तनाव-ऊर्जा-संवेग स्यूडोटेन्सर: Difference between revisions

Latest revision as of 09:43, 21 April 2023

सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत में तनाव-ऊर्जा-संवेग स्यूडोटेन्सर या तनाव-ऊर्जा-संवेग छद्म प्रदिश लैंडौ-लाइफशिट्ज छद्म प्रदिश और गैर-गुरुत्वाकर्षण तनाव-ऊर्जा प्रदिश का एक विस्तार है जो गुरुत्वाकर्षण की ऊर्जा गति को सम्मिलित करता है यह गुरुत्वाकर्षण पदार्थ की एक प्रणाली की ऊर्जा-गति को परिभाषित करने की स्वीकृति देता है विशेष रूप से यह कुल पदार्थ और गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा संवेग को सामान्य सापेक्षता की संरचना के भीतर एक संरक्षित धारा बनाने की स्वीकृति देता है ताकि कुल ऊर्जा संवेग किसी भी संक्षिप्त स्थिति समय उच्च आयतन के ऊनविम पृष्ठ, 3-आयामी सीमा या 4-आयामी विविध मे समाप्त हो जाता है।

कुछ लोगों जैसे इरविन श्रोडिंगर^{[citation needed]} ने इस व्युत्पत्ति के आधार पर आपत्ति को साझा किया कि छद्म प्रदिश सामान्य सापेक्षता में अनुपयुक्त वस्तुएं हैं लेकिन संरक्षण नियम में केवल छद्म प्रदिश के 4-विचलन के उपयोग की आवश्यकता है जो कि इसमें स्थिति है एक प्रदिश जो समाप्त भी हो जाता है इसके अतिरिक्त, अधिकांश छद्म प्रदिश जेट समूहों के भाग हैं जिन्हें सामान्य सापेक्षता में पूरी तरह से स्वीकृत वस्तुओं के रूप में पहचाना जाता है।^{[by whom?]}

लैंडौ-लिफ्शिट्ज छद्म प्रदिश

संयुक्त पदार्थ (फोटॉन और न्यूट्रिनो सहित) के लिए तनाव-ऊर्जा-संवेग छद्म प्रदिश लैंडौ-लिफ्शिट्ज छद्म प्रदिश का उपयोग साथ ही गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा-संवेग संरक्षण नियमों को सामान्य सापेक्षता में विस्तारित करने की स्वीकृति देता है^[1] संयुक्त छद्म प्रदिश से पदार्थ तनाव ऊर्जा संवेग प्रदिश का घटाव गुरुत्वाकर्षण तनाव ऊर्जा संवेग छद्म प्रदिश में होता है।

आवश्यकताएँ

लेव डेविडोविच लैंडौ और एवगेनी मिखाइलोविच लाइफशिट्ज ने गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा संवेग छद्म प्रदिश $t_{LL}^{\mu \nu }\,$ की खोज में उनकी चार आवश्यकताओं का नेतृत्व किया गया था:^[1]

यह पूरी तरह से आव्यूह प्रदिश से निर्मित हो, ताकि मूल रूप से शुद्ध ज्यामितीय या गुरुत्वाकर्षण हो।
कोणीय गति को संरक्षित करने के लिए $t_{LL}^{\mu \nu }=t_{LL}^{\nu \mu }\,$ सूचकांक सममित हो।
जब पदार्थ के तनाव-ऊर्जा प्रदिश में $T^{\mu \nu }\,$ जोड़ा जाता है तब इसका कुल 4 भिन्नता समाप्त हो जाती है यह किसी भी संरक्षित धारा के लिए आवश्यक है ताकि हमारे पास कुल तनाव ऊर्जा संवेग के लिए एक संरक्षित अभिव्यक्ति हो।
यह संदर्भ के एक जड़त्वीय फ्रेम में स्थानीय रूप से समाप्त हो जाता है जिसके लिए आवश्यक है कि इसमें केवल पहला क्रम हो और आव्यूह का दूसरा या उच्च क्रम व्युत्पन्न न हो ऐसा इसलिए है क्योंकि तुल्यता सिद्धांत की आवश्यकता है कि गुरुत्वाकर्षण बल क्षेत्र, क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक स्थानीय रूप से कुछ फ़्रेमों में समाप्त हो जाएं यदि गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा इसके बल क्षेत्र का एक कार्य है जैसा कि अन्य बलों के लिए सामान्य है तो संबंधित गुरुत्वाकर्षण छद्म प्रदिश को भी स्थानीय रूप से समाप्त हो जाना चाहिए।

परिभाषा

लैंडौ-लिफ्शिट्ज ने दिखाया कि एक अद्वितीय निर्माण है जो इन आवश्यकताओं को पूर्ण करता है, अर्थात्

t_{LL}^{\mu \nu }=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}G^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}}{16\pi G(-g)}}\left((-g)\left(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }

जहाँ:

G^μν आइंस्टीन प्रदिश है जो आव्यूह से निर्मित है।
G^μν आव्यूह सदिश (सामान्य सापेक्षता) g_μν का व्युत्क्रम है।
g = det(g_μν) आव्यूह प्रदिश का निर्धारक है इसलिए g < 0, $-g$ के रूप में प्रकट होता है।
${\textstyle {}_{,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{\alpha }\partial x^{\beta }}}\,}$ आंशिक व्युत्पन्न हैं, सहसंयोजक व्युत्पन्न नहीं है।
G न्यूटन का गुरुत्वीय स्थिरांक है।

सत्यापन

4 आवश्यक शर्तों की जांच करने पर हम देख सकते हैं कि पहले 3 को प्रदर्शित करना अपेक्षाकृत आसान है:

चूंकि आइंस्टीन प्रदिश $G^{\mu \nu }\,$ आव्यूह से निर्मित है इसलिए $t_{LL}^{\mu \nu }$ है।
चूंकि आइंस्टीन प्रदिश $G^{\mu \nu }\,$ सममित है इसलिए $t_{LL}^{\mu \nu }$ अतिरिक्त शर्तों के निरीक्षण द्वारा सममित हैं।
लैंडौ-लिफ्शिट्ज छद्म प्रदिश का निर्माण इस प्रकार से किया गया है कि जब पदार्थ के तनाव-ऊर्जा प्रदिश में $T^{\mu \nu }\,$ जोड़ा जाता है तब इसकी कुल 4 भिन्नता समाप्त हो जाती है और $\left(\left(-g\right)\left(T^{\mu \nu }+t_{LL}^{\mu \nu }\right)\right)_{,\mu }=0$ आइंस्टीन प्रदिश के समाप्त होने के बाद $G^{\mu \nu }\,$ तनाव-ऊर्जा प्रदिश के साथ $T^{\mu \nu }\,$ आइंस्टीन समीकरणों द्वारा प्रतिसममित सूचियों पर प्रयुक्त आंशिक व्युत्पन्न की क्रम विनिमेयता के कारण शेष शब्द बीजगणितीय रूप से समाप्त हो जाते हैं।
लैंडौ-लिफ्शिट्ज छद्म प्रदिश आव्यूह में दूसरे व्युत्पन्न शब्दों को सम्मिलित करते हुए प्रतीत होता है लेकिन वास्तव में छद्म प्रदिश में स्पष्ट दूसरा व्युत्पन्न शब्द आइंस्टीन प्रदिश के भीतर निहित दूसरे व्युत्पन्न शब्दों $G^{\mu \nu }\,$ के साथ समाप्त हो जाता है तब यह अधिक स्पष्ट होता है जब छद्म प्रदिश को प्रत्यक्ष आव्यूह प्रदिश या लेवी-सिविटा संयुग्म के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है आव्यूह में केवल पहले व्युत्पन्न शब्द ही सम्मिलित रहते हैं और ये समाप्त हो जाते हैं जहां फ्रेम किसी भी चुने हुए बिंदु पर स्थानीय रूप से जड़त्वीय होता है जिसके परिणाम स्वरूप संपूर्ण छद्म प्रदिश स्थानीय रूप से समाप्त हो जाता है और पुनः किसी भी चुने हुए बिंदु $t_{LL}^{\mu \nu }=0$ पर गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा-संवेग के निरूपण को प्रदर्शित करता है।^[1]

ब्रह्मांडीकीय नियतांक

जब लैंडौ-लिफ्शिट्ज छद्म प्रदिश तैयार किया गया था तो सामान्यतः यह माना जाता था कि ब्रह्मांडीकीय नियतांक $\Lambda \,$ शून्य है वर्तमान मे हम यह धारणा नहीं बनाते हैं और अभिव्यक्ति $\Lambda$ को जोड़ने की आवश्यकता है माना कि

t_{LL}^{\mu \nu }=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}\left(G^{\mu \nu }+\Lambda g^{\mu \nu }\right)+{\frac {c^{4}}{16\pi G(-g)}}\left(\left(-g\right)\left(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }

आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के साथ संगति के लिए आवश्यक है।

आव्यूह और सजातीय संबंध संस्करण

लेव डेविडोविच लैंडौ और एवगेनी मिखाइलोविच लाइफशिट्ज भी लैंडौ-लिफ्शिट्ज छद्म प्रदिश के लिए दो समकक्ष लंबी अभिव्यक्तियाँ प्रदान करते हैं:

[LL-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 Lev Davidovich Landau and Evgeny Mikhailovich Lifshitz, The Classical Theory of Fields, (1951), Pergamon Press, ISBN 7-5062-4256-7 chapter 11, section #96

[2] Landau–Lifshitz equation 96.9

[3] Landau–Lifshitz equation 96.8

[4] Albert Einstein Das hamiltonisches Prinzip und allgemeine Relativitätstheorie (The Hamiltonian principle and general relativity). Sitzungsber. preuss. Acad. Wiss. 1916, 2, 1111–1116.

[5] Albert Einstein Der Energiesatz in der allgemeinen Relativitätstheorie. (An energy conservation law in general relativity). Sitzungsber. preuss. Acad. Wiss. 1918, 1, 448–459

[6] P.A.M.Dirac, General Theory of Relativity (1975), Princeton University Press, quick presentation of the bare essentials of GTR. ISBN 0-691-01146-X pages 61—63

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-[[सामान्य सापेक्षता]] के सिद्धांत में, एक तनाव-ऊर्जा-संवेग स्यूडोटेन्सर, जैसे कि लैंडौ-लाइफशिट्ज स्यूडोटेन्सर, गैर-गुरुत्वाकर्षण तनाव-ऊर्जा टेंसर का एक विस्तार है जो गुरुत्वाकर्षण की ऊर्जा-गति को शामिल करता है। यह गुरुत्वाकर्षण पदार्थ की एक प्रणाली की ऊर्जा-गति को परिभाषित करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से यह कुल पदार्थ और गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा-संवेग को सामान्य सापेक्षता के ढांचे के भीतर एक संरक्षित धारा बनाने की अनुमति देता है, ताकि ''कुल'' ऊर्जा-संवेग ''किसी भी'' की [[ऊनविम पृष्ठ]] (3-आयामी सीमा) को पार कर सके। '' कॉम्पैक्ट स्पेस-टाइम [[ अतिमात्रा ]] (4-आयामी सबमनीफोल्ड) गायब हो जाता है।
+[[सामान्य सापेक्षता]] के सिद्धांत में '''तनाव-ऊर्जा-संवेग स्यूडोटेन्सर''' या '''तनाव-ऊर्जा-संवेग छद्म प्रदिश''' लैंडौ-लाइफशिट्ज छद्म प्रदिश और गैर-गुरुत्वाकर्षण तनाव-ऊर्जा प्रदिश का एक विस्तार है जो गुरुत्वाकर्षण की ऊर्जा गति को सम्मिलित करता है यह गुरुत्वाकर्षण पदार्थ की एक प्रणाली की ऊर्जा-गति को परिभाषित करने की स्वीकृति देता है विशेष रूप से यह कुल पदार्थ और गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा संवेग को सामान्य सापेक्षता की संरचना के भीतर एक संरक्षित धारा बनाने की स्वीकृति देता है ताकि कुल ऊर्जा संवेग किसी भी संक्षिप्त स्थिति समय उच्च आयतन के ऊनविम पृष्ठ, 3-आयामी सीमा या 4-आयामी विविध मे समाप्त हो जाता है।
-कुछ लोग (जैसे इरविन श्रोडिंगर{{citation needed|date=October 2015}}) ने इस आधार पर इस व्युत्पत्ति पर आपत्ति जताई है कि सामान्य सापेक्षता में [[स्यूडोटेंसर]] अनुपयुक्त वस्तुएं हैं, लेकिन संरक्षण कानून के लिए केवल स्यूडोटेंसर के 4-[[विचलन]] के उपयोग की आवश्यकता होती है, जो इस मामले में एक टेन्सर है (जो गायब भी हो जाता है)। इसके अलावा, अधिकांश स्यूडोटेन्सर [[जेट बंडल]]ों के खंड हैं, जिन्हें अब पहचाना जाता है{{By whom|date=April 2021}} सामान्य सापेक्षता में पूरी तरह से मान्य वस्तुओं के रूप में।
+कुछ लोगों जैसे इरविन श्रोडिंगर{{citation needed|date=October 2015}} ने इस व्युत्पत्ति के आधार पर आपत्ति को साझा किया कि [[स्यूडोटेंसर|छद्म प्रदिश]] सामान्य सापेक्षता में अनुपयुक्त वस्तुएं हैं लेकिन संरक्षण नियम में केवल छद्म प्रदिश के 4-[[विचलन]] के उपयोग की आवश्यकता है जो कि इसमें स्थिति है एक प्रदिश जो समाप्त भी हो जाता है इसके अतिरिक्त, अधिकांश छद्म प्रदिश जेट समूहों के भाग हैं जिन्हें सामान्य सापेक्षता में पूरी तरह से स्वीकृत वस्तुओं के रूप में पहचाना जाता है।{{By whom|date=April 2021}}
-== लैंडौ-लिफ्शिट्ज स्यूडोटेन्सर<!--'Landau–Lifshitz pseudotensor' and 'Landau-Lifshitz pseudotensor' redirect here-->==
+== लैंडौ-लिफ्शिट्ज छद्म प्रदिश==
-लैंडौ-लिफ्शिट्ज़ स्यूडोटेन्सर का उपयोग<!--boldface per WP:R#PLA-->, संयुक्त पदार्थ (फोटॉन और न्यूट्रिनो सहित) प्लस गुरुत्वाकर्षण के लिए एक तनाव-ऊर्जा-संवेग स्यूडोटेन्सर,<ref name="LL">[[Lev Davidovich Landau]] and [[Evgeny Mikhailovich Lifshitz]], ''The Classical Theory of Fields'', (1951), Pergamon Press, {{ISBN|7-5062-4256-7}} chapter 11, section #96</ref> ऊर्जा-संवेग संरक्षण कानूनों को सामान्य सापेक्षता में विस्तारित करने की अनुमति देता है। संयुक्त स्यूडोटेन्सर से पदार्थ तनाव-ऊर्जा-संवेग टेंसर का घटाव गुरुत्वाकर्षण तनाव-ऊर्जा-संवेग स्यूडोटेन्सर में होता है।
+संयुक्त पदार्थ (फोटॉन और न्यूट्रिनो सहित) के लिए तनाव-ऊर्जा-संवेग छद्म प्रदिश लैंडौ-लिफ्शिट्ज छद्म प्रदिश का उपयोग साथ ही गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा-संवेग संरक्षण नियमों को सामान्य सापेक्षता में विस्तारित करने की स्वीकृति देता है<ref name="LL">[[Lev Davidovich Landau]] and [[Evgeny Mikhailovich Lifshitz]], ''The Classical Theory of Fields'', (1951), Pergamon Press, {{ISBN|7-5062-4256-7}} chapter 11, section #96</ref> संयुक्त छद्म प्रदिश से पदार्थ तनाव ऊर्जा संवेग प्रदिश का घटाव गुरुत्वाकर्षण तनाव ऊर्जा संवेग छद्म प्रदिश में होता है।
 === आवश्यकताएँ ===
-[[लेव डेविडोविच लैंडौ]] और [[एवगेनी मिखाइलोविच लाइफशिट्ज]] को गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा संवेग स्यूडोटेंसर की खोज में उनकी चार आवश्यकताओं का नेतृत्व किया गया था, <math>t_{LL}^{\mu \nu}\,</math>:<ref name="LL"/># कि यह पूरी तरह से मीट्रिक टेन्सर (सामान्य सापेक्षता) से निर्मित हो, ताकि मूल रूप से विशुद्ध रूप से ज्यामितीय या गुरुत्वाकर्षण हो।
+[[लेव डेविडोविच लैंडौ]] और [[एवगेनी मिखाइलोविच लाइफशिट्ज]] ने गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा संवेग छद्म प्रदिश <math>t_{LL}^{\mu \nu}\,</math>की खोज में उनकी चार आवश्यकताओं का नेतृत्व किया गया था:<ref name="LL"/>
-# कि यह इंडेक्स सिमेट्रिक हो, यानी <math>t_{LL}^{\mu \nu} = t_{LL}^{\nu \mu} \,</math>, (कोणीय गति को संरक्षित करने के लिए)
-# कि, जब पदार्थ के तनाव-ऊर्जा टेंसर में जोड़ा जाता है, <math>T^{\mu \nu}\,</math>, इसका कुल 4-डाइवर्जेंस गायब हो जाता है (यह किसी भी संरक्षित धारा के लिए आवश्यक है) ताकि हमारे पास कुल तनाव-ऊर्जा-संवेग के लिए एक संरक्षित अभिव्यक्ति हो।
+# यह पूरी तरह से आव्यूह प्रदिश से निर्मित हो, ताकि मूल रूप से शुद्ध ज्यामितीय या गुरुत्वाकर्षण हो।
-# कि यह संदर्भ के एक जड़त्वीय फ्रेम में स्थानीय रूप से गायब हो जाता है (जिसके लिए आवश्यक है कि इसमें केवल पहला क्रम हो और मीट्रिक का दूसरा या उच्च क्रम [[ यौगिक ]] न हो)। ऐसा इसलिए है क्योंकि तुल्यता सिद्धांत की आवश्यकता है कि गुरुत्वाकर्षण बल क्षेत्र, क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक, स्थानीय रूप से कुछ फ़्रेमों में गायब हो जाएं। यदि गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा इसके बल क्षेत्र का एक कार्य है, जैसा कि अन्य बलों के लिए सामान्य है, तो संबंधित गुरुत्वाकर्षण स्यूडोटेंसर को भी स्थानीय रूप से गायब हो जाना चाहिए।
+# कोणीय गति को संरक्षित करने के लिए <math>t_{LL}^{\mu \nu} = t_{LL}^{\nu \mu} \,</math> सूचकांक सममित हो।
+# जब पदार्थ के तनाव-ऊर्जा प्रदिश में <math>T^{\mu \nu}\,</math> जोड़ा जाता है तब इसका कुल 4 भिन्नता समाप्त हो जाती है यह किसी भी संरक्षित धारा के लिए आवश्यक है ताकि हमारे पास कुल तनाव ऊर्जा संवेग के लिए एक संरक्षित अभिव्यक्ति हो।
+# यह संदर्भ के एक जड़त्वीय फ्रेम में स्थानीय रूप से समाप्त हो जाता है जिसके लिए आवश्यक है कि इसमें केवल पहला क्रम हो और आव्यूह का दूसरा या उच्च क्रम व्युत्पन्न न हो ऐसा इसलिए है क्योंकि तुल्यता सिद्धांत की आवश्यकता है कि गुरुत्वाकर्षण बल क्षेत्र, क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक स्थानीय रूप से कुछ फ़्रेमों में समाप्त हो जाएं यदि गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा इसके बल क्षेत्र का एक कार्य है जैसा कि अन्य बलों के लिए सामान्य है तो संबंधित गुरुत्वाकर्षण छद्म प्रदिश को भी स्थानीय रूप से समाप्त हो जाना चाहिए।
 === परिभाषा ===
-Landau & Lifshitz ने दिखाया कि एक अद्वितीय निर्माण है जो इन आवश्यकताओं को पूरा करता है, अर्थात्
+लैंडौ-लिफ्शिट्ज ने दिखाया कि एक अद्वितीय निर्माण है जो इन आवश्यकताओं को पूर्ण करता है, अर्थात्<math display="block">t_{LL}^{\mu \nu} = - \frac{c^4}{8\pi G}G^{\mu \nu} + \frac{c^4}{16\pi G (-g)}\left((-g)\left(g^{\mu \nu} g^{\alpha \beta} - g^{\mu \alpha}g^{\nu \beta}\right)\right)_{,\alpha \beta}</math>जहाँ:
-<math display="block">t_{LL}^{\mu \nu} = - \frac{c^4}{8\pi G}G^{\mu \nu} + \frac{c^4}{16\pi G (-g)}\left((-g)\left(g^{\mu \nu} g^{\alpha \beta} - g^{\mu \alpha}g^{\nu \beta}\right)\right)_{,\alpha \beta}</math>
+* ''G<sup>μν</sup>'' [[आइंस्टीन टेंसर|आइंस्टीन प्रदिश]] है जो आव्यूह से निर्मित है।
-कहाँ:
+* ''G<sup>μν</sup>'' आव्यूह सदिश (सामान्य सापेक्षता) g<sub>''μν''</sub> का व्युत्क्रम है।
+* {{nowrap|''g'' {{=}} det(''g''<sub>''μν''</sub>)}} आव्यूह प्रदिश का निर्धारक है इसलिए {{nowrap|''g'' < 0}}, <math>-g</math> के रूप में प्रकट होता है।
-* जी<sup>μν</sup> [[आइंस्टीन टेंसर]] है (जो मीट्रिक से निर्मित है)
+* <math display="inline">{}_{,\alpha \beta} = \frac{\partial^2}{\partial x^{\alpha} \partial x^{\beta}}\,</math> आंशिक व्युत्पन्न हैं, सहसंयोजक व्युत्पन्न नहीं है।
-* जी<sup>μν</sup> मेट्रिक टेन्सर (सामान्य सापेक्षता) का प्रतिलोम है, g<sub>''μν''</sub>
-* {{nowrap|''g'' {{=}} det(''g''<sub>''μν''</sub>)}} मीट्रिक टेंसर का निर्धारक है। {{nowrap|''g'' < 0}}, इसलिए इसकी उपस्थिति के रूप में <math>-g</math>.
-* <math display="inline">{}_{,\alpha \beta} = \frac{\partial^2}{\partial x^{\alpha} \partial x^{\beta}}\,</math> आंशिक डेरिवेटिव हैं, सहसंयोजक डेरिवेटिव नहीं।
 * G न्यूटन का गुरुत्वीय स्थिरांक है।
 === सत्यापन ===
-आवश्यकता शर्तों की जांच करने पर हम देख सकते हैं कि पहले 3 को प्रदर्शित करना अपेक्षाकृत आसान है:
+आवश्यक शर्तों की जांच करने पर हम देख सकते हैं कि पहले 3 को प्रदर्शित करना अपेक्षाकृत आसान है:
-# आइंस्टीन टेंसर के बाद से, <math>G^{\mu \nu}\,</math>, खुद मीट्रिक से बनाया गया है, इसलिए है <math>t_{LL}^{\mu \nu} </math>
+# चूंकि आइंस्टीन प्रदिश <math>G^{\mu \nu}\,</math>आव्यूह से निर्मित है इसलिए <math>t_{LL}^{\mu \nu} </math> है।
-# आइंस्टीन टेंसर के बाद से, <math>G^{\mu \nu}\,</math>, सममित है तो है <math>t_{LL}^{\mu \nu} </math> चूंकि अतिरिक्त शर्तें निरीक्षण द्वारा सममित हैं।
+# चूंकि आइंस्टीन प्रदिश <math>G^{\mu \nu}\,</math> सममित है इसलिए <math>t_{LL}^{\mu \nu} </math> अतिरिक्त शर्तों के निरीक्षण द्वारा सममित हैं।
-# Landau-Lifshitz स्यूडोटेन्सर का निर्माण इस तरह से किया गया है कि जब पदार्थ के तनाव-ऊर्जा टेंसर में जोड़ा जाता है, <math>T^{\mu \nu}\,</math>, इसका कुल 4-डाइवर्जेंस गायब हो जाता है: <math>\left(\left(-g\right)\left(T^{\mu \nu} + t_{LL}^{\mu \nu}\right)\right)_{,\mu} = 0 </math>. यह आइंस्टीन टेंसर के रद्द होने के बाद होता है, <math>G^{\mu \nu}\,</math>, तनाव-ऊर्जा टेंसर के साथ, <math>T^{\mu \nu}\,</math> [[आइंस्टीन फील्ड समीकरण]]ों द्वारा; एंटीसिमेट्रिक इंडेक्स पर लागू आंशिक डेरिवेटिव की कम्यूटेटिविटी के कारण शेष शब्द बीजगणितीय रूप से गायब हो जाता है।
+# लैंडौ-लिफ्शिट्ज छद्म प्रदिश का निर्माण इस प्रकार से किया गया है कि जब पदार्थ के तनाव-ऊर्जा प्रदिश में <math>T^{\mu \nu}\,</math>जोड़ा जाता है तब इसकी कुल 4 भिन्नता समाप्त हो जाती है और <math>\left(\left(-g\right)\left(T^{\mu \nu} + t_{LL}^{\mu \nu}\right)\right)_{,\mu} = 0 </math> आइंस्टीन प्रदिश के समाप्त होने के बाद <math>G^{\mu \nu}\,</math>तनाव-ऊर्जा प्रदिश के साथ <math>T^{\mu \nu}\,</math>[[आइंस्टीन फील्ड समीकरण|आइंस्टीन समीकरणों]] द्वारा प्रतिसममित सूचियों पर प्रयुक्त आंशिक व्युत्पन्न की क्रम विनिमेयता के कारण शेष शब्द बीजगणितीय रूप से समाप्त हो जाते हैं।
-# Landau-Lifshitz स्यूडोटेन्सर मीट्रिक में दूसरे व्युत्पन्न शब्दों को शामिल करता प्रतीत होता है, लेकिन वास्तव में स्यूडोटेन्सर में स्पष्ट दूसरा व्युत्पन्न शब्द आइंस्टीन टेंसर के भीतर निहित दूसरे व्युत्पन्न शब्दों के साथ रद्द हो जाता है, <math>G^{\mu \nu}\,</math>. यह तब अधिक स्पष्ट होता है जब स्यूडोटेन्सर को सीधे मीट्रिक टेन्सर या [[लेवी-Civita कनेक्शन]] के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है; मीट्रिक में केवल पहले व्युत्पन्न शब्द ही जीवित रहते हैं और ये गायब हो जाते हैं जहां फ्रेम किसी भी चुने हुए बिंदु पर स्थानीय रूप से जड़त्वीय होता है। नतीजतन, संपूर्ण स्यूडोटेन्सर स्थानीय रूप से गायब हो जाता है (फिर से, किसी भी चुने हुए बिंदु पर) <math>t_{LL}^{\mu \nu} = 0</math>, जो गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा-संवेग के निरूपण को प्रदर्शित करता है।<ref name="LL"/>
+# लैंडौ-लिफ्शिट्ज छद्म प्रदिश आव्यूह में दूसरे व्युत्पन्न शब्दों को सम्मिलित करते हुए प्रतीत होता है लेकिन वास्तव में छद्म प्रदिश में स्पष्ट दूसरा व्युत्पन्न शब्द आइंस्टीन प्रदिश के भीतर निहित दूसरे व्युत्पन्न शब्दों <math>G^{\mu \nu}\,</math> के साथ समाप्त हो जाता है तब यह अधिक स्पष्ट होता है जब छद्म प्रदिश को प्रत्यक्ष आव्यूह प्रदिश या [[लेवी-Civita कनेक्शन|लेवी-सिविटा संयुग्म]] के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है आव्यूह में केवल पहले व्युत्पन्न शब्द ही सम्मिलित रहते हैं और ये समाप्त हो जाते हैं जहां फ्रेम किसी भी चुने हुए बिंदु पर स्थानीय रूप से जड़त्वीय होता है जिसके परिणाम स्वरूप संपूर्ण छद्म प्रदिश स्थानीय रूप से समाप्त हो जाता है और पुनः किसी भी चुने हुए बिंदु <math>t_{LL}^{\mu \nu} = 0</math> पर गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा-संवेग के निरूपण को प्रदर्शित करता है।<ref name="LL"/>
+=== [[ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक|ब्रह्मांडीकीय नियतांक]] ===
+जब लैंडौ-लिफ्शिट्ज छद्म प्रदिश तैयार किया गया था तो सामान्यतः यह माना जाता था कि ब्रह्मांडीकीय नियतांक <math>\Lambda \,</math> शून्य है वर्तमान मे हम यह धारणा नहीं बनाते हैं और अभिव्यक्ति <math>\Lambda </math> को जोड़ने की आवश्यकता है माना कि<math display="block">t_{LL}^{\mu \nu} = - \frac{c^4}{8\pi G} \left(G^{\mu \nu} + \Lambda g^{\mu \nu}\right) + \frac{c^4}{16\pi G (-g)} \left(\left(-g\right)\left(g^{\mu \nu}g^{\alpha \beta} - g^{\mu \alpha}g^{\nu \beta}\right)\right)_{,\alpha \beta}</math>
-=== [[ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक]] ===
+आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के साथ संगति के लिए आवश्यक है।
-जब Landau-Lifshitz स्यूडोटेन्सर तैयार किया गया था तो आमतौर पर यह माना जाता था कि ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक, <math>\Lambda \,</math>, शून्य था। आजकल त्वरित ब्रह्मांड | हम यह धारणा नहीं बनाते हैं, और अभिव्यक्ति को जोड़ने की आवश्यकता है <math>\Lambda </math> अवधि, देना:
-<math display="block">t_{LL}^{\mu \nu} = - \frac{c^4}{8\pi G} \left(G^{\mu \nu} + \Lambda g^{\mu \nu}\right) + \frac{c^4}{16\pi G (-g)} \left(\left(-g\right)\left(g^{\mu \nu}g^{\alpha \beta} - g^{\mu \alpha}g^{\nu \beta}\right)\right)_{,\alpha \beta}</math>
-आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के साथ संगति के लिए यह आवश्यक है।
-===मीट्रिक और affine कनेक्शन संस्करण===
+===आव्यूह और सजातीय संबंध संस्करण===
-Landau और Lifshitz भी Landau-Lifshitz pseudotensor के लिए दो समकक्ष लेकिन लंबी अभिव्यक्तियाँ प्रदान करते हैं:
+[[लेव डेविडोविच लैंडौ]] और [[एवगेनी मिखाइलोविच लाइफशिट्ज]] भी लैंडौ-लिफ्शिट्ज छद्म प्रदिश के लिए दो समकक्ष लंबी अभिव्यक्तियाँ प्रदान करते हैं:
-* [[मीट्रिक टेंसर]] संस्करण:<ref>Landau–Lifshitz equation 96.9</ref> <math display="block">\begin{align}
+* [[मीट्रिक टेंसर|आव्यूह प्रदिश]] संस्करण:<ref>Landau–Lifshitz equation 96.9</ref> <math display="block">\begin{align}
    (-g)\left(t_{LL}^{\mu \nu} + \frac{c^4\Lambda g^{\mu \nu}}{8\pi G}\right) = \frac{c^4}{16\pi G}\bigg[&\left(\sqrt{-g}g^{\mu \nu}\right)_{,\alpha}\left(\sqrt{-g}g^{\alpha \beta}\right)_{,\beta} - \left(\sqrt{-g}g^{\mu \alpha}\right)_{,\alpha}\left(\sqrt{-g}g^{\nu \beta}\right)_{,\beta} + {} \\
     &\frac{1}{8}\left(2g^{\mu \alpha}g^{\nu \beta}-g^{\mu \nu}g^{\alpha \beta}\right)\left(2g_{\sigma \rho}g_{\lambda \omega}-g_{\rho \lambda}g_{\sigma \omega}\right)\left(\sqrt{-g}g^{\sigma \omega}\right)_{,\alpha}\left(\sqrt{-g}g^{\rho \lambda}\right)_{,\beta} - {} \\
@@ Line 45: / Line 43: @@
    &\left.\frac{1}{2}g^{\mu \nu}g_{\alpha \beta}\left(\sqrt{-g}g^{\alpha \sigma}\right)_{,\rho}\left(\sqrt{-g}g^{\rho \beta}\right)_{,\sigma} + g_{\alpha \beta}g^{\sigma \rho}\left(\sqrt{-g}g^{\mu \alpha}\right)_{,\sigma}\left(\sqrt{-g}g^{\nu \beta}\right)_{,\rho}\right]
 \end{align}</math>
-* क्रिस्टोफेल प्रतीक संस्करण:<ref>Landau–Lifshitz equation 96.8</ref> <math display="block">\begin{align}
+* सजातीय प्रतीक संस्करण:<ref>Landau–Lifshitz equation 96.8</ref> <math display="block">\begin{align}
    t_{LL}^{\mu \nu} + \frac{c^4\Lambda g^{\mu \nu}}{8\pi G} = \frac{c^4}{16\pi G}\Big[
      &\left(2\Gamma^{\sigma}_{\alpha \beta}\Gamma^{\rho}_{\sigma \rho} - \Gamma^{\sigma}_{\alpha \rho}\Gamma^{\rho}_{\beta \sigma} - \Gamma^{\sigma}_{\alpha \sigma}\Gamma^{\rho}_{\beta \rho}\right)\left(g^{\mu \alpha}g^{\nu \beta} - g^{\mu \nu}g^{\alpha \beta}\right) + {}\\
@@ Line 52: / Line 50: @@
      &\left.\left(\Gamma^{\mu}_{\alpha \sigma} \Gamma^{\nu}_{\beta \rho} - \Gamma^{\mu}_{\alpha \beta} \Gamma^{\nu}_{\sigma \rho}\right)g^{\alpha \beta}g^{\sigma \rho}\right]
 \end{align}</math>
-ऊर्जा-संवेग की यह परिभाषा न केवल लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के तहत सहसंयोजक रूप से लागू होती है, बल्कि सामान्य समन्वय परिवर्तनों के तहत भी लागू होती है।
+ऊर्जा-संवेग की यह परिभाषा न केवल लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के अंतर्गत सहसंयोजक रूप से प्रयुक्त होती है बल्कि सामान्य समन्वय परिवर्तनों के अंतर्गत भी प्रयुक्त होती है।
-== आइंस्टीन स्यूडोटेंसर ==
+== आइंस्टीन छद्म प्रदिश ==
-यह स्यूडोटेंसर मूल रूप से [[अल्बर्ट आइंस्टीन]] द्वारा विकसित किया गया था।<ref>[[Albert Einstein]] ''Das hamiltonisches Prinzip und allgemeine Relativitätstheorie (The Hamiltonian principle and general relativity).'' Sitzungsber. preuss. Acad. Wiss. 1916, 2, 1111–1116.</ref><ref>[[Albert Einstein]] ''Der Energiesatz in der allgemeinen Relativitätstheorie. (An energy conservation law in general relativity).'' Sitzungsber. preuss. Acad. Wiss. 1918, 1, 448–459</ref>
+यह छद्म प्रदिश मूल रूप से [[अल्बर्ट आइंस्टीन]] द्वारा विकसित किया गया था।<ref>[[Albert Einstein]] ''Das hamiltonisches Prinzip und allgemeine Relativitätstheorie (The Hamiltonian principle and general relativity).'' Sitzungsber. preuss. Acad. Wiss. 1916, 2, 1111–1116.</ref><ref>[[Albert Einstein]] ''Der Energiesatz in der allgemeinen Relativitätstheorie. (An energy conservation law in general relativity).'' Sitzungsber. preuss. Acad. Wiss. 1918, 1, 448–459</ref> और [[पॉल डिराक]] ने दिखाया<ref>P.A.M.Dirac, ''General Theory of Relativity'' (1975), Princeton University Press, quick presentation of the bare essentials of GTR. {{ISBN|0-691-01146-X}} pages 61&mdash;63</ref> कि मिश्रित आइंस्टीन छद्म प्रदिश एक निम्न संरक्षण नियम को संतुष्ट करता है: <math display="block">{t_\mu}^\nu = \frac{c^4}{16 \pi G \sqrt{-g}} \left( \left(g^{\alpha\beta}\sqrt{-g}\right)_{,\mu} \left(\Gamma^\nu_{\alpha\beta} - \delta^\nu_\beta \Gamma^\sigma_{\alpha\sigma}\right) - \delta_\mu^\nu g^{\alpha\beta} \left(\Gamma^\sigma_{\alpha\beta} \Gamma^\rho_{\sigma\rho} - \Gamma^\rho_{\alpha\sigma} \Gamma^\sigma_{\beta\rho}\right)\sqrt{-g} \right) </math><math display="block">\left(\left({T_\mu}^\nu + {t_\mu}^\nu\right)\sqrt{-g}\right)_{,\nu} = 0 .</math>स्पष्ट रूप से गुरुत्वाकर्षण तनाव-ऊर्जा के लिए यह छद्म प्रदिश विशेष रूप से आव्यूह प्रदिश और इसके पहले व्युत्पन्न से निर्मित होता है जिसके परिणाम स्वरूप यह किसी भी घटना में समाप्त हो जाता है जब आव्यूह के पहले व्युत्पन्न को समाप्त करने के लिए समन्वय प्रणाली को चुना जाता है क्योंकि छद्म प्रदिश में प्रत्येक शब्द आव्यूह के पहले व्युत्पन्न में द्विघात होता है। हालांकि यह सममित नहीं है और इसलिए कोणीय गति को परिभाषित करने के आधार के रूप में उपयुक्त नहीं है।
-[[पॉल डिराक]] ने दिखाया<ref>P.A.M.Dirac, ''General Theory of Relativity'' (1975), Princeton University Press, quick presentation of the bare essentials of GTR. {{ISBN|0-691-01146-X}} pages 61&mdash;63</ref> कि मिश्रित आइंस्टीन स्यूडोटेंसर
- <math display="block">{t_\mu}^\nu = \frac{c^4}{16 \pi G \sqrt{-g}} \left( \left(g^{\alpha\beta}\sqrt{-g}\right)_{,\mu} \left(\Gamma^\nu_{\alpha\beta} - \delta^\nu_\beta \Gamma^\sigma_{\alpha\sigma}\right) - \delta_\mu^\nu g^{\alpha\beta} \left(\Gamma^\sigma_{\alpha\beta} \Gamma^\rho_{\sigma\rho} - \Gamma^\rho_{\alpha\sigma} \Gamma^\sigma_{\beta\rho}\right)\sqrt{-g} \right) </math>
-एक संरक्षण कानून को संतुष्ट करता है
-<math display="block">\left(\left({T_\mu}^\nu + {t_\mu}^\nu\right)\sqrt{-g}\right)_{,\nu} = 0 .</math>
-स्पष्ट रूप से गुरुत्वाकर्षण तनाव-ऊर्जा के लिए यह स्यूडोटेंसर विशेष रूप से मीट्रिक टेन्सर और इसके पहले डेरिवेटिव से निर्मित होता है। नतीजतन, यह किसी भी घटना में गायब हो जाता है जब मीट्रिक के पहले डेरिवेटिव को गायब करने के लिए समन्वय प्रणाली को चुना जाता है क्योंकि स्यूडोटेन्सर में प्रत्येक शब्द मीट्रिक के पहले डेरिवेटिव में द्विघात होता है। हालांकि यह सममित नहीं है, और इसलिए कोणीय गति को परिभाषित करने के आधार के रूप में उपयुक्त नहीं है।
 == यह भी देखें ==
-* बेल-रॉबिन्सन टेंसर
+* बेल-रॉबिन्सन प्रदिश
 * गुरुत्वीय तरंग
@@ Line 92: / Line 85: @@
 }}
-{{DEFAULTSORT:Stress-energy-momentum pseudotensor}}[[Category: टेन्सर]] [[Category: सामान्य सापेक्षता में टेन्सर]]
+{{DEFAULTSORT:Stress-energy-momentum pseudotensor}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:All articles with unsourced statements|Stress-energy-momentum pseudotensor]]
-[[Category:Created On 29/03/2023]]
+[[Category:Articles with specifically marked weasel-worded phrases from April 2021|Stress-energy-momentum pseudotensor]]
+[[Category:Articles with unsourced statements from October 2015|Stress-energy-momentum pseudotensor]]
+[[Category:Created On 29/03/2023|Stress-energy-momentum pseudotensor]]
+[[Category:Machine Translated Page|Stress-energy-momentum pseudotensor]]
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