अद्वितीय गुणनखंड डोमेन: Difference between revisions

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{{Algebraic structures |Ring}}
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गणित में, एक अद्वितीय कारककरण डोमेन (यूएफडी) (जिसे कभी-कभी [[निकोलस बोरबाकी]] की शब्दावली के बाद एक फैक्टोरियल रिंग भी कहा जाता है) एक [[अंगूठी (गणित)]] है जिसमें अंकगणित के मौलिक प्रमेय के अनुरूप एक बयान होता है। विशेष रूप से, एक UFD एक [[अभिन्न डोमेन]] है (एक शून्य रिंग [[ क्रमविनिमेय अंगूठी ]] जिसमें किन्हीं दो गैर-शून्य तत्वों का उत्पाद गैर-शून्य होता है) जिसमें प्रत्येक गैर-शून्य गैर-इकाई (रिंग सिद्धांत) तत्व को उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है। प्रमुख तत्वों (या [[अलघुकरणीय तत्व]]ों) की, विशिष्ट रूप से आदेश और इकाइयों तक।
गणित में, अद्वितीय गुणनखंड कार्यक्षेत्र (यूएफडी) (जिसे कभी-कभी [[निकोलस बोरबाकी]] की शब्दावली के बाद एक क्रमगुणित वलय भी कहा जाता है) [[अंगूठी (गणित)|वलय (गणित)]] में अंकगणित के मौलिक प्रमेय के अनुरूप एक वर्णन होता है। विशेष रूप से, UFD एक [[अभिन्न डोमेन|अभिन्न कार्यक्षेत्र]] है (एक शून्य[[ क्रमविनिमेय अंगूठी | क्रमविनिमेय वलय]] जिसमें किन्हीं दो गैर-शून्य तत्वों का उत्पाद गैर-शून्य होता है) जिसमें प्रमुख तत्वों (या [[अलघुकरणीय तत्व|अलघुकरणीय तत्वों]]) की, विशिष्ट रूप से आदेश और इकाइयों तक प्रत्येक गैर-शून्य गैर-इकाई (वलय सिद्धांत) तत्व को उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है।


UFDs के महत्वपूर्ण उदाहरण एक या एक से अधिक चर में पूर्णांक और बहुपद के छल्ले हैं, जो पूर्णांक से या एक [[क्षेत्र (गणित)]] से आते हैं।
UFDs के महत्वपूर्ण उदाहरण एक या एक से अधिक चर में पूर्णांक और बहुपद के वलय हैं, जो पूर्णांक से या एक [[क्षेत्र (गणित)]] से आते हैं।


[[उपवर्ग (सेट सिद्धांत)]] की निम्नलिखित श्रृंखला में अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन दिखाई देते हैं:
[[उपवर्ग (सेट सिद्धांत)|उपवर्ग (सम्मुच्चय सिद्धांत)]] की निम्नलिखित श्रृंखला में अद्वितीय गुणनखंडन कार्यक्षेत्र दिखाई देते हैं:
{{Commutative ring classes}}
{{Commutative ring classes}}


== परिभाषा ==
== परिभाषा ==
औपचारिक रूप से, एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन को एक अभिन्न डोमेन R के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें R के प्रत्येक गैर-शून्य तत्व x को अप्रासंगिक तत्वों p के उत्पाद (एक [[खाली उत्पाद]] यदि x एक इकाई है) के रूप में लिखा जा सकता है।<sub>i</sub> आर और एक यूनिट (रिंग थ्योरी) यू:
औपचारिक रूप से, अद्वितीय गुणनखंड कार्यक्षेत्र को एक अभिन्न कार्यक्षेत्र R के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें R के प्रत्येक गैर-शून्य तत्व x को R और एक ईकाई ''u के'' अप्रासंगिक तत्व p<sub>i</sub> के उत्पाद (एक [[खाली उत्पाद]] यदि x एक इकाई है) के रूप में लिखा जा सकता है। :


: एक्स = यू पी<sub>1</sub> p<sub>2</sub> ⋅⋅⋅ <sub>''n''</sub> एन ≥ 0 के साथ
: ''x'' = ''u'' ''p''<sub>1</sub> ''p''<sub>2</sub> ⋅⋅⋅ ''p<sub>n</sub>''  ''n'' ≥ 0 के साथ


और यह प्रतिनिधित्व निम्नलिखित अर्थों में अद्वितीय है:
और यह प्रतिनिधित्व निम्नलिखित अर्थों में अद्वितीय है: यदि q<sub>1</sub>, ..., q<sub>''m''</sub> R के अलघुकरणीय तत्व हैं और w एक ऐसी इकाई है जैसे कि
अगर क्यू<sub>1</sub>, ..., क्यू<sub>''m''</sub> R के अलघुकरणीय तत्व हैं और w एक ऐसी इकाई है


: एक्स = डब्ल्यू क्यू<sub>1</sub> q<sub>2</sub> ⋅⋅⋅ क्यू<sub>''m''</sub> एम ≥ 0 के साथ,
: x = w q<sub>1</sub> q<sub>2</sub> ⋅⋅⋅ q<sub>''m''</sub> m ≥ 0 के साथ,


तब m = n, और एक विशेषण φ : {1, ..., n} → {1, ..., m} का अस्तित्व होता है जैसे कि p<sub>''i''</sub> q से [[संबद्ध तत्व]] है<sub>''&phi;''(''i'')</sub> i ∈ {1, ..., n} के लिए।
तब m = n, और एक विशेषण φ : {1, ..., n} → {1, ..., m} का अस्तित्व होता है जैसे कि i ∈ {1, ..., n} के लिए p<sub>''i''</sub> q<sub>''&phi;''(''i'')</sub> से [[संबद्ध तत्व]] है।


विशिष्टता भाग आमतौर पर सत्यापित करना कठिन होता है, यही कारण है कि निम्नलिखित समकक्ष परिभाषा उपयोगी है:
विशिष्टता भाग सामान्यतः सत्यापित करना कठिन होता है, यही कारण है कि निम्नलिखित समकक्ष परिभाषा उपयोगी है:
: एक अद्वितीय कारक डोमेन एक अभिन्न डोमेन आर है जिसमें प्रत्येक गैर-शून्य तत्व को इकाई के उत्पाद और आर के प्रमुख तत्वों के रूप में लिखा जा सकता है।
: एक अद्वितीय कारक कार्यक्षेत्र एक अभिन्न कार्यक्षेत्र R है जिसमें प्रत्येक गैर-शून्य तत्व को इकाई के उत्पाद और R के प्रमुख तत्वों के रूप में लिखा जा सकता है।


== उदाहरण ==
== उदाहरण ==


प्रारंभिक गणित से परिचित अधिकांश छल्ले UFD हैं:
प्रारंभिक गणित से परिचित अधिकांश वलय UFD हैं:


* सभी [[प्रमुख आदर्श डोमेन]], इसलिए सभी [[यूक्लिडियन डोमेन]], यूएफडी हैं। विशेष रूप से, पूर्णांक (अंकगणित के मौलिक प्रमेय को भी देखें), [[गॉसियन पूर्णांक]] और ईसेनस्टीन पूर्णांक यूएफडी हैं।
* सभी [[प्रमुख आदर्श डोमेन|प्रमुख आदर्श कार्यक्षेत्र]], अतः सभी [[यूक्लिडियन डोमेन|यूक्लिडियन कार्यक्षेत्र]], यूएफडी हैं। विशेष रूप से, पूर्णांक (अंकगणित के मौलिक प्रमेय को भी देखें), [[गॉसियन पूर्णांक]] और ईसेनस्टीन पूर्णांक यूएफडी हैं।
* यदि R एक UFD है, तो R[X] भी है, R में गुणांकों के साथ बहुपद वलय है। जब तक R एक क्षेत्र नहीं है, R[X] एक प्रमुख आदर्श डोमेन नहीं है। प्रेरण द्वारा, किसी भी यूएफडी (और विशेष रूप से एक क्षेत्र या पूर्णांक पर) पर किसी भी संख्या में चर में एक बहुपद अंगूठी एक यूएफडी है।
* यदि R एक UFD है, तो R[X] भी है, R में गुणांकों के साथ बहुपद वलय है। जब तक R एक क्षेत्र नहीं है, R[X] एक प्रमुख आदर्श कार्यक्षेत्र नहीं है। प्रेरण द्वारा, किसी भी यूएफडी (और विशेष रूप से एक क्षेत्र या पूर्णांक पर) पर किसी भी संख्या में चर में बहुपद वलय एक यूएफडी है।
* [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] रिंग K<nowiki></nowiki>X<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub><nowiki></nowiki> एक क्षेत्र K पर (या अधिक सामान्यतः एक नियमित UFD जैसे कि PID पर) एक UFD है। दूसरी ओर, UFD के ऊपर औपचारिक शक्ति श्रृंखला की अंगूठी को UFD होने की आवश्यकता नहीं है, भले ही UFD स्थानीय हो। उदाहरण के लिए, यदि R k[x,y,z]/(x<sup>2</sup> + और<sup>साथ</sup> + साथ<sup>7</sup>) [[प्रधान आदर्श]] (x,y,z) पर तब R एक स्थानीय वलय है जो एक UFD है, लेकिन औपचारिक शक्ति श्रृंखला वलय R<nowiki></nowiki>X<nowiki></nowiki> ओवर R UFD नहीं है।
* [[औपचारिक शक्ति श्रृंखला]] वलय KX<nowiki></nowiki><sub>1</sub>,...,x<sub>''n''</sub> क्ष<nowiki></nowiki>ेत्र K पर (या अधिक सामान्यतः एक नियमित UFD जैसे कि PID पर) एक UFD है। दूसरी ओर, UFD के ऊपर औपचारिक शक्ति श्रृंखला की वलय को UFD होने की आवश्यकता नहीं है, भले ही UFD स्थानीय हो। उदाहरण के लिए, यदि R ''k''[''x'',''y'',''z'']/(''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>3</sup> + ''z''<sup>7</sup>) [[प्रधान आदर्श|मुख्य अभीष्ट]] (x,y,z) पर तब R एक स्थानीय वलय है जो UFD है, लेकिन औपचारिक शक्ति श्रृंखला वलय RX बाह्य R UFD नहीं<nowiki></nowiki> <nowiki></nowiki>है।
* ऑस्लैंडर-बक्सबौम प्रमेय कहता है कि प्रत्येक नियमित स्थानीय रिंग एक यूएफडी है।
* ऑस्लैंडर-बक्सबौम प्रमेय कहता है कि प्रत्येक नियमित स्थानीय वलय एक यूएफडी है।
*<math>\mathbb{Z}\left[e^{\frac{2 \pi i}{n}}\right]</math> सभी पूर्णांकों 1 ≤ n ≤ 22 के लिए एक UFD है, लेकिन n = 23 के लिए नहीं।
*<math>\mathbb{Z}\left[e^{\frac{2 \pi i}{n}}\right]</math> सभी पूर्णांकों 1 ≤ n ≤ 22 के लिए एक UFD है, लेकिन n = 23 के लिए नहीं है।
* मोरी ने दिखाया कि अगर [[जरिस्की रिंग]] का पूरा होना, जैसे [[नोथेरियन रिंग]], एक UFD है, तो रिंग एक UFD है।<ref>Bourbaki, 7.3, no 6, Proposition 4.</ref> इसका विलोम सत्य नहीं है: नोथेरियन स्थानीय रिंग हैं जो यूएफडी हैं लेकिन जिनकी पूर्णता नहीं है। ऐसा कब होता है इसका प्रश्न बल्कि सूक्ष्म है: उदाहरण के लिए, k[x,y,z]/(x) की अंगूठी के स्थानीयकरण के लिए<sup>2</sup> + और<sup>साथ</sup> + साथ<sup>5</sup>) प्रमुख आदर्श (x,y,z) पर, स्थानीय रिंग और इसकी पूर्णता दोनों ही UFDs हैं, लेकिन k[x,y,z]/(x) के स्थानीयकरण के स्पष्ट रूप से समान उदाहरण में<sup>2</sup> + और<sup>साथ</sup> + साथ<sup>7</sup>) प्रमुख आदर्श (x, y, z) पर स्थानीय वलय एक UFD है, लेकिन इसकी पूर्णता नहीं है।
* मोरी ने दिखाया कि यदि [[जरिस्की रिंग|जरिस्की वलय]] का पूरा होना, जैसे [[नोथेरियन रिंग|नोथेरियन वलय]], एक UFD है, तो वलय UFD है।<ref>Bourbaki, 7.3, no 6, Proposition 4.</ref> इसका विलोम सत्य नहीं है: नोथेरियन स्थानीय वलय हैं जो यूएफडी हैं लेकिन जिनकी पूर्णता नहीं है। ऐसा कब होता है इसका प्रश्न बल्कि सूक्ष्म है: उदाहरण के लिए, ''k''[''x'',''y'',''z'']/(''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>3</sup> + ''z''<sup>5</sup>) की वलय के स्थानीयकरण के लिए प्रमुख आदर्श (x,y,z) पर, स्थानीय वलय और इसकी पूर्णता दोनों ही UFDs हैं, लेकिन ''k''[''x'',''y'',''z'']/(''x''<sup>2</sup> + ''y''<sup>3</sup> + ''z''<sup>5</sup>) के स्थानीयकरण के स्पष्ट रूप से समान उदाहरण में प्रमुख आदर्श (x, y, z) पर स्थानीय वलय UFD है, लेकिन इसकी पूर्णता नहीं है।
*होने देना <math>R</math> 2 के अलावा किसी भी विशेषता का एक क्षेत्र हो। क्लेन और नागाटा ने दिखाया कि अंगूठी आर [एक्स<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>]/Q एक UFD है जब भी Q, X में एक गैर-एकवचन द्विघात रूप है और n कम से कम 5 है। जब n = 4 रिंग को UFD नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, <math>R[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)</math> यूएफडी नहीं है, क्योंकि तत्व <math>XY</math> तत्व के बराबर है <math>ZW</math> ताकि <math>XY</math> और <math>ZW</math> इरेड्यूसिबल में एक ही तत्व के दो अलग-अलग कारक हैं।
*मान लीजिये <math>R</math> 2 के अलावा किसी भी विशेषता का एक क्षेत्र है। क्लेन और नागाटा ने दिखाया कि वलय R [x<sub>1</sub>,...,x<sub>''n''</sub>]/Q एक UFD है जब भी Q, X में एक गैर-एकवचन द्विघात रूप है और n कम से कम 5 है। जब n = 4 है, तब वलय को UFD नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, <math>R[X,Y,Z,W]/(XY-ZW)</math> यूएफडी नहीं है, क्योंकि तत्व <math>XY</math> तत्व <math>ZW</math> के बराबर है ताकि <math>XY</math> और <math>ZW</math> एक ही तत्व के दो अलग-अलग गुणनखंड हैं जो अलघुकरणीय हैं।
*अंगूठी Q[x,y]/(x<sup>ए</op>  + यानी<sup>2</sup> + 1) एक UFD है, लेकिन रिंग Q(i)[x,y]/(x<sup>ए</op>  + यानी<sup>2</sup> + 1) नहीं है। दूसरी ओर, वलय Q[x,y]/(x<sup>2</sup> + और<sup>2</sup> – 1) UFD नहीं है, लेकिन रिंग Q(i)[x,y]/(x<sup>2</sup> + और<sup>2</sup> – 1) है {{harv|Samuel|1964|loc=p.35}}. इसी तरह निर्देशांक वलय R[''X'',''Y'',''Z'']/(''X''<sup>2</sup> + वाई<sup>2</sup> + Z<sup>2</sup> − 1) 2-आयामी क्षेत्र का एक UFD है, लेकिन निर्देशांक वलय C[''X'',''Y'',''Z'']/(''X''<sup>2</sup> + वाई<sup>2</sup> + Z<sup>2</sup> − 1) जटिल गोले का नहीं है।
*वलय Q[x,y]/(x2 + 2y2 + 1) एक UFD है, लेकिन वलय Q(i)[x,y]/(x2 + 2y2 + 1) नहीं है। दूसरी ओर, वलय Q[x,y]/(x2 + y2 – 1) एक UFD नहीं है, लेकिन वलय Q(i)[x,y]/(x2 + y2 – 1) है (सैमुअल 1964) , पृ.35). इसी प्रकार 2-आयामी वास्तविक गोले का निर्देशांक वलय R[X,Y,Z]/(X2 + Y2 + Z2 − 1) UFD है, लेकिन निर्देशांक वलय C[X,Y,Z]/(X2 + Y2) + Z2 − 1) जटिल गोले का नहीं है।
* मान लीजिए कि चर X<sub>''i''</sub> वजन डब्ल्यू दिया जाता है<sub>''i''</sub>, और एफ (एक्स<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>) भार w का एक [[सजातीय बहुपद]] है। तब यदि c, w के लिए coprime है और R एक UFD है और या तो R पर प्रत्येक परिमित रूप से उत्पन्न [[ प्रक्षेपी मॉड्यूल ]] मुक्त है या c 1 mod w है, तो रिंग R [X<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>, जेड]/(जेड<sup>सी</सुप> − एफ(एक्स<sub>1</sub>,...,एक्स<sub>''n''</sub>)) एक यूएफडी है {{harv|Samuel|1964|loc=p.31}}.
* मान लीजिए कि चर X<sub>''i''</sub> भार w<sub>''i''</sub>, दिया जाता है और F (x<sub>1</sub>,...,x<sub>''n''</sub>) भार w का एक [[सजातीय बहुपद]] है। तब यदि c, w के लिए सह अभाज्य है और R एक UFD है और या तो R पर प्रत्येक परिमित रूप से उत्पन्न[[ प्रक्षेपी मॉड्यूल | प्रक्षेपी अनुखंड]] मुक्त है या c 1 मोड  w है, तो वलय ''R''[''X''<sub>1</sub>,...,''X<sub>n</sub>'',''Z'']/(''Z<sup>c</sup>'' − ''F''(''X''<sub>1</sub>,...,''X<sub>n</sub>'')) यूएफडी है। <sup>{{harv|Samuel|1964|loc=p.31}}.


=== गैर-उदाहरण ===
=== गैर-उदाहरण ===
* द्विघात पूर्णांक वलय <math>\mathbb Z[\sqrt{-5}]</math> फॉर्म की सभी जटिल संख्याओं में से <math>a+b\sqrt{-5}</math>, जहाँ a और b पूर्णांक हैं, एक UFD नहीं है क्योंकि 6 कारक दोनों 2×3 और जैसा हैं <math>\left(1+\sqrt{-5}\right)\left(1-\sqrt{-5}\right)</math>. ये वास्तव में अलग-अलग गुणनखंड हैं, क्योंकि इस वलय में केवल 1 और -1 इकाइयाँ हैं; अत: 2, 3 में से कोई नहीं, <math>1+\sqrt{-5}</math>, और <math>1-\sqrt{-5}</math> यूनिट (रिंग थ्योरी) हैं। यह दिखाना कठिन नहीं है कि सभी चार कारक भी अप्रासंगिक हैं, हालांकि यह स्पष्ट नहीं हो सकता है।<ref>{{cite book|last=Artin|first=Michael|title=बीजगणित|date=2011|publisher=Prentice Hall|isbn=978-0-13-241377-0|page=360}}</ref> [[बीजगणितीय पूर्णांक]] भी देखें।
* द्विघात पूर्णांक वलय <math>\mathbb Z[\sqrt{-5}]</math> <math>a+b\sqrt{-5}</math> स्वरुप की सभी जटिल संख्याओं में, जहाँ a और b पूर्णांक हैं, एक UFD नहीं है क्योंकि 6 कारक दोनों 2×3 और <math>\left(1+\sqrt{-5}\right)\left(1-\sqrt{-5}\right)</math> जैसे हैं। ये वास्तव में अलग-अलग गुणनखंड हैं, क्योंकि इस वलय में केवल 1 और -1 इकाइयाँ हैं; अत: 2, 3 , <math>1+\sqrt{-5}</math>, और <math>1-\sqrt{-5}</math> में से कोई सम्बंद्ध नहीं हैं। यह दिखाना कठिन नहीं है कि सभी चार कारक भी अप्रासंगिक हैं, हालांकि यह स्पष्ट नहीं हो सकता है।<ref>{{cite book|last=Artin|first=Michael|title=बीजगणित|date=2011|publisher=Prentice Hall|isbn=978-0-13-241377-0|page=360}}</ref> [[बीजगणितीय पूर्णांक]] भी देखें।
* एक वर्ग-मुक्त पूर्णांक के लिए | वर्ग-मुक्त धनात्मक पूर्णांक d, के पूर्णांकों का वलय <math> \mathbb Q[\sqrt{-d}]</math> जब तक d एक Heegner संख्या नहीं है, तब तक वह UFD नहीं बन पाएगा।
* वर्ग-मुक्त धनात्मक पूर्णांक d के लिए, <math> \mathbb Q[\sqrt{-d}]</math> के पूर्णांकों का वलय जब तक d एक हीगनर संख्या नहीं है, तब तक वह UFD नहीं बन पाएगा।
* जटिल संख्याओं पर औपचारिक शक्ति श्रृंखला का वलय एक UFD है, लेकिन उन लोगों का उपसमूह जो हर जगह अभिसरण करते हैं, दूसरे शब्दों में एक एकल जटिल चर में संपूर्ण कार्यों की वलय, एक UFD नहीं है, क्योंकि एक के साथ संपूर्ण कार्य मौजूद हैं शून्यों की अनंतता, और इस प्रकार अप्रासंगिक कारकों की अनंतता, जबकि एक UFD गुणनखंड परिमित होना चाहिए, उदा .:
* जटिल संख्याओं पर औपचारिक शक्ति श्रृंखला का वलय एक UFD है, लेकिन उन लोगों का उपसमूह जो हर जगह अभिसरण करते हैं, दूसरे शब्दों में एक एकल जटिल चर में संपूर्ण कार्यों की वलय, एक UFD नहीं है, चूंकि शून्य की अनंतता के साथ संपूर्ण कार्य उपस्थित हैं, और इस प्रकार अप्रासंगिक कारकों की अनंतता है, जबकि एक UFD गुणनखंड परिमित होना चाहिए उदा .:
::<math>\sin \pi z = \pi z \prod_{n=1}^{\infty} \left(1-{{z^2}\over{n^2}}\right).</math>
::<math>\sin \pi z = \pi z \prod_{n=1}^{\infty} \left(1-{{z^2}\over{n^2}}\right).</math>


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पूर्णांकों के लिए परिभाषित कुछ अवधारणाओं को UFDs के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:
पूर्णांकों के लिए परिभाषित कुछ अवधारणाओं को UFDs के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:


* UFDs में, प्रत्येक इर्रिड्यूसिबल तत्व प्रमुख तत्व है। (किसी भी अभिन्न डोमेन में, प्रत्येक अभाज्य तत्व अप्रासंगिक है, लेकिन बातचीत हमेशा धारण नहीं करती है। उदाहरण के लिए, तत्व <math>z\in K[x,y,z]/(z^2-xy)</math> इरेड्यूसिबल है, लेकिन प्राइम नहीं है।) ध्यान दें कि इसका एक आंशिक विलोम है: [[प्रमुख आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति]] को संतुष्ट करने वाला एक डोमेन एक UFD है यदि और केवल अगर हर इर्रिड्यूसबल एलिमेंट प्राइम है।
* UFDs में, प्रत्येक अखंडनीय अवयव प्रमुख तत्व है। (किसी भी अभिन्न कार्यक्षेत्र में, प्रत्येक अभाज्य तत्व अप्रासंगिक है, लेकिन इसका विलोम हमेशा सही नहीं होता है। उदाहरण के लिए, तत्व <math>z\in K[x,y,z]/(z^2-xy)</math> अखंडनीय है, लेकिन मुख्य नहीं है।) ध्यान दें कि इसका एक आंशिक विलोम है: एसीसीपी को संतुष्ट करने वाला एक डोमेन एक यूएफडी है यदि और केवल यदि हर अलघुकरणीय तत्व प्रमुख है।
* UFD के किसी भी दो तत्वों में सबसे बड़ा सामान्य वि[[भाजक]] और सबसे कम सामान्य गुणक होता है। यहाँ, a और b का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एक तत्व d है जो a और b दोनों को विभाजित करता है, और ऐसा है कि a और b का हर दूसरा सामान्य भाजक d को विभाजित करता है। और बी के सभी महानतम सामान्य विभाजक संबंधित तत्व हैं।
* UFD के किसी भी दो तत्वों में सबसे बड़ा सामान्य वि[[भाजक]] और सबसे कम सामान्य गुणक होता है। यहाँ, a और b का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एक तत्व d है जो a और b दोनों को विभाजित करता है, और ऐसा है कि a और b का हर दूसरा सामान्य भाजक d को विभाजित करता है। a और b के सभी महानतम सामान्य विभाजक संबंधित तत्व हैं।
* कोई भी UFD [[अभिन्न रूप से बंद डोमेन]] है। दूसरे शब्दों में, यदि R [[भागफल क्षेत्र]] K के साथ एक UFD है, और यदि K में एक तत्व k, R में गुणांक वाले एक [[मोनिक बहुपद]] का मूल#गणित है, तो k, R का एक तत्व है।
* कोई भी UFD [[अभिन्न रूप से बंद डोमेन|अभिन्न रूप से संकुचित]] है। दूसरे शब्दों में, यदि R [[भागफल क्षेत्र]] K के साथ एक UFD है, और यदि K में एक तत्व k, R में गुणांक वाले एक [[मोनिक बहुपद]] का मूल है, तो k, R का एक तत्व है।
* मान लीजिए कि S, UFD A का गुणनात्मक रूप से बंद उपसमुच्चय है। फिर एक वलय का स्थानीयकरण <math>S^{-1}A</math> एक यूएफडी है। इसका एक आंशिक विलोम भी मान्य है; नीचे देखें।
* मान लीजिए कि S, UFD A का गुणनात्मक रूप से बंद उपसमुच्चय है। फिर एक वलय का स्थानीयकरण <math>S^{-1}A</math> एक यूएफडी है। इसका एक आंशिक विलोम भी मान्य है; नीचे देखें।


== एक अंगूठी के यूएफडी होने के लिए समतुल्य शर्तें ==
== एक वलय के यूएफडी होने के लिए समतुल्य स्थिति ==
एक नोथेरियन रिंग इंटीग्रल डोमेन एक यूएफडी है अगर और केवल अगर हर ऊंचाई (रिंग थ्योरी) 1 प्राइम आइडियल प्रिंसिपल है (एक प्रमाण अंत में दिया गया है)। इसके अलावा, एक Dedekind डोमेन एक UFD है यदि और केवल यदि इसका [[आदर्श वर्ग समूह]] तुच्छ है। इस मामले में, यह वास्तव में एक प्रमुख आदर्श डोमेन है।
एक नोथेरियन वलय अन्तर्निहित कार्यक्षेत्र एक यूएफडी है यदि और केवल यदि हर ऊंचाई (वलय सिद्धांत) 1 मुख्य अभीष्ट सिद्धांत है (एक प्रमाण अंत में दिया गया है)। इसके अलावा, एक डेडेकिंड कार्यक्षेत्र एक UFD है यदि और केवल यदि इसका [[आदर्श वर्ग समूह]] तुच्छ है। इस स्तिथि में, यह वास्तव में एक प्रमुख आदर्श कार्यक्षेत्र है।


सामान्य तौर पर, एक अभिन्न डोमेन ए के लिए, निम्नलिखित शर्तें समतुल्य हैं:
सामान्यतः, एक अभिन्न कार्यक्षेत्र a के लिए, निम्नलिखित शर्तें समतुल्य हैं:


# एक यूएफडी है।
# A एक यूएफडी है।
# A के प्रत्येक अशून्य अभाज्य गुणज में एक अभाज्य अवयव होता है। ([[इरविंग कपलान्स्की]])
# A के प्रत्येक अशून्य अभाज्य गुणज में एक अभाज्य अवयव होता है। ([[इरविंग कपलान्स्की]])
# A प्रमुख आदर्शों (ACCP) पर आरोही श्रृंखला की स्थिति और एक रिंग S के स्थानीयकरण को संतुष्ट करता है<sup>−1</sup>A एक UFD है, जहां S अभाज्य तत्वों द्वारा जनरेट किया गया A का गुणात्मक रूप से बंद उपसमुच्चय है। (नागाटा कसौटी)
# A प्रमुख आदर्शों (ACCP) पर आरोही श्रृंखला की स्थिति और एक वलय S<sup>−1</sup>A के स्थानीयकरण को संतुष्ट करता है वह एक UFD है, जहां S अभाज्य तत्वों द्वारा उत्पन्न किया गया A का गुणात्मक रूप से बंद उपसमुच्चय है। (नागाटा कसौटी)
# प्रमुख आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है और प्रत्येक अलघुकरणीय तत्व प्रमुख तत्व है।
# A प्रमुख आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है और प्रत्येक अलघुकरणीय तत्व प्रमुख तत्व है।
# A [[परमाणु डोमेन]] है और हर अलघुकरणीय तत्व प्रमुख तत्व है।
# A [[परमाणु डोमेन|परमाणु कार्यक्षेत्र]] है और हर अलघुकरणीय तत्व प्रमुख तत्व है।
# A एक GCD डोमेन है जो प्रमुख आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है।
# A एक GCD कार्यक्षेत्र है जो प्रमुख आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है।
#A एक [[श्रेयर डोमेन]] है,<ref>A Schreier domain is an integrally closed integral domain where, whenever ''x'' divides ''yz'', ''x'' can be written as ''x'' = ''x''<sub>1</sub> ''x''<sub>2</sub> so that ''x''<sub>1</sub> divides ''y'' and ''x''<sub>2</sub> divides ''z''. In particular, a GCD domain is a Schreier domain</ref> और परमाणु डोमेन।
#A एक [[श्रेयर डोमेन|श्रेयर कार्यक्षेत्र]],<ref>A Schreier domain is an integrally closed integral domain where, whenever ''x'' divides ''yz'', ''x'' can be written as ''x'' = ''x''<sub>1</sub> ''x''<sub>2</sub> so that ''x''<sub>1</sub> divides ''y'' and ''x''<sub>2</sub> divides ''z''. In particular, a GCD domain is a Schreier domain</ref> और परमाणु कार्यक्षेत्र है।
# ए श्रेयर डोमेन है | प्री-श्रेयर डोमेन और एटॉमिक डोमेन।
# A पूर्व-श्रेयर कार्यक्षेत्र और परमाण्विक कार्यक्षेत्र है।
# A का एक वि[[भाजक सिद्धांत]] है जिसमें प्रत्येक भाजक प्रधान है।
# A का एक वि[[भाजक सिद्धांत]] है जिसमें प्रत्येक भाजक प्रधान है।
# एक [[क्रुल डोमेन]] है जिसमें प्रत्येक विभाजक आदर्श प्रमुख है (वास्तव में, यह बॉरबाकी में यूएफडी की परिभाषा है।)
# A एक [[क्रुल डोमेन|क्रुल कार्यक्षेत्र]] है जिसमें प्रत्येक विभाजक आदर्श प्रमुख है (वास्तव में, यह बॉरबाकी में यूएफडी की परिभाषा है।)
# A एक क्रुल डोमेन है और ऊँचाई 1 का प्रत्येक अभाज्य गुणज प्रधान है।<ref>Bourbaki, 7.3, no 2, Theorem 1.</ref>
# A एक क्रुल कार्यक्षेत्र है और ऊँचाई 1 का प्रत्येक अभाज्य गुणज प्रधान है।<ref>Bourbaki, 7.3, no 2, Theorem 1.</ref>
व्यवहार में, (2) और (3) जाँच के लिए सबसे उपयोगी स्थितियाँ हैं। उदाहरण के लिए, यह (2) से तुरंत अनुसरण करता है कि एक पीआईडी ​​एक यूएफडी है, क्योंकि पीआईडी ​​​​में एक प्रमुख तत्व द्वारा प्रत्येक प्रमुख आदर्श उत्पन्न होता है।
व्यवहार में, (2) और (3) जाँच के लिए सबसे उपयोगी स्थितियाँ हैं। उदाहरण के लिए, यह (2) से तुरंत अनुसरण करता है कि पीआईडी ​​एक यूएफडी है, क्योंकि पीआईडी ​​​​में एक प्रमुख तत्व द्वारा प्रत्येक प्रमुख आदर्श उत्पन्न होता है।


एक अन्य उदाहरण के लिए, एक नोथेरियन इंटीग्रल डोमेन पर विचार करें जिसमें प्रत्येक ऊँचाई एक प्रमुख आदर्श है। चूँकि प्रत्येक प्रमुख आदर्श की परिमित ऊँचाई होती है, इसमें ऊँचाई एक प्रधान आदर्श (ऊँचाई पर प्रेरण) होती है जो कि प्रमुख है। द्वारा (2), अंगूठी एक UFD है।
अन्य उदाहरण के लिए, नोथेरियन अन्तर्निहित कार्यक्षेत्र पर विचार करें जिसमें प्रत्येक ऊँचाई एक प्रमुख आदर्श है। चूँकि प्रत्येक प्रमुख आदर्श की परिमित ऊँचाई होती है, इसमें ऊँचाई एक प्रधान आदर्श (ऊँचाई पर प्रेरण) होती है जो कि प्रमुख है। (2) द्वारा, वलय एक UFD है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==


* [[पैराफैक्टोरियल लोकल रिंग]]
* [[पैराफैक्टोरियल लोकल रिंग|पैराक्रमगुणित संकुचित वलय]]
*[[गैर-अनुवर्ती अद्वितीय गुणनखंड डोमेन]]
*[[गैर-अनुवर्ती अद्वितीय गुणनखंड डोमेन|गैर-अनुवर्ती अद्वितीय गुणनखंड कार्यक्षेत्र]]


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Latest revision as of 13:17, 22 March 2023

गणित में, अद्वितीय गुणनखंड कार्यक्षेत्र (यूएफडी) (जिसे कभी-कभी निकोलस बोरबाकी की शब्दावली के बाद एक क्रमगुणित वलय भी कहा जाता है) वलय (गणित) में अंकगणित के मौलिक प्रमेय के अनुरूप एक वर्णन होता है। विशेष रूप से, UFD एक अभिन्न कार्यक्षेत्र है (एक शून्य क्रमविनिमेय वलय जिसमें किन्हीं दो गैर-शून्य तत्वों का उत्पाद गैर-शून्य होता है) जिसमें प्रमुख तत्वों (या अलघुकरणीय तत्वों) की, विशिष्ट रूप से आदेश और इकाइयों तक प्रत्येक गैर-शून्य गैर-इकाई (वलय सिद्धांत) तत्व को उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है। ।

UFDs के महत्वपूर्ण उदाहरण एक या एक से अधिक चर में पूर्णांक और बहुपद के वलय हैं, जो पूर्णांक से या एक क्षेत्र (गणित) से आते हैं।

उपवर्ग (सम्मुच्चय सिद्धांत) की निम्नलिखित श्रृंखला में अद्वितीय गुणनखंडन कार्यक्षेत्र दिखाई देते हैं:

rngsringscommutative ringsintegral domainsintegrally closed domainsGCD domainsunique factorization domainsprincipal ideal domainsEuclidean domainsfieldsalgebraically closed fields

परिभाषा

औपचारिक रूप से, अद्वितीय गुणनखंड कार्यक्षेत्र को एक अभिन्न कार्यक्षेत्र R के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें R के प्रत्येक गैर-शून्य तत्व x को R और एक ईकाई u के अप्रासंगिक तत्व pi के उत्पाद (एक खाली उत्पाद यदि x एक इकाई है) के रूप में लिखा जा सकता है। :

x = u p1 p2 ⋅⋅⋅ pn n ≥ 0 के साथ

और यह प्रतिनिधित्व निम्नलिखित अर्थों में अद्वितीय है: यदि q1, ..., qm R के अलघुकरणीय तत्व हैं और w एक ऐसी इकाई है जैसे कि

x = w q1 q2 ⋅⋅⋅ qm m ≥ 0 के साथ,

तब m = n, और एक विशेषण φ : {1, ..., n} → {1, ..., m} का अस्तित्व होता है जैसे कि i ∈ {1, ..., n} के लिए pi qφ(i) से संबद्ध तत्व है।

विशिष्टता भाग सामान्यतः सत्यापित करना कठिन होता है, यही कारण है कि निम्नलिखित समकक्ष परिभाषा उपयोगी है:

एक अद्वितीय कारक कार्यक्षेत्र एक अभिन्न कार्यक्षेत्र R है जिसमें प्रत्येक गैर-शून्य तत्व को इकाई के उत्पाद और R के प्रमुख तत्वों के रूप में लिखा जा सकता है।

उदाहरण

प्रारंभिक गणित से परिचित अधिकांश वलय UFD हैं:

  • सभी प्रमुख आदर्श कार्यक्षेत्र, अतः सभी यूक्लिडियन कार्यक्षेत्र, यूएफडी हैं। विशेष रूप से, पूर्णांक (अंकगणित के मौलिक प्रमेय को भी देखें), गॉसियन पूर्णांक और ईसेनस्टीन पूर्णांक यूएफडी हैं।
  • यदि R एक UFD है, तो R[X] भी है, R में गुणांकों के साथ बहुपद वलय है। जब तक R एक क्षेत्र नहीं है, R[X] एक प्रमुख आदर्श कार्यक्षेत्र नहीं है। प्रेरण द्वारा, किसी भी यूएफडी (और विशेष रूप से एक क्षेत्र या पूर्णांक पर) पर किसी भी संख्या में चर में बहुपद वलय एक यूएफडी है।
  • औपचारिक शक्ति श्रृंखला वलय KX1,...,xn क्षेत्र K पर (या अधिक सामान्यतः एक नियमित UFD जैसे कि PID पर) एक UFD है। दूसरी ओर, UFD के ऊपर औपचारिक शक्ति श्रृंखला की वलय को UFD होने की आवश्यकता नहीं है, भले ही UFD स्थानीय हो। उदाहरण के लिए, यदि R k[x,y,z]/(x2 + y3 + z7) मुख्य अभीष्ट (x,y,z) पर तब R एक स्थानीय वलय है जो UFD है, लेकिन औपचारिक शक्ति श्रृंखला वलय RX बाह्य R UFD नहीं है।
  • ऑस्लैंडर-बक्सबौम प्रमेय कहता है कि प्रत्येक नियमित स्थानीय वलय एक यूएफडी है।
  • सभी पूर्णांकों 1 ≤ n ≤ 22 के लिए एक UFD है, लेकिन n = 23 के लिए नहीं है।
  • मोरी ने दिखाया कि यदि जरिस्की वलय का पूरा होना, जैसे नोथेरियन वलय, एक UFD है, तो वलय UFD है।[1] इसका विलोम सत्य नहीं है: नोथेरियन स्थानीय वलय हैं जो यूएफडी हैं लेकिन जिनकी पूर्णता नहीं है। ऐसा कब होता है इसका प्रश्न बल्कि सूक्ष्म है: उदाहरण के लिए, k[x,y,z]/(x2 + y3 + z5) की वलय के स्थानीयकरण के लिए प्रमुख आदर्श (x,y,z) पर, स्थानीय वलय और इसकी पूर्णता दोनों ही UFDs हैं, लेकिन k[x,y,z]/(x2 + y3 + z5) के स्थानीयकरण के स्पष्ट रूप से समान उदाहरण में प्रमुख आदर्श (x, y, z) पर स्थानीय वलय UFD है, लेकिन इसकी पूर्णता नहीं है।
  • मान लीजिये 2 के अलावा किसी भी विशेषता का एक क्षेत्र है। क्लेन और नागाटा ने दिखाया कि वलय R [x1,...,xn]/Q एक UFD है जब भी Q, X में एक गैर-एकवचन द्विघात रूप है और n कम से कम 5 है। जब n = 4 है, तब वलय को UFD नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, यूएफडी नहीं है, क्योंकि तत्व तत्व के बराबर है ताकि और एक ही तत्व के दो अलग-अलग गुणनखंड हैं जो अलघुकरणीय हैं।
  • वलय Q[x,y]/(x2 + 2y2 + 1) एक UFD है, लेकिन वलय Q(i)[x,y]/(x2 + 2y2 + 1) नहीं है। दूसरी ओर, वलय Q[x,y]/(x2 + y2 – 1) एक UFD नहीं है, लेकिन वलय Q(i)[x,y]/(x2 + y2 – 1) है (सैमुअल 1964) , पृ.35). इसी प्रकार 2-आयामी वास्तविक गोले का निर्देशांक वलय R[X,Y,Z]/(X2 + Y2 + Z2 − 1) UFD है, लेकिन निर्देशांक वलय C[X,Y,Z]/(X2 + Y2) + Z2 − 1) जटिल गोले का नहीं है।
  • मान लीजिए कि चर Xi भार wi, दिया जाता है और F (x1,...,xn) भार w का एक सजातीय बहुपद है। तब यदि c, w के लिए सह अभाज्य है और R एक UFD है और या तो R पर प्रत्येक परिमित रूप से उत्पन्न प्रक्षेपी अनुखंड मुक्त है या c 1 मोड w है, तो वलय R[X1,...,Xn,Z]/(ZcF(X1,...,Xn)) यूएफडी है। (Samuel 1964, p.31).

गैर-उदाहरण

  • द्विघात पूर्णांक वलय स्वरुप की सभी जटिल संख्याओं में, जहाँ a और b पूर्णांक हैं, एक UFD नहीं है क्योंकि 6 कारक दोनों 2×3 और जैसे हैं। ये वास्तव में अलग-अलग गुणनखंड हैं, क्योंकि इस वलय में केवल 1 और -1 इकाइयाँ हैं; अत: 2, 3 , , और में से कोई सम्बंद्ध नहीं हैं। यह दिखाना कठिन नहीं है कि सभी चार कारक भी अप्रासंगिक हैं, हालांकि यह स्पष्ट नहीं हो सकता है।[2] बीजगणितीय पूर्णांक भी देखें।
  • वर्ग-मुक्त धनात्मक पूर्णांक d के लिए, के पूर्णांकों का वलय जब तक d एक हीगनर संख्या नहीं है, तब तक वह UFD नहीं बन पाएगा।
  • जटिल संख्याओं पर औपचारिक शक्ति श्रृंखला का वलय एक UFD है, लेकिन उन लोगों का उपसमूह जो हर जगह अभिसरण करते हैं, दूसरे शब्दों में एक एकल जटिल चर में संपूर्ण कार्यों की वलय, एक UFD नहीं है, चूंकि शून्य की अनंतता के साथ संपूर्ण कार्य उपस्थित हैं, और इस प्रकार अप्रासंगिक कारकों की अनंतता है, जबकि एक UFD गुणनखंड परिमित होना चाहिए उदा .:


गुण

पूर्णांकों के लिए परिभाषित कुछ अवधारणाओं को UFDs के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:

  • UFDs में, प्रत्येक अखंडनीय अवयव प्रमुख तत्व है। (किसी भी अभिन्न कार्यक्षेत्र में, प्रत्येक अभाज्य तत्व अप्रासंगिक है, लेकिन इसका विलोम हमेशा सही नहीं होता है। उदाहरण के लिए, तत्व अखंडनीय है, लेकिन मुख्य नहीं है।) ध्यान दें कि इसका एक आंशिक विलोम है: एसीसीपी को संतुष्ट करने वाला एक डोमेन एक यूएफडी है यदि और केवल यदि हर अलघुकरणीय तत्व प्रमुख है।
  • UFD के किसी भी दो तत्वों में सबसे बड़ा सामान्य विभाजक और सबसे कम सामान्य गुणक होता है। यहाँ, a और b का सबसे बड़ा सामान्य भाजक एक तत्व d है जो a और b दोनों को विभाजित करता है, और ऐसा है कि a और b का हर दूसरा सामान्य भाजक d को विभाजित करता है। a और b के सभी महानतम सामान्य विभाजक संबंधित तत्व हैं।
  • कोई भी UFD अभिन्न रूप से संकुचित है। दूसरे शब्दों में, यदि R भागफल क्षेत्र K के साथ एक UFD है, और यदि K में एक तत्व k, R में गुणांक वाले एक मोनिक बहुपद का मूल है, तो k, R का एक तत्व है।
  • मान लीजिए कि S, UFD A का गुणनात्मक रूप से बंद उपसमुच्चय है। फिर एक वलय का स्थानीयकरण एक यूएफडी है। इसका एक आंशिक विलोम भी मान्य है; नीचे देखें।

एक वलय के यूएफडी होने के लिए समतुल्य स्थिति

एक नोथेरियन वलय अन्तर्निहित कार्यक्षेत्र एक यूएफडी है यदि और केवल यदि हर ऊंचाई (वलय सिद्धांत) 1 मुख्य अभीष्ट सिद्धांत है (एक प्रमाण अंत में दिया गया है)। इसके अलावा, एक डेडेकिंड कार्यक्षेत्र एक UFD है यदि और केवल यदि इसका आदर्श वर्ग समूह तुच्छ है। इस स्तिथि में, यह वास्तव में एक प्रमुख आदर्श कार्यक्षेत्र है।

सामान्यतः, एक अभिन्न कार्यक्षेत्र a के लिए, निम्नलिखित शर्तें समतुल्य हैं:

  1. A एक यूएफडी है।
  2. A के प्रत्येक अशून्य अभाज्य गुणज में एक अभाज्य अवयव होता है। (इरविंग कपलान्स्की)
  3. A प्रमुख आदर्शों (ACCP) पर आरोही श्रृंखला की स्थिति और एक वलय S−1A के स्थानीयकरण को संतुष्ट करता है वह एक UFD है, जहां S अभाज्य तत्वों द्वारा उत्पन्न किया गया A का गुणात्मक रूप से बंद उपसमुच्चय है। (नागाटा कसौटी)
  4. A प्रमुख आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है और प्रत्येक अलघुकरणीय तत्व प्रमुख तत्व है।
  5. A परमाणु कार्यक्षेत्र है और हर अलघुकरणीय तत्व प्रमुख तत्व है।
  6. A एक GCD कार्यक्षेत्र है जो प्रमुख आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है।
  7. A एक श्रेयर कार्यक्षेत्र,[3] और परमाणु कार्यक्षेत्र है।
  8. A पूर्व-श्रेयर कार्यक्षेत्र और परमाण्विक कार्यक्षेत्र है।
  9. A का एक विभाजक सिद्धांत है जिसमें प्रत्येक भाजक प्रधान है।
  10. A एक क्रुल कार्यक्षेत्र है जिसमें प्रत्येक विभाजक आदर्श प्रमुख है (वास्तव में, यह बॉरबाकी में यूएफडी की परिभाषा है।)
  11. A एक क्रुल कार्यक्षेत्र है और ऊँचाई 1 का प्रत्येक अभाज्य गुणज प्रधान है।[4]

व्यवहार में, (2) और (3) जाँच के लिए सबसे उपयोगी स्थितियाँ हैं। उदाहरण के लिए, यह (2) से तुरंत अनुसरण करता है कि पीआईडी ​​एक यूएफडी है, क्योंकि पीआईडी ​​​​में एक प्रमुख तत्व द्वारा प्रत्येक प्रमुख आदर्श उत्पन्न होता है।

अन्य उदाहरण के लिए, नोथेरियन अन्तर्निहित कार्यक्षेत्र पर विचार करें जिसमें प्रत्येक ऊँचाई एक प्रमुख आदर्श है। चूँकि प्रत्येक प्रमुख आदर्श की परिमित ऊँचाई होती है, इसमें ऊँचाई एक प्रधान आदर्श (ऊँचाई पर प्रेरण) होती है जो कि प्रमुख है। (2) द्वारा, वलय एक UFD है।

यह भी देखें

उद्धरण

  1. Bourbaki, 7.3, no 6, Proposition 4.
  2. Artin, Michael (2011). बीजगणित. Prentice Hall. p. 360. ISBN 978-0-13-241377-0.
  3. A Schreier domain is an integrally closed integral domain where, whenever x divides yz, x can be written as x = x1 x2 so that x1 divides y and x2 divides z. In particular, a GCD domain is a Schreier domain
  4. Bourbaki, 7.3, no 2, Theorem 1.


संदर्भ