लोमैक्स वितरण: Difference between revisions

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Lomax वितरण, सशर्त रूप से Pareto_distribution#Pareto प्रकार I-IV भी कहा जाता है, एक [[भारी पूंछ]] है। व्यापार, अर्थशास्त्र, बीमांकिक विज्ञान, कतार सिद्धांत और इंटरनेट ट्रैफ़िक मॉडलिंग में उपयोग किया जाने वाला भारी-पूंछ संभाव्यता वितरण।<ref>Lomax, K. S. (1954) "Business Failures; Another example of the analysis of failure data". ''[[Journal of the American Statistical Association]]'', 49, 847–852. {{JSTOR|2281544}}</ref><ref>{{cite book|last1=Johnson|first1=N. L.|last2=Kotz|first2=S.|last3=Balakrishnan|first3=N.|title=सतत अविभाज्य वितरण|edition=2nd|volume=1|publisher=Wiley|place=New York|year=1994|chapter=20 ''Pareto distributions''|page=573}}</ref><ref>J. Chen, J., Addie, R. G., Zukerman. M., Neame, T. D. (2015) "Performance Evaluation of a Queue Fed by a Poisson Lomax Burst Process", ''[[IEEE Communications Letters]]'', 19, 3, 367-370.</ref> इसका नाम के.एस. लोमैक्स के नाम पर रखा गया है। यह अनिवार्य रूप से एक पेरेटो वितरण है जिसे स्थानांतरित कर दिया गया है ताकि इसका समर्थन शून्य से शुरू हो।<ref>Van Hauwermeiren M and Vose D (2009). ''[http://vosesoftware.com/knowledgebase/whitepapers/pdf/ebookdistributions.pdf A Compendium of Distributions]'' [ebook]. Vose Software, Ghent, Belgium. Available at www.vosesoftware.com.</ref>
लोमैक्स वितरण, सशर्त रूप से परेटो टाइप II वितरण भी कहा जाता है, जो व्यापार, अर्थशास्त्र, बीमांकिक विज्ञान, क्यूइंग सिद्धांत और इंटरनेट ट्रैफिक मॉडलिंग में उपयोग किया जाने वाला हेवी- टेल संभाव्यता वितरण है।<ref>Lomax, K. S. (1954) "Business Failures; Another example of the analysis of failure data". ''[[Journal of the American Statistical Association]]'', 49, 847–852. {{JSTOR|2281544}}</ref><ref>{{cite book|last1=Johnson|first1=N. L.|last2=Kotz|first2=S.|last3=Balakrishnan|first3=N.|title=सतत अविभाज्य वितरण|edition=2nd|volume=1|publisher=Wiley|place=New York|year=1994|chapter=20 ''Pareto distributions''|page=573}}</ref><ref>J. Chen, J., Addie, R. G., Zukerman. M., Neame, T. D. (2015) "Performance Evaluation of a Queue Fed by a Poisson Lomax Burst Process", ''[[IEEE Communications Letters]]'', 19, 3, 367-370.</ref> इसका नाम के.एस. लोमैक्स के नाम पर रखा गया है। यह अनिवार्य रूप से एक पेरेटो वितरण है जिसे स्थानांतरित कर दिया गया है ताकि इसका समर्थन शून्य से शुरू हो।<ref>Van Hauwermeiren M and Vose D (2009). ''[http://vosesoftware.com/knowledgebase/whitepapers/pdf/ebookdistributions.pdf A Compendium of Distributions]'' [ebook]. Vose Software, Ghent, Belgium. Available at www.vosesoftware.com.</ref>
== विवरण ==


 
=== संभाव्यता घनत्व फलन ===
== विशेषता ==
लोमैक्स वितरण के लिए संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) आकार प्राचल ( शेप पैरामीटर)  <math>\alpha > 0</math> और स्केल पैरामीटर  <math>\lambda > 0</math> के साथ दिया गया है
 
=== संभाव्यता घनत्व समारोह ===
लोमैक्स वितरण के लिए संभाव्यता घनत्व समारोह (पीडीएफ) द्वारा दिया गया है
:<math>p(x) = {\alpha \over \lambda} \left[{1 + {x \over \lambda}}\right]^{-(\alpha+1)}, \qquad x \geq 0,</math>
:<math>p(x) = {\alpha \over \lambda} \left[{1 + {x \over \lambda}}\right]^{-(\alpha+1)}, \qquad x \geq 0,</math>
आकार पैरामीटर के साथ <math>\alpha > 0</math> और स्केल पैरामीटर <math>\lambda > 0</math>. घनत्व को इस तरह से फिर से लिखा जा सकता है जो पारेतो वितरण के संबंध को अधिक स्पष्ट रूप से दर्शाता है। वह है:
घनत्व को इस प्रकार से पुनः लिखा जा सकता है कि परेटो टाइप I वितरण से संबंध अधिक स्पष्ट रूप से दिखाई दे। वह है:
:<math>p(x) = {{\alpha\lambda^\alpha} \over {(x + \lambda)^{\alpha+1}}}</math>.
:<math>p(x) = {{\alpha\lambda^\alpha} \over {(x + \lambda)^{\alpha+1}}}</math>.


=== गैर-केंद्रीय क्षण === <math>\nu</math>वें> वें गैर-केंद्रीय क्षण <math>E\left[X^\nu\right]</math> आकार पैरामीटर होने पर ही मौजूद है <math>\alpha</math> सख्ती से अधिक है <math>\nu</math>, जब क्षण का मूल्य हो
=== अकेंद्रीय क्षण ===
<math>\nu</math>वें अकेंद्रीय क्षण <math>E\left[X^\nu\right]</math> केवल तभी उपस्थित होता है जब आकार प्राचल <math>\alpha</math> सख्ती से <math>\nu</math>, से अधिक हो, जब क्षण का मान हो  
:<math>E\left(X^\nu\right) = \frac{\lambda^\nu \Gamma(\alpha - \nu)\Gamma(1 + \nu)}{\Gamma(\alpha)}</math>
:<math>E\left(X^\nu\right) = \frac{\lambda^\nu \Gamma(\alpha - \nu)\Gamma(1 + \nu)}{\Gamma(\alpha)}</math>


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लोमैक्स वितरण एक पारेटो वितरण है जिसे स्थानांतरित किया गया है ताकि इसका समर्थन शून्य से शुरू हो। विशेष रूप से:
लोमैक्स वितरण एक पारेटो वितरण है जिसे स्थानांतरित किया गया है ताकि इसका समर्थन शून्य से शुरू हो। विशेष रूप से:
:<math>\text{If } Y \sim \mbox{Pareto}(x_m = \lambda, \alpha), \text{ then } Y - x_m \sim \mbox{Lomax}(\alpha,\lambda).</math>
:<math>\text{If } Y \sim \mbox{Pareto}(x_m = \lambda, \alpha), \text{ then } Y - x_m \sim \mbox{Lomax}(\alpha,\lambda).</math>
लोमैक्स वितरण एक Pareto_distribution#Pareto प्रकार I-IV x के साथ है<sub>m</sub>=λ और μ=0:<ref>{{citation|title=Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences|volume=470|series=Wiley Series in Probability and Statistics|first1=Christian|last1=Kleiber|first2=Samuel|last2=Kotz|publisher=John Wiley & Sons|year=2003|isbn=9780471457169|page=60|url=https://books.google.com/books?id=7wLGjyB128IC&pg=PA60}}.</ref>
लोमैक्स वितरण x<sub>m</sub>=λ और μ=0 के साथ परेटो टाइप II वितरण है:<ref>{{citation|title=Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences|volume=470|series=Wiley Series in Probability and Statistics|first1=Christian|last1=Kleiber|first2=Samuel|last2=Kotz|publisher=John Wiley & Sons|year=2003|isbn=9780471457169|page=60|url=https://books.google.com/books?id=7wLGjyB128IC&pg=PA60}}.</ref>
:<math>\text{If } X \sim \mbox{Lomax}(\alpha, \lambda) \text{ then } X \sim \text{P(II)}\left(x_m = \lambda, \alpha, \mu = 0\right).</math>
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=== सामान्यीकृत पेरेटो वितरण से संबंध ===
=== सामान्यीकृत पेरेटो वितरण से संबंध ===
लोमैक्स वितरण सामान्यीकृत पेरेटो वितरण का एक विशेष मामला है। विशेष रूप से:
लोमैक्स वितरण सामान्यीकृत पेरेटो वितरण की एक विशेष स्थिति है। विशेष रूप से:
:<math>\mu = 0,~ \xi = {1 \over \alpha},~ \sigma = {\lambda \over \alpha} .</math>
:<math>\mu = 0,~ \xi = {1 \over \alpha},~ \sigma = {\lambda \over \alpha} .</math>




=== [[बीटा प्राइम वितरण]] से संबंध ===
=== [[बीटा प्राइम वितरण]] से संबंध ===
स्केल पैरामीटर λ = 1 के साथ लोमैक्स वितरण बीटा प्राइम वितरण का एक विशेष मामला है। यदि X का लोमैक्स वितरण है, तो <math>\frac{X}{\lambda} \sim \beta^\prime(1, \alpha)</math>.
स्केल पैरामीटर λ = 1 के साथ लोमैक्स वितरण बीटा प्राइम वितरण की एक विशेष स्थिति है। यदि X का लोमैक्स वितरण है, तो <math>\frac{X}{\lambda} \sim \beta^\prime(1, \alpha)</math>.


=== एफ वितरण से संबंध ===
=== एफ वितरण से संबंध ===
आकार पैरामीटर α = 1 और स्केल पैरामीटर λ = 1 के साथ लोमैक्स वितरण में घनत्व है <math>f(x) = \frac{1}{(1 + x)^2}</math>, F-वितरण के समान वितरण|F(2,2) वितरण। यह घातीय वितरण के साथ दो स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के अनुपात का वितरण है।
आकार प्राचल α = 1 और स्केल पैरामीटर λ = 1 के साथ लोमैक्स वितरण में घनत्व <math>f(x) = \frac{1}{(1 + x)^2}</math> का वितरण F(2,2) वितरण के समान है। यह घातांकीय वितरण के साथ दो स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के अनुपात का वितरण है।


=== [[क्यू-घातीय वितरण]] से संबंध ===
=== [[क्यू-घातीय वितरण|क्यू-घातांकीय वितरण]] से संबंध ===
लोमैक्स वितरण क्यू-घातीय वितरण का एक विशेष मामला है। क्यू-एक्सपोनेंशियल एक सीमित अंतराल पर समर्थन करने के लिए इस वितरण का विस्तार करता है। लोमैक्स पैरामीटर द्वारा दिए गए हैं:
लोमैक्स वितरण क्यू-घातीय वितरण की एक विशेष स्थिति है। क्यू-घातीय एक परिबद्ध अंतराल पर समर्थन करने के लिए इस वितरण का विस्तार करता है। लोमैक्स पैरामीटर द्वारा दिए गए हैं:
:<math>\alpha = {{2 - q} \over {q - 1}}, ~ \lambda = {1 \over \lambda_q(q - 1)} .</math>
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=== (लॉग-) [[रसद वितरण]] से संबंध ===
=== (लॉग-) [[रसद वितरण|तार्किक वितरण]] से संबंध ===
लोमैक्स (आकार = 1.0, स्केल = λ) का लघुगणक - वितरित चर स्थान लॉग (λ) और स्केल 1.0 के साथ एक रसद वितरण का अनुसरण करता है।
लोमैक्स (आकार = 1.0, स्केल = λ) वितरित चर का लघुगणक स्थान लॉग (λ) और स्केल 1.0 के साथ एक तार्किक वितरण का अनुसरण करता है।
इसका तात्पर्य है कि एक लोमैक्स (आकार = 1.0, स्केल = λ) -वितरण आकार β = 1.0 और स्केल α = लॉग (λ) के साथ [[लॉग-लॉजिस्टिक वितरण]] के बराबर है।


=== गामा-घातीय (स्केल-) मिश्रण कनेक्शन ===
इसका तात्पर्य है कि एक लोमैक्स (आकार = 1.0, स्केल = λ) -वितरण आकार β = 1.0 और स्केल α = लॉग (λ) के साथ [[लॉग-लॉजिस्टिक वितरण|लॉग-तार्किक वितरण]] के समान है।
लोमैक्स वितरण घातीय वितरण के एक [[यौगिक संभाव्यता वितरण]] के रूप में उत्पन्न होता है जहां दर का मिश्रण वितरण एक [[गामा वितरण]] होता है।
 
अगर λ|k,θ ~ Gamma(shape = k, scale = θ) and X|λ ~ Exponential(rate = λ) तो X|k,θ का सीमांत वितरण Lomax(shape = k, scale = 1/θ) है ).
=== गामा-घातीय (स्केल-) मिश्रण संबंध ===
चूंकि [[दर पैरामीटर]] समतुल्य रूप से [[स्केल पैरामीटर]] के लिए पुनर्मूल्यांकन किया जा सकता है, इसलिए लोमैक्स वितरण घातांकों का एक '[[पैमाने का मिश्रण]]' बनाता है (एक व्युत्क्रम-गामा वितरण के बाद घातीय वितरण पैमाने पैरामीटर के साथ)।
लोमैक्स वितरण घातीय वितरण के एक [[यौगिक संभाव्यता वितरण]] के रूप में उत्पन्न होता है जहां दर का मिश्रण वितरण एक [[गामा वितरण]] होता है। यदि λ|k,θ ~ गामा (आकार = k, स्केल = θ) और  X|λ ~ घातांकी (दर= λ) तो X|k,θ का सीमांत वितरण लोमैक्स है (आकार = k, स्केल = 1/θ) )। चूंकि दर पैरामीटर को स्केल पैरामीटर के समतुल्य रूप से पुनर्गणना किया जा सकता है, इसलिए लोमैक्स वितरण में घातांकियों का एक स्केल मिश्रण होता है (प्रतिलोम-गामा वितरण के अनुगामी घातांकी स्केल पैरामीटर के साथ)।


== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* [[बिजली कानून]]
* [[बिजली कानून|विद्युत नियम]]
* यौगिक संभाव्यता वितरण
* यौगिक संभाव्यता वितरण
* [[ हाइपरएक्सपोनेंशियल वितरण ]] (घातांकों का परिमित मिश्रण)
* [[ हाइपरएक्सपोनेंशियल वितरण |हाइपरएक्सपोनेंशियल वितरण]] (घातांकों का परिमित मिश्रण)
* [[सामान्य-घातीय-गामा वितरण]] (लोमैक्स मिश्रण वितरण के साथ एक सामान्य पैमाने का मिश्रण)
* [[सामान्य-घातीय-गामा वितरण]] (लोमैक्स मिश्रण वितरण के साथ एक सामान्य पैमाने का मिश्रण)


==संदर्भ==
==संदर्भ==
<references />
<references />
{{ProbDistributions|continuous-semi-infinite}}[[Category: निरंतर वितरण]] [[Category: यौगिक संभाव्यता वितरण]] [[Category: गैर-सीमित विचरण के साथ संभाव्यता बंटन]]


[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 21/03/2023]]
[[Category:Created On 21/03/2023]]
[[Category:Machine Translated Page]]
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[[Category:गैर-सीमित विचरण के साथ संभाव्यता बंटन]]
[[Category:निरंतर वितरण]]
[[Category:यौगिक संभाव्यता वितरण]]

Latest revision as of 16:28, 19 April 2023

लोमैक्स
Probability density function
PDF of the Lomax distribution
Cumulative distribution function
लोमेक्स वितरण सीडीएफ plot
Parameters
Support
PDF
CDF
Quantile
Mean ; अन्यथा अपरिभाषित
Median
Mode 0
Variance
Skewness
Ex. kurtosis

लोमैक्स वितरण, सशर्त रूप से परेटो टाइप II वितरण भी कहा जाता है, जो व्यापार, अर्थशास्त्र, बीमांकिक विज्ञान, क्यूइंग सिद्धांत और इंटरनेट ट्रैफिक मॉडलिंग में उपयोग किया जाने वाला हेवी- टेल संभाव्यता वितरण है।[1][2][3] इसका नाम के.एस. लोमैक्स के नाम पर रखा गया है। यह अनिवार्य रूप से एक पेरेटो वितरण है जिसे स्थानांतरित कर दिया गया है ताकि इसका समर्थन शून्य से शुरू हो।[4]

विवरण

संभाव्यता घनत्व फलन

लोमैक्स वितरण के लिए संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) आकार प्राचल ( शेप पैरामीटर) और स्केल पैरामीटर के साथ दिया गया है

घनत्व को इस प्रकार से पुनः लिखा जा सकता है कि परेटो टाइप I वितरण से संबंध अधिक स्पष्ट रूप से दिखाई दे। वह है:

.

अकेंद्रीय क्षण

वें अकेंद्रीय क्षण केवल तभी उपस्थित होता है जब आकार प्राचल सख्ती से , से अधिक हो, जब क्षण का मान हो


संबंधित वितरण

पेरेटो वितरण से संबंध

लोमैक्स वितरण एक पारेटो वितरण है जिसे स्थानांतरित किया गया है ताकि इसका समर्थन शून्य से शुरू हो। विशेष रूप से:

लोमैक्स वितरण xm=λ और μ=0 के साथ परेटो टाइप II वितरण है:[5]


सामान्यीकृत पेरेटो वितरण से संबंध

लोमैक्स वितरण सामान्यीकृत पेरेटो वितरण की एक विशेष स्थिति है। विशेष रूप से:


बीटा प्राइम वितरण से संबंध

स्केल पैरामीटर λ = 1 के साथ लोमैक्स वितरण बीटा प्राइम वितरण की एक विशेष स्थिति है। यदि X का लोमैक्स वितरण है, तो .

एफ वितरण से संबंध

आकार प्राचल α = 1 और स्केल पैरामीटर λ = 1 के साथ लोमैक्स वितरण में घनत्व का वितरण F(2,2) वितरण के समान है। यह घातांकीय वितरण के साथ दो स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के अनुपात का वितरण है।

क्यू-घातांकीय वितरण से संबंध

लोमैक्स वितरण क्यू-घातीय वितरण की एक विशेष स्थिति है। क्यू-घातीय एक परिबद्ध अंतराल पर समर्थन करने के लिए इस वितरण का विस्तार करता है। लोमैक्स पैरामीटर द्वारा दिए गए हैं:


(लॉग-) तार्किक वितरण से संबंध

लोमैक्स (आकार = 1.0, स्केल = λ) वितरित चर का लघुगणक स्थान लॉग (λ) और स्केल 1.0 के साथ एक तार्किक वितरण का अनुसरण करता है।

इसका तात्पर्य है कि एक लोमैक्स (आकार = 1.0, स्केल = λ) -वितरण आकार β = 1.0 और स्केल α = लॉग (λ) के साथ लॉग-तार्किक वितरण के समान है।

गामा-घातीय (स्केल-) मिश्रण संबंध

लोमैक्स वितरण घातीय वितरण के एक यौगिक संभाव्यता वितरण के रूप में उत्पन्न होता है जहां दर का मिश्रण वितरण एक गामा वितरण होता है। यदि λ|k,θ ~ गामा (आकार = k, स्केल = θ) और  X|λ ~ घातांकी (दर= λ) तो X|k,θ का सीमांत वितरण लोमैक्स है (आकार = k, स्केल = 1/θ) )। चूंकि दर पैरामीटर को स्केल पैरामीटर के समतुल्य रूप से पुनर्गणना किया जा सकता है, इसलिए लोमैक्स वितरण में घातांकियों का एक स्केल मिश्रण होता है (प्रतिलोम-गामा वितरण के अनुगामी घातांकी स्केल पैरामीटर के साथ)।

यह भी देखें

संदर्भ

  1. ↑ Lomax, K. S. (1954) "Business Failures; Another example of the analysis of failure data". Journal of the American Statistical Association, 49, 847–852. JSTOR 2281544
  2. ↑ Johnson, N. L.; Kotz, S.; Balakrishnan, N. (1994). "20 Pareto distributions". सतत अविभाज्य वितरण. Vol. 1 (2nd ed.). New York: Wiley. p. 573.
  3. ↑ J. Chen, J., Addie, R. G., Zukerman. M., Neame, T. D. (2015) "Performance Evaluation of a Queue Fed by a Poisson Lomax Burst Process", IEEE Communications Letters, 19, 3, 367-370.
  4. ↑ Van Hauwermeiren M and Vose D (2009). A Compendium of Distributions [ebook]. Vose Software, Ghent, Belgium. Available at www.vosesoftware.com.
  5. ↑ Kleiber, Christian; Kotz, Samuel (2003), Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences, Wiley Series in Probability and Statistics, vol. 470, John Wiley & Sons, p. 60, ISBN 9780471457169.
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