बैरोमेट्रिक सूत्र

बैरोमीटर का सूत्र एक ऐसा सूत्र है जिसका उपयोग यह जाँच करने के लिए किया जाता है कि ऊंचाई के साथ हवा का दबाव (या घनत्व) कैसे बदलता है।

दबाव समीकरण

See also: वायुमंडलीय दाब

समुद्र तल से ऊँचाई के कार्य के रूप में दबाव

86 किमी (या 278,400 फ़ीट) से नीचे की विभिन्न ऊंचाई के फलन के रूप में दबाव की गणना के लिए दो समीकरण हैं। पहला समीकरण क्षोभमंडल के मानक प्रतिमान पर लागू होता है जिसमें तापमान को ऊंचाई के साथ ह्रास की दर से भिन्न माना जाता है:

$$P=P_{b}\left[{\frac {T_{b}+\left(h-h_{b}\right)L_{b}}{T_{b}}}\right]^{\tfrac {-g_{0}M}{R^{*}L_{b}}}$$

दूसरा समीकरण समताप मंडल के मानक प्रतिमान पर लागू होता है जिसमें तापमान ऊंचाई के साथ भिन्न नहीं माना जाता है:

$$P=P_{b}\exp \left[{\frac {-g_{0}M\left(h-h_{b}\right)}{R^{*}T_{b}}}\right]$$

जहाँ:

• $P_{b}$ = संदर्भ दबाव
• $T_{b}$ = संदर्भ तापमान (केल्विन)
• $L_{b}$ = अंतर्राष्ट्रीय मानक वायुमंडल में तापमान ह्रास दर (K/m)
• $h$ = ऊंचाई जिस पर दबाव की गणना की जाती है (एम)
• $h_{b}$ = संदर्भ स्तर बी की ऊंचाई (मीटर; उदाहरण के लिए, एचबी = 11 000 मीटर)
• $R^{*}$ = सार्वभौमिक गैस स्थिरांक: 8.3144598 जूल/(मोल·किग्रा)
• $g_{0}$ = मानक गुरुत्व: 9.80665 मी/से²
• $M$ = पृथ्वी की वायु का मोलर द्रव्यमान: 0.0289644 किग्रा/मोल

या इम्पीरियल इकाईयाँ में परिवर्तित:

जहाँ

• $P_{b}$ = संदर्भ दबाव
• $T_{b}$ = संदर्भ तापमान (केल्विन)
• $L_{b}$ = अंतर्राष्ट्रीय मानक वातावरण में तापमान ह्रास दर (किग्रा/फीट)
• $h$ = ऊंचाई जिस पर दबाव की गणना की जाती है (फीट)
• $h_{b}$ = संदर्भ स्तर बी की ऊंचाई (फीट; उदाहरण के लिए, एचबी = 36,089 फ़ीट)
• $R^{*}$ = सार्वभौमिक गैस स्थिरांक; फ़ीट, केल्विन और (एसआई) मोल का उपयोग करना: 8.9494596×10⁴ lb·ft²/(lb-mol·K·s²)
• $g_{0}$ = मानक गुरुत्व: 32.17405 फ़ीट/सेकंड²
• $M$ = पृथ्वी की वायु का मोलर द्रव्यमान: 28.9644 lb/lb-mol

सबस्क्रिप्ट बी का मान नीचे दी गई तालिका में दिखाए गए वातावरण की सात क्रमिक परतों में से प्रत्येक के अनुसार 0 से 6 तक होता है। इन समीकरणों में, जी₀, एम और आर^* नीचे दी गई तालिका के अनुसार प्रत्येक एकल-मूल्यवान स्थिरांक हैं, जबकि पी, एल, टी, और एच बहुमूल्यवान स्थिरांक हैं। एम, जी₀, और आर* के लिए उपयोग किए गए मान यू.एस. मानक वायुमंडल, 1976 के अनुसार हैं, और विशेष रूप से आर* का मान इस स्थिरांक के लिए मानक मानों से सहमत नहीं है। बी = 0 के लिए पीबी का संदर्भ मान परिभाषित समुद्री स्तर मान है, पी0 = 101 325 पास्कल (यूनिट) या एचजी में 29.92126 है। बी = 1 से बी = 6 के पीबी का मान जोड़ी समीकरण 1 और 2 के उपयुक्त सदस्य के आवेदन से प्राप्त किया जाता है, जब एच = एच_b+1 की स्थिति में।

सबस्क्रिप्ट बी	समुद्र तल से ऊँचाई (h)		स्थिर दबाव		मानक तापमान (के)	तापमान ह्रास दर
	(एम)	(फ़ीट)	(पीए)	(एचजी में)		(के/एम)	(के/फ़ीट)
0	0	0	101 325.00	29.92126	288.15	−0.0065	−0.0019812
1	11 000	36,089	22 632.10	6.683245	216.65	0.0	0.0
2	20 000	65,617	5474.89	1.616734	216.65	0.001	0.0003048
3	32 000	104,987	868.02	0.2563258	228.65	0.0028	0.00085344
4	47 000	154,199	110.91	0.0327506	270.65	0.0	0.0
5	51 000	167,323	66.94	0.01976704	270.65	−0.0028	−0.00085344
6	71 000	232,940	3.96	0.00116833	214.65	−0.002	−0.0006096

घनत्व समीकरण

Further information: वायुमंडलीय घनत्व

घनत्व की गणना के लिए अभिव्यंजन लगभग गणना दबाव के समान होता हैं। समीकरण 1 में एकमात्र अंतर प्रतिपादक है।

86 ज्यामितीय किमी (84 852 भू-क्षमता ऊंचाई मीटर या 278 385.8 भू-संभावित फीट) के नीचे विभिन्न ऊँचाई के फलन के रूप में घनत्व की गणना के लिए दो समीकरण हैं। पहला समीकरण क्षोभमंडल के मानक प्रतिमान पर लागू होता है जिसमें तापमान को ऊंचाई के साथ ह्रास की दर से भिन्न माना जाता है; दूसरा समीकरण समताप मंडल के मानक मॉडल पर लागू होता है जिसमें यह माना जाता है कि ऊंचाई के साथ तापमान में परिवर्तन नहीं होता है।

समीकरण 1:

$$\rho =\rho _{b}\left[{\frac {T_{b}}{T_{b}+(h-h_{b})L_{b}}}\right]^{\left(1+{\frac {g_{0}M}{R^{*}L_{b}}}\right)}$$

समीकरण 2:

$$\rho =\rho _{b}\exp \left[{\frac {-g_{0}M\left(h-h_{b}\right)}{R^{*}T_{b}}}\right]$$

जहाँ

• ${\rho }$ = द्रव्यमान घनत्व (किलो / मी³)
• $T_{b}$ = मानक तापमान (के)
• $L$ = अंतर्राष्ट्रीय मानक वातावरण में मानक तापमान चूक दर (नीचे दी गई तालिका देखें) (K/m)।
• $h$ = समुद्र तल से ऊँचाई (जियोपोटेंशियल मीटर)
• $R^{*}$ = सार्वभौमिक गैस स्थिरांक 8.3144598 N·m/(मोल·के)
• $g_{0}$ = गुरुत्वीय त्वरण: 9.80665 मी/से^2</उप>
• $M$ = पृथ्वी की वायु का मोलर द्रव्यमान: 0.0289644 किग्रा/मोल

या, यू.एस. गुरुत्वीय फ़ुट-पाउंड-सेकंड यूनिट में परिवर्तित (अब यू.के. में उपयोग नहीं किया जाता):

• ${\rho }$ = द्रव्यमान घनत्व ( स्लग (इकाई) / फीट³)
• ${T_{b}}$ = मानक तापमान (के)
• ${L}$ = मानक तापमान चूक दर (के/फीट)
• ${h}$ = समुद्र तल से ऊँचाई (जियोपोटेंशियल फीट)
• ${R^{*}}$ = सार्वभौमिक गैस स्थिरांक: 8.9494596×10⁴ फ़ीट²/(एस·के)
• ${g_{0}}$ = गुरुत्वीय त्वरण: 32.17405 फ़ीट/सेकंड²
• ${M}$ = पृथ्वी की वायु का मोलर द्रव्यमान: 0.0289644 किग्रा/मोल

सबस्क्रिप्ट बी का मान नीचे दी गई तालिका में दिखाए गए वातावरण की सात क्रमिक परतों में से प्रत्येक के अनुसार 0 से 6 तक होता है। ρ_b के संदर्भ मान के लिए b = 0 परिभाषित समुद्र स्तर मान है, ρ₀ = 1.2250 किग्रा/मी³ या 0.0023768908 स्लग/फ़ीट³ । b = 1 से b = 6 के ρ_b का मान जोड़ी समीकरण 1 और 2 के उपयुक्त सदस्य के आवेदन से प्राप्त किया जाता है जब h = h_b+1

इन समीकरणों में, जी₀, एम और आर^* नीचे दी गई तालिका के अनुसार प्रत्येक एकल-मूल्यवान स्थिरांक हैं, जबकि ρ, L, T और h बहु-मूल्यवान स्थिरांक हैं। एम, जी₀ के लिए उपयोग किए गए मान और आर^* यू.एस. स्टैंडर्ड एटमॉस्फियर, 1976 के अनुसार हैं और यह कि R^* का मान^* विशेष रूप से इस स्थिरांक के मानक मानों से सहमत नहीं है।

सबस्क्रिप्ट बी	समुद्र तल से ऊँचाई (एच )		द्रव्यमान घनत्व ($\rho$)		मानक तापमान (टी ) (K)	तापमान चूक दर (एल )
	(m)	(ft)	(kg/m3)	(slug/ft3)		(K/m)	(K/ft)
0	0	0	1.2250	2.3768908×10−3	288.15	-0.0065	-0.0019812
1	11 000	36,089.24	0.36391	7.0611703×10−4	216.65	0.0	0.0
2	20 000	65,616.79	0.08803	1.7081572×10−4	216.65	0.001	0.0003048
3	32 000	104,986.87	0.01322	2.5660735×10−5	228.65	0.0028	0.00085344
4	47 000	154,199.48	0.00143	2.7698702×10−6	270.65	0.0	0.0
5	51 000	167,322.83	0.00086	1.6717895×10−6	270.65	-0.0028	-0.00085344
6	71 000	232,939.63	0.000064	1.2458989×10−7	214.65	-0.002	-0.0006096

व्युत्पत्ति

बैरोमीटर का सूत्र आदर्श गैस कानून का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है:

$$P={\frac {\rho }{M}}{R^{*}}T$$

यह मानते हुए कि सभी दबाव हीड्रास्टाटिक दबाव है:

$$dP=-\rho g\,dz$$

और विभाजित करना $dP$ द्वारा $P$ अभिव्यक्ति हमें मिलती है:

$${\frac {dP}{P}}=-{\frac {Mg\,dz}{R^{*}T}}$$

इस व्यंजक को सतह से ऊँचाई z तक एकीकृत करने पर हमें यह प्राप्त होता है:

$$P=P_{0}e^{-\int _{0}^{z}{Mgdz/R^{*}T}}$$

रैखिक तापमान में परिवर्तन मानते हुए $T=T_{0}+Lz$ और निरंतर मोलर द्रव्यमान और गुरुत्वीय त्वरण, से हमें पहला बैरोमीटर का सूत्र मिलता है:

$$P=P_{0}\cdot \left[{\frac {T}{T_{0}}}\right]^{\textstyle {\frac {Mg}{R^{*}L}}}$$

इसके बजाय, स्थिर तापमान मानते हुए, एकीकरण करने से दूसरा बैरोमीटर का सूत्र मिलता है:

$$P=P_{0}e^{-Mgz/R^{*}T}$$

इस सूत्रीकरण में, आर^* गैस स्थिरांक है, और पद R^*T/Mg पैमाने की ऊंचाई देता है (क्षोभमंडल के लिए लगभग 8.4 किमी के बराबर)।

(सटीक परिणामों के लिए, यह याद रखना चाहिए कि पानी युक्त वातावरण एक आदर्श गैस के रूप में व्यवहार नहीं करता है। आगे की समझ के लिए वास्तविक गैस या सही गैस या गैस देखें।)

यह भी देखें

• हाइपोमेट्रिक समीकरण
• एनआरएलएमएसआईएसई-00
• लंबवत दबाव भिन्नता