औसत वक्रता: Difference between revisions

Latest revision as of 17:55, 15 April 2023

गणित में, माध्य वक्रता $H$ सतह का (गणित) $S$ वक्रता का एक बाहरी माप है जो विभेदक ज्यामिति से आता है और जो स्थानीय रूप से यूक्लिडियन अंतरिक्ष जैसे कुछ परिवेशी स्थान में एक एम्बेडिंग सतह की वक्रता का वर्णन करता है।

अवधारणा का उपयोग सोफी जर्मेन ने लोच सिद्धांत पर अपने काम में किया था।^[1]^[2] जीन बैप्टिस्ट मैरी मेसनियर ने न्यूनतम सतहों के अपने अध्ययन में 1776 में इसका उपयोग किया था। न्यूनतम सतहों के विश्लेषण में यह महत्वपूर्ण है, जिसका औसत वक्रता शून्य है, और तरल पदार्थ (जैसे साबुन फिल्मों) के बीच भौतिक अंतरापृष्ठ के विश्लेषण में, उदाहरण के लिए, युवा-लाप्लास समीकरण द्वारा स्थिर प्रवाह में निरंतर माध्य वक्रता है .

परिभाषा

मान लीजिए $p$ त्रिविमीय यूक्लिडियन अंतरिक्ष $R 3$ के अंदर सतह $S$ पर एक बिंदु है| $p$ के माध्यम से $S$ के लिए सामान्य रेखा वाले प्रत्येक विमान $S$ वक्र में $S$ को काटता है । इकाई सामान्य के विकल्प को ठीक करने से उस वक्र को एक हस्ताक्षरित वक्रता मिलती है। जैसे विमान को एक कोण $\theta$ से घुमाया जाता है (सदैव सामान्य रेखा युक्त) कि वक्रता भिन्न हो सकती है। मैक्सिमा और मिनिमा वक्रता $\kappa _{1}$ और मैक्सिमा और मिनिमा वक्रता $\kappa _{2}$ को $S$ की मुख्य वक्रता के रूप में जाना जाता है

$p\in S$ पर माध्य वक्रता तब सभी कोणों $\theta$ पर चिन्हित वक्रता का औसत है

H={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }\kappa (\theta )\;d\theta

.

यूलर के प्रमेय को प्रयुक्त करने से यह मुख्य वक्रता के औसत के सामान्य है (स्पिवक 1999, खंड 3, अध्याय 2):

H={1 \over 2}(\kappa _{1}+\kappa _{2}).

अधिक सामान्यतः (स्पिवक 1999, खंड 4, अध्याय 7), ऊनविम पृष्ठ के लिए $T$ औसत वक्रता के रूप में दिया गया है

H={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}\kappa _{i}.

अधिक संक्षेप में, औसत वक्रता एन (या समकक्ष, आकार ऑपरेटर) द्वारा विभाजित दूसरे मौलिक रूप का निशान है।

इसके अतिरिक्त, औसत वक्रता $H$ सहपरिवर्ती व्युत्पन्न के संदर्भ में लिखा जा सकता है $\nabla$ जैसा

H{\vec {n}}=g^{ij}\nabla _{i}\nabla _{j}X,

गॉस-वेनगार्टन संबंधों का उपयोग करते हुए, जहाँ $X(x)$ एक सुचारू रूप से एम्बेडेड हाइपरसफेस है, ${\vec {n}}$ एक इकाई सामान्य वेक्टर, और $g_{ij}$ मीट्रिक टेंसर।

एक सतह एक न्यूनतम सतह है अगर और केवल अगर औसत वक्रता शून्य है। इसके अतिरिक्त , एक सतह जो सतह $S$ के औसत वक्रता के तहत विकसित होती है, को ऊष्मा समीकरण का पालन करने के लिए कहा जाता है। ऊष्मा-प्रकार के समीकरण को औसत वक्रता प्रवाह समीकरण कहा जाता है।

गोला बिना किसी सीमा या विलक्षणता के निरंतर सकारात्मक माध्य वक्रता की एकमात्र एम्बेडेड सतह है। किंतु, परिणाम सही नहीं है जब स्थिति एम्बेडेड सतह को विसर्जित सतह से अशक्त कर दिया जाता है।^[3]

3डी अंतरिक्ष में सतहें

3डी अंतरिक्ष में परिभाषित सतह के लिए, औसत वक्रता सतह के सामान्य इकाई सतह से संबंधित है:

2H=-\nabla \cdot {\hat {n}}

जहां सामान्य चुना वक्रता के चिह्न को प्रभावित करता है। वक्रता का संकेत सामान्य की पसंद पर निर्भर करता है: यदि सतह सामान्य की ओर झुकती है तो वक्रता सकारात्मक होती है। उपरोक्त सूत्र 3डी अंतरिक्ष में सतहों के लिए किसी भी तरह से परिभाषित है, जब तक इकाई सामान्य के विचलन की गणना की जा सकती है। माध्य वक्रता की गणना भी की जा सकती है

2H={\text{Trace}}((\mathrm {II} )(\mathrm {I} ^{-1}))

जहाँ I और II क्रमशः पहले और दूसरे द्विघात रूप मैट्रिसेस को दर्शाते हैं।

अगर $S(x,y)$ सतह का एक पैरामीट्रिजेशन है और $u,v$ पैरामीटर स्पेस में दो रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर हैं तो माध्य वक्रता को पहले मौलिक रूप और दूसरे मौलिक रूपों के रूप में लिखा जा सकता है

{\frac {lG-2mF+nE}{2(EG-F^{2})}}

जहाँ

E=\mathrm {I} (u,u)

,

F=\mathrm {I} (u,v)

,

G=\mathrm {I} (v,v)

,

l=\mathrm {II} (u,u)

,

m=\mathrm {II} (u,v)

,

n=\mathrm {II} (v,v)

.^[4]

सतह के विशेष स्थिति के लिए दो निर्देशांकों के कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है, उदा। $z=S(x,y)$ , और ऊपर की ओर संकेत करते हुए सामान्य (दोगुना) औसत वक्रता अभिव्यक्ति है

{\begin{aligned}2H&=-\nabla \cdot \left({\frac {\nabla (z-S)}{|\nabla (z-S)|}}\right)\\&=\nabla \cdot \left({\frac {\nabla S-\nabla z}{\sqrt {1+|\nabla S|^{2}}}}\right)\\&={\frac {\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial y^{2}}}-2{\frac {\partial S}{\partial x}}{\frac {\partial S}{\partial y}}{\frac {\partial ^{2}S}{\partial x\partial y}}+\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right){\frac {\partial ^{2}S}{\partial x^{2}}}}{\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial S}{\partial y}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}.\end{aligned}}

विशेष रूप से एक बिंदु पर जहां $\nabla S=0$ , औसत वक्रता $S$ के हेस्सियन आव्यूह का आधा निशान है .

यदि सतह को अतिरिक्त रूप से $z=S(r)$ अक्षीय के साथ जाना जाता है,

2H={\frac {\frac {\partial ^{2}S}{\partial r^{2}}}{\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right)^{3/2}}}+{\frac {\partial S}{\partial r}}{\frac {1}{r\left(1+\left({\frac {\partial S}{\partial r}}\right)^{2}\right)^{1/2}}},

जहाँ ${\frac {\partial S}{\partial r}}{\frac {1}{r}}$ के व्युत्पन्न से आता है ${\textstyle z=S(r)=S\left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)}$ .

माध्य वक्रता का निहित रूप

एक समीकरण $F(x,y,z)=0$ द्वारा निर्दिष्ट सतह का औसत वक्रता ग्रेडिएंट का उपयोग करके गणना की जा सकती है $\nabla F=\left({\frac {\partial F}{\partial x}},{\frac {\partial F}{\partial y}},{\frac {\partial F}{\partial z}}\right)$ और हेसियन आव्यूह

\textstyle {\mbox{Hess}}(F)={\begin{pmatrix}{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x\partial z}}\\{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial z}}\\{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z\partial x}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z\partial y}}&{\frac {\partial ^{2}F}{\partial z^{2}}}\end{pmatrix}}.

औसत वक्रता द्वारा दिया गया है:^[5]^[6]

H={\frac {\nabla F\ {\mbox{Hess}}(F)\ \nabla F^{\mathsf {T}}-|\nabla F|^{2}\,{\text{Trace}}({\mbox{Hess}}(F))}{2|\nabla F|^{3}}}

एक अन्य रूप सामान्य इकाई के विचलन के रूप में है। एक इकाई सामान्य ${\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}$ द्वारा दिया जाता है और माध्य वक्रता $H=-{\frac {1}{2}}\nabla \cdot \left({\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}\right).$ है

द्रव यांत्रिकी में औसत वक्रता

दो के कारकों से बचने के लिए कभी-कभी द्रव यांत्रिकी में एक वैकल्पिक परिभाषा का उपयोग किया जाता है:

H_{f}=(\kappa _{1}+\kappa _{2})\,

.

इसका परिणाम यंग-लैपलेस समीकरण के अनुसार एक समतोल गोलाकार बूंद के अंदर सतह तनाव के समय $H_{f}$ के दबाव में होता है ; दो वक्रताएँ छोटी बूंद की त्रिज्या के व्युत्क्रम के सामान्य होती हैं

\kappa _{1}=\kappa _{2}=r^{-1}\,

.

न्यूनतम सतह

कोस्टा की न्यूनतम सतह का प्रतिपादन।

एक न्यूनतम सतह एक ऐसी सतह होती है जिसके सभी बिंदुओं पर शून्य औसत वक्रता होती है। क्लासिक उदाहरणों में कैटेनॉइड, घुमावदार और एननेपर सतह सम्मिलित हैं। वर्तमान की खोजों में कोस्टा की न्यूनतम सतह और जाइरोइड सम्मिलित हैं।

सीएमसी सतहों

एक न्यूनतम सतह के विचार का विस्तार निरंतर माध्य वक्रता की सतहें हैं। अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान में इकाई स्थिर औसत वक्रता की सतहों को ब्रायंट सतह कहा जाता है।^[7]

यह भी देखें

↑ Marie-Louise Dubreil-Jacotin on Sophie Germain Archived 2008-02-23 at the Wayback Machine
↑ Lodder, J. (2003). "पथरी पाठ्यचर्या में वक्रता". The American Mathematical Monthly. 110 (7): 593–605. doi:10.2307/3647744. JSTOR 3647744.
↑ Wente, Henry C. (1986). "एच. हॉफ के एक अनुमान का प्रति उदाहरण". Pacific Journal of Mathematics. 121 (1): 193–243. doi:10.2140/pjm.1986.121.193. MR 0815044. Zbl 0586.53003.
↑ Do Carmo, Manfredo (2016). वक्रों और सतहों की विभेदक ज्यामिति (Second ed.). Dover. p. 158. ISBN 978-0-486-80699-0.
↑ Goldman, R. (2005). "निहित घटता और सतहों के लिए वक्रता सूत्र". Computer Aided Geometric Design. 22 (7): 632–658. doi:10.1016/j.cagd.2005.06.005.
↑ Spivak, M (1975). डिफरेंशियल ज्योमेट्री का एक व्यापक परिचय. Vol. 3. Publish or Perish, Boston.
↑ Rosenberg, Harold (2002), "Bryant surfaces", The global theory of minimal surfaces in flat spaces (Martina Franca, 1999), Lecture Notes in Math., vol. 1775, Berlin: Springer, pp. 67–111, doi:10.1007/978-3-540-45609-4_3, ISBN 978-3-540-43120-6, MR 1901614.

संदर्भ

Spivak, Michael (1999), A comprehensive introduction to differential geometry (Volumes 3-4) (3rd ed.), Publish or Perish Press, ISBN 978-0-914098-72-0, (Volume 3), (Volume 4).
P.Grinfeld (2014). Introduction to Tensor Analysis and the Calculus of Moving Surfaces. Springer. ISBN 978-1-4614-7866-9.

[1] Marie-Louise Dubreil-Jacotin on Sophie Germain Archived 2008-02-23 at the Wayback Machine

[2] Lodder, J. (2003). "पथरी पाठ्यचर्या में वक्रता". The American Mathematical Monthly. 110 (7): 593–605. doi:10.2307/3647744. JSTOR 3647744.

[3] Wente, Henry C. (1986). "एच. हॉफ के एक अनुमान का प्रति उदाहरण". Pacific Journal of Mathematics. 121 (1): 193–243. doi:10.2140/pjm.1986.121.193. MR 0815044. Zbl 0586.53003.

[4] Do Carmo, Manfredo (2016). वक्रों और सतहों की विभेदक ज्यामिति (Second ed.). Dover. p. 158. ISBN 978-0-486-80699-0.

[5] Goldman, R. (2005). "निहित घटता और सतहों के लिए वक्रता सूत्र". Computer Aided Geometric Design. 22 (7): 632–658. doi:10.1016/j.cagd.2005.06.005.

[6] Spivak, M (1975). डिफरेंशियल ज्योमेट्री का एक व्यापक परिचय. Vol. 3. Publish or Perish, Boston.

[7] Rosenberg, Harold (2002), "Bryant surfaces", The global theory of minimal surfaces in flat spaces (Martina Franca, 1999), Lecture Notes in Math., vol. 1775, Berlin: Springer, pp. 67–111, doi:10.1007/978-3-540-45609-4_3, ISBN 978-3-540-43120-6, MR 1901614.

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[4]

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 गणित में, माध्य वक्रता <math>H</math> सतह का (गणित) <math> S</math> [[वक्रता]] का एक बाहरी माप है जो विभेदक ज्यामिति से आता है और जो स्थानीय रूप से [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] जैसे कुछ परिवेशी स्थान में एक [[एम्बेडिंग]] सतह की वक्रता का वर्णन करता है।
-अवधारणा का उपयोग [[सोफी जर्मेन]] ने [[लोच सिद्धांत]] पर अपने काम में किया था।<ref>[[Marie-Louise Dubreil-Jacotin]] on [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Extras/Dubreil-Jacotin_Germain.html Sophie Germain<!-- Bot generated title -->] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080223162220/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Extras/Dubreil-Jacotin_Germain.html |date=2008-02-23 }}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Lodder | first1 = J. | title = पथरी पाठ्यचर्या में वक्रता| journal = The American Mathematical Monthly | volume = 110 | issue = 7 | pages = 593–605 | doi = 10.2307/3647744 | year = 2003 | jstor = 3647744 }}</ref> [[जीन बैप्टिस्ट मैरी मेसनियर]] ने [[न्यूनतम सतह]]ों के अपने अध्ययन में 1776 में इसका इस्तेमाल किया था। न्यूनतम सतहों के विश्लेषण में यह महत्वपूर्ण है, जिसका औसत वक्रता शून्य है, और तरल पदार्थ (जैसे [[साबुन फिल्म]]ों) के बीच भौतिक इंटरफेस के विश्लेषण में, उदाहरण के लिए, युवा-लाप्लास समीकरण द्वारा स्थिर प्रवाह में निरंतर माध्य वक्रता है .
+अवधारणा का उपयोग [[सोफी जर्मेन]] ने [[लोच सिद्धांत]] पर अपने काम में किया था।<ref>[[Marie-Louise Dubreil-Jacotin]] on [http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Extras/Dubreil-Jacotin_Germain.html Sophie Germain<!-- Bot generated title -->] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20080223162220/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Extras/Dubreil-Jacotin_Germain.html |date=2008-02-23 }}</ref><ref>{{Cite journal | last1 = Lodder | first1 = J. | title = पथरी पाठ्यचर्या में वक्रता| journal = The American Mathematical Monthly | volume = 110 | issue = 7 | pages = 593–605 | doi = 10.2307/3647744 | year = 2003 | jstor = 3647744 }}</ref> [[जीन बैप्टिस्ट मैरी मेसनियर]] ने [[न्यूनतम सतह|न्यूनतम सतहों]] के अपने अध्ययन में 1776 में इसका उपयोग किया था। न्यूनतम सतहों के विश्लेषण में यह महत्वपूर्ण है, जिसका औसत वक्रता शून्य है, और तरल पदार्थ (जैसे [[साबुन फिल्म|साबुन फिल्मों]]) के बीच भौतिक अंतरापृष्ठ के विश्लेषण में, उदाहरण के लिए, युवा-लाप्लास समीकरण द्वारा स्थिर प्रवाह में निरंतर माध्य वक्रता है .
 == परिभाषा ==
-होने देना <math>p</math> सतह पर एक बिंदु हो <math>S</math> तीन आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के अंदर {{math|'''R'''<sup>3</sup>}}. प्रत्येक विमान के माध्यम से <math>p</math> सामान्य रेखा से युक्त <math>S</math> कटौती <math>S</math> एक (विमान) वक्र में। इकाई सामान्य के विकल्प को ठीक करने से उस वक्र को एक हस्ताक्षरित वक्रता मिलती है। जैसे विमान को एक कोण से घुमाया जाता है <math>\theta</math> (हमेशा सामान्य रेखा युक्त) कि वक्रता भिन्न हो सकती है। [[मैक्सिमा और मिनिमा]] वक्रता <math>\kappa_1</math> और मैक्सिमा और मिनिमा वक्रता <math>\kappa_2</math> के [[प्रमुख वक्रता]] के रूप में जाना जाता है <math>S</math>.
+मान लीजिए <math>p</math> त्रिविमीय यूक्लिडियन अंतरिक्ष {{math|'''R'''<sup>3</sup>}}के अंदर सतह <math>S</math> पर एक बिंदु है| <math>p</math> के माध्यम से <math>S</math> के लिए सामान्य रेखा वाले प्रत्येक विमान <math>S</math> वक्र में <math>S</math> को काटता है । इकाई सामान्य के विकल्प को ठीक करने से उस वक्र को एक हस्ताक्षरित वक्रता मिलती है। जैसे विमान को एक कोण <math>\theta</math> से घुमाया जाता है (सदैव सामान्य रेखा युक्त) कि वक्रता भिन्न हो सकती है। [[मैक्सिमा और मिनिमा]] वक्रता <math>\kappa_1</math> और मैक्सिमा और मिनिमा वक्रता <math>\kappa_2</math> को <math>S</math> की मुख्य वक्रता के रूप में जाना जाता है
-पर औसत वक्रता <math>p\in S</math> तब सभी कोणों पर हस्ताक्षरित वक्रता का औसत होता है <math>\theta</math>:
+<math>p\in S</math> पर माध्य वक्रता तब सभी कोणों <math>\theta</math> पर चिन्हित वक्रता का औसत है
 :<math>H = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} \kappa(\theta) \;d\theta</math>.
-यूलर प्रमेय (डिफरेंशियल ज्योमेट्री)|यूलर प्रमेय लागू करके, यह मुख्य वक्रता के औसत के बराबर है {{harv|Spivak|1999|loc=Volume 3, Chapter 2}}:
+यूलर के प्रमेय को प्रयुक्त करने से यह मुख्य वक्रता के औसत के सामान्य है {{harv|स्पिवक|1999|loc=खंड 3, अध्याय 2}}:
 :<math>H = {1 \over 2} (\kappa_1 + \kappa_2).</math>
-आम तौर पर अधिक {{harv|Spivak|1999|loc=Volume 4, Chapter 7}}, [[ऊनविम पृष्ठ]] के लिए <math>T</math> औसत वक्रता के रूप में दिया गया है
+अधिक सामान्यतः {{harv|स्पिवक|1999|loc=खंड 4, अध्याय 7}}, [[ऊनविम पृष्ठ]] के लिए <math>T</math> औसत वक्रता के रूप में दिया गया है
 :<math>H=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \kappa_{i}.</math>
 अधिक संक्षेप में, औसत वक्रता एन (या समकक्ष, [[आकार ऑपरेटर]]) द्वारा विभाजित दूसरे मौलिक रूप का निशान है।
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 गॉस-वेनगार्टन संबंधों का उपयोग करते हुए, जहाँ <math> X(x) </math> एक सुचारू रूप से एम्बेडेड हाइपरसफेस है, <math>\vec{n}</math> एक इकाई सामान्य वेक्टर, और <math>g_{ij}</math> [[मीट्रिक टेंसर]]।
-एक सतह एक न्यूनतम सतह है [[अगर और केवल अगर]] औसत वक्रता शून्य है। इसके अलावा, एक सतह जो सतह के औसत वक्रता के तहत विकसित होती है <math> S</math>, को ऊष्मा समीकरण का पालन करने के लिए कहा जाता है। ऊष्मा-प्रकार के समीकरण को [[औसत वक्रता प्रवाह]] समीकरण कहा जाता है।
+एक सतह एक न्यूनतम सतह है [[अगर और केवल अगर]] औसत वक्रता शून्य है। इसके अतिरिक्त , एक सतह जो सतह <math> S</math> के औसत वक्रता के तहत विकसित होती है, को ऊष्मा समीकरण का पालन करने के लिए कहा जाता है। ऊष्मा-प्रकार के समीकरण को [[औसत वक्रता प्रवाह]] समीकरण कहा जाता है।
-गोला बिना किसी सीमा या विलक्षणता के निरंतर सकारात्मक माध्य वक्रता की एकमात्र एम्बेडेड सतह है। हालांकि, परिणाम सही नहीं है जब स्थिति एम्बेडेड सतह को विसर्जित सतह से कमजोर कर दिया जाता है।<ref>{{cite journal | last = Wente | first = Henry C. | author-link = Henry C. Wente | issue = 1 | journal = [[Pacific Journal of Mathematics]] | mr = 815044 | pages = 193–243 | title = एच. हॉफ के एक अनुमान का प्रति उदाहरण| url = https://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102702809 | volume = 121 | year = 1986 | doi = 10.2140/pjm.1986.121.193 | zbl = 0586.53003| doi-access = free }}</ref>
+गोला बिना किसी सीमा या विलक्षणता के निरंतर सकारात्मक माध्य वक्रता की एकमात्र एम्बेडेड सतह है। किंतु, परिणाम सही नहीं है जब स्थिति एम्बेडेड सतह को विसर्जित सतह से अशक्त कर दिया जाता है।<ref>{{cite journal | last = Wente | first = Henry C. | author-link = Henry C. Wente | issue = 1 | journal = [[Pacific Journal of Mathematics]] | mr = 815044 | pages = 193–243 | title = एच. हॉफ के एक अनुमान का प्रति उदाहरण| url = https://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102702809 | volume = 121 | year = 1986 | doi = 10.2140/pjm.1986.121.193 | zbl = 0586.53003| doi-access = free }}</ref>
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 जहाँ I और II क्रमशः पहले और दूसरे द्विघात रूप मैट्रिसेस को दर्शाते हैं।
-अगर <math>S(x,y)</math> सतह का एक parametrization है और <math>u, v</math> पैरामीटर स्पेस में दो रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर हैं तो माध्य वक्रता को पहले मौलिक रूप और दूसरे मौलिक रूपों के रूप में लिखा जा सकता है
+अगर <math>S(x,y)</math> सतह का एक पैरामीट्रिजेशन है और <math>u, v</math> पैरामीटर स्पेस में दो रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर हैं तो माध्य वक्रता को पहले मौलिक रूप और दूसरे मौलिक रूपों के रूप में लिखा जा सकता है
 <math display="block">\frac{l G-2 m F + n E}{2 ( E G - F^2)}</math>
-कहाँ <math>E = \mathrm{I}(u,u)</math>, <math>F = \mathrm{I}(u,v)</math>, <math>G = \mathrm{I}(v,v)</math>, <math>l = \mathrm{II}(u,u)</math>, <math>m = \mathrm{II}(u,v)</math>, <math>n = \mathrm{II}(v,v)</math>.<ref>{{cite book|last=Do Carmo| first=Manfredo| title=वक्रों और सतहों की विभेदक ज्यामिति|publisher=Dover |year=2016 | edition=Second | isbn=978-0-486-80699-0 | page=158}}</ref>
+जहाँ <math>E = \mathrm{I}(u,u)</math>, <math>F = \mathrm{I}(u,v)</math>, <math>G = \mathrm{I}(v,v)</math>, <math>l = \mathrm{II}(u,u)</math>, <math>m = \mathrm{II}(u,v)</math>, <math>n = \mathrm{II}(v,v)</math>.<ref>{{cite book|last=Do Carmo| first=Manfredo| title=वक्रों और सतहों की विभेदक ज्यामिति|publisher=Dover |year=2016 | edition=Second | isbn=978-0-486-80699-0 | page=158}}</ref>
-सतह के विशेष मामले के लिए दो निर्देशांकों के कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है, उदा। <math>z = S(x, y)</math>, और ऊपर की ओर इशारा करते हुए सामान्य (दोगुना) मतलब वक्रता अभिव्यक्ति है
+सतह के विशेष स्थिति के लिए दो निर्देशांकों के कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है, उदा। <math>z = S(x, y)</math>, और ऊपर की ओर संकेत करते हुए सामान्य (दोगुना) औसत वक्रता अभिव्यक्ति है
 :<math>\begin{align}
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 \end{align}
 </math>
-विशेष रूप से एक बिंदु पर जहां <math>\nabla S=0</math>, औसत वक्रता के हेस्सियन मैट्रिक्स का आधा निशान है <math>S</math>.
+विशेष रूप से एक बिंदु पर जहां <math>\nabla S=0</math>, औसत वक्रता <math>S</math> के हेस्सियन आव्यूह का आधा निशान है .
-यदि सतह को अतिरिक्त रूप से [[अक्षीय]] के साथ जाना जाता है <math>z = S(r)</math>,
+यदि सतह को अतिरिक्त रूप से <math>z = S(r)</math> [[अक्षीय]] के साथ जाना जाता है,
 :<math>2 H = \frac{\frac{\partial^2 S}{\partial r^2}}{\left(1 + \left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^2\right)^{3/2}} + {\frac{\partial S}{\partial r}}\frac{1}{r \left(1 + \left(\frac{\partial S}{\partial r}\right)^2\right)^{1/2}},</math>
-कहाँ <math>{\frac{\partial S}{\partial r}} \frac{1}{r}</math> के व्युत्पन्न से आता है <math display="inline">z = S(r) = S\left(\sqrt{x^2 + y^2} \right)</math>.
+जहाँ <math>{\frac{\partial S}{\partial r}} \frac{1}{r}</math> के व्युत्पन्न से आता है <math display="inline">z = S(r) = S\left(\sqrt{x^2 + y^2} \right)</math>.
 === माध्य वक्रता का निहित रूप ===
-एक समीकरण द्वारा निर्दिष्ट सतह का औसत वक्रता <math>F(x,y,z)=0</math> ग्रेडिएंट का उपयोग करके गणना की जा सकती है <math>\nabla F=\left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right)</math> और [[हेसियन मैट्रिक्स]]
+एक समीकरण <math>F(x,y,z)=0</math> द्वारा निर्दिष्ट सतह का औसत वक्रता ग्रेडिएंट का उपयोग करके गणना की जा सकती है <math>\nabla F=\left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right)</math> और [[हेसियन मैट्रिक्स|हेसियन आव्यूह]]
 :<math>\textstyle \mbox{Hess}(F)=
 \begin{pmatrix}
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 औसत वक्रता द्वारा दिया गया है:<ref>{{Cite journal | doi = 10.1016/j.cagd.2005.06.005| title = निहित घटता और सतहों के लिए वक्रता सूत्र| journal = Computer Aided Geometric Design| volume = 22| issue = 7| pages = 632–658| year = 2005| last1 = Goldman | first1 = R.}}</ref><ref>{{cite book|last=Spivak|first=M|year=1975|title=डिफरेंशियल ज्योमेट्री का एक व्यापक परिचय|volume=3|publisher=Publish or Perish, Boston}}</ref>
 :<math>H = \frac{ \nabla F\  \mbox{Hess}(F) \ \nabla F^{\mathsf {T}} - |\nabla F|^2\, \text{Trace}(\mbox{Hess}(F)) } { 2|\nabla F|^3 }</math>
-एक अन्य रूप सामान्य इकाई के विचलन के रूप में है। एक इकाई सामान्य द्वारा दिया जाता है <math>\frac{\nabla F}{|\nabla F|}</math> और माध्य वक्रता है
+एक अन्य रूप सामान्य इकाई के विचलन के रूप में है। एक इकाई सामान्य <math>\frac{\nabla F}{|\nabla F|}</math> द्वारा दिया जाता है और माध्य वक्रता <math>H = -{\frac{1}{2}}\nabla\cdot \left(\frac{\nabla F}{|\nabla F|}\right).</math>है
-:<math>H = -{\frac{1}{2}}\nabla\cdot \left(\frac{\nabla F}{|\nabla F|}\right).</math>
 == [[द्रव यांत्रिकी]] में औसत वक्रता ==
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 :<math>H_f = (\kappa_1 + \kappa_2) \,</math>.
-इसका परिणाम यंग-लैपलेस समीकरण के अनुसार एक समतोल गोलाकार बूंद के अंदर [[सतह तनाव]] के समय के दबाव में होता है <math>H_f</math>; दो वक्रताएँ छोटी बूंद की त्रिज्या के व्युत्क्रम के बराबर होती हैं
+इसका परिणाम यंग-लैपलेस समीकरण के अनुसार एक समतोल गोलाकार बूंद के अंदर [[सतह तनाव]] के समय <math>H_f</math> के दबाव में होता है ; दो वक्रताएँ छोटी बूंद की त्रिज्या के व्युत्क्रम के सामान्य होती हैं
 :<math>\kappa_1 = \kappa_2 = r^{-1} \,</math>.
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 [[Image:Costa minimal surface.jpg|right|thumb|175px|कोस्टा की न्यूनतम सतह का प्रतिपादन।]]
 {{main|न्यूनतम सतह}}
-एक न्यूनतम सतह एक ऐसी सतह होती है जिसके सभी बिंदुओं पर शून्य औसत वक्रता होती है। क्लासिक उदाहरणों में [[कैटेनॉइड]], [[घुमावदार]] और एननेपर सतह शामिल हैं। हाल की खोजों में कोस्टा की न्यूनतम सतह और [[जाइरोइड]] शामिल हैं।
+एक न्यूनतम सतह एक ऐसी सतह होती है जिसके सभी बिंदुओं पर शून्य औसत वक्रता होती है। क्लासिक उदाहरणों में [[कैटेनॉइड]], [[घुमावदार]] और एननेपर सतह सम्मिलित हैं। वर्तमान की खोजों में कोस्टा की न्यूनतम सतह और [[जाइरोइड]] सम्मिलित हैं।
 === सीएमसी सतहों ===
-{{main|Constant-mean-curvature surface}}
+{{main|लगातार-माध्य-वक्रता सतह}}
 एक न्यूनतम सतह के विचार का विस्तार निरंतर माध्य वक्रता की सतहें हैं। [[अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान]] में इकाई स्थिर औसत वक्रता की सतहों को [[ब्रायंट सतह]] कहा जाता है।<ref>{{citation
   | last = Rosenberg
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   | url = https://archive.org/details/globaltheoryofmi0000meek/page/67
   }}.</ref>
 == यह भी देखें ==
 * [[गॉसियन वक्रता]]
-* मतलब वक्रता प्रवाह
+* औसत वक्रता प्रवाह
-* [[उलटा मतलब वक्रता प्रवाह]]
+* [[उलटा मतलब वक्रता प्रवाह|व्युत्क्रम माध्य वक्रता प्रवाह]]
 * [[क्षेत्र सूत्र की पहली भिन्नता]]
 * तनी हुई ग्रिड विधि
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 {{curvature}}
-[[Category: विभेदक ज्यामिति]] [[Category: सतहों की विभेदक ज्यामिति]] [[Category: सतह]] [[Category: वक्रता (गणित)]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:Collapse templates]]
 [[Category:Created On 05/04/2023]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
+[[Category:Navigational boxes without horizontal lists]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Sidebars with styles needing conversion]]
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+[[Category:Wikipedia metatemplates]]
+[[Category:वक्रता (गणित)]]
+[[Category:विभेदक ज्यामिति]]
+[[Category:सतह]]
+[[Category:सतहों की विभेदक ज्यामिति]]

v t e Various notions of curvature defined in differential geometry
Differential geometry of curves	Curvature Torsion of a curve Frenet–Serret formulas Radius of curvature (applications) Affine curvature Total curvature Total absolute curvature
Differential geometry of surfaces	Principal curvatures Gaussian curvature Mean curvature Darboux frame Gauss–Codazzi equations First fundamental form Second fundamental form Third fundamental form
Riemannian geometry	Curvature of Riemannian manifolds Riemann curvature tensor Ricci curvature Scalar curvature Sectional curvature
Curvature of connections	Curvature form Torsion tensor Cocurvature Holonomy

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