द्विपद प्रकार

गणित में बहुपद अनुक्रम अर्थात गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों द्वारा अनुक्रमित बहुपदों का क्रम ${\textstyle \left\{0,1,2,3,\ldots \right\}}$ होता हैं। जिसमें प्रत्येक बहुपद का सूचकांक बहुपद की अपनी डिग्री के बराबर होता है, इसे द्विपद प्रकार कहा जाता है इस प्रकार यदि यह पहचान के अनुक्रम को संतुष्ट करता है तो उक्त समीकरण द्वारा हम इमें प्रदर्शित कर सकते हैं।

$p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\,p_{k}(x)\,p_{n-k}(y).$

इस प्रकार यह कई क्रमों में संलग्न होते हैं। इस प्रकार से सभी अनुक्रमों का समुच्चय उम्ब्रल रचना के संचालन के अनुसार असत्य समूह बनाता है, जिसे नीचे संदर्भित किया गया है। बेल बहुपद के संदर्भ में द्विपद प्रकार के प्रत्येक क्रम को व्यक्त किया जा सकता है। द्विपद प्रकार का प्रत्येक क्रम शेफ़र अनुक्रम होते है (किन्तु अधिकांश शेफ़र अनुक्रम द्विपद प्रकार के नहीं हैं)। बहुपद अनुक्रमों ने अम्ब्रल कैलकुलस की अस्पष्टता 19वीं शताब्दी की धारणाओं को मजबूती से स्थापित किया गया है।

उदाहरण

• इस परिभाषा के फलस्वरूप द्विपद प्रमेय को अनुक्रम कहकर किया जा सकता है, यहाँ पर $\{x^{n}:n=0,1,2,\ldots \}$ द्विपद प्रकार का उदाहरण है।
• कम भाज्य के अनुक्रम को नीचे दिए गए समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।
  $$(x)_{n}=x(x-1)(x-2)\cdot \cdots \cdot (x-n+1).$$
  (विशेष फंक्शनों के लिए दिए गए सिद्धांतों में अंकन मुख्य रूप से ऊपरी क्रमगुणों को दर्शाता है, किन्तु यह वर्तमान उपयोग साहचर्य के बीच सार्वभौमिक रूप से उपयोग किया जाता हैं।) उत्पाद को समीकरण 1 से समझा जा सकता है, इस प्रकार यदि n = 0 हो तब यह इस स्थिति में रिक्त उत्पाद बनाता है। यह बहुपद अनुक्रम द्विपद प्रकार का है।
• इसी प्रकार ऊपरी भाज्य
  $$x^{(n)}=x(x+1)(x+2)\cdot \cdots \cdot (x+n-1)$$
  द्विपद प्रकार का बहुपद अनुक्रम हैं।
• हाबिल बहुपद
  $$p_{n}(x)=x(x-an)^{n-1}$$
  द्विपद प्रकार का बहुपद अनुक्रम हैं।
• टौचर्ड बहुपद
  $$p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}S(n,k)x^{k}$$
• जहाँ $S(n,k)$ आकार के समुच्चय के विभाजन की संख्या है, इस प्रकार $n$ में $k$ के विसंधित गैर-रिक्त उपसमुच्चय को अलग करना द्विपद प्रकार के बहुपद का अनुक्रम है। इस प्रकार एरिक टेम्पल बेल ने इन्हें घातीय बहुपद कहा और यह शब्द कभी-कभी साहित्य में भी देखा जाता है। गुणांक $S(n,k)$ दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्याओं को प्रदर्शित करता हैं। इस अनुक्रम का प्वासों वितरण के साथ संबंध रखता हैं: यदि $X$ अपेक्षित मान के साथ प्वासों बंटन वाला यादृच्छिक चर $\lambda$ है, तब $E(X^{n})=p_{n}(\lambda )$ विशेष रूप से, $\lambda =1$ होने पर हम देखते हैं कि $n$ अपेक्षित मान के साथ प्वासों बंटन का $n$वां क्षण आकार के समुच्चय के विभाजन की संख्या 1 रहती है, इसको कॉल किया गया $n$वें बेल नंबर के अनुसार इस तथ्य के बारे में $n$ उस विशेष प्वासों बंटन का वां क्षण है जिसे बेल संख्या या डोबिंस्की के सूत्र द्वारा प्रदर्शित कर सकते हैं।

डेल्टा ऑपरेटरों द्वारा लक्षण वर्णन

यह दिखाया जा सकता है कि बहुपद अनुक्रम {p_n(x): n = 0, 1, 2, … } द्विपद प्रकार का है यदि और केवल यदि निम्नलिखित तीनों शर्तें लागू होती हैं:

• x में बहुपदों के स्थान पर रैखिक परिवर्तन को प्रदर्शित करते हैं जिसकी विशेषता है-
  $$p_{n}(x)\mapsto np_{n-1}(x)$$
  शिफ्ट-समतुल्य है, और
• P₀(x) = 1 सभी x के लिए, और
• P_n(0) = 0 n > 0 के लिए संलग्न होते हैं।

(यह कथन कि यह ऑपरेटर शिफ्ट-समतुल्य है, यह कहने के समान है कि बहुपद अनुक्रम शेफ़र का अनुक्रम हैं, द्विपद प्रकार के अनुक्रमों का समुच्चय शेफ़र अनुक्रमों के समुच्चय के भीतर ठीक से सम्मिलित है।)

डेल्टा ऑपरेटर

वह रैखिक परिवर्तन स्पष्ट रूप से डेल्टा ऑपरेटर है, अर्थात x में बहुपदों के स्थान पर एक शिफ्ट-समतुल्य रैखिक परिवर्तन जो बहुपदों की डिग्री को 1 से कम कर देता है। डेल्टा ऑपरेटरों के सबसे स्पष्ट उदाहरण अंतर ऑपरेटर और भेदभाव हैं। यह दिखाया जा सकता है कि प्रत्येक डेल्टा ऑपरेटर को प्रपत्र की शक्ति श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है

$Q=\sum _{n=1}^{\infty }c_{n}D^{n}$

जहाँ D अवकलन है (ध्यान दें कि योग की निचली सीमा 1 है)। प्रत्येक डेल्टा ऑपरेटर Q में मूल बहुपदों का एक अनूठा क्रम होता है, अर्थात, एक बहुपद अनुक्रम संतोषजनक होता है

1. $p_{0}(x)=1,$
2. $p_{n}(0)=0\quad {\rm {for\ }}n\geq 1,{\rm {\ and}}$
3. $Qp_{n}(x)=np_{n-1}(x).$

यह 1973 में जियान-कार्लो रोटा, काहनेर और एंड्रयू ओडलिज़्को द्वारा दिखाया गया था कि एक बहुपद अनुक्रम द्विपद प्रकार का होता है और केवल यदि यह कुछ डेल्टा ऑपरेटर के मूल बहुपदों का अनुक्रम है। इसलिए, यह पैराग्राफ द्विपद प्रकार के बहुपद अनुक्रमों को उत्पन्न करने के लिए एक नुस्खा के रूप में हो सकता है, जैसा कोई भी हो सकता है।

बेल बहुपद द्वारा लक्षण वर्णन

किसी भी क्रम के लिए a₁, a₂, a₃, … स्केलर्स का मान हैं, इस प्रकार-

$p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}B_{n,k}(a_{1},\dots ,a_{n-k+1})x^{k}$

जहाँ b_n,k(a₁, …, a_n−k+1) बेल बहुपद है। यह बहुपद क्रम द्विपद प्रकार का होता है। इस प्रकार ध्यान दें कि प्रत्येक n ≥ 1 के लिए,

$p_{n}'(0)=a_{n}.$

यहाँ इस खंड का मुख्य परिणाम है:

इस प्रमेय के अनुसार द्विपद प्रकार के सभी बहुपद क्रम इसी रूप के होते हैं।

मुलिन और रोटा में परिणाम के अनुसार रोटा, काहनेर, और ओड्लीज़्को में दोहराया गया हैं। नीचे संदर्भ में बताया गया है कि द्विपद प्रकार का प्रत्येक बहुपद अनुक्रम {pn(x)}n अनुक्रम {pn′(0)}n ​​द्वारा निर्धारित किया जाता है, किन्तु उन स्रोतों में बेल बहुपदों का उल्लेख नहीं है।

अदिशों का यह क्रम डेल्टा संकारक से भी संबंधित होने देता है।

$P(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n!}t^{n}.$

तब

$P^{-1}\left({d \over dx}\right)$

इस क्रम का डेल्टा संचालिका है।

कनवल्शन आइडेंटिटी द्वारा लक्षण वर्णन

अनुक्रमों के लिए a_n, b_n, n = 0, 1, 2, ..., द्वारा प्रकार का कनवल्शन परिभाषित करें।

$(a\mathbin {\diamondsuit } b)_{n}=\sum _{j=0}^{n}{n \choose j}a_{j}b_{n-j}.$

$a_{n}^{k\diamondsuit }$ अनुक्रम का nवाँ पद हो तब-

$\underbrace {a\mathbin {\diamondsuit } \cdots \mathbin {\diamondsuit } a} _{k{\text{ factors}}}.$

फिर किसी भी क्रम के लिए a_i, i = 0, 1, 2, ..., a₀ = 0 के साथ, p₀(x) = 1 द्वारा परिभाषित अनुक्रम में प्रदर्शित करता हैं और

$p_{n}(x)=\sum _{k=1}^{n}{a_{n}^{k\diamondsuit }x^{k} \over k!}\,$

n ≥ 1 के लिए, द्विपद प्रकार का है, और द्विपद प्रकार का प्रत्येक क्रम इस रूप का है।

कार्यों को उत्पन्न करके लक्षण वर्णन

द्विपद प्रकार के बहुपद क्रम ठीक वे हैं जिनके उत्पन्न करने वाले कार्य फॉर्म की औपचारिक शक्ति श्रृंखला हैं।

$\sum _{n=0}^{\infty }{p_{n}(x) \over n!}t^{n}=e^{xf(t)}$

जहाँ f(t) औपचारिक शक्ति श्रृंखला है जिसका स्थिरांक शून्य है और जिसका प्रथम-डिग्री पद शून्य नहीं है। यह फा दि ब्रूनो के सूत्र के शक्ति-श्रृंखला संस्करण के उपयोग द्वारा दिखाया जा सकता है कि

$f(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{p_{n}\,'(0) \over n!}t^{n}.$

अनुक्रम का डेल्टा ऑपरेटर f⁻¹(D) है, जिससे कि

$f^{-1}(D)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).$

इन जनरेटिंग फ़ंक्शंस की विधि

दो औपचारिक शक्ति श्रृंखला के उत्पाद में गुणांक $\sum _{n=0}^{\infty }{a_{n} \over n!}t^{n}$ और $\sum _{n=0}^{\infty }{b_{n} \over n!}t^{n}$ होते हैं। इस प्रकार (कॉची उत्पाद भी देखें)।-

$c_{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}a_{k}b_{n-k}$

यदि हम x को ऐसी शक्ति श्रृंखला के एक समूह को अनुक्रमणित करने वाले पैरामीटर के रूप में सोचते हैं, तो द्विपद पहचान प्रभावी रूप से प्रदर्शित होती हैं इसलिए x + y द्वारा अनुक्रमित शक्ति श्रृंखला x और y द्वारा अनुक्रमित का उत्पाद है। इस प्रकार x फ़ंक्शन का तर्क घातीय फ़ंक्शन है जो उत्पादों के योग को मैप करता है:

$g(t)^{x}=e^{xf(t)}$

जहाँ f(t) का रूप ऊपर दिया गया है।

बहुपद अनुक्रमों की उभयचर रचना

द्विपद प्रकार के सभी बहुपद अनुक्रमों का समुच्चय समूह (गणित) है जिसमें समूह संक्रिया बहुपद अनुक्रमों की अम्ब्रल रचना है। उस ऑपरेशन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है। मान लीजिए { P_n(x): n = 0, 1, 2, 3, ...} और {Q_n(x): n = 0, 1, 2, 3, ...} बहुपद अनुक्रम हैं, और

$p_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}\,x^{k}.$

तब उम्ब्रल रचना poq बहुपद अनुक्रम है जिसका nवाँ पद है

$(p_{n}\circ q)(x)=\sum _{k=0}^{n}a_{n,k}\,q_{k}(x)$

(सबस्क्रिप्ट n p_n में प्रकट होता है, चूंकि यह उस अनुक्रम का n पद है, किन्तु q में नहीं, क्योंकि यह अनुक्रम को इसके किसी एक पद के बजाय संपूर्ण रूप में संदर्भित करता है)।

उपरोक्त के रूप में डी में एक शक्ति श्रृंखला द्वारा परिभाषित डेल्टा ऑपरेटर के साथ, डेल्टा ऑपरेटरों और द्विपद प्रकार के बहुपद अनुक्रमों के बीच प्राकृतिक समस्या, जिसे ऊपर भी परिभाषित किया गया है, एक समूह समरूपता है, जिसमें शक्ति श्रृंखला पर समूह संचालन औपचारिक शक्ति शृंखला की औपचारिक संरचना है ।

संचयी और क्षण

अनुक्रम κ_n द्विपद प्रकार के बहुपद अनुक्रम में प्रथम-डिग्री पदों के गुणांकों की संख्या को बहुपद अनुक्रम के संचयी कहा जा सकता है। यह दिखाया जा सकता है कि द्विपद प्रकार का संपूर्ण बहुपद अनुक्रम इसके संचयकों द्वारा निर्धारित किया जाता है,एक तरह से संचयी शीर्षक वाले लेख में चर्चा की गई है। इस प्रकार

$p_{n}'(0)=\kappa _{n}=$ nवां संचयी

और

$p_{n}(1)=\mu _{n}'=$ nवां क्षण।

ये औपचारिक संचयी और औपचारिक क्षण (गणित) हैं, जैसा कि संभाव्यता वितरण के संचयकों और संभाव्यता वितरण के क्षणों के विपरीत है।

इस प्रकार

$f(t)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\kappa _{n}}{n!}}t^{n}$

(औपचारिक) संचयी-उत्पन्न करने वाला फंक्शन होता हैं। तब इस स्थिति में-

$f^{-1}(D)$

बहुपद अनुक्रम से संयोजित डेल्टा ऑपरेटर है, अर्थात हमें तब उक्त समीकरण प्राप्त होता हैं-

$f^{-1}(D)p_{n}(x)=np_{n-1}(x).$

अनुप्रयोग

द्विपद प्रकार की अवधारणा में संयोजी, संभाव्यता, सांख्यिकी और कई अन्य क्षेत्रों में अनुप्रयोग हैं।

यह भी देखें

• तथ्यात्मक और द्विपद विषयों की सूची
• द्विपद-QMF (डौबेची तरंगिका फिल्टर)

संदर्भ

• G.-C. Rota, D. Kahaner, and A. Odlyzko, "Finite Operator Calculus," Journal of Mathematical Analysis and its Applications, vol. 42, no. 3, June 1973. Reprinted in the book with the same title, Academic Press, New York, 1975.
• R. Mullin and G.-C. Rota, "On the Foundations of Combinatorial Theory III: Theory of Binomial Enumeration," in Graph Theory and Its Applications, edited by Bernard Harris, Academic Press, New York, 1970.

As the title suggests, the second of the above is explicitly about applications to combinatorial enumeration.

• di Bucchianico, Alessandro. Probabilistic and Analytical Aspects of the Umbral Calculus, Amsterdam, CWI, 1997.
• Weisstein, Eric W. "Binomial-Type Sequence". MathWorld.