अनिवार्य विलक्षणता: Difference between revisions

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{{Short description|Location around which a function displays irregular behavior}}
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[[File:Essential singularity.png|right|220px|thumb|समारोह का प्लॉट {{math|exp(1/''z'')}}, पर आवश्यक विलक्षणता पर केंद्रित है {{math|1=''z'' = 0}}. रंग [[आर्ग (गणित)]] का प्रतिनिधित्व करता है, चमक [[निरपेक्ष मूल्य]] का प्रतिनिधित्व करता है। यह कथानक दिखाता है कि अलग-अलग दिशाओं से आवश्यक विलक्षणता के करीब आने से अलग-अलग व्यवहार उत्पन्न होते हैं (जैसा कि एक ध्रुव के विपरीत, जो किसी भी दिशा से संपर्क करता है, समान रूप से सफेद होगा)।]]फ़ाइल: 6w के ग्राफ का मॉडल =eˆ(1-6z) -Schilling XIV, 6 - 312- (2).jpg|thumb|एक जटिल कार्य की आवश्यक विलक्षणता को दर्शाने वाला मॉडल {{math|1=6''w'' = exp(1/(6''z''))}}
[[File:Essential singularity.png|right|220px|thumb|फलन का प्लॉट {{math|exp(1/''z'')}}, पर आवश्यक विलक्षणता पर केंद्रित है {{math|1=''z'' = 0}}. रंग [[आर्ग (गणित)]] का प्रतिनिधित्व करता है, चमक [[निरपेक्ष मूल्य]] का प्रतिनिधित्व करता है। यह कथानक दिखाता है कि अलग-अलग दिशाओं से आवश्यक विलक्षणता के करीब आने से अलग-अलग व्यवहार उत्पन्न होते हैं (जैसा कि एक ध्रुव के विपरीत, जो किसी भी दिशा से संपर्क करता है, समान रूप से सफेद होगा)।]][[जटिल विश्लेषण]] में, एक फलन (गणित) की एक आवश्यक विलक्षणता एक गंभीर [[विलक्षणता (गणित)]] है जिसके पास फलन विषम व्यवहार प्रदर्शित करता है।


[[जटिल विश्लेषण]] में, एक फ़ंक्शन (गणित) की एक आवश्यक विलक्षणता एक गंभीर [[विलक्षणता (गणित)]] है जिसके पास फ़ंक्शन विषम व्यवहार प्रदर्शित करता है।
श्रेणी ''अनिवार्य विलक्षणता'' [[पृथक विलक्षणता]] का एक बचा हुआ या डिफ़ॉल्ट समूह है जो विशेष रूप से अप्रबंधनीय है: परिभाषा के अनुसार वे विलक्षणता की अन्य दो श्रेणियों में से किसी में भी फिट नहीं होते हैं जिन्हें किसी प्रकार से [[हटाने योग्य विलक्षणता|हटाने योग्य विलक्षणताओ]] और ध्रुवों (जटिल विश्लेषण) का समाधान किया जा सकता है। व्यवहार में कुछ{{Who?|date=January 2022}} गैर-पृथक विलक्षणताओं को भी सम्मिलित करते हैं; जिनका कोई [[अवशेष (जटिल विश्लेषण)]] नहीं होता है।
 
श्रेणी ''अनिवार्य विलक्षणता'' [[पृथक विलक्षणता]] का एक बचा हुआ या डिफ़ॉल्ट समूह है जो विशेष रूप से अप्रबंधनीय है: परिभाषा के अनुसार वे विलक्षणता की अन्य दो श्रेणियों में से किसी में भी फिट नहीं होते हैं जिन्हें किसी तरह से निपटाया जा सकता है - [[हटाने योग्य विलक्षणता]] और ध्रुव (जटिल विश्लेषण) एस। व्यवहार में कुछ{{Who?|date=January 2022}} गैर-पृथक विलक्षणताओं को भी शामिल करें; उनके पास [[अवशेष (जटिल विश्लेषण)]] नहीं है।


== औपचारिक विवरण ==
== औपचारिक विवरण ==
एक खुले सेट पर विचार करें <math>U</math> [[जटिल विमान]] का <math>\mathbb{C}</math>. होने देना <math>a</math> का एक तत्व हो <math>U</math>, और <math>f\colon U\setminus\{a\}\to \mathbb{C}</math> एक [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]]। बिंदु <math>a</math> फ़ंक्शन की एक आवश्यक विलक्षणता कहा जाता है <math>f</math> यदि विलक्षणता न तो ध्रुव (जटिल विश्लेषण) है और न ही हटाने योग्य विलक्षणता है।
[[जटिल विमान|जटिल तल]] <math>\mathbb{C}</math> के एक खुले उपसमुच्चय <math>U</math> पर विचार करें। मान लीजिए <math>a</math> <math>U</math> का एक अवयव है और <math>f\colon U\setminus\{a\}\to \mathbb{C}</math> एक [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन|होलोमॉर्फिक फलन]] हैं। बिंदु <math>a</math> फलन की एक आवश्यक विलक्षणता कहा जाता है <math>f</math> यदि विलक्षणता न तो ध्रुव (जटिल विश्लेषण) है और न ही हटाने योग्य विलक्षणता है।


उदाहरण के लिए, समारोह <math>f(z)=e^{1/z}</math> में एक आवश्यक विलक्षणता है <math>z=0</math>.
उदाहरण के लिए, फलन <math>f(z)=e^{1/z}</math> की <math>z=0</math> पर एक आवश्यक विलक्षणता है।


== वैकल्पिक विवरण ==
== वैकल्पिक विवरण ==
होने देना <math>\;a\;</math> एक जटिल संख्या हो, मान लीजिए <math>f(z)</math> पर परिभाषित नहीं है <math>\;a\;</math> लेकिन कुछ क्षेत्र में [[विश्लेषणात्मक कार्य]] है <math>U</math> जटिल विमान का, और वह हर ओपन सेट [[पड़ोस (गणित)]]। <math>a</math> के साथ गैर-खाली चौराहा है <math>U</math>.
<math>\;a\;</math>को एक जटिल संख्या होने दें, मान लें कि <math>f(z)</math> को <math>\;a\;</math> पर परिभाषित नहीं किया गया है, लेकिन जटिल तल के कुछ क्षेत्र <math>U</math> में [[विश्लेषणात्मक कार्य|विश्लेषणात्मक फलन]] है, और <math>a</math> के प्रत्येक खुले सेट [[पड़ोस (गणित)]] में <math>U</math> के साथ गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है।


:अगर दोनों <math>\lim_{z \to a}f(z)</math> और <math>\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}</math> मौजूद हैं, तो <math>a</math> दोनों की एक हटाने योग्य विलक्षणता है <math>f</math> और <math>\frac{1}{f}</math>.
:यदि दोनों <math>\lim_{z \to a}f(z)</math> और <math>\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}</math> अस्तित्व हैं, तो <math>a</math>, <math>f</math> और <math>\frac{1}{f}</math> दोनों की एक हटाने योग्य विलक्षणता है।


:अगर <math>\lim_{z \to a}f(z)</math> लेकिन मौजूद है <math>\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}</math> मौजूद नहीं है (वास्तव में <math>\lim_{z\to a}|1/f(z)|=\infty</math>), तब <math>a</math> का एक शून्य (जटिल विश्लेषण) है <math>f</math> और एक पोल (जटिल विश्लेषण)। <math>\frac{1}{f}</math>.
:यदि <math>\lim_{z \to a}f(z)</math> का अस्तित्व है लेकिन <math>\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}</math> का अस्तित्व (वास्तविक में <math>\lim_{z\to a}|1/f(z)|=\infty</math>) नहीं है, तब <math>a</math> <math>f</math> का एक शून्य (जटिल विश्लेषण) है और <math>\frac{1}{f}</math> एक ध्रुव (जटिल विश्लेषण) है।


: इसी तरह, अगर <math>\lim_{z \to a}f(z)</math> मौजूद नहीं है (वास्तव में <math>\lim_{z\to a}|f(z)|=\infty</math>) लेकिन <math>\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}</math> मौजूद है, तो <math>a</math> का ध्रुव है <math>f</math> और एक शून्य <math>\frac{1}{f}</math>.
: इसी प्रकार, यदि <math>\lim_{z \to a}f(z)</math> का अस्तित्व (वास्तव में <math>\lim_{z\to a}|f(z)|=\infty</math>) नही है, लेकिन <math>\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}</math> का अस्तित्व है, तो <math>a</math> <math>f</math> का ध्रुव है और <math>\frac{1}{f}</math> एक शून्य है।


: यदि नहीं <math>\lim_{z \to a}f(z)</math> और न <math>\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}</math> मौजूद है, तो <math>a</math> दोनों की एक आवश्यक विलक्षणता है <math>f</math> और <math>\frac{1}{f}</math>.
: यदि नहीं <math>\lim_{z \to a}f(z)</math> और न <math>\lim_{z \to a}\frac{1}{f(z)}</math> अस्तित्व है, तो <math>a</math> <math>f</math> और <math>\frac{1}{f}</math> दोनों की एक आवश्यक विलक्षणता है।


एक आवश्यक विलक्षणता को चित्रित करने का एक और तरीका यह है कि [[लॉरेंट श्रृंखला]] <math>f</math> बिंदु पर <math>a</math> अपरिमित रूप से कई ऋणात्मक घात वाले पद हैं (अर्थात् लॉरेंट श्रेणी का मुख्य भाग एक अनंत योग है)। एक संबंधित परिभाषा यह है कि यदि कोई बिंदु है <math>a</math> जिसके लिए कोई व्युत्पन्न नहीं है <math>f(z)(z-a)^n</math> के रूप में एक सीमा में परिवर्तित हो जाता है <math>z</math> आदत है <math>a</math>, तब <math>a</math> की एक आवश्यक विलक्षणता है <math>f</math>.<ref>{{cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |title=आवश्यक विलक्षणता|url=http://mathworld.wolfram.com/EssentialSingularity.html |website=MathWorld |publisher=Wolfram |access-date=11 February 2014}}</ref>
एक आवश्यक विलक्षणता को चित्रित करने का एक और विधि यह है कि बिंदु <math>a</math> पर <math>f</math> की [[लॉरेंट श्रृंखला]] में अपरिमित रूप से कई ऋणात्मक घात वाले पद (अर्थात् लॉरेंट श्रेणी का मुख्य भाग एक अनंत योग है) हैं। एक संबंधित परिभाषा यह है कि यदि कोई बिंदु <math>a</math> है जिसके लिए <math>f(z)(z-a)^n</math> का कोई व्युत्पन्न एक सीमा तक अभिसरण नहीं करता है जैसे <math>z</math> <math>a</math> की ओर जाता है, तो <math>a</math> <math>f</math> की एक आवश्यक विलक्षणता है।<ref>{{cite web |last=Weisstein |first=Eric W. |title=आवश्यक विलक्षणता|url=http://mathworld.wolfram.com/EssentialSingularity.html |website=MathWorld |publisher=Wolfram |access-date=11 February 2014}}</ref>
अनंत पर एक बिंदु के साथ [[रीमैन क्षेत्र]] पर, <math>\infty_\mathbb{C}</math>, कार्यक्रम <math>{f(z)}</math> उस बिंदु पर एक आवश्यक विलक्षणता है अगर और केवल अगर <math>{f(1/z)}</math> 0 पर एक आवश्यक विलक्षणता है: यानी न तो <math>\lim_{z \to 0}{f(1/z)}</math> और न <math>\lim_{z \to 0}\frac{1}{f(1/z)}</math> मौजूद।<ref>{{Cite web|title=एक पृथक विलक्षणता के रूप में अनंत|url=https://people.math.gatech.edu/~xchen/teach/comp_analysis/note-sing-infinity.pdf|url-status=live|access-date=2022-01-06}}</ref> रीमैन क्षेत्र पर [[रीमैन जीटा फ़ंक्शन]] में केवल एक आवश्यक विलक्षणता है, पर <math>\infty_\mathbb{C}</math>.<ref>{{Cite journal |last=Steuding |first=Jörn |last2=Suriajaya |first2=Ade Irma |date=2020-11-01 |title=रीमैन जीटा-फ़ंक्शन का मूल्य-वितरण इसके जूलिया लाइन्स के साथ|url=https://doi.org/10.1007/s40315-020-00316-x |journal=Computational Methods and Function Theory |language=en |volume=20 |issue=3 |pages=389–401 |doi=10.1007/s40315-020-00316-x |issn=2195-3724|doi-access=free }}</ref>
 
होलोमॉर्फिक कार्यों का व्यवहार उनकी आवश्यक विलक्षणताओं के पास कैसोराती-वीयरस्ट्रैस प्रमेय और काफी मजबूत पिकार्ड के महान प्रमेय द्वारा वर्णित है। उत्तरार्द्ध का कहना है कि एक आवश्यक विलक्षणता के हर पड़ोस में <math>a</math>, कार्यक्रम <math>f</math> संभवतः एक को छोड़कर, असीमित रूप से कई बार प्रत्येक जटिल मान लेता है। (अपवाद आवश्यक है; उदाहरण के लिए, function <math>\exp(1/z)</math> कभी भी मान 0 नहीं लेता है।)
अनंत पर एक बिंदु के साथ [[रीमैन क्षेत्र]] पर, <math>\infty_\mathbb{C}</math>, फलन <math>{f(z)}</math> उस बिंदु पर एक आवश्यक विलक्षणता है यदि और केवल यदि <math>{f(1/z)}</math> 0 पर एक आवश्यक विलक्षणता है: अर्थात् न तो <math>\lim_{z \to 0}{f(1/z)}</math> और न <math>\lim_{z \to 0}\frac{1}{f(1/z)}</math> उपस्थित हैं।<ref>{{Cite web|title=एक पृथक विलक्षणता के रूप में अनंत|url=https://people.math.gatech.edu/~xchen/teach/comp_analysis/note-sing-infinity.pdf|url-status=live|access-date=2022-01-06}}</ref> रीमैन क्षेत्र पर [[रीमैन जीटा फ़ंक्शन|रीमैन जीटा फलन]] में <math>\infty_\mathbb{C}</math> पर केवल एक आवश्यक विलक्षणता है।<ref>{{Cite journal |last=Steuding |first=Jörn |last2=Suriajaya |first2=Ade Irma |date=2020-11-01 |title=रीमैन जीटा-फ़ंक्शन का मूल्य-वितरण इसके जूलिया लाइन्स के साथ|url=https://doi.org/10.1007/s40315-020-00316-x |journal=Computational Methods and Function Theory |language=en |volume=20 |issue=3 |pages=389–401 |doi=10.1007/s40315-020-00316-x |issn=2195-3724|doi-access=free }}</ref>
 
होलोमॉर्फिक कार्यों का व्यवहार उनकी आवश्यक विलक्षणताओं के पास कैसोराती-वीयरस्ट्रैस प्रमेय और काफी मजबूत पिकार्ड के महान प्रमेय द्वारा वर्णित है। उत्तरार्द्ध का कहना है कि एक आवश्यक विलक्षणता के हर पड़ोस में <math>a</math>, फलन <math>f</math> संभवतः एक को छोड़कर, असीमित रूप से कई बार प्रत्येक जटिल मान लेता है। (अपवाद आवश्यक है; उदाहरण के लिए, फलन <math>\exp(1/z)</math> कभी भी मान 0 नहीं लेता है।)


==संदर्भ==
==संदर्भ==
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* '' [http://demonstrations.wolfram.com/AnEssentialSingularity/ An Essential Singularity]'' by [[Stephen Wolfram]], [[Wolfram Demonstrations Project]].
* '' [http://demonstrations.wolfram.com/AnEssentialSingularity/ An Essential Singularity]'' by [[Stephen Wolfram]], [[Wolfram Demonstrations Project]].
* [http://planetmath.org/essentialsingularity Essential Singularity on Planet Math]
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Latest revision as of 13:18, 22 March 2023

For वास्तविक मूल्यवान फलनो की आवश्यक विलक्षणताएँ, see असंततताओं का वर्गीकरण.
फलन का प्लॉट exp(1/z), पर आवश्यक विलक्षणता पर केंद्रित है z = 0. रंग आर्ग (गणित) का प्रतिनिधित्व करता है, चमक निरपेक्ष मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है। यह कथानक दिखाता है कि अलग-अलग दिशाओं से आवश्यक विलक्षणता के करीब आने से अलग-अलग व्यवहार उत्पन्न होते हैं (जैसा कि एक ध्रुव के विपरीत, जो किसी भी दिशा से संपर्क करता है, समान रूप से सफेद होगा)।

जटिल विश्लेषण में, एक फलन (गणित) की एक आवश्यक विलक्षणता एक गंभीर विलक्षणता (गणित) है जिसके पास फलन विषम व्यवहार प्रदर्शित करता है।

श्रेणी अनिवार्य विलक्षणता पृथक विलक्षणता का एक बचा हुआ या डिफ़ॉल्ट समूह है जो विशेष रूप से अप्रबंधनीय है: परिभाषा के अनुसार वे विलक्षणता की अन्य दो श्रेणियों में से किसी में भी फिट नहीं होते हैं जिन्हें किसी प्रकार से हटाने योग्य विलक्षणताओ और ध्रुवों (जटिल विश्लेषण) का समाधान किया जा सकता है। व्यवहार में कुछ[who?] गैर-पृथक विलक्षणताओं को भी सम्मिलित करते हैं; जिनका कोई अवशेष (जटिल विश्लेषण) नहीं होता है।

औपचारिक विवरण

जटिल तल के एक खुले उपसमुच्चय पर विचार करें। मान लीजिए का एक अवयव है और एक होलोमॉर्फिक फलन हैं। बिंदु फलन की एक आवश्यक विलक्षणता कहा जाता है यदि विलक्षणता न तो ध्रुव (जटिल विश्लेषण) है और न ही हटाने योग्य विलक्षणता है।

उदाहरण के लिए, फलन की पर एक आवश्यक विलक्षणता है।

वैकल्पिक विवरण

को एक जटिल संख्या होने दें, मान लें कि को पर परिभाषित नहीं किया गया है, लेकिन जटिल तल के कुछ क्षेत्र में विश्लेषणात्मक फलन है, और के प्रत्येक खुले सेट पड़ोस (गणित) में के साथ गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है।

यदि दोनों और अस्तित्व हैं, तो , और दोनों की एक हटाने योग्य विलक्षणता है।
यदि का अस्तित्व है लेकिन का अस्तित्व (वास्तविक में ) नहीं है, तब का एक शून्य (जटिल विश्लेषण) है और एक ध्रुव (जटिल विश्लेषण) है।
इसी प्रकार, यदि का अस्तित्व (वास्तव में ) नही है, लेकिन का अस्तित्व है, तो का ध्रुव है और एक शून्य है।
यदि नहीं और न अस्तित्व है, तो और दोनों की एक आवश्यक विलक्षणता है।

एक आवश्यक विलक्षणता को चित्रित करने का एक और विधि यह है कि बिंदु पर की लॉरेंट श्रृंखला में अपरिमित रूप से कई ऋणात्मक घात वाले पद (अर्थात् लॉरेंट श्रेणी का मुख्य भाग एक अनंत योग है) हैं। एक संबंधित परिभाषा यह है कि यदि कोई बिंदु है जिसके लिए का कोई व्युत्पन्न एक सीमा तक अभिसरण नहीं करता है जैसे की ओर जाता है, तो की एक आवश्यक विलक्षणता है।[1]

अनंत पर एक बिंदु के साथ रीमैन क्षेत्र पर, , फलन उस बिंदु पर एक आवश्यक विलक्षणता है यदि और केवल यदि 0 पर एक आवश्यक विलक्षणता है: अर्थात् न तो और न उपस्थित हैं।[2] रीमैन क्षेत्र पर रीमैन जीटा फलन में पर केवल एक आवश्यक विलक्षणता है।[3]

होलोमॉर्फिक कार्यों का व्यवहार उनकी आवश्यक विलक्षणताओं के पास कैसोराती-वीयरस्ट्रैस प्रमेय और काफी मजबूत पिकार्ड के महान प्रमेय द्वारा वर्णित है। उत्तरार्द्ध का कहना है कि एक आवश्यक विलक्षणता के हर पड़ोस में , फलन संभवतः एक को छोड़कर, असीमित रूप से कई बार प्रत्येक जटिल मान लेता है। (अपवाद आवश्यक है; उदाहरण के लिए, फलन कभी भी मान 0 नहीं लेता है।)

संदर्भ

  1. ↑ Weisstein, Eric W. "आवश्यक विलक्षणता". MathWorld. Wolfram. Retrieved 11 February 2014.
  2. ↑ "एक पृथक विलक्षणता के रूप में अनंत" (PDF). Retrieved 2022-01-06.{{cite web}}: CS1 maint: url-status (link)
  3. ↑ Steuding, Jörn; Suriajaya, Ade Irma (2020-11-01). "रीमैन जीटा-फ़ंक्शन का मूल्य-वितरण इसके जूलिया लाइन्स के साथ". Computational Methods and Function Theory (in English). 20 (3): 389–401. doi:10.1007/s40315-020-00316-x. ISSN 2195-3724.
  • Lars V. Ahlfors; Complex Analysis, McGraw-Hill, 1979
  • Rajendra Kumar Jain, S. R. K. Iyengar; Advanced Engineering Mathematics. Page 920. Alpha Science International, Limited, 2004. ISBN 1-84265-185-4


बाहरी संबंध

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