अन्तः आकृति: Difference between revisions

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[[ज्यामिति]] में, एक अंकित समतल [[आकार]] या ठोस वह होता है जो किसी अन्य ज्यामितीय आकार या ठोस से परिबद्ध होता है और <nowiki>''अच्छी तरह से फिट''</nowiki> होता है। यह कहना कि <nowiki>''आकृति F, आकृति G में अंकित है" का अर्थ निश्चित रूप से वही है जो ''</nowiki>आकृति G आकृति F के विषय में परिवृत्त है"। एक [[उत्तल बहुभुज]] (या उत्तल बहुफलक में अंकित एक गोला या [[वृत्त|दीर्घवृत्त]]) में अंकित हुआ वृत्त या दीर्घवृत्त बाहरी आकृति के हर भुजा या तल पर [[स्पर्शरेखा]] है (लेकिन शब्दार्थ परिवर्ती के लिए अंकित किया गोला देखें)। एक वृत्त, दीर्घवृत्त, या बहुभुज (या एक गोले, [[दीर्घवृत्ताभ]], या बहुफलक में अंकित बहुफलक) में अंकित बहुभुज, बाहरी आकृति पर प्रत्येक शीर्ष बाहरी आकृति पर होता है; यदि बाहरी आकृति एक बहुभुज या बहुफलक है, तो बाहरी आकृति के प्रत्येक भुजा अंकित बहुभुज या बहुफलक का एक शीर्ष होना चाहिए। एक उत्कीर्ण आकृति आवश्यक रूप से अभिविन्यास में अद्वितीय नहीं है; इसे आसानी से देखा जा सकता है, उदाहरण के लिए, जब दी गई बाहरी आकृति एक वृत्त होती है, उस स्थिति में एक अंकित आकृति का घूर्णन एक और अंकित आकृति देता है जो मूल आकृति के अनुरूप होती है।
[[ज्यामिति]] में, एक अंकित तलीय [[आकार]] या ठोस वह होता है जो किसी अन्य ज्यामितीय आकार या ठोस से परिबद्ध होता है और <nowiki>''अच्छी तरह से उपयुक्त''</nowiki> होता है। यह कहना कि <nowiki>''आकृति F, आकृति G में अंकित है" का अर्थ निश्चित रूप से वही है जो ''</nowiki>आकृति G आकृति F के विषय में परिवृत्त है"। एक [[उत्तल बहुभुज]] (या उत्तल बहुफलक में अंकित एक गोला या [[वृत्त|दीर्घवृत्त]]) में अंकित हुआ वृत्त या दीर्घवृत्त बाहरी आकृति के हर भुजा या तल पर [[स्पर्शरेखा|स्पर्श]] है (लेकिन शब्दार्थ परिवर्ती के लिए अंकित किया गोला देखें)। एक वृत्त, दीर्घवृत्त, या बहुभुज (या एक गोले, [[दीर्घवृत्ताभ|दीर्घवृत्तज]], या बहुफलक में अंकित बहुफलक) में अंकित बहुभुज का प्रत्येक शीर्ष बाहरी आकृति पर होता है; यदि बाहरी आकृति एक बहुभुज या बहुफलक है, तो बाहरी आकृति के प्रत्येक भुजा अंकित बहुभुज या बहुफलक का एक शीर्ष होना चाहिए। एक अंकित आकृति आवश्यक रूप से अभिविन्यास में अद्वितीय नहीं है; इसे आसानी से देखा जा सकता है, उदाहरण के लिए, जब दी गई बाहरी आकृति एक वृत्त होती है, उस स्थिति में एक अंकित आकृति का घूर्णन एक और अंकित आकृति देता है जो मूल आकृति के अनुरूप होती है।


उत्कीर्ण आकृतियों के प्रचलित उदाहरणों में त्रिभुजों या [[नियमित बहुभुज|सम बहुभुजों]] में अंकित वृत्त, और वृत्तों में अंकित त्रिभुज या सम बहुभुज सम्मिलित हैं। किसी भी बहुभुज में अंकित वृत्त को उसका अंतःवृत्त कहा जाता है, जिस स्थिति में बहुभुज को एक [[स्पर्शरेखा बहुभुज]] कहा जाता है। एक वृत्त में अंकित बहुभुज को [[चक्रीय बहुभुज]] कहा जाता है, और वृत्त को इसका परिबद्ध वृत्त या [[परिवृत्त]] कहा जाता है।
अंकित चित्र के प्रचलित उदाहरणों में त्रिभुजों या [[नियमित बहुभुज|सम बहुभुजों]] में अंकित वृत्त, और त्रिभुज या सम बहुभुज वृत्तों में अंकित सम्मिलित हैं। किसी भी बहुभुज में अंकित वृत्त को उसका अंतःवृत्त कहा जाता है, जिस स्थिति में बहुभुज को एक [[स्पर्शरेखा बहुभुज|स्पर्शरेखीय बहुभुज]] कहा जाता है। एक वृत्त में अंकित बहुभुज को [[चक्रीय बहुभुज]] कहा जाता है, और वृत्त को इसका परिबद्ध वृत्त या [[परिवृत्त]] कहा जाता है।


किसी दिए गए बाहरी आकृति का अंतःत्रिज्या या भरण त्रिज्या अंकित चक्र या गोले का त्रिज्या है, यदि यह उपस्तिथ है।
किसी दिए गए बाहरी आकृति का अंतःत्रिज्या या भरण त्रिज्या अंकित चक्र या गोले का त्रिज्या है, यदि यह उपस्तिथ है।


ऊपर दी गई परिभाषा यह मानती है कि संबंधित वस्तुएँ दो- या तीन-[[आयाम|विमीय]] [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन समष्टि]] में अंत:स्थापित हैं, लेकिन उच्च विमीय और अन्य [[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक समष्टि]] के लिए आसानी से सामान्यीकृत की जा सकती हैं।
ऊपर दी गई परिभाषा यह मानती है कि संबंधित वस्तुएँ दो-या तीन-[[आयाम|विमीय]] [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन समष्टि]] में अंत:स्थापित हैं, लेकिन उच्च विमीय और अन्य [[मीट्रिक स्थान|मीट्रिक समष्टि]] के लिए आसानी से सामान्यीकृत की जा सकती हैं।


<nowiki>''अंकित''</nowiki> शब्द के वैकल्पिक उपयोग के लिए, [[उत्कीर्ण वर्ग समस्या]] देखें, जिसमें एक वर्ग को किसी अन्य आकृति (यहां तक ​​​​कि एक गैर उत्तल भी) में अंकित माना जाता है, यदि इसके चारों शीर्ष उस आकृति पर हैं।
<nowiki>''अंकित''</nowiki> शब्द के वैकल्पिक उपयोग के लिए, [[उत्कीर्ण वर्ग समस्या|अंकित वर्ग समस्या]] देखें, जिसमें एक वर्ग को किसी अन्य आकृति (यहां तक ​​​​कि एक गैर उत्तल भी) में अंकित माना जाता है, यदि इसके चारों शीर्ष उस आकृति पर हैं।


== गुण ==
== गुण ==
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*प्रत्येक वृत्त में किसी भी n≥3 के लिए, n भुजाओं का एक अंकित सम बहुभुज होता है, और प्रत्येक सम बहुभुज को किसी वृत्त में अंकित किया जा सकता है (इसे परिवृत्त कहा जाता है)।
*प्रत्येक वृत्त में किसी भी n≥3 के लिए, n भुजाओं का एक अंकित सम बहुभुज होता है, और प्रत्येक सम बहुभुज को किसी वृत्त में अंकित किया जा सकता है (इसे परिवृत्त कहा जाता है)।
* प्रत्येक सम बहुभुज में एक अंकित वृत्त होता है (इसे अंतःवृत्त कहा जाता है), और प्रत्येक वृत्त को किसी भी n≥3 के लिए, n भुजाओं के कुछ सम बहुभुज में अंकित किया जा सकता है।
* प्रत्येक सम बहुभुज में एक अंकित वृत्त होता है (इसे अंतःवृत्त कहा जाता है), और प्रत्येक वृत्त को किसी भी n≥3 के लिए, n भुजाओं के कुछ सम बहुभुज में अंकित किया जा सकता है।
*तीन से अधिक भुजाओं वाले प्रत्येक बहुभुज में अंकित वृत्त नहीं होता है; वे बहुभुज जो करते हैं स्पर्शरेखा बहुभुज कहलाते हैं। तीन से अधिक भुजाओं वाला प्रत्येक बहुभुज किसी वृत्त का अंकित बहुभुज नहीं होता है; वे बहुभुज जो इस प्रकार अंकित हैं, चक्रीय बहुभुज कहलाते हैं।
*तीन से अधिक भुजाओं वाले प्रत्येक बहुभुज में अंकित वृत्त नहीं होता है; वे बहुभुज जो करते हैं स्पर्शरेखा बहुभुज कहलाते हैं। तीन से अधिक भुजाओं वाले प्रत्येक बहुभुज किसी वृत्त के अंकित बहुभुज नहीं होते है; वे बहुभुज जो इस प्रकार अंकित हैं, चक्रीय बहुभुज कहलाते हैं।
*प्रत्येक त्रिभुज को एक दीर्घवृत्त में अंकित किया जा सकता है, जिसे उसका [[स्टाइनर सर्कमलिप्स]] या केवल स्टेनर दीर्घवृत्त कहा जाता है, जिसका केंद्र त्रिभुज का [[केन्द्रक]] है।
*प्रत्येक त्रिभुज को एक दीर्घवृत्त में अंकित किया जा सकता है, जिसे उसका [[स्टाइनर सर्कमलिप्स]] या केवल स्टेनर दीर्घवृत्त कहा जाता है, जिसका केंद्र त्रिभुज का [[केन्द्रक]] है।
*प्रत्येक त्रिभुज में अंकित दीर्घवृत्तों की अनंतता होती है। उनमें से एक वृत्त है, और उनमें से एक [[स्टाइनर इनलिप्स]] है जो त्रिभुज की भुजाओं के मध्यबिंदुओं पर स्पर्शरेखा है।
*प्रत्येक त्रिभुज में अंकित दीर्घवृत्तों की अनंतता होती है। उनमें से एक वृत्त है, और उनमें से एक [[स्टाइनर इनलिप्स]] है जो त्रिभुज की भुजाओं के मध्यबिंदुओं पर स्पर्शरेखा है।
*प्रत्येक न्यूनकोण त्रिभुज में तीन उत्कीर्ण वर्ग होते हैं। एक समकोण त्रिभुज में उनमें से दो विलीन हो जाते हैं और एक दूसरे के साथ मिल जाते हैं, इसलिए केवल दो अलग अंकित वर्ग होते हैं। एक अति त्रिभुज में एक अंकित वर्ग होता है, जिसकी एक भुजा त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा के भाग के सामान होती है।
*प्रत्येक न्यूनकोण त्रिभुज में तीन अंकित वर्ग होते हैं। एक समकोण त्रिभुज में उनमें से दो विलीन हो जाते हैं और एक दूसरे के साथ विलीन हो जाते हैं, इसलिए केवल दो अलग अंकित वर्ग होते हैं। एक अधिककोण त्रिभुज में एक अंकित वर्ग होता है, जिसकी एक भुजा त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा के भाग के सामान होती है।
*एक [[रेलेक्स त्रिकोण]], या अधिक सामान्यतः स्थिर चौड़ाई का कोई वक्र, उपयुक्त आकार के वर्ग के अंदर किसी भी अभिविन्यास के साथ अंकित किया जा सकता है।
*एक [[रेलेक्स त्रिकोण|रेलेक्स त्रिभुज]], या अधिक सामान्यतः स्थिर चौड़ाई का कोई वक्र, उपयुक्त आकार के वर्ग के अंदर किसी भी अभिविन्यास के साथ अंकित किया जा सकता है।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
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== बाहरी संबंध ==
== बाहरी संबंध ==
*[http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Inscribed_and_circumscribed_figures&oldid=12164 Inscribed and circumscribed figures. A.B. Ivanov (originator), ''Encyclopedia of Mathematics''.]
*[http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=Inscribed_and_circumscribed_figures&oldid=12164 Inscribed and circumscribed figures. A.B. Ivanov (originator), ''Encyclopedia of Mathematics''.]
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Latest revision as of 15:28, 17 October 2023

एक वृत्त का अंकित त्रिभुज

ज्यामिति में, एक अंकित तलीय आकार या ठोस वह होता है जो किसी अन्य ज्यामितीय आकार या ठोस से परिबद्ध होता है और ''अच्छी तरह से उपयुक्त'' होता है। यह कहना कि ''आकृति F, आकृति G में अंकित है" का अर्थ निश्चित रूप से वही है जो ''आकृति G आकृति F के विषय में परिवृत्त है"। एक उत्तल बहुभुज (या उत्तल बहुफलक में अंकित एक गोला या दीर्घवृत्त) में अंकित हुआ वृत्त या दीर्घवृत्त बाहरी आकृति के हर भुजा या तल पर स्पर्श है (लेकिन शब्दार्थ परिवर्ती के लिए अंकित किया गोला देखें)। एक वृत्त, दीर्घवृत्त, या बहुभुज (या एक गोले, दीर्घवृत्तज, या बहुफलक में अंकित बहुफलक) में अंकित बहुभुज का प्रत्येक शीर्ष बाहरी आकृति पर होता है; यदि बाहरी आकृति एक बहुभुज या बहुफलक है, तो बाहरी आकृति के प्रत्येक भुजा अंकित बहुभुज या बहुफलक का एक शीर्ष होना चाहिए। एक अंकित आकृति आवश्यक रूप से अभिविन्यास में अद्वितीय नहीं है; इसे आसानी से देखा जा सकता है, उदाहरण के लिए, जब दी गई बाहरी आकृति एक वृत्त होती है, उस स्थिति में एक अंकित आकृति का घूर्णन एक और अंकित आकृति देता है जो मूल आकृति के अनुरूप होती है।

अंकित चित्र के प्रचलित उदाहरणों में त्रिभुजों या सम बहुभुजों में अंकित वृत्त, और त्रिभुज या सम बहुभुज वृत्तों में अंकित सम्मिलित हैं। किसी भी बहुभुज में अंकित वृत्त को उसका अंतःवृत्त कहा जाता है, जिस स्थिति में बहुभुज को एक स्पर्शरेखीय बहुभुज कहा जाता है। एक वृत्त में अंकित बहुभुज को चक्रीय बहुभुज कहा जाता है, और वृत्त को इसका परिबद्ध वृत्त या परिवृत्त कहा जाता है।

किसी दिए गए बाहरी आकृति का अंतःत्रिज्या या भरण त्रिज्या अंकित चक्र या गोले का त्रिज्या है, यदि यह उपस्तिथ है।

ऊपर दी गई परिभाषा यह मानती है कि संबंधित वस्तुएँ दो-या तीन-विमीय यूक्लिडियन समष्टि में अंत:स्थापित हैं, लेकिन उच्च विमीय और अन्य मीट्रिक समष्टि के लिए आसानी से सामान्यीकृत की जा सकती हैं।

''अंकित'' शब्द के वैकल्पिक उपयोग के लिए, अंकित वर्ग समस्या देखें, जिसमें एक वर्ग को किसी अन्य आकृति (यहां तक ​​​​कि एक गैर उत्तल भी) में अंकित माना जाता है, यदि इसके चारों शीर्ष उस आकृति पर हैं।

गुण

  • प्रत्येक वृत्त में एक अंकित त्रिभुज होता है जिसमें दिए गए तीन कोण माप होते हैं (निश्चित रूप से 180° का योग), और प्रत्येक त्रिभुज को किसी वृत्त में अंकित किया जा सकता है (जिसे इसका परिबद्ध वृत्त या परिवृत्त कहा जाता है)।
  • प्रत्येक त्रिभुज में एक अंकित वृत्त होता है, जिसे अंतःवृत्त कहा जाता है।
  • प्रत्येक वृत्त में किसी भी n≥3 के लिए, n भुजाओं का एक अंकित सम बहुभुज होता है, और प्रत्येक सम बहुभुज को किसी वृत्त में अंकित किया जा सकता है (इसे परिवृत्त कहा जाता है)।
  • प्रत्येक सम बहुभुज में एक अंकित वृत्त होता है (इसे अंतःवृत्त कहा जाता है), और प्रत्येक वृत्त को किसी भी n≥3 के लिए, n भुजाओं के कुछ सम बहुभुज में अंकित किया जा सकता है।
  • तीन से अधिक भुजाओं वाले प्रत्येक बहुभुज में अंकित वृत्त नहीं होता है; वे बहुभुज जो करते हैं स्पर्शरेखा बहुभुज कहलाते हैं। तीन से अधिक भुजाओं वाले प्रत्येक बहुभुज किसी वृत्त के अंकित बहुभुज नहीं होते है; वे बहुभुज जो इस प्रकार अंकित हैं, चक्रीय बहुभुज कहलाते हैं।
  • प्रत्येक त्रिभुज को एक दीर्घवृत्त में अंकित किया जा सकता है, जिसे उसका स्टाइनर सर्कमलिप्स या केवल स्टेनर दीर्घवृत्त कहा जाता है, जिसका केंद्र त्रिभुज का केन्द्रक है।
  • प्रत्येक त्रिभुज में अंकित दीर्घवृत्तों की अनंतता होती है। उनमें से एक वृत्त है, और उनमें से एक स्टाइनर इनलिप्स है जो त्रिभुज की भुजाओं के मध्यबिंदुओं पर स्पर्शरेखा है।
  • प्रत्येक न्यूनकोण त्रिभुज में तीन अंकित वर्ग होते हैं। एक समकोण त्रिभुज में उनमें से दो विलीन हो जाते हैं और एक दूसरे के साथ विलीन हो जाते हैं, इसलिए केवल दो अलग अंकित वर्ग होते हैं। एक अधिककोण त्रिभुज में एक अंकित वर्ग होता है, जिसकी एक भुजा त्रिभुज की सबसे लंबी भुजा के भाग के सामान होती है।
  • एक रेलेक्स त्रिभुज, या अधिक सामान्यतः स्थिर चौड़ाई का कोई वक्र, उपयुक्त आकार के वर्ग के अंदर किसी भी अभिविन्यास के साथ अंकित किया जा सकता है।

यह भी देखें

बाहरी संबंध

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