प्रतिरेखीय प्रतिचित्र: Difference between revisions

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गणित में, फलन <math>f : V \to W</math> दो समिश्र सदिश स्पेस के बीच प्रतिरैखिक या संयुग्म-रैखिक कहा जाता है यदि
गणित में, फलन <math>f : V \to W</math> दो समिश्र सदिश स्पेस के बीच प्रतिरैखिक या संयुग्म-रैखिक कहा जाता है यदि
<math display="block">\begin{alignat}{9}
<math display="block">\begin{alignat}{9}
f(x + y) &= f(x) + f(y) && \qquad \text{ (योगात्मक) } \\
f(x + y) &= f(x) + f(y) && \qquad \text{ (additivity) } \\
f(s x) &= \overline{s} f(x) && \qquad \text{ (संयुग्म समरूपता) } \\
f(s x) &= \overline{s} f(x) && \qquad \text{ (conjugate homogeneity) } \\
\end{alignat}</math>
\end{alignat}</math>
सभी सदिशों <math>x, y \in V</math> और प्रत्येक सम्मिश्र संख्या <math>s</math> के लिए होता है जहाँ, <math>\overline{s}</math> के समिश्र संयुग्मन <math>s</math> को दर्शाता है।  
सभी सदिशों <math>x, y \in V</math> और प्रत्येक सम्मिश्र संख्या <math>s</math> के लिए होता है जहाँ, <math>\overline{s}</math> के समिश्र संयुग्मन <math>s</math> को दर्शाता है।  


मैप्स रैखिक ऑपरेटरों के विपरीत खड़े होते हैं, जो [[ योगात्मक नक्शा | योगात्मक नक्शा]] ्स होते हैं जो कॉन्जुगेट एकरूपता के बजाय सजातीय मानचित्र होते हैं। यदि सदिश समष्टि वास्तविक सदिश समष्टि है तो प्रतिरैखिकता रैखिकता के समान है।
प्रतिरेखीय प्रतिचित्रण, रेखीय प्रतिचित्रण का विरोध करता है, जो [[Index.php?title=योगात्मक प्रतिचित्र|योगात्मक प्रतिचित्र]] होते हैं जो संयुग्मी एकरूपता के बदले में सजातीय मानचित्र होते हैं। यदि सदिश समष्टि वास्तविक है तो प्रतिरैखिकता, रैखिकता के समान होता है।


टी-समरूपता और [[स्पिनर कैलकुलस]] के अध्ययन में क्वांटम यांत्रिकी में एंटीलीनियर मैप्स होते हैं, जहां सूचकांकों के ऊपर लगाए गए डॉट्स द्वारा बेस वैक्टर और ज्यामितीय वस्तुओं के घटकों पर बार को बदलने की प्रथा है। जटिल संख्या आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान और हिल्बर्ट रिक्त स्थान के साथ व्यवहार करते समय स्केलर-मूल्यवान एंटीलाइनर मानचित्र अक्सर उत्पन्न होते हैं।
काल-विपर्यय और [[Index.php?title=स्पिनर अवकलन|स्पिनर अवकलन]] के अध्ययन में क्वांटम यांत्रिकी में प्रतिरेखीय प्रतिचित्रण का प्रयोग होता है, जहां सूचकांकों के ऊपर लगाए गए बिन्दुओ द्वारा आधारभूत सदिश और ज्यामितीय वस्तुओं के घटकों पर बार को बदला जाता हैं। समिश्र संख्या आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान और हिल्बर्ट रिक्त स्थान के साथ कार्य  करते समय अदिश प्रतिरैखिक प्रतिचित्रण मान प्रायः उत्पन्न होते हैं।


== परिभाषाएँ और विशेषताएँ ==
== परिभाषाएँ और विशेषताएँ ==


एक समारोह कहा जाता है {{em|antilinear}} या {{em|conjugate linear}} यदि यह योगात्मक नक्शा है और सजातीय संयुग्मित है।
फलन रैखिक या संयुग्मी रैखिक तब कहा जाता है, यदि यह योगात्मक और सजातीय संयुग्मित होता है। एक {{em|प्रतिरैखिक फलनो }} में सदिश स्थान पर <math>V</math> एक अदिश-मान प्रतिरेखीय मानचित्र है।
एक {{em|antilinear functional}} सदिश स्थान पर <math>V</math> एक अदिश-मूल्यवान प्रतिरेखीय मानचित्र है।
 
फलन <math>f</math> {{em|योगात्मक }} होता है यदि
 
<math display="block">f(x + y) = f(x) + f(y) \quad \text{सभी सदिशों के लिए} x, y</math>
 
जबकि यह {{em|संयुग्मी सजातीय }} कहलाता है यदि
<math display="block">f(ax) = \overline{a} f(x) \quad \text{ सभी सदिश } x \text{ तथा सभी अदिश } a  </math> इसके विपरीत, एक रेखीय मानचित्र एक ऐसा कार्य है जो योगात्मक और [[सजातीय]] है, जहाँ <math>f</math> {{em|सजातीय}} कहा जाता है यदि
<math display="block">f(ax) = a f(x) \quad \text{ सभी सदिश } x \text{ तथा सभी अदिश के लिए } a.</math> प्रतिचित्रण माप <math>f : V \to W</math> रैखिक मानचित्र के संदर्भ में समान रूप से वर्णित किया जा सकता है <math>\overline{f} : V \to \overline{W}</math> से <math>V</math> रिक्त समिश्र संयुग्म सदिश के लिए <math>\overline{W}</math>।  


एक समारोह <math>f</math> कहा जाता है {{em|[[Additive map|additive]]}} अगर
<math display=block>f(x + y) = f(x) + f(y) \quad \text{ for all vectors } x, y</math>
जबकि कहा जाता है {{em|[[Conjugate homogeneity|conjugate homogeneous]]}} अगर
<math display=block>f(ax) = \overline{a} f(x) \quad \text{ for all vectors } x \text{ and all scalars } a.</math> इसके विपरीत, एक रेखीय मानचित्र एक ऐसा कार्य है जो योगात्मक और [[सजातीय]] है, जहाँ <math>f</math> कहा जाता है {{em|homogeneous}} अगर
<math display=block>f(ax) = a f(x) \quad \text{ for all vectors } x \text{ and all scalars } a.</math> एक एंटीलाइनर नक्शा <math>f : V \to W</math> रैखिक मानचित्र के संदर्भ में समान रूप से वर्णित किया जा सकता है <math>\overline{f} : V \to \overline{W}</math> से <math>V</math> जटिल संयुग्म वेक्टर अंतरिक्ष के लिए <math>\overline{W}.</math>




=== उदाहरण ===
=== उदाहरण ===


==== एंटी-लीनियर डुअल मैप ====
==== दोहरा प्रतिचित्रण मानचित्र ====
 
समिश्र सदिश <math>V</math> को प्रथम स्थान दिया गया है, जिससे हम एक दोहरा प्रतिचित्रण मानचित्र बना सकते हैं जो एक प्रतिचित्रण मानचित्र है <math display="block">l:V \to \Complex</math> अवयव  <math>x_1 + iy_1</math> के लिए <math>x_1,y_1 \in \R</math> को <math display="block">x_1 + iy_1 \mapsto a_1 x_1 - i b_1 y_1</math> कुछ निश्चित वास्तविक संख्याओं <math>a_1,b_1</math>के लिए प्रयुक्त होता है। हम इसे किसी भी परिमित आयामी समिश्र सदिश स्थान तक बढ़ा सकते हैं, जहाँ यदि हम मानक आधार  <math>e_1, \ldots, e_n</math> लिखते हैं और प्रत्येक मानक आधार तत्व के रूप में होता है  <math display="block">e_k = x_k + iy_k</math> फिर विरोधी रेखीय समिश्र मानचित्र <math>\Complex</math> स्वरूप का  <math display="block">\sum_k x_k + iy_k \mapsto \sum_k a_k x_k - i b_k y_k</math> <math>a_k,b_k \in \R</math> के लिए होता हैं।  


एक जटिल सदिश स्थान दिया गया है <math>V</math> रैंक 1 का, हम एक एंटी-लीनियर डुअल मैप बना सकते हैं जो एक एंटी-लीनियर मैप है <math display="block">l:V \to \Complex</math> एक तत्व भेज रहा है <math>x_1 + iy_1</math> के लिए <math>x_1,y_1 \in \R</math> को <math display="block">x_1 + iy_1 \mapsto a_1 x_1 - i b_1 y_1</math> कुछ निश्चित वास्तविक संख्याओं के लिए <math>a_1,b_1.</math> हम इसे किसी भी परिमित आयामी जटिल सदिश स्थान तक बढ़ा सकते हैं, जहाँ यदि हम मानक आधार लिखते हैं <math>e_1, \ldots, e_n</math> और प्रत्येक मानक आधार तत्व के रूप में <math display="block">e_k = x_k + iy_k</math> फिर एक विरोधी रेखीय जटिल नक्शा <math>\Complex</math>स्वरूप का होगा <math display="block">\sum_k x_k + iy_k \mapsto \sum_k a_k x_k - i b_k y_k</math> के लिए <math>a_k,b_k \in \R.</math>


==== दोहरे वास्तविक रैखिक के साथ दोहरे प्रतिरैखिक का समरूपता   ====


==== वास्तविक दोहरे के साथ रैखिक-विरोधी दोहरे का समरूपता ====
सम्मिश्र सदिश स्थान <math>V</math> का दोहरा प्रतिरैखिक<ref name=":0">{{Cite book|last=Birkenhake|first=Christina| url=https://www.worldcat.org/oclc/851380558 | title=जटिल एबेलियन किस्में| date=2004 | publisher=Springer Berlin Heidelberg|others=Herbert Lange |isbn=978-3-662-06307-1| edition=Second, augmented| location=Berlin, Heidelberg| oclc=851380558}}</ref><sup>पृष्ठ 36</sup> Hom (V,C)


विरोधी रेखीय दोहरी<ref name=":0">{{Cite book|last=Birkenhake|first=Christina| url=https://www.worldcat.org/oclc/851380558 | title=जटिल एबेलियन किस्में| date=2004 | publisher=Springer Berlin Heidelberg|others=Herbert Lange |isbn=978-3-662-06307-1| edition=Second, augmented| location=Berlin, Heidelberg| oclc=851380558}}</ref><sup>पृष्ठ 36</sup> एक जटिल सदिश स्थान का <math>V</math> <math display="block">\operatorname{Hom}_{\overline{\Complex}}(V,\Complex)</math> एक विशेष उदाहरण है क्योंकि यह अंतर्निहित वास्तविक सदिश स्थान के वास्तविक दोहरे के लिए समरूप है <math>V,</math> <math>\text{Hom}_\R(V,\R).</math> यह एक एंटी-लीनियर मैप भेजने वाले मैप द्वारा दिया गया है <math display="block">\ell: V \to \Complex</math>को <math display="block">\operatorname{Im}(\ell) : V \to \R</math> दूसरी दिशा में, उलटा नक्शा है जो एक वास्तविक दोहरे वेक्टर को भेजता है <math display="block">\lambda : V \to \R</math> को <math display="block">\ell(v) = -\lambda(iv) + i\lambda(v)</math> वांछित नक्शा दे रहा है।
एक विशेष उदाहरण है क्योंकि यह अंतर्निहित वास्तविक सदिश स्थान के दोहरे वास्तविकता के लिए समरूप है <math>V,</math> <math>\text{Hom}_\R(V,\R).</math> यह अरैखिकता मानचित्रण भेजने वाले मानचित्र द्वारा दिया गया है <math display="block">\ell: V \to \Complex</math>को <math display="block">\operatorname{Im}(\ell) : V \to \R</math> दूसरी दिशा में, विपरीत मानचित्र है जो एक वास्तविक दोहरे सदिश को भेजता है <math display="block">\lambda : V \to \R</math> को <math display="block">\ell(v) = -\lambda(iv) + i\lambda(v)</math> वांछित मानचित्र देता हैं।


== गुण ==
== गुण ==
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दो प्रतिरेखीय मानचित्रों के [[संबंधों की संरचना]] एक रेखीय मानचित्र है। अर्धरेखीय मानचित्रों का वर्ग प्रतिरेखीय मानचित्रों के वर्ग का सामान्यीकरण करता है।
दो प्रतिरेखीय मानचित्रों के [[संबंधों की संरचना]] एक रेखीय मानचित्र है। अर्धरेखीय मानचित्रों का वर्ग प्रतिरेखीय मानचित्रों के वर्ग का सामान्यीकरण करता है।


== एंटी-डुअल स्पेस ==
== विरूद्ध दोहरी स्पेस ==
 
सदिश समष्टि पर <math>X</math> सभी प्रतिरेखीय रूपों का सदिश स्थान को <math>X</math> बीजगणितीय दोहरा स्पेस कहा जाता है। यदि <math>X</math> संस्थितिक [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|वेक्टर स्पेस]] है, फिर सभी का वेक्टर स्पेस निरंतर <math>X</math> प्रतिरैखिक फंक्शंस ऑन, <math display="inline">\overline{X}^{\prime}</math>द्वारा चिह्नित, <math>X</math> को निरंतर दोहरा स्पेस या बस दोहरा स्पेस कहा जाता है।{{sfn|Trèves|2006|pp=112-123}} यदि कोई विभ्रांति उत्पन्न नहीं हो सकता है।
 
<math>H</math> आदर्श स्थान है तो दोहरे स्पेस <math display="inline">\overline{X}^{\prime}</math>पर विहित मानदंड है।<math display="inline">\|f\|_{\overline{X}^{\prime}}</math> द्वारा चिह्नित समीकरण का उपयोग करके परिभाषित किया गया है:{{sfn|Trèves|2006|pp=112–123}}
<math display=block>\|f\|_{\overline{X}^{\prime}} ~:=~ \sup_{\|x\| \leq 1, x \in X} |f(x)| \quad \text{ for every } f \in \overline{X}^{\prime}.</math> यह सूत्र <math>X^{\prime}</math>निरंतर प्रति दोहरे स्थान <math>X</math> पर विहित मानदंड के सूत्र के समान है। जिसे परिभाषित किया गया है{{sfn|Trèves|2006|pp=112–123}}
<math display=block>\|f\|_{X^{\prime}} ~:=~ \sup_{\|x\| \leq 1, x \in X} |f(x)| \quad \text{ for every } f \in X^{\prime}.</math> दोहरे और प्रति दोहरे के बीच विहित मानदंड


सदिश समष्टि पर सभी प्रतिरेखीय रूपों का सदिश स्थान <math>X</math> कहा जाता है {{em|algebraic [[anti-dual space]]}} का <math>X.</math> अगर <math>X</math> एक [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]] है, फिर सभी का वेक्टर स्पेस {{em|continuous}} एंटीलाइनर फंक्शंस ऑन <math>X,</math> द्वारा चिह्नित <math display="inline">\overline{X}^{\prime},</math> कहा जाता है {{em|continuous anti-dual space}} या बस {{em|anti-dual space}} का <math>X</math>{{sfn|Trèves|2006|pp=112-123}} अगर कोई भ्रम पैदा नहीं हो सकता।
कार्यात्मक <math>f</math> का सम्मिश्र संयुग्मन <math>\overline{f}</math> को x ᕮ अनुक्षेत्र <math>f</math> को <math display="inline">\overline{f(x)}</math> में भेजकर परिभाषित किया गया है। यह संतुष्ट करता है
<math display=block>\|f\|_{X^{\prime}} ~=~ \left\|\overline{f}\right\|_{\overline{X}^{\prime}} \quad \text{ and } \quad \left\|\overline{g}\right\|_{X^{\prime}} ~=~ \|g\|_{\overline{X}^{\prime}}</math>
सभी <math>f \in X^{\prime}</math> और सभी  <math display="inline">g \in \overline{X}^{\prime}</math>के लिए है। यह ठीक यही कहता है कि विहित प्रतिरेखीय द्विविभाजन द्वारा परिभाषित किया गया है


कब <math>H</math> एक आदर्श स्थान है तो (निरंतर) विरोधी दोहरे स्थान पर विहित मानदंड <math display="inline">\overline{X}^{\prime},</math> द्वारा चिह्नित <math display="inline">\|f\|_{\overline{X}^{\prime}},</math> इसी समीकरण का उपयोग करके परिभाषित किया गया है:{{sfn|Trèves|2006|pp=112–123}}
संयुग्मन ''X' → Х  जहाँ संयुग्मन (f):= f''
  <math display=block>\|f\|_{\overline{X}^{\prime}} ~:=~ \sup_{\|x\| \leq 1, x \in X} |f(x)| \quad \text{ for every } f \in \overline{X}^{\prime}.</math> यह सूत्र के सूत्र के समान है {{em|[[dual norm]]}} निरंतर दोहरे स्थान पर <math>X^{\prime}</math> का <math>X,</math> जिसके द्वारा परिभाषित किया गया है{{sfn|Trèves|2006|pp=112–123}}
<math display=block>\|f\|_{X^{\prime}} ~:=~ \sup_{\|x\| \leq 1, x \in X} |f(x)| \quad \text{ for every } f \in X^{\prime}.</math> दोहरे और विरोधी दोहरे के बीच कैननिकल आइसोमेट्री


जटिल संयुग्म <math>\overline{f}</math> एक कार्यात्मक का <math>f</math> भेजकर परिभाषित किया गया है <math>x \in \operatorname{domain} f</math> को <math display="inline">\overline{f(x)}.</math> यह संतुष्ट करता है
साथ ही इसका उलटा प्रतिरैखीय सममिति हैं और इसके परिणामस्वरूप समरूप हैं।
<math display=block>\|f\|_{X^{\prime}} ~=~ \left\|\overline{f}\right\|_{\overline{X}^{\prime}} \quad \text{ and } \quad \left\|\overline{g}\right\|_{X^{\prime}} ~=~ \|g\|_{\overline{X}^{\prime}}</math>
हरएक के लिए <math>f \in X^{\prime}</math> और हर <math display="inline">g \in \overline{X}^{\prime}.</math> यह ठीक यही कहता है कि कैनोनिकल एंटीलीनियर [[विशेषण नक्शा]] द्वारा परिभाषित किया गया है
<math display=block>\operatorname{Cong} ~:~ X^{\prime} \to \overline{X}^{\prime} \quad \text{ where } \quad \operatorname{Cong}(f) := \overline{f}</math> साथ ही इसका उलटा भी <math>\operatorname{Cong}^{-1} ~:~ \overline{X}^{\prime} \to X^{\prime}</math> एंटीलीनियर [[आइसोमेट्री]] हैं और इसके परिणामस्वरूप [[होमियोमोर्फिज्म]] भी हैं।


अगर <math>\mathbb{F} = \R</math> तब <math>X^{\prime} = \overline{X}^{\prime}</math> और यह विहित नक्शा <math>\operatorname{Cong} : X^{\prime} \to \overline{X}^{\prime}</math> पहचान मानचित्र तक कम हो जाता है।
यदि <math>\mathbb{F} = \R</math> तब <math>X^{\prime} = \overline{X}^{\prime}</math> और यह विहित मानचित्रण <math>\operatorname{Cong} : X^{\prime} \to \overline{X}^{\prime}</math>समरूपता मानचित्र तक कम हो जाता है।


आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान
'''आंतरिक गुणन स्थान'''


अगर <math>X</math> एक आंतरिक उत्पाद स्थान है तो दोनों विहित मानदंड <math>X^{\prime}</math> और पर <math>\overline{X}^{\prime}</math> समांतरोग्राम कानून को संतुष्ट करता है, जिसका अर्थ है कि [[ध्रुवीकरण पहचान]] का उपयोग परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है {{em|canonical inner product on <math>X^{\prime}</math>}} और आगे भी <math>\overline{X}^{\prime},</math> जिसे यह लेख अंकन द्वारा दर्शाएगा
यदि <math>X</math> आंतरिक गुणन स्पेस तो दोनों विहित मानदंड <math>X^{\prime}</math> और पर <math>\overline{X}^{\prime}</math>समांतर चतुर्भुज नियम को संतुष्ट करता है, जिसका अर्थ है कि [[ध्रुवीकरण पहचान|ध्रुवीकरण]] सर्वसमिका का उपयोग परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है विहित आतंरिक गुणन  और आगे भी <math>\overline{X}^{\prime},</math> जिसे यह लेख अंकन द्वारा दर्शाएगा
<math display=block>\langle f, g \rangle_{X^{\prime}} := \langle g \mid f \rangle_{X^{\prime}} \quad \text{ and } \quad \langle f, g \rangle_{\overline{X}^{\prime}} := \langle g \mid f \rangle_{\overline{X}^{\prime}}</math> जहां यह आंतरिक उत्पाद बनाता है <math>X^{\prime}</math> और <math>\overline{X}^{\prime}</math> हिल्बर्ट रिक्त स्थान में।
<math display=block>\langle f, g \rangle_{X^{\prime}} := \langle g \mid f \rangle_{X^{\prime}} \quad \text{ and } \quad \langle f, g \rangle_{\overline{X}^{\prime}} := \langle g \mid f \rangle_{\overline{X}^{\prime}}</math> जहां यह <math>X^{\prime}</math>आंतरिक गुणन बनाता है और <math>\overline{X}^{\prime}</math> हिल्बर्ट स्पेस में बनता है।
आंतरिक उत्पाद <math display="inline">\langle f, g \rangle_{X^{\prime}}</math> और <math display="inline">\langle f, g \rangle_{\overline{X}^{\prime}}</math> अपने दूसरे तर्कों में एंटीलीनियर हैं। इसके अलावा, इस आंतरिक उत्पाद द्वारा प्रेरित विहित मानदंड (अर्थात, द्वारा परिभाषित मानदंड <math display="inline">f \mapsto \sqrt{\left\langle f, f \right\rangle_{X^{\prime}}}</math>) दोहरे मानदंड के अनुरूप है (अर्थात, जैसा कि यूनिट बॉल पर सुप्रीमम द्वारा ऊपर परिभाषित किया गया है); स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ है कि निम्नलिखित प्रत्येक के लिए है <math>f \in X^{\prime}:</math>
आंतरिक गुणन <math display="inline">\langle f, g \rangle_{X^{\prime}}</math> और <math display="inline">\langle f, g \rangle_{\overline{X}^{\prime}}</math> अपने दूसरे तर्कों में प्रतिरैखिक हैं। इसके अतिरिक्त, इस आंतरिक गुणन द्वारा प्रेरित विहित मानदंड (अर्थात, <math display="inline">f \mapsto \sqrt{\left\langle f, f \right\rangle_{X^{\prime}}}</math> द्वारा परिभाषित मानदंड) दोहरे मानदंड के अनुरूप है (अर्थात, जैसा कि इकाई बॉल पर उच्चक द्वारा ऊपर परिभाषित किया गया है); स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ है कि निम्नलिखित प्रत्येक<math>f \in X^{\prime}</math>के लिए है:
<math display=block>\sup_{\|x\| \leq 1, x \in X} |f(x)| = \|f\|_{X^{\prime}} ~=~ \sqrt{\langle f, f \rangle_{X^{\prime}}} ~=~ \sqrt{\langle f \mid f \rangle_{X^{\prime}}}.</math> अगर <math>X</math> एक आंतरिक उत्पाद स्थान है तो दोहरी जगह पर आंतरिक उत्पाद <math>X^{\prime}</math> और विरोधी दोहरी जगह <math display="inline">\overline{X}^{\prime},</math> द्वारा क्रमशः निरूपित किया गया <math display="inline">\langle \,\cdot\,, \,\cdot\, \rangle_{X^{\prime}}</math> और <math display="inline">\langle \,\cdot\,, \,\cdot\, \rangle_{\overline{X}^{\prime}},</math> से संबंधित हैं
<math display=block>\sup_{\|x\| \leq 1, x \in X} |f(x)| = \|f\|_{X^{\prime}} ~=~ \sqrt{\langle f, f \rangle_{X^{\prime}}} ~=~ \sqrt{\langle f \mid f \rangle_{X^{\prime}}}.</math> यदि <math>X</math> आंतरिक गुणन स्थान है तो दोहरी जगह पर आंतरिक गुणन <math>X^{\prime}</math> और विरोधी दोहरी जगह <math display="inline">\overline{X}^{\prime},</math> द्वारा क्रमशः <math display="inline">\langle \,\cdot\,, \,\cdot\, \rangle_{X^{\prime}}</math>निरूपित किया गया और <math display="inline">\langle \,\cdot\,, \,\cdot\, \rangle_{\overline{X}^{\prime}}</math> से संबंधित हैं
<math display=block>\langle \,\overline{f}\, | \,\overline{g}\, \rangle_{\overline{X}^{\prime}}  
<math display=block>\langle \,\overline{f}\, | \,\overline{g}\, \rangle_{\overline{X}^{\prime}}  
= \overline{\langle \,f\, | \,g\, \rangle_{X^{\prime}}}  
= \overline{\langle \,f\, | \,g\, \rangle_{X^{\prime}}}  
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== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==


* {{annotated link|Cauchy's functional equation}}
* काउचिज कार्यात्मक समीकरण - कार्यात्मक समीकरण
* {{annotated link|Complex conjugate}}
* सम्मिश्र संयुग्मन - सम्मिश्र संख्या पर मूल संक्रिया
* {{annotated link|Complex conjugate vector space}}
* सम्मिश्र संयुग्मन वेक्टर स्थान - गणित की अवधारणा
* {{annotated link|Fundamental theorem of Hilbert spaces}}
* हिल्बर्ट स्पेस के मूल प्रमेय
* {{annotated link|Inner product space}}
* आतंरिक गुणन स्थान - डॉट गुणन का सामान्यीकरण; हिल्बर्ट स्पेस को परिभाषित करने के लिए उओयोग किया जाता है
* {{annotated link|Linear map}}
* रैखिक मानचित्रण - गणितीय फलन, रैखिक बीजगणित में
* {{annotated link|Matrix consimilarity}}
* मैट्रिक्स समानता
* {{annotated link|Riesz representation theorem}}
* रिज़्ज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय - हिल्बर्ट स्पेस के दोहरे के बारे में प्रमेय
* {{annotated link|Sesquilinear form}}
* सेस्क्विलिनियर रूप - द्विरेखीय प्रकार का सामान्यीकरण 
* {{annotated link|T-symmetry|Time reversal}}
* विपरीत समय - भौतिकी में विपरीत समय समरूपता


== उद्धरण ==
== उद्धरण ==
Line 91: Line 98:
* Horn and Johnson, ''Matrix Analysis,'' Cambridge University Press, 1985. {{isbn|0-521-38632-2}}. (antilinear maps are discussed in section 4.6).
* Horn and Johnson, ''Matrix Analysis,'' Cambridge University Press, 1985. {{isbn|0-521-38632-2}}. (antilinear maps are discussed in section 4.6).
* {{Trèves François Topological vector spaces, distributions and kernels}} <!-- {{sfn|Trèves|2006|p=}} -->
* {{Trèves François Topological vector spaces, distributions and kernels}} <!-- {{sfn|Trèves|2006|p=}} -->
[[Category: कार्य और मानचित्रण]] [[Category: लीनियर अलजेब्रा]] [[Category: कार्यों के प्रकार]]
 


{{linear-algebra-stub}}
{{linear-algebra-stub}}


 
[[Category:All stub articles]]
 
[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 17/03/2023]]
[[Category:Created On 17/03/2023]]
[[Category:Linear algebra stubs]]
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[[Category:Templates that generate short descriptions]]
[[Category:Templates using TemplateData]]
[[Category:कार्य और मानचित्रण]]
[[Category:कार्यों के प्रकार]]
[[Category:लीनियर अलजेब्रा]]

Latest revision as of 12:10, 22 August 2023

गणित में, फलन दो समिश्र सदिश स्पेस के बीच प्रतिरैखिक या संयुग्म-रैखिक कहा जाता है यदि

सभी सदिशों और प्रत्येक सम्मिश्र संख्या के लिए होता है जहाँ, के समिश्र संयुग्मन को दर्शाता है।

प्रतिरेखीय प्रतिचित्रण, रेखीय प्रतिचित्रण का विरोध करता है, जो योगात्मक प्रतिचित्र होते हैं जो संयुग्मी एकरूपता के बदले में सजातीय मानचित्र होते हैं। यदि सदिश समष्टि वास्तविक है तो प्रतिरैखिकता, रैखिकता के समान होता है।

काल-विपर्यय और स्पिनर अवकलन के अध्ययन में क्वांटम यांत्रिकी में प्रतिरेखीय प्रतिचित्रण का प्रयोग होता है, जहां सूचकांकों के ऊपर लगाए गए बिन्दुओ द्वारा आधारभूत सदिश और ज्यामितीय वस्तुओं के घटकों पर बार को बदला जाता हैं। समिश्र संख्या आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान और हिल्बर्ट रिक्त स्थान के साथ कार्य करते समय अदिश प्रतिरैखिक प्रतिचित्रण मान प्रायः उत्पन्न होते हैं।

परिभाषाएँ और विशेषताएँ

फलन रैखिक या संयुग्मी रैखिक तब कहा जाता है, यदि यह योगात्मक और सजातीय संयुग्मित होता है। एक प्रतिरैखिक फलनो में सदिश स्थान पर एक अदिश-मान प्रतिरेखीय मानचित्र है।

फलन योगात्मक होता है यदि

जबकि यह संयुग्मी सजातीय कहलाता है यदि

इसके विपरीत, एक रेखीय मानचित्र एक ऐसा कार्य है जो योगात्मक और सजातीय है, जहाँ सजातीय कहा जाता है यदि

प्रतिचित्रण माप रैखिक मानचित्र के संदर्भ में समान रूप से वर्णित किया जा सकता है से रिक्त समिश्र संयुग्म सदिश के लिए ।  


उदाहरण

दोहरा प्रतिचित्रण मानचित्र

समिश्र सदिश को प्रथम स्थान दिया गया है, जिससे हम एक दोहरा प्रतिचित्रण मानचित्र बना सकते हैं जो एक प्रतिचित्रण मानचित्र है

अवयव के लिए को
कुछ निश्चित वास्तविक संख्याओं के लिए प्रयुक्त होता है। हम इसे किसी भी परिमित आयामी समिश्र सदिश स्थान तक बढ़ा सकते हैं, जहाँ यदि हम मानक आधार लिखते हैं और प्रत्येक मानक आधार तत्व के रूप में होता है
फिर विरोधी रेखीय समिश्र मानचित्र स्वरूप का
के लिए होता हैं।  


दोहरे वास्तविक रैखिक के साथ दोहरे प्रतिरैखिक का समरूपता  

सम्मिश्र सदिश स्थान का दोहरा प्रतिरैखिक[1]पृष्ठ 36 Hom (V,C)

एक विशेष उदाहरण है क्योंकि यह अंतर्निहित वास्तविक सदिश स्थान के दोहरे वास्तविकता के लिए समरूप है यह अरैखिकता मानचित्रण भेजने वाले मानचित्र द्वारा दिया गया है

को
दूसरी दिशा में, विपरीत मानचित्र है जो एक वास्तविक दोहरे सदिश को भेजता है
को
वांछित मानचित्र देता हैं।

गुण

दो प्रतिरेखीय मानचित्रों के संबंधों की संरचना एक रेखीय मानचित्र है। अर्धरेखीय मानचित्रों का वर्ग प्रतिरेखीय मानचित्रों के वर्ग का सामान्यीकरण करता है।

विरूद्ध दोहरी स्पेस

सदिश समष्टि पर सभी प्रतिरेखीय रूपों का सदिश स्थान को बीजगणितीय दोहरा स्पेस कहा जाता है। यदि संस्थितिक वेक्टर स्पेस है, फिर सभी का वेक्टर स्पेस निरंतर प्रतिरैखिक फंक्शंस ऑन, द्वारा चिह्नित, को निरंतर दोहरा स्पेस या बस दोहरा स्पेस कहा जाता है।[2] यदि कोई विभ्रांति उत्पन्न नहीं हो सकता है।

आदर्श स्थान है तो दोहरे स्पेस पर विहित मानदंड है। द्वारा चिह्नित समीकरण का उपयोग करके परिभाषित किया गया है:[2]

यह सूत्र निरंतर प्रति दोहरे स्थान पर विहित मानदंड के सूत्र के समान है। जिसे परिभाषित किया गया है[2]
दोहरे और प्रति दोहरे के बीच विहित मानदंड

कार्यात्मक का सम्मिश्र संयुग्मन को x ᕮ अनुक्षेत्र को में भेजकर परिभाषित किया गया है। यह संतुष्ट करता है

सभी और सभी के लिए है। यह ठीक यही कहता है कि विहित प्रतिरेखीय द्विविभाजन द्वारा परिभाषित किया गया है

संयुग्मन X' → Х जहाँ संयुग्मन (f):= f

साथ ही इसका उलटा प्रतिरैखीय सममिति हैं और इसके परिणामस्वरूप समरूप हैं।

यदि तब और यह विहित मानचित्रण समरूपता मानचित्र तक कम हो जाता है।

आंतरिक गुणन स्थान

यदि आंतरिक गुणन स्पेस तो दोनों विहित मानदंड और पर समांतर चतुर्भुज नियम को संतुष्ट करता है, जिसका अर्थ है कि ध्रुवीकरण सर्वसमिका का उपयोग परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है विहित आतंरिक गुणन और आगे भी जिसे यह लेख अंकन द्वारा दर्शाएगा

जहां यह आंतरिक गुणन बनाता है और हिल्बर्ट स्पेस में बनता है। आंतरिक गुणन और अपने दूसरे तर्कों में प्रतिरैखिक हैं। इसके अतिरिक्त, इस आंतरिक गुणन द्वारा प्रेरित विहित मानदंड (अर्थात, द्वारा परिभाषित मानदंड) दोहरे मानदंड के अनुरूप है (अर्थात, जैसा कि इकाई बॉल पर उच्चक द्वारा ऊपर परिभाषित किया गया है); स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ है कि निम्नलिखित प्रत्येकके लिए है:
यदि आंतरिक गुणन स्थान है तो दोहरी जगह पर आंतरिक गुणन और विरोधी दोहरी जगह द्वारा क्रमशः निरूपित किया गया और से संबंधित हैं
और


यह भी देखें

  • काउचिज कार्यात्मक समीकरण - कार्यात्मक समीकरण
  • सम्मिश्र संयुग्मन - सम्मिश्र संख्या पर मूल संक्रिया
  • सम्मिश्र संयुग्मन वेक्टर स्थान - गणित की अवधारणा
  • हिल्बर्ट स्पेस के मूल प्रमेय
  • आतंरिक गुणन स्थान - डॉट गुणन का सामान्यीकरण; हिल्बर्ट स्पेस को परिभाषित करने के लिए उओयोग किया जाता है
  • रैखिक मानचित्रण - गणितीय फलन, रैखिक बीजगणित में
  • मैट्रिक्स समानता
  • रिज़्ज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय - हिल्बर्ट स्पेस के दोहरे के बारे में प्रमेय
  • सेस्क्विलिनियर रूप - द्विरेखीय प्रकार का सामान्यीकरण
  • विपरीत समय - भौतिकी में विपरीत समय समरूपता

उद्धरण

  1. Birkenhake, Christina (2004). जटिल एबेलियन किस्में. Herbert Lange (Second, augmented ed.). Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-06307-1. OCLC 851380558.
  2. 2.0 2.1 2.2 Trèves 2006, pp. 112–123.


संदर्भ

  • Budinich, P. and Trautman, A. The Spinorial Chessboard. Springer-Verlag, 1988. ISBN 0-387-19078-3. (antilinear maps are discussed in section 3.3).
  • Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2. (antilinear maps are discussed in section 4.6).
  • Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.