ऑन शेल और ऑफ शेल: Difference between revisions

Latest revision as of 11:32, 24 April 2023

भौतिक विज्ञान में, विशेष रूप से क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, भौतिक प्रणाली के विन्यास जो गति के चिरसम्मत समीकरणों को आपूर्ति करते हैं, उन्हें "ऑन द द्रव्यमान कोश" या प्रायः ऑन शेल कहा जाता है; जबकि जो नहीं होते हैं उन्हें "ऑफ द मास शेल", या ऑफ शेल कहा जाता है।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, आभासी कण को ऑफ शेल कहा जाता है क्योंकि वे ऊर्जा-संवेग संबंध को आपूर्ति नहीं करते हैं; वास्तविक विनिमय कण इस संबंध को आपूर्ति करते हैं और उन्हें शेल (द्रव्यमान कोश) कहा जाता है।^[1]^[2]^[3] उदाहरण के लिए चिरसम्मत यांत्रिकी में, क्रिया निर्माण में, परिवर्तनात्मक सिद्धांत के चरम समाधान शेल पर होते हैं और यूलर-लग्रेंज समीकरण ऑन-शेल समीकरण देते हैं। भौतिक गति और संरक्षण नियम की अलग-अलग समरूपता के बारे में नोएदर का प्रमेय अन्य ऑन-शेल प्रमेय है।

द्रव्यमान कोश

हाइपरबोलॉइड सतह (शेल) पर बिंदु समीकरण के विलयन हैं।

द्रव्यमान कोश, द्रव्यमान अति परवलयज (हा इपरबोलॉइड) का पर्याय है, जिसका अर्थ है ऊर्जा-संवेग समष्टि में हाइपरबोलॉइड समीकरण के विलयन का वर्णन करता है:

E^{2}-|{\vec {p}}\,|^{2}c^{2}=m_{0}^{2}c^{4}

,

र्द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सूत्र जो ऊर्जा

E

देता है गति के संदर्भ में

{\vec {p}}

और शेष द्रव्यमान एक कण का

m_{0}

है। द्रव्यमान कोश के लिए समीकरण भी अधिकांशतः चार-संवेग (गति–ऊर्जा) के संदर्भ में लिखा जाता है; आइंस्टीन संकेतन में मीट्रिक सिग्नेचर (+,−,−,−) और इकाइयों के साथ जहां प्रकाश की गति

c=1

, जैसा

p^{\mu }p_{\mu }\equiv p^{2}=m^{2}

है, साहित्य में भी सामना हो सकता है

p^{\mu }p_{\mu }=-m^{2}

यदि प्रयुक्त मीट्रिक सिग्नेचर (−,+,+,+) है।

बदले हुए आभासी कण $X$ का चार-संवेग $q_{\mu }$ , द्रव्यमान के साथ $q^{2}=m_{X}^{2}$ है चार गति $q_{\mu }$ आभासी कण आने वाले और बाहर जाने वाले कणों के चार-संवेगों के बीच का अंतर है।

फेनमैन आरेख में आंतरिक प्रवर्धक के अनुरूप आभासी कणों को सामान्यतः शेल से बाहर होने की अनुमति दी जाती है, लेकिन प्रक्रिया के लिए आयाम कम हो जाएगा, यह इस बात पर निर्भर करता है कि वे कितनी दूर हैं।^[4] ऐसा इसलिए है क्योंकि $q^{2}$ -प्रवर्धक की निर्भरता आने वाले और बाहर जाने वाले कणों के चार-संवेग द्वारा निर्धारित की जाती है। प्रवर्धक के पास सामान्यतः द्रव्यमान कोश पर विचित्रता होती है।^[5]

प्रवर्धक के लिए ऋणात्मक मान $E$ जो समीकरण को आपूर्ति करते हैं उन्हें ऑन शेल माना जाता है, चूंकि चिरसम्मत सिद्धांत कण की ऊर्जा के लिए ऋणात्मक मान की अनुमति नहीं देता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रवर्धक अभिव्यक्ति में उन स्थितियों को सम्मिलित करता है जिनमें कण एक दिशा में ऊर्जा वहन करता है, और जिसमें उसका प्रतिकण दूसरी दिशा में ऊर्जा वहन करता है; ऋणात्मक और घनात्मक ऑन-शेल $E$ तो बस घनात्मक ऊर्जा के विपरीत प्रवाह का प्रतिनिधित्व करते हैं।

अदिश क्षेत्र

एक उदाहरण D-डायमेंशनल मिंकोव्स्की समष्टि में अदिश क्षेत्र सिद्धांत पर विचार करने से आता है। लैग्रैन्जियन घनत्व द्वारा दिए गए ${\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )$ पर विचार करें, गति (कार्यात्मक)

S=\int d^{D}x{\mathcal {L}}(\phi ,\partial _{\mu }\phi )

इस क्रिया के लिए यूलर-लैग्रेंज समीकरण क्षेत्र और इसके व्युत्पन्न को अलग करके और भिन्नता को शून्य पर निर्धारित करके पाया जा सकता है, और यह है:

\partial _{\mu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}

अब, अतिसूक्ष्म स्पेसटाइम अंतरण (गणित) पर विचार करें $x^{\mu }\rightarrow x^{\mu }+\alpha ^{\mu }$ , लैग्रैन्जियन घनत्व ${\mathcal {L}}$ एक अदिश राशि है, और इसलिए अत्यणु रूपांतरण के अनुसार यह असीम रूप से रूपांतरित होता है $\delta {\mathcal {L}}=\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}$ । दूसरी ओर, टेलर एक्सपेंशन से, हमारे पास सामान्य रूप से है

\delta {\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\delta \phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\mu }\phi )}}\delta (\partial _{\mu }\phi )

$\delta {\mathcal {L}}$ के लिए प्रतिस्थापन और यह ध्यान में रखते हुए $\delta (\partial _{\mu }\phi )=\partial _{\mu }(\delta \phi )$ (चूंकि स्पेसटाइम में प्रत्येक बिंदु पर विविधताएं स्वतंत्र हैं):

\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\alpha ^{\mu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi

चूंकि इसे स्वतंत्र अंतरण के लिए धारण करना है $\alpha ^{\mu }=(\epsilon ,0,...,0),(0,\epsilon ,...,0),...$ ,हम "विभाजित" कर सकते हैं $\alpha ^{\mu }$ और लिखा:

\partial _{\mu }{\mathcal {L}}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \phi }}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi

यह समीकरण का उदाहरण है जो ऑफ शेल रखता है, क्योंकि यह किसी भी क्षेत्र विन्यास के लिए सही है, भले ही यह गति के समीकरणों का संदर्भ हो (इस मामले में, ऊपर दिए गए यूलर-लैग्रेंज समीकरण)। हालाँकि, हम केवल यूलर-लैग्रेंज समीकरण को प्रतिस्थापित करके शेल समीकरण पर प्राप्त कर सकते हैं:

\partial _{\mu }{\mathcal {L}}=\partial _{\nu }{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi +{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\partial _{\nu }\phi

हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:

\partial _{\nu }\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial (\partial _{\nu }\phi )}}\partial _{\mu }\phi -\delta _{\mu }^{\nu }{\mathcal {L}}\right)=0

और यदि हम परिमाण को लघु कोष्ठक में परिभाषित करते हैं $T^{\nu }{}_{\mu }$ , अपने पास:

\partial _{\nu }T^{\nu }{}_{\mu }=0

यह नोथेर के प्रमेय का उदाहरण है। यहां, संरक्षित परिमाण दबाव-ऊर्जा प्रदिश है, जो केवल ऑन शेल संरक्षित होती है, यानी गति के समीकरण आपूर्ति होते हैं।

संदर्भ

↑ Thomson, M. (2013). Modern particle physics. Cambridge University Press, ISBN 978-1107034266, pp. 117–119.
↑ Cachazo, Freddy (Dec 21, 2012). "A Deeper Dive: On-Shell and Off-Shell". Perimeter Institute for Theoretical Physics.
↑ Arkani-Hamed, N. (Dec 21, 2012). "बिखरने वाले आयाम और सकारात्मक ग्रासमानियन". arXiv:1212.5605 [hep-th].
↑ Jaeger, Gregg (2019). "Are virtual particles less real?" (PDF). Entropy. 21 (2): 141. Bibcode:2019Entrp..21..141J. doi:10.3390/e21020141. PMC 7514619. PMID 33266857.
↑ Thomson, M. (2013). Modern particle physics. Cambridge University Press, ISBN 978-1107034266, p.119.

[1] Thomson, M. (2013). Modern particle physics. Cambridge University Press, ISBN 978-1107034266, pp. 117–119.

[2] Cachazo, Freddy (Dec 21, 2012). "A Deeper Dive: On-Shell and Off-Shell". Perimeter Institute for Theoretical Physics.

[3] Arkani-Hamed, N. (Dec 21, 2012). "बिखरने वाले आयाम और सकारात्मक ग्रासमानियन". arXiv:1212.5605 [hep-th].

[4] Jaeger, Gregg (2019). "Are virtual particles less real?" (PDF). Entropy. 21 (2): 141. Bibcode:2019Entrp..21..141J. doi:10.3390/e21020141. PMC 7514619. PMID 33266857.

[5] Thomson, M. (2013). Modern particle physics. Cambridge University Press, ISBN 978-1107034266, p.119.

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 {{Short description|Configurations of a system that do or do not satisfy classical equations of motion}}
-[[भौतिक विज्ञान]] में, विशेष रूप से [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में, भौतिक प्रणाली के विन्यास जो गति के चिरसम्मत समीकरणों को आपूर्ति करते हैं, उन्हें "ऑन द मास शेल" या "सिम्पली मोर ओफ्तें ऑन शेल" कहा जाता है; जबकि जो नहीं होते हैं उन्हें "ऑफ द मास शेल", या ऑफ शेल कहा जाता है।
+[[भौतिक विज्ञान]] में, विशेष रूप से [[क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]] में, भौतिक प्रणाली के विन्यास जो गति के चिरसम्मत समीकरणों को आपूर्ति करते हैं, उन्हें "ऑन द  द्रव्यमान कोश" या प्रायः ऑन शेल कहा जाता है; जबकि जो नहीं होते हैं उन्हें "ऑफ द मास शेल", या ऑफ शेल कहा जाता है।
-क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, [[आभासी कण]] को ऑफ शेल कहा जाता है क्योंकि वे ऊर्जा-संवेग संबंध को आपूर्ति नहीं करते हैं; वास्तविक विनिमय कण इस संबंध को आपूर्ति करते हैं और उन्हें शेल (मास शेल) कहा जाता है।<ref>Thomson, M. (2013). ''Modern particle physics''. Cambridge University Press, {{ISBN|978-1107034266}}, pp. 117–119.</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.perimeterinstitute.ca/news/new-face-feynman-diagrams/deeper-dive-shell-and-shell|title=A Deeper Dive: On-Shell and Off-Shell|last=Cachazo|first=Freddy|date=Dec 21, 2012|website=Perimeter Institute for Theoretical Physics}}</ref><ref>{{cite arXiv|last=Arkani-Hamed|first=N.|date=Dec 21, 2012|title=बिखरने वाले आयाम और सकारात्मक ग्रासमानियन|class=hep-th|eprint=1212.5605}}</ref> उदाहरण के लिए [[शास्त्रीय यांत्रिकी|चिरसम्मत यांत्रिकी]] में, [[क्रिया (भौतिकी)|गति (भौतिकी)]] के सूत्रीकरण में, विचरणी नियम के चरम विलयन शेल पर होते हैं और यूलर-लग्रेंज समीकरण ऑन-शेल समीकरण देते हैं। भौतिक गति और [[संरक्षण कानून|संरक्षण नियम]] की अलग-अलग समरूपता के बारे में नोएदर का प्रमेय अन्य ऑन-शेल प्रमेय है।
+क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, [[आभासी कण]] को ऑफ शेल कहा जाता है क्योंकि वे ऊर्जा-संवेग संबंध को आपूर्ति नहीं करते हैं; वास्तविक विनिमय कण इस संबंध को आपूर्ति करते हैं और उन्हें शेल (द्रव्यमान कोश) कहा जाता है।<ref>Thomson, M. (2013). ''Modern particle physics''. Cambridge University Press, {{ISBN|978-1107034266}}, pp. 117–119.</ref><ref>{{Cite web|url=https://www.perimeterinstitute.ca/news/new-face-feynman-diagrams/deeper-dive-shell-and-shell|title=A Deeper Dive: On-Shell and Off-Shell|last=Cachazo|first=Freddy|date=Dec 21, 2012|website=Perimeter Institute for Theoretical Physics}}</ref><ref>{{cite arXiv|last=Arkani-Hamed|first=N.|date=Dec 21, 2012|title=बिखरने वाले आयाम और सकारात्मक ग्रासमानियन|class=hep-th|eprint=1212.5605}}</ref> उदाहरण के लिए [[शास्त्रीय यांत्रिकी|चिरसम्मत यांत्रिकी]] में, [[क्रिया (भौतिकी)|क्रिया निर्माण]] में, परिवर्तनात्मक सिद्धांत के चरम समाधान शेल पर होते हैं और यूलर-लग्रेंज समीकरण ऑन-शेल समीकरण देते हैं। भौतिक गति और [[संरक्षण कानून|संरक्षण नियम]] की अलग-अलग समरूपता के बारे में नोएदर का प्रमेय अन्य ऑन-शेल प्रमेय है।
-== मास शेल ==
+== द्रव्यमान कोश ==
-[[Image:Hyperboloid Of Two Sheets Quadric.png|thumb|upright|right|हाइपरबोलॉइड सतह (शेल) पर बिंदु समीकरण के विलयन हैं।]]मास शेल द्रव्यमान अतिपरवलयज[[ hyperboloid |(हाइपरबोलॉइड]]) का पर्याय है, जिसका अर्थ है [[ऊर्जा]]-संवेग समष्टि में हाइपरबोलॉइड समीकरण के विलयन का वर्णन करता है:
+[[Image:Hyperboloid Of Two Sheets Quadric.png|thumb|right|हाइपरबोलॉइड सतह (शेल) पर बिंदु समीकरण के विलयन हैं।|160x160px]]द्रव्यमान कोश, द्रव्यमान अति परवलयज [[ hyperboloid |(हा]][[ hyperboloid |इपरबोलॉइड]]) का पर्याय है, जिसका अर्थ है [[ऊर्जा]]-संवेग समष्टि में हाइपरबोलॉइड समीकरण के विलयन का वर्णन करता है:
 :<math>E^2 - |\vec{p} \,|^2 c^2 = m_0^2 c^4</math>,
-:र्द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सूत्र जो ऊर्जा <math>E</math> देता है गति के संदर्भ में <math>\vec{p}</math> और बाकी द्रव्यमान <math>m_0</math> एक कण का। द्रव्यमान शेल के लिए समीकरण भी अक्सर चार-संवेग के संदर्भ में लिखा जाता है; [[आइंस्टीन संकेतन]] में [[मीट्रिक हस्ताक्षर]] (+,−,−,−) और इकाइयों के साथ जहां [[प्रकाश की गति]] <math>c = 1</math>, जैसा <math>p^\mu p_\mu \equiv p^2 = m^2</math>. साहित्य में भी सामना हो सकता है <math>p^\mu p_\mu = - m^2</math> यदि प्रयुक्त मीट्रिक हस्ताक्षर (−,+,+,+) है।
+:र्द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सूत्र जो ऊर्जा <math>E</math> देता है गति के संदर्भ में <math>\vec{p}</math> और शेष द्रव्यमान एक कण का <math>m_0</math> है।  द्रव्यमान कोश के लिए समीकरण भी अधिकांशतः चार-संवेग (गति–ऊर्जा) के संदर्भ में लिखा जाता है; [[आइंस्टीन संकेतन]] में [[मीट्रिक हस्ताक्षर|मीट्रिक सिग्नेचर]] (+,−,−,−) और इकाइयों के साथ जहां [[प्रकाश की गति]] <math>c = 1</math>, जैसा <math>p^\mu p_\mu \equiv p^2 = m^2</math> है, साहित्य में भी सामना हो सकता है <math>p^\mu p_\mu = - m^2</math> यदि प्रयुक्त मीट्रिक सिग्नेचर (−,+,+,+) है।
-एक बदले हुए आभासी कण का चार-संवेग <math>X</math> है <math>q_\mu</math>, द्रव्यमान के साथ <math>q^2 = m_X^2</math>. चार गति  <math>q_\mu</math> आभासी कण आने वाले और बाहर जाने वाले कणों के चार-संवेगों के बीच का अंतर है।
+बदले हुए आभासी कण <math>X</math> का चार-संवेग <math>q_\mu</math>, द्रव्यमान के साथ <math>q^2 = m_X^2</math> है चार गति  <math>q_\mu</math> आभासी कण आने वाले और बाहर जाने वाले कणों के चार-संवेगों के बीच का अंतर है।
-[[फेनमैन आरेख]] में आंतरिक [[प्रचारक]]ों के अनुरूप आभासी कणों को आम तौर पर शेल से बाहर होने की अनुमति दी जाती है, लेकिन इस प्रक्रिया के लिए आयाम कम हो जाएगा कि वे कितनी दूर शेल हैं।<ref>{{cite journal|last1=Jaeger|first1=Gregg|title=Are virtual particles less real?|journal=Entropy |volume=21 |issue=2|page=141|date=2019|doi=10.3390/e21020141|pmid=33266857|pmc=7514619|bibcode=2019Entrp..21..141J|url=http://philsci-archive.pitt.edu/15858/1/Jaeger%20Are%20Virtual%20Particles%20Less%20Real_%20entropy-21-00141-v3.pdf|doi-access=free}}</ref> ऐसा इसलिए है क्योंकि <math>q^2</math>-प्रचारक की निर्भरता आने वाले और बाहर जाने वाले कणों के चार-क्षण द्वारा निर्धारित की जाती है। प्रचारक के पास आम तौर पर बड़े शेल पर [[गणितीय विलक्षणता]] होती है।<ref>Thomson, M. (2013). ''Modern particle physics''. Cambridge University Press, {{ISBN|978-1107034266}}, p.119.</ref>
+[[फेनमैन आरेख]] में आंतरिक [[प्रचारक|प्रवर्धक]] के अनुरूप आभासी कणों को सामान्यतः शेल से बाहर होने की अनुमति दी जाती है, लेकिन प्रक्रिया के लिए आयाम कम हो जाएगा, यह इस बात पर निर्भर करता है कि वे कितनी दूर हैं।<ref>{{cite journal|last1=Jaeger|first1=Gregg|title=Are virtual particles less real?|journal=Entropy |volume=21 |issue=2|page=141|date=2019|doi=10.3390/e21020141|pmid=33266857|pmc=7514619|bibcode=2019Entrp..21..141J|url=http://philsci-archive.pitt.edu/15858/1/Jaeger%20Are%20Virtual%20Particles%20Less%20Real_%20entropy-21-00141-v3.pdf|doi-access=free}}</ref> ऐसा इसलिए है क्योंकि <math>q^2</math>-प्रवर्धक की निर्भरता आने वाले और बाहर जाने वाले कणों के चार-संवेग द्वारा निर्धारित की जाती है। प्रवर्धक के पास सामान्यतः द्रव्यमान कोश पर [[गणितीय विलक्षणता|विचित्रता]] होती है।<ref>Thomson, M. (2013). ''Modern particle physics''. Cambridge University Press, {{ISBN|978-1107034266}}, p.119.</ref>
-प्रचारक की बात करते समय, के लिए नकारात्मक मान <math>E</math> जो समीकरण को आपूर्ति करते हैं उन्हें शेल पर माना जाता है, हालांकि चिरसम्मत सिद्धांत एक [[कण]] की ऊर्जा के लिए नकारात्मक मूल्यों की अनुमति नहीं देता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रचारक एक अभिव्यक्ति में उन मामलों को शामिल करता है जिनमें कण एक दिशा में ऊर्जा वहन करता है, और जिसमें उसका प्रतिकण दूसरी दिशा में ऊर्जा वहन करता है; नकारात्मक और सकारात्मक ऑन-शेल <math>E</math> तो बस सकारात्मक ऊर्जा के विपरीत प्रवाह का प्रतिनिधित्व करते हैं।
+प्रवर्धक के लिए ऋणात्मक मान <math>E</math> जो समीकरण को आपूर्ति करते हैं उन्हें ऑन शेल माना जाता है, चूंकि चिरसम्मत सिद्धांत [[कण]] की ऊर्जा के लिए ऋणात्मक मान की अनुमति नहीं देता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रवर्धक अभिव्यक्ति में उन स्थितियों को सम्मिलित करता है जिनमें कण एक दिशा में ऊर्जा वहन करता है, और जिसमें उसका प्रतिकण दूसरी दिशा में ऊर्जा वहन करता है; ऋणात्मक और घनात्मक ऑन-शेल <math>E</math> तो बस घनात्मक ऊर्जा के विपरीत प्रवाह का प्रतिनिधित्व करते हैं।
 == अदिश क्षेत्र ==
-{{unreferenced section|date=December 2019}}
+एक उदाहरण ''D''-डायमेंशनल मिंकोव्स्की समष्टि में अदिश क्षेत्र सिद्धांत पर विचार करने से आता है। [[Lagrangian घनत्व|लैग्रैन्जियन घनत्व]] द्वारा दिए गए <math>\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)</math> पर विचार करें, गति (कार्यात्मक)
-एक उदाहरण डी-डायमेंशनल मिंकोव्स्की अंतरिक्ष में एक स्केलर क्षेत्र सिद्धांत पर विचार करने से आता है। द्वारा दिए गए एक [[Lagrangian घनत्व]] पर विचार करें <math>\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)</math>. गति (भौतिकी) # गति (कार्यात्मक)
 :<math>S = \int d^D x \mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)</math>
-इस गति के लिए यूलर-लैग्रेंज समीकरण विविधताओं के कलन#यूलर द्वारा पाया जा सकता है। E2.80.93 लैग्रेंज समीकरण, और है:
+इस क्रिया के लिए यूलर-लैग्रेंज समीकरण क्षेत्र और इसके व्युत्पन्न को अलग करके और भिन्नता को शून्य पर निर्धारित करके पाया जा सकता है, और यह है:
 :<math>\partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}</math>
-अब, एक अतिसूक्ष्म स्पेसटाइम [[अनुवाद (गणित)]] पर विचार करें <math>x^\mu \rightarrow x^\mu +\alpha^\mu</math>. Lagrangian घनत्व <math>\mathcal{L}</math> एक अदिश राशि है, और इसलिए यह असीम रूप से रूपांतरित होगा <math>\delta \mathcal{L} = \alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L}</math> असीम परिवर्तन के तहत। दूसरी ओर, टेलर के विस्तार से, हमारे पास सामान्य रूप से है
+अब, अतिसूक्ष्म स्पेसटाइम [[अनुवाद (गणित)|अंतरण (गणित)]] पर विचार करें <math>x^\mu \rightarrow x^\mu +\alpha^\mu</math>, लैग्रैन्जियन घनत्व <math>\mathcal{L}</math> एक अदिश राशि है, और इसलिए अत्यणु रूपांतरण के अनुसार यह असीम रूप से रूपांतरित होता है <math>\delta \mathcal{L} = \alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L}</math>। दूसरी ओर, [[टेलर  एक्सपेंशन]] से, हमारे पास सामान्य रूप से है
 :<math>\delta \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta( \partial_\mu \phi) </math>
-के लिए प्रतिस्थापन <math>\delta \mathcal{L}</math> और यह ध्यान में रखते हुए <math>\delta( \partial_\mu \phi) = \partial_\mu ( \delta \phi)</math> (चूंकि स्पेसटाइम में प्रत्येक बिंदु पर विविधताएं स्वतंत्र हैं):
+<math>\delta \mathcal{L}</math> के लिए प्रतिस्थापन और यह ध्यान में रखते हुए <math>\delta( \partial_\mu \phi) = \partial_\mu ( \delta \phi)</math> (चूंकि स्पेसटाइम में प्रत्येक बिंदु पर विविधताएं स्वतंत्र हैं):
 :<math>\alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \alpha^\mu \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \alpha^\mu \partial_\mu \partial_\nu \phi </math>
-चूंकि इसे स्वतंत्र अनुवादों के लिए धारण करना है <math>\alpha^\mu = (\epsilon, 0,...,0) , (0,\epsilon, ...,0), ...</math>, हम द्वारा विभाजित कर सकते हैं <math>\alpha^\mu</math> और लिखा:
+चूंकि इसे स्वतंत्र अंतरण के लिए धारण करना है <math>\alpha^\mu = (\epsilon, 0,...,0) , (0,\epsilon, ...,0), ...</math>,हम "विभाजित" कर सकते हैं <math>\alpha^\mu</math> और लिखा:
 :<math> \partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \partial_\nu \phi </math>
-यह समीकरण का एक उदाहरण है जो शेल को बंद रखता है, क्योंकि यह किसी भी फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन के लिए सही है, भले ही यह गति के समीकरणों का सम्मान करता हो (इस मामले में, ऊपर दिए गए यूलर-लैग्रेंज समीकरण)। हालाँकि, हम केवल यूलर-लैग्रेंज समीकरण को प्रतिस्थापित करके शेल समीकरण पर प्राप्त कर सकते हैं:
+यह समीकरण का उदाहरण है जो ऑफ शेल रखता है, क्योंकि यह किसी भी क्षेत्र विन्यास के लिए सही है, भले ही यह गति के समीकरणों का संदर्भ हो (इस मामले में, ऊपर दिए गए यूलर-लैग्रेंज समीकरण)। हालाँकि, हम केवल यूलर-लैग्रेंज समीकरण को प्रतिस्थापित करके शेल समीकरण पर प्राप्त कर सकते हैं:
 :<math> \partial_\mu \mathcal{L} = \partial_\nu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)}  \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \partial_\nu \phi </math>
@@ Line 38: / Line 38: @@
 :<math> \partial_\nu \left (\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \phi -\delta^\nu_\mu \mathcal{L} \right) = 0 </math>
-और अगर हम मात्रा को कोष्ठक में परिभाषित करते हैं <math>T^\nu{}_\mu</math>, अपने पास:
+और यदि हम परिमाण को लघु कोष्ठक में परिभाषित करते हैं <math>T^\nu{}_\mu</math>, अपने पास:
 :<math>\partial_\nu T^\nu{}_\mu = 0</math>
-यह नोथेर के प्रमेय का एक उदाहरण है। यहां, संरक्षित मात्रा तनाव-ऊर्जा टेंसर है, जो केवल शेल पर संरक्षित होती है, यानी गति के समीकरण आपूर्ति होते हैं।
+यह नोथेर के प्रमेय का उदाहरण है। यहां, संरक्षित परिमाण दबाव-ऊर्जा प्रदिश है, जो केवल ऑन शेल संरक्षित होती है, यानी गति के समीकरण आपूर्ति होते हैं।
 ==संदर्भ==
@@ Line 48: / Line 48: @@
 {{Quantum field theories}}
-{{DEFAULTSORT:On Shell And Off Shell}}[[Category: क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत]]
+{{DEFAULTSORT:On Shell And Off Shell}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Collapse templates|On Shell And Off Shell]]
-[[Category:Created On 29/03/2023]]
+[[Category:Created On 29/03/2023|On Shell And Off Shell]]
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