विकसेक मॉडल: Difference between revisions
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'''विकसेक मॉडल''' एक गणितीय मॉडल है जिसका उपयोग [[सक्रिय पदार्थ]] का वर्णन करने के लिए किया जाता है। भौतिकविदों द्वारा सक्रिय पदार्थ के अध्ययन की एक प्रेरणा इस क्षेत्र से जुड़ी समृद्ध घटना है। [[सामूहिक गति]] और वृंदन सबसे अधिक अध्ययन की गई घटनाओं में से हैं। सूक्ष्म विवरण से इस तरह के व्यवहार को पकड़ने के लिए बड़ी संख्या में मॉडल विकसित किए गए हैं, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध 1995 में तमसे विकसेक एट अल द्वारा प्रस्तुत किया गया मॉडल है।<ref>{{Cite journal|title = स्व-चालित कणों की एक प्रणाली में उपन्यास प्रकार का चरण संक्रमण|journal = Physical Review Letters|date = 1995-08-07|pages = 1226–1229|volume = 75|issue = 6|doi = 10.1103/PhysRevLett.75.1226|first1 = Tamás|last1 = Vicsek|first2 = András|last2 = Czirók|first3 = Eshel|last3 = Ben-Jacob|first4 = Inon|last4 = Cohen|first5 = Ofer|last5 = Shochet|pmid=10060237|arxiv = cond-mat/0611743|bibcode = 1995PhRvL..75.1226V| s2cid=15918052 }}</ref> | |||
इस मॉडल में भौतिकविदों की बहुत रुचि है क्योंकि यह न्यूनतम है और एक प्रकार की [[सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणाली)]] का वर्णन करता है। इसमें बिंदु-जैसे [[स्व-चालित कण]] होते हैं जो निरंतर गति से विकसित होते हैं और ध्वनि की उपस्थिति में अपने निकटतम के साथ अपने वेग को संरेखित करते हैं। ऐसा मॉडल संरेखण पर कणों के उच्च घनत्व या कम ध्वनि पर सामूहिक गति दिखाता है। | इस मॉडल में भौतिकविदों की बहुत रुचि है क्योंकि यह न्यूनतम है और एक प्रकार की [[सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणाली)]] का वर्णन करता है। इसमें बिंदु-जैसे [[स्व-चालित कण]] होते हैं जो निरंतर गति से विकसित होते हैं और ध्वनि की उपस्थिति में अपने निकटतम के साथ अपने वेग को संरेखित करते हैं। ऐसा मॉडल संरेखण पर कणों के उच्च घनत्व या कम ध्वनि पर सामूहिक गति दिखाता है। | ||
== मॉडल (गणितीय विवरण) == | == मॉडल (गणितीय विवरण) == | ||
जैसा कि इस मॉडल का लक्ष्य न्यूनतम होना है, यह मानता है कि फ्लॉकिंग किसी भी प्रकार के आत्म प्रणोदन और प्रभावी संरेखण के संयोजन के कारण होता है। | जैसा कि इस मॉडल का लक्ष्य न्यूनतम होना है, यह मानता है कि फ्लॉकिंग किसी भी प्रकार के आत्म प्रणोदन और प्रभावी संरेखण के संयोजन के कारण होता है। | ||
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एक व्यक्ति <math>i</math> का वर्णन उसकी स्थिति <math>\mathbf{r}_i(t)</math> और समय <math>t</math> पर उसके वेग की दिशा को परिभाषित करने वाले कोण <math>\Theta_i(t)</math> द्वारा किया जाता है। एक कण का असतत समय विकास दो समीकरणों द्वारा निर्धारित होता है: | एक व्यक्ति <math>i</math> का वर्णन उसकी स्थिति <math>\mathbf{r}_i(t)</math> और समय <math>t</math> पर उसके वेग की दिशा को परिभाषित करने वाले कोण <math>\Theta_i(t)</math> द्वारा किया जाता है। एक कण का असतत समय विकास दो समीकरणों द्वारा निर्धारित होता है: | ||
# हर बार <math>\Delta t</math> कदम पर, प्रत्येक एजेंट एक ध्वनि <math>\eta_i(t)</math> के कारण अनिश्चितता के साथ एक निश्चित दूरी <math>r</math> के अंदर | # हर बार <math>\Delta t</math> कदम पर, प्रत्येक एजेंट एक ध्वनि <math>\eta_i(t)</math> के कारण अनिश्चितता के साथ एक निश्चित दूरी <math>r</math> के अंदर अपने निकटतम के साथ संरेखित करता है। | ||
#* <math>\Theta_i(t+\Delta t) = \langle \Theta_j \rangle_{|r_i-r_j|<r} + \eta_i(t)</math> | #* <math>\Theta_i(t+\Delta t) = \langle \Theta_j \rangle_{|r_i-r_j|<r} + \eta_i(t)</math> | ||
# कण तब स्थिर गति से चलता है | # कण तब स्थिर गति से चलता है <math>v</math> नई दिशा में: | ||
#* <math>\mathbf{r}_i(t+\Delta t) = \mathbf{r}_i(t) + v \Delta t \begin{pmatrix} \cos\Theta_i(t) \\ \sin\Theta_i(t) \end{pmatrix}</math> | #* <math>\mathbf{r}_i(t+\Delta t) = \mathbf{r}_i(t) + v \Delta t \begin{pmatrix} \cos\Theta_i(t) \\ \sin\Theta_i(t) \end{pmatrix}</math> | ||
इन समीकरणों में, <math>\langle \Theta_j \rangle_{|r_i-r_j|<r}</math> | इन समीकरणों में, <math>\langle \Theta_j \rangle_{|r_i-r_j|<r}</math> के अंदर कणों (कण <math>i</math> सहित) के वेग की औसत दिशा को दर्शाता है। कण <math>i</math> के चारों ओर त्रिज्या <math>r</math> का वृत्त है। | ||
पूरे मॉडल को तीन मापदंडों द्वारा नियंत्रित किया जाता है: कणों का घनत्व, संरेखण पर ध्वनि का आयाम और यात्रा दूरी का अनुपात <math>v \Delta t</math> परस्पर क्रिया <math> r </math> दूरी के लिए | पूरे मॉडल को तीन मापदंडों द्वारा नियंत्रित किया जाता है: कणों का घनत्व, संरेखण पर ध्वनि का आयाम और यात्रा दूरी का अनुपात <math>v \Delta t</math> परस्पर क्रिया <math> r </math> दूरी के लिए . इन दो सरल पुनरावृति नियमों से, विभिन्न सतत सिद्धांत को विस्तृत किया गया है जैसे <ref>{{Cite journal|title = स्व-चालित कणों के लिए बोल्ट्जमैन और हाइड्रोडायनामिक विवरण|journal = Physical Review E|date = 2006-08-02|pages = 022101|volume = 74|issue = 2|doi = 10.1103/PhysRevE.74.022101|pmid = 17025488|first1 = Eric|last1 = Bertin|first2 = Michel|last2 = Droz|first3 = Guillaume|last3 = Grégoire|arxiv = cond-mat/0601038|bibcode = 2006PhRvE..74b2101B| s2cid=19658705 }}</ref> टोनर टू सिद्धांत<ref>{{Cite journal|title = Long-Range Order in a Two-Dimensional Dynamical $\mathrm{XY}$ Model: How Birds Fly Together|journal = Physical Review Letters|date = 1995-12-04|pages = 4326–4329|volume = 75|issue = 23|doi = 10.1103/PhysRevLett.75.4326|pmid = 10059876|first1 = John|last1 = Toner|first2 = Yuhai|last2 = Tu|bibcode=1995PhRvL..75.4326T}}</ref> जो हाइड्रोडायनामिक स्तर पर प्रणाली का वर्णन करता है। | ||
एक एन्स्कोग-जैसा गतिज सिद्धांत, जो इच्छानुसार कण घनत्व पर मान्य है, विकसित किया गया है।<ref>{{Cite journal|title = Kinetic theory of flocking: Derivation of hydrodynamic equations|journal = Physical Review E|date = 2011-03-16|pages = 030901 |volume = 83|issue = 3|doi = 10.1103/PhysRevE.83.030901|first = Thomas|last = Ihle| pmid=21517447 | arxiv=1006.1825 | bibcode=2011PhRvE..83c0901I |doi-access = free}}</ref> यह सिद्धांत मात्रात्मक रूप से तीव्र घनत्व तरंगों के गठन का वर्णन करता है जिसे सामूहिक गति के संक्रमण के निकट अंतःक्रमण तरंगें भी कहा जाता है।।<ref>{{Cite journal|title = सक्रिय कणों की प्रणालियों में आक्रमण-तरंग-प्रेरित प्रथम-क्रम चरण संक्रमण|journal = Physical Review E|date = 2013-10-18|pages = 040303 |volume = 88|issue = 4|doi = 10.1103/PhysRevE.88.040303|first = Thomas|last = Ihle| pmid=24229097 |arxiv = 1304.0149| bibcode=2013PhRvE..88d0303I | s2cid=14951536 }}</ref> | एक एन्स्कोग-जैसा गतिज सिद्धांत, जो इच्छानुसार कण घनत्व पर मान्य है, विकसित किया गया है।<ref>{{Cite journal|title = Kinetic theory of flocking: Derivation of hydrodynamic equations|journal = Physical Review E|date = 2011-03-16|pages = 030901 |volume = 83|issue = 3|doi = 10.1103/PhysRevE.83.030901|first = Thomas|last = Ihle| pmid=21517447 | arxiv=1006.1825 | bibcode=2011PhRvE..83c0901I |doi-access = free}}</ref> यह सिद्धांत मात्रात्मक रूप से तीव्र घनत्व तरंगों के गठन का वर्णन करता है जिसे सामूहिक गति के संक्रमण के निकट अंतःक्रमण तरंगें भी कहा जाता है।।<ref>{{Cite journal|title = सक्रिय कणों की प्रणालियों में आक्रमण-तरंग-प्रेरित प्रथम-क्रम चरण संक्रमण|journal = Physical Review E|date = 2013-10-18|pages = 040303 |volume = 88|issue = 4|doi = 10.1103/PhysRevE.88.040303|first = Thomas|last = Ihle| pmid=24229097 |arxiv = 1304.0149| bibcode=2013PhRvE..88d0303I | s2cid=14951536 }}</ref> | ||
== घटना विज्ञान == | == घटना विज्ञान == | ||
यह मॉडल एक चरण संक्रमण दिखाता है<ref>{{Cite journal|title = सामूहिक और सामंजस्यपूर्ण गति की शुरुआत|journal = Physical Review Letters|date = 2004-01-15|pages = 025702|volume = 92|issue = 2|doi = 10.1103/PhysRevLett.92.025702|pmid = 14753946|first1 = Guillaume|last1 = Grégoire|first2 = Hugues|last2 = Chaté|bibcode=2004PhRvL..92b5702G|arxiv = cond-mat/0401208| s2cid=37159324 }}</ref> अव्यवस्थित गति से बड़े मापदंड पर आदेशित गति बड़े ध्वनि या कम घनत्व पर, कण औसतन संरेखित नहीं होते हैं, और उन्हें अव्यवस्थित गैस के रूप में वर्णित किया जा सकता है। कम ध्वनि और बड़े घनत्व पर, कण विश्व स्तर पर संरेखित होते हैं और एक ही दिशा (सामूहिक गति) में चलते हैं। इस अवस्था की व्याख्या एक क्रमबद्ध तरल के रूप में की जाती है। इन दो चरणों के बीच संक्रमण निरंतर नहीं है, वास्तव में प्रणाली का [[चरण आरेख]] माइक्रोप्रेज पृथक्करण के साथ [[प्रथम क्रम चरण संक्रमण]] प्रदर्शित करता है। सह-अस्तित्व क्षेत्र में, परिमित आकार के तरल बैंड<ref>{{Cite journal|title = From Phase to Microphase Separation in Flocking Models: The Essential Role of Nonequilibrium Fluctuations|journal = Physical Review Letters|date = 2015-02-12|pages = 068101|volume = 114|issue = 6|doi = 10.1103/PhysRevLett.114.068101|first1 = Alexandre P.|last1 = Solon|first2 = Hugues|last2 = Chaté|first3 = Julien|last3 = Tailleur|bibcode=2015PhRvL.114f8101S|pmid=25723246|arxiv = 1406.6088| s2cid=43186543 }}</ref> गैसीय वातावरण में निकलते हैं और अपनी अनुप्रस्थ दिशा में चलते हैं। वर्तमान में, एक नए चरण की खोज की गई है: स्वाभाविक रूप से चयनित क्रॉसिंग कोण के साथ घनत्व तरंगों का एक ध्रुवीय आदेशित क्रॉस समुद्री चरण।<ref>{{Cite journal|title = शुष्क सक्रिय पदार्थ एक स्व-संगठित क्रॉस सी चरण प्रदर्शित करता है|journal = Physical Review Letters|date = 2020-10-30|pages = 188003 |volume = 125|issue = 18|doi = 10.1103/PhysRevLett.125.188003|pmid = 33196272|first1 = Rüdiger|last1 = Kürsten|first2 = Thomas|last2 = Ihle|arxiv = 2002.03198 | यह मॉडल एक चरण संक्रमण दिखाता है<ref>{{Cite journal|title = सामूहिक और सामंजस्यपूर्ण गति की शुरुआत|journal = Physical Review Letters|date = 2004-01-15|pages = 025702|volume = 92|issue = 2|doi = 10.1103/PhysRevLett.92.025702|pmid = 14753946|first1 = Guillaume|last1 = Grégoire|first2 = Hugues|last2 = Chaté|bibcode=2004PhRvL..92b5702G|arxiv = cond-mat/0401208| s2cid=37159324 }}</ref> अव्यवस्थित गति से बड़े मापदंड पर आदेशित गति बड़े ध्वनि या कम घनत्व पर, कण औसतन संरेखित नहीं होते हैं, और उन्हें अव्यवस्थित गैस के रूप में वर्णित किया जा सकता है। कम ध्वनि और बड़े घनत्व पर, कण विश्व स्तर पर संरेखित होते हैं और एक ही दिशा (सामूहिक गति) में चलते हैं। इस अवस्था की व्याख्या एक क्रमबद्ध तरल के रूप में की जाती है। इन दो चरणों के बीच संक्रमण निरंतर नहीं है, वास्तव में प्रणाली का [[चरण आरेख]] माइक्रोप्रेज पृथक्करण के साथ [[प्रथम क्रम चरण संक्रमण]] प्रदर्शित करता है। सह-अस्तित्व क्षेत्र में, परिमित आकार के तरल बैंड<ref>{{Cite journal|title = From Phase to Microphase Separation in Flocking Models: The Essential Role of Nonequilibrium Fluctuations|journal = Physical Review Letters|date = 2015-02-12|pages = 068101|volume = 114|issue = 6|doi = 10.1103/PhysRevLett.114.068101|first1 = Alexandre P.|last1 = Solon|first2 = Hugues|last2 = Chaté|first3 = Julien|last3 = Tailleur|bibcode=2015PhRvL.114f8101S|pmid=25723246|arxiv = 1406.6088| s2cid=43186543 }}</ref> गैसीय वातावरण में निकलते हैं और अपनी अनुप्रस्थ दिशा में चलते हैं। वर्तमान में, एक नए चरण की खोज की गई है: स्वाभाविक रूप से चयनित क्रॉसिंग कोण के साथ घनत्व तरंगों का एक ध्रुवीय आदेशित क्रॉस समुद्री चरण।<ref>{{Cite journal|title = शुष्क सक्रिय पदार्थ एक स्व-संगठित क्रॉस सी चरण प्रदर्शित करता है|journal = Physical Review Letters|date = 2020-10-30|pages = 188003 |volume = 125|issue = 18|doi = 10.1103/PhysRevLett.125.188003|pmid = 33196272|first1 = Rüdiger|last1 = Kürsten|first2 = Thomas|last2 = Ihle|arxiv = 2002.03198 | ||
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1995 में अपनी उपस्थिति के बाद से यह मॉडल भौतिकी समुदाय के अंदर | 1995 में अपनी उपस्थिति के बाद से यह मॉडल भौतिकी समुदाय के अंदर बहुत लोकप्रिय रहा है; कई वैज्ञानिकों ने इस पर काम किया है और इसे बढ़ाया है। उदाहरण के लिए, कोई भी कणों की गति और उनके संरेखण से संबंधित सरल समरूपता तर्कों से कई सार्वभौमिकता वर्ग निकाल सकता है।<ref>{{Cite journal|title = Modeling collective motion: variations on the Vicsek model|journal = The European Physical Journal B|date = 2008-07-11|issn = 1434-6028|pages = 451–456|volume = 64|issue = 3–4|doi = 10.1140/epjb/e2008-00275-9|first1 = H.|last1 = Chaté|first2 = F.|last2 = Ginelli|first3 = G.|last3 = Grégoire|first4 = F.|last4 = Peruani|first5 = F.|last5 = Raynaud|bibcode = 2008EPJB...64..451C| s2cid=49363896 }}</ref> | ||
इसके अतिरिक्त, वास्तविक प्रणालियों में, अधिक यथार्थवादी विवरण देने के लिए कई मापदंडों को सम्मिलित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए एजेंटों (परिमित आकार के कण), केमोटैक्सिस (जैविक प्रणाली), मेमोरी, गैर-समान कण, आसपास के तरल के बीच आकर्षण और प्रतिकर्षण होता है | | इसके अतिरिक्त, वास्तविक प्रणालियों में, अधिक यथार्थवादी विवरण देने के लिए कई मापदंडों को सम्मिलित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए एजेंटों (परिमित आकार के कण), केमोटैक्सिस (जैविक प्रणाली), मेमोरी, गैर-समान कण, आसपास के तरल के बीच आकर्षण और प्रतिकर्षण होता है | | ||
एक सरल सिद्धांत, सक्रिय आइसिंग मॉडल,<ref>{{Cite journal|title = सक्रिय स्पिन का उपयोग करते हुए फ्लॉकिंग ट्रांजिशन पर दोबारा गौर करना|journal = Physical Review Letters|date = 2013-08-13|pages = 078101|volume = 111|issue = 7|doi = 10.1103/PhysRevLett.111.078101|first1 = A. P.|last1 = Solon|first2 = J.|last2 = Tailleur|bibcode=2013PhRvL.111g8101S|pmid=23992085|arxiv = 1303.4427}}</ref> | एक सरल सिद्धांत, सक्रिय आइसिंग मॉडल,<ref>{{Cite journal|title = सक्रिय स्पिन का उपयोग करते हुए फ्लॉकिंग ट्रांजिशन पर दोबारा गौर करना|journal = Physical Review Letters|date = 2013-08-13|pages = 078101|volume = 111|issue = 7|doi = 10.1103/PhysRevLett.111.078101|first1 = A. P.|last1 = Solon|first2 = J.|last2 = Tailleur|bibcode=2013PhRvL.111g8101S|pmid=23992085|arxiv = 1303.4427}}</ref> विकसेक मॉडल के विश्लेषण को सुविधाजनक बनाने के लिए विकसित किया गया है। | ||
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Latest revision as of 16:05, 27 April 2023
विकसेक मॉडल एक गणितीय मॉडल है जिसका उपयोग सक्रिय पदार्थ का वर्णन करने के लिए किया जाता है। भौतिकविदों द्वारा सक्रिय पदार्थ के अध्ययन की एक प्रेरणा इस क्षेत्र से जुड़ी समृद्ध घटना है। सामूहिक गति और वृंदन सबसे अधिक अध्ययन की गई घटनाओं में से हैं। सूक्ष्म विवरण से इस तरह के व्यवहार को पकड़ने के लिए बड़ी संख्या में मॉडल विकसित किए गए हैं, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध 1995 में तमसे विकसेक एट अल द्वारा प्रस्तुत किया गया मॉडल है।[1]
इस मॉडल में भौतिकविदों की बहुत रुचि है क्योंकि यह न्यूनतम है और एक प्रकार की सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणाली) का वर्णन करता है। इसमें बिंदु-जैसे स्व-चालित कण होते हैं जो निरंतर गति से विकसित होते हैं और ध्वनि की उपस्थिति में अपने निकटतम के साथ अपने वेग को संरेखित करते हैं। ऐसा मॉडल संरेखण पर कणों के उच्च घनत्व या कम ध्वनि पर सामूहिक गति दिखाता है।
मॉडल (गणितीय विवरण)
जैसा कि इस मॉडल का लक्ष्य न्यूनतम होना है, यह मानता है कि फ्लॉकिंग किसी भी प्रकार के आत्म प्रणोदन और प्रभावी संरेखण के संयोजन के कारण होता है।
एक व्यक्ति का वर्णन उसकी स्थिति और समय पर उसके वेग की दिशा को परिभाषित करने वाले कोण द्वारा किया जाता है। एक कण का असतत समय विकास दो समीकरणों द्वारा निर्धारित होता है:
- हर बार कदम पर, प्रत्येक एजेंट एक ध्वनि के कारण अनिश्चितता के साथ एक निश्चित दूरी के अंदर अपने निकटतम के साथ संरेखित करता है।
- कण तब स्थिर गति से चलता है नई दिशा में:
इन समीकरणों में, के अंदर कणों (कण सहित) के वेग की औसत दिशा को दर्शाता है। कण के चारों ओर त्रिज्या का वृत्त है।
पूरे मॉडल को तीन मापदंडों द्वारा नियंत्रित किया जाता है: कणों का घनत्व, संरेखण पर ध्वनि का आयाम और यात्रा दूरी का अनुपात परस्पर क्रिया दूरी के लिए . इन दो सरल पुनरावृति नियमों से, विभिन्न सतत सिद्धांत को विस्तृत किया गया है जैसे [2] टोनर टू सिद्धांत[3] जो हाइड्रोडायनामिक स्तर पर प्रणाली का वर्णन करता है।
एक एन्स्कोग-जैसा गतिज सिद्धांत, जो इच्छानुसार कण घनत्व पर मान्य है, विकसित किया गया है।[4] यह सिद्धांत मात्रात्मक रूप से तीव्र घनत्व तरंगों के गठन का वर्णन करता है जिसे सामूहिक गति के संक्रमण के निकट अंतःक्रमण तरंगें भी कहा जाता है।।[5]
घटना विज्ञान
यह मॉडल एक चरण संक्रमण दिखाता है[6] अव्यवस्थित गति से बड़े मापदंड पर आदेशित गति बड़े ध्वनि या कम घनत्व पर, कण औसतन संरेखित नहीं होते हैं, और उन्हें अव्यवस्थित गैस के रूप में वर्णित किया जा सकता है। कम ध्वनि और बड़े घनत्व पर, कण विश्व स्तर पर संरेखित होते हैं और एक ही दिशा (सामूहिक गति) में चलते हैं। इस अवस्था की व्याख्या एक क्रमबद्ध तरल के रूप में की जाती है। इन दो चरणों के बीच संक्रमण निरंतर नहीं है, वास्तव में प्रणाली का चरण आरेख माइक्रोप्रेज पृथक्करण के साथ प्रथम क्रम चरण संक्रमण प्रदर्शित करता है। सह-अस्तित्व क्षेत्र में, परिमित आकार के तरल बैंड[7] गैसीय वातावरण में निकलते हैं और अपनी अनुप्रस्थ दिशा में चलते हैं। वर्तमान में, एक नए चरण की खोज की गई है: स्वाभाविक रूप से चयनित क्रॉसिंग कोण के साथ घनत्व तरंगों का एक ध्रुवीय आदेशित क्रॉस समुद्री चरण।[8] कणों का यह सहज संगठन सामूहिक गति का प्रतीक है।
एक्सटेंशन
1995 में अपनी उपस्थिति के बाद से यह मॉडल भौतिकी समुदाय के अंदर बहुत लोकप्रिय रहा है; कई वैज्ञानिकों ने इस पर काम किया है और इसे बढ़ाया है। उदाहरण के लिए, कोई भी कणों की गति और उनके संरेखण से संबंधित सरल समरूपता तर्कों से कई सार्वभौमिकता वर्ग निकाल सकता है।[9]
इसके अतिरिक्त, वास्तविक प्रणालियों में, अधिक यथार्थवादी विवरण देने के लिए कई मापदंडों को सम्मिलित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए एजेंटों (परिमित आकार के कण), केमोटैक्सिस (जैविक प्रणाली), मेमोरी, गैर-समान कण, आसपास के तरल के बीच आकर्षण और प्रतिकर्षण होता है |
एक सरल सिद्धांत, सक्रिय आइसिंग मॉडल,[10] विकसेक मॉडल के विश्लेषण को सुविधाजनक बनाने के लिए विकसित किया गया है।
संदर्भ
- ↑ Vicsek, Tamás; Czirók, András; Ben-Jacob, Eshel; Cohen, Inon; Shochet, Ofer (1995-08-07). "स्व-चालित कणों की एक प्रणाली में उपन्यास प्रकार का चरण संक्रमण". Physical Review Letters. 75 (6): 1226–1229. arXiv:cond-mat/0611743. Bibcode:1995PhRvL..75.1226V. doi:10.1103/PhysRevLett.75.1226. PMID 10060237. S2CID 15918052.
- ↑ Bertin, Eric; Droz, Michel; Grégoire, Guillaume (2006-08-02). "स्व-चालित कणों के लिए बोल्ट्जमैन और हाइड्रोडायनामिक विवरण". Physical Review E. 74 (2): 022101. arXiv:cond-mat/0601038. Bibcode:2006PhRvE..74b2101B. doi:10.1103/PhysRevE.74.022101. PMID 17025488. S2CID 19658705.
- ↑ Toner, John; Tu, Yuhai (1995-12-04). "Long-Range Order in a Two-Dimensional Dynamical $\mathrm{XY}$ Model: How Birds Fly Together". Physical Review Letters. 75 (23): 4326–4329. Bibcode:1995PhRvL..75.4326T. doi:10.1103/PhysRevLett.75.4326. PMID 10059876.
- ↑ Ihle, Thomas (2011-03-16). "Kinetic theory of flocking: Derivation of hydrodynamic equations". Physical Review E. 83 (3): 030901. arXiv:1006.1825. Bibcode:2011PhRvE..83c0901I. doi:10.1103/PhysRevE.83.030901. PMID 21517447.
- ↑ Ihle, Thomas (2013-10-18). "सक्रिय कणों की प्रणालियों में आक्रमण-तरंग-प्रेरित प्रथम-क्रम चरण संक्रमण". Physical Review E. 88 (4): 040303. arXiv:1304.0149. Bibcode:2013PhRvE..88d0303I. doi:10.1103/PhysRevE.88.040303. PMID 24229097. S2CID 14951536.
- ↑ Grégoire, Guillaume; Chaté, Hugues (2004-01-15). "सामूहिक और सामंजस्यपूर्ण गति की शुरुआत". Physical Review Letters. 92 (2): 025702. arXiv:cond-mat/0401208. Bibcode:2004PhRvL..92b5702G. doi:10.1103/PhysRevLett.92.025702. PMID 14753946. S2CID 37159324.
- ↑ Solon, Alexandre P.; Chaté, Hugues; Tailleur, Julien (2015-02-12). "From Phase to Microphase Separation in Flocking Models: The Essential Role of Nonequilibrium Fluctuations". Physical Review Letters. 114 (6): 068101. arXiv:1406.6088. Bibcode:2015PhRvL.114f8101S. doi:10.1103/PhysRevLett.114.068101. PMID 25723246. S2CID 43186543.
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