हो इस स्थिति में स्पर्शरेखा वेक्टर को <math>M</math> बिंदु पर <math>x</math> कई गुना व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित) <math>D_v:A(M)\rightarrow\mathbb{R}</math> द्वारा दिया जाता है जो रैखिक होगा - अर्थात, किसी के लिए भी <math>f,g\in A(M)</math> और <math>a,b\in\mathbb{R}</math> द्वारा प्रदर्शित होता हैं इस कारण हमारे सामने उक्त समीकरण व्युत्पन्न होते हैं।
 :<math>D_v(af+bg)=aD_v(f)+bD_v(g)\,.</math>
-ध्यान दें कि व्युत्पत्ति परिभाषा के अनुसार लीबनिज़ संपत्ति होगी
+ध्यान दें कि व्युत्पत्ति परिभाषा के अनुसार लीबनिज़ मान को प्रकट करेंगे।
 :<math>D_v(f\cdot g)(x)=D_v(f)(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot D_v(g)(x)\,.</math>
 == यह भी देखें ==
-*{{slink|Differentiable curve#Tangent vector}}
+*अवकलनीय वक्र § स्पर्शरेखा सदिश
-*{{slink|Differentiable surface#Tangent plane and normal vector}}
+*अवकलनीय सतह § स्पर्शरेखा तल और सामान्य सदिश
 == संदर्भ ==
 <references />
 == ग्रन्थसूची ==
@@ Line 63: / Line 35: @@
 * {{citation|first=James|last=Stewart|title=Calculus: Concepts and Contexts|publisher=Thomson/Brooks/Cole|publication-place=Australia|year=2001}}.
 * {{citation|first=David|last=Kay|title=Schaums Outline of Theory and Problems of Tensor Calculus|publisher=McGraw-Hill|publication-place=New York|year=1988}}.
-[[Category: वैक्टर (गणित और भौतिकी)]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 01/03/2023]]
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+[[Category:Machine Translated Page]]
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