डाउनसैंपलिंग (संकेत प्रक्रिया): Difference between revisions

Latest revision as of 12:58, 7 April 2023

अंकीय संकेत प्रक्रिया में,संकेत प्रक्रिया, संगणन और डिकिमेशन मल्टी-रेट डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग प्रणाली में नमूना दर रूपांतरण की प्रक्रिया से जुड़े शब्द हैं। संकेत प्रक्रिया और डेसीमेशन दोनों संगणन के पर्यायवाची हो सकते हैं, या वे बैंडविड्थ कमी (निस्पंदन) और नमूना-दर में कमी की पूरी प्रक्रिया का वर्णन कर सकते हैं।^[1]^[2] जब प्रक्रिया सिग्नल या सतत कार्य के नमूने के अनुक्रम पर की जाती है, तो यह अनुक्रम का अनुमान उत्पन्न करता है जो संकेत को कम दर (या प्रति इंच बिंदू, जैसा कि तस्वीर की स्थिति में होता है) पर नमूना करके प्राप्त किया गया होता।

डेसीमेशन ऐसा शब्द है जिसका ऐतिहासिक रूप से मतलब डेसीमेशन (दंड) है।^{[lower-alpha 1]} किंतु सिग्नल प्रोसेसिंग में, 10 के कारक द्वारा क्षय का मतलब वास्तव में केवल हर दसवें नमूने को रखना है। यह कारक नमूनाकरण अंतराल को गुणा करता है या, समतुल्य रूप से, नमूनाकरण दर को विभाजित करता है। उदाहरण के लिए, यदि कॉम्पैक्ट डिस्क ऑडियो 44,100 सैंपल/सेकेंड पर 5/4 के कारक द्वारा डिकिमेट किया जाता है, तो परिणामी नमूना दर 35,280 है। प्रणाली घटक जो डिकिमेशन करता है उसे डिकिमेटर कहा जाता है। पूर्णांक कारक द्वारा क्षय को संपीडन भी कहा जाता है।^[3]^[4]

एक पूर्णांक कारक द्वारासंकेत प्रक्रिया

एक पूर्णांक कारक एम द्वारा दर में कमी को दो-चरणीय प्रक्रिया के रूप में समझाया जा सकता है, समकक्ष कार्यान्वयन के साथ जो अधिक कुशल है:^[5]

डिजिटल लोपास फिल्टर के साथ उच्च-आवृत्ति सिग्नल घटकों को कम करें।
M द्वारा फ़िल्टर किए गए सिग्नल को कम करें; यानी हर M^th का नमूना ही रखे।

चरण 2 अकेले उच्च-आवृत्ति सिग्नल घटकों को डेटा के बाद के उपयोगकर्ताओं द्वारा गलत व्याख्या करने की अनुमति देता है, जो विरूपण का रूप है जिसे अलियासिंग कहा जाता है। चरण 1, जब आवश्यक हो, अलियासिंग को स्वीकार्य स्तर तक दबा देता है। इस एप्लिकेशन में, फ़िल्टर को एंटी - एलियासिंग फ़िल्टर कहा जाता है, और इसके डिज़ाइन की चर्चा नीचे की गई है। बैंडपास कार्यों और संकेतों को कम करने के बारे में जानकारी के लिए अवर भी देखें।

जब एंटी-एलियासिंग फ़िल्टर अनंत आवेग प्रतिक्रिया डिज़ाइन होता है, तो यह दूसरे चरण से पहले आउटपुट से इनपुट तक प्रतिक्रिया पर निर्भर करता है। एफआईआर फ़िल्टरिंग के साथ, प्रत्येक M^th आउटपुट की गणना करना आसान स्थिति है। n^th के लिए डेसीमेटिंग एफआईआर फिल्टर द्वारा की गई गणना आउटपुट नमूना डॉट उत्पाद है:^{[lower-alpha 2]}

y[n]=\sum _{k=0}^{K-1}x[nM-k]\cdot h[k],

जहां h[•] अनुक्रम आवेग प्रतिक्रिया है, और K इसकी लंबाई है। x[•] डाउनसैंपल होने वाले इनपुट अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करता है। सामान्य प्रयोजन के प्रोसेसर में, y[n] की गणना करने के बाद, y[n+1] की गणना करने की सबसे आसान विधि है कि प्रारंभिक सूचकांक को x[•] सरणी में M द्वारा आगे बढ़ाया जाए, और डॉट उत्पाद की पुनः गणना की जाए। स्थिति में एम = 2, एच [•] को आधा बैंड फ़िल्टर के रूप में डिज़ाइन किया जा सकता है, जहां लगभग आधे गुणांक शून्य हैं और डॉट उत्पादों में सम्मिलित होने की आवश्यकता नहीं है।

एम के अंतराल पर ली गई आवेग प्रतिक्रिया गुणांक अनुक्रम बनाते हैं, और एम ऐसे अनुवर्ती (चरण) साथ मल्टीप्लेक्स होते हैं। डॉट उत्पाद x[•] अनुक्रम के संगत नमूनों के साथ प्रत्येक बाद के डॉट उत्पादों का योग है। इसके अतिरिक्त, एम द्वारासंकेत प्रक्रिया के कारण, एम डॉट उत्पादों में से किसी में सम्मिलित एक्स [•] नमूनों की धारा अन्य डॉट उत्पादों में कभी सम्मिलित नहीं होती है। इस प्रकार एम लो-ऑर्डर एफआईआर फिल्टर प्रत्येक इनपुट स्ट्रीम के एम मल्टीप्लेक्स चरणों में से एक को फ़िल्टर कर रहे हैं, और एम आउटपुट को सारांशित किया जा रहा है। यह दृष्टिकोण अलग कार्यान्वयन प्रदान करता है जो बहु-प्रोसेसर आर्किटेक्चर में लाभदायक हो सकता है। दूसरे शब्दों में, इनपुट स्ट्रीम को विबहुसंकेतक किया जाता है और एम फिल्टर के बैंक के माध्यम से भेजा जाता है, जिसका आउटपुट योग किया जाता है। जब इसे इस तरह लागू किया जाता है, तो इसे 'पॉलीफ़ेज़' फ़िल्टर कहा जाता है।

पूर्णता के लिए, अब हम उल्लेख करते हैं कि संभव, किंतु असंभव, प्रत्येक चरण का कार्यान्वयन एच [•] सरणी की प्रतिलिपि में शून्य के साथ अन्य चरणों के गुणांक को प्रतिस्थापित करना है, इनपुट पर मूल x[•] अनुक्रम को संसाधित करें दर (जिसका अर्थ है शून्य से गुणा करना), और एम के कारक द्वारा आउटपुट को कम करना। इस अक्षम विधि की समानता और ऊपर वर्णित कार्यान्वयन को पहली नोबल पहचान के रूप में जाना जाता है।^[6]^{[lower-alpha 3]} यह कभी-कभी पॉलीपेज़ विधि की व्युत्पत्तियों में प्रयोग किया जाता है।

चित्र 1: ये ग्राफ़ ओवरसैंपल्ड फ़ंक्शन के वर्णक्रमीय वितरण को दर्शाते हैं और उसी फ़ंक्शन को मूल दर के 1/3 पर नमूना करते हैं। बैंडविड्थ, बी, इस उदाहरण में इतना छोटा है कि धीमी नमूनाकरण ओवरलैप (अलियासिंग) का कारण नहीं बनता है। कभी-कभी, केवल प्रत्येक M^th को रखकर नमूना फंक्शन को कम दर पर पुन: नमूना दिया जाता है नमूना और दूसरों को त्यागना, जिसे सामान्यतः डेसीमेशन कहा जाता है। डिकिमिनेशन से पहले नमूनों को लोपास-फ़िल्टर करके संभावित अलियासिंग को रोका जाता है। अधिकतम फ़िल्टर बैंडविड्थ सामान्य फ़िल्टर डिज़ाइन अनुप्रयोगों द्वारा उपयोग की जाने वाली बैंडविड्थ इकाइयों में सारणीबद्ध है।

उपघटन प्रतिरोधी फिल्टर

एक्स (एफ) को किसी भी फ़ंक्शन, एक्स (टी) के निरंतर सांध्वनिक अंतरण होने दें, जिनके नमूने कुछ अंतराल पर, टी, एक्स [एन] अनुक्रम के बराबर हैं। फिर असतत-समय सांध्वनिक रूपांतरण (डीटीएफटी) एक्स (एफ) के आवधिक योग का सांध्वनिक श्रृंखला प्रतिनिधित्व है:^{[lower-alpha 4]}

\underbrace {\sum _{n=-\infty }^{\infty }\overbrace {x(nT)} ^{x[n]}\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi fnT}} _{\text{DTFT}}={\frac {1}{T}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X{\Bigl (}f-{\frac {k}{T}}{\Bigr )}.

जब T के पास सेकंड की इकाई होती है, $f$ हेटर्स की इकाइयाँ हैं। ऊपर दिए गए फॉर्मूले में T को MT से रिप्लेस करने पर डिकिमेटिड सीक्वेंस का DTFT मिलता है, x[nM]:

\sum _{n=-\infty }^{\infty }x(n\cdot MT)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} 2\pi fn(MT)}={\frac {1}{MT}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }X\left(f-{\tfrac {k}{MT}}\right).

एम के कारक द्वारा आवधिक योग को आयाम और आवधिकता में कम कर दिया गया है। इन दोनों वितरणों का उदाहरण चित्र 1 के दो अंशों में दर्शाया गया है।^{[lower-alpha 5]}^{[lower-alpha 6]} अलियासिंग तब होता है जब एक्स (एफ) की आसन्न प्रतियां ओवरलैप होती हैं। उपघटन प्रतिरोधी फिल्टर का उद्देश्य यह सुनिश्चित करना है कि कम आवधिकता ओवरलैप नहीं बनाती है। वह स्थिति जो सुनिश्चित करती है कि X(f) की प्रतियां एक दूसरे को ओवरलैप नहीं करती हैं: $B<{\tfrac {0.5}{T}}\cdot {\tfrac {1}{M}},$ इसलिए यह आदर्श उपघटन प्रतिरोधी फिल्टर की अधिकतम कटऑफ आवृत्ति है।^{[upper-alpha 1]}

एक तर्कसंगत कारक द्वारा

बता दें कि M/L डेसीमेशन फैक्टर को दर्शाता है,^{[upper-alpha 2]} जहाँ: M, L ∈ $\mathbb {Z}$ ; M > L.

अनुक्रम को L के गुणक द्वारा बढ़ाएँ (पुनरावृत्ति) करें। इसे अपसैंपलिंग, या इंटरपोलेशन कहा जाता है।
एम के कारक द्वारा घटाएं

चरण 1 को डेटा दर बढ़ाने (विस्तारित) करने के बाद लोपास फ़िल्टर की आवश्यकता होती है, और चरण 2 को डिकिमिनेशन से पहले लोपास फ़िल्टर की आवश्यकता होती है। इसलिए, दोनों परिचालनों को दो कटऑफ आवृत्तियों के निचले भाग के साथ एक ही फिल्टर द्वारा पूरा किया जा सकता है। M > L केस के लिए, उपघटन प्रतिरोधी फ़िल्टर कटऑफ़, ${\tfrac {0.5}{M}}$ चक्र प्रति मध्यवर्ती नमूना, कम आवृत्ति है।

यह भी देखें

अपसैंपलिंग
पोस्टराइजेशन
नमूना-दर रूपांतरण
अलियासिंग
विस्वालिंगम-व्हाईट एल्गोरिथम

↑ Realizable low-pass filters have a "skirt", where the response diminishes from near one to near zero. In practice the cutoff frequency is placed far enough below the theoretical cutoff that the filter's skirt is contained below the theoretical cutoff.
↑ General techniques for sample-rate conversion by factor R ∈ $\mathbb {R} ^{+}$ include polynomial interpolation and the Farrow structure.^[7]

पृष्ठ उद्धरण

↑ f.harris 2004. "6.1". p 128.
↑ Crochiere and Rabiner "2". p 32. eq 2.55a.
↑ f.harris 2004. "2.2.1". p 25.
↑ Oppenheim and Schafer. "4.2". p 143. eq 4.6, where: $\Omega \triangleq 2\pi f,$ $X_{s}(i\Omega )\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \Omega nT},$ and $X_{c}(i2\pi f)\triangleq X(f).$
↑ f.harris 2004. "2.2". p 22. fig 2.10.
↑ Oppenheim and Schafer. "4.6". p 171. fig 4.22.

संदर्भ

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↑ Strang, Gilbert; Nguyen, Truong (1996-10-01). Wavelets and Filter Banks (2 ed.). Wellesley,MA: Wellesley-Cambridge Press. pp. 100–101. ISBN 0961408871. No sensible engineer would do that.
↑ Milić, Ljiljana (2009). Multirate Filtering for Digital Signal Processing. New York: Hershey. p. 192. ISBN 978-1-60566-178-0. Generally, this approach is applicable when the ratio Fy/Fx is a rational, or an irrational number, and is suitable for the sampling rate increase and for the sampling rate decrease.

अग्रिम पठन

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Lyons, Richard (2001). Understanding Digital Signal Processing. Prentice Hall. p. 304. ISBN 0-201-63467-8. Decreasing the sampling rate is known as decimation.
Antoniou, Andreas (2006). Digital Signal Processing. McGraw-Hill. p. 830. ISBN 0-07-145424-1. Decimators can be used to reduce the sampling frequency, whereas interpolators can be used to increase it.
Milic, Ljiljana (2009). Multirate Filtering for Digital Signal Processing. New York: Hershey. p. 35. ISBN 978-1-60566-178-0. Sampling rate conversion systems are used to change the sampling rate of a signal. The process of sampling rate decrease is called decimation, and the process of sampling rate increase is called interpolation.
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[13] Realizable low-pass filters have a "skirt", where the response diminishes from near one to near zero. In practice the cutoff frequency is placed far enough below the theoretical cutoff that the filter's skirt is contained below the theoretical cutoff.

[15] General techniques for sample-rate conversion by factor R ∈ $\mathbb {R} ^{+}$ include polynomial interpolation and the Farrow structure.^[7]

[3] .harris 2004. "6.1". p 128.

[7] Crochiere and Rabiner "2". p 32. eq 2.55a.

[9] .harris 2004. "2.2.1". p 25.

[10] Oppenheim and Schafer. "4.2". p 143. eq 4.6, where: $\Omega \triangleq 2\pi f,$ $X_{s}(i\Omega )\triangleq \sum _{n=-\infty }^{\infty }x(nT)\ \mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \Omega nT},$ and $X_{c}(i2\pi f)\triangleq X(f).$

[11] .harris 2004. "2.2". p 22. fig 2.10.

[12] Oppenheim and Schafer. "4.6". p 171. fig 4.22.

[Oppenheim-1] Oppenheim, Alan V.; Schafer, Ronald W.; Buck, John R. (1999). "4". Discrete-Time Signal Processing (2nd ed.). Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. p. 168. ISBN 0-13-754920-2. Also available at https://d1.amobbs.com/bbs_upload782111/files_24/ourdev_523225.pdf

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[f.harris-6] Harris, Frederic J. (2004-05-24). "2.2". Multirate Signal Processing for Communication Systems. Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall PTR. pp. 20–21. ISBN 0131465112. The process of down sampling can be visualized as a two-step progression. The process starts as an input series x(n) that is processed by a filter h(n) to obtain the output sequence y(n) with reduced bandwidth. The sample rate of the output sequence is then reduced Q-to-1 to a rate commensurate with the reduced signal bandwidth. In reality the processes of bandwidth reduction and sample rate reduction are merged in a single process called a multirate filter.

[Strang-8] Strang, Gilbert; Nguyen, Truong (1996-10-01). Wavelets and Filter Banks (2 ed.). Wellesley,MA: Wellesley-Cambridge Press. pp. 100–101. ISBN 0961408871. No sensible engineer would do that.

[Milic-14] Milić, Ljiljana (2009). Multirate Filtering for Digital Signal Processing. New York: Hershey. p. 192. ISBN 978-1-60566-178-0. Generally, this approach is applicable when the ratio Fy/Fx is a rational, or an irrational number, and is suitable for the sampling rate increase and for the sampling rate decrease.

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-[[ अंकीय संकेत प्रक्रिया ]] में,संकेत प्रक्रिया, संगणन और डिकिमेशन एक [[मल्टी-रेट डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग]] प्रणाली में नमूना दर रूपांतरण की प्रक्रिया से जुड़े शब्द हैं। संकेत प्रक्रिया और ''डेसीमेशन'' दोनों ''संगणन'' के पर्यायवाची हो सकते हैं, या वे बैंडविड्थ कमी ([[लो पास फिल्टर|निस्पंदन]]) और नमूना-दर में कमी की पूरी प्रक्रिया का वर्णन कर सकते हैं।<ref name=Oppenheim/><ref name=Tan/> जब प्रक्रिया एक सिग्नल या एक सतत कार्य के नमूने के अनुक्रम पर की जाती है, तो यह अनुक्रम का अनुमान उत्पन्न करता है जो संकेत को कम दर (या [[प्रति इंच बिंदू]], जैसा कि एक तस्वीर की स्थिति में होता है) पर नमूना करके प्राप्त किया गया होता।
+[[ अंकीय संकेत प्रक्रिया | अंकीय संकेत प्रक्रिया]] में,संकेत प्रक्रिया, संगणन और डिकिमेशन [[मल्टी-रेट डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग]] प्रणाली में नमूना दर रूपांतरण की प्रक्रिया से जुड़े शब्द हैं। संकेत प्रक्रिया और ''डेसीमेशन'' दोनों ''संगणन'' के पर्यायवाची हो सकते हैं, या वे बैंडविड्थ कमी ([[लो पास फिल्टर|निस्पंदन]]) और नमूना-दर में कमी की पूरी प्रक्रिया का वर्णन कर सकते हैं।<ref name=Oppenheim/><ref name=Tan/> जब प्रक्रिया सिग्नल या सतत कार्य के नमूने के अनुक्रम पर की जाती है, तो यह अनुक्रम का अनुमान उत्पन्न करता है जो संकेत को कम दर (या [[प्रति इंच बिंदू]], जैसा कि तस्वीर की स्थिति में होता है) पर नमूना करके प्राप्त किया गया होता।
-डेसीमेशन एक ऐसा शब्द है जिसका ऐतिहासिक रूप से मतलब [[डेसीमेशन (दंड)]] है।{{efn-la
+डेसीमेशन ऐसा शब्द है जिसका ऐतिहासिक रूप से मतलब [[डेसीमेशन (दंड)]] है।{{efn-la
 |[[#Harris|f.harris 2004]]. "6.1". p 128.
-}} किंतु सिग्नल प्रोसेसिंग में, 10 के एक कारक द्वारा क्षय का मतलब वास्तव में केवल हर दसवें नमूने को रखना है। यह कारक नमूनाकरण अंतराल को गुणा करता है या, समतुल्य रूप से, नमूनाकरण दर को विभाजित करता है। उदाहरण के लिए, यदि [[कॉम्पैक्ट डिस्क]] ऑडियो 44,100 सैंपल/सेकेंड पर 5/4 के कारक द्वारा डिकिमेट किया जाता है, तो परिणामी नमूना दर 35,280 है। एक प्रणाली घटक जो डिकिमेशन करता है उसे डिकिमेटर कहा जाता है। एक पूर्णांक कारक द्वारा क्षय को संपीडन भी कहा जाता है।<ref name=Crochiere/><ref name=Poularikas/>
+}} किंतु सिग्नल प्रोसेसिंग में, 10 के कारक द्वारा क्षय का मतलब वास्तव में केवल हर दसवें नमूने को रखना है। यह कारक नमूनाकरण अंतराल को गुणा करता है या, समतुल्य रूप से, नमूनाकरण दर को विभाजित करता है। उदाहरण के लिए, यदि [[कॉम्पैक्ट डिस्क]] ऑडियो 44,100 सैंपल/सेकेंड पर 5/4 के कारक द्वारा डिकिमेट किया जाता है, तो परिणामी नमूना दर 35,280 है। प्रणाली घटक जो डिकिमेशन करता है उसे डिकिमेटर कहा जाता है। पूर्णांक कारक द्वारा क्षय को संपीडन भी कहा जाता है।<ref name=Crochiere/><ref name=Poularikas/>
 == एक पूर्णांक कारक द्वारासंकेत प्रक्रिया ==
 एक पूर्णांक कारक एम द्वारा दर में कमी को दो-चरणीय प्रक्रिया के रूप में समझाया जा सकता है, समकक्ष कार्यान्वयन के साथ जो अधिक कुशल है:<ref name=f.harris/>
 # डिजिटल लोपास फिल्टर के साथ उच्च-आवृत्ति सिग्नल घटकों को कम करें।
-#''M'' द्वारा फ़िल्टर किए गए सिग्नल को कम करें; यानी हर ''M''<sup>th</sup>  का नमूना ही रखे।
+#''M'' द्वारा फ़िल्टर किए गए सिग्नल को कम करें; यानी हर ''M''<sup>th</sup> का नमूना ही रखे।
-चरण 2 अकेले उच्च-आवृत्ति सिग्नल घटकों को डेटा के बाद के उपयोगकर्ताओं द्वारा गलत व्याख्या करने की अनुमति देता है, जो विरूपण का एक रूप है जिसे [[अलियासिंग]] कहा जाता है। चरण 1, जब आवश्यक हो, अलियासिंग को स्वीकार्य स्तर तक दबा देता है। इस एप्लिकेशन में, फ़िल्टर को [[एंटी - एलियासिंग फ़िल्टर]] कहा जाता है, और इसके डिज़ाइन की चर्चा नीचे की गई है। [[बैंडपास]] कार्यों और संकेतों को कम करने के बारे में जानकारी के लिए [[ अवर ]] भी देखें।
+चरण 2 अकेले उच्च-आवृत्ति सिग्नल घटकों को डेटा के बाद के उपयोगकर्ताओं द्वारा गलत व्याख्या करने की अनुमति देता है, जो विरूपण का रूप है जिसे [[अलियासिंग]] कहा जाता है। चरण 1, जब आवश्यक हो, अलियासिंग को स्वीकार्य स्तर तक दबा देता है। इस एप्लिकेशन में, फ़िल्टर को [[एंटी - एलियासिंग फ़िल्टर]] कहा जाता है, और इसके डिज़ाइन की चर्चा नीचे की गई है। [[बैंडपास]] कार्यों और संकेतों को कम करने के बारे में जानकारी के लिए [[ अवर |अवर]] भी देखें।
-जब एंटी-एलियासिंग फ़िल्टर एक [[अनंत आवेग प्रतिक्रिया]] डिज़ाइन होता है, तो यह दूसरे चरण से पहले आउटपुट से इनपुट तक प्रतिक्रिया पर निर्भर करता है। एफआईआर फ़िल्टरिंग के साथ, प्रत्येक ''M''<sup>th</sup> आउटपुट की गणना करना एक आसान स्थिति है। ''n''<sup>th</sup> के लिए डेसीमेटिंग एफआईआर फिल्टर द्वारा की गई गणना आउटपुट नमूना एक [[डॉट उत्पाद]] है:{{efn-la
+जब एंटी-एलियासिंग फ़िल्टर [[अनंत आवेग प्रतिक्रिया]] डिज़ाइन होता है, तो यह दूसरे चरण से पहले आउटपुट से इनपुट तक प्रतिक्रिया पर निर्भर करता है। एफआईआर फ़िल्टरिंग के साथ, प्रत्येक ''M''<sup>th</sup> आउटपुट की गणना करना आसान स्थिति है। ''n''<sup>th</sup> के लिए डेसीमेटिंग एफआईआर फिल्टर द्वारा की गई गणना आउटपुट नमूना [[डॉट उत्पाद]] है:{{efn-la
 |[[#Crochiere|Crochiere and Rabiner]] "2". p 32. eq 2.55a.
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 :<math>y[n] = \sum_{k=0}^{K-1} x[nM-k]\cdot h[k],</math>
-जहां h[•] अनुक्रम आवेग प्रतिक्रिया है, और K इसकी लंबाई है। x[•] डाउनसैंपल होने वाले इनपुट अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करता है। एक सामान्य प्रयोजन के प्रोसेसर में, y[n] की गणना करने के बाद, y[n+1] की गणना करने की सबसे आसान विधि है कि प्रारंभिक सूचकांक को x[•] सरणी में M द्वारा आगे बढ़ाया जाए, और डॉट उत्पाद की पुनः गणना की जाए। स्थिति में एम = 2, एच [•] को आधा बैंड फ़िल्टर के रूप में डिज़ाइन किया जा सकता है, जहां लगभग आधे गुणांक शून्य हैं और डॉट उत्पादों में सम्मिलित होने की आवश्यकता नहीं है।
+जहां h[•] अनुक्रम आवेग प्रतिक्रिया है, और K इसकी लंबाई है। x[•] डाउनसैंपल होने वाले इनपुट अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करता है। सामान्य प्रयोजन के प्रोसेसर में, y[n] की गणना करने के बाद, y[n+1] की गणना करने की सबसे आसान विधि है कि प्रारंभिक सूचकांक को x[•] सरणी में M द्वारा आगे बढ़ाया जाए, और डॉट उत्पाद की पुनः गणना की जाए। स्थिति में एम = 2, एच [•] को आधा बैंड फ़िल्टर के रूप में डिज़ाइन किया जा सकता है, जहां लगभग आधे गुणांक शून्य हैं और डॉट उत्पादों में सम्मिलित होने की आवश्यकता नहीं है।
-एम के अंतराल पर ली गई आवेग प्रतिक्रिया गुणांक एक अनुक्रम बनाते हैं, और एम ऐसे अनुवर्ती (चरण) एक साथ मल्टीप्लेक्स होते हैं। डॉट उत्पाद x[•] अनुक्रम के संगत नमूनों के साथ प्रत्येक बाद के डॉट उत्पादों का योग है। इसके अतिरिक्त, एम द्वारासंकेत प्रक्रिया के कारण, एम डॉट उत्पादों में से किसी एक में सम्मिलित एक्स [•] नमूनों की धारा अन्य डॉट उत्पादों में कभी सम्मिलित नहीं होती है। इस प्रकार एम लो-ऑर्डर एफआईआर फिल्टर प्रत्येक इनपुट स्ट्रीम के एम मल्टीप्लेक्स चरणों में से एक को फ़िल्टर कर रहे हैं, और एम आउटपुट को सारांशित किया जा रहा है। यह दृष्टिकोण एक अलग कार्यान्वयन प्रदान करता है जो बहु-प्रोसेसर आर्किटेक्चर में लाभदायक हो सकता है। दूसरे शब्दों में, इनपुट स्ट्रीम को विबहुसंकेतक किया जाता है और एम फिल्टर के एक बैंक के माध्यम से भेजा जाता है, जिसका आउटपुट योग किया जाता है। जब इसे इस तरह लागू किया जाता है, तो इसे 'पॉलीफ़ेज़' फ़िल्टर कहा जाता है।
+एम के अंतराल पर ली गई आवेग प्रतिक्रिया गुणांक अनुक्रम बनाते हैं, और एम ऐसे अनुवर्ती (चरण) साथ मल्टीप्लेक्स होते हैं। डॉट उत्पाद x[•] अनुक्रम के संगत नमूनों के साथ प्रत्येक बाद के डॉट उत्पादों का योग है। इसके अतिरिक्त, एम द्वारासंकेत प्रक्रिया के कारण, एम डॉट उत्पादों में से किसी में सम्मिलित एक्स [•] नमूनों की धारा अन्य डॉट उत्पादों में कभी सम्मिलित नहीं होती है। इस प्रकार एम लो-ऑर्डर एफआईआर फिल्टर प्रत्येक इनपुट स्ट्रीम के एम मल्टीप्लेक्स चरणों में से एक को फ़िल्टर कर रहे हैं, और एम आउटपुट को सारांशित किया जा रहा है। यह दृष्टिकोण अलग कार्यान्वयन प्रदान करता है जो बहु-प्रोसेसर आर्किटेक्चर में लाभदायक हो सकता है। दूसरे शब्दों में, इनपुट स्ट्रीम को विबहुसंकेतक किया जाता है और एम फिल्टर के बैंक के माध्यम से भेजा जाता है, जिसका आउटपुट योग किया जाता है। जब इसे इस तरह लागू किया जाता है, तो इसे 'पॉलीफ़ेज़' फ़िल्टर कहा जाता है।
-पूर्णता के लिए, अब हम उल्लेख करते हैं कि एक संभव, किंतु असंभव, प्रत्येक चरण का कार्यान्वयन एच [•] सरणी की प्रतिलिपि में शून्य के साथ अन्य चरणों के गुणांक को प्रतिस्थापित करना है, इनपुट पर मूल x[•] अनुक्रम को संसाधित करें दर (जिसका अर्थ है शून्य से गुणा करना), और एम के एक कारक द्वारा आउटपुट को कम करना। इस अक्षम विधि की समानता और ऊपर वर्णित कार्यान्वयन को पहली नोबल पहचान के रूप में जाना जाता है।<ref name=Strang/>{{efn-la
+पूर्णता के लिए, अब हम उल्लेख करते हैं कि संभव, किंतु असंभव, प्रत्येक चरण का कार्यान्वयन एच [•] सरणी की प्रतिलिपि में शून्य के साथ अन्य चरणों के गुणांक को प्रतिस्थापित करना है, इनपुट पर मूल x[•] अनुक्रम को संसाधित करें दर (जिसका अर्थ है शून्य से गुणा करना), और एम के कारक द्वारा आउटपुट को कम करना। इस अक्षम विधि की समानता और ऊपर वर्णित कार्यान्वयन को पहली नोबल पहचान के रूप में जाना जाता है।<ref name=Strang/>{{efn-la
 |[[#Harris|f.harris 2004]]. "2.2.1". p 25.
 }} यह कभी-कभी पॉलीपेज़ विधि की व्युत्पत्तियों में प्रयोग किया जाता है।
-[[File:Spectral_effects_of_decimation.svg|thumb|400px|चित्र 1: ये ग्राफ़ एक ओवरसैंपल्ड फ़ंक्शन के वर्णक्रमीय वितरण को दर्शाते हैं और उसी फ़ंक्शन को मूल दर के 1/3 पर नमूना करते हैं। बैंडविड्थ, बी, इस उदाहरण में इतना छोटा है कि धीमी नमूनाकरण ओवरलैप (अलियासिंग) का कारण नहीं बनता है। कभी-कभी, केवल प्रत्येक M<sup>th</sup> को रखकर एक नमूना फंक्शन को कम दर पर पुन: नमूना दिया जाता है नमूना और दूसरों को त्यागना, जिसे सामान्यतः डेसीमेशन कहा जाता है। डिकिमिनेशन से पहले नमूनों को लोपास-फ़िल्टर करके संभावित अलियासिंग को रोका जाता है। अधिकतम फ़िल्टर बैंडविड्थ सामान्य फ़िल्टर डिज़ाइन अनुप्रयोगों द्वारा उपयोग की जाने वाली बैंडविड्थ इकाइयों में सारणीबद्ध है।]]
+[[File:Spectral_effects_of_decimation.svg|thumb|400px|चित्र 1: ये ग्राफ़ ओवरसैंपल्ड फ़ंक्शन के वर्णक्रमीय वितरण को दर्शाते हैं और उसी फ़ंक्शन को मूल दर के 1/3 पर नमूना करते हैं। बैंडविड्थ, बी, इस उदाहरण में इतना छोटा है कि धीमी नमूनाकरण ओवरलैप (अलियासिंग) का कारण नहीं बनता है। कभी-कभी, केवल प्रत्येक M<sup>th</sup> को रखकर नमूना फंक्शन को कम दर पर पुन: नमूना दिया जाता है नमूना और दूसरों को त्यागना, जिसे सामान्यतः डेसीमेशन कहा जाता है। डिकिमिनेशन से पहले नमूनों को लोपास-फ़िल्टर करके संभावित अलियासिंग को रोका जाता है। अधिकतम फ़िल्टर बैंडविड्थ सामान्य फ़िल्टर डिज़ाइन अनुप्रयोगों द्वारा उपयोग की जाने वाली बैंडविड्थ इकाइयों में सारणीबद्ध है।]]
 === उपघटन प्रतिरोधी फिल्टर ===
-एक्स (एफ) को किसी भी फ़ंक्शन, एक्स (टी) के निरंतर सांध्वनिक अंतरण होने दें, जिनके नमूने कुछ अंतराल पर, टी, एक्स [एन] अनुक्रम के बराबर हैं। फिर [[असतत-समय फूरियर रूपांतरण|असतत-समय सांध्वनिक रूपांतरण]] (डीटीएफटी) एक्स (एफ) के [[आवधिक योग]] का एक सांध्वनिक श्रृंखला प्रतिनिधित्व है:{{efn-la
+एक्स (एफ) को किसी भी फ़ंक्शन, एक्स (टी) के निरंतर सांध्वनिक अंतरण होने दें, जिनके नमूने कुछ अंतराल पर, टी, एक्स [एन] अनुक्रम के बराबर हैं। फिर [[असतत-समय फूरियर रूपांतरण|असतत-समय सांध्वनिक रूपांतरण]] (डीटीएफटी) एक्स (एफ) के [[आवधिक योग]] का सांध्वनिक श्रृंखला प्रतिनिधित्व है:{{efn-la
 |[[#Oppenheim|Oppenheim and Schafer]]. "4.2". p 143. eq 4.6, where''':''' &nbsp;<math>\Omega \triangleq 2\pi f,</math>&nbsp; <math>X_s(i\Omega) \triangleq \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(nT)\ \mathrm e^{-\mathrm i \Omega nT},</math>&nbsp; and &nbsp;<math>X_c(i 2\pi f) \triangleq X(f).</math>
 }}
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 \sum_{n=-\infty}^{\infty} \overbrace{x(nT)}^{x[n]}\ \mathrm e^{-\mathrm i 2\pi f nT}
 }_{\text{DTFT}} = \frac{1}{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty} X\Bigl(f - \frac{k}{T}\Bigr).</math>
-जब T के पास सेकंड की इकाई होती है, <math>f</math> [[ हेटर्स ]] की इकाइयाँ हैं। ऊपर दिए गए फॉर्मूले में T को MT से रिप्लेस करने पर डिकिमेटिड सीक्वेंस का DTFT मिलता है, x[nM]:
+जब T के पास सेकंड की इकाई होती है, <math>f</math> [[ हेटर्स |हेटर्स]] की इकाइयाँ हैं। ऊपर दिए गए फॉर्मूले में T को MT से रिप्लेस करने पर डिकिमेटिड सीक्वेंस का DTFT मिलता है, x[nM]:
 :<math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n\cdot MT)\ \mathrm e^{-\mathrm i 2\pi f n(MT)} = \frac{1}{MT}\sum_{k=-\infty}^{\infty} X\left(f-\tfrac{k}{MT}\right).</math>
-एम के एक कारक द्वारा आवधिक योग को आयाम और आवधिकता में कम कर दिया गया है। इन दोनों वितरणों का एक उदाहरण चित्र 1 के दो अंशों में दर्शाया गया है।{{efn-la
+एम के कारक द्वारा आवधिक योग को आयाम और आवधिकता में कम कर दिया गया है। इन दोनों वितरणों का उदाहरण चित्र 1 के दो अंशों में दर्शाया गया है।{{efn-la
 |[[#Harris|f.harris 2004]]. "2.2". p 22. fig 2.10.
 }}{{efn-la
 |[[#Oppenheim|Oppenheim and Schafer]]. "4.6". p 171. fig 4.22.
-}} अलियासिंग तब होता है जब एक्स (एफ) की आसन्न प्रतियां ओवरलैप होती हैं। उपघटन प्रतिरोधी फिल्टर का उद्देश्य यह सुनिश्चित करना है कि कम आवधिकता ओवरलैप नहीं बनाती है। वह स्थिति जो सुनिश्चित करती है कि X(f) की प्रतियां एक दूसरे को ओवरलैप नहीं करती हैं: <math> B < \tfrac{0.5}{T} \cdot \tfrac{1}{M},</math> इसलिए यह एक आदर्श उपघटन प्रतिरोधी फिल्टर की अधिकतम कटऑफ आवृत्ति है।{{efn-ua
+}} अलियासिंग तब होता है जब एक्स (एफ) की आसन्न प्रतियां ओवरलैप होती हैं। उपघटन प्रतिरोधी फिल्टर का उद्देश्य यह सुनिश्चित करना है कि कम आवधिकता ओवरलैप नहीं बनाती है। वह स्थिति जो सुनिश्चित करती है कि X(f) की प्रतियां एक दूसरे को ओवरलैप नहीं करती हैं: <math> B < \tfrac{0.5}{T} \cdot \tfrac{1}{M},</math> इसलिए यह आदर्श उपघटन प्रतिरोधी फिल्टर की अधिकतम कटऑफ आवृत्ति है।{{efn-ua
 |Realizable low-pass filters have a "skirt", where the response diminishes from near one to near zero.&nbsp; In practice the cutoff frequency is placed far enough below the theoretical cutoff that the filter's skirt is contained below the theoretical cutoff.
 }}
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 }} जहाँ: {{nowrap|M, L ∈ <math>\mathbb{Z}</math>; M > L.}}
-# अनुक्रम को L के एक गुणक द्वारा बढ़ाएँ (पुनरावृत्ति) करें। इसे [[अपसैंपलिंग]], या इंटरपोलेशन कहा जाता है।
+# अनुक्रम को L के गुणक द्वारा बढ़ाएँ (पुनरावृत्ति) करें। इसे [[अपसैंपलिंग]], या इंटरपोलेशन कहा जाता है।
-#एम के एक कारक द्वारा घटाएं
+#एम के कारक द्वारा घटाएं
-चरण 1 को डेटा दर बढ़ाने (विस्तारित) करने के बाद एक लोपास फ़िल्टर की आवश्यकता होती है, और चरण 2 को डिकिमिनेशन से पहले एक लोपास फ़िल्टर की आवश्यकता होती है। इसलिए, दोनों परिचालनों को दो कटऑफ आवृत्तियों के निचले भाग के साथ एक ही फिल्टर द्वारा पूरा किया जा सकता है। M > L केस के लिए, उपघटन प्रतिरोधी फ़िल्टर कटऑफ़,<math>\tfrac{0.5}{M}</math> चक्र प्रति मध्यवर्ती नमूना, कम आवृत्ति है।
+चरण 1 को डेटा दर बढ़ाने (विस्तारित) करने के बाद लोपास फ़िल्टर की आवश्यकता होती है, और चरण 2 को डिकिमिनेशन से पहले लोपास फ़िल्टर की आवश्यकता होती है। इसलिए, दोनों परिचालनों को दो कटऑफ आवृत्तियों के निचले भाग के साथ एक ही फिल्टर द्वारा पूरा किया जा सकता है। M > L केस के लिए, उपघटन प्रतिरोधी फ़िल्टर कटऑफ़,<math>\tfrac{0.5}{M}</math> चक्र प्रति मध्यवर्ती नमूना, कम आवृत्ति है।
 == यह भी देखें ==
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 {{DSP}}
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