बेसेल बहुपद: Difference between revisions
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गणित में, '''बेसेल''' [[बहुपद|'''बहुपद''']] '''बहुपदों''' का एक ओर्थोगोनल बहुपद अनुक्रम हैं। कई अलग-अलग लेकिन सूक्ष्मता से संबंधित परिभाषाएँ हैं। गणितज्ञों द्वारा समर्थित परिभाषा श्रृंखला द्वारा दी गई है<ref name="KrallFrink">{{cite journal |last1=Krall |first1=H. L. |last2=Frink |first2=O. |title=A New Class of Orthogonal Polynomials: The Bessel Polynomials |journal=Trans. Amer. Math. Soc. |date=1948 |volume=65 |issue=1 |pages=100-115 |doi=10.2307/1990516 |ref=KrallFrink|doi-access=free }}</ref>{{rp|101}} | |||
गणित में, बेसेल [[बहुपद]] बहुपदों का एक ओर्थोगोनल बहुपद अनुक्रम हैं। कई अलग-अलग लेकिन सूक्ष्मता से संबंधित परिभाषाएँ हैं। गणितज्ञों द्वारा समर्थित परिभाषा श्रृंखला द्वारा दी गई है<ref name="KrallFrink">{{cite journal |last1=Krall |first1=H. L. |last2=Frink |first2=O. |title=A New Class of Orthogonal Polynomials: The Bessel Polynomials |journal=Trans. Amer. Math. Soc. |date=1948 |volume=65 |issue=1 |pages=100-115 |doi=10.2307/1990516 |ref=KrallFrink|doi-access=free }}</ref>{{rp|101}} | |||
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इलेक्ट्रिकल इंजीनियरों द्वारा समर्थित एक अन्य परिभाषा को कभी-कभी रिवर्स बेसेल बहुपद के रूप में जाना जाता है<ref name="Grosswald">{{cite book |last=Grosswald |first=E. |authorlink=Emil Grosswald |title=बेसेल बहुपद (गणित में व्याख्यान नोट्स)|year=1978 |publisher=Springer |location= New York |isbn=978-0-387-09104-4 |ref=Grosswald }}</ref>{{rp|8}}<ref>{{cite journal | इलेक्ट्रिकल इंजीनियरों द्वारा समर्थित एक अन्य परिभाषा को कभी-कभी '''रिवर्स बेसेल बहुपद''' के रूप में जाना जाता है<ref name="Grosswald">{{cite book |last=Grosswald |first=E. |authorlink=Emil Grosswald |title=बेसेल बहुपद (गणित में व्याख्यान नोट्स)|year=1978 |publisher=Springer |location= New York |isbn=978-0-387-09104-4 |ref=Grosswald }}</ref>{{rp|8}}<ref>{{cite journal | ||
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| title = Linearization coefficients of Bessel polynomials and properties of Student-t distributions | | title = Linearization coefficients of Bessel polynomials and properties of Student-t distributions | ||
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:<math>\theta_3(x)=x^3+6x^2+15x+15.</math> | :<math>\theta_3(x)=x^3+6x^2+15x+15.</math> | ||
[[ बेसल फिल्टर ]] के डिजाइन में रिवर्स बेसेल बहुपद का उपयोग किया जाता है। | [[ बेसल फिल्टर | बेसल फिल्टर]] के डिजाइन में रिवर्स बेसेल बहुपद का उपयोग किया जाता है। | ||
== गुण == | == गुण == | ||
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:<math>y_n(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,e^{1/x}K_{n+\frac 1 2}(1/x)</math> | :<math>y_n(x)=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\,e^{1/x}K_{n+\frac 1 2}(1/x)</math> | ||
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जहां | जहां ''K<sub>n</sub>''(x) एक बेसेल फलन है '''संशोधित बेसेल फलन''':आईसीई.बी1.2सी के.सीई.बी1, y<sub>''n''</sub>(x) साधारण बहुपद है, और θ<sub>''n''</sub>(x) विपरीत बहुपद है .<ref name="Grosswald" />{{rp|7,34}} उदाहरण के लिए:<ref>[http://www.wolframalpha.com/input/?i=15x^3%2B15x^2%2B6x%2B1%3D%3DSqrt%5B2%2F%28Pi+x%29%5D+Exp%5B1%2Fx%5D+BesselK%5B3.5%2C+1%2Fx%5D Wolfram Alpha example]</ref> | ||
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=== [[संगम हाइपरज्यामितीय समारोह|हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन]] के रूप में परिभाषा === | |||
[[संगम हाइपरज्यामितीय समारोह|हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन]] के रूप में परिभाषा == | |||
बेसेल बहुपद को एक मिश्रित अतिज्यामितीय फलन के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है<ref>{{cite arXiv | बेसेल बहुपद को एक मिश्रित अतिज्यामितीय फलन के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है<ref>{{cite arXiv | ||
| last1 = Dita | | last1 = Dita | ||
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के सम्बन्ध में विभेद करना <math>t</math>, रद्द करना <math>x</math>, बहुपदों के लिए जनक फलन प्राप्त करता है <math>\{\theta_n\}_{n\ge0}</math> | के सम्बन्ध में विभेद करना <math>t</math>, रद्द करना <math>x</math>, बहुपदों के लिए जनक फलन प्राप्त करता है <math>\{\theta_n\}_{n\ge0}</math> | ||
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के लिए समान जनरेटिंग फ़ंक्शन | के लिए समान जनरेटिंग फ़ंक्शन सम्मिलित है <math>y_n</math> बहुपद भी:<ref name="KrallFrink" />{{rp|106}} | ||
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सेट होने पर <math>t=z-xz^2/2</math>, किसी के पास घातीय कार्य के लिए निम्नलिखित प्रतिनिधित्व है:<ref name="KrallFrink" />{{rp|107}} | सेट होने पर <math>t=z-xz^2/2</math>, किसी के पास घातीय कार्य के लिए निम्नलिखित प्रतिनिधित्व है:<ref name="KrallFrink" />{{rp|107}} | ||
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=== पुनरावर्तन === | |||
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बेसेल बहुपद को पुनरावर्तन सूत्र द्वारा भी परिभाषित किया जा सकता है: | बेसेल बहुपद को पुनरावर्तन सूत्र द्वारा भी परिभाषित किया जा सकता है: | ||
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:<math>\theta_1(x)=x+1\,</math> | :<math>\theta_1(x)=x+1\,</math> | ||
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=== विभेदक समीकरण === | === विभेदक समीकरण === | ||
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=== ओर्थोगोनलिटी === | === ओर्थोगोनलिटी === | ||
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<math>\int_0^{2\pi} y_n\left(e^{i\theta}\right) y_m\left(e^{i\theta}\right) ie^{i\theta} \mathrm{d}\theta = 0</math> | <math>\int_0^{2\pi} y_n\left(e^{i\theta}\right) y_m\left(e^{i\theta}\right) ie^{i\theta} \mathrm{d}\theta = 0</math> | ||
== सामान्यीकरण == | == सामान्यीकरण == | ||
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:<math>B_n^{(\alpha,\beta)}(x)=\frac{a_n^{(\alpha,\beta)}}{x^{\alpha} e^{-\frac{\beta}{x}}} \left(\frac{d}{dx}\right)^n (x^{\alpha+2n} e^{-\frac{\beta}{x}})</math> | :<math>B_n^{(\alpha,\beta)}(x)=\frac{a_n^{(\alpha,\beta)}}{x^{\alpha} e^{-\frac{\beta}{x}}} \left(\frac{d}{dx}\right)^n (x^{\alpha+2n} e^{-\frac{\beta}{x}})</math> | ||
जहाँ | जहाँ a{{su|b=''n''|p=(α, β)}} सामान्यीकरण गुणांक हैं। | ||
=== संबद्ध बेसेल बहुपद === | === संबद्ध बेसेल बहुपद === | ||
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:<math>x^2\frac{d^2B_{n,m}^{(\alpha,\beta)}(x)}{dx^2} + [(\alpha+2)x+\beta]\frac{dB_{n,m}^{(\alpha,\beta)}(x)}{dx} - \left[ n(\alpha+n+1) + \frac{m \beta}{x} \right] B_{n,m}^{(\alpha,\beta)}(x)=0</math> | :<math>x^2\frac{d^2B_{n,m}^{(\alpha,\beta)}(x)}{dx^2} + [(\alpha+2)x+\beta]\frac{dB_{n,m}^{(\alpha,\beta)}(x)}{dx} - \left[ n(\alpha+n+1) + \frac{m \beta}{x} \right] B_{n,m}^{(\alpha,\beta)}(x)=0</math> | ||
जहाँ <math>0\leq m\leq n</math>. समाधान हैं, | |||
:<math>B_{n,m}^{(\alpha,\beta)}(x)=\frac{a_{n,m}^{(\alpha,\beta)}}{x^{\alpha+m} e^{-\frac{\beta}{x}}} \left(\frac{d}{dx}\right)^{n-m} (x^{\alpha+2n} e^{-\frac{\beta}{x}})</math> | :<math>B_{n,m}^{(\alpha,\beta)}(x)=\frac{a_{n,m}^{(\alpha,\beta)}}{x^{\alpha+m} e^{-\frac{\beta}{x}}} \left(\frac{d}{dx}\right)^{n-m} (x^{\alpha+2n} e^{-\frac{\beta}{x}})</math> | ||
== शून्य == | == शून्य == | ||
यदि एक के शून्य को निरूपित करता है <math>y_n(x;\alpha,\beta)</math> जैसा <math>\alpha_k^{(n)}(\alpha,\beta)</math>, और वह <math>\theta_n(x;\alpha,\beta)</math> द्वारा <math>\beta_k^{(n)}(\alpha,\beta)</math>, तो निम्नलिखित अनुमान | यदि एक के शून्य को निरूपित करता है <math>y_n(x;\alpha,\beta)</math> जैसा <math>\alpha_k^{(n)}(\alpha,\beta)</math>, और वह <math>\theta_n(x;\alpha,\beta)</math> द्वारा <math>\beta_k^{(n)}(\alpha,\beta)</math>, तो निम्नलिखित अनुमान सम्मिलित हैं:<ref name="Grosswald" />{{rp|82}} | ||
:<math>\frac{2}{n(n+\alpha-1)}\le\alpha_k^{(n)}(\alpha,2)\le\frac{2}{n+\alpha-1},</math> | :<math>\frac{2}{n(n+\alpha-1)}\le\alpha_k^{(n)}(\alpha,2)\le\frac{2}{n+\alpha-1},</math> | ||
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तीव्र परिणाम कहा जा सकता है यदि कोई बहुपदों के शून्यों के अनुमानों के बारे में अधिक शक्तिशाली प्रमेयों का सहारा लेता है (अधिक संक्षेप में, सैफ और वर्गा का परबोला प्रमेय, या अंतर समीकरण तकनीकें)।<ref name="Grosswald" />{{rp|88}}<ref name="SaffVarga">{{cite journal |last1=Saff |first1=E. B. |last2=Varga |first2=R. S. |title=बहुपदों के अनुक्रमों के लिए शून्य-मुक्त परवलयिक क्षेत्र|journal=SIAM J. Math. Anal. |date=1976 |volume=7 |issue=3 |pages=344-357|doi=10.1137/0507028 |ref=SaffVarga}}</ref> | तीव्र परिणाम कहा जा सकता है यदि कोई बहुपदों के शून्यों के अनुमानों के बारे में अधिक शक्तिशाली प्रमेयों का सहारा लेता है (अधिक संक्षेप में, सैफ और वर्गा का परबोला प्रमेय, या अंतर समीकरण तकनीकें)।<ref name="Grosswald" />{{rp|88}}<ref name="SaffVarga">{{cite journal |last1=Saff |first1=E. B. |last2=Varga |first2=R. S. |title=बहुपदों के अनुक्रमों के लिए शून्य-मुक्त परवलयिक क्षेत्र|journal=SIAM J. Math. Anal. |date=1976 |volume=7 |issue=3 |pages=344-357|doi=10.1137/0507028 |ref=SaffVarga}}</ref> | ||
एक परिणाम निम्न है:<ref name="deBruinSaffVarga">{{cite journal |last1=de Bruin |first1=M. G. |last2=Saff |first2=E. B. |last3=Varga |first3=R. S. |title=सामान्यीकृत बेसेल बहुपदों के शून्यों पर। मैं|journal=Indag. Math. |date=1981 |volume=84 |issue=1 |pages=1-13|ref=deBruinSaffVarga}}</ref> | एक परिणाम निम्न है:<ref name="deBruinSaffVarga">{{cite journal |last1=de Bruin |first1=M. G. |last2=Saff |first2=E. B. |last3=Varga |first3=R. S. |title=सामान्यीकृत बेसेल बहुपदों के शून्यों पर। मैं|journal=Indag. Math. |date=1981 |volume=84 |issue=1 |pages=1-13|ref=deBruinSaffVarga}}</ref> | ||
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== विशेष मूल्य == | == विशेष मूल्य == | ||
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परिमेय गुणांकों वाले निम्न कोटि के बहुपदों में किसी भी | परिमेय गुणांकों वाले निम्न कोटि के बहुपदों में किसी भी बेसल बहुपद का गुणनखण्ड नहीं किया जा सकता है।<ref>{{cite journal|last1=Filaseta|first1=Michael|last2=Trifinov|first2=Ognian|title=बेसेल बहुपदों की इर्रेड्यूसबिलिटी|journal=Journal für die Reine und Angewandte Mathematik|date=August 2, 2002|volume=2002|issue=550|pages=125–140|doi=10.1515/crll.2002.069|citeseerx=10.1.1.6.9538}}</ref> | ||
विपरीत बेसेल बहुपद गुणांकों को उलट कर प्राप्त किया जाता है। | विपरीत बेसेल बहुपद गुणांकों को उलट कर प्राप्त किया जाता है। | ||
समान रूप से, <math display="inline">\theta_k(x) = x^k y_k(1/x)</math>. | समान रूप से, <math display="inline">\theta_k(x) = x^k y_k(1/x)</math>. | ||
इसका परिणाम निम्नलिखित होता है: | इसका परिणाम निम्नलिखित होता है: | ||
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Latest revision as of 13:16, 24 March 2023
गणित में, बेसेल बहुपद बहुपदों का एक ओर्थोगोनल बहुपद अनुक्रम हैं। कई अलग-अलग लेकिन सूक्ष्मता से संबंधित परिभाषाएँ हैं। गणितज्ञों द्वारा समर्थित परिभाषा श्रृंखला द्वारा दी गई है[1]: 101
इलेक्ट्रिकल इंजीनियरों द्वारा समर्थित एक अन्य परिभाषा को कभी-कभी रिवर्स बेसेल बहुपद के रूप में जाना जाता है[2]: 8 [3]: 15
दूसरी परिभाषा के गुणांक पहले के समान हैं लेकिन विपरीत क्रम में हैं। उदाहरण के लिए, तृतीय-डिग्री बेसेल बहुपद है
जबकि थर्ड-डिग्री रिवर्स बेसेल बहुपद है
बेसल फिल्टर के डिजाइन में रिवर्स बेसेल बहुपद का उपयोग किया जाता है।
गुण
बेसेल कार्यों के संदर्भ में परिभाषा
बेसेल बहुपद को बेसेल फलनों का उपयोग करके भी परिभाषित किया जा सकता है जिससे बहुपद को अपना नाम मिलता है।
जहां Kn(x) एक बेसेल फलन है संशोधित बेसेल फलन:आईसीई.बी1.2सी के.सीई.बी1, yn(x) साधारण बहुपद है, और θn(x) विपरीत बहुपद है .[2]: 7, 34 उदाहरण के लिए:[4]
हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन के रूप में परिभाषा
बेसेल बहुपद को एक मिश्रित अतिज्यामितीय फलन के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है[5]: 8
सामान्यीकृत बेसेल बहुपदों के लिए समान अभिव्यक्ति सही है (नीचे देखें):[2]: 35
रिवर्स बेसेल बहुपद को एक सामान्यीकृत लैगुएरे बहुपद के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
जिससे यह अनुसरण करता है कि इसे हाइपरज्यामेट्रिक फ़ंक्शन के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है:
जहां (−2n)n पोचममेर प्रतीक (बढ़ती तथ्यात्मक) है।
जनरेटिंग फंक्शन
बेसल बहुपद, सूचकांक स्थानांतरित होने के साथ, जनरेटिंग फ़ंक्शन है
के सम्बन्ध में विभेद करना , रद्द करना , बहुपदों के लिए जनक फलन प्राप्त करता है
के लिए समान जनरेटिंग फ़ंक्शन सम्मिलित है बहुपद भी:[1]: 106
सेट होने पर , किसी के पास घातीय कार्य के लिए निम्नलिखित प्रतिनिधित्व है:[1]: 107
पुनरावर्तन
बेसेल बहुपद को पुनरावर्तन सूत्र द्वारा भी परिभाषित किया जा सकता है:
और
विभेदक समीकरण
बेसेल बहुपद निम्नलिखित अवकल समीकरण का पालन करता है:
और
ओर्थोगोनलिटी
वजन के संबंध में बेसेल बहुपद ऑर्थोगोनल हैं जटिल विमान के यूनिट सर्कल पर एकीकृत।[1]: 104 दूसरे शब्दों में, यदि ,
सामान्यीकरण
स्पष्ट रूप
बेसेल बहुपदों का एक सामान्यीकरण साहित्य में निम्नलिखित के रूप में सुझाया गया है:
संगत विपरीत बहुपद हैं
के स्पष्ट गुणांक बहुपद हैं:[1]: 108
नतीजतन, द बहुपदों को स्पष्ट रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है:
वेटिंग फंक्शन के लिए
वे संबंध के लिए ओर्थोगोनल हैं
m ≠ n और c के लिए 0 बिंदु के चारों ओर एक वक्र रखता है।
वे α = β = 2 के लिए बेसेल बहुपदों के विशेषज्ञ हैं, किस स्थिति में ρ(x) = exp(−2 / x)।
बेसेल बहुपदों के लिए रोड्रिग्स सूत्र
उपरोक्त अंतर समीकरण के विशेष समाधान के रूप में बेसेल बहुपदों के लिए रोड्रिग्स सूत्र है:
जहाँ a(α, β)
n सामान्यीकरण गुणांक हैं।
संबद्ध बेसेल बहुपद
इस सामान्यीकरण के अनुसार संबंधित बेसेल बहुपदों के लिए हमारे पास निम्नलिखित सामान्यीकृत अवकल समीकरण हैं:
जहाँ . समाधान हैं,
शून्य
यदि एक के शून्य को निरूपित करता है जैसा , और वह द्वारा , तो निम्नलिखित अनुमान सम्मिलित हैं:[2]: 82
और
सभी के लिए . इसके अलावा, इन सभी शून्यों में नकारात्मक वास्तविक भाग होता है।
तीव्र परिणाम कहा जा सकता है यदि कोई बहुपदों के शून्यों के अनुमानों के बारे में अधिक शक्तिशाली प्रमेयों का सहारा लेता है (अधिक संक्षेप में, सैफ और वर्गा का परबोला प्रमेय, या अंतर समीकरण तकनीकें)।[2]: 88 [6]
एक परिणाम निम्न है:[7]
विशेष मूल्य
बेसेल बहुपद तक हैं[8]
परिमेय गुणांकों वाले निम्न कोटि के बहुपदों में किसी भी बेसल बहुपद का गुणनखण्ड नहीं किया जा सकता है।[9]
विपरीत बेसेल बहुपद गुणांकों को उलट कर प्राप्त किया जाता है।
समान रूप से, .
इसका परिणाम निम्नलिखित होता है:
यह भी देखें
- बेसेल फ़ंक्शन
- न्यूमैन बहुपद
- लोमेल बहुपद
- हैंकेल ट्रांसफॉर्म
- फूरियर-बेसेल श्रृंखला
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 Krall, H. L.; Frink, O. (1948). "A New Class of Orthogonal Polynomials: The Bessel Polynomials". Trans. Amer. Math. Soc. 65 (1): 100–115. doi:10.2307/1990516.
- ↑ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 Grosswald, E. (1978). बेसेल बहुपद (गणित में व्याख्यान नोट्स). New York: Springer. ISBN 978-0-387-09104-4.
- ↑ Berg, Christian; Vignat, Christophe (2008). "Linearization coefficients of Bessel polynomials and properties of Student-t distributions" (PDF). Constructive Approximation. 27: 15–32. doi:10.1007/s00365-006-0643-6. Retrieved 2006-08-16.
- ↑ Wolfram Alpha example
- ↑ Dita, Petre; Grama, Nicolae (May 14, 1997). "On Adomian's Decomposition Method for Solving Differential Equations". arXiv:solv-int/9705008.
- ↑ Saff, E. B.; Varga, R. S. (1976). "बहुपदों के अनुक्रमों के लिए शून्य-मुक्त परवलयिक क्षेत्र". SIAM J. Math. Anal. 7 (3): 344–357. doi:10.1137/0507028.
- ↑ de Bruin, M. G.; Saff, E. B.; Varga, R. S. (1981). "सामान्यीकृत बेसेल बहुपदों के शून्यों पर। मैं". Indag. Math. 84 (1): 1–13.
- ↑ *Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A001498 (Triangle a(n,k) (n >= 0, 0 <= k <= n) of coefficients of Bessel polynomials y_n(x) (exponents in increasing order).)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
- ↑ Filaseta, Michael; Trifinov, Ognian (August 2, 2002). "बेसेल बहुपदों की इर्रेड्यूसबिलिटी". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik. 2002 (550): 125–140. CiteSeerX 10.1.1.6.9538. doi:10.1515/crll.2002.069.
- Carlitz, Leonard (1957). "A Note on the Bessel Polynomials". Duke Math. J. 24 (2): 151–162. doi:10.1215/S0012-7094-57-02421-3. MR 0085360.
- Fakhri, H.; Chenaghlou, A. (2006). "Ladder operators and recursion relations for the associated Bessel polynomials". Physics Letters A. 358 (5–6): 345–353. Bibcode:2006PhLA..358..345F. doi:10.1016/j.physleta.2006.05.070.
- Roman, S. (1984). The Umbral Calculus (The Bessel Polynomials §4.1.7). New York: Academic Press. ISBN 978-0-486-44139-9.