बहुपद परिवर्तन: Difference between revisions

Latest revision as of 07:12, 19 March 2023

गणित में, एक बहुपद परिवर्तन में बहुपद की गणना होती है जिसकी मूल बहुपद के मूलों का दिया गया कार्य होता है। बीजगणितीय समीकरणों के समाधान को सरल बनाने के लिए बहुपद परिवर्तन जैसे कि चिरनहॉस परिवर्तन अधिकांशतः उपयोग किए जाते है।

सरल उदाहरण

मूलों का अनुवाद

मान लेते है

P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}

एक बहुपद है, और

\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}

इसकी जटिल मूल है (आवश्यक रूप से अलग नहीं) है।

किसी भी स्थिरांक के लिए $c$ , वह बहुपद जिसकी मूलें है

\alpha _{1}+c,\ldots ,\alpha _{n}+c

है

Q(y)=P(y-c)=a_{0}(y-c)^{n}+a_{1}(y-c)^{n-1}+\cdots +a_{n}.

यदि के गुणांक $P$ पूर्णांक और अचर है $c={\frac {p}{q}}$ एक परिमेय संख्या होती है, के गुणांक $Q$ पूर्णांक नहीं है, जबकि बहुपद हो सकता है $c n Q$ में पूर्णांक गुणांक है और समान मूलें होती है $Q$ .

एक विशेष स्थिति है जब $c={\frac {a_{1}}{na_{0}}}.$ परिणामी बहुपद $Q$ में कोई पद नहीं होता है $y n - 1$ .

मूलों का व्युत्क्रम

मान लेते है

P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}

एक बहुपद है। वह बहुपद जिसकी मूलें के मूलों का गुणक प्रतिलोम है $P$ मूल के रूप में इसका पारस्परिक बहुपद है

Q(y)=y^{n}P\left({\frac {1}{y}}\right)=a_{n}y^{n}+a_{n-1}y^{n-1}+\cdots +a_{0}.

मूलों को मापना

मान लेते है

P(x)=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}

एक बहुपद है, और $c$ एक गैर-शून्य स्थिरांक हो। एक बहुपद जिसकी मूलें गुणनफल है $c$ अगर की मूलें $P$ है

Q(y)=c^{n}P\left({\frac {y}{c}}\right)=a_{0}y^{n}+a_{1}cy^{n-1}+\cdots +a_{n}c^{n}.

कारण $c n$ यहाँ प्रकट होता है क्योंकि, यदि $c$ और के गुणांक $P$ पूर्णांक है या किसी अभिन्न डोमेन से संबंधित है, के गुणांक के लिए भी यही सच है $Q$ .

विशेष स्थिति में जहां $c=a_{0}$ , के सभी गुणांक $Q$ के गुणक है $c$ , और ${\frac {Q}{c}}$ एक मोनिक बहुपद है, जिसका गुणांक किसी भी अभिन्न डोमेन से संबंधित है $c$ और के गुणांक $P$ . इस बहुपद परिवर्तन का उपयोग अधिकांशतः बीजगणितीय संख्याओं परबीजगणितीय पूर्णांकों पर प्रश्नों को कम करने के लिए किया जाता है।

इसे एक अनुवादित मूलों के साथ जोड़कर ${\frac {a_{1}}{na_{0}}}$ , बहुपद के मूलों पर किसी भी प्रश्न को कम करने की अनुमति देता है, जैसे मूल खोज, एक सरल बहुपद पर एक समान प्रश्न के लिए, जो मोनिक है और डिग्री की अवधि नहीं है $n - 1$ . इसके उदाहरण के लिए, क्यूबिक फंक्शन देखें| क्यूबिक फंक्शन § डिप्रेस्ड क्यूबिक या क्वार्टिक फंक्शन § डिप्रेस्ड क्वार्टिक में कनवर्ट करता है।

एक तर्कसंगत कार्य द्वारा परिवर्तन

पिछले सभी उदाहरण एक परिमेय फलन द्वारा बहुपद रूपांतर है, जिन्हें चिरनहॉस रूपांतरण भी कहा जाता है। मान लेते है

f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}

एक तर्कसंगत कार्य होता है, जहाँ $g$ और $h$ सह अभाज्य बहुपद होते है। एक बहुपद का परिवर्तन $P$ द्वारा $f$ बहुपद है $Q$ (गैर-शून्य स्थिरांक द्वारा उत्पाद तक परिभाषित) जिनकी मूलें छवियां है $f$ अगर इसकी मूलें है $P$ .

परिणाम के रूप में इस तरह के एक बहुपद परिवर्तन की गणना की जा सकती है। वास्तव में, वांछित बहुपद की मूलें $Q$ बिल्कुल सम्मिश्र संख्याएँ है $y$ जैसे कि एक सम्मिश्र संख्या है $x$ ऐसा है कि एक साथ है (यदि के गुणांक $P, g$ और $h$ वास्तविक या सम्मिश्र संख्याएँ नहीं है, सम्मिश्र संख्या को एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के तत्व द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना है जिसमें इनपुट बहुपदों के गुणांक है)

{\begin{aligned}P(x)&=0\\y\,h(x)-g(x)&=0\,.\end{aligned}}

यह वास्तव में परिणामी की परिभाषित संपत्ति है

\operatorname {Res} _{x}(y\,h(x)-g(x),P(x)).

हाथ से गणना करना सामान्यतः पर मुश्किल होता है। चूँकि, अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों में परिणाम की गणना करने के लिए एक अंतर्निहित कार्य होता है, इसकी कंप्यूटर से गणना की जाती है।

गुण

यदि बहुपद $P$ अलघुकरणीय बहुपद होता है, तो या तो परिणामी बहुपद $Q$ अलघुकरणीय होता है, या यह एक अलघुकरणीय बहुपद की शक्ति होती है। मान लेते है $\alpha$ की मूल हो $P$ और विचार करें $L$ , द्वारा उत्पन्न छेत्र एक्सटेंशन $\alpha$ . पूर्व स्थिति का मतलब होता है $f(\alpha )$ का सरल विस्तार होता है $L$ , जो $Q$ न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) के रूप में होता है। बाद वाले स्थिति में, $f(\alpha )$ के एक उपक्षेत्र से संबंधित है $L$ और इसका अल्पतम बहुपद इर्रेड्यूबल बहुपद है जिसके पास $Q$ शक्ति के रूप में है।

समीकरण को सुलझाने के लिए परिवर्तन

मूलांकों द्वारा, जहां संभव हो, समाधान के लिए बहुपद समीकरणों के सरलीकरण के लिए बहुपद परिवर्तनों को लागू किया गया है। डेसकार्टेस ने डिग्री $d$ के एक बहुपद के परिवर्तन की प्रारंभ की जो मूलों के अनुवाद द्वारा डिग्री $d - 1$ की अवधि को समाप्त कर देता है। ऐसे बहुपद को उदास कहा जाता है। वर्गमूल द्वारा द्विघात को हल करने के लिए यह पहले से ही पर्याप्त होता है। क्यूबिक के स्थिति में, चिरनहॉस परिवर्तन चर को एक द्विघात फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है, जिससे दो शब्दों को समाप्त करना संभव हो जाता है, और इसलिए संयोजन द्वारा क्यूबिक के समाधान को प्राप्त करने के लिए उदास क्यूबिक में रैखिक शब्द को समाप्त करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। ब्रिंग-जेरार्ड परिवर्तन, जो चर में चतुर्थक है, एक क्विंटिक को ब्रिंग-जेरार्ड सामान्य रूप में 5,1, और 0 की डिग्री के साथ लाता है।

संदर्भ

Adamchik, Victor S.; Jeffrey, David J. (2003). "Polynomial transformations of Tschirnhaus, Bring and Jerrard" (PDF). SIGSAM Bull. 37 (3): 90–94. Zbl 1055.65063. Archived from the original (PDF) on 2009-02-26.

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-{{short description|Transformation of a polynomial induced by a transformation of its roots}}
+{{short description|Transformation of a polynomial induced by a transformation of its roots}}गणित में, एक '''बहुपद परिवर्तन''' में बहुपद की गणना होती है जिसकी मूल बहुपद के मूलों का दिया गया कार्य होता है। [[बीजगणितीय समीकरण|बीजगणितीय समीकरणों]] के समाधान को सरल बनाने के लिए बहुपद परिवर्तन जैसे कि [[चिरनहॉस परिवर्तन]] अधिकांशतः उपयोग किए जाते है।
-{{no footnotes|date=May 2014}}
-गणित में, एक '''बहुपद परिवर्तन''' में बहुपद की गणना होती है जिसकी जड़ बहुपद की जड़ों का दिया गया कार्य होता है। [[बीजगणितीय समीकरण|बीजगणितीय समीकरणों]] के समाधान को सरल बनाने के लिए बहुपद परिवर्तन जैसे कि [[चिरनहॉस परिवर्तन]] अधिकांशतः उपयोग किए जाते है।
 == सरल उदाहरण ==
-=== जड़ों का अनुवाद ===
+=== मूलों का अनुवाद ===
 मान लेते है
 :<math> P(x) = a_0x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n} </math>
 एक बहुपद है, और
-:<math>\alpha_1, \ldots, \alpha_n</math> इसकी जटिल जड़ें है (आवश्यक रूप से अलग नहीं) है।
+:<math>\alpha_1, \ldots, \alpha_n</math> इसकी जटिल मूल है (आवश्यक रूप से अलग नहीं) है।
-किसी भी स्थिरांक के लिए {{math|''c''}}, वह बहुपद जिसकी जड़ें है
+किसी भी स्थिरांक के लिए {{math|''c''}}, वह बहुपद जिसकी मूलें है
 :<math>\alpha_1+c, \ldots, \alpha_n+c</math> है
 :<math>Q(y) = P(y-c)= a_0(y-c)^n + a_1 (y-c)^{n-1} + \cdots + a_{n}. </math>
-यदि के गुणांक {{math|''P''}} [[पूर्णांक]] और अचर है <math>c=\frac{p}{q}</math> एक परिमेय संख्या होती है, के गुणांक {{math|''Q''}} पूर्णांक नहीं है, जबकि बहुपद हो सकता है {{math|''c''<sup>''n''</sup> ''Q''}} में पूर्णांक गुणांक है और समान जड़ें होती है {{math|''Q''}}.
+यदि के गुणांक {{math|''P''}} [[पूर्णांक]] और अचर है <math>c=\frac{p}{q}</math> एक परिमेय संख्या होती है, के गुणांक {{math|''Q''}} पूर्णांक नहीं है, जबकि बहुपद हो सकता है {{math|''c''<sup>''n''</sup> ''Q''}} में पूर्णांक गुणांक है और समान मूलें होती है {{math|''Q''}}.
 एक विशेष स्थिति है जब <math>c=\frac{a_1}{na_0}.</math> परिणामी बहुपद {{math|''Q''}} में कोई पद नहीं होता है {{math|''y''<sup>''n'' &minus; 1</sup>}}.
-===जड़ों का व्युत्क्रम===
+===मूलों का व्युत्क्रम===
 मान लेते है
 :<math> P(x) = a_0x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n} </math>
-एक बहुपद है। वह बहुपद जिसकी जड़ें के मूलों का गुणक प्रतिलोम है {{math|''P''}} मूल के रूप में इसका [[पारस्परिक बहुपद]] है
+एक बहुपद है। वह बहुपद जिसकी मूलें के मूलों का गुणक प्रतिलोम है {{math|''P''}} मूल के रूप में इसका [[पारस्परिक बहुपद]] है
 :<math> Q(y)= y^nP\left(\frac{1}{y}\right)= a_ny^n + a_{n-1} y^{n-1} + \cdots + a_{0}.</math>
-=== जड़ों को मापना ===
+=== मूलों को मापना ===
 मान लेते है
 :<math> P(x) = a_0x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_{n} </math>
-एक बहुपद है, और {{math|''c''}} एक गैर-शून्य स्थिरांक हो। एक बहुपद जिसकी जड़ें गुणनफल है {{math|''c''}} अगर की जड़ें {{math|''P''}} है
+एक बहुपद है, और {{math|''c''}} एक गैर-शून्य स्थिरांक हो। एक बहुपद जिसकी मूलें गुणनफल है {{math|''c''}} अगर की मूलें {{math|''P''}} है
 :<math>Q(y)=c^nP\left(\frac{y}{c} \right) = a_0y^n + a_1 cy^{n-1} + \cdots + a_{n}c^n. </math>
 कारण {{math|''c''<sup>''n''</sup>}} यहाँ प्रकट होता है क्योंकि, यदि {{math|''c''}} और के गुणांक {{math|''P''}} पूर्णांक है या किसी [[अभिन्न डोमेन]] से संबंधित है, के गुणांक के लिए भी यही सच है {{math|''Q''}}.
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 विशेष स्थिति में जहां <math>c=a_0</math>, के सभी गुणांक {{math|''Q''}} के गुणक है {{math|''c''}}, और <math> \frac{Q}{c}</math> एक [[मोनिक बहुपद]] है, जिसका गुणांक किसी भी अभिन्न डोमेन से संबंधित है {{math|''c''}} और के गुणांक {{math|''P''}}. इस बहुपद परिवर्तन का उपयोग अधिकांशतः [[बीजगणितीय संख्या|बीजगणितीय संख्याओं]] पर[[बीजगणितीय पूर्णांक|बीजगणितीय पूर्णांकों]] पर प्रश्नों को कम करने के लिए किया जाता है।
-इसे एक अनुवादित जड़ों के साथ जोड़कर <math>\frac{a_1}{na_0}</math>, बहुपद की जड़ों पर किसी भी प्रश्न को कम करने की अनुमति देता है, जैसे [[ जड़ खोज |जड़ खोज]], एक सरल बहुपद पर एक समान प्रश्न के लिए, जो मोनिक है और डिग्री की अवधि नहीं है {{math|''n'' &minus; 1}}. इसके उदाहरण के लिए, क्यूबिक फंक्शन देखें| क्यूबिक फंक्शन § डिप्रेस्ड क्यूबिक या क्वार्टिक फंक्शन § डिप्रेस्ड क्वार्टिक में कनवर्ट करता है।
+इसे एक अनुवादित मूलों के साथ जोड़कर <math>\frac{a_1}{na_0}</math>, बहुपद के मूलों पर किसी भी प्रश्न को कम करने की अनुमति देता है, जैसे [[ जड़ खोज |मूल खोज]], एक सरल बहुपद पर एक समान प्रश्न के लिए, जो मोनिक है और डिग्री की अवधि नहीं है {{math|''n'' &minus; 1}}. इसके उदाहरण के लिए, क्यूबिक फंक्शन देखें| क्यूबिक फंक्शन § डिप्रेस्ड क्यूबिक या क्वार्टिक फंक्शन § डिप्रेस्ड क्वार्टिक में कनवर्ट करता है।
 == एक [[तर्कसंगत कार्य]] द्वारा परिवर्तन ==
 पिछले सभी उदाहरण एक परिमेय फलन द्वारा बहुपद रूपांतर है, जिन्हें चिरनहॉस रूपांतरण भी कहा जाता है। मान लेते है
 :<math>f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}</math>
-एक तर्कसंगत कार्य होता है, जहाँ {{math|''g''}} और {{math|''h''}} [[सह अभाज्य]] बहुपद होते है। एक बहुपद का परिवर्तन {{math|''P''}} द्वारा {{math|''f''}} बहुपद है {{math|''Q''}} (गैर-शून्य स्थिरांक द्वारा उत्पाद [[तक]] परिभाषित) जिनकी जड़ें छवियां है {{math|''f''}} अगर इसकी जड़ें है {{math|''P''}}.
+एक तर्कसंगत कार्य होता है, जहाँ {{math|''g''}} और {{math|''h''}} [[सह अभाज्य]] बहुपद होते है। एक बहुपद का परिवर्तन {{math|''P''}} द्वारा {{math|''f''}} बहुपद है {{math|''Q''}} (गैर-शून्य स्थिरांक द्वारा उत्पाद [[तक]] परिभाषित) जिनकी मूलें छवियां है {{math|''f''}} अगर इसकी मूलें है {{math|''P''}}.
-परिणाम के रूप में इस तरह के एक बहुपद परिवर्तन की गणना की जा सकती है। वास्तव में, वांछित बहुपद की जड़ें {{math|''Q''}} बिल्कुल सम्मिश्र संख्याएँ है {{math|''y''}} जैसे कि एक सम्मिश्र संख्या है {{math|''x''}} ऐसा है कि एक साथ है (यदि के गुणांक {{math|''P'', ''g''}} और {{math|''h''}} वास्तविक या सम्मिश्र संख्याएँ नहीं है, सम्मिश्र संख्या को एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के तत्व द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना है जिसमें इनपुट बहुपदों के गुणांक है)
+परिणाम के रूप में इस तरह के एक बहुपद परिवर्तन की गणना की जा सकती है। वास्तव में, वांछित बहुपद की मूलें {{math|''Q''}} बिल्कुल सम्मिश्र संख्याएँ है {{math|''y''}} जैसे कि एक सम्मिश्र संख्या है {{math|''x''}} ऐसा है कि एक साथ है (यदि के गुणांक {{math|''P'', ''g''}} और {{math|''h''}} वास्तविक या सम्मिश्र संख्याएँ नहीं है, सम्मिश्र संख्या को एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के तत्व द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना है जिसमें इनपुट बहुपदों के गुणांक है)
 :<math>\begin{align}
 P(x)&=0\\
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 === गुण ===
-यदि बहुपद {{math|''P''}} [[अलघुकरणीय बहुपद]] होता है, तो या तो परिणामी बहुपद {{math|''Q''}} अलघुकरणीय होता है, या यह एक अलघुकरणीय बहुपद की शक्ति होती है। मान लेते है <math>\alpha</math> की जड़ हो {{math|''P''}} और विचार करें {{math|''L''}}, द्वारा उत्पन्न [[फील्ड एक्सटेंशन|छेत्र एक्सटेंशन]] <math>\alpha</math>. पूर्व स्थिति का मतलब होता है <math>f(\alpha)</math> का [[सरल विस्तार]] होता है {{math|''L''}}, जो {{math|''Q''}} [[न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)]] के रूप में होता है। बाद वाले स्थिति में, <math>f(\alpha)</math> के एक उपक्षेत्र से संबंधित है {{math|''L''}} और इसका अल्पतम बहुपद इर्रेड्यूबल बहुपद है जिसके पास {{math|''Q''}} शक्ति के रूप में है।
+यदि बहुपद {{math|''P''}} [[अलघुकरणीय बहुपद]] होता है, तो या तो परिणामी बहुपद {{math|''Q''}} अलघुकरणीय होता है, या यह एक अलघुकरणीय बहुपद की शक्ति होती है। मान लेते है <math>\alpha</math> की मूल हो {{math|''P''}} और विचार करें {{math|''L''}}, द्वारा उत्पन्न [[फील्ड एक्सटेंशन|छेत्र एक्सटेंशन]] <math>\alpha</math>. पूर्व स्थिति का मतलब होता है <math>f(\alpha)</math> का [[सरल विस्तार]] होता है {{math|''L''}}, जो {{math|''Q''}} [[न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)]] के रूप में होता है। बाद वाले स्थिति में, <math>f(\alpha)</math> के एक उपक्षेत्र से संबंधित है {{math|''L''}} और इसका अल्पतम बहुपद इर्रेड्यूबल बहुपद है जिसके पास {{math|''Q''}} शक्ति के रूप में है।
 == समीकरण को सुलझाने के लिए परिवर्तन ==
-मूलांकों द्वारा, जहां संभव हो, समाधान के लिए बहुपद समीकरणों के सरलीकरण के लिए बहुपद परिवर्तनों को लागू किया गया है। डेसकार्टेस ने डिग्री {{math|''d''}} के एक बहुपद के परिवर्तन की प्रारंभ की जो जड़ों के अनुवाद द्वारा डिग्री {{math|''d'' − 1}} की अवधि को समाप्त कर देता है। ऐसे बहुपद को उदास कहा जाता है। वर्गमूल द्वारा द्विघात को हल करने के लिए यह पहले से ही पर्याप्त होता है। क्यूबिक के स्थिति में, चिरनहॉस परिवर्तन चर को एक द्विघात फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है, जिससे दो शब्दों को समाप्त करना संभव हो जाता है, और इसलिए संयोजन द्वारा क्यूबिक के समाधान को प्राप्त करने के लिए उदास क्यूबिक में रैखिक शब्द को समाप्त करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। ब्रिंग-जेरार्ड परिवर्तन, जो चर में चतुर्थक है, एक क्विंटिक को ब्रिंग-जेरार्ड सामान्य रूप में 5,1, और 0 की डिग्री के साथ लाता है।
+मूलांकों द्वारा, जहां संभव हो, समाधान के लिए बहुपद समीकरणों के सरलीकरण के लिए बहुपद परिवर्तनों को लागू किया गया है। डेसकार्टेस ने डिग्री {{math|''d''}} के एक बहुपद के परिवर्तन की प्रारंभ की जो मूलों के अनुवाद द्वारा डिग्री {{math|''d'' − 1}} की अवधि को समाप्त कर देता है। ऐसे बहुपद को उदास कहा जाता है। वर्गमूल द्वारा द्विघात को हल करने के लिए यह पहले से ही पर्याप्त होता है। क्यूबिक के स्थिति में, चिरनहॉस परिवर्तन चर को एक द्विघात फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है, जिससे दो शब्दों को समाप्त करना संभव हो जाता है, और इसलिए संयोजन द्वारा क्यूबिक के समाधान को प्राप्त करने के लिए उदास क्यूबिक में रैखिक शब्द को समाप्त करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। ब्रिंग-जेरार्ड परिवर्तन, जो चर में चतुर्थक है, एक क्विंटिक को ब्रिंग-जेरार्ड सामान्य रूप में 5,1, और 0 की डिग्री के साथ लाता है।
 ==संदर्भ==
 * {{cite journal | last1=Adamchik | first1=Victor S. | last2=Jeffrey | first2=David J. | title=Polynomial transformations of Tschirnhaus, Bring and Jerrard | zbl=1055.65063 | journal=SIGSAM Bull. | volume=37 | number=3 | pages=90–94 | year=2003 | url=http://www.sigsam.org/bulletin/articles/145/Adamchik.pdf | url-status=dead | archiveurl=https://web.archive.org/web/20090226035637/http://www.sigsam.org/bulletin/articles/145/Adamchik.pdf | archivedate=2009-02-26 }}
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सरल उदाहरण

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मूलों को मापना

एक तर्कसंगत कार्य द्वारा परिवर्तन

गुण

समीकरण को सुलझाने के लिए परिवर्तन

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मूलों का व्युत्क्रम

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एक तर्कसंगत कार्य द्वारा परिवर्तन

गुण

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