स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता: Difference between revisions
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क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत | क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, [[असम्बद्ध रूप से]] स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता कुछ [[गेज सिद्धांत]] का गुण है जो कणों के बीच परस्पर क्रिया के लिए स्पर्शोन्मुख रूप से कमजोर होने का कारण बनता है क्योंकि ऊर्जा पैमाना बढ़ता है और संबंधित लंबाई पैमाना घटता है। वैकल्पिक रूप से, और संभवतः इसके विपरीत आवेदन करने में [[ एस मैट्रिक्स |एस मैट्रिक्स]] को लागू करने में, असीमित रूप से मुक्त दूर के अतीत या दूर के भविष्य में मुक्त कणों को संदर्भित करता है। | ||
स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता [[क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स]] (क्यूसीडी ) की | स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता [[क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स]] (क्यूसीडी ) की विशेषता है, जो [[क्वार्क]] और ग्लुओन के बीच [[मजबूत बातचीत|शक्तिशाली परस्पर क्रिया]] का [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] है, जो परमाणु पदार्थ के मूलभूत घटक हैं। क्वार्क उच्च ऊर्जा पर कमजोर रूप से परस्पर क्रिया करते हैं, जिससे गड़बड़ी सिद्धांत क्वांटम यांत्रिकी की अनुमति मिलती है। कम ऊर्जा पर, परस्पर क्रिया शक्तिशाली हो जाती है, जिससे संमिश्रित [[ हैड्रान |हैड्रान]] के भीतर क्वार्क और ग्लुओन का रंग सीमित हो जाता है। | ||
क्यूसीडी की स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता की खोज 1973 में [[डेविड ग्रॉस]] और [[फ्रैंक विल्जेक]] ने की थी<ref name=GrossWilczek> | क्यूसीडी की स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता की खोज 1973 में [[डेविड ग्रॉस]] और [[फ्रैंक विल्जेक]] ने की थी<ref name=GrossWilczek> | ||
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क्यूसीडी में उपगामी स्वतंत्रता की खोज 1973 में डेविड ग्रॉस और फ्रैंक विल्जेक ने की थी।<ref name=GrossWilczek/> स्वतंत्र रूप से उसी वर्ष डेविड पोलित्जर द्वारा <ref name=Politzer/> इसी घटना को पहले देखा गया था 1965 में वी.एस. वन्याशिन और एम.वी. टेरेंट'एव द्वारा | क्यूसीडी में उपगामी स्वतंत्रता की खोज 1973 में डेविड ग्रॉस और फ्रैंक विल्जेक ने की थी।<ref name=GrossWilczek/> स्वतंत्र रूप से उसी वर्ष डेविड पोलित्जर द्वारा <ref name=Politzer/> इसी घटना को पहले देखा गया था 1965 में वी.एस. वन्याशिन और एम.वी. टेरेंट'एव द्वारा आवेश वेक्टर क्षेत्र के साथ [[क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स|क्वांटम]] विद्युत गतिकी में<ref>{{cite journal | ||
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[[हिग्स बॉसन]] पर विचार करते समय लैंडौ ध्रुव के साथ [[मानक मॉडल]] विषम रूप से मुक्त नहीं है। [[क्वांटम तुच्छता]] का उपयोग हिग्स बोसोन द्रव्यमान जैसे मापदंडों को बाध्य करने और | [[हिग्स बॉसन]] पर विचार करते समय लैंडौ ध्रुव के साथ [[मानक मॉडल]] विषम रूप से मुक्त नहीं है। [[क्वांटम तुच्छता]] का उपयोग हिग्स बोसोन द्रव्यमान जैसे मापदंडों को बाध्य करने और भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है। इससे असम्बद्ध रूप से सुरक्षित गुरुत्व के भौतिक अनुप्रयोगों में पूर्वानुमान योग्य हिग्स द्रव्यमान होता है। हिग्स बोसोन परिदृश्यों का द्रव्यमान अन्य परिदृश्यों में अंतःक्रियाएं कमजोर होती हैं जिससे कि [[प्लैंक लंबाई]] से कम दूरी पर कोई भी असंगति उत्पन्न होती है।<ref name="TrivPurs">{{cite journal| author-link=David J E Callaway | first=D. J. E. |last=Callaway | year=1988 | ||
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[[Image:vacuum polarization.svg|thumb|200px|क्यूईडी में | [[Image:vacuum polarization.svg|thumb|200px|क्यूईडी में आवेश स्क्रीनिंग]]पैमाने के परिवर्तन के अनुसार भौतिक युग्मन स्थिरांक में भिन्नता को गुणात्मक रूप से समझा जा सकता है, क्योंकि संबंधित आवेश वाले आभासी [[कण]] पर क्षेत्र की क्रिया से आ रहा है। क्यूईडी क्वांटम तुच्छता से संबंधित लैंडौ पोल व्यवहार निर्वात में आभासी आवेशित कण-प्रतिकण जोड़े, जैसे [[इलेक्ट्रॉन]]-पॉज़िट्रॉन जोड़े द्वारा स्क्रीनिंग का परिणाम है। आवेश के आसपास के क्षेत्र में, निर्वात ध्रुवीकृत हो जाता है। विरोधी आवेश के [[आभासी कण]] आवेश की ओर आकर्षित होते हैं और समान आवेश के आभासी कण पीछे हट जाते हैं। शुद्ध प्रभाव क्षेत्र को किसी भी सीमित दूरी पर आंशिक रूप से निरसित करना है। केंद्रीय आवेश के समीप आने पर, निर्वात का प्रभाव कम दिखाई देता है और प्रभावी आवेश बढ़ता है। | ||
क्यूसीडी में | क्यूसीडी में आभासी क्वार्क-एंटीक्वार्क जोड़े के साथ भी ऐसा ही होता है, वे [[ रंग प्रभारी |रंग प्रभारी]] को स्क्रीन करते हैं, चूंकि, क्यूसीडी में अतिरिक्त शिकन है। इसके बल-वाहक कण, ग्लून्स, स्वयं आवेश रंगीन करते हैं और अलग विधि से प्रत्येक ग्लूऑन में रंग आवेश और रंग-विरोधी चुंबकीय आघूर्ण दोनों होते हैं। निर्वात में आभासी ग्लुओन के ध्रुवीकरण का शुद्ध प्रभाव क्षेत्र को स्क्रीन करने के लिए नहीं जबकि इसे बढ़ाने और इसके रंग को बदलने के लिए होता है। इसे कभी-कभी एंटीस्क्रीनिंग कहा जाता है। क्वार्क के समीप आने से आसपास के आभासी ग्लुओन का एंटीस्क्रीनिंग प्रभाव कम हो जाता है, इसलिए इस प्रभाव का योगदान घटती दूरी के साथ प्रभावी आवेश को कमजोर करना होगा। | ||
चूंकि आभासी क्वार्क और आभासी ग्लुओन विपरीत प्रभाव डालते हैं, जो प्रभाव जीतता है वह क्वार्क के विभिन्न प्रकारों | चूंकि आभासी क्वार्क और आभासी ग्लुओन विपरीत प्रभाव डालते हैं, जो प्रभाव जीतता है वह क्वार्क के विभिन्न प्रकारों और [[स्वाद (कण भौतिकी)]] की संख्या पर निर्भर करता है। तीन रंगों वाले मानक क्यूसीडी के लिए, जब तक कि क्वार्क के 16 से अधिक स्वाद न हों, एंटीक्वार्क को अलग से न गिना जाए, एंटीस्क्रीनिंग प्रचलित है और सिद्धांत असम्बद्ध रूप से मुक्त है। वास्तव में, केवल 6 ज्ञात क्वार्क स्वाद हैं। | ||
== स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता की गणना == | == स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता की गणना == | ||
असामान्यता समूह के | असामान्यता समूह के अनुसार सिद्धांत के [[युग्मन स्थिरांक]] की भिन्नता का वर्णन करते हुए [[बीटा समारोह]] की गणना करके स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता प्राप्त की जा सकती है। पर्याप्त रूप से कम दूरी या संवेग के बड़े आदान-प्रदान के लिए जो कम दूरी के व्यवहार की जांच करता है, मोटे तौर पर क्वांटम की [[गति]] और [[डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य]] के बीच व्युत्क्रम संबंध के कारण, असम्बद्ध रूप से मुक्त सिद्धांत [[फेनमैन आरेख]] का उपयोग करके गड़बड़ी सिद्धांत क्वांटम यांत्रिकी गणना के लिए उत्तरदायी है। इसलिए ऐसी स्थितियां लंबी दूरी की तुलना में सैद्धांतिक रूप से अधिक सुगम हैं, शक्तिशाली -युग्मन व्यवहार भी अधिकांशतः ऐसे सिद्धांतों में उपस्तिथ होते हैं, जो कि रंग कारावास उत्पन्न करने के लिए सोचा जाता है। | ||
बीटा-फ़ंक्शन की गणना फेनमैन आरेखों का मूल्यांकन करने का विषय है, जो क्वार्क के उत्सर्जक | बीटा-फ़ंक्शन की गणना फेनमैन आरेखों का मूल्यांकन करने का विषय है, जो क्वार्क के उत्सर्जक ग्लूऑन को अवशोषित करने में योगदान देता है। अनिवार्य रूप से, बीटा-फ़ंक्शन वर्णन करता है कि युग्मन स्थिरांक कैसे बदलते हैं क्योंकि प्रणाली पैमाना <math>x \rightarrow bx</math> करता है। गणना स्थिति स्थान या संवेग स्थान संवेग खोल एकीकरण में पुनर्विक्रय का उपयोग करके की जा सकती है। [[गैर-अबेलियन गेज सिद्धांत|अ-अबेलियन गे]][[गेज समूह|ज]] सिद्धांत जैसे क्यूसीडी में, स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता का अस्तित्व [[गेज समूह]] और अंतःक्रियात्मक कणों के स्वाद कण भौतिकी की संख्या पर निर्भर करता है। सबसे कम अ-तुच्छ क्रम के लिए, एसयू (एन) गेज सिद्धांत में बीटा-फ़ंक्शन के साथ <math>n_f</math> क्वार्क जैसा कण है, | ||
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इस प्रकार SU(3) के लिए, क्यूसीडी का | इस प्रकार SU(3) के लिए, क्यूसीडी का रंग आवेश गेज समूह, यदि क्वार्क के 16 उससे कम स्वाद हैं, तो सिद्धांत स्पर्शोन्मुख रूप से मुक्त है। | ||
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Latest revision as of 11:48, 24 April 2023
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, असम्बद्ध रूप से स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता कुछ गेज सिद्धांत का गुण है जो कणों के बीच परस्पर क्रिया के लिए स्पर्शोन्मुख रूप से कमजोर होने का कारण बनता है क्योंकि ऊर्जा पैमाना बढ़ता है और संबंधित लंबाई पैमाना घटता है। वैकल्पिक रूप से, और संभवतः इसके विपरीत आवेदन करने में एस मैट्रिक्स को लागू करने में, असीमित रूप से मुक्त दूर के अतीत या दूर के भविष्य में मुक्त कणों को संदर्भित करता है।
स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स (क्यूसीडी ) की विशेषता है, जो क्वार्क और ग्लुओन के बीच शक्तिशाली परस्पर क्रिया का क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत है, जो परमाणु पदार्थ के मूलभूत घटक हैं। क्वार्क उच्च ऊर्जा पर कमजोर रूप से परस्पर क्रिया करते हैं, जिससे गड़बड़ी सिद्धांत क्वांटम यांत्रिकी की अनुमति मिलती है। कम ऊर्जा पर, परस्पर क्रिया शक्तिशाली हो जाती है, जिससे संमिश्रित हैड्रान के भीतर क्वार्क और ग्लुओन का रंग सीमित हो जाता है।
क्यूसीडी की स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता की खोज 1973 में डेविड ग्रॉस और फ्रैंक विल्जेक ने की थी[1] और स्वतंत्र रूप से उसी वर्ष डेविड पोलित्जर द्वारा[2] इस कार्य के लिए तीनों ने भौतिकी में 2004 का नोबेल पुरस्कार साझा किया।[3]
खोज
क्यूसीडी में उपगामी स्वतंत्रता की खोज 1973 में डेविड ग्रॉस और फ्रैंक विल्जेक ने की थी।[1] स्वतंत्र रूप से उसी वर्ष डेविड पोलित्जर द्वारा [2] इसी घटना को पहले देखा गया था 1965 में वी.एस. वन्याशिन और एम.वी. टेरेंट'एव द्वारा आवेश वेक्टर क्षेत्र के साथ क्वांटम विद्युत गतिकी में[4] और 1969 में जोसेफ हिप्लोविक द्वारा यांग-मिल्स सिद्धांत[5] और 1972 में जेरार्ड 'टी हूफ्ट[6][7], किन्तु इसके भौतिक महत्व को ग्रॉस, विल्जेक और पोलित्जर के कार्य तक अनुभव नहीं किया गया था, जिसे 2004 में भौतिकी के नोबेल पुरस्कार से मान्यता दी गई थी।[3]
खोज क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के पुनर्वास में सहायक थी।[7] 1973 से पहले, कई सिद्धांतकारों को संदेह था कि क्षेत्र सिद्धांत मौलिक रूप से असंगत था क्योंकि कम दूरी पर अंतःक्रियाएं असीम रूप से शक्तिशाली हो जाती हैं। इस घटना को सामान्यतः लैंडौ ध्रुव कहा जाता है और यह सबसे छोटी लंबाई के पैमाने को परिभाषित करता है जिसे सिद्धांत वर्णित कर सकता है। इस समस्या को क्वांटम विद्युत गतिकी (क्यूईडी) सहित अदिश और स्पिनरों के परस्पर क्रिया के क्षेत्र सिद्धांतों में खोजा गया था और कालेन-लेहमन_स्पेक्ट्रल_प्रतिनिधित्व ने कई लोगों को यह संदेह करने के लिए प्रेरित किया कि यह अपरिहार्य है।[8] असम्बद्ध रूप से मुक्त सिद्धांत कम दूरी पर कमजोर हो जाते हैं, कोई लैंडौ ध्रुव नहीं होता है और इन क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों को किसी भी लम्बाई के पैमाने पर पूरी तरह से सुसंगत माना जाता है।
हिग्स बॉसन पर विचार करते समय लैंडौ ध्रुव के साथ मानक मॉडल विषम रूप से मुक्त नहीं है। क्वांटम तुच्छता का उपयोग हिग्स बोसोन द्रव्यमान जैसे मापदंडों को बाध्य करने और भविष्यवाणी करने के लिए किया जा सकता है। इससे असम्बद्ध रूप से सुरक्षित गुरुत्व के भौतिक अनुप्रयोगों में पूर्वानुमान योग्य हिग्स द्रव्यमान होता है। हिग्स बोसोन परिदृश्यों का द्रव्यमान अन्य परिदृश्यों में अंतःक्रियाएं कमजोर होती हैं जिससे कि प्लैंक लंबाई से कम दूरी पर कोई भी असंगति उत्पन्न होती है।[9]
स्क्रीनिंग और एंटीस्क्रीनिंग
पैमाने के परिवर्तन के अनुसार भौतिक युग्मन स्थिरांक में भिन्नता को गुणात्मक रूप से समझा जा सकता है, क्योंकि संबंधित आवेश वाले आभासी कण पर क्षेत्र की क्रिया से आ रहा है। क्यूईडी क्वांटम तुच्छता से संबंधित लैंडौ पोल व्यवहार निर्वात में आभासी आवेशित कण-प्रतिकण जोड़े, जैसे इलेक्ट्रॉन-पॉज़िट्रॉन जोड़े द्वारा स्क्रीनिंग का परिणाम है। आवेश के आसपास के क्षेत्र में, निर्वात ध्रुवीकृत हो जाता है। विरोधी आवेश के आभासी कण आवेश की ओर आकर्षित होते हैं और समान आवेश के आभासी कण पीछे हट जाते हैं। शुद्ध प्रभाव क्षेत्र को किसी भी सीमित दूरी पर आंशिक रूप से निरसित करना है। केंद्रीय आवेश के समीप आने पर, निर्वात का प्रभाव कम दिखाई देता है और प्रभावी आवेश बढ़ता है।
क्यूसीडी में आभासी क्वार्क-एंटीक्वार्क जोड़े के साथ भी ऐसा ही होता है, वे रंग प्रभारी को स्क्रीन करते हैं, चूंकि, क्यूसीडी में अतिरिक्त शिकन है। इसके बल-वाहक कण, ग्लून्स, स्वयं आवेश रंगीन करते हैं और अलग विधि से प्रत्येक ग्लूऑन में रंग आवेश और रंग-विरोधी चुंबकीय आघूर्ण दोनों होते हैं। निर्वात में आभासी ग्लुओन के ध्रुवीकरण का शुद्ध प्रभाव क्षेत्र को स्क्रीन करने के लिए नहीं जबकि इसे बढ़ाने और इसके रंग को बदलने के लिए होता है। इसे कभी-कभी एंटीस्क्रीनिंग कहा जाता है। क्वार्क के समीप आने से आसपास के आभासी ग्लुओन का एंटीस्क्रीनिंग प्रभाव कम हो जाता है, इसलिए इस प्रभाव का योगदान घटती दूरी के साथ प्रभावी आवेश को कमजोर करना होगा।
चूंकि आभासी क्वार्क और आभासी ग्लुओन विपरीत प्रभाव डालते हैं, जो प्रभाव जीतता है वह क्वार्क के विभिन्न प्रकारों और स्वाद (कण भौतिकी) की संख्या पर निर्भर करता है। तीन रंगों वाले मानक क्यूसीडी के लिए, जब तक कि क्वार्क के 16 से अधिक स्वाद न हों, एंटीक्वार्क को अलग से न गिना जाए, एंटीस्क्रीनिंग प्रचलित है और सिद्धांत असम्बद्ध रूप से मुक्त है। वास्तव में, केवल 6 ज्ञात क्वार्क स्वाद हैं।
स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता की गणना
असामान्यता समूह के अनुसार सिद्धांत के युग्मन स्थिरांक की भिन्नता का वर्णन करते हुए बीटा समारोह की गणना करके स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता प्राप्त की जा सकती है। पर्याप्त रूप से कम दूरी या संवेग के बड़े आदान-प्रदान के लिए जो कम दूरी के व्यवहार की जांच करता है, मोटे तौर पर क्वांटम की गति और डी ब्रोगली तरंग दैर्ध्य के बीच व्युत्क्रम संबंध के कारण, असम्बद्ध रूप से मुक्त सिद्धांत फेनमैन आरेख का उपयोग करके गड़बड़ी सिद्धांत क्वांटम यांत्रिकी गणना के लिए उत्तरदायी है। इसलिए ऐसी स्थितियां लंबी दूरी की तुलना में सैद्धांतिक रूप से अधिक सुगम हैं, शक्तिशाली -युग्मन व्यवहार भी अधिकांशतः ऐसे सिद्धांतों में उपस्तिथ होते हैं, जो कि रंग कारावास उत्पन्न करने के लिए सोचा जाता है।
बीटा-फ़ंक्शन की गणना फेनमैन आरेखों का मूल्यांकन करने का विषय है, जो क्वार्क के उत्सर्जक ग्लूऑन को अवशोषित करने में योगदान देता है। अनिवार्य रूप से, बीटा-फ़ंक्शन वर्णन करता है कि युग्मन स्थिरांक कैसे बदलते हैं क्योंकि प्रणाली पैमाना करता है। गणना स्थिति स्थान या संवेग स्थान संवेग खोल एकीकरण में पुनर्विक्रय का उपयोग करके की जा सकती है। अ-अबेलियन गेज सिद्धांत जैसे क्यूसीडी में, स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता का अस्तित्व गेज समूह और अंतःक्रियात्मक कणों के स्वाद कण भौतिकी की संख्या पर निर्भर करता है। सबसे कम अ-तुच्छ क्रम के लिए, एसयू (एन) गेज सिद्धांत में बीटा-फ़ंक्शन के साथ क्वार्क जैसा कण है,
जहाँ सिद्धांत के ठीक-संरचना स्थिर के समतुल्य है, कण भौतिकविदों द्वारा इष्ट इकाइयों में, यदि यह कार्य नकारात्मक है, तो सिद्धांत विषम रूप से मुक्त है। SU(3) के लिए, के पास है और आवश्यकता है कि देता है
इस प्रकार SU(3) के लिए, क्यूसीडी का रंग आवेश गेज समूह, यदि क्वार्क के 16 उससे कम स्वाद हैं, तो सिद्धांत स्पर्शोन्मुख रूप से मुक्त है।
क्यूसीडी के अतिरिक्त, स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता को अ-रैखिक जैसी अन्य प्रणालियों में भी देखा जा सकता है -मॉडल 2 आयामों में, जिसकी संरचना 4 आयामों में SU(N) अपरिवर्तनीय यांग-मिल्स सिद्धांत के समान है।
अंत में, कोई ऐसे सिद्धांतों को खोज सकता है जो स्पर्शोन्मुख रूप से मुक्त हैं और कम पर्याप्त ऊर्जा पर विद्युत चुम्बकीय, कमजोर और शक्तिशाली बलों के पूर्ण मानक मॉडल को कम करते हैं।[10]
यह भी देखें
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1 D.J. Gross; F. Wilczek (1973). "Ultraviolet behavior of non-abelian gauge theories". Physical Review Letters. 30 (26): 1343–1346. Bibcode:1973PhRvL..30.1343G. doi:10.1103/PhysRevLett.30.1343.
- ↑ 2.0 2.1 H.D. Politzer (1973). "Reliable perturbative results for strong interactions". Physical Review Letters. 30 (26): 1346–1349. Bibcode:1973PhRvL..30.1346P. doi:10.1103/PhysRevLett.30.1346.
- ↑ 3.0 3.1 "The Nobel Prize in Physics 2004". Nobel Web. 2004. Retrieved 2010-10-24.
- ↑ V.S. Vanyashin; M.V. Terent'ev (1965). "The vacuum polarization of a charged vector field" (PDF). Journal of Experimental and Theoretical Physics. 21 (2): 375–380. Bibcode:1965JETP...21..375V. Archived from the original (PDF) on 2016-03-04. Retrieved 2015-05-28.
- ↑ I.B. Khriplovich (1970). "Green's functions in theories with non-Abelian gauge group". Soviet Journal of Nuclear Physics. 10: 235–242.
- ↑
G. 't Hooft (June 1972). "Unpublished talk at the Marseille conference on renormalization of Yang–Mills fields and applications to particle physics".
{{cite journal}}: Cite journal requires|journal=(help) - ↑ 7.0 7.1 Gerard 't Hooft, "When was Asymptotic Freedom discovered? or The Rehabilitation of Quantum Field Theory", Nucl. Phys. Proc. Suppl. 74:413–425, 1999, arXiv:hep-th/9808154
- ↑ D.J. Gross (1999). "Twenty Five Years of Asymptotic Freedom". Nuclear Physics B: Proceedings Supplements. 74 (1–3): 426–446. arXiv:hep-th/9809060. Bibcode:1999NuPhS..74..426G. doi:10.1016/S0920-5632(99)00208-X. S2CID 18183195.
- ↑ Callaway, D. J. E. (1988). "Triviality Pursuit: Can Elementary Scalar Particles Exist?". Physics Reports. 167 (5): 241–320. Bibcode:1988PhR...167..241C. doi:10.1016/0370-1573(88)90008-7.
- ↑ G. F. Giudice; G. Isidori; A. Salvio; A. Strumia (2015). "Softened Gravity and the Extension of the Standard Model up to Infinite Energy". Journal of High Energy Physics. 2015 (2): 137. arXiv:1412.2769. Bibcode:2015JHEP...02..137G. doi:10.1007/JHEP02(2015)137. S2CID 6129732.
- S. Pokorski (1987). Gauge Field Theories. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36846-4.
