वास्तविक रूप (लाई सिद्धांत): Difference between revisions

Latest revision as of 17:16, 26 April 2023

गणित में, वास्तविक रूप (लाई सिद्धांत) की धारणा वास्तविक संख्या और समिश्र संख्या संख्याओं के क्षेत्र (बीजगणित) में परिभाषित वस्तुओं से संबंधित है। एक वास्तविक लाई बीजगणित g₀ समिश्र लाई बीजगणित g का वास्तविक रूप कहा जाता है यदि g, g₀ का समिश्रीकरण है:

{\mathfrak {g}}\simeq {\mathfrak {g}}_{0}\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} .

समिश्र लाई समूहों के लिए वास्तविक रूप की धारणा को भी परिभाषित किया जा सकता है। समिश्र अर्ध-सरल लाई समूहों और लाई बीजगणित के वास्तविक रूपों को एली कार्टन द्वारा पूरी तरह से वर्गीकृत किया गया है।

लाईे समूहों और बीजगणितीय समूहों के लिए वास्तविक रूप

लाई समूहों और लाई बीजगणितीय समूहों के बीच लाईे का पत्राचार उपयोग करते हुए, लाई समूहों के लिए वास्तविक रूप की धारणा को परिभाषित किया जा सकता है। रेखीय बीजगणितीय समूहों के स्थितियों में, समिश्र और वास्तविक रूप की धारणाओं का बीजगणितीय ज्यामिति की भाषा में स्वाभाविक वर्णन है।

वर्गीकरण

जिस तरह समिश्र अर्धसरल लाई बीजगणित को डायनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है,एक अर्ध-सरल लाई बीजगणित के वास्तविक रूपों को सैटेक आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जो समिश्र रूप के डायनकिन आरेख से कुछ शीर्षों को काला (भरा हुआ) लेबल करके प्राप्त किया जाता है, और कतिपय नियमों के अनुसार कुछ अन्य शीर्षों को युग्मों में तीरों द्वारा जोड़ता है।

यह समिश्र अर्ध-सरल लाई बीजगणित के संरचना सिद्धांत में एक बुनियादी तथ्य है कि ऐसे प्रत्येक बीजगणित के दो विशेष वास्तविक रूप हैं: एक कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप है और लाई पत्राचार के तहत एक कॉम्पैक्ट लाइ समूह से मेल खाता है (इसका सैटेक आरेख में सभी कोने काले कर दिए जाते हैं), और दूसरा विभाजित वास्तविक रूप है और लाई समूह से मेल खाता है समूह जो यथासंभव कॉम्पैक्ट होने से दूर है (इसके साटेक आरेख में कोई शीर्ष काला नहीं है और कोई तीर नहीं है)। समिश्र विशेष रैखिक समूह SL(n,C) के स्थितियों में, कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप विशेष एकात्मक समूह SU(n) और विभाजित वास्तविक रूप है वास्तविक विशेष रेखीय समूह SL(n,R) होता है। अर्ध-सरल ले बीजगणित के वास्तविक रूपों का वर्गीकरण एली कार्टन द्वारा रीमैनियन सममित रिक्त स्थान के संदर्भ में पूरा किया गया था। सामान्यतः, दो से अधिक वास्तविक रूप हो सकते हैं।

मान लीजिए कि 'g₀' वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र पर एक अर्ध-सरल लाई बीजगणित है। कार्टन की मानदण्ड के अनुसार, किलिंग फॉर्म नॉनडिजेनरेट है, और विकर्ण प्रविष्टियों +1 या -1 के साथ एक उपयुक्त आधार पर विकर्ण किया जा सकता है। सिल्वेस्टर के जड़त्व के नियम से, धनात्मक प्रविष्टियों की संख्या, या जड़त्व का धनात्मक सूचकांक, द्विरेखीय रूप का एक अपरिवर्तनीय है, अर्थात यह विकर्णीय आधार के चुनाव पर निर्भर नहीं करता है। यह 0 और g के आयाम के बीच की एक संख्या है जो वास्तविक लाई बीजगणित का एक महत्वपूर्ण अपरिवर्तनीय है, जिसे इसका सूचकांक कहा जाता है।

वास्तविक रूप विभाजित करें

एक परिमित-आयामी जटिल अर्धसरल लाई बीजगणित g का वास्तविक रूप g0 को विभाजित या सामान्य कहा जाता है, यदि प्रत्येक कार्टन अपघटन में g₀ = k₀ ⊕ p₀ स्थान p₀ में g का एक अधिकतम एबेलियन सबलजेब्रा होता है,अर्थात इसका यह सबलजेब्रा परीक्षण एली कार्टन ने साबित किया कि प्रत्येक समिश्र अर्ध-सरल लाई बीजगणित g का एक विभाजित वास्तविक रूप है, जो समरूपता तक अद्वितीय है।^[1] सभी वास्तविक रूपों में इसका अधिकतम सूचकांक है।

स्प्लिट फॉर्म सैटेक आरेख से मेल खाता है जिसमें कोई शीर्ष काला नहीं होता है और कोई तीर नहीं होता है।

कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप

एक वास्तविक लाई बीजगणित g0 को कॉम्पैक्ट कहा जाता है यदि किलिंग फॉर्म नकारात्मक निश्चित है, अर्थात g0 का सूचकांक शून्य है। इस स्थिति में g0 = k0 एक कॉम्पैक्ट लाई बीजगणित है। यह ज्ञात है कि लाई पत्राचार के तहत, कॉम्पैक्ट लाई बीजगणित कॉम्पैक्ट लाई समूहों के अनुरूप है।

कॉम्पैक्ट फॉर्म सैटेक आरेख से मेल खाता है जिसमें सभी कोने काले होते हैं।

सघन वास्तविक रूप का निर्माण

सामान्यतः, कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप का निर्माण अर्धसरल लाई बीजगणित के संरचना सिद्धांत का उपयोग करता है। मौलिक लाई बीजगणित के लिए एक अधिक स्पष्ट निर्माण है।

मान लीजिये g₀ को आर पर मैट्रिसेस का वास्तविक लाई बीजगणित होने दें जो ट्रांसपोज़ मानचित्र के तहत बंद है,

X\to {X}^{t}.

फिर g₀ इसके तिरछा-सममित मैट्रिक्स भाग k0 और इसके सममित भाग p0 के प्रत्यक्ष योग में विघटित हो जाता है, यह कार्टन अपघटन होता है:

{\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus {\mathfrak {p}}_{0}.

g का समिश्र g0 और ig0 के प्रत्यक्ष योग में विघटित होता है। मैट्रिसेस का वास्तविक वेक्टर स्थान होता है

{\mathfrak {u}}_{0}={\mathfrak {k}}_{0}\oplus i{\mathfrak {p}}_{0}

सम्मिश्र लाई बीजगणित जी का एक उप-स्थान है जो दिक्परिवर्तक के नीचे बंद होता है और इसमें तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिसेस सम्मलित होते हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि u0 g का एक वास्तविक लाई सबलजेब्रा है, कि इसका किलिंग फॉर्म नकारात्मक निश्चित होता है (इसे एक सघन लाई बीजगणित बनाता है), और यह कि u0 का समिश्रीकरण g है, इसलिए, u0 g का संक्षिप्त रूप है।

यह भी देखें

समिश्रता (लेट ग्रुप)

संदर्भ

Helgason, Sigurdur (1978), Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces, Academic Press, ISBN 0-12-338460-5
Knapp, Anthony (2004), Lie Groups: Beyond an Introduction, Progress in Mathematics, vol. 140, Birkhäuser, ISBN 0-8176-4259-5

[1] Helgason 1978, p. 426

[1]

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-{{Lie groups |Semi-simple}}
+गणित में, '''वास्तविक रूप (लाई सिद्धांत)''' की धारणा [[वास्तविक संख्या]] और [[जटिल संख्या|समिश्र संख्या]] संख्याओं के [[क्षेत्र (बीजगणित)]] में परिभाषित वस्तुओं से संबंधित है। एक वास्तविक [[झूठ बीजगणित|लाई बीजगणित]] ''g''<sub>0</sub> समिश्र लाई बीजगणित ''g'' का वास्तविक रूप कहा जाता है यदि  ''g,'' ''g''<sub>0</sub> का समिश्रीकरण है:
-गणित में, वास्तविक रूप की धारणा [[वास्तविक संख्या]] और [[जटिल संख्या]] संख्याओं के [[क्षेत्र (बीजगणित)]] पर परिभाषित वस्तुओं से संबंधित है। एक वास्तविक [[झूठ बीजगणित]] ''जी''<sub>0</sub> जटिल लाई बीजगणित जी का वास्तविक रूप कहा जाता है यदि जी जी का जटिलीकरण है<sub>0</sub>:
 : <math> \mathfrak{g}\simeq\mathfrak{g}_0\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}. </math>
-जटिल [[झूठ समूह]]ों के लिए वास्तविक रूप की धारणा को भी परिभाषित किया जा सकता है। जटिल [[अर्ध-सरल झूठ समूह]]ों और झूठ बीजगणित के वास्तविक रूपों को एली कार्टन द्वारा पूरी तरह से वर्गीकृत किया गया है।
+समिश्र [[झूठ समूह|लाई समूहों]] के लिए वास्तविक रूप की धारणा को भी परिभाषित किया जा सकता है। समिश्र [[अर्ध-सरल झूठ समूह|अर्ध-सरल लाई समू]]हों और लाई बीजगणित के वास्तविक रूपों को एली कार्टन द्वारा पूरी तरह से वर्गीकृत किया गया है।
-== झूठे समूहों और बीजगणितीय समूहों के लिए वास्तविक रूप ==
+== लाईे समूहों और बीजगणितीय समूहों के लिए वास्तविक रूप ==
-लाई पत्राचार का उपयोग करते हुए, लाई समूहों के लिए एक वास्तविक रूप की धारणा को परिभाषित किया जा सकता है। रेखीय बीजगणितीय समूहों के मामले में, जटिलता और वास्तविक रूप की धारणाओं का [[बीजगणितीय ज्यामिति]] की भाषा में स्वाभाविक वर्णन है।
+लाई समूहों और लाई बीजगणितीय समूहों के बीच लाईे  का पत्राचार उपयोग करते हुए, लाई समूहों के लिए वास्तविक रूप की धारणा को परिभाषित किया जा सकता है। रेखीय बीजगणितीय समूहों के स्थितियों में, समिश्र और वास्तविक रूप की धारणाओं का [[बीजगणितीय ज्यामिति]] की भाषा में स्वाभाविक वर्णन है।
 == वर्गीकरण ==
-{{main|List of simple Lie groups}}
+{{main|सरल लाई बोलने वाले समूहों की सूची}}{{Lie groups |Semi-simple}}
-जिस तरह जटिल अर्धसरल लाई बीजगणित को [[डायनकिन आरेख]]ों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, एक अर्ध-सरल लाई बीजगणित के वास्तविक रूपों को सैटेक आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जो जटिल रूप के डायनकिन आरेख से कुछ शीर्षों को काला (भरा हुआ) लेबल करके प्राप्त किया जाता है, और कुछ अन्य को जोड़ता है। कुछ नियमों के अनुसार, तीरों द्वारा जोड़े में कोने।
+जिस तरह समिश्र अर्धसरल लाई बीजगणित को [[डायनकिन आरेख|डायनकिन आरेखों]] द्वारा वर्गीकृत किया जाता है,एक अर्ध-सरल लाई बीजगणित के वास्तविक रूपों को सैटेक आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जो समिश्र रूप के डायनकिन आरेख से कुछ शीर्षों को काला (भरा हुआ) लेबल करके प्राप्त किया जाता है, और कतिपय नियमों के अनुसार कुछ अन्य शीर्षों को युग्मों में तीरों द्वारा जोड़ता है।
-यह जटिल अर्ध-सरल झूठ बीजगणित के संरचना सिद्धांत में एक बुनियादी तथ्य है कि इस तरह के प्रत्येक बीजगणित के दो विशेष वास्तविक रूप होते हैं: एक कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप है और झूठ पत्राचार के तहत एक कॉम्पैक्ट झूठ समूह से मेल खाता है (इसका साटेक आरेख सभी कोने काला कर दिया गया है) , और दूसरा विभाजित वास्तविक रूप है और एक झूठ समूह से मेल खाता है जो कॉम्पैक्ट होने से जितना संभव हो सके (इसके साटेक आरेख में कोई काला नहीं है और कोई तीर नहीं है)। जटिल [[विशेष रैखिक समूह]] ''SL''(''n'',C) के मामले में, कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप [[विशेष एकात्मक समूह]] ''SU''(''n'') और विभाजित वास्तविक रूप है वास्तविक विशेष रेखीय समूह ''SL''(''n'',R) है। अर्ध-सरल ले बीजगणित के वास्तविक रूपों का वर्गीकरण एली कार्टन द्वारा रीमैनियन सममित रिक्त स्थान के संदर्भ में पूरा किया गया था। सामान्य तौर पर, दो से अधिक वास्तविक रूप हो सकते हैं।
+यह समिश्र अर्ध-सरल लाई बीजगणित के संरचना सिद्धांत में एक बुनियादी तथ्य है कि ऐसे प्रत्येक बीजगणित के दो विशेष वास्तविक रूप हैं: एक कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप है और लाई पत्राचार के तहत एक कॉम्पैक्ट लाइ समूह से मेल खाता है (इसका सैटेक आरेख में सभी कोने काले कर दिए जाते हैं), और दूसरा विभाजित वास्तविक रूप है और लाई समूह से मेल खाता है समूह जो यथासंभव कॉम्पैक्ट होने से दूर है  (इसके साटेक आरेख में कोई शीर्ष काला नहीं है और कोई तीर नहीं है)। समिश्र [[विशेष रैखिक समूह]] ''SL''(''n'',C) के स्थितियों में, कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप [[विशेष एकात्मक समूह]] ''SU''(''n'') और विभाजित वास्तविक रूप है वास्तविक विशेष रेखीय समूह ''SL''(''n'',R) होता है। अर्ध-सरल ले बीजगणित के वास्तविक रूपों का वर्गीकरण एली कार्टन द्वारा रीमैनियन सममित रिक्त स्थान के संदर्भ में पूरा किया गया था। सामान्यतः, दो से अधिक वास्तविक रूप हो सकते हैं।
-मान लीजिए कि 'जी'<sub>0</sub> वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र पर एक अर्ध-सरल झूठ बीजगणित है। कार्टन की कसौटी के अनुसार, किलिंग फॉर्म नॉनडिजेनरेट है, और विकर्ण प्रविष्टियों +1 या -1 के साथ एक उपयुक्त आधार पर विकर्ण किया जा सकता है। सिल्वेस्टर के जड़त्व के नियम से, धनात्मक प्रविष्टियों की संख्या, या जड़त्व का धनात्मक सूचकांक, द्विरेखीय रूप का एक अपरिवर्तनीय है, अर्थात यह विकर्णीय आधार के चुनाव पर निर्भर नहीं करता है। यह 0 और जी के आयाम के बीच की एक संख्या है जो वास्तविक लाई बीजगणित का एक महत्वपूर्ण अपरिवर्तनीय है, जिसे इसका 'सूचकांक' कहा जाता है।
+मान लीजिए कि '''g''<sub>0</sub>' वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र पर एक अर्ध-सरल लाई बीजगणित है। कार्टन की मानदण्ड के अनुसार, किलिंग फॉर्म नॉनडिजेनरेट है, और विकर्ण प्रविष्टियों +1 या -1 के साथ एक उपयुक्त आधार पर विकर्ण किया जा सकता है। सिल्वेस्टर के जड़त्व के नियम से, धनात्मक प्रविष्टियों की संख्या, या जड़त्व का धनात्मक सूचकांक, द्विरेखीय रूप का एक अपरिवर्तनीय है, अर्थात यह विकर्णीय आधार के चुनाव पर निर्भर नहीं करता है। यह 0 और ''g'' के आयाम के बीच की एक संख्या है जो वास्तविक लाई बीजगणित का एक महत्वपूर्ण अपरिवर्तनीय है, जिसे इसका सूचकांक कहा जाता है।
 === वास्तविक रूप विभाजित करें ===
-{{see also|Split Lie algebra}}
+{{see also|भाजित लाई बीजगणित}}
-साकार रूप जी<sub>0</sub> एक परिमित-आयामी जटिल अर्ध-सरल झूठ बीजगणित जी को 'स्प्लिट लाइ बीजगणित' या 'सामान्य' कहा जाता है, यदि प्रत्येक [[कार्टन अपघटन]] जी में<sub>0</sub> = के<sub>0</sub>⊕ प<sub>0</sub>, अंतरिक्ष पी<sub>0</sub> g का अधिकतम एबेलियन सबलजेब्रा होता है<sub>0</sub>, यानी इसका [[यह सबलजेब्रा परीक्षण]] एली कार्टन ने साबित किया कि प्रत्येक जटिल अर्ध-सरल झूठ बीजगणित जी का एक विभाजित वास्तविक रूप है, जो समरूपता तक अद्वितीय है।<ref>{{harvnb|Helgason|1978|page=426}}</ref> सभी वास्तविक रूपों में इसका अधिकतम सूचकांक है।
+एक परिमित-आयामी जटिल अर्धसरल लाई बीजगणित g का वास्तविक रूप g0 को विभाजित या सामान्य कहा जाता है, यदि प्रत्येक [[कार्टन अपघटन]] में g<sub>0</sub> =  ''k''<sub>0</sub> ⊕ ''p''<sub>0</sub> स्थान ''p''<sub>0</sub> में  g का एक अधिकतम एबेलियन सबलजेब्रा होता है,अर्थात इसका [[यह सबलजेब्रा परीक्षण]] एली कार्टन ने साबित किया कि प्रत्येक समिश्र अर्ध-सरल लाई बीजगणित g का एक विभाजित वास्तविक रूप है, जो समरूपता तक अद्वितीय है।<ref>{{harvnb|Helgason|1978|page=426}}</ref> सभी वास्तविक रूपों में इसका अधिकतम सूचकांक है।
 स्प्लिट फॉर्म सैटेक आरेख से मेल खाता है जिसमें कोई शीर्ष काला नहीं होता है और कोई तीर नहीं होता है।
 === कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप ===
-{{see also|Compact Lie algebra}}
+{{see also|कॉम्पैक्ट लाई बीजगणित}}
-एक वास्तविक झूठ बीजगणित जी<sub>0</sub> कॉम्पैक्ट लाई बीजगणित कहा जाता है यदि [[ मारक रूप ]] [[नकारात्मक निश्चित]] है, यानी 'जी' का सूचकांक<sub>0</sub> शून्य है। इस मामले में जी<sub>0</sub>= कश्मीर<sub>0</sub> एक कॉम्पैक्ट झूठ बीजगणित है। यह ज्ञात है कि लाई पत्राचार के तहत, कॉम्पैक्ट लाई बीजगणित कॉम्पैक्ट लाई समूहों के अनुरूप है।
+एक वास्तविक लाई बीजगणित g0 को कॉम्पैक्ट कहा जाता है यदि [[ मारक रूप |किलिंग फॉर्म]] [[नकारात्मक निश्चित]] है, अर्थात g0 का सूचकांक शून्य है। इस स्थिति में g0 = k0 एक कॉम्पैक्ट लाई बीजगणित है। यह ज्ञात है कि लाई पत्राचार के तहत, कॉम्पैक्ट लाई बीजगणित कॉम्पैक्ट लाई समूहों के अनुरूप है।
 कॉम्पैक्ट फॉर्म सैटेक आरेख से मेल खाता है जिसमें सभी कोने काले होते हैं।
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 == सघन वास्तविक रूप का निर्माण ==
-सामान्य तौर पर, कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप का निर्माण अर्धसरल लाई बीजगणित के संरचना सिद्धांत का उपयोग करता है। [[शास्त्रीय झूठ बीजगणित]] के लिए एक अधिक स्पष्ट निर्माण है।
+सामान्यतः, कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप का निर्माण अर्धसरल लाई बीजगणित के संरचना सिद्धांत का उपयोग करता है।  [[शास्त्रीय झूठ बीजगणित|मौलिक लाई बीजगणित]] के लिए एक अधिक स्पष्ट निर्माण है।
-चलो जी<sub>0</sub> ट्रांसपोज़ मैप के तहत बंद होने वाले आर पर मैट्रिसेस का वास्तविक लाई बीजगणित हो,
+मान लीजिये g<sub>0</sub> को आर पर मैट्रिसेस का वास्तविक लाई बीजगणित होने दें जो ट्रांसपोज़ मानचित्र के तहत बंद है,
 : <math> X\to {X}^{t}.</math>
-फिर जी<sub>0</sub> इसके [[तिरछा-सममित मैट्रिक्स]] | तिरछा-सममित भाग k के प्रत्यक्ष योग में विघटित होता है<sub>0</sub> और इसका [[सममित मैट्रिक्स]] पी<sub>0</sub>, यह कार्टन अपघटन है:
+फिर g<sub>0</sub> इसके [[तिरछा-सममित मैट्रिक्स]] भाग k0 और इसके सममित भाग p0 के प्रत्यक्ष योग में विघटित हो जाता है, यह कार्टन अपघटन होता  है:
 : <math>\mathfrak{g}_0=\mathfrak{k}_0\oplus\mathfrak{p}_0. </math>
-जी का जटिलता जी<sub>0</sub> जी के प्रत्यक्ष योग में विघटित<sub>0</sub> और आईजी<sub>0</sub>. मैट्रिसेस का वास्तविक वेक्टर स्थान
+g का समिश्र g0 और ig0 के प्रत्यक्ष योग में विघटित होता है। मैट्रिसेस का वास्तविक वेक्टर स्थान होता है
 : <math>\mathfrak{u}_0=\mathfrak{k}_0\oplus i\mathfrak{p}_0 </math>
-कॉम्प्लेक्स लाई बीजगणित जी का एक उप-स्थान है जो कम्यूटेटर के तहत बंद है और इसमें [[तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स]] | तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिसेस शामिल हैं। यह इस प्रकार है कि यू<sub>0</sub> जी का एक वास्तविक लाई सबलजेब्रा है, कि इसका किलिंग फॉर्म नकारात्मक निश्चित है (इसे एक कॉम्पैक्ट लाई बीजगणित बनाता है), और यह कि यू का जटिलीकरण<sub>0</sub> जी है इसलिए, यू<sub>0</sub> जी. का संक्षिप्त रूप है।
+सम्मिश्र लाई बीजगणित जी का एक उप-स्थान है जो दिक्परिवर्तक के नीचे बंद होता है और इसमें तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिसेस सम्मलित होते  हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि u0 g का एक वास्तविक लाई सबलजेब्रा है, कि इसका किलिंग फॉर्म नकारात्मक निश्चित होता है (इसे एक सघन लाई बीजगणित बनाता है), और यह कि u0 का समिश्रीकरण g है, इसलिए, u0 g का संक्षिप्त रूप है।
 == यह भी देखें ==
-*जटिलता (लेट ग्रुप)
+*समिश्रता (लेट ग्रुप)
 == टिप्पणियाँ ==
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-{{DEFAULTSORT:Real Form (Lie Theory)}}[[Category: झूठ बोलने वाले समूह]] [[Category: बीजगणित झूठ बोलो]]
+{{DEFAULTSORT:Real Form (Lie Theory)}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page|Real Form (Lie Theory)]]
-[[Category:Created On 29/03/2023]]
+[[Category:Created On 29/03/2023|Real Form (Lie Theory)]]
+[[Category:Machine Translated Page|Real Form (Lie Theory)]]
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