मार्कोव स्पेक्ट्रम

गणित में, एंड्री मार्कोव द्वारा तैयार किया गया मार्कोव स्पेक्ट्रम मार्कोव डायोफैंटाइन समीकरण में उत्पन्न होने वाली वास्तविक संख्याओं का जटिल समूह है और डायोफैंटाइन समीकरण के सिद्धांत में भी है।

द्विघात रूप विशेषता

f(x,y) = ax² + bxy + cy² द्वारा दिए गए द्विघात रूप पर विचार करें और मान लें कि इसका विविक्तकर द्विघात रूप निश्चित है, मान लीजिए -1/4 के सामान है। दूसरे शब्दों में, b² − 4ac = 1.होता है |

$\left\vert f(x,y)\right\vert$द्वारा मिले न्यूनतम मूल्य प्राप्त करने के लिए कह सकता है जब इसका मूल्यांकन ग्रिड के गैर-शून्य सदिशो $\mathbb {Z} ^{2}$ पर किया जाता है और यदि यह निम्नतम और उच्चतम के लिए उपस्थित नहीं है,|

मार्कोव स्पेक्ट्रम एम इस खोज को अलग-अलग द्विघात रूपों के साथ दोहराकर प्राप्त किया गया समुच्चय है जिसमें विभेदक -1/4 तय किया गया है:

$$M=\left\{\left(\inf _{(x,y)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}|f(x,y)|\right)^{-1}:f(x,y)=ax^{2}+bxy+cy^{2},\ b^{2}-4ac=1\right\}$$

लैग्रेंज स्पेक्ट्रम

Further information: लाग्रेंज संख्या

डायोफैंटाइन सन्निकटन पर हूरविट्ज़ के प्रमेय (संख्या सिद्धांत) से प्रारंभ करते हुए कि कोई भी वास्तविक संख्या $\xi$ परिमेय सन्निकटन m/n का क्रम होता है | जो इसके साथ व्यवहार करता है |

$\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}},$

कुछ 1/c के अस्तित्व के बारे में 1/c ≥√5 के साथ 1/c के प्रत्येक मान $\xi$ के साथ पूछना संभव है |

$\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {c}{n^{2}}}$

ऐसे अनुक्रम के लिए, जिसके लिए c सर्वोत्तम संभव (अधिकतम) मान है। ऐसा 1/सी 'लैग्रेंज स्पेक्ट्रम' एल कम से कम √5 (जो स्पेक्ट्रम का सबसे छोटा मान है) वास्तविक संख्याओं का समुच्चय बनाता है । पारस्परिक के साथ सूत्रीकरण अलग है, किन्तु पारंपरिक परिभाषा इसे आमंत्रित करती है; इसके अतिरिक्त c के समुच्चय को देखने से श्रेष्ठ को सीमित करो और निम्न को सीमित करो के माध्यम से परिभाषा की अनुमति मिलती है। उसके लिए, विचार करें

$\liminf _{n\to \infty }n^{2}\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|,$

जहाँ m को n के पूर्णांक फलन के रूप में प्रयुक्त किया जाता है जिससे अंतर को न्यूनतम किया जा सके। यह $\xi$ का कार्य है , और लैग्रेंज स्पेक्ट्रम का व्युत्क्रम, अपरिमेय संख्याओं पर लगने वाले मानों की श्रेणी है।

मार्कोव स्पेक्ट्रम के साथ संबंध

लैग्रेंज स्पेक्ट्रम का प्रारंभिक भाग, अर्थात् अंतराल [√5, 3) में स्थित भाग , मार्कोव स्पेक्ट्रम के सामान है। पहले कुछ मान हैं √5, √8, √221/5, √1517/13, ... और इस अनुक्रम की nवीं संख्या (अर्थात, nवीं लग्रेंज संख्या) की गणना सूत्र द्वारा nवीं मार्कोव संख्या से की जा सकती है

$$L_{n}={\sqrt {9-{4 \over {m_{n}}^{2}}}}.$$

लैग्रेंज स्पेक्ट्रम में अंतिम अंतराल के अंत को फ्रीमैन स्थिरांक नाम दिया गया है, अर्थात्:

$F={\frac {2\,221\,564\,096+283\,748{\sqrt {462}}}{491\,993\,569}}=4.5278295661\dots$ (sequence A118472 in the OEIS).

F से बड़ी वास्तविक संख्याएँ भी मार्कोव स्पेक्ट्रम की सदस्य हैं। इसके अतिरिक्त, यह सिद्ध करना संभव है कि एल सख्ती से एम में समाहित है।

मार्कोव और लाग्रेंज स्पेक्ट्रम की ज्यामिति

एक ओर, अंतराल में पड़े मार्कोव और लैग्रेंज स्पेक्ट्रम का प्रारंभिक भाग [√5, 3) दोनों बराबर हैं और वे एक असतत समुच्चय हैं। दूसरी ओर, फ्रीमैन के स्थिरांक के बाद पड़े इन समुच्चय का अंतिम भाग भी बराबर है, लेकिन एक निरंतर समुच्चय है। प्रारंभिक भाग और अंतिम भाग के बीच के भाग की ज्यामिति में भग्न संरचना होती है, और इसे असतत प्रारंभिक भाग और निरंतर अंतिम भाग के बीच एक ज्यामितीय संक्रमण के रूप में देखा जा सकता है। यह अगले प्रमेय में स्पष्ट रूप से कहा गया है:

Theorem — Given $t\in \mathbb {R}$, the Hausdorff dimension of $L\cap (-\infty ,t)$ is equal to the Hausdorff dimension of $M\cap (-\infty ,t)$. Moreover, if d is the function defined as $d(t):=\dim _{H}(M\cap (-\infty ,t))$, where dim_H denotes the Hausdorff dimension, then d is continuous and maps R onto [0,1].

यह भी देखें

• मार्कोव संख्या

अग्रिम पठन

• Aigner, Martin (2013). Markov's theorem and 100 years of the uniqueness conjecture : a mathematical journey from irrational numbers to perfect matchings. New York: Springer. ISBN 978-3-319-00887-5. OCLC 853659945.
• Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 188–189, 1996.
• Cusick, T. W. and Flahive, M. E. The Markov and Lagrange Spectra. Providence, RI: Amer. Math. Soc., 1989.
• Cassels, J.W.S. (1957). An introduction to Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. Vol. 45. Cambridge University Press. Zbl 0077.04801.

बाहरी संबंध

• "Markov spectrum problem", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]