संतुलन बिंदु: Difference between revisions

Latest revision as of 16:06, 16 March 2023

स्वायत्त प्रणाली

x'=Ax,

उनकी विशेषताओं के अनुसार स्थिर या अस्थिर। स्थिरता सामान्यतः आरेख के बाईं ओर बढ़ जाती है।^[1] कुछ सिंक, स्रोत या नोड समतोल बिंदु हैं।

गणित में, विशेष रूप से अंतर समीकरणों में, एक संतुलन बिंदु एक अंतर समीकरण का निरंतर समाधान होता है।

औपचारिक परिभाषा

बिंदु ${\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}$ अंतर समीकरण के लिए एक संतुलन बिंदु है

{\frac {d\mathbf {x} }{dt}}=\mathbf {f} (t,\mathbf {x} )

यदि

\mathbf {f} (t,{\tilde {\mathbf {x} }})=\mathbf {0}

सभी के लिए

t

.

इसी प्रकार बिंदु ${\tilde {\mathbf {x} }}\in \mathbb {R} ^{n}$ अंतर समीकरण के लिए एक संतुलन बिंदु (या निश्चित बिंदु (गणित)) है

{\textstyle \mathbf {x} _{k+1}=\mathbf {f} (k,\mathbf {x} _{k})}

यदि $\mathbf {f} (k,{\tilde {\mathbf {x} }})={\tilde {\mathbf {x} }}$ के लिए $k=0,1,2,\ldots$ .

साम्यावस्था के बारे में समीकरणों के रेखीयकरण के ईजेनवेल्यू के संकेतों को देखकर संतुलन को वर्गीकृत किया जा सकता है। कहने का मतलब यह है कि प्रणाली के प्रत्येक संतुलन बिंदु पर जैकबियन मैट्रिक्स का मूल्यांकन करके, और फिर परिणामी ईजेनवेल्यू का पता लगाकर, संतुलन को वर्गीकृत किया जा सकता है। फिर प्रत्येक संतुलन बिंदु के निकटतम प्रणाली के व्यवहार को गुणात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है, (या कुछ स्थितियों में मात्रात्मक रूप से भी निर्धारित किया जाता है), प्रत्येक ईजेनवेल्यू से जुड़े ईजेनवेक्टर (एस) को ढूंढकर।

एक संतुलन बिंदु अतिशयोक्तिपूर्ण संतुलन बिंदु है यदि किसी भी ईजेनवेल्यू का वास्तविक भाग शून्य नहीं है। यदि सभी ईजेनवेल्यू में नकारात्मक वास्तविक भाग होते हैं, तो बिंदु स्थिर होता है। यदि कम से कम एक सकारात्मक वास्तविक भाग है, तो बिंदु अस्थिर है। यदि कम से कम एक ईजेनवेल्यू का नकारात्मक वास्तविक भाग है और कम से कम एक का सकारात्मक वास्तविक भाग है, तो संतुलन एक बिंदु है और यह अस्थिर है। यदि सभी ईजेनवेल्यू वास्तविक हैं और समान चिह्न हैं तो बिंदु को नोड कहा जाता है।

यह भी देखें

संदर्भ

↑ Egwald Mathematics - Linear Algebra: Systems of Linear Differential Equations: Linear Stability Analysis Accessed 10 October 2019.

Boyce, William E.; DiPrima, Richard C. (2012). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (10th ed.). Wiley. ISBN 978-0-470-45831-0.
Perko, Lawrence (2001). Differential Equations and Dynamical Systems (3rd ed.). Springer. pp. 102–104. ISBN 1-4613-0003-7.

[1] Egwald Mathematics - Linear Algebra: Systems of Linear Differential Equations: Linear Stability Analysis Accessed 10 October 2019.

[1]

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{short description|Constant solution to a differential equation}}
-[[File:Stability_Diagram.png|thumb|550px|पॉइंकेयर मानचित्र का वर्गीकरण करने वाला [[स्थिरता सिद्धांत]]#पोइंकेयर मानचित्र और स्थिरता विश्लेषण|रेखीय स्वायत्त प्रणाली के पॉइंकेयर मानचित्र (गणित)|स्वायत्त प्रणाली <math>x' = Ax,</math> उनकी विशेषताओं के अनुसार स्थिर या अस्थिर। स्थिरता आमतौर पर आरेख के बाईं ओर बढ़ जाती है।<ref>[http://www.egwald.ca/linearalgebra/lineardifferentialequationsstabilityanalysis.php Egwald Mathematics - Linear Algebra: Systems of Linear Differential Equations: Linear Stability Analysis] Accessed 10 October 2019.</ref> कुछ सिंक, स्रोत या नोड समतोल बिंदु हैं।]]गणित में, विशेष रूप से अंतर समीकरणों में, एक संतुलन बिंदु एक अंतर समीकरण का निरंतर समाधान होता है।
+[[File:Stability_Diagram.png|thumb|550px|स्वायत्त प्रणाली <math>x' = Ax,</math> उनकी विशेषताओं के अनुसार स्थिर या अस्थिर। स्थिरता सामान्यतः आरेख के बाईं ओर बढ़ जाती है।<ref>[http://www.egwald.ca/linearalgebra/lineardifferentialequationsstabilityanalysis.php Egwald Mathematics - Linear Algebra: Systems of Linear Differential Equations: Linear Stability Analysis] Accessed 10 October 2019.</ref> कुछ सिंक, स्रोत या नोड समतोल बिंदु हैं।]]गणित में, विशेष रूप से अंतर समीकरणों में, एक संतुलन बिंदु एक अंतर समीकरण का निरंतर समाधान होता है।
-'''गणित में, विशेष रूप से अंतर समीकरणों में, एक संतुलन बिंदु एक अंतर समीकरण का निरंतर समाधान होता है'''
 == औपचारिक परिभाषा ==
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 :<math>\frac{d\mathbf{x}}{dt} = \mathbf{f}(t,\mathbf{x})</math>
-:अगर <math>\mathbf{f}(t,\tilde{\mathbf{x}})=\mathbf{0}</math> सभी के लिए <math>t</math>.
+:यदि <math>\mathbf{f}(t,\tilde{\mathbf{x}})=\mathbf{0}</math> सभी के लिए <math>t</math>.
-इसी प्रकार बिंदु  <math>\tilde{\mathbf{x}}\in \mathbb{R}^n</math> [[अंतर समीकरण]] के लिए एक संतुलन बिंदु (या [[निश्चित बिंदु (गणित)]]) है
+इसी प्रकार बिंदु <math>\tilde{\mathbf{x}}\in \mathbb{R}^n</math> [[अंतर समीकरण]] के लिए एक संतुलन बिंदु (या [[निश्चित बिंदु (गणित)]]) है
 :<math display="inline">\mathbf{x}_{k+1} = \mathbf{f}(k,\mathbf{x}_k)</math>
-अगर <math>\mathbf{f}(k,\tilde{\mathbf{x}})= \tilde{\mathbf{x}} </math> के लिए <math>k=0,1,2,\ldots</math>.
+यदि <math>\mathbf{f}(k,\tilde{\mathbf{x}})= \tilde{\mathbf{x}} </math> के लिए <math>k=0,1,2,\ldots</math>.
-साम्यावस्था के बारे में समीकरणों के रेखीयकरण के eigenvalues के संकेतों को देखकर संतुलन को वर्गीकृत किया जा सकता है। कहने का मतलब यह है कि, सिस्टम के प्रत्येक संतुलन बिंदु पर [[ जैकबियन मैट्रिक्स ]] का मूल्यांकन करके, और फिर परिणामी eigenvalues का पता लगाकर, संतुलन को वर्गीकृत किया जा सकता है। फिर प्रत्येक संतुलन बिंदु के पड़ोस में प्रणाली के व्यवहार को गुणात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है, (या कुछ मामलों में मात्रात्मक रूप से भी निर्धारित किया जाता है), प्रत्येक ईजेनवेल्यू से जुड़े ईजेनवेक्टर (एस) को ढूंढकर।
+साम्यावस्था के बारे में समीकरणों के रेखीयकरण के ईजेनवेल्यू के संकेतों को देखकर संतुलन को वर्गीकृत किया जा सकता है। कहने का मतलब यह है कि प्रणाली के प्रत्येक संतुलन बिंदु पर [[ जैकबियन मैट्रिक्स |जैकबियन मैट्रिक्स]] का मूल्यांकन करके, और फिर परिणामी ईजेनवेल्यू का पता लगाकर, संतुलन को वर्गीकृत किया जा सकता है। फिर प्रत्येक संतुलन बिंदु के निकटतम प्रणाली के व्यवहार को गुणात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है, (या कुछ स्थितियों में मात्रात्मक रूप से भी निर्धारित किया जाता है), प्रत्येक ईजेनवेल्यू से जुड़े ईजेनवेक्टर (एस) को ढूंढकर।
-एक संतुलन बिंदु [[अतिशयोक्तिपूर्ण संतुलन बिंदु]] है यदि किसी भी ईजेनवेल्यू का वास्तविक भाग शून्य नहीं है। यदि सभी eigenvalues में नकारात्मक वास्तविक भाग होते हैं, तो बिंदु स्थिर होता है। यदि कम से कम एक सकारात्मक वास्तविक भाग है, तो बिंदु अस्थिर है। यदि कम से कम एक eigenvalue का नकारात्मक वास्तविक भाग है और कम से कम एक का सकारात्मक वास्तविक भाग है, तो संतुलन एक काठी बिंदु है और यह अस्थिर है। यदि सभी eigenvalues वास्तविक हैं और समान चिह्न हैं तो बिंदु को नोड कहा जाता है।
+एक संतुलन बिंदु [[अतिशयोक्तिपूर्ण संतुलन बिंदु]] है यदि किसी भी ईजेनवेल्यू का वास्तविक भाग शून्य नहीं है। यदि सभी ईजेनवेल्यू में नकारात्मक वास्तविक भाग होते हैं, तो बिंदु स्थिर होता है। यदि कम से कम एक सकारात्मक वास्तविक भाग है, तो बिंदु अस्थिर है। यदि कम से कम एक ईजेनवेल्यू का नकारात्मक वास्तविक भाग है और कम से कम एक का सकारात्मक वास्तविक भाग है, तो संतुलन एक बिंदु है और यह अस्थिर है। यदि सभी ईजेनवेल्यू वास्तविक हैं और समान चिह्न हैं तो बिंदु को नोड कहा जाता है।
 == यह भी देखें ==
@@ Line 29: / Line 28: @@
 *{{cite book | last1=Boyce | first1=William E. | last2=DiPrima | first2=Richard C. | title = Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems | year=2012 | publisher=Wiley | isbn=978-0-470-45831-0 | edition=10th}}
 *{{cite book |last=Perko |first=Lawrence |title=Differential Equations and Dynamical Systems |publisher=Springer |edition=3rd |year=2001 |pages=102–104 |isbn=1-4613-0003-7 |url=https://books.google.com/books?id=VFnSBwAAQBAJ&pg=PA102 }}
-[[Category: स्थिरता सिद्धांत]] [[Category: गतिशील प्रणाली]]
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