फर्मी ऊर्जा

फर्मी ऊर्जा क्वांटम यांत्रिकी में एक अवधारणा है जो सामान्यतः पूर्ण शून्य तापमान पर गैर-अंतः क्रियात्मक फर्मों की क्वांटम प्रणाली में उच्चतम और निम्नतम ऊर्जा अंतर का जिक्र करता है। एक फर्मी गैस में, सबसे कम व्याप्त अवस्था को शून्य गतिज ऊर्जा के लिए लिया जाता है, जबकि एक धातु में, सबसे कम व्याप्त अवस्था को सामान्यतः चालन बैंड के निचले भाग के रूप में लिया जाता है।

फर्मी ऊर्जा शब्द का प्रयोग अधिकांशतः एक अलग लेकिन निकट से संबंधित अवधारणा, फर्मी स्तर (जिसे विद्युत रासायनिक क्षमता भी कहा जाता है) को संदर्भित करने के लिए किया जाता है। फर्मी स्तर और फर्मी ऊर्जा के बीच कुछ महत्वपूर्ण अंतर होते है, कम से कम इस तरह वे इस लेख में उपयोग किए गए हैं:

• फर्मी ऊर्जा को केवल पूर्ण शून्य पर परिभाषित किया जाता है, जबकि फर्मी स्तर को किसी भी तापमान के लिए परिभाषित किया जाता है।
• फर्मी ऊर्जा एक ऊर्जा अंतर है (सामान्यतः एक गतिज ऊर्जा के अनुरूप), जबकि फर्मी स्तर गतिज ऊर्जा और संभावित ऊर्जा सहित कुल ऊर्जा स्तर है।
• फर्मी ऊर्जा को केवल फर्मी गैस के लिए परिभाषित किया जा सकता है। जबकि थर्मोडायनामिक संतुलन में फर्मी स्तर जटिल अंतः क्रियात्मक प्रणालियों में भी अच्छी तरह से परिभाषित रहता है।

चूँकि पूर्ण शून्य पर किसी धातु में फर्मी स्तर उच्चतम व्याप्त एकल कण अवस्था की ऊर्जा होती है, तो किसी धातु में फर्मी ऊर्जा शून्य-तापमान पर फर्मी स्तर और सबसे कम व्याप्त एकल-कण अवस्था के बीच ऊर्जा का अंतर होता है।

संदर्भ

Main article: फर्मी गैस

क्वांटम यांत्रिकी में, कणों का एक समूह जिसे फर्मिऑन के रूप में जाना जाता है (उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन और न्यूट्रॉन) पाउली अपवर्जन सिद्धांत का पालन करते हैं। चूंकि एकल-कण स्थिर अवस्थाओं के संदर्भ में एक आदर्श गैर-अंतः क्रियात्मक फर्मी गैस का विश्लेषण किया जा सकता है, इसलिए हम कह सकते हैं कि दो फ़र्मियन एक ही स्थिर अवस्था में नहीं रह सकते है। ये स्थिर सामान्यतः ऊर्जा में भिन्न होते है। पूरे प्रणाली की जमीनी स्थिति का पता लगाने के लिए, हम एक खाली प्रणाली से शुरू करते हैं, और एक समय में कणों को जोड़ते हैं, सबसे कम ऊर्जा को लगातार भरते हैं। जब सभी कणों को अंदर डाल दिया जाता है, तो फर्मी ऊर्जा सबसे अधिक व्याप्त अवस्था की गतिज ऊर्जा होती है।

परिणामस्वरूप, यदि हमने एक फर्मी गैस से पूर्ण शून्य तापमान तक ठंडा करके सभी संभव ऊर्जा निकाल लेते है, फिर भी फ़र्मियन उच्च गति से घूमता रहता है। सबसे तेज़ चलने वाले गतिज ऊर्जा के अनुरूप फर्मी ऊर्जा के बराबर गति से आगे बढ़ता है। इस गति को फर्मी वेग के रूप में जाना जाता है। केवल जब तापमान संबंधित फर्मी तापमान से अधिक हो जाता है, तो कण परम शून्य की तुलना में अधिक तेजी से चलना शुरू कर देता है।

धातुओं और अतिचालकों की ठोस अवस्था भौतिकी में फर्मी ऊर्जा एक महत्वपूर्ण अवधारणा होती है। क्वांटम तरल पदार्थ जैसे निम्न तापमान हीलियम (दोनों सामान्य और सुपरफ्लुइड ³He) के भौतिकी में भी यह एक बहुत ही महत्वपूर्ण मात्रा होती है, और यह परमाणु भौतिकी के लिए और गुरुत्वाकर्षण पतन के विरुद्ध व्हाइट द्वार्फ की स्थिरता को समझने के लिए अधिक महत्वपूर्ण होती है।

सूत्र और विशिष्ट मान

एक त्रि-आयामी (गैर-सापेक्षतावादी) प्रणाली में समान स्पिन-1/2 फ़र्मियन के गैर-अंतः क्रियात्मक संयोजन के लिए फर्मी ऊर्जा द्वारा दिया गया है

$$E_{\text{F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\left({\frac {3\pi ^{2}N}{V}}\right)^{2/3},$$

जहाँ N कणों की संख्या है, m₀ प्रत्येक फ़र्मियन का शेष द्रव्यमान है, प्रणाली का V आयतन है, और $\hbar$ कम प्लैंक स्थिरांक है।

धातु

मुक्त इलेक्ट्रॉन मॉडल के अनुसार, धातु में इलेक्ट्रॉनों को फर्मी गैस बनाने के लिए माना जा सकता है। धातुओं में चालन इलेक्ट्रॉनों की संख्या घनत्व $N/V$ लगभग 10²⁸ और 10²⁹ इलेक्ट्रॉनों/एम³ के बीच होती है, जो साधारण ठोस पदार्थ में परमाणुओं का विशिष्ट घनत्व भी होता है। यह संख्या घनत्व 2 से 10 इलेक्ट्रॉन वोल्ट के क्रम की फर्मी ऊर्जा उत्पन्न करता है।

सफेद बौने

सफेद बौनों के रूप में जाने जाने वाले तारों का द्रव्यमान सूर्य के बराबर होता है, लेकिन इसकी त्रिज्या का लगभग सौवां हिस्सा होता है। उच्च घनत्व का मतलब है कि इलेक्ट्रॉन अब एकल नाभिक से बंधे नहीं हैं और इसके अतिरिक्त एक इलेक्ट्रॉन गैस बनाते हैं। उनकी फर्मी ऊर्जा लगभग 0.3 MeV होती है।

न्यूक्लियॉन

एक अन्य विशिष्ट उदाहरण एक परमाणु के नाभिक में न्यूक्लियंस होता है। परमाणु आकार विचलन को स्वीकार करता है, इसलिए फर्मी ऊर्जा के लिए एक विशिष्ट मान सामान्यतः 38 MeV के रूप में दिया जाता है।

संबंधित मात्राएँ

ऊपर की इस परिभाषा का उपयोग फर्मी ऊर्जा के लिए, विभिन्न संबंधित मात्राएँ उपयोगी हो सकती हैं।

फर्मी तापमान के रूप में परिभाषित किया गया है

$$T_{\text{F}}={\frac {E_{\text{F}}}{k_{\text{B}}}},$$

जहाँ $k_{\text{B}}$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है, और $E_{\text{F}}$ फर्मी ऊर्जा है। फर्मी तापमान को उस तापमान के रूप में माना जा सकता है जिस पर थर्मल प्रभाव फर्मी आंकड़ों से जुड़े क्वांटम प्रभावों के बराबर होता है। धातु के लिए फर्मी तापमान कमरे के तापमान के ऊपर परिमाण के कुछ आदेश होते है।

इस संदर्भ में परिभाषित अन्य मात्राएं फर्मी संवेग हैं

$$p_{\text{F}}={\sqrt {2m_{0}E_{\text{F}}}}$$

और फर्मी वेग

$$v_{\text{F}}={\frac {p_{\text{F}}}{m_{0}}}.$$

ये मात्राएँ क्रमशः फर्मी सतह पर एक फर्मियन का संवेग और समूह वेग हैं।

फर्मी संवेग को इस रूप में भी वर्णित किया जा सकता है

$$p_{\text{F}}=\hbar k_{\text{F}},$$

जहाँ $k_{\text{F}}$, जिसे फर्मी तरंग वेक्टर कहा जाता है, जो फर्मी क्षेत्र की त्रिज्या होती है।

इन मात्राओं को उन स्थितियों में अच्छी तरह से परिभाषित नहीं किया जा सकता है जहां फर्मी सतह गैर-गोलाकार होती है।

यह भी देखें

• फर्मी-डिराक आँकड़े: गैर-शून्य तापमान पर गैर-अंतःक्रियात्मक फर्मों के लिए स्थिर अवस्थाओं पर इलेक्ट्रॉनों का वितरण।
• फर्मी स्तर
• अर्ध फर्मी स्तर

अग्रिम पठन

• Kroemer, Herbert; Kittel, Charles (1980). Thermal Physics (2nd ed.). W. H. Freeman Company. ISBN 978-0-7167-1088-2.