मैट्रिक्स डिटर्मिनेंट लेम्मा: Difference between revisions

Latest revision as of 16:15, 6 November 2023

गणित में, विशेष रूप से रेखीय बीजगणित में, मैट्रिक्स डिटर्मिनेंट लेम्मा एक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स A के योग के डिटर्मिनेंट की गणना करता है और स्तंभ सदिश u और एक पंक्ति सदिश v^T के युग्मकीय गुणनफल, u-v^T की गणना करता है।^{.^[1]^[2]}

कथन

मान लीजिए A एक व्युत्क्रमणीय वर्ग मैट्रिक्स है और u, v स्तंभ सदिश (ज्यामितीय) हैं। तब मैट्रिक्स डिटर्मिनेंट लेम्मा बताता है कि

\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)=\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} \right)\,\det \left(\mathbf {A} \right)\,.

यहाँ, uv^T दो सदिश u और v का बाह्य गुणनफल है।

प्रमेय को A के सहायक मैट्रिक्स के संदर्भ में भी कहा जा सकता है:

\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)=\det \left(\mathbf {A} \right)+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathrm {adj} \left(\mathbf {A} \right)\mathbf {u} \,,

किस स्तिथि में यह लागू होता है कि वर्ग मैट्रिक्स A विपरीत है या नहीं।

प्रमाण

पहले विशेष स्तिथि का प्रमाण A = I समानता से आता है:^[3]

{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0\\\mathbf {v} ^{\textsf {T}}&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}&\mathbf {u} \\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\mathbf {I} &0\\-\mathbf {v} ^{\textsf {T}}&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\mathbf {I} &\mathbf {u} \\0&1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {u} \end{pmatrix}}.

बाईं ओर का डिटर्मिनेंट तीन आव्यूहों के निर्धारकों का गुणनफल होता है। चूँकि पहला और तीसरा मैट्रिक्स इकाई विकर्ण के साथ त्रिकोणीय मैट्रिक्स हैं, उनके डिटर्मिनेंट केवल 1 है। मध्य मैट्रिक्स का डिटर्मिनेंट हमारा वांछित मूल्य है। दाहिने हाथ की ओर का डिटर्मिनेंट केवल (1 + v^Tu) है। तो हमारे पास निम्न परिणाम है^:

\det \left(\mathbf {I} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)=\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\mathbf {u} \right).

तब सामान्य स्थिति को इस प्रकार पाया जा सकता हैː

{\begin{aligned}\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {uv} ^{\textsf {T}}\right)&=\det \left(\mathbf {A} \right)\det \left(\mathbf {I} +\left(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} \right)\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\right)\\&=\det \left(\mathbf {A} \right)\left(1+\mathbf {v} ^{\textsf {T}}\left(\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {u} \right)\right).\end{aligned}}

आवेदन

यदि A का डिटर्मिनेंट और व्युत्क्रम पहले से ही ज्ञात हैं, तो सूत्र मैट्रिक्स uvT द्वारा संशोधित A के डिटर्मिनेंट की गणना करने के लिए एक संख्यात्मक रूप से सस्ता तरीका प्रदान करता है। गणना अपेक्षाकृत अल्पमूल्य है क्योंकि A + uvT के डिटर्मिनेंट को खरोंच से गणना करने की आवश्यकता नहीं है (जो सामान्य रूप से महंगा है)। u और/या v के लिए ईकाई सदिश का उपयोग करके, A के अलग-अलग क्रम, पंक्तियों या तत्वों [4] में छलयोजना किया जा सकता है और इस तरह से अपेक्षाकृत अल्पमूल्य में एक संबंधित अद्यतन डिटर्मिनेंट की गणना की जा सकती है।

जब मैट्रिक्स डिटर्मिनेंट लेम्मा का उपयोग शर्मन-मॉरिसन सूत्र के संयोजन में किया जाता है, तो व्युत्क्रम और डिटर्मिनेंट दोनों को आसानी से एक साथ अद्यतन किया जा सकता है।

सामान्यीकरण

मान लीजिए A एक उलटा n-दर-n मैट्रिक्स है और U, V n-दर-m मैट्रिक्स हैं। तब

\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {UV} ^{\textsf {T}}\right)=\det \left(\mathbf {I_{m}} +\mathbf {V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} \right)\det(\mathbf {A} ).

विशेष स्तिथि में

\mathbf {A} =\mathbf {I_{n}}

यह वेनस्टाइन-एरोन्सजन अस्मिता है।

अतिरिक्त रूप से एक व्युत्क्रमणीय m-दर-m मैट्रिक्स 'W' दिए जाने पर, संबंध को इस रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है

\det \left(\mathbf {A} +\mathbf {UWV} ^{\textsf {T}}\right)=\det \left(\mathbf {W} ^{-1}+\mathbf {V} ^{\textsf {T}}\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {U} \right)\det \left(\mathbf {W} \right)\det \left(\mathbf {A} \right).

यह भी देखें

शर्मन-मॉरिसन सूत्र, जो दिखाता है कि (A + uvT)-1 प्राप्त करने के लिए व्युत्क्रम A−1 का कैसे नवीनीकरण किया जाए।
वुडबरी सूत्र, जो दर्शाता है कि (A + UCVT)-1 प्राप्त करने के लिए व्युत्क्रम A−1 का कैसे नवीनीकरण किया जाए।
(A + UCV^T)⁻¹ के लिए द्विपद व्युत्क्रम प्रमेय।

संदर्भ

↑ Harville, D. A. (1997). एक सांख्यिकीविद् के दृष्टिकोण से मैट्रिक्स बीजगणित. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94978-X.
↑ Brookes, M. (2005). "मैट्रिक्स संदर्भ मैनुअल (ऑनलाइन)".
↑ Ding, J., Zhou, A. (2007). "Eigenvalues of rank-one updated matrices with some applications". Applied Mathematics Letters. 20 (12): 1223–1226. doi:10.1016/j.aml.2006.11.016. ISSN 0893-9659.{{cite journal}}: CS1 maint: uses authors parameter (link)

[harville-1] Harville, D. A. (1997). एक सांख्यिकीविद् के दृष्टिकोण से मैट्रिक्स बीजगणित. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94978-X.

[brookes-2] Brookes, M. (2005). "मैट्रिक्स संदर्भ मैनुअल (ऑनलाइन)".

[ding-3] Ding, J., Zhou, A. (2007). "Eigenvalues of rank-one updated matrices with some applications". Applied Mathematics Letters. 20 (12): 1223–1226. doi:10.1016/j.aml.2006.11.016. ISSN 0893-9659.{{cite journal}}: CS1 maint: uses authors parameter (link)

[1]

[2]

[3]

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-गणित में, विशेष रूप से रेखीय बीजगणित में, आव्यूह निर्धारक स्वीकृत सिद्धांत एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह A के योग के निर्धारक की गणना करता है और स्तंभ सदिश u और एक पंक्ति सदिश v<sup>T</sup> के युग्मकीय गुणनफल, u-v<sup>T</sup> की गणना करता है।<sup>.<ref name="harville">{{cite book | last=Harville |first=D. A. | year = 1997 | title = एक सांख्यिकीविद् के दृष्टिकोण से मैट्रिक्स बीजगणित|location=New York | publisher = Springer-Verlag | isbn=0-387-94978-X }}</ref><ref name="brookes">{{cite web | author = Brookes, M. | title = मैट्रिक्स संदर्भ मैनुअल (ऑनलाइन)| url = http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/intro.html | year = 2005}}</ref>
+गणित में, विशेष रूप से रेखीय बीजगणित में, मैट्रिक्स डिटर्मिनेंट लेम्मा एक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स A के योग के डिटर्मिनेंट की गणना करता है और स्तंभ सदिश u और एक पंक्ति सदिश v<sup>T</sup> के युग्मकीय गुणनफल, u-v<sup>T</sup> की गणना करता है।<sup>.<ref name="harville">{{cite book | last=Harville |first=D. A. | year = 1997 | title = एक सांख्यिकीविद् के दृष्टिकोण से मैट्रिक्स बीजगणित|location=New York | publisher = Springer-Verlag | isbn=0-387-94978-X }}</ref><ref name="brookes">{{cite web | author = Brookes, M. | title = मैट्रिक्स संदर्भ मैनुअल (ऑनलाइन)| url = http://www.ee.ic.ac.uk/hp/staff/dmb/matrix/intro.html | year = 2005}}</ref>
 == कथन ==
-मान लीजिए A एक व्युत्क्रमणीय वर्ग आव्यूह है और u, v स्तंभ सदिश (ज्यामितीय) हैं। तब आव्यूह निर्धारक स्वीकृत सिद्धांत बताता है कि
+मान लीजिए A एक व्युत्क्रमणीय वर्ग मैट्रिक्स है और u, v स्तंभ सदिश (ज्यामितीय) हैं। तब मैट्रिक्स डिटर्मिनेंट लेम्मा बताता है कि
 :<math>\det\left(\mathbf{A} + \mathbf{uv}^\textsf{T}\right) = \left(1 + \mathbf{v}^\textsf{T}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{u}\right)\,\det\left(\mathbf{A}\right)\,.</math>
 यहाँ, uv<sup>T</sup> दो सदिश u और v का बाह्य गुणनफल है।
-प्रमेय को '''A''' के [[सहायक मैट्रिक्स|सहायक आव्यूह]] के संदर्भ में भी कहा जा सकता है:
+प्रमेय को '''A''' के [[सहायक मैट्रिक्स]] के संदर्भ में भी कहा जा सकता है:
 :<math>\det\left(\mathbf{A} + \mathbf{uv}^\textsf{T}\right) = \det\left(\mathbf{A}\right) + \mathbf{v}^\textsf{T}\mathrm{adj}\left(\mathbf{A}\right)\mathbf{u}\,,</math>
-किस स्तिथि में यह लागू होता है कि वर्ग आव्यूह '''A''' विपरीत है या नहीं।
+किस स्तिथि में यह लागू होता है कि वर्ग मैट्रिक्स '''A''' विपरीत है या नहीं।
 == प्रमाण ==
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    \begin{pmatrix} \mathbf{I} & \mathbf{u} \\ 0 & 1 + \mathbf{v}^\textsf{T}\mathbf{u} \end{pmatrix}.
 </math>
-बाईं ओर का निर्धारक तीन आव्यूहों के निर्धारकों का गुणनफल होता है। चूँकि पहला और तीसरा आव्यूह इकाई विकर्ण के साथ त्रिकोणीय आव्यूह हैं, उनके निर्धारक केवल 1 है। मध्य आव्यूह का निर्धारक हमारा वांछित मूल्य है। दाहिने हाथ की ओर का निर्धारक केवल (1 + '''v'''<sup>T</sup>'''u''') है। तो हमारे पास निम्न परिणाम है<sup>:
+बाईं ओर का डिटर्मिनेंट तीन आव्यूहों के निर्धारकों का गुणनफल होता है। चूँकि पहला और तीसरा मैट्रिक्स इकाई विकर्ण के साथ त्रिकोणीय मैट्रिक्स हैं, उनके डिटर्मिनेंट केवल 1 है। मध्य मैट्रिक्स का डिटर्मिनेंट हमारा वांछित मूल्य है। दाहिने हाथ की ओर का डिटर्मिनेंट केवल (1 + '''v'''<sup>T</sup>'''u''') है। तो हमारे पास निम्न परिणाम है<sup>:
 :<math>\det\left(\mathbf{I} + \mathbf{uv}^\textsf{T}\right) = \left(1 + \mathbf{v}^\textsf{T}\mathbf{u}\right).</math>
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 == आवेदन ==
-यदि A का निर्धारक और व्युत्क्रम पहले से ही ज्ञात हैं, तो सूत्र आव्यूह uvT द्वारा संशोधित A के निर्धारक की गणना करने के लिए एक संख्यात्मक रूप से सस्ता तरीका प्रदान करता है। गणना अपेक्षाकृत अल्पमूल्य है क्योंकि A + uvT के निर्धारक को खरोंच से गणना करने की आवश्यकता नहीं है (जो सामान्य रूप से महंगा है)। '''u''' और/या '''v''' के लिए ईकाई सदिश का उपयोग करके, '''A''' के अलग-अलग क्रम, पंक्तियों या तत्वों [4] में छलयोजना किया जा सकता है और इस तरह से अपेक्षाकृत अल्पमूल्य में एक संबंधित अद्यतन निर्धारक की गणना की जा सकती है।
+यदि A का डिटर्मिनेंट और व्युत्क्रम पहले से ही ज्ञात हैं, तो सूत्र मैट्रिक्स uvT द्वारा संशोधित A के डिटर्मिनेंट की गणना करने के लिए एक संख्यात्मक रूप से सस्ता तरीका प्रदान करता है। गणना अपेक्षाकृत अल्पमूल्य है क्योंकि A + uvT के डिटर्मिनेंट को खरोंच से गणना करने की आवश्यकता नहीं है (जो सामान्य रूप से महंगा है)। '''u''' और/या '''v''' के लिए ईकाई सदिश का उपयोग करके, '''A''' के अलग-अलग क्रम, पंक्तियों या तत्वों [4] में छलयोजना किया जा सकता है और इस तरह से अपेक्षाकृत अल्पमूल्य में एक संबंधित अद्यतन डिटर्मिनेंट की गणना की जा सकती है।
-जब आव्यूह निर्धारक स्वीकृत सिद्धांत का उपयोग शर्मन-मॉरिसन सूत्र के संयोजन में किया जाता है, तो व्युत्क्रम और निर्धारक दोनों को आसानी से एक साथ अद्यतन किया जा सकता है।
+जब मैट्रिक्स डिटर्मिनेंट लेम्मा का उपयोग शर्मन-मॉरिसन सूत्र के संयोजन में किया जाता है, तो व्युत्क्रम और डिटर्मिनेंट दोनों को आसानी से एक साथ अद्यतन किया जा सकता है।
 == सामान्यीकरण ==
-मान लीजिए A एक उलटा ''n''-दर-''n'' आव्यूह है और U, V ''n''-दर-''m'' आव्यूह हैं। तब
+मान लीजिए A एक उलटा ''n''-दर-''n'' मैट्रिक्स है और U, V ''n''-दर-''m'' मैट्रिक्स हैं। तब
 :<math>\det\left(\mathbf{A} + \mathbf{UV}^\textsf{T}\right) = \det\left(\mathbf{I_m} + \mathbf{V}^\textsf{T}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{U}\right)\det(\mathbf{A}).</math> विशेष स्तिथि में <math>\mathbf{A}=\mathbf{I_n}</math> यह वेनस्टाइन-एरोन्सजन अस्मिता है।
-अतिरिक्त रूप से एक व्युत्क्रमणीय m-दर-m आव्यूह 'W' दिए जाने पर, संबंध को इस रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है
+अतिरिक्त रूप से एक व्युत्क्रमणीय m-दर-m मैट्रिक्स 'W' दिए जाने पर, संबंध को इस रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है
 :<math>\det\left(\mathbf{A} + \mathbf{UWV}^\textsf{T}\right) = \det\left(\mathbf{W}^{-1} + \mathbf{V}^\textsf{T}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{U}\right)\det\left(\mathbf{W}\right)\det\left(\mathbf{A}\right).</math>
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 == संदर्भ ==
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-[[Category: रैखिक बीजगणित में नींबू]] [[Category: मैट्रिक्स सिद्धांत]]
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