भागफल नियम: Difference between revisions

Latest revision as of 16:23, 20 April 2023

कलन में, भागफल नियम एक ऐसे फलन का व्युत्पन्न ज्ञात करने की विधि है जो दो अवकलन फलनों का अनुपात है।^[1]^[2]^[3] अनुमान $h(x)=f(x)/g(x),$ जहां $f$ और $g$ दोनों अवकलनीय और $g(x)\neq 0$ है। भागफल नियम बताता है कि $h (x)$ का व्युत्पन्न है।

h'(x)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}

अन्य व्युत्पन्न नियमों का प्रयोग करके इसे कई प्रकार से सिद्ध किया जा सकता है।

उदाहरण

उदाहरण 1: मूल उदाहरण

विशेष $h(x)={\frac {e^{x}}{x^{2}}}$ , अनुमान $f(x)=e^{x},g(x)=x^{2}$ , फिर भागफल नियम का प्रयोग करके:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {e^{x}}{x^{2}}}\right)&={\frac {\left({\frac {d}{dx}}e^{x}\right)(x^{2})-(e^{x})\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)}{(x^{2})^{2}}}\\&={\frac {(e^{x})(x^{2})-(e^{x})(2x)}{x^{4}}}\\&={\frac {x^{2}e^{x}-2xe^{x}}{x^{4}}}\\&={\frac {xe^{x}-2e^{x}}{x^{3}}}\\&={\frac {e^{x}(x-2)}{x^{3}}}.\end{aligned}}

उदाहरण 2: स्पर्शरेखा फलन का व्युत्पन्न

भागफल नियम का प्रयोग $\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}$ का व्युत्पन्न इस प्रकार ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\tan x&={\frac {d}{dx}}\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)\\&={\frac {\left({\frac {d}{dx}}\sin x\right)(\cos x)-(\sin x)\left({\frac {d}{dx}}\cos x\right)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(-\sin x)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.\end{aligned}}

पारस्परिक नियम

पारस्परिक नियम भागफल नियम का एक विशेष प्रकरण है जिसमें अंश $f(x)=1$ है। भागफल नियम प्रयुक्त करने से देता है।

h'(x)={\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]={\frac {0\cdot g(x)-1\cdot g'(x)}{g(x)^{2}}}={\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}.

प्रमाण

व्युत्पन्न परिभाषा और सीमा गुणों से प्रमाण

अनुमान $h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}$ व्युत्पन्न की परिभाषा और सीमाओं के गुणों को प्रयुक्त करने से निम्नलिखित प्रमाण मिलता है, शब्द $f(x)g(x)$ के साथ मूल्य को प्रभावित किए बिना बाद के चरणों में विभाजन और कारक की अनुमति देने के लिए जोड़ा और घटाया गया है:

\lim _{k\to 0}{\frac {1}{g(x+k)g(x)}}={\frac {1}{g(x)^{2}}}

[1] Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8.

[2] Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). गणना (9th ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-547-16702-2.

[3] Thomas, George B.; Weir, Maurice D.; Hass, Joel (2010). Thomas' Calculus: Early Transcendentals (12th ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-58876-0.

[1]

[2]

[3]

@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{Calculus |Differential}}
 {{short description|Formula for the derivative of a ratio of functions}}
-कलन में, भागफल नियम एक फलन (गणित) का अवकलज ज्ञात करने की एक विधि है जो दो अलग-अलग फलनों का अनुपात है।<ref>{{cite book | last=Stewart | first=James | author-link=James Stewart (mathematician) | title=Calculus: Early Transcendentals | publisher=[[Brooks/Cole]] | edition=6th | year=2008 | isbn=978-0-495-01166-8 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/calculusearlytra00stew_1 }}</ref><ref>{{cite book | last1=Larson | first1=Ron | author-link=Ron Larson (mathematician)| last2=Edwards | first2=Bruce H. | title=गणना| publisher=[[Brooks/Cole]] | edition=9th | year=2009 | isbn=978-0-547-16702-2}}</ref><ref>{{cite book | last1 = Thomas | first1 = George B. | last2=Weir | first2= Maurice D. | last3=Hass | first3=Joel | author3-link = Joel Hass | author-link=George B. Thomas | title=Thomas' Calculus: Early Transcendentals | publisher=[[Addison-Wesley]] | year=2010 | edition=12th | isbn=978-0-321-58876-0}}</ref> होने देना <math>h(x)=f(x)/g(x),</math> जहां दोनों {{mvar|f}} और {{mvar|g}} अवकलनीय हैं और <math>g(x)\neq 0.</math> भागफल नियम बताता है कि व्युत्पन्न {{math|''h''(''x'')}} है
+कलन में, '''भागफल नियम''' एक ऐसे फलन का व्युत्पन्न ज्ञात करने की विधि है जो दो अवकलन फलनों का अनुपात है।<ref>{{cite book | last=Stewart | first=James | author-link=James Stewart (mathematician) | title=Calculus: Early Transcendentals | publisher=[[Brooks/Cole]] | edition=6th | year=2008 | isbn=978-0-495-01166-8 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/calculusearlytra00stew_1 }}</ref><ref>{{cite book | last1=Larson | first1=Ron | author-link=Ron Larson (mathematician)| last2=Edwards | first2=Bruce H. | title=गणना| publisher=[[Brooks/Cole]] | edition=9th | year=2009 | isbn=978-0-547-16702-2}}</ref><ref>{{cite book | last1 = Thomas | first1 = George B. | last2=Weir | first2= Maurice D. | last3=Hass | first3=Joel | author3-link = Joel Hass | author-link=George B. Thomas | title=Thomas' Calculus: Early Transcendentals | publisher=[[Addison-Wesley]] | year=2010 | edition=12th | isbn=978-0-321-58876-0}}</ref> अनुमान  <math>h(x)=f(x)/g(x),</math> जहां {{mvar|f}} और {{mvar|g}} दोनों अवकलनीय और <math>g(x)\neq 0</math> है। भागफल नियम बताता है कि {{math|''h''(''x'')}} का व्युत्पन्न है।
-:<math>h'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}.</math>
+:<math>h'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}</math>
-अन्य अवकलन नियमों का प्रयोग करके इसे कई प्रकार से सिद्ध किया जा सकता है।
+अन्य व्युत्पन्न नियमों का प्रयोग करके इसे कई प्रकार से सिद्ध किया जा सकता है।
 == उदाहरण ==
@@ Line 9: / Line 8: @@
 === उदाहरण 1: मूल उदाहरण ===
-दिया गया <math>h(x)=\frac{e^x}{x^2}</math>, होने देना <math>f(x)=e^x, g(x)=x^2</math>, फिर भागफल नियम का उपयोग करके:<math display="block">\begin{align}
+विशेष <math>h(x)=\frac{e^x}{x^2}</math>, अनुमान <math>f(x)=e^x, g(x)=x^2</math>, फिर भागफल नियम का प्रयोग करके:<math display="block">\begin{align}
      \frac{d}{dx} \left(\frac{e^x}{x^2}\right) &= \frac{\left(\frac{d}{dx}e^x\right)(x^2) - (e^x)\left(\frac{d}{dx} x^2\right)}{(x^2)^2} \\
       &= \frac{(e^x)(x^2) - (e^x)(2x)}{x^4} \\
@@ Line 16: / Line 15: @@
       &= \frac{e^x(x - 2)}{x^3}.
    \end{align}</math>
+=== उदाहरण 2: स्पर्शरेखा फलन का व्युत्पन्न ===
+भागफल नियम का प्रयोग <math>\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}</math> का व्युत्पन्न इस प्रकार ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है:
-=== उदाहरण 2: स्पर्शरेखा फलन का अवकलज ===
-के व्युत्पन्न को खोजने के लिए भागफल नियम का उपयोग किया जा सकता है <math>\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}</math> निम्नलिखित नुसार:
 <math display="block">\begin{align}
      \frac{d}{dx} \tan x &= \frac{d}{dx} \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) \\
@@ Line 28: / Line 25: @@
      &= \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.
   \end{align}</math>
 == पारस्परिक नियम ==
-{{Main|Reciprocal rule}}
+{{Main|पारस्परिक नियम}}
-पारस्परिक नियम भागफल नियम का एक विशेष मामला है जिसमें अंश <math>f(x)=1</math>. भागफल नियम लागू करने से देता है<math display="block">h'(x)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right]=\frac{0 \cdot g(x) - 1 \cdot g'(x)}{g(x)^2}=\frac{-g'(x)}{g(x)^2}.</math>
+पारस्परिक नियम भागफल नियम का एक विशेष प्रकरण है जिसमें अंश <math>f(x)=1</math> है। भागफल नियम प्रयुक्त करने से देता है।<math display="block">h'(x)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right]=\frac{0 \cdot g(x) - 1 \cdot g'(x)}{g(x)^2}=\frac{-g'(x)}{g(x)^2}.</math>
 == प्रमाण ==
-=== व्युत्पन्न परिभाषा और सीमा गुण === से सबूत
+=== व्युत्पन्न परिभाषा और सीमा गुणों से प्रमाण ===
-होने देना <math>h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}.</math> डेरिवेटिव की परिभाषा और सीमाओं के गुणों को लागू करने से शब्द के साथ निम्नलिखित प्रमाण मिलता है <math>f(x) g(x)</math> मूल्य को प्रभावित किए बिना बाद के चरणों में विभाजन और फैक्टरिंग की अनुमति देने के लिए जोड़ा और घटाया गया:<math display="block">\begin{align}
+अनुमान <math>h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}</math> व्युत्पन्न की परिभाषा और सीमाओं के गुणों को प्रयुक्त करने से निम्नलिखित प्रमाण मिलता है, शब्द <math>f(x) g(x)</math> के साथ मूल्य को प्रभावित किए बिना बाद के चरणों में विभाजन और कारक की अनुमति देने के लिए जोड़ा और घटाया गया है:<math display="block">\begin{align}
     h'(x) &= \lim_{k\to 0} \frac{h(x+k) - h(x)}{k} \\
     &= \lim_{k\to 0} \frac{\frac{f(x+k)}{g(x+k)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{k} \\
@@ Line 47: / Line 41: @@
     &= \left[\lim_{k\to 0} \frac{f(x+k) - f(x)}{k} \cdot g(x) - f(x) \cdot \lim_{k\to 0}\frac{g(x+k) - g(x)}{k} \right] \cdot \frac{1}{g(x)^2} \\
     &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}.
-  \end{align}</math>सीमा मूल्यांकन <math>\lim_{k \to 0}\frac{1}{g(x+k)g(x)}=\frac{1}{g(x)^2}</math> की भिन्नता द्वारा न्यायोचित है <math>g(x)</math>, निरंतरता का अर्थ है, जिसे इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है <math>\lim_{k \to 0}g(x+k) = g(x)</math>.
+  \end{align}</math>सीमा मूल्यांकन <math>\lim_{k \to 0}\frac{1}{g(x+k)g(x)}=\frac{1}{g(x)^2}</math> <math>g(x)</math> की अवकलनीयता द्वारा उचित है, निरंतरता का अर्थ है, जिसे <math>\lim_{k \to 0}g(x+k) = g(x)</math> के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
-===अंतर्निहित विभेदन का उपयोग करके सबूत ===
+===अंतर्निहित अवकलन का प्रयोग करके प्रमाण ===
-होने देना <math>h(x) = \frac{f(x)}{g(x)},</math> इसलिए <math>f(x) = g(x)h(x).</math> उत्पाद नियम तब देता है <math>f'(x)=g'(x)h(x) + g(x)h'(x).</math> के लिए हल करना <math>h'(x)</math> और के लिए वापस प्रतिस्थापित करना <math>h(x)</math> देता है:
+अनुमान <math>h(x) = \frac{f(x)}{g(x)},</math> इसलिए <math>f(x) = g(x)h(x)</math> उत्पाद नियम तब <math>f'(x)=g'(x)h(x) + g(x)h'(x)</math> देता है। <math>h'(x)</math> के लिए समाधान करने और <math>h(x)</math> के लिए वापस प्रतिस्थापित करने देता है:
-<math display="block">\begin{align}
+==== <math display="block">\begin{align}
   h'(x) &= \frac{f'(x) -g'(x)h(x)}{g(x)} \\
   &= \frac{f'(x) - g'(x)\cdot\frac{f(x)}{g(x)}}{g(x)} \\
   &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}.
-  \end{align}</math>
+  \end{align}</math> व्युत्क्रम नियम या श्रृंखला नियम का प्रयोग करके प्रमाण ====
+अनुमान <math>h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot \frac{1}{g(x)}</math> अतः उत्पाद नियम देता है<math display="block">h'(x) = f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)} + f(x) \cdot \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right].</math>दूसरे अवधि में व्युत्पन्न का मूल्यांकन करने के लिए, पारस्परिक नियम या [[श्रृंखला नियम]] के साथ [[शक्ति नियम|घात नियम]] प्रयुक्त करें:
+<math>\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right] = -\frac{1}{g(x)^2} \cdot g'(x) = \frac{-g'(x)}{g(x)^2}</math>
-=== व्युत्क्रम नियम या श्रृंखला नियम === का उपयोग करके सबूत
-होने देना <math>h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot \frac{1}{g(x)}.</math> फिर उत्पाद नियम देता है<math display="block">h'(x) = f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)} + f(x) \cdot \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right].</math>दूसरे कार्यकाल में व्युत्पन्न का मूल्यांकन करने के लिए, [[पारस्परिक नियम]] या [[श्रृंखला नियम]] के साथ [[शक्ति नियम]] लागू करें: <math>\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right] = -\frac{1}{g(x)^2} \cdot g'(x) = \frac{-g'(x)}{g(x)^2}.</math>
 परिणाम को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है<math display="block">\begin{align}
     h'(x) &= f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)} + f(x)\cdot\left[\frac{-g'(x)}{g(x)^2}\right] \\
@@ Line 66: / Line 61: @@
   \end{align}</math>
+=== लघुगणक अवकलन द्वारा प्रमाण ===
-=== लघुगणकीय विभेदीकरण द्वारा प्रमाण ===
+अनुमान <math>h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}</math> समीकरण के दोनों पक्षों का निरपेक्ष मान और [[प्राकृतिक]] लघुगणक लेने पर प्राप्त होता है<math display="block">\ln|h(x)|=\ln\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|</math>निरपेक्ष मान और लघुगणक के गुणों को प्रयुक्त करना,<math display="block">\ln|h(x)|=\ln|f(x)|-\ln|g(x)|</math>दोनों पक्षों का [[लघुगणक व्युत्पन्न]] लेने पर, <math display="block">\frac{h'(x)}{h(x)}=\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}</math><math>h'(x)</math> के लिए समाधान करने और <math>h(x)</math> के लिए <math>f(x)/g(x)</math> को वापस प्रतिस्थापित करने देता है:<math display="block">\begin{align}
-होने देना <math>h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}.</math> समीकरण के दोनों पक्षों का निरपेक्ष मान और [[प्राकृतिक]] लघुगणक लेने पर प्राप्त होता है<math display="block">\ln|h(x)|=\ln\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|</math>निरपेक्ष मान और लघुगणक के गुणों को लागू करना,<math display="block">\ln|h(x)|=\ln|f(x)|-\ln|g(x)|</math>दोनों पक्षों का [[लघुगणक व्युत्पन्न]] लेने पर, <math display="block">\frac{h'(x)}{h(x)}=\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}</math>के लिए हल करना <math>h'(x)</math> और वापस प्रतिस्थापित करना <math>f(x)/g(x)</math> के लिए <math>h(x)</math> देता है:<math display="block">\begin{align}
 h'(x)&=h(x)\left[\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}\right]\\
 &=\frac{f(x)}{g(x)}\left[\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}\right]\\
 &=\frac{f'(x)}{g(x)}-\frac{f(x)g'(x)}{g(x)^2}\\
-&=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}.
+&=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}
-\end{align}</math>नोट: कार्यों के पूर्ण मूल्य को लेना आवश्यक है ताकि कार्यों के [[लॉगरिदमिक भेदभाव]] को नकारात्मक मान हो सकें, क्योंकि लॉगरिदम केवल सकारात्मक तर्कों के लिए परिभाषित किए जाते हैं। यह काम करता है क्योंकि <math>\tfrac{d}{dx}(\ln|u|)=\tfrac{u'}{u}</math>, जो लॉगरिदमिक भेदभाव के लिए कार्यों का पूर्ण मूल्य लेने का औचित्य साबित करता है।
+\end{align}</math>नोट: फलनो के पूर्ण मूल्य को लेना आवश्यक है इसलिए फलनो के लघुगणकीय अवकलन का ऋणात्मक मान हो सकें, क्योंकि लघुगणक केवल धनात्मक तर्कों के लिए परिभाषित किए जाते हैं। यह काम करता है क्योंकि <math>\tfrac{d}{dx}(\ln|u|)=\tfrac{u'}{u}</math>, जो लघुगणकीय अवकलन के लिए फलनो को पूर्ण मूल्य लेने को उचित सिद्ध करता है।
-== उच्च क्रम डेरिवेटिव्स ==
-गणना करने के लिए अंतर्निहित भेदभाव का उपयोग किया जा सकता है {{mvar|n}भागफल का वें व्युत्पन्न (आंशिक रूप से इसके पहले के संदर्भ में {{math|''n'' &minus; 1}} डेरिवेटिव)। उदाहरण के लिए, भेद करना <math>f=gh</math> दो बार (परिणामस्वरूप <math>f'' = g''h + 2g'h' + gh''</math>) और उसके बाद के लिए हल करना <math>h''</math> पैदावार<math display="block">h'' = \left(\frac{f}{g}\right)'' = \frac{f''-g''h-2g'h'}{g}.</math>
+== उच्च क्रम व्युत्पन्न ==
+एक भागफल (आंशिक रूप से इसके पहले {{math|''n'' &minus; 1}} व्युत्पन्न के संदर्भ में) के n वें व्युत्पन्न की गणना करने के लिए अंतर्निहित अवकलन का प्रयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, भेद करना <math>f=gh</math> को दो बार अवकलित करना (जिसके परिणामस्वरूप <math>f'' = g''h + 2g'h' + gh''</math>) और फिर <math>h''</math> के लिए समाधान करने पर प्राप्त होता है।<math display="block">h'' = \left(\frac{f}{g}\right)'' = \frac{f''-g''h-2g'h'}{g}</math>
 == यह भी देखें ==
-* {{annotated link|Chain rule}}
+*[[श्रृंखला नियम]] – समाहित फलनों के व्युत्पन्न के लिए
-* {{annotated link|Differentiation of integrals}}
+* {{annotated link|अभिन्न का अवकलन }}
-* {{annotated link|Differentiation rules}}
+* {{annotated link|अवकलन नियम}} – फलनों के व्युत्पन्न की गणना के लिए नियम
-* {{annotated link|General Leibniz rule}}
+* {{annotated link|सामान्य लीबनिज नियम}} – कलन में उत्पाद नियम का सामान्यीकरण
-* {{annotated link|Inverse functions and differentiation}}
+* {{annotated link|व्युत्क्रम फलन और अवकलन }}–गणना की पहचान
-* {{annotated link|Linearity of differentiation}}
+* {{annotated link|अवकलन की रैखिकता}} – गणना के गुण
-* {{annotated link|Product rule}}
+* {{annotated link|उत्पाद नियम}} – किसी उत्पाद के व्युत्पन्न के लिए सूत्र
-* {{annotated link|Reciprocal rule}}
+* {{annotated link|पारस्परिक नियम}} – अवकलन नियम
-* {{annotated link|Table of derivatives}}
+* {{annotated link|व्युत्पन्न की तालिका}} – फलनों के व्युत्पन्न की गणना के लिए नियम
-* {{annotated link|Vector calculus identities}}
+* {{annotated link|सदिश कलन पहचान}} – गणितीय पहचान
 ==संदर्भ==
@@ Line 96: / Line 88: @@
 {{reflist}}
-{{Calculus topics}}
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
-[[Category: प्रमाण युक्त लेख]] [[Category: विभेदन नियम]] [[Category: विश्लेषण में प्रमेय]] [[Category: पथरी में प्रमेय]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 10/04/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready]]
+[[Category:Templates that add a tracking category]]
+[[Category:Templates that generate short descriptions]]
+[[Category:Templates using TemplateData]]
+[[Category:पथरी में प्रमेय]]
+[[Category:प्रमाण युक्त लेख]]
+[[Category:विभेदन नियम]]
+[[Category:विश्लेषण में प्रमेय]]

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Contents

उदाहरण

उदाहरण 1: मूल उदाहरण

उदाहरण 2: स्पर्शरेखा फलन का व्युत्पन्न

पारस्परिक नियम

प्रमाण

व्युत्पन्न परिभाषा और सीमा गुणों से प्रमाण

अंतर्निहित अवकलन का प्रयोग करके प्रमाण

लघुगणक अवकलन द्वारा प्रमाण

उच्च क्रम व्युत्पन्न

यह भी देखें

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भागफल नियम: Difference between revisions

Latest revision as of 16:23, 20 April 2023

उदाहरण

उदाहरण 1: मूल उदाहरण

उदाहरण 2: स्पर्शरेखा फलन का व्युत्पन्न

पारस्परिक नियम

प्रमाण

व्युत्पन्न परिभाषा और सीमा गुणों से प्रमाण

अंतर्निहित अवकलन का प्रयोग करके प्रमाण

लघुगणक अवकलन द्वारा प्रमाण

उच्च क्रम व्युत्पन्न

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