प्रांटल संख्या: Difference between revisions

Latest revision as of 11:13, 18 April 2023

प्रांड्टल संख्या (Pr) या प्रांड्टल समूह एक विमाहीन संख्या है, जिसका नाम जर्मन भौतिकविज्ञानी लुडविग प्रांटल के नाम पर रखा गया है, जिसे ऊष्मीय विसरणशीलता के लिए संवेग विसरणशीलता के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।^[1] प्रांटल संख्या इस प्रकार दी गई है:

\mathrm {Pr} ={\frac {\nu }{\alpha }}={\frac {\mbox{momentum diffusivity}}{\mbox{thermal diffusivity}}}={\frac {\mu /\rho }{k/(c_{p}\rho )}}={\frac {c_{p}\mu }{k}}

कहाँ:

$\nu$ : संवेग विसरणशीलता (शुद्धगतिक श्यानता), $\nu =\mu /\rho$ , (SI मात्रक: m2/s)
$\alpha$ : ऊष्मीय विसरणशीलता, $\alpha =k/(\rho c_{p})$ , (SI मात्रक: m2/s)
$\mu$ : गतिज श्यानता, (SI मात्रक: Pa s = N s/m2)
$k$ : तापीय चालकता, (SI इकाई: W/(m·K))
$c_{p}$ : विशिष्ट ऊष्मा, (SI मात्रक: J/(kg·K))
$\rho$ : घनत्व, (SI मात्रक: kg/m3).

ध्यान दें कि जबकि रेनॉल्ड्स संख्या और ग्राशोफ़ संख्या एक मापनी चर के साथ पादांकित हैं, प्रांटल संख्या में ऐसा कोई लंबाई पैमाना नहीं है और यह केवल द्रव और द्रव अवस्था पर निर्भर है। प्रांटल संख्या अक्सर गुण तालिकाओं में अन्य गुणों जैसे कि श्यानता और तापीय चालकता के साथ पाई जाती है।

प्रांटल संख्या के द्रव्यमान अंतरण के अनुरूप श्मिट संख्या है, प्रांटल संख्या और श्मिट संख्या का अनुपात लूइस संख्या है।

प्रायोगिक मान

विशिष्ट मान

तापमान और दबाव की एक विस्तृत श्रृंखला में अधिकांश गैसों के लिए, $Pr$ लगभग स्थिर है। इसलिए, इसका उपयोग उच्च तापमान पर गैसों की तापीय चालकता निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, जहां संवहन धाराओं के गठन के कारण प्रयोगात्मक रूप से मापना कठिन होता है।^[1]

$Pr$ के लिए विशिष्ट मान हैं:

975 K पर पिघले हुए पोटेशियम के लिए 0.003^[1]* पारा के लिए लगभग 0.015
975 K पर पिघले हुए लिथियम के लिए 0.065^[1]* उत्कृष्ट गैसों या हाइड्रोजन के साथ उत्कृष्ट गैसों के मिश्रण के लिए लगभग 0.16–0.7
ऑक्सीजन के लिए 0.63 ^[1]* हवा और कई अन्य गैसों के लिए लगभग 0.71
1.38 गैसीय अमोनिया के लिए^[1]*R-12 प्रशीतक के लिए 4 से 5 के बीच
जल के लिए लगभग 7.56 (18 °C पर)
समुद्री जल के लिए 13.4 और 7.2 (क्रमशः 0 °C और 20 °C पर)
एन-ब्यूटेनॉल के लिए 50^[1]* इंजन तेल के लिए 100 से 40,000 के बीच
ग्लिसरॉल के लिए 1000^[1]* बहुलक पिघलने के लिए 10,000^[1]* पृथ्वी के आवरण के लिए लगभग 1×1025।

वायु और जल की प्रांड्टल संख्या की गणना का सूत्र

1 बार के दबाव वाली वायु के लिए, −100°C और +500°C के बीच तापमान परास में प्रांड्टल संख्या की गणना नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है।^[2] तापमान का उपयोग इकाई डिग्री सेल्सियस में किया जाना है। विचलन रचना मानो से अधिकतम 0.1% हैं।

 $\mathrm {Pr} _{\text{air}}={\frac {10^{9}}{1.1\cdot \vartheta ^{3}-1200\cdot \vartheta ^{2}+322000\cdot \vartheta +1.393\cdot 10^{9}}}$

नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग करके 0 डिग्री सेल्सियस और 90 डिग्री सेल्सियस के बीच तापमान परास में जल (1 बार) के लिए प्रांड्टल संख्या निर्धारित की जा सकती है।^[3] तापमान का उपयोग इकाई डिग्री सेल्सियस में किया जाना है। विचलन रचना मानो से अधिकतम 1% हैं।

$\mathrm {Pr} _{\text{water}}={\frac {50000}{\vartheta ^{2}+155\cdot \vartheta +3700}}$

भौतिक व्याख्या

प्रांड्टल संख्या के छोटे मान, $Pr ≪ 1$ , का अर्थ है कि तापीय विसरणशीलता प्रमुख है। जबकि बड़े मानो के साथ, $Pr ≫ 1$ , संवेग विसरणशीलता व्यवहार पर प्रमुख है। उदाहरण के लिए, तरल पारा के लिए सूचीबद्ध मान संकेत करता है कि संवहन की तुलना में ऊष्मा चालन अधिक महत्वपूर्ण है, इसलिए ऊष्मीय विसरणशीलता प्रमुख है। हालांकि, इंजन तेल के लिए, शुद्ध चालन की तुलना में एक क्षेत्र से ऊर्जा स्थानांतरित करने में संवहन बहुत प्रभावी होता है, इसलिए संवेग विसरणशीलता प्रबल होती है।^[4] गैसों की प्रांड्टल संख्या लगभग 1 है, जो संकेत करता है कि संवेग और ऊष्मा दोनों द्रव के माध्यम से लगभग समान दर से विलुप्त होते हैं। संवेग के सापेक्ष तरल धातुओं (Pr ≪ 1) में ऊष्मा बहुत तीव्र और तेलों में (Pr ≫ 1) बहुत धीमी गति से विसरित होती है। इसलिये तापीय सीमा परत तरल धातुओं के लिए बहुत मोटी होती है और वेग सीमा परत के सापेक्ष तेलों के लिए बहुत पतली होती है।

ऊष्मांतरण की समस्याओं में, प्रांड्टल संख्या गति और तापीय सीमा परतों की सापेक्ष मोटाई को नियंत्रित करती है। जब $Pr$ छोटा होता है, इसका मतलब है कि वेग (गति) की तुलना में ऊष्मा तीव्र फैलती है। इसका अर्थ है कि तरल धातुओं के लिए तापीय सीमा परत वेग सीमा परत की तुलना में बहुत अधिक मोटी होती है।

पटलीय सीमा परत में, एक सपाट प्लेट पर ऊष्मा से संवेग सीमा परत मोटाई का अनुपात किसके द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित है^[5]

{\frac {\delta _{t}}{\delta }}=\mathrm {Pr} ^{-{\frac {1}{3}}},\quad 0.6\leq \mathrm {Pr} \leq 50,

जहाँ $\delta _{t}$ तापीय सीमा परत मोटाई है और $\delta$ संवेग सीमा परत मोटाई है।

एक सपाट प्लेट पर असंपीड्य प्रवाह के लिए, दो न्यूसेल्ट संख्या सहसंबंध असम्बद्ध रूप से सही हैं:^[6]

\mathrm {Nu} _{x}=0.339\mathrm {Re} _{x}^{\frac {1}{2}}\mathrm {Pr} ^{\frac {1}{3}},\quad \mathrm {Pr} \to \infty ,

\mathrm {Nu} _{x}=0.565\mathrm {Re} _{x}^{\frac {1}{2}}\mathrm {Pr} ^{\frac {1}{2}},\quad \mathrm {Pr} \to 0,

जहाँ $\mathrm {Re}$ रेनॉल्ड्स संख्या है। मानक (गणित) की अवधारणा का उपयोग करके इन दो उपगामी विलयन को एक साथ मिश्रित किया जा सकता है:^[7]

\mathrm {Nu} _{x}={\frac {0.3387\mathrm {Re} _{x}^{\frac {1}{2}}\mathrm {Pr} ^{\frac {1}{3}}}{\left(1+\left({\frac {0.0468}{\mathrm {Pr} }}\right)^{\frac {2}{3}}\right)^{\frac {1}{4}}}},\quad \mathrm {Re} \mathrm {Pr} >100.

यह भी देखें

संदर्भ

↑ ^1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 ^1.5 ^1.6 ^1.7 ^1.8 Coulson, J. M.; Richardson, J. F. (1999). केमिकल इंजीनियरिंग वॉल्यूम 1 (6th ed.). Elsevier. ISBN 978-0-7506-4444-0.
↑ tec-science (2020-05-10). "प्रान्तल संख्या". tec-science (in English). Retrieved 2020-06-25.
↑ tec-science (2020-05-10). "प्रान्तल संख्या". tec-science (in English). Retrieved 2020-06-25.
↑ Çengel, Yunus A. (2003). Heat transfer : a practical approach (2nd ed.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 0072458933. OCLC 50192222.
↑ Lienhard IV, John Henry; Lienhard V, John Henry (2017). एक हीट ट्रांसफर टेक्स्टबुक (4th ed.). Cambridge, MA: Phlogiston Press.
↑ Lienhard IV, John Henry; Lienhard V, John Henry (2017). एक हीट ट्रांसफर टेक्स्टबुक (4th ed.). Cambridge, MA: Phlogiston Press.
↑ Lienhard IV, John Henry; Lienhard V, John Henry (2017). एक हीट ट्रांसफर टेक्स्टबुक (4th ed.). Cambridge, MA: Phlogiston Press.

सामान्य संदर्भ

White, F. M. (2006). चिपचिपा द्रव प्रवाह (3rd. ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-240231-8.

[C&R-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 ^1.5 ^1.6 ^1.7 ^1.8 Coulson, J. M.; Richardson, J. F. (1999). केमिकल इंजीनियरिंग वॉल्यूम 1 (6th ed.). Elsevier. ISBN 978-0-7506-4444-0.

[2] tec-science (2020-05-10). "प्रान्तल संख्या". tec-science (in English). Retrieved 2020-06-25.

[3] tec-science (2020-05-10). "प्रान्तल संख्या". tec-science (in English). Retrieved 2020-06-25.

[4] Çengel, Yunus A. (2003). Heat transfer : a practical approach (2nd ed.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 0072458933. OCLC 50192222.

[5] Lienhard IV, John Henry; Lienhard V, John Henry (2017). एक हीट ट्रांसफर टेक्स्टबुक (4th ed.). Cambridge, MA: Phlogiston Press.

[6] Lienhard IV, John Henry; Lienhard V, John Henry (2017). एक हीट ट्रांसफर टेक्स्टबुक (4th ed.). Cambridge, MA: Phlogiston Press.

[7] Lienhard IV, John Henry; Lienhard V, John Henry (2017). एक हीट ट्रांसफर टेक्स्टबुक (4th ed.). Cambridge, MA: Phlogiston Press.

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@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{Short description|Ratio of kinematic to thermal diffusivity}}
+{{Short description|Ratio of kinematic to thermal diffusivity}}'''प्रांड्टल संख्या (Pr)''' या '''प्रांड्टल समूह''' एक [[आयाम रहित संख्या|विमाहीन संख्या]] है, जिसका नाम जर्मन भौतिकविज्ञानी [[लुडविग प्रांटल]] के नाम पर रखा गया है, जिसे [[ऊष्मीय विसरणशीलता]] के लिए '''<small>[[संवेग विसरणशीलता]]</small>''' के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।<ref name=C&R>{{cite book |last1=Coulson |first1=J. M. |last2=Richardson |first2=J. F. |title=केमिकल इंजीनियरिंग वॉल्यूम 1|date=1999 |publisher=Elsevier |isbn=978-0-7506-4444-0 |edition=6th }}</ref> प्रांटल संख्या इस प्रकार दी गई है:
-{{refimprove|date=August 2014}}
-'''प्रांटल संख्या (Pr)''' या '''प्रांटल समूह''' एक [[आयाम रहित संख्या|विमाहीन संख्या]] है, जिसका नाम जर्मन भौतिकविज्ञानी [[लुडविग प्रांटल]] के नाम पर रखा गया है, जिसे [[ऊष्मीय विसरणशीलता]] के लिए '''<small>[[संवेग विसरणशीलता]]</small>''' के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।<ref name=C&R>{{cite book |last1=Coulson |first1=J. M. |last2=Richardson |first2=J. F. |title=केमिकल इंजीनियरिंग वॉल्यूम 1|date=1999 |publisher=Elsevier |isbn=978-0-7506-4444-0 |edition=6th }}</ref> प्रांटल संख्या इस प्रकार दी गई है:
 : <math>\mathrm{Pr} = \frac{\nu}{\alpha} = \frac{\mbox{momentum diffusivity}}{\mbox{thermal diffusivity}} = \frac{\mu / \rho}{k / (c_p \rho)} = \frac{c_p \mu}{k}</math>
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 * <math>\rho</math> : [[घनत्व]], (SI मात्रक: kg/m3).
-ध्यान दें कि जबकि [[रेनॉल्ड्स संख्या]] और [[ग्राशोफ़ संख्या]] एक मापनी चर के साथ पादांकित हैं, प्रांटल संख्या में ऐसा कोई लंबाई पैमाना नहीं है और यह केवल द्रव और द्रव अवस्था पर निर्भर है। प्रांटल संख्या अक्सर संपत्ति तालिकाओं में अन्य गुणों जैसे कि [[श्यानता]] और [[तापीय चालकता]] के साथ पाई जाती है।
+ध्यान दें कि जबकि [[रेनॉल्ड्स संख्या]] और [[ग्राशोफ़ संख्या]] एक मापनी चर के साथ पादांकित हैं, प्रांटल संख्या में ऐसा कोई लंबाई पैमाना नहीं है और यह केवल द्रव और द्रव अवस्था पर निर्भर है। प्रांटल संख्या अक्सर गुण तालिकाओं में अन्य गुणों जैसे कि [[श्यानता]] और [[तापीय चालकता]] के साथ पाई जाती है।
 प्रांटल संख्या के द्रव्यमान अंतरण के अनुरूप [[श्मिट संख्या]] है, प्रांटल संख्या और [[श्मिट संख्या]] का अनुपात [[लूइस संख्या]] है।
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 * ग्लिसरॉल के लिए 1000<ref name="C&R" />* बहुलक पिघलने के लिए 10,000<ref name="C&R" />* [[पृथ्वी]] के [[आवरण]] के लिए लगभग 1×1025।
-=== वायु और जल की प्रांटल संख्या की गणना का सूत्र ===
+=== वायु और जल की प्रांड्टल संख्या की गणना का सूत्र ===
-छड़ के दबाव वाली वायु के लिए, −100°C और +500°C के बीच तापमान परास में प्रांटल संख्या की गणना नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है।<ref>{{Cite web|last=tec-science|date=2020-05-10|title=प्रान्तल संख्या|url=https://www.tec-science.com/mechanics/gases-and-liquids/prandtl-number/|access-date=2020-06-25|website=tec-science|language=en-US}}</ref> तापमान का उपयोग इकाई डिग्री सेल्सियस में किया जाना है। विचलन रचना मानो से अधिकतम 0.1% हैं।
+बार के दबाव वाली वायु के लिए, −100°C और +500°C के बीच तापमान परास में प्रांड्टल संख्या की गणना नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग करके की जा सकती है।<ref>{{Cite web|last=tec-science|date=2020-05-10|title=प्रान्तल संख्या|url=https://www.tec-science.com/mechanics/gases-and-liquids/prandtl-number/|access-date=2020-06-25|website=tec-science|language=en-US}}</ref> तापमान का उपयोग इकाई डिग्री सेल्सियस में किया जाना है। विचलन रचना मानो से अधिकतम 0.1% हैं।
   <math>\mathrm{Pr}_\text{air} = \frac{10^9}{1.1 \cdot \vartheta^3-1200 \cdot \vartheta^2 + 322000 \cdot \vartheta + 1.393 \cdot 10^9}</math>
-नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग करके 0 डिग्री सेल्सियस और 90 डिग्री सेल्सियस के बीच तापमान सीमा में पानी (1 बार) के लिए प्रांड्टल संख्या निर्धारित की जा सकती है।<ref>{{Cite web|last=tec-science|date=2020-05-10|title=प्रान्तल संख्या|url=https://www.tec-science.com/mechanics/gases-and-liquids/prandtl-number/|access-date=2020-06-25|website=tec-science|language=en-US}}</ref> तापमान का उपयोग इकाई डिग्री सेल्सियस में किया जाना है। विचलन साहित्य मूल्यों से अधिकतम 1% हैं।
+नीचे दिए गए सूत्र का उपयोग करके 0 डिग्री सेल्सियस और 90 डिग्री सेल्सियस के बीच तापमान परास में जल (1 बार) के लिए प्रांड्टल संख्या निर्धारित की जा सकती है।<ref>{{Cite web|last=tec-science|date=2020-05-10|title=प्रान्तल संख्या|url=https://www.tec-science.com/mechanics/gases-and-liquids/prandtl-number/|access-date=2020-06-25|website=tec-science|language=en-US}}</ref> तापमान का उपयोग इकाई डिग्री सेल्सियस में किया जाना है। विचलन रचना मानो से अधिकतम 1% हैं।
 <math>\mathrm{Pr}_\text{water} = \frac{50000}{\vartheta^2+155\cdot \vartheta + 3700}</math>
-== शारीरिक व्याख्या ==
+== भौतिक व्याख्या ==
-प्रान्तल संख्या के छोटे मान, {{math|Pr ≪ 1}}, इसका मतलब है कि थर्मल डिफ्यूसिविटी हावी है। जबकि बड़े मूल्यों के साथ, {{math|Pr ≫ 1}}, संवेग विसारकता व्यवहार पर हावी है।
+प्रांड्टल संख्या के छोटे मान, {{math|Pr ≪ 1}}, का अर्थ है कि तापीय विसरणशीलता प्रमुख है। जबकि बड़े मानो के साथ, {{math|Pr ≫ 1}}, संवेग विसरणशीलता व्यवहार पर प्रमुख है।
-उदाहरण के लिए, तरल पारा के लिए सूचीबद्ध मूल्य इंगित करता है कि संवहन की तुलना में ऊष्मा चालन अधिक महत्वपूर्ण है, इसलिए तापीय विसारकता प्रमुख है।
+उदाहरण के लिए, तरल पारा के लिए सूचीबद्ध मान संकेत करता है कि [[संवहन]] की तुलना में [[ऊष्मा चालन]] अधिक महत्वपूर्ण है, इसलिए ऊष्मीय विसरणशीलता प्रमुख है।
-हालांकि, इंजन तेल के लिए, शुद्ध चालन की तुलना में एक क्षेत्र से [[ऊर्जा]] स्थानांतरित करने में संवहन बहुत प्रभावी होता है, इसलिए संवेग प्रसार प्रबल होता है।<ref>{{Cite book|last=Çengel|first=Yunus A.|title=Heat transfer : a practical approach|date=2003|publisher=McGraw-Hill|isbn=0072458933|edition=2nd|location=Boston|oclc=50192222}}</ref>
+हालांकि, इंजन तेल के लिए, शुद्ध चालन की तुलना में एक क्षेत्र से [[ऊर्जा]] स्थानांतरित करने में संवहन बहुत प्रभावी होता है, इसलिए संवेग विसरणशीलता प्रबल होती है।<ref>{{Cite book|last=Çengel|first=Yunus A.|title=Heat transfer : a practical approach|date=2003|publisher=McGraw-Hill|isbn=0072458933|edition=2nd|location=Boston|oclc=50192222}}</ref>
-गैसों की प्रान्त संख्या लगभग 1 है, जो इंगित करता है कि संवेग और ऊष्मा दोनों द्रव के माध्यम से लगभग समान दर से विलुप्त होते हैं। तरल धातुओं में ऊष्मा बहुत जल्दी फैलती है ({{math|Pr ≪ 1}}) और बहुत धीरे-धीरे तेलों में ({{math|Pr ≫ 1}}) संवेग के सापेक्ष। नतीजतन थर्मल [[सीमा परत की मोटाई]] और आकार तरल धातुओं के लिए बहुत मोटा होता है और सीमा परत की मोटाई के सापेक्ष तेलों के लिए बहुत पतला होता है।
+गैसों की प्रांड्टल संख्या लगभग 1 है, जो संकेत करता है कि [[संवेग]] और [[ऊष्मा]] दोनों द्रव के माध्यम से लगभग समान दर से विलुप्त होते हैं। संवेग के सापेक्ष तरल धातुओं (Pr ≪ 1) में ऊष्मा बहुत तीव्र और तेलों में (Pr ≫ 1) बहुत धीमी गति से विसरित होती है। इसलिये [[तापीय]] [[सीमा परत की मोटाई|सीमा परत]] तरल धातुओं के लिए बहुत मोटी होती है और [[वेग सीमा परत]] के सापेक्ष तेलों के लिए बहुत पतली होती है।
-गर्मी हस्तांतरण की समस्याओं में, प्रांटल संख्या गति और थर्मल सीमा परतों की सापेक्ष मोटाई को नियंत्रित करती है। कब {{math|Pr}} छोटा है, इसका मतलब है कि वेग (गति) की तुलना में गर्मी जल्दी फैलती है। इसका अर्थ है कि तरल धातुओं के लिए तापीय सीमा परत वेग सीमा परत की तुलना में बहुत अधिक मोटी होती है।
+ऊष्मांतरण की समस्याओं में, प्रांड्टल संख्या गति और तापीय [[सीमा परतों]] की सापेक्ष मोटाई को नियंत्रित करती है। जब {{math|Pr}} छोटा होता है, इसका मतलब है कि वेग (गति) की तुलना में ऊष्मा तीव्र फैलती है। इसका अर्थ है कि तरल धातुओं के लिए तापीय सीमा परत वेग सीमा परत की तुलना में बहुत अधिक मोटी होती है।
-लैमिनार बाउंड्री लेयर्स में, एक फ्लैट प्लेट पर थर्मल से मोमेंटम बाउंड्री लेयर मोटाई का अनुपात किसके द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित है<ref>{{Cite book|last1=Lienhard IV|first1=John Henry|last2=Lienhard V|first2=John Henry|title=एक हीट ट्रांसफर टेक्स्टबुक|date=2017|publisher=Phlogiston Press|edition=4th|location=Cambridge, MA}}</ref>
+पटलीय सीमा परत में, एक सपाट प्लेट पर ऊष्मा से संवेग सीमा परत मोटाई का अनुपात किसके द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित है<ref>{{Cite book|last1=Lienhard IV|first1=John Henry|last2=Lienhard V|first2=John Henry|title=एक हीट ट्रांसफर टेक्स्टबुक|date=2017|publisher=Phlogiston Press|edition=4th|location=Cambridge, MA}}</ref>
 : <math>\frac{\delta_t}{\delta} = \mathrm{Pr}^{-\frac13}, \quad 0.6 \leq \mathrm{Pr} \leq 50,</math>
-कहाँ <math>\delta_t</math> थर्मल सीमा परत मोटाई है और <math>\delta</math> संवेग सीमा परत मोटाई है।
+जहाँ <math>\delta_t</math> तापीय सीमा परत मोटाई है और <math>\delta</math> संवेग सीमा परत मोटाई है।
-एक फ्लैट प्लेट पर असंपीड्य प्रवाह के लिए, दो न्यूसेल्ट संख्या सहसंबंध असम्बद्ध रूप से सही हैं:<ref>{{Cite book|last1=Lienhard IV|first1=John Henry|last2=Lienhard V|first2=John Henry|title=एक हीट ट्रांसफर टेक्स्टबुक|date=2017|publisher=Phlogiston Press|edition=4th|location=Cambridge, MA}}</ref>
+एक सपाट प्लेट पर असंपीड्य प्रवाह के लिए, दो [[न्यूसेल्ट संख्या]] सहसंबंध असम्बद्ध रूप से सही हैं:<ref>{{Cite book|last1=Lienhard IV|first1=John Henry|last2=Lienhard V|first2=John Henry|title=एक हीट ट्रांसफर टेक्स्टबुक|date=2017|publisher=Phlogiston Press|edition=4th|location=Cambridge, MA}}</ref>
 : <math>\mathrm{Nu}_x = 0.339 \mathrm{Re}_x^{\frac12} \mathrm{Pr}^{\frac13}, \quad \mathrm{Pr} \to \infty,</math>
 : <math>\mathrm{Nu}_x = 0.565 \mathrm{Re}_x^{\frac12} \mathrm{Pr}^{\frac12}, \quad \mathrm{Pr} \to 0,</math>
-कहाँ <math>\mathrm{Re}</math> रेनॉल्ड्स संख्या है। नॉर्म (गणित) की अवधारणा का उपयोग करके इन दो स्पर्शोन्मुख समाधानों को एक साथ मिश्रित किया जा सकता है:<ref>{{Cite book|last1=Lienhard IV|first1=John Henry|last2=Lienhard V|first2=John Henry|title=एक हीट ट्रांसफर टेक्स्टबुक|date=2017|publisher=Phlogiston Press|edition=4th|location=Cambridge, MA}}</ref>
+जहाँ <math>\mathrm{Re}</math> [[रेनॉल्ड्स संख्या]] है। [[मानक (गणित)]] की अवधारणा का उपयोग करके इन दो उपगामी विलयन को एक साथ मिश्रित किया जा सकता है:<ref>{{Cite book|last1=Lienhard IV|first1=John Henry|last2=Lienhard V|first2=John Henry|title=एक हीट ट्रांसफर टेक्स्टबुक|date=2017|publisher=Phlogiston Press|edition=4th|location=Cambridge, MA}}</ref>
 : <math>\mathrm{Nu}_x = \frac{0.3387 \mathrm{Re}_x^{\frac12} \mathrm{Pr}^{\frac13}}{\left( 1 + \left( \frac{0.0468}\mathrm{Pr} \right)^{\frac23} \right)^{\frac14}}, \quad \mathrm{Re} \mathrm{Pr} > 100.</math>
@@ Line 73: / Line 70: @@
 * {{cite book |title=चिपचिपा द्रव प्रवाह|first=F. M. |last=White |location=New York |publisher=McGraw-Hill |edition=3rd. |year=2006 |isbn=0-07-240231-8 }}
-{{NonDimFluMech}}
+[[Category:CS1 English-language sources (en)]]
-श्रेणी: संवहन
-श्रेणी:द्रव यांत्रिकी की आयाम रहित संख्या
-श्रेणी:ऊष्मागतिकी की आयाम रहित संख्या
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