हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन: Difference between revisions

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{{Short description|Certain vector fields are the sum of an irrotational and a solenoidal vector field}}
{{Short description|Certain vector fields are the sum of an irrotational and a solenoidal vector field}}
भौतिकी और गणित में, सदिश कलन के क्षेत्र में, हेल्महोल्ट्ज़ प्रमेय,<ref>On Helmholtz's Theorem in Finite Regions. By [[Jean Bladel]]. Midwestern Universities Research Association, 1958.</ref><ref>Hermann von Helmholtz. Clarendon Press, 1906. By [[Leo Koenigsberger]]. p357</ref> जिसे वेक्टर कैलकुलस के मौलिक प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है,<ref>An Elementary Course in the Integral Calculus. By [[Daniel Alexander Murray]]. American Book Company, 1898. p8.</ref><ref>[[J. W. Gibbs]] & [[Edwin Bidwell Wilson]] (1901) [https://archive.org/stream/117714283#page/236/mode/2up Vector Analysis], page 237, link from [[Internet Archive]]</ref><ref>Electromagnetic theory, Volume 1. By [[Oliver Heaviside]]. "The Electrician" printing and publishing company, limited, 1893.</ref><ref>Elements of the differential calculus. By [[Wesley Stoker Barker Woolhouse]]. Weale, 1854.</ref><ref>An Elementary Treatise on the Integral Calculus: Founded on the Method of Rates Or Fluxions. By [[William Woolsey Johnson]]. John Wiley & Sons, 1881.<br />See also: [[Method of Fluxions]].</ref><ref>Vector Calculus: With Applications to Physics. By [[James Byrnie Shaw]]. D. Van Nostrand, 1922. p205.<br />See also: [[Green's Theorem]].</ref><ref>A Treatise on the Integral Calculus, Volume 2. By [[Joseph Edwards (Mathematician)|Joseph Edwards]]. Chelsea Publishing Company, 1922.</ref> बताता है कि तीन आयामों में किसी भी पर्याप्त रूप से चिकनी, सड़ने वाले [[वेक्टर क्षेत्र]] को एक [[अघूर्णन सदिश क्षेत्र]] ([[कर्ल (गणित)|कर्ल]] -फ्री) वेक्टर क्षेत्र और [[ solenoidal |परिनालिकीय क्षेत्र]] ([[ विचलन ]]-फ्री) वेक्टर क्षेत्र के योग में हल किया जा सकता है; इसे हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन या हेल्महोल्ट्ज़ प्रतिनिधित्व के रूप में जाना जाता है। इसका नाम [[हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़]] के नाम पर रखा गया है।<ref>See:
भौतिकी और गणित में, वेक्टर कैलकुलस के क्षेत्र में, हेल्महोल्ट्ज़ सिद्धांत,<ref>On Helmholtz's Theorem in Finite Regions. By [[Jean Bladel]]. Midwestern Universities Research Association, 1958.</ref><ref>Hermann von Helmholtz. Clarendon Press, 1906. By [[Leo Koenigsberger]]. p357</ref> जिसे वेक्टर कैलकुलस के मौलिक सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है,<ref>An Elementary Course in the Integral Calculus. By [[Daniel Alexander Murray]]. American Book Company, 1898. p8.</ref><ref>[[J. W. Gibbs]] & [[Edwin Bidwell Wilson]] (1901) [https://archive.org/stream/117714283#page/236/mode/2up Vector Analysis], page 237, link from [[Internet Archive]]</ref><ref>Electromagnetic theory, Volume 1. By [[Oliver Heaviside]]. "The Electrician" printing and publishing company, limited, 1893.</ref><ref>Elements of the differential calculus. By [[Wesley Stoker Barker Woolhouse]]. Weale, 1854.</ref><ref>An Elementary Treatise on the Integral Calculus: Founded on the Method of Rates Or Fluxions. By [[William Woolsey Johnson]]. John Wiley & Sons, 1881.<br />See also: [[Method of Fluxions]].</ref><ref>Vector Calculus: With Applications to Physics. By [[James Byrnie Shaw]]. D. Van Nostrand, 1922. p205.<br />See also: [[Green's Theorem]].</ref><ref>A Treatise on the Integral Calculus, Volume 2. By [[Joseph Edwards (Mathematician)|Joseph Edwards]]. Chelsea Publishing Company, 1922.</ref> यह बताता है कि किसी भी पर्याप्त रूप से समतल, तेजी से क्षय करने वाले वेक्टर क्षेत्र को तीन आयामों में एक [[अघूर्णन सदिश क्षेत्र|अघूर्णनी]] ([[कर्ल (गणित)|कर्ल]]-मुफ्त) सदिश क्षेत्र और [[ solenoidal |परिनालिकीय क्षेत्र]] ([[ विचलन |विचलन]]-मुफ्त) सदिश क्षेत्र के योग में हल किया जा सकता है, इसे हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन या हेल्महोल्ट्ज़ प्रतिनिधित्व के रूप में जाना जाता है। इसका नाम [[हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़]] के नाम पर रखा गया है।<ref>See:
*  H. Helmholtz (1858) [https://books.google.com/books?id=6gwPAAAAIAAJ&pg=PA25 "Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welcher der Wirbelbewegungen entsprechen"] (On integrals of the hydrodynamic equations which correspond to vortex motions), ''Journal für die reine und angewandte Mathematik'', '''55''': 25–55.  On page 38, the components of the fluid's velocity (''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;''w'') are expressed in terms of the gradient of a scalar potential P and the curl of a vector potential&nbsp;(''L'',&nbsp;''M'',&nbsp;''N'').
*  H. Helmholtz (1858) [https://books.google.com/books?id=6gwPAAAAIAAJ&pg=PA25 "Über Integrale der hydrodynamischen Gleichungen, welcher der Wirbelbewegungen entsprechen"] (On integrals of the hydrodynamic equations which correspond to vortex motions), ''Journal für die reine und angewandte Mathematik'', '''55''': 25–55.  On page 38, the components of the fluid's velocity (''u'',&nbsp;''v'',&nbsp;''w'') are expressed in terms of the gradient of a scalar potential P and the curl of a vector potential&nbsp;(''L'',&nbsp;''M'',&nbsp;''N'').
*  However, Helmholtz was largely anticipated by George Stokes in his paper:  G. G. Stokes (presented: 1849; published: 1856) [https://books.google.com/books?id=L_NYAAAAYAAJ&pg=PA1 "On the dynamical theory of diffraction,"] ''Transactions of the Cambridge Philosophical Society'', vol. 9, part I, pages 1–62; see pages 9–10.</ref>
*  However, Helmholtz was largely anticipated by George Stokes in his paper:  G. G. Stokes (presented: 1849; published: 1856) [https://books.google.com/books?id=L_NYAAAAYAAJ&pg=PA1 "On the dynamical theory of diffraction,"] ''Transactions of the Cambridge Philosophical Society'', vol. 9, part I, pages 1–62; see pages 9–10.</ref>


जैसा कि एक अघूर्णी सदिश क्षेत्र में एक [[अदिश क्षमता]] होती है और एक सोलनॉइडल सदिश क्षेत्र में एक सदिश क्षमता होती है, हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन बताता है कि एक सदिश क्षेत्र (उचित चिकनाई और क्षय की स्थिति को संतुष्ट करते हुए) को रूप के योग के रूप में विघटित किया जा सकता है <math>-\nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A}</math>, कहाँ <math>\phi</math> एक अदिश क्षेत्र है जिसे अदिश विभव कहा जाता है, और {{math|'''A'''}} एक सदिश क्षेत्र है, जिसे सदिश विभव कहा जाता है।
जैसा कि एक अघूर्णी सदिश क्षेत्र में एक [[अदिश क्षमता]] होती है और एक परिनालिकीय सदिश क्षेत्र में सदिश क्षमता होती है, हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन बताता है कि सदिश क्षेत्र (उचित समतल और क्षय की स्थिति को संतुष्ट करते हुए) को योग के रूप में विघटित किया जा सकता है <math>-\nabla \phi + \nabla \times \mathbf{A}</math>,  


== प्रमेय का कथन ==
जहाँ <math>\phi</math> अदिश क्षेत्र होते है उसे अदिश विभव कहा जाता है, और {{math|'''A'''}} एक सदिश क्षेत्र है, जिसे सदिश विभव कहा जाता है।
होने देना <math>\mathbf{F}</math> एक बंधे हुए डोमेन पर एक वेक्टर फ़ील्ड बनें <math>V\subseteq\mathbb{R}^3</math>, जो अंदर से दो बार लगातार भिन्न होता है <math>V</math>, और जाने <math>S</math> वह सतह हो जो डोमेन को घेरती है <math>V</math>. तब <math>\mathbf{F}</math> कर्ल-मुक्त घटक और विचलन-मुक्त घटक में विघटित किया जा सकता है:<ref>{{cite web |url=http://www.cems.uvm.edu/~oughstun/LectureNotes141/Topic_03_(Helmholtz'%20Theorem).pdf |title=हेल्महोल्ट्ज प्रमेय|publisher=University of Vermont| access-date=2011-03-11 | archive-url=https://web.archive.org/web/20120813005804/http://www.cems.uvm.edu/~oughstun/LectureNotes141/Topic_03_(Helmholtz'%20Theorem).pdf| archive-date=2012-08-13| url-status=dead}}</ref>
 
== सिद्धांत का कथन ==
<math>\mathbf{F}</math> एक बंधे हुए डोमेन पर एक सदिश क्षेत्र पर <math>V\subseteq\mathbb{R}^3</math>, जो अंदर से दो बार लगातार भिन्न होता है <math>V</math>, और जाने <math>S</math> वह सतह हो जो डोमेन को घेरती है <math>V</math>. तब <math>\mathbf{F}</math> कर्ल-मुक्त घटक और विचलन-मुक्त घटक में विघटित किया जा सकता है:<ref>{{cite web |url=http://www.cems.uvm.edu/~oughstun/LectureNotes141/Topic_03_(Helmholtz'%20Theorem).pdf |title=हेल्महोल्ट्ज प्रमेय|publisher=University of Vermont| access-date=2011-03-11 | archive-url=https://web.archive.org/web/20120813005804/http://www.cems.uvm.edu/~oughstun/LectureNotes141/Topic_03_(Helmholtz'%20Theorem).pdf| archive-date=2012-08-13| url-status=dead}}</ref>


<math display="block">\mathbf{F}=-\nabla \Phi+\nabla\times\mathbf{A},</math>
<math display="block">\mathbf{F}=-\nabla \Phi+\nabla\times\mathbf{A},</math>
कहाँ
जहाँ
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\end{align}
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</math>
और <math>\nabla'</math> के संबंध में नाबला संचालिका होता है <math>\mathbf{r'}</math>, नहीं <math> \mathbf{r} </math>.
और <math>\nabla'</math> के संबंध में संचालिका होता है <math>\mathbf{r'}</math>, नहीं <math> \mathbf{r} </math>.


अगर <math>V = \R^3</math> और इसलिए असीमित है, और <math>\mathbf{F}</math> कम से कम उतनी ही तेजी से गायब हो जाता है <math>1/r</math> जैसा <math>r \to \infty</math>, तो एक है<ref name="griffiths">[[David J. Griffiths]], ''Introduction to Electrodynamics'', Prentice-Hall, 1999, p. 556.</ref>
अगर <math>V = \R^3</math> और इसलिए असीमित है, और <math>\mathbf{F}</math> कम से कम उतनी ही तेजी से लुप्‍त हो जाता है <math>1/r</math> जैसा <math>r \to \infty</math>, तो एक है<ref name="griffiths">[[David J. Griffiths]], ''Introduction to Electrodynamics'', Prentice-Hall, 1999, p. 556.</ref>


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Line 25: Line 27:
\mathbf{A} (\mathbf{r}) & =\frac{1}{4\pi}\int_{\R^3} \frac{\nabla'\times\mathbf{F} (\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \, \mathrm{d}V'
\mathbf{A} (\mathbf{r}) & =\frac{1}{4\pi}\int_{\R^3} \frac{\nabla'\times\mathbf{F} (\mathbf{r}')}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} \, \mathrm{d}V'
\end{align}</math>
\end{align}</math>
यह विशेष रूप से अगर है <math>\mathbf F</math> में दो बार लगातार अवकलनीय है <math>\mathbb R^3</math> और सीमित समर्थन का।
यह विशेष रूप से अगर है <math>\mathbf F</math> में दो बार लगातार अवकलनीय है <math>\mathbb R^3</math> और सीमित समर्थन है।


== व्युत्पत्ति ==
== व्युत्पत्ति ==
मान लीजिए हमारे पास एक वेक्टर फलन है <math>\mathbf{F}(\mathbf{r})</math> जिनमें से हम कर्ल जानते हैं, <math>\nabla\times\mathbf{F}</math>, और विचलन, <math>\nabla\cdot\mathbf{F}</math>, सीमा पर डोमेन और फ़ील्ड में। प्रपत्र में [[डेल्टा समारोह]] का उपयोग करके फलन लिखना
मान लीजिए हमारे पास एक वेक्टर फलन है <math>\mathbf{F}(\mathbf{r})</math> जिनमें से हम कर्ल जानते है, <math>\nabla\times\mathbf{F}</math>, और विचलन, <math>\nabla\cdot\mathbf{F}</math>, सीमा पर डोमेन और क्षेत्र में होता है। प्रपत्र में [[डेल्टा समारोह|डेल्टा फलन]] का उपयोग करके फलन है
<math display="block">\delta^3(\mathbf{r}-\mathbf{r}')=-\frac 1 {4\pi} \nabla^2 \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\, ,</math>
<math display="block">\delta^3(\mathbf{r}-\mathbf{r}')=-\frac 1 {4\pi} \nabla^2 \frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}\, ,</math>
कहाँ <math>\nabla^2:=\nabla\cdot\nabla</math> लाप्लास ऑपरेटर है, हमारे पास है
जहाँ <math>\nabla^2:=\nabla\cdot\nabla</math> लाप्लास ऑपरेटर है, हमारे पास है  


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Line 50: Line 52:
\mathbf{a}\times\nabla\psi &=\psi(\nabla\times\mathbf{a})-\nabla \times (\psi\mathbf{a})
\mathbf{a}\times\nabla\psi &=\psi(\nabla\times\mathbf{a})-\nabla \times (\psi\mathbf{a})
\end{align}</math>
\end{align}</math>
हम पाते हैं
हम प्राप्त करते है
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\mathbf{F}(\mathbf{r})=-\frac{1}{4\pi}\bigg[
\mathbf{F}(\mathbf{r})=-\frac{1}{4\pi}\bigg[
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- \int_{V}\nabla'\times\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)\bigg].
- \int_{V}\nabla'\times\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'\right)\bigg].
\end{align}</math>
\end{align}</math>
[[विचलन प्रमेय]] के लिए धन्यवाद समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है
[[विचलन प्रमेय|विचलन सिद्धांत]] के लिए समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है


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== '''परिभाषित''' ==
== '''परिभाषित''' ==
 
<math display="block">\Phi(\mathbf{r})\equiv\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\nabla'\cdot\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'-\frac{1}{4\pi}\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\cdot\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S'</math><math display="block">\mathbf{A}(\mathbf{r})\equiv\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\nabla'\times\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'-\frac{1}{4\pi}\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\times\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S'</math>हम अंत में प्राप्त करते है
== <math display="block">\Phi(\mathbf{r})\equiv\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\nabla'\cdot\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'-\frac{1}{4\pi}\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\cdot\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S'</math>
<math display="block">\mathbf{A}(\mathbf{r})\equiv\frac{1}{4\pi}\int_{V}\frac{\nabla'\times\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'-\frac{1}{4\pi}\oint_{S}\mathbf{\hat{n}}'\times\frac{\mathbf{F}\left(\mathbf{r}'\right)}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}S'</math> ==
हम अंत में प्राप्त करते हैं
<math display="block">\mathbf{F}=-\nabla\Phi+\nabla\times\mathbf{A}.</math>
<math display="block">\mathbf{F}=-\nabla\Phi+\nabla\times\mathbf{A}.</math>
=== उच्च आयामों के लिए सामान्यीकरण ===
=== उच्च आयामों के लिए सामान्यीकरण ===


में एक <math>d</math>-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष के साथ <math>d\neq 3</math>, <math display="inline">-\frac{1}{4\pi\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}</math> उचित ग्रीन के कार्य द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए # लाप्लासियन के लिए ग्रीन के कार्य
एक <math>d</math>-आयामी वेक्टर समष्टि के साथ <math>d\neq 3</math>, <math display="inline">-\frac{1}{4\pi\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}</math> उचित ग्रीन के कार्य द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए लाप्लासियन के लिए ग्रीन के कार्य करता है
<math display="block">
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\nabla^2 G(\mathbf{r},\mathbf{r}') = \frac{\partial}{\partial r_\mu}\frac{\partial}{\partial r_\mu}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') = \delta^d(\mathbf{r}-\mathbf{r}')
\nabla^2 G(\mathbf{r},\mathbf{r}') = \frac{\partial}{\partial r_\mu}\frac{\partial}{\partial r_\mu}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') = \delta^d(\mathbf{r}-\mathbf{r}')
</math>
</math>
जहां इंडेक्स के लिए [[आइंस्टीन संकेतन]] का उपयोग किया जाता है <math>\mu</math>. उदाहरण के लिए, <math display="inline">G(\mathbf{r},\mathbf{r}')=\frac{1}{2\pi}\ln\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|</math> 2डी में।
जहां इंडेक्स के लिए [[आइंस्टीन संकेतन]] का उपयोग किया जाता है <math>\mu</math>. उदाहरण के लिए, <math display="inline">G(\mathbf{r},\mathbf{r}')=\frac{1}{2\pi}\ln\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|</math> 2डी।


ऊपर दिए गए चरणों का पालन करके हम लिख सकते हैं
ऊपर दिए गए चरणों का पालन करके हम लिख सकते है
<math display="block">
<math display="block">
F_\mu(\mathbf{r}) = \int_V F_\mu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\mu}\frac{\partial}{\partial r_\mu}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}'
F_\mu(\mathbf{r}) = \int_V F_\mu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\mu}\frac{\partial}{\partial r_\mu}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}'
  = \delta_{\mu\nu}\delta_{\rho\sigma}\int_V F_\nu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\rho}\frac{\partial}{\partial r_\sigma}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}'
  = \delta_{\mu\nu}\delta_{\rho\sigma}\int_V F_\nu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\rho}\frac{\partial}{\partial r_\sigma}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}'
</math>
</math>
कहाँ <math>\delta_{\mu\nu}</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] है (और योग सम्मेलन फिर से उपयोग किया जाता है)। ऊपर प्रयुक्त वेक्टर लाप्लासियन की परिभाषा के स्थान पर, अब हम लेवी-सिविता प्रतीक के लिए एक पहचान का उपयोग करते हैं <math>\varepsilon</math>,
जहाँ <math>\delta_{\mu\nu}</math> [[क्रोनकर डेल्टा]] है (और योग सम्मेलन फिर से उपयोग किया जाता है)। ऊपर प्रयुक्त वेक्टर लाप्लासियन की परिभाषा के स्थान पर, अब हम लेवी-सिविता प्रतीक के लिए एक पहचान का उपयोग करते है <math>\varepsilon</math>,
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\varepsilon_{\alpha\mu\rho}\varepsilon_{\alpha\nu\sigma} = (d-2)!(\delta_{\mu\nu}\delta_{\rho\sigma} - \delta_{\mu\sigma}\delta_{\nu\rho})
\varepsilon_{\alpha\mu\rho}\varepsilon_{\alpha\nu\sigma} = (d-2)!(\delta_{\mu\nu}\delta_{\rho\sigma} - \delta_{\mu\sigma}\delta_{\nu\rho})
</math>
</math>
जो में मान्य है <math>d\ge 2</math> आयाम, कहाँ <math>\alpha</math> एक है <math>(d-2)</math>-कंपोनेंट [[मल्टी-इंडेक्स नोटेशन]] | मल्टी-इंडेक्स। यह देता है
जो में मान्य है <math>d\ge 2</math> आयाम, जहाँ <math>\alpha</math> एक है <math>(d-2)</math>-कंपोनेंट [[मल्टी-इंडेक्स नोटेशन]] यह देता है
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F_\mu(\mathbf{r}) = \delta_{\mu\sigma}\delta_{\nu\rho}\int_V F_\nu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\rho}\frac{\partial}{\partial r_\sigma}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}'
F_\mu(\mathbf{r}) = \delta_{\mu\sigma}\delta_{\nu\rho}\int_V F_\nu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\rho}\frac{\partial}{\partial r_\sigma}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}'
+ \frac{1}{(d-2)!}\varepsilon_{\alpha\mu\rho}\varepsilon_{\alpha\nu\sigma} \int_V F_\nu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\rho}\frac{\partial}{\partial r_\sigma}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}'
+ \frac{1}{(d-2)!}\varepsilon_{\alpha\mu\rho}\varepsilon_{\alpha\nu\sigma} \int_V F_\nu(\mathbf{r}') \frac{\partial}{\partial r_\rho}\frac{\partial}{\partial r_\sigma}G(\mathbf{r},\mathbf{r}') \,\mathrm{d}^d \mathbf{r}'
</math>
</math>
इसलिए हम लिख सकते हैं
इसलिए हम लिख सकते है
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<math display="block">
F_\mu(\mathbf{r}) = -\frac{\partial}{\partial r_\mu} \Phi(\mathbf{r}) + \varepsilon_{\mu\rho\alpha}\frac{\partial}{\partial r_\rho} A_{\alpha}(\mathbf{r})
F_\mu(\mathbf{r}) = -\frac{\partial}{\partial r_\mu} \Phi(\mathbf{r}) + \varepsilon_{\mu\rho\alpha}\frac{\partial}{\partial r_\rho} A_{\alpha}(\mathbf{r})
</math>
</math>
कहाँ
जहाँ
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\begin{aligned}
Line 178: Line 175:
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</math>
ध्यान दें कि वेक्टर क्षमता को रैंक से बदल दिया जाता है-<math>(d-2)</math> टेंसर इन <math>d</math> आयाम।
ध्यान दें कि वेक्टर क्षमता को रैंक से बदल दिया जाता है-<math>(d-2)</math> टेंसर इन <math>d</math> आयाम है।


कई गुना अधिक सामान्यीकरण के लिए, [[हॉज अपघटन]] हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन#विभेदक रूपों की चर्चा देखें।
कई गुना अधिक सामान्यीकरण के लिए, [[हॉज अपघटन]] हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन विभेदक रूपों की चर्चा देखें।


=== फूरियर रूपांतरण से एक अन्य व्युत्पत्ति ===
=== फूरियर रूपांतरण से एक अन्य व्युत्पत्ति ===
ध्यान दें कि यहां बताए गए प्रमेय में हमने यह शर्त लगाई है कि यदि <math>\mathbf{F}</math> एक बाध्य डोमेन पर परिभाषित नहीं है, तब <math>\mathbf{F}</math> से भी तेज क्षय होगा <math>1/r</math>. इस प्रकार, का फूरियर रूपांतरण <math>\mathbf{F}</math>, इस रूप में घोषित किया गया <math>\mathbf{G}</math>, होने की गारंटी है। हम सम्मेलन लागू करते हैं
ध्यान दें कि यहां बताए गए सिद्धांत में हमने यह निश्चित किया है कि यदि <math>\mathbf{F}</math> एक बाध्य डोमेन पर परिभाषित नहीं है, तब <math>\mathbf{F}</math> से भी तेज क्षय होगा <math>1/r</math>. इस प्रकार, का फूरियर रूपांतरण <math>\mathbf{F}</math>, रूप में दर्शाया गया है <math>\mathbf{G}</math>, के अधिपत्रित होने पर हम औपचारिक समझौता लागू करते है।
<math display="block">\mathbf{F}(\mathbf{r}) = \iiint \mathbf{G}(\mathbf{k}) e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} dV_k </math>
<math display="block">\mathbf{F}(\mathbf{r}) = \iiint \mathbf{G}(\mathbf{k}) e^{i\mathbf{k} \cdot \mathbf{r}} dV_k </math>
एक अदिश क्षेत्र का फूरियर रूपांतरण एक अदिश क्षेत्र है, और सदिश क्षेत्र का फूरियर रूपांतरण समान आयाम का एक सदिश क्षेत्र है।
एक अदिश क्षेत्र का फूरियर रूपांतरण एक अदिश क्षेत्र है, और सदिश क्षेत्र का फूरियर रूपांतरण समान आयाम का एक सदिश क्षेत्र है।


अब निम्नलिखित अदिश और सदिश क्षेत्रों पर विचार करें:
अब निम्नलिखित अदिश और सदिश क्षेत्रों पर विचार करें:<math display="block">\begin{align}
<math display="block">\begin{align}
G_\Phi(\mathbf{k}) &= i \frac{\mathbf{k} \cdot \mathbf{G}(\mathbf{k})}{\|\mathbf{k}\|^2} \\
G_\Phi(\mathbf{k}) &= i \frac{\mathbf{k} \cdot \mathbf{G}(\mathbf{k})}{\|\mathbf{k}\|^2} \\
\mathbf{G}_\mathbf{A}(\mathbf{k}) &= i \frac{\mathbf{k} \times \mathbf{G}(\mathbf{k})}{\|\mathbf{k}\|^2}  \\ [8pt]
\mathbf{G}_\mathbf{A}(\mathbf{k}) &= i \frac{\mathbf{k} \times \mathbf{G}(\mathbf{k})}{\|\mathbf{k}\|^2}  \\ [8pt]
Line 202: Line 198:
\end{align}</math>
\end{align}</math>


=== '''निर्धारित विचलन और कर्ल के साथ क्षेत्र''' ===
शब्द "हेल्महोल्ट्ज़ सिद्धांत" निम्नलिखित का भी उल्लेख कर सकता है। मान लीजिए कि '''C''' एक परिनालिका सदिश क्षेत्र है और '''R'''<sup>3</sup> पर एक अदिश क्षेत्र है जो पर्याप्त रूप से समतल है और जो अनंत पर 1/''r''<sup>2</sup> से अधिक तेजी से लुप्‍त हो जाते है। फिर एक सदिश क्षेत्र '''F''' में सम्मलित होते है जैसे कि:<math display="block">\nabla \cdot \mathbf{F} = d \quad \text{ and } \quad \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{C};</math>
यदि अतिरिक्त सदिश क्षेत्र {{math|'''F'''}} के रूप में लुप्‍त हो जाता है {{math|''r'' → ∞}}, तो F अद्वितीय हो जाते है।<ref name="griffiths" />


== निर्धारित विचलन और कर्ल == के साथ फ़ील्ड
दूसरे शब्दों में, एक सदिश क्षेत्र निर्दिष्ट विचलन और निर्दिष्ट कर्ल दोनों के साथ बनाया जा सकता है, और यदि यह अनंत पर भी लुप्‍त हो जाता है, तो यह विशिष्ट रूप से इसके विचलन और कर्ल द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। स्थिर वैद्युत विक्षेप में इस सिद्धांत का बहुत महत्व है, क्योंकि स्थिर स्थितियों में विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के लिए मैक्सवेल के समीकरण ठीक इसी प्रकार के है।<ref name="griffiths" /> प्रमाण रूप निर्माण द्वारा ऊपर दिए गए एक को सामान्य करता है: हम सेट करते है।
हेल्महोल्ट्ज़ प्रमेय शब्द निम्नलिखित का भी उल्लेख कर सकता है। होने देना {{math|'''C'''}} एक परिनालिका सदिश क्षेत्र हो और d एक अदिश क्षेत्र हो {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} जो पर्याप्त रूप से चिकने होते हैं और जो तेजी से गायब हो जाते हैं {{math|1/''r''<sup>2</sup>}} अनंत पर। फिर एक सदिश क्षेत्र मौजूद है {{math|'''F'''}} ऐसा है कि
 
<math display="block">\nabla \cdot \mathbf{F} = d \quad \text{ and } \quad \nabla \times \mathbf{F} = \mathbf{C};</math>
यदि अतिरिक्त वेक्टर क्षेत्र {{math|'''F'''}} के रूप में गायब हो जाता है {{math|''r'' → ∞}}, तब {{math|'''F'''}} निराला है।<ref name="griffiths"/>
 
दूसरे शब्दों में, एक वेक्टर फ़ील्ड निर्दिष्ट विचलन और निर्दिष्ट कर्ल दोनों के साथ बनाया जा सकता है, और यदि यह अनंत पर भी गायब हो जाता है, तो यह विशिष्ट रूप से इसके विचलन और कर्ल द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। [[इलेक्ट्रोस्टाटिक्स]] में इस प्रमेय का बहुत महत्व है, क्योंकि स्थिर मामले में विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के लिए मैक्सवेल के समीकरण ठीक इसी प्रकार के हैं।<ref name="griffiths"/>सबूत एक निर्माण द्वारा ऊपर दिए गए एक को सामान्य करता है: हम सेट करते हैं


<math display="block">\mathbf{F} = - \nabla(\mathcal{G} (d)) + \nabla \times (\mathcal{G}(\mathbf{C})),</math>
<math display="block">\mathbf{F} = - \nabla(\mathcal{G} (d)) + \nabla \times (\mathcal{G}(\mathbf{C})),</math>
कहाँ <math>\mathcal{G}</math> न्यूटोनियन संभावित ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है। (जब सदिश क्षेत्र पर अभिनय करते हैं, जैसे {{math|∇ × '''F'''}}, इसे प्रत्येक घटक पर कार्य करने के लिए परिभाषित किया गया है।)
जहाँ <math>\mathcal{G}</math> न्यूटोनियन संभावित ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है। (जब सदिश क्षेत्र पर कार्य करते है, जैसे {{math|∇ × '''F'''}}, तो इसे प्रत्येक घटक पर कार्य करने के लिए परिभाषित किया जाता है।)


== समाधान स्थान ==
== समाधान स्थान ==
दो हेल्महोल्ट्ज़ अपघटनों के लिए <math>(\Phi_1, {\mathbf A_1})</math> <math>(\Phi_2, {\mathbf A_2})</math> का <math>\mathbf F</math>, वहाँ रखती है
दो हेल्महोल्ट्ज़ अपघटनों के लिए <math>(\Phi_1, {\mathbf A_1})</math> <math>(\Phi_2, {\mathbf A_2})</math> का <math>\mathbf F</math>, वहाँ रखती है
:<math>\Phi_1-\Phi_2 = \lambda,\quad {\mathbf{A}_1 - \mathbf{A}_2} ={\mathbf A}_\lambda + \nabla \varphi,</math>
:<math>\Phi_1-\Phi_2 = \lambda,\quad {\mathbf{A}_1 - \mathbf{A}_2} ={\mathbf A}_\lambda + \nabla \varphi,</math>
:कहाँ
:जहाँ
:* <math> \lambda</math> एक [[हार्मोनिक फ़ंक्शन|हार्मोनिक फलन]] है,
:* <math> \lambda</math> एक [[हार्मोनिक फ़ंक्शन|हार्मोनिक फलन]] है,
:* <math> {\mathbf A}_\lambda </math> द्वारा निर्धारित एक सदिश क्षेत्र है <math>\lambda</math>,
:* <math> {\mathbf A}_\lambda </math> द्वारा निर्धारित एक सदिश क्षेत्र है <math>\lambda</math>,
:* <math> \varphi </math> कोई अदिश क्षेत्र है।
:* <math> \varphi </math> कोई अदिश क्षेत्र है।


सबूत:
प्रमाण सेटिंग <math>\lambda = \Phi_2 -  \Phi_1</math> और <math>{\mathbf B = A_2 - A_1}</math>,
सेटिंग <math>\lambda = \Phi_2 -  \Phi_1</math> और <math>{\mathbf B = A_2 - A_1}</math>, एक के अनुसार है
 
हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन की परिभाषा,
हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन की परिभाषा,
:<math> -\nabla \lambda + \nabla \times \mathbf B = 0 </math>.
:<math> -\nabla \lambda + \nabla \times \mathbf B = 0 </math>.
Line 229: Line 222:
  <math>\nabla^2 \lambda = 0</math>, इस तरह <math>\lambda</math> हार्मोनिक है।
  <math>\nabla^2 \lambda = 0</math>, इस तरह <math>\lambda</math> हार्मोनिक है।


इसके विपरीत, कोई हार्मोनिक फलन दिया गया है <math>\lambda</math>,
इसके विपरीत, कोई हार्मोनिक फलन दिया गया है <math>\lambda</math>,<math>\nabla \lambda </math> के बाद से परिनालिकीय होता है
<math>\nabla \lambda </math> के बाद से solenoidal है
:<math>\nabla\cdot (\nabla \lambda) = \nabla^2 \lambda = 0.</math>
:<math>\nabla\cdot (\nabla \lambda) = \nabla^2 \lambda = 0.</math>
इस प्रकार, उपरोक्त खंड के अनुसार, एक सदिश क्षेत्र मौजूद है <math>{\mathbf A}_\lambda</math> ऐसा है कि
इस प्रकार, उपरोक्त खंड के अनुसार, एक सदिश क्षेत्र सम्मलित है <math>{\mathbf A}_\lambda</math> ऐसा है कि <math>\nabla \lambda = \nabla\times {\mathbf A}_\lambda</math>.
<math>\nabla \lambda = \nabla\times {\mathbf A}_\lambda</math>.
अगर <math>{\mathbf A'}_\lambda</math> एक और ऐसा सदिश क्षेत्र है, तब <math>\mathbf C = {\mathbf A}_\lambda -  {\mathbf A'}_\lambda</math> पूरा <math>\nabla \times {\mathbf C} = 0</math>, इस तरह <math>C = \nabla \varphi</math> कुछ अदिश क्षेत्र के लिए <math>\varphi</math> (और इसके विपरीत) होता है।
अगर <math>{\mathbf A'}_\lambda</math> एक और ऐसा सदिश क्षेत्र है,
तब <math>\mathbf C = {\mathbf A}_\lambda -  {\mathbf A'}_\lambda</math> पूरा <math>\nabla \times {\mathbf C} = 0</math>, इस तरह <math>C = \nabla \varphi</math>
कुछ अदिश क्षेत्र के लिए <math>\varphi</math> (और इसके विपरीत)


== विभेदक रूप ==
== विभेदक रूप ==
हॉज अपघटन हॉज अपघटन हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन से निकटता से संबंधित है, आर पर वेक्टर क्षेत्रों से सामान्यीकरण<sup>3</sup> [[रीमैनियन कई गुना]] एम पर [[विभेदक रूप]]ों के लिए। हॉज अपघटन के अधिकांश योगों के लिए एम को [[ कॉम्पैक्ट जगह ]] होना आवश्यक है।<ref>{{cite journal| jstor=2695643| title=Vector Calculus and the Topology of Domains in 3-Space| first1=Jason |last1=Cantarella |first2=Dennis |last2=DeTurck | first3=Herman|last3=Gluck|journal=The American Mathematical Monthly|volume=109|issue=5|year=2002 |pages=409–442 | doi=10.2307/2695643 }}</ref> चूँकि यह R के लिए सत्य नहीं है<sup>3</sup>, हॉज अपघटन प्रमेय सख्ती से हेल्महोल्ट्ज़ प्रमेय का सामान्यीकरण नहीं है। हालांकि, हॉज अपघटन के सामान्य निर्माण में कॉम्पैक्टनेस प्रतिबंध को हेल्महोल्ट्ज़ प्रमेय का उचित सामान्यीकरण देते हुए, अंतर रूपों पर अनंत में उपयुक्त क्षय धारणाओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
हॉज अपघटन हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन से निकटता से संबंधित है, R<sup>3</sup> पर सदिश क्षेत्रों से सामान्यीकरण [[रीमैनियन कई गुना]] एम पर [[विभेदक रूप|विभेदक रूपों]] के लिए होता है। हॉज अपघटन के अधिकांश योगों के लिए एम को [[ कॉम्पैक्ट जगह |कॉम्पैक्ट जगह]] होना आवश्यक है।<ref>{{cite journal| jstor=2695643| title=Vector Calculus and the Topology of Domains in 3-Space| first1=Jason |last1=Cantarella |first2=Dennis |last2=DeTurck | first3=Herman|last3=Gluck|journal=The American Mathematical Monthly|volume=109|issue=5|year=2002 |pages=409–442 | doi=10.2307/2695643 }}</ref> चूँकि यह R<sup>3</sup> के लिए सत्य नहीं है, हॉज अपघटन सिद्धांत सख्ती से हेल्महोल्ट्ज़ सिद्धांत का सामान्यीकरण नहीं है। चूँकि, हॉज अपघटन के सामान्य निर्माण में कॉम्पैक्टनेस प्रतिबंध को हेल्महोल्ट्ज़ सिद्धांत का उचित सामान्यीकरण देते हुए, अंतर रूपों पर अनंत में उपयुक्त क्षय धारणाओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।


== कमजोर सूत्रीकरण ==
== कमजोर सूत्रीकरण ==
हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन को भी नियमितता मान्यताओं (मजबूत डेरिवेटिव के अस्तित्व की आवश्यकता) को कम करके सामान्यीकृत किया जा सकता है। कल्पना करना {{math|Ω}} एक सीमित, आसानी से जुड़ा हुआ, [[लिपशिट्ज डोमेन]] है। प्रत्येक वर्ग-पूर्णांक सदिश क्षेत्र {{math|'''u''' ∈ (''L''<sup>2</sup>(Ω))<sup>3</sup>}} में [[ओर्थोगोनालिटी]] अपघटन है:
हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन को भी नियमितता मान्यताओं (प्रबल व्युत्पन्न के अस्तित्व की आवश्यकता) को कम करके सामान्यीकृत किया जा सकता है। मान लीजिये {{math|Ω}} एक परिबद्ध, एक परिबद्ध, सरलता से समाहित हुआ होता है, [[लिपशिट्ज डोमेन]] है। प्रत्येक वर्ग-पूर्णांक सदिश क्षेत्र {{math|'''u''' ∈ (''L''<sup>2</sup>(Ω))<sup>3</sup>}} में [[ओर्थोगोनालिटी]] अपघटन होता है:


<math display="block">\mathbf{u}=\nabla\varphi+\nabla \times \mathbf{A}</math>
<math display="block">\mathbf{u}=\nabla\varphi+\nabla \times \mathbf{A}</math>
कहाँ {{mvar|φ}} सोबोलेव अंतरिक्ष में है {{math|''H''<sup>1</sup>(Ω)}} स्क्वायर-इंटीग्रेबल फ़ंक्शंस पर {{math|Ω}} जिसका आंशिक डेरिवेटिव [[वितरण (गणित)]] अर्थ में परिभाषित वर्ग पूर्णांक हैं, और {{math|'''A''' ∈ ''H''(curl, Ω)}}, वर्ग समाकलनीय कर्ल के साथ वर्ग समाकलनीय सदिश क्षेत्रों से युक्त सदिश क्षेत्रों का सोबोलेव स्थान।
जहाँ {{mvar|φ}} पर वर्ग- समाकलनीय फलन के सोबोलेफ समष्टि {{math|''H''<sup>1</sup>(Ω)}} जिसका आंशिक साधित वितरण सेंस में परिभाषित किया गया है, और {{math|'''A''' ∈ ''H''(curl, Ω)}}, वर्ग समाकलनीय कर्ल के साथ वर्ग समाकलनीय सदिश क्षेत्रों से युक्त सदिश क्षेत्रों का सोबोलेफ समष्टि होता है।


थोड़े चिकने सदिश क्षेत्र के लिए {{math|'''u''' ∈ ''H''(curl, Ω)}}, एक समान अपघटन धारण करता है:
थोड़े समतल सदिश क्षेत्र के लिए {{math|'''u''' ∈ ''H''(curl, Ω)}}, एक समान अपघटन धारण करता है:


<math display="block">\mathbf{u}=\nabla\varphi+\mathbf{v}</math>
<math display="block">\mathbf{u}=\nabla\varphi+\mathbf{v}</math>
कहाँ {{math|''φ'' ∈ ''H''<sup>1</sup>(Ω), '''v''' ∈ (''H''<sup>1</sup>(Ω))<sup>''d''</sup>}}.
जहाँ {{math|''φ'' ∈ ''H''<sup>1</sup>(Ω), '''v''' ∈ (''H''<sup>1</sup>(Ω))<sup>''d''</sup>}}.


== अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ क्षेत्र ==
== अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ क्षेत्र ==
भौतिकी में अक्सर इस्तेमाल की जाने वाली शब्दावली सदिश क्षेत्र के कर्ल-मुक्त घटक को अनुदैर्ध्य घटक के रूप में और अनुप्रस्थ घटक के रूप में विचलन-मुक्त घटक को संदर्भित करती है।<ref>[https://arxiv.org/abs/0801.0335 Stewart, A. M.; Longitudinal and transverse components of a vector field, Sri Lankan Journal of Physics 12, 33–42 (2011)]</ref> यह शब्दावली निम्नलिखित निर्माण से आती है: त्रि-आयामी [[फूरियर रूपांतरण]] की गणना करें <math>\hat\mathbf{F}</math> वेक्टर क्षेत्र का <math>\mathbf{F}</math>. फिर इस क्षेत्र को प्रत्येक बिंदु k पर दो घटकों में विघटित करें, जिनमें से एक अनुदैर्ध्य रूप से बिंदु है, अर्थात k के समानांतर, दूसरा अनुप्रस्थ दिशा में इंगित करता है, अर्थात k के लंबवत। अब तक, हमारे पास है
भौतिकी में अधिकांशतः उपयोग की जाने वाली शब्दावली सदिश क्षेत्र के कर्ल-मुक्त घटक को अनुदैर्ध्य घटक के रूप में और अपसरण-मुक्त घटक को अनुप्रस्थ घटक के रूप में संदर्भित करती है।<ref>[https://arxiv.org/abs/0801.0335 Stewart, A. M.; Longitudinal and transverse components of a vector field, Sri Lankan Journal of Physics 12, 33–42 (2011)]</ref> यह शब्दावली निम्नलिखित निर्माण से आती है: त्रि-आयामी फूरियर रूपांतरण की गणना करता है <math>\hat\mathbf{F}</math> सदिश क्षेत्र का <math>\mathbf{F}</math>. फिर इस क्षेत्र को प्रत्येक बिंदु k पर दो घटकों में विघटित करता है, जिनमें से एक अनुदैर्ध्य रूप से बिंदु है, अर्थात k के समानांतर, दूसरा अनुप्रस्थ दिशा में इंगित करता है, अर्थात k के लंबवत होता है। जहाँ तक, हमारे पास है


<math display="block">\hat\mathbf{F} (\mathbf{k}) = \hat\mathbf{F}_t (\mathbf{k}) + \hat\mathbf{F}_l (\mathbf{k})</math>
<math display="block">\hat\mathbf{F} (\mathbf{k}) = \hat\mathbf{F}_t (\mathbf{k}) + \hat\mathbf{F}_l (\mathbf{k})</math>
<math display="block">\mathbf{k} \cdot \hat\mathbf{F}_t(\mathbf{k}) = 0.</math>
<math display="block">\mathbf{k} \cdot \hat\mathbf{F}_t(\mathbf{k}) = 0.</math>
<math display="block">\mathbf{k} \times \hat\mathbf{F}_l(\mathbf{k}) = \mathbf{0}.</math>
<math display="block">\mathbf{k} \times \hat\mathbf{F}_l(\mathbf{k}) = \mathbf{0}.</math>
अब हम इनमें से प्रत्येक घटक के लिए एक व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण लागू करते हैं। फूरियर रूपांतरण के गुणों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं:
अब हम इनमें से प्रत्येक घटक के लिए एक व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण लागू करते है। फूरियर रूपांतरण के गुणों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते है:


<math display="block">\mathbf{F}(\mathbf{r}) = \mathbf{F}_t(\mathbf{r})+\mathbf{F}_l(\mathbf{r})</math>
<math display="block">\mathbf{F}(\mathbf{r}) = \mathbf{F}_t(\mathbf{r})+\mathbf{F}_l(\mathbf{r})</math><math display="block">\nabla \cdot \mathbf{F}_t (\mathbf{r}) = 0</math><math display="block">\nabla \times \mathbf{F}_l (\mathbf{r}) = \mathbf{0}</math>
<math display="block">\nabla \cdot \mathbf{F}_t (\mathbf{r}) = 0</math>
उपरान्त <math>\nabla\times(\nabla\Phi)=0</math> और <math>\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0</math>,
<math display="block">\nabla \times \mathbf{F}_l (\mathbf{r}) = \mathbf{0}</math>
तब से <math>\nabla\times(\nabla\Phi)=0</math> और <math>\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{A})=0</math>,


हम प्राप्त कर सकते हैं
हम प्राप्त करते है


<math display="block">\mathbf{F}_t=\nabla\times\mathbf{A}=\frac{1}{4\pi}\nabla\times\int_V\frac{\nabla'\times\mathbf{F}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'</math>
<math display="block">\mathbf{F}_t=\nabla\times\mathbf{A}=\frac{1}{4\pi}\nabla\times\int_V\frac{\nabla'\times\mathbf{F}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'</math>
<math display="block">\mathbf{F}_l=-\nabla\Phi=-\frac{1}{4\pi}\nabla\int_V\frac{\nabla'\cdot\mathbf{F}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'</math>
<math display="block">\mathbf{F}_l=-\nabla\Phi=-\frac{1}{4\pi}\nabla\int_V\frac{\nabla'\cdot\mathbf{F}}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}'\right|}\mathrm{d}V'</math>
तो यह वास्तव में हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन है।<ref>[http://bohr.physics.berkeley.edu/classes/221/1112/notes/hamclassemf.pdf Online lecture notes by Robert Littlejohn]</ref>
तो यह वास्तव में हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन होते है।<ref>[http://bohr.physics.berkeley.edu/classes/221/1112/notes/hamclassemf.pdf Online lecture notes by Robert Littlejohn]</ref>
 
 
== यह भी देखें ==
== यह भी देखें ==
* सदिश क्षेत्रों के संबंधित अपघटन के लिए क्लेबश प्रतिनिधित्व
* सदिश क्षेत्रों के संबंधित अपघटन के लिए क्लेबश प्रतिनिधित्व
Line 278: Line 263:
* अदिश-वेक्टर-टेंसर अपघटन
* अदिश-वेक्टर-टेंसर अपघटन
* हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन को सामान्य करने वाला [[हॉज सिद्धांत]]
* हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन को सामान्य करने वाला [[हॉज सिद्धांत]]
* ध्रुवीय गुणनखंड प्रमेय
* ध्रुवीय गुणनखंड सिद्धांत
* [[लेरे प्रक्षेपण]] को परिभाषित करने के लिए हेल्महोल्ट्ज़-लेरे अपघटन का उपयोग किया गया
* [[लेरे प्रक्षेपण]] को परिभाषित करने के लिए हेल्महोल्ट्ज़-लेरे अपघटन का उपयोग किया गया


Line 309: Line 294:
{{Authority control}}
{{Authority control}}


{{DEFAULTSORT:Helmholtz Decomposition}}[[Category: वेक्टर पथरी]] [[Category: विश्लेषण में प्रमेय]] [[Category: विश्लेषणात्मक ज्यामिति]] [[Category: हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़]] [[Category: पथरी में प्रमेय]]
{{DEFAULTSORT:Helmholtz Decomposition}}
 
 


[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 24/03/2023|Helmholtz Decomposition]]
[[Category:Created On 24/03/2023]]
[[Category:Lua-based templates|Helmholtz Decomposition]]
[[Category:Machine Translated Page|Helmholtz Decomposition]]
[[Category:Pages with script errors|Helmholtz Decomposition]]
[[Category:Templates Vigyan Ready|Helmholtz Decomposition]]
[[Category:Templates that add a tracking category|Helmholtz Decomposition]]
[[Category:Templates that generate short descriptions|Helmholtz Decomposition]]
[[Category:Templates using TemplateData|Helmholtz Decomposition]]
[[Category:पथरी में प्रमेय|Helmholtz Decomposition]]
[[Category:विश्लेषण में प्रमेय|Helmholtz Decomposition]]
[[Category:विश्लेषणात्मक ज्यामिति|Helmholtz Decomposition]]
[[Category:वेक्टर पथरी|Helmholtz Decomposition]]
[[Category:हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़|Helmholtz Decomposition]]

Latest revision as of 18:35, 20 April 2023

भौतिकी और गणित में, वेक्टर कैलकुलस के क्षेत्र में, हेल्महोल्ट्ज़ सिद्धांत,[1][2] जिसे वेक्टर कैलकुलस के मौलिक सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है,[3][4][5][6][7][8][9] यह बताता है कि किसी भी पर्याप्त रूप से समतल, तेजी से क्षय करने वाले वेक्टर क्षेत्र को तीन आयामों में एक अघूर्णनी (कर्ल-मुफ्त) सदिश क्षेत्र और परिनालिकीय क्षेत्र (विचलन-मुफ्त) सदिश क्षेत्र के योग में हल किया जा सकता है, इसे हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन या हेल्महोल्ट्ज़ प्रतिनिधित्व के रूप में जाना जाता है। इसका नाम हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़ के नाम पर रखा गया है।[10]

जैसा कि एक अघूर्णी सदिश क्षेत्र में एक अदिश क्षमता होती है और एक परिनालिकीय सदिश क्षेत्र में सदिश क्षमता होती है, हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन बताता है कि सदिश क्षेत्र (उचित समतल और क्षय की स्थिति को संतुष्ट करते हुए) को योग के रूप में विघटित किया जा सकता है ,

जहाँ अदिश क्षेत्र होते है उसे अदिश विभव कहा जाता है, और A एक सदिश क्षेत्र है, जिसे सदिश विभव कहा जाता है।

सिद्धांत का कथन

एक बंधे हुए डोमेन पर एक सदिश क्षेत्र पर , जो अंदर से दो बार लगातार भिन्न होता है , और जाने वह सतह हो जो डोमेन को घेरती है . तब कर्ल-मुक्त घटक और विचलन-मुक्त घटक में विघटित किया जा सकता है:[11]

जहाँ
और के संबंध में संचालिका होता है , नहीं .

अगर और इसलिए असीमित है, और कम से कम उतनी ही तेजी से लुप्‍त हो जाता है जैसा , तो एक है[12]

यह विशेष रूप से अगर है में दो बार लगातार अवकलनीय है और सीमित समर्थन है।

व्युत्पत्ति

मान लीजिए हमारे पास एक वेक्टर फलन है जिनमें से हम कर्ल जानते है, , और विचलन, , सीमा पर डोमेन और क्षेत्र में होता है। प्रपत्र में डेल्टा फलन का उपयोग करके फलन है

जहाँ लाप्लास ऑपरेटर है, हमारे पास है

जहाँ हमने सदिश लाप्लासियन की परिभाषा का उपयोग किया है:
भेदभाव/एकीकरण के संबंध में द्वारा और अंतिम पंक्ति में, फलन तर्कों की रैखिकता:
फिर सदिश पहचान का उपयोग करना

हम प्राप्त करते है
विचलन सिद्धांत के लिए समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है