भागफल नियम: Difference between revisions

Latest revision as of 16:23, 20 April 2023

कलन में, भागफल नियम एक ऐसे फलन का व्युत्पन्न ज्ञात करने की विधि है जो दो अवकलन फलनों का अनुपात है।^[1]^[2]^[3] अनुमान $h(x)=f(x)/g(x),$ जहां $f$ और $g$ दोनों अवकलनीय और $g(x)\neq 0$ है। भागफल नियम बताता है कि $h (x)$ का व्युत्पन्न है।

h'(x)={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^{2}}}

अन्य व्युत्पन्न नियमों का प्रयोग करके इसे कई प्रकार से सिद्ध किया जा सकता है।

उदाहरण

उदाहरण 1: मूल उदाहरण

विशेष $h(x)={\frac {e^{x}}{x^{2}}}$ , अनुमान $f(x)=e^{x},g(x)=x^{2}$ , फिर भागफल नियम का प्रयोग करके:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left({\frac {e^{x}}{x^{2}}}\right)&={\frac {\left({\frac {d}{dx}}e^{x}\right)(x^{2})-(e^{x})\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)}{(x^{2})^{2}}}\\&={\frac {(e^{x})(x^{2})-(e^{x})(2x)}{x^{4}}}\\&={\frac {x^{2}e^{x}-2xe^{x}}{x^{4}}}\\&={\frac {xe^{x}-2e^{x}}{x^{3}}}\\&={\frac {e^{x}(x-2)}{x^{3}}}.\end{aligned}}

उदाहरण 2: स्पर्शरेखा फलन का व्युत्पन्न

भागफल नियम का प्रयोग $\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}$ का व्युत्पन्न इस प्रकार ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है:

{\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\tan x&={\frac {d}{dx}}\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)\\&={\frac {\left({\frac {d}{dx}}\sin x\right)(\cos x)-(\sin x)\left({\frac {d}{dx}}\cos x\right)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {(\cos x)(\cos x)-(\sin x)(-\sin x)}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}\\&={\frac {1}{\cos ^{2}x}}=\sec ^{2}x.\end{aligned}}

पारस्परिक नियम

पारस्परिक नियम भागफल नियम का एक विशेष प्रकरण है जिसमें अंश $f(x)=1$ है। भागफल नियम प्रयुक्त करने से देता है।

h'(x)={\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{g(x)}}\right]={\frac {0\cdot g(x)-1\cdot g'(x)}{g(x)^{2}}}={\frac {-g'(x)}{g(x)^{2}}}.

प्रमाण

व्युत्पन्न परिभाषा और सीमा गुणों से प्रमाण

अनुमान $h(x)={\frac {f(x)}{g(x)}}$ व्युत्पन्न की परिभाषा और सीमाओं के गुणों को प्रयुक्त करने से निम्नलिखित प्रमाण मिलता है, शब्द $f(x)g(x)$ के साथ मूल्य को प्रभावित किए बिना बाद के चरणों में विभाजन और कारक की अनुमति देने के लिए जोड़ा और घटाया गया है:

\lim _{k\to 0}{\frac {1}{g(x+k)g(x)}}={\frac {1}{g(x)^{2}}}

[1] Stewart, James (2008). Calculus: Early Transcendentals (6th ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-01166-8.

[2] Larson, Ron; Edwards, Bruce H. (2009). गणना (9th ed.). Brooks/Cole. ISBN 978-0-547-16702-2.

[3] Thomas, George B.; Weir, Maurice D.; Hass, Joel (2010). Thomas' Calculus: Early Transcendentals (12th ed.). Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-58876-0.

[1]

[2]

[3]

@@ Line 1: / Line 1: @@
-{{Calculus |Differential}}
 {{short description|Formula for the derivative of a ratio of functions}}
-कलन में, भागफल नियम एक ऐसे फलन का अवकलज ज्ञात करने की एक विधि है जो दो अलग-अलग फलनों का अनुपात है।<ref>{{cite book | last=Stewart | first=James | author-link=James Stewart (mathematician) | title=Calculus: Early Transcendentals | publisher=[[Brooks/Cole]] | edition=6th | year=2008 | isbn=978-0-495-01166-8 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/calculusearlytra00stew_1 }}</ref><ref>{{cite book | last1=Larson | first1=Ron | author-link=Ron Larson (mathematician)| last2=Edwards | first2=Bruce H. | title=गणना| publisher=[[Brooks/Cole]] | edition=9th | year=2009 | isbn=978-0-547-16702-2}}</ref><ref>{{cite book | last1 = Thomas | first1 = George B. | last2=Weir | first2= Maurice D. | last3=Hass | first3=Joel | author3-link = Joel Hass | author-link=George B. Thomas | title=Thomas' Calculus: Early Transcendentals | publisher=[[Addison-Wesley]] | year=2010 | edition=12th | isbn=978-0-321-58876-0}}</ref> अनुमान  <math>h(x)=f(x)/g(x),</math> जहां {{mvar|f}} और {{mvar|g}} दोनों अवकलनीय और <math>g(x)\neq 0</math> है। भागफल नियम बताता है कि {{math|''h''(''x'')}} का व्युत्पन्न है
+कलन में, '''भागफल नियम''' एक ऐसे फलन का व्युत्पन्न ज्ञात करने की विधि है जो दो अवकलन फलनों का अनुपात है।<ref>{{cite book | last=Stewart | first=James | author-link=James Stewart (mathematician) | title=Calculus: Early Transcendentals | publisher=[[Brooks/Cole]] | edition=6th | year=2008 | isbn=978-0-495-01166-8 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/calculusearlytra00stew_1 }}</ref><ref>{{cite book | last1=Larson | first1=Ron | author-link=Ron Larson (mathematician)| last2=Edwards | first2=Bruce H. | title=गणना| publisher=[[Brooks/Cole]] | edition=9th | year=2009 | isbn=978-0-547-16702-2}}</ref><ref>{{cite book | last1 = Thomas | first1 = George B. | last2=Weir | first2= Maurice D. | last3=Hass | first3=Joel | author3-link = Joel Hass | author-link=George B. Thomas | title=Thomas' Calculus: Early Transcendentals | publisher=[[Addison-Wesley]] | year=2010 | edition=12th | isbn=978-0-321-58876-0}}</ref> अनुमान  <math>h(x)=f(x)/g(x),</math> जहां {{mvar|f}} और {{mvar|g}} दोनों अवकलनीय और <math>g(x)\neq 0</math> है। भागफल नियम बताता है कि {{math|''h''(''x'')}} का व्युत्पन्न है।
 :<math>h'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}</math>
 अन्य व्युत्पन्न नियमों का प्रयोग करके इसे कई प्रकार से सिद्ध किया जा सकता है।
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 === उदाहरण 1: मूल उदाहरण ===
-दिया हुआ <math>h(x)=\frac{e^x}{x^2}</math>, अनुमान <math>f(x)=e^x, g(x)=x^2</math>, फिर भागफल नियम का प्रयोग करके:<math display="block">\begin{align}
+विशेष <math>h(x)=\frac{e^x}{x^2}</math>, अनुमान <math>f(x)=e^x, g(x)=x^2</math>, फिर भागफल नियम का प्रयोग करके:<math display="block">\begin{align}
      \frac{d}{dx} \left(\frac{e^x}{x^2}\right) &= \frac{\left(\frac{d}{dx}e^x\right)(x^2) - (e^x)\left(\frac{d}{dx} x^2\right)}{(x^2)^2} \\
       &= \frac{(e^x)(x^2) - (e^x)(2x)}{x^4} \\
@@ Line 18: / Line 17: @@
 === उदाहरण 2: स्पर्शरेखा फलन का व्युत्पन्न ===
-भागफल नियम का प्रयोग <math>\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}</math> का अवकलज इस प्रकार ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है:
+भागफल नियम का प्रयोग <math>\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}</math> का व्युत्पन्न इस प्रकार ज्ञात करने के लिए किया जा सकता है:
 <math display="block">\begin{align}
      \frac{d}{dx} \tan x &= \frac{d}{dx} \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) \\
@@ Line 33: / Line 32: @@
 === व्युत्पन्न परिभाषा और सीमा गुणों से प्रमाण ===
-अनुमान <math>h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}</math> व्युत्पन्न की परिभाषा और सीमाओं के गुणों को प्रयुक्त करने से निम्नलिखित प्रमाण मिलता है, शब्द <math>f(x) g(x)</math> के साथ मूल्य को प्रभावित किए बिना बाद के चरणों में विभाजन और कारक की अनुमति देने के लिए जोड़ा और घटाया गया:<math display="block">\begin{align}
+अनुमान <math>h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}</math> व्युत्पन्न की परिभाषा और सीमाओं के गुणों को प्रयुक्त करने से निम्नलिखित प्रमाण मिलता है, शब्द <math>f(x) g(x)</math> के साथ मूल्य को प्रभावित किए बिना बाद के चरणों में विभाजन और कारक की अनुमति देने के लिए जोड़ा और घटाया गया है:<math display="block">\begin{align}
     h'(x) &= \lim_{k\to 0} \frac{h(x+k) - h(x)}{k} \\
     &= \lim_{k\to 0} \frac{\frac{f(x+k)}{g(x+k)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{k} \\
@@ Line 42: / Line 41: @@
     &= \left[\lim_{k\to 0} \frac{f(x+k) - f(x)}{k} \cdot g(x) - f(x) \cdot \lim_{k\to 0}\frac{g(x+k) - g(x)}{k} \right] \cdot \frac{1}{g(x)^2} \\
     &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}.
-  \end{align}</math>सीमा मूल्यांकन <math>\lim_{k \to 0}\frac{1}{g(x+k)g(x)}=\frac{1}{g(x)^2}</math> <math>g(x)</math> की अवकलनीयता द्वारा द्वारा उचित है, निरंतरता का अर्थ है, जिसे <math>\lim_{k \to 0}g(x+k) = g(x)</math> के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
+  \end{align}</math>सीमा मूल्यांकन <math>\lim_{k \to 0}\frac{1}{g(x+k)g(x)}=\frac{1}{g(x)^2}</math> <math>g(x)</math> की अवकलनीयता द्वारा उचित है, निरंतरता का अर्थ है, जिसे <math>\lim_{k \to 0}g(x+k) = g(x)</math> के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
-===अंतर्निहित अवकलन का प्रयोग करके सबूत ===
+===अंतर्निहित अवकलन का प्रयोग करके प्रमाण ===
-अनुमान <math>h(x) = \frac{f(x)}{g(x)},</math> इसलिए <math>f(x) = g(x)h(x)</math> उत्पाद नियम तब <math>f'(x)=g'(x)h(x) + g(x)h'(x)</math> देता है। <math>h'(x)</math> के लिए हल करना और <math>h(x)</math> के लिए वापस प्रतिस्थापित करने देता है:
+अनुमान <math>h(x) = \frac{f(x)}{g(x)},</math> इसलिए <math>f(x) = g(x)h(x)</math> उत्पाद नियम तब <math>f'(x)=g'(x)h(x) + g(x)h'(x)</math> देता है। <math>h'(x)</math> के लिए समाधान करने और <math>h(x)</math> के लिए वापस प्रतिस्थापित करने देता है:
 ==== <math display="block">\begin{align}
@@ Line 52: / Line 51: @@
   &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}.
   \end{align}</math> व्युत्क्रम नियम या श्रृंखला नियम का प्रयोग करके प्रमाण ====
-अनुमान <math>h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot \frac{1}{g(x)}</math> अतः उत्पाद नियम देता है<math display="block">h'(x) = f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)} + f(x) \cdot \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right].</math>दूसरे अवधि में व्युत्पन्न का मूल्यांकन करने के लिए, [[पारस्परिक नियम]] या [[श्रृंखला नियम]] के साथ [[शक्ति नियम|घात नियम]] प्रयुक्त करें:
+अनुमान <math>h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot \frac{1}{g(x)}</math> अतः उत्पाद नियम देता है<math display="block">h'(x) = f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)} + f(x) \cdot \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right].</math>दूसरे अवधि में व्युत्पन्न का मूल्यांकन करने के लिए, पारस्परिक नियम या [[श्रृंखला नियम]] के साथ [[शक्ति नियम|घात नियम]] प्रयुक्त करें:
 <math>\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right] = -\frac{1}{g(x)^2} \cdot g'(x) = \frac{-g'(x)}{g(x)^2}</math>
@@ Line 63: / Line 62: @@
 === लघुगणक अवकलन द्वारा प्रमाण ===
-अनुमान <math>h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}</math> समीकरण के दोनों पक्षों का निरपेक्ष मान और [[प्राकृतिक]] लघुगणक लेने पर प्राप्त होता है<math display="block">\ln|h(x)|=\ln\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|</math>निरपेक्ष मान और लघुगणक के गुणों को प्रयुक्त करना,<math display="block">\ln|h(x)|=\ln|f(x)|-\ln|g(x)|</math>दोनों पक्षों का [[लघुगणक व्युत्पन्न]] लेने पर, <math display="block">\frac{h'(x)}{h(x)}=\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}</math><math>h'(x)</math> के लिए हल करना और <math>h(x)</math> के लिए <math>f(x)/g(x)</math> को वापस प्रतिस्थापित करना देता है:<math display="block">\begin{align}
+अनुमान <math>h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}</math> समीकरण के दोनों पक्षों का निरपेक्ष मान और [[प्राकृतिक]] लघुगणक लेने पर प्राप्त होता है<math display="block">\ln|h(x)|=\ln\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|</math>निरपेक्ष मान और लघुगणक के गुणों को प्रयुक्त करना,<math display="block">\ln|h(x)|=\ln|f(x)|-\ln|g(x)|</math>दोनों पक्षों का [[लघुगणक व्युत्पन्न]] लेने पर, <math display="block">\frac{h'(x)}{h(x)}=\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}</math><math>h'(x)</math> के लिए समाधान करने और <math>h(x)</math> के लिए <math>f(x)/g(x)</math> को वापस प्रतिस्थापित करने देता है:<math display="block">\begin{align}
 h'(x)&=h(x)\left[\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}\right]\\
 &=\frac{f(x)}{g(x)}\left[\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}\right]\\
 &=\frac{f'(x)}{g(x)}-\frac{f(x)g'(x)}{g(x)^2}\\
 &=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}
-\end{align}</math>नोट: फलनो के पूर्ण मूल्य को लेना आवश्यक है ताकि फलनो के [[लॉगरिदमिक भेदभाव|लघुगणकीय अवकलन]] को नकारात्मक मान हो सकें, क्योंकि लॉगरिदम केवल सकारात्मक तर्कों के लिए परिभाषित किए जाते हैं। यह काम करता है क्योंकि <math>\tfrac{d}{dx}(\ln|u|)=\tfrac{u'}{u}</math>, जो लघुगणकीय अवकलन के लिए फलनो का पूर्ण मूल्य लेने का उचित ठहराता है।
+\end{align}</math>नोट: फलनो के पूर्ण मूल्य को लेना आवश्यक है इसलिए फलनो के लघुगणकीय अवकलन का ऋणात्मक मान हो सकें, क्योंकि लघुगणक केवल धनात्मक तर्कों के लिए परिभाषित किए जाते हैं। यह काम करता है क्योंकि <math>\tfrac{d}{dx}(\ln|u|)=\tfrac{u'}{u}</math>, जो लघुगणकीय अवकलन के लिए फलनो को पूर्ण मूल्य लेने को उचित सिद्ध करता है।
 == उच्च क्रम व्युत्पन्न ==
-एक भागफल (आंशिक रूप से इसके पहले {{math|''n'' &minus; 1}} व्युत्पन्न के संदर्भ में) के n वें व्युत्पन्न की गणना करने के लिए अंतर्निहित अवकलन का प्रयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, भेद करना <math>f=gh</math> को दो बार अवकलित करना (जिसके परिणामस्वरूप <math>f'' = g''h + 2g'h' + gh''</math>) और फिर <math>h''</math> के लिए हल करने पर प्राप्त होता है<math display="block">h'' = \left(\frac{f}{g}\right)'' = \frac{f''-g''h-2g'h'}{g}</math>
+एक भागफल (आंशिक रूप से इसके पहले {{math|''n'' &minus; 1}} व्युत्पन्न के संदर्भ में) के n वें व्युत्पन्न की गणना करने के लिए अंतर्निहित अवकलन का प्रयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, भेद करना <math>f=gh</math> को दो बार अवकलित करना (जिसके परिणामस्वरूप <math>f'' = g''h + 2g'h' + gh''</math>) और फिर <math>h''</math> के लिए समाधान करने पर प्राप्त होता है।<math display="block">h'' = \left(\frac{f}{g}\right)'' = \frac{f''-g''h-2g'h'}{g}</math>
 == यह भी देखें ==
-* {{annotated link|श्रृंखला नियम}}
+*[[श्रृंखला नियम]] – समाहित फलनों के व्युत्पन्न के लिए
 * {{annotated link|अभिन्न का अवकलन }}
-* {{annotated link|अवकलन नियम}}
+* {{annotated link|अवकलन नियम}} – फलनों के व्युत्पन्न की गणना के लिए नियम
-* {{annotated link|सामान्य लीबनिज नियम}}
+* {{annotated link|सामान्य लीबनिज नियम}} – कलन में उत्पाद नियम का सामान्यीकरण
-* {{annotated link|व्युत्क्रम फलन और अवकलन }}
+* {{annotated link|व्युत्क्रम फलन और अवकलन }}–गणना की पहचान
-* {{annotated link|अवकलन की रैखिकता}}
+* {{annotated link|अवकलन की रैखिकता}} – गणना के गुण
-* {{annotated link|उत्पाद नियम}}
+* {{annotated link|उत्पाद नियम}} – किसी उत्पाद के व्युत्पन्न के लिए सूत्र
-* {{annotated link|पारस्परिक नियम}}
+* {{annotated link|पारस्परिक नियम}} – अवकलन नियम
-* {{annotated link|व्युत्पन्न की तालिका}}
+* {{annotated link|व्युत्पन्न की तालिका}} – फलनों के व्युत्पन्न की गणना के लिए नियम
-* {{annotated link|सदिश कलन पहचान}}
+* {{annotated link|सदिश कलन पहचान}} – गणितीय पहचान
 ==संदर्भ==
@@ Line 89: / Line 88: @@
 {{reflist}}
-{{Calculus topics}}
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
-[[Category: प्रमाण युक्त लेख]] [[Category: विभेदन नियम]] [[Category: विश्लेषण में प्रमेय]] [[Category: पथरी में प्रमेय]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 10/04/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready]]
+[[Category:Templates that add a tracking category]]
+[[Category:Templates that generate short descriptions]]
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Latest revision as of 16:23, 20 April 2023

Contents

उदाहरण

उदाहरण 1: मूल उदाहरण

उदाहरण 2: स्पर्शरेखा फलन का व्युत्पन्न

पारस्परिक नियम

प्रमाण

व्युत्पन्न परिभाषा और सीमा गुणों से प्रमाण

अंतर्निहित अवकलन का प्रयोग करके प्रमाण

लघुगणक अवकलन द्वारा प्रमाण

उच्च क्रम व्युत्पन्न

यह भी देखें

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भागफल नियम: Difference between revisions

Latest revision as of 16:23, 20 April 2023

उदाहरण

उदाहरण 1: मूल उदाहरण

उदाहरण 2: स्पर्शरेखा फलन का व्युत्पन्न

पारस्परिक नियम

प्रमाण

व्युत्पन्न परिभाषा और सीमा गुणों से प्रमाण

अंतर्निहित अवकलन का प्रयोग करके प्रमाण

लघुगणक अवकलन द्वारा प्रमाण

उच्च क्रम व्युत्पन्न

यह भी देखें

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