कनेक्शन प्रपत्र: Difference between revisions

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गणित में विशेष रूप से अवकलन ज्यामिति में एक कनेक्शन प्रपत्र गणित के डेटा को व्यवस्थित करने की विधि होती है, जो गतिमान फ्रेम और अंतर रूपों की भाषा का उपयोग करता है।

ऐतिहासिक रूप से, एली कार्टन द्वारा 20 वीं शताब्दी के पहले भाग में कनेक्शन प्रपत्र को प्रस्तुत किया गया था और इस प्रकार फ्रेम को स्थानांतरित करने की उनकी पद्धति के लिए प्रमुख प्रेरणाओं में से एक था। कनेक्शन प्रपत्र सामान्यतः समन्वय फ्रेम की पसंद पर निर्भर करता है और इसलिए यह एक तन्य वस्तु के रूप में नहीं है। कार्टन के प्रारंभिक काम के बाद कनेक्शन प्रपत्र के विभिन्न सामान्यीकरण और पुनर्व्याख्या को तैयार किया गया था और विशेष रूप से एक सिद्धांत बंडल पर एक टेंसोरियल ऑब्जेक्ट के रूप में कनेक्शन फॉर्म की प्राकृतिक पुनर्व्याख्या होती है और दूसरी ओर कनेक्शन प्रपत्र का लाभ है कि यह अलग-अलग मैनिफोल्ड पर परिभाषित एक अंतर के रूप में होता है और इसके अतिरिक्त ऊपर एक अमूर्त प्रमुख बंडल के रूप में होता है इसलिए इनके साथ आसानी से गणना करने की वजह से टेसोरियलिटी कनेक्शन के न होने के बावजूद इनका उपयोग किया जा रहा है।^[1] भौतिकी में, गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न के माध्यम से गेज सिद्धांत के संदर्भ में कनेक्शन रूपों का भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

एक कनेक्शन प्रपत्र वेक्टर बंडल के प्रत्येक आधार के अंतर रूपों के मैट्रिक्स (गणित) के साथ सहयोगी होता है। कनेक्शन प्रपत्र टेन्सोरियल के रूप में नहीं होता है, क्योंकि आधार के परिवर्तन के अनुसार कनेक्शन प्रपत्र परिवर्तित हो जाता है जिसमें एटलस (टोपोलॉजी) ट्रांज़िशन मैप्स के बाहरी व्युत्पन्न के रूप में सम्मलित होते हैं, वैसे ही जैसे लेवी-सिविटा कनेक्शन के लिए क्रिस्टोफेल प्रतीक कनेक्शन प्रपत्र का मुख्य टेन्सोरियल इनवेरिएंट इसका वक्रता रूप है। और इस प्रकार स्पर्शरेखा बंडल के साथ सदिश बंडल की सर्वसमिकाएँ करने वाले सोल्डर प्रपत्र की उपस्थिति में, एक अतिरिक्त अपरिवर्तनीय आक्षेप (अंतर ज्यामिति) के रूप में होता है और इस प्रकार कई स्थितियों में अतिरिक्त संरचना वाले सदिश बंडलों पर कनेक्शन प्रपत्रों पर विचार किया जाता है जो लाइ समूह के साथ एक फाइबर बंडल के रूप में होते हैं।

सदिश बंडल

सदिश बंडल पर फ्रेम

भिन्न कई गुना एम पर फाइबर आयामी k एक सदिश बंडल के रूप में है और ई के लिए एक 'स्थानीय फ्रेम' ई के स्थानीय अनुभागों का क्रमबद्ध आधार है। स्थानीय फ्रेम का निर्माण करना अधिकांशता संभव होता है और इस प्रकार सदिश बंडलों को अधिकांशता स्थानीय निरर्थकता के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है और कई गुना एटलस (टोपोलॉजी) के अनुरूप होते है। यदि बेस मैनिफोल्ड एम पर कोई बिंदु एक्स दिया गया है, वह एक खुला निकटतम U ⊂ M एक्स के रूप में उपस्थित है जिसके लिए यू पर सदिश बंडल के क्षेत्र U × R^k के लिए समरूप होते है यह स्थानीय तुच्छीकरण के रूप में है। और R^k पर सदिश स्पेस संरचना को इस प्रकार संपूर्ण स्थानीय तुच्छीकरण तक बढ़ाया जा सकता है और R^k के आधार को बढ़ाया जा सकता है और यह स्थानीय फ्रेम को परिभाषित करता है। यहाँ, R का आशय वास्तविक संख्याओं से है $\mathbb {R}$ , चूंकि यहां अधिकांश विकास सामान्य रूप से छल्ले पर मॉड्यूल और जटिल संख्याओं $\mathbb {C}$ पर सदिश रिक्त स्थान तक विशेष रूप से बढ़ाया जा सकता है।

यहाँ e = (e_α)_α=1,2,...,k पर एक स्थानीय फ्रेम E के रूप में होते है। इस फ्रेम का उपयोग स्थानीय रूप से E के किसी भी खंड को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि ξ एक स्थानीय खंड है, जिसे उसी खुले समुच्चय पर फ्रेम 'ई' के रूप में परिभाषित किया गया है। तब यह इस प्रकार दिखाया जाता है।

\xi =\sum _{\alpha =1}^{k}e_{\alpha }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )

जहां ξ^α(e) फ्रेम e में ξ के घटकों को दर्शाता है। मैट्रिक्स समीकरण के रूप में यह पढ़ा जा सकता है।

\xi ={\mathbf {e} }{\begin{bmatrix}\xi ^{1}(\mathbf {e} )\\\xi ^{2}(\mathbf {e} )\\\vdots \\\xi ^{k}(\mathbf {e} )\end{bmatrix}}={\mathbf {e} }\,\xi (\mathbf {e} )

सामान्य सापेक्षता में, ऐसे फ्रेम क्षेत्रों को टेट्राद औपचारिकता कहा जाता है। टेट्रैड विशेष रूप से स्थानीय फ्रेम को बेस मैनिफोल्ड एम पर समन्वय प्रणाली एटलस द्वारा स्थापित किया जाता है और इस प्रकार यह एक स्पष्ट समन्वय प्रणाली से संबंधित है।

बाहरी कनेक्शन

E में एक कनेक्शन (सदिश बंडल) एक प्रकार का अंतर ऑपरेटर के रूप में होता है

D:\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (E\otimes \Omega ^{1}M)

जहां Γ सदिश बंडल के स्थानीय खंड (फाइबर बंडल) के शीफ (गणित) को दर्शाता है और Ω¹M, M पर अवकलन 1-प्रपत्र ्स का बंडल के रूप में है। और इस प्रकार D के लिए एक कनेक्शन होने के लिए इसे बाहरी व्युत्पन्न के साथ सही ढंग से जोड़ा जाना चाहिए। विशेष रूप से यदि v E का एक स्थानीय खंड के रूप में है और f एक सहज फलन के रूप में है, तो यह इस प्रकार दिखाया जाता है

D(fv)=v\otimes (df)+fDv

जहाँ df, f का बाह्य व्युत्पन्न है।

कभी-कभी डी की परिभाषा को यादृच्छिक ढंग से सदिश मान अवकलन प्रपत्र ई-वैल्यूड प्रपत्र में विस्तारित करना सुविधाजनक होता है, इस प्रकार इसे ई के टेंसर उत्पाद पर अवकलन प्रपत्र के पूर्ण बाहरी बीजगणित के साथ एक अवकलन ऑपरेटर के रूप में माना जाता है। इस संगतता गुणधर्म को संतुष्ट करने वाले बाहरी कनेक्शन डी को देखते हुए, डी का एक अनूठा विस्तार के रूप में उपस्थित होता है

D:\Gamma (E\otimes \Omega ^{*}M)\rightarrow \Gamma (E\otimes \Omega ^{*}M)

ऐसा है कि

D(v\wedge \alpha )=(Dv)\wedge \alpha +(-1)^{{\text{deg}}\,v}v\wedge d\alpha

जहाँ v घात deg v का सजातीय रूप है। दूसरे शब्दों में, D ग्रेडेड मॉड्यूल Γ(E ⊗ Ω^*म).के शीफ पर एक व्युत्पत्ति सार बीजगणित के रूप में होते है

कनेक्शन प्रपत्र

कनेक्शन प्रपत्र तब उत्पन्न होता है जब बाहरी कनेक्शन को किसी विशेष फ्रेम में लागू किया जाता है। e_α के बाहरी कनेक्शन को लागू करने पर यह अद्वितीय k × k मैट्रिक्स (ω_α^β) M पर एक रूप इस प्रकार है,

De_{\alpha }=\sum _{\beta =1}^{k}e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }.

कनेक्शन प्रपत्र के संदर्भ में, E के किसी भी खंड के बाहरी कनेक्शन को अब व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि ξ = Σ_α e_αξ^α. तब

D\xi =\sum _{\alpha =1}^{k}D(e_{\alpha }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} ))=\sum _{\alpha =1}^{k}e_{\alpha }\otimes d\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} )+\sum _{\alpha =1}^{k}\sum _{\beta =1}^{k}e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }\xi ^{\alpha }(\mathbf {e} ).

दोनों पक्षों पर घटकों को लेना,

D\xi (\mathbf {e} )=d\xi (\mathbf {e} )+\omega \xi (\mathbf {e} )=(d+\omega )\xi (\mathbf {e} )

जहां यह समझा जाता है कि डी और ω फ्रेम 'E' के संबंध में घटक-वार व्युत्पन्न का संदर्भ देते हैं और क्रमशः 1-रूपों का मैट्रिक्स, ξ के घटकों पर फलन के रूप में होते है। और इसके विपरीत, 1-प्रपत्र ω का एक मैट्रिक्स खुले समुच्चय पर स्थानीय रूप से कनेक्शन को पूरी तरह से निर्धारित करने के लिए पर्याप्त प्राथमिकता देते है, जिस पर खंड 'ई' का आधार परिभाषित किया गया है।

फ्रेम का परिवर्तन

एक उपयुक्त वैश्विक वस्तु के लिए ω का विस्तार करने के लिए यह जांचना आवश्यक है कि जब E के मौलिक वर्गों का एक अलग विकल्प चुना जाता है तो यह कैसा व्यवहार करता है। और इस प्रकार ω_α^β = ω_α^β(e)'e' के विकल्प पर निर्भरता को इंगित करने के लिए होते है।

मान लीजिए कि 'e′ स्थानीय आधार का एक अलग विकल्प के रूप में है। फिर फलन g का एक व्युत्क्रमणीय k × k मैट्रिक्स होता है जैसे कि दिखाया जाता है

{\mathbf {e} }'={\mathbf {e} }\,g,\quad {\text{i.e., }}\,e'_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }.

दोनों पक्षों के बाहरी कनेक्शन को लागू करने से ω के लिए परिवर्तन नियम मिलता है जिसे इस प्रकार दिखाया जाता है

\omega (\mathbf {e} \,g)=g^{-1}dg+g^{-1}\omega (\mathbf {e} )g.

विशेष रूप से ध्यान दें कि ω एक तन्य विधि से बदलने में विफल रहता है, क्योंकि एक फ्रेम से दूसरे फ्रेम में जाने के नियम में संक्रमण मैट्रिक्स g व्युत्पन्न के रूप में सम्मलित होते हैं।

वैश्विक कनेक्शन प्रपत्र

यदि {U_p} का एक खुला आवरण के रूप में है और प्रत्येक U_p एक तुच्छीकरण e_p से लैस है, तो E के ओवरलैप क्षेत्रों पर स्थानीय कनेक्शन रूपों के बीच पैचिंग डेटा के संदर्भ में वैश्विक कनेक्शन प्रपत्र को परिभाषित करना संभव है। और इस प्रकार विस्तार से M पर एक 'कनेक्शन प्रपत्र ' मैट्रिक्स ω(e_p) की एक प्रणाली के रूप में है और प्रत्येक U_p पर परिभाषित 1-प्रपत्र जो निम्नलिखित अनुकूलता शर्त को पूरा करते हैं

\omega (\mathbf {e} _{q})=(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})^{-1}d(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})+(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q})^{-1}\omega (\mathbf {e} _{p})(\mathbf {e} _{p}^{-1}\mathbf {e} _{q}).

यह संगतता स्थिति विशेष रूप से सुनिश्चित करती है कि E के एक खंड का बाहरी कनेक्शन के रूप में होते है, जब सार रूप से E ⊗ Ω¹Mके एक खंड के रूप में माना जाता है, और इस प्रकार कनेक्शन को परिभाषित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले आधार अनुभाग की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

वक्रता

E में एक कनेक्शन प्रपत्र के वक्रता दो रूप द्वारा परिभाषित किया गया है

\Omega (\mathbf {e} )=d\omega (\mathbf {e} )+\omega (\mathbf {e} )\wedge \omega (\mathbf {e} ).

कनेक्शन प्रपत्र के विपरीत, वक्रता फ्रेम के परिवर्तन के अनुसार अस्थायी रूप से व्यवहार करती है, जिसे पॉइनकेयर लेम्मा का उपयोग करके सीधे चेक किया जा सकता है। विशेष रूप से यदि ई → ई जी फ्रेम का परिवर्तन है, तो वक्रता दो-रूप से बदल जाती है

\Omega (\mathbf {e} \,g)=g^{-1}\Omega (\mathbf {e} )g.

इस परिवर्तन नियम की एक व्याख्या इस प्रकार है। इसे ई^* फ्रेम ई के अनुरूप दोहरा आधार के रूप में होता है। फिर 2-प्रपत्र के रूप में है

\Omega ={\mathbf {e} }\Omega (\mathbf {e} ){\mathbf {e} }^{*}

फ्रेम की पसंद से स्वतंत्र है। विशेष रूप से, Ω एंडोमोर्फिज्म रिंग होम (E,E) में मूल्यों के साथ एम पर एक सदिश -मूल्यवान दो-रूप में होता है। प्रतीकात्मक रूप से इस प्रकार दिखाया जाता है,

\Omega \in \Gamma (\Omega ^{2}M\otimes {\text{Hom}}(E,E)).

बाहरी कनेक्शन डी के संदर्भ में, वक्रता एंडोमोर्फिज्म द्वारा दिया जाता है

\Omega (v)=D(Dv)=D^{2}v\,

v ∈ E के लिए इस प्रकार वक्रता अनुक्रम की विफलता को मापती है

\Gamma (E)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{1}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{2}M)\ {\stackrel {D}{\to }}\ \dots \ {\stackrel {D}{\to }}\ \Gamma (E\otimes \Omega ^{n}(M))

डी आरहैएम कोहोलॉजी के अर्थ में एक श्रृंखला जटिल रूप में होती है।

सोल्डरिंग और मरोड़

मान लीजिए कि E का फाइबर आयाम k कई गुना M के आयाम के बराबर होती है । इस स्थिति में सदिश बंडल E कभी-कभी इसके कनेक्शन के अतिरिक्त डेटा के एक अतिरिक्त टुकड़े से सुसज्जित होता है एक सोल्डर प्रपत्र ' विश्व स्तर पर परिभाषित सदिश -मान 1-प्रपत्र θ ∈ Ω¹(M,E) के रूप में होता है जिसे मैपिंग के रूप में दिखाया जाता है,

\theta _{x}:T_{x}M\rightarrow E_{x}

सभी एक्स ∈ एम के लिए एक रैखिक समरूपता है। यदि एक सोल्डर प्रपत्र दिया गया है, तो कनेक्शन के 'आक्षेप अंतर ज्यामिति' को परिभाषित करना संभव है, बाहरी कनेक्शन के संदर्भ में जिसे इस प्रकार व्यक्त किया है

\Theta =D\theta .\,

आक्षेप Θ एम पर एक ई-मान 2-प्रपत्र के रूप में है।

सोल्डर प्रपत्र और संबंधित आक्षेप दोनों को ई के स्थानीय फ्रेम 'ई' के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। यदि θ एक सोल्डर प्रपत्र है, तो यह फ्रेम घटकों में विघटित हो जाता है

\theta =\sum _{i}\theta ^{i}(\mathbf {e} )e_{i}.

आक्षेप के घटक तब हैं

\Theta ^{i}(\mathbf {e} )=d\theta ^{i}(\mathbf {e} )+\sum _{j}\omega _{j}^{i}(\mathbf {e} )\wedge \theta ^{j}(\mathbf {e} ).

वक्रता की तरह, यह दिखाया जा सकता है कि Θ फ्रेम में बदलाव के अनुसार सहप्रसरण और सदिशों के प्रतिप्रसरण के रूप में व्यवहार करता है:

\Theta ^{i}(\mathbf {e} \,g)=\sum _{j}g_{j}^{i}\Theta ^{j}(\mathbf {e} ).

फ़्रेम-स्वतंत्र आक्षेप को फ़्रेम घटकों से भी पुनर्प्राप्त किया जा सकता है:

\Theta =\sum _{i}e_{i}\Theta ^{i}(\mathbf {e} ).

बियांची सर्वसमिकाएँ

बियांची की सर्वसमिकाएँ आक्षेप को वक्रता से संबंधित होती है। और इस प्रकार पहली बियांची सर्वसमिकाएँ बताती है कि

D\Theta =\Omega \wedge \theta

जबकि दूसरी बियांची सर्वसमिकाएँ बताती है कि

\,D\Omega =0.

उदाहरण: लेवी-सिविता कनेक्शन

एक उदाहरण के रूप में, मान लीजिए कि M में रिमेंनियन मीट्रिक है। यदि किसी के पास M के ऊपर एक सदिश बंडल E है, तो बंडल मीट्रिक के रूप में मीट्रिक को पूरे सदिश बंडल तक बढ़ाया जा सकता है। कोई तब एक कनेक्शन परिभाषित कर सकता है जो इस बंडल मीट्रिक के साथ संगत है, यह मीट्रिक कनेक्शन है। ई के स्पर्शरेखा बंडल टीएम होने के विशेष स्थिति के लिए, मीट्रिक कनेक्शन को रिमानियन कनेक्शन कहा जाता है। एक रिमेंनियन कनेक्शन को देखते हुए, अधिकांशता एक अद्वितीय, समतुल्य कनेक्शन मिल सकता है जो आक्षेप तनाव | मरोड़-मुक्त है। यह एम के टेंगेंट बंडल टीएम पर लेवी-सिविता कनेक्शन है।^[2]^[3] स्पर्शरेखा बंडल पर एक स्थानीय फ्रेम सदिश क्षेत्रों की एक क्रमबद्ध सूची है e = (e_i | i = 1, 2, ..., n), कहाँ n = dim M, M के एक खुले उपसमुच्चय पर परिभाषित किया गया है जो अपने डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। क्रिस्टोफेल प्रतीक लेवी-सिविता कनेक्शन को परिभाषित करते हैं

\nabla _{e_{i}}e_{j}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}(\mathbf {e} )e_{k}.

यदि θ = {θⁱ | i = 1, 2, ..., n}, स्पर्शरेखा बंडल के दोहरे आधार को दर्शाता है, जैसे कि θ^मैं(और_j) = डी^{मैं_j (क्रोनकर डेल्टा), तो कनेक्शन प्रपत्र है}

\omega _{i}^{j}(\mathbf {e} )=\sum _{k}\Gamma ^{j}{}_{ki}(\mathbf {e} )\theta ^{k}.

कनेक्शन प्रपत्र के संदर्भ में, सदिश क्षेत्र पर बाहरी कनेक्शन v = Σ_ie_ivⁱ द्वारा दिया गया है

Dv=\sum _{k}e_{k}\otimes (dv^{k})+\sum _{j,k}e_{k}\otimes \omega _{j}^{k}(\mathbf {e} )v^{j}.

ई के साथ अनुबंध करके, सामान्य अर्थों में, लेवी-सिविता कनेक्शन को पुनर्प्राप्त कर सकते हैं_i:

\nabla _{e_{i}}v=\langle Dv,e_{i}\rangle =\sum _{k}e_{k}\left(\nabla _{e_{i}}v^{k}+\sum _{j}\Gamma _{ij}^{k}(\mathbf {e} )v^{j}\right)

वक्रता

लेवी-सिविता कनेक्शन का वक्रता 2-रूप मैट्रिक्स (Ω_i^j) द्वारा दिया गया

\Omega _{i}{}^{j}(\mathbf {e} )=d\omega _{i}{}^{j}(\mathbf {e} )+\sum _{k}\omega _{k}{}^{j}(\mathbf {e} )\wedge \omega _{i}{}^{k}(\mathbf {e} ).

सादगी के लिए, मान लीजिए कि फ्रेम ई होलोनोमिक आधार है, जिससे कि dθⁱ = 0.^[4] फिर, अब दोहराए गए सूचकांकों पर योग परिपाटी का उपयोग करते हुए,

{\begin{array}{ll}\Omega _{i}{}^{j}&=d(\Gamma ^{j}{}_{qi}\theta ^{q})+(\Gamma ^{j}{}_{pk}\theta ^{p})\wedge (\Gamma ^{k}{}_{qi}\theta ^{q})\\&\\&=\theta ^{p}\wedge \theta ^{q}\left(\partial _{p}\Gamma ^{j}{}_{qi}+\Gamma ^{j}{}_{pk}\Gamma ^{k}{}_{qi})\right)\\&\\&={\tfrac {1}{2}}\theta ^{p}\wedge \theta ^{q}R_{pqi}{}^{j}\end{array}}

जहाँ R रीमैन वक्रता टेन्सर है।

मरोड़

लेवी-सिविता कनेक्शन को शून्य आक्षेप के साथ स्पर्शरेखा बंडल में अद्वितीय मीट्रिक कनेक्शन के रूप में वर्णित किया गया है। आक्षेप का वर्णन करने के लिए, ध्यान दें कि सदिश बंडल E स्पर्शरेखा बंडल है। इसमें एक कैनोनिकल सोल्डर प्रपत्र होता है (जिसे कभी-कभी विहित एक रूप कहा जाता है, विशेष रूप से मौलिक यांत्रिकी के संदर्भ में) जो कि खंड θ है Hom(TM, TM) = T^∗M ⊗ TM स्पर्शरेखा रिक्त स्थान की सर्वसमिकाएँ एंडोमोर्फिज्म के अनुरूप। फ्रेम ई में, सोल्डर प्रपत्र है {{{1}}}, जहां फिर से θⁱ दोहरा आधार है।

कनेक्शन का आक्षेप किसके द्वारा दिया जाता है Θ = Dθ, या सोल्डर प्रपत्र के फ्रेम घटकों के संदर्भ में

\Theta ^{i}(\mathbf {e} )=d\theta ^{i}+\sum _{j}\omega _{j}^{i}(\mathbf {e} )\wedge \theta ^{j}.

सादगी के लिए फिर से यह मानते हुए कि ई होलोनोमिक है, यह अभिव्यक्ति कम हो जाती है

\Theta ^{i}=\Gamma ^{i}{}_{kj}\theta ^{k}\wedge \theta ^{j}

,

जो गायब हो जाता है यदि और केवल यदि Γ^{मैं_kj अपने निचले सूचकांकों पर सममित है।}

आक्षेप के साथ एक मीट्रिक कनेक्शन दिया गया है, एक बार अधिकांशता एक एकल, अद्वितीय कनेक्शन मिल सकता है जो आक्षेप से मुक्त है, यह लेवी-सिविता कनेक्शन है। एक रिमेंनियन कनेक्शन और उससे जुड़े लेवी-सिविता कनेक्शन के बीच का अंतर विरूपण टेंसर है।

संरचना समूह

एक अधिक विशिष्ट प्रकार के कनेक्शन प्रपत्र का निर्माण तब किया जा सकता है जब सदिश बंडल ई एक संबद्ध बंडल रखता है। यह ई पर फ्रेम 'ई' के एक पसंदीदा वर्ग के बराबर है, जो एक लाइ समूह जी से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, ई में एक मीट्रिक (सदिश बंडल) की उपस्थिति में, एक फ्रेम के साथ काम करता है जो प्रत्येक पर एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाता है बिंदु। संरचना समूह तब ओर्थोगोनल समूह है, क्योंकि यह समूह फ़्रेमों की ऑर्थोनॉर्मलिटी को संरक्षित करता है। अन्य उदाहरणों में सम्मलित हैं:

पूर्ववर्ती खंड में विचार किए गए सामान्य फ्रेम में संरचनात्मक समूह जीएल (के) होता है जहां के ई का फाइबर आयाम होता है।
एक जटिल मैनिफोल्ड (या लगभग जटिल मैनिफोल्ड) का होलोमोर्फिक स्पर्शरेखा बंडल।^[5] यहाँ संरचना समूह जीएल है_n(C) ⊂ GL_2n(आर)।^[6] यदि एक हर्मिटियन मीट्रिक दिया जाता है, तो संरचना समूह एकात्मक फ्रेम पर अभिनय करने वाले एकात्मक समूह को कम कर देता है।^[5]* स्पिन संरचना से सुसज्जित कई गुना पर स्पिनर। स्पिन स्पेस पर एक अपरिवर्तनीय आंतरिक उत्पाद के संबंध में फ्रेम एकात्मक हैं, और समूह स्पिन समूह को कम कर देता है।
सीआर कई गुना ्स पर होलोमॉर्फिक स्पर्शरेखा बंडल।^[7]

सामान्यतः , E को फाइबर आयाम k का एक दिया गया सदिश बंडल और G ⊂ GL(k) 'R' के सामान्य रैखिक समूह का एक दिया गया उपसमूह है।^{क</सुप>. यदि (ई_α) ई का स्थानीय फ्रेम है, फिर एक मैट्रिक्स-मूल्यवान फलन (जी_i^j): M → G, e पर फलन कर सकता है_α एक नया फ्रेम बनाने के लिए}

e_{\alpha }'=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }.

ऐसे दो फ्रेम जी से संबंधित हैं। अनौपचारिक रूप से, सदिश बंडल ई में जी-बंडल की संरचना होती है, यदि फ्रेम का पसंदीदा वर्ग निर्दिष्ट किया जाता है, जो सभी स्थानीय रूप से जी-एक दूसरे से संबंधित हैं। औपचारिक शब्दों में, 'ई' संरचना समूह 'जी' के साथ एक फाइबर बंडल है जिसका विशिष्ट फाइबर आर है^k GL(k) के एक उपसमूह के रूप में G की प्राकृतिक क्रिया के साथ।

संगत कनेक्शन

ई पर जी-बंडल की संरचना के साथ एक कनेक्शन मीट्रिक संगत के रूप में है, बशर्ते संबंधित समानांतर परिवहन मानचित्र अधिकांशता एक जी-फ्रेम को दूसरे में भेजते हैं। औपचारिक रूप से, एक वक्र γ के साथ, निम्नलिखित को स्थानीय रूप से धारण करना चाहिए अर्थात, टी के पर्याप्त छोटे मूल्यों के लिए परिभाषित करता है।

\Gamma (\gamma )_{0}^{t}e_{\alpha }(\gamma (0))=\sum _{\beta }e_{\beta }(\gamma (t))g_{\alpha }^{\beta }(t)

कुछ मैट्रिक्स g_α^β के रूप में होते है, जो t पर भी निर्भर हो सकता है। t=0 पर अवकलन देता है

\nabla _{{\dot {\gamma }}(0)}e_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }\omega _{\alpha }^{\beta }({\dot {\gamma }}(0))

जहां गुणांक ω_α^β लाई समूह जी के बीजगणित का मान परिभाषित करता है।

इस अवलोकन के साथ, कनेक्शन ω_α^β बनाता है जिसे इस प्रकार परिभाषित करता है।

De_{\alpha }=\sum _{\beta }e_{\beta }\otimes \omega _{\alpha }^{\beta }(\mathbf {e} )

संरचना के साथ संगत है यदि एक-रूपों का मैट्रिक्स ω_α^β(e) के रूप में है, तो g का मान इस प्रकार व्यक्त करता है।

एक संगत कनेक्शन का वक्रता रूप, इसके अतिरिक्त एक g का मान दो-रूप में होता ।

फ्रेम का परिवर्तन

फ्रेम के बदलाव के अनुसार

e_{\alpha }'=\sum _{\beta }e_{\beta }g_{\alpha }^{\beta }

जहाँ g एक G-मूल्यवान फलन है जो M के एक खुले उपसमुच्चय पर परिभाषित है, कनेक्शन प्रपत्र के माध्यम से रूपांतरित होता है

\omega _{\alpha }^{\beta }(\mathbf {e} \cdot g)=(g^{-1})_{\gamma }^{\beta }dg_{\alpha }^{\gamma }+(g^{-1})_{\gamma }^{\beta }\omega _{\delta }^{\gamma }(\mathbf {e} )g_{\alpha }^{\delta }.

मैट्रिक्स उत्पादों का उपयोग इस प्रकार करता है

\omega ({\mathbf {e} }\cdot g)=g^{-1}dg+g^{-1}\omega g.

इनमें से प्रत्येक पद की व्याख्या करने के लिए याद रखें कि g : M → G एक G-का मान स्थानीय रूप से परिभाषित फलन के रूप में है। इसे ध्यान में रखकर,

\omega ({\mathbf {e} }\cdot g)=g^{*}\omega _{\mathfrak {g}}+{\text{Ad}}_{g^{-1}}\omega (\mathbf {e} )

कहाँ ω_g समूह जी के लिए मौरर-कार्टन प्रपत्र है, यहां फलन जी के साथ एम को पुलबैक (अंतर ज्यामिति) है, और विज्ञापन इसके लाई बीजगणित पर जी का आसन्न प्रतिनिधित्व करती है।

प्रमुख बंडल

कनेक्शन प्रपत्र , जैसा कि अब तक प्रस्तुत किया गया है, फ्रेम के एक विशेष विकल्प पर निर्भर करता है। पहली परिभाषा में फ्रेम केवल अनुभागों का एक स्थानीय आधार के रूप में होता है। प्रत्येक फ्रेम के लिए एक फ्रेम से दूसरे फ्रेम में जाने के लिए मौलिक नियम के साथ एक कनेक्शन प्रपत्र दिया जाता है।दूसरी परिभाषा में, स्वयं फ्रेम में कुछ अतिरिक्त संरचना होती है जो एक लाई समूह द्वारा दी जाती है और फ्रेम के परिवर्तन उन लोगों के लिए विवश हो जाते हैं जो उसका मान लेते हैं। 1940 के दशक में चार्ल्स एह्रेसमैन द्वारा अग्रणी प्रमुख बंडलों की भाषा इन कई कनेक्शन रूपों को व्यवस्थित करने की एक विधि प्रदान करती है और परिवर्तन के लिए एक ही नियम के साथ उन्हें एक आंतरिक रूप में जोड़ने वाले मौलिक नियम प्रदान करती है। इस दृष्टिकोण का नुकसान यह है कि रूपों को अब कई गुना पर परिभाषित नहीं किया जाता है, बल्कि एक बड़े प्रमुख बंडल के रूप में किया जाता है।

कनेक्शन प्रपत्र के लिए मुख्य कनेक्शन

मान लीजिए कि E → M संरचना समूह G के साथ एक सदिश बंडल के रूप में है। मान लीजिए कि {U} M का एक खुला आवरण है, प्रत्येक U पर G-फ्रेम के साथ जिसे e_U द्वारा दर्शाया गया है।. ये ओवरलैपिंग ओपन समुच्चय के प्रतिच्छेदन से संबंधित होती है

{\mathbf {e} }_{V}={\mathbf {e} }_{U}\cdot h_{UV}

कुछ जी-मान फलन h_UV के लिए U ∩ V को परिभाषित करते है।

माना F_GE, एम के प्रत्येक बिंदु पर लिए गए सभी जी-फ्रेमों का समुच्चय के रूप में है। यह एम पर एक प्रमुख जी-बंडल है। और इस प्रकार विस्तार से इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि जी-फ्रेम से संबंधित होता है, F_GE खुले आवरण के समुच्चय के बीच ग्लूइंग डेटा के संदर्भ में महसूस किया जा सकता है:

F_{G}E=\left.\coprod _{U}U\times G\right/\sim

जहां तुल्यता संबंध $\sim$ द्वारा परिभाषित किया गया है।

((x,g_{U})\in U\times G)\sim ((x,g_{V})\in V\times G)\iff {\mathbf {e} }_{V}={\mathbf {e} }_{U}\cdot h_{UV}{\text{ and }}g_{U}=h_{UV}^{-1}(x)g_{V}.

F_GE पर प्रत्येक उत्पाद U × G पर एक 'g'-मान एक निर्दिष्ट रूप में होता हैऔर एक कनेक्शन प्रमुख बंडल G- को निम्नानुसार परिभाषित करता है, जो ओवरलैप क्षेत्रों पर समानता संबंध के रूप में होता है जिसे इस प्रकार दिखाया जाता है।

\pi _{1}:U\times G\to U,\quad \pi _{2}:U\times G\to G

प्रक्षेपण नक्शे के रूप में अब, एक बिंदु (x,g) ∈ U × G के लिए समुच्चय के रूप में होते है, जिसे इस प्रकार दिखाया जाता है।

\omega _{(x,g)}=Ad_{g^{-1}}\pi _{1}^{*}\omega (\mathbf {e} _{U})+\pi _{2}^{*}\omega _{\mathbf {g} }.

इस तरह से निर्मित 1-प्रपत्र ω अतिव्यापी समुच्चय के बीच संक्रमण के रूप में होता है और इसलिए प्रमुख बंडल F_GE पर विश्व स्तर पर परिभाषित 1-प्रपत्र देने के लिए उतरता है। यह दिखाया जा सकता है कि ω इस अर्थ में एक प्रमुख कनेक्शन के रूप में है और यह F_GE पर सही जी घटनाक्रम के जनरेटर को पुन: उत्पन्न करता है और समान रूप से T(F_GE) पर सही कार्रवाई को परस्पर जोड़ता है जी के आसन्न प्रतिनिधित्व के रूप में होता है।

प्रमुख कनेक्शन से जुड़े कनेक्शन प्रपत्र

इसके विपरीत, एक प्रमुख G-बंडल P→M में एक प्रमुख G-कनेक्शन ω, M पर कनेक्शन रूपों के संग्रह को जन्म देता है। मान लीजिए कि 'e': M → P, P का एक स्थानीय खंड के रूप में है। फिर ω का पुलबैक 'ई' एम पर 'जी'-मूल्यवान एक-रूप को परिभाषित करता है

\omega ({\mathbf {e} })={\mathbf {e} }^{*}\omega .

g का मान फलन जी द्वारा फ्रेम बदलना, और इस प्रकार कोई देखता है कि ω('e') लीबनिज़ नियम और संयोजन का उपयोग करके आवश्यक विधि से बदलता है

\langle X,({\mathbf {e} }\cdot g)^{*}\omega \rangle =\langle [d(\mathbf {e} \cdot g)](X),\omega \rangle

जहां एक्स एम पर एक सदिश के रूप में है और डी पुशफॉरवर्ड (अंतर) को दर्शाता है।

यह भी देखें

↑ Griffiths & Harris (1978), Wells (1980), Spivak (1999a)
↑ See Jost (2011), chapter 4, for a complete account of the Levi-Civita connection from this point of view.
↑ See Spivak (1999a), II.7 for a complete account of the Levi-Civita connection from this point of view.
↑ In a non-holonomic frame, the expression of curvature is further complicated by the fact that the derivatives dθⁱ must be taken into account.
↑ ^5.0 ^5.1 Wells (1973).
↑ See for instance Kobayashi and Nomizu, Volume II.
↑ See Chern and Moser.

संदर्भ

Chern, S.-S., Topics in Differential Geometry, Institute for Advanced Study, mimeographed lecture notes, 1951.
Chern S. S.; Moser, J.K. (1974), "Real hypersurfaces in complex manifolds", Acta Math., 133: 219–271, doi:10.1007/BF02392146
Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978), Principles of algebraic geometry, John Wiley and sons, ISBN 0-471-05059-8
Jost, Jürgen (2011), Riemannian geometry and geometric analysis (PDF), Universitext (Sixth ed.), Springer, Heidelberg, doi:10.1007/978-3-642-21298-7, ISBN 978-3-642-21297-0, MR 2829653
Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Vol. 1 (New ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3
Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, Vol. 2 (New ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15732-5
Spivak, Michael (1999a), A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 2), Publish or Perish, ISBN 0-914098-71-3
Spivak, Michael (1999b), A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3), Publish or Perish, ISBN 0-914098-72-1
Wells, R.O. (1973), Differential analysis on complex manifolds, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90419-0
Wells, R.O. (1980), Differential analysis on complex manifolds, Prentice–Hall

[1] Griffiths & Harris (1978), Wells (1980), Spivak (1999a)

[2] See Jost (2011), chapter 4, for a complete account of the Levi-Civita connection from this point of view.

[3] See Spivak (1999a), II.7 for a complete account of the Levi-Civita connection from this point of view.

[4] In a non-holonomic frame, the expression of curvature is further complicated by the fact that the derivatives dθⁱ must be taken into account.

[Wells-5] 5.0 ^5.1 Wells (1973).

[6] See for instance Kobayashi and Nomizu, Volume II.

[7] See Chern and Moser.

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कनेक्शन प्रपत्र: Difference between revisions

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Contents

सदिश बंडल

सदिश बंडल पर फ्रेम

बाहरी कनेक्शन

कनेक्शन प्रपत्र

फ्रेम का परिवर्तन

वैश्विक कनेक्शन प्रपत्र

वक्रता

सोल्डरिंग और मरोड़

बियांची सर्वसमिकाएँ

उदाहरण: लेवी-सिविता कनेक्शन

वक्रता

मरोड़

संरचना समूह

संगत कनेक्शन

फ्रेम का परिवर्तन

प्रमुख बंडल

कनेक्शन प्रपत्र के लिए मुख्य कनेक्शन

प्रमुख कनेक्शन से जुड़े कनेक्शन प्रपत्र

यह भी देखें

टिप्पणियाँ

संदर्भ

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@@ Line 1: / Line 1: @@
-गणित में, और विशेष रूप से [[अंतर ज्यामिति]] में, एक कनेक्शन फॉर्म एक [[कनेक्शन (गणित)]] के डेटा को व्यवस्थित करने का एक तरीका है जो [[चलती फ्रेम]] और अंतर रूपों की भाषा का उपयोग करता है।
+गणित में विशेष रूप से [[अंतर ज्यामिति|अवकलन ज्यामिति]] में एक [[कनेक्शन]] प्रपत्र [[कनेक्शन (गणित)|गणित]] के डेटा को व्यवस्थित करने की विधि होती है, जो [[चलती फ्रेम|गतिमान फ्रेम]] और अंतर रूपों की भाषा का उपयोग करता है।
-ऐतिहासिक रूप से, एली कार्टन द्वारा 20 वीं शताब्दी के पहले छमाही में कनेक्शन रूपों को पेश किया गया था, और फ्रेम को स्थानांतरित करने की उनकी पद्धति के लिए प्रमुख प्रेरणाओं में से एक था। कनेक्शन प्रपत्र आम तौर पर [[फ्रेम बंडल]] की पसंद पर निर्भर करता है, और इसलिए यह एक तन्य वस्तु नहीं है। कार्टन के शुरुआती काम के बाद कनेक्शन फॉर्म के विभिन्न सामान्यीकरण और पुनर्व्याख्या तैयार की गई थी। विशेष रूप से, एक प्रिंसिपल बंडल पर, एक [[ कनेक्शन ([[प्रमुख बंडल]]) ]] एक तन्य वस्तु के रूप में कनेक्शन फॉर्म की एक प्राकृतिक पुनर्व्याख्या है। दूसरी ओर, कनेक्शन फॉर्म का यह फायदा है कि यह अलग-अलग मैनिफोल्ड पर परिभाषित एक अंतर रूप है, बजाय इसके ऊपर एक अमूर्त प्रिंसिपल बंडल पर। इसलिए, उनकी तन्यता की कमी के बावजूद, उनके साथ गणना करने में अपेक्षाकृत आसानी के कारण कनेक्शन फॉर्म का उपयोग जारी है।<ref>{{harvtxt|Griffiths|Harris|1978}}, {{harvtxt|Wells|1980}}, {{harvtxt|Spivak|1999a}}</ref> भौतिकी में, [[गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न]] के माध्यम से, [[गेज सिद्धांत]] के संदर्भ में कनेक्शन रूपों का भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
+ऐतिहासिक रूप से, एली कार्टन द्वारा 20 वीं शताब्दी के पहले भाग में कनेक्शन प्रपत्र को प्रस्तुत किया गया था और इस प्रकार फ्रेम को स्थानांतरित करने की उनकी पद्धति के लिए प्रमुख प्रेरणाओं में से एक था। कनेक्शन प्रपत्र सामान्यतः [[फ्रेम बंडल|समन्वय फ्रेम]] की पसंद पर निर्भर करता है और इसलिए यह एक तन्य वस्तु के रूप में नहीं है। कार्टन के प्रारंभिक काम के बाद कनेक्शन प्रपत्र के विभिन्न सामान्यीकरण और पुनर्व्याख्या को तैयार किया गया था और विशेष रूप से एक सिद्धांत बंडल पर एक [[टेंसोरियल ऑब्जेक्ट]] के रूप में कनेक्शन फॉर्म की प्राकृतिक पुनर्व्याख्या होती है और दूसरी ओर कनेक्शन प्रपत्र का लाभ है कि यह अलग-अलग मैनिफोल्ड पर परिभाषित एक अंतर के रूप में होता है और इसके अतिरिक्त ऊपर एक अमूर्त प्रमुख बंडल के रूप में होता है इसलिए इनके साथ आसानी से गणना करने की वजह से टेसोरियलिटी कनेक्शन के न होने के बावजूद इनका उपयोग किया जा रहा है।<ref>{{harvtxt|Griffiths|Harris|1978}}, {{harvtxt|Wells|1980}}, {{harvtxt|Spivak|1999a}}</ref> भौतिकी में, [[गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न]] के माध्यम से [[गेज सिद्धांत]] के संदर्भ में कनेक्शन रूपों का भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।
-एक कनेक्शन प्रपत्र एक सदिश बंडल के सदिश स्थान के प्रत्येक आधार से भिन्न रूपों के एक [[मैट्रिक्स (गणित)]] को जोड़ता है। कनेक्शन फॉर्म टेन्सोरियल नहीं है क्योंकि आधार के परिवर्तन के तहत, कनेक्शन फॉर्म इस तरह से बदल जाता है जिसमें एटलस (टोपोलॉजी) #ट्रांज़िशन मैप्स के बाहरी डेरिवेटिव शामिल होते हैं, वैसे ही जैसे [[ लेवी-Civita कनेक्शन ]] के लिए क्रिस्टोफेल प्रतीक . कनेक्शन फॉर्म का मुख्य टेन्सोरियल इनवेरिएंट इसका [[वक्रता रूप]] है। [[स्पर्शरेखा बंडल]] के साथ [[वेक्टर बंडल]] की पहचान करने वाले [[सोल्डर फॉर्म]] की उपस्थिति में, एक अतिरिक्त अपरिवर्तनीय है: [[मरोड़ (अंतर ज्यामिति)]]। कई मामलों में, अतिरिक्त संरचना वाले वेक्टर बंडलों पर कनेक्शन प्रपत्रों पर विचार किया जाता है: एक लाइ समूह के साथ एक [[फाइबर बंडल]] का।
+एक कनेक्शन प्रपत्र वेक्टर बंडल के प्रत्येक आधार के अंतर रूपों के [[मैट्रिक्स (गणित)]] के साथ सहयोगी होता है। कनेक्शन प्रपत्र टेन्सोरियल के रूप में नहीं होता है, क्योंकि आधार के परिवर्तन के अनुसार कनेक्शन प्रपत्र परिवर्तित हो जाता है जिसमें एटलस (टोपोलॉजी) ट्रांज़िशन मैप्स के बाहरी व्युत्पन्न के रूप में सम्मलित होते हैं, वैसे ही जैसे [[ लेवी-Civita कनेक्शन |लेवी-सिविटा कनेक्शन]] के लिए क्रिस्टोफेल प्रतीक कनेक्शन प्रपत्र का मुख्य टेन्सोरियल इनवेरिएंट इसका [[वक्रता रूप]] है। और इस प्रकार [[स्पर्शरेखा बंडल]] के साथ [[वेक्टर बंडल|सदिश बंडल]] की सर्वसमिकाएँ करने वाले [[सोल्डर फॉर्म|सोल्डर]] प्रपत्र की उपस्थिति में, एक अतिरिक्त अपरिवर्तनीय [[मरोड़ (अंतर ज्यामिति)|आक्षेप (अंतर ज्यामिति)]] के रूप में होता है और इस प्रकार कई स्थितियों में अतिरिक्त संरचना वाले सदिश बंडलों पर कनेक्शन प्रपत्रों पर विचार किया जाता है जो लाइ समूह के साथ एक [[फाइबर बंडल]] के रूप में होते हैं।
-== वेक्टर बंडल ==
+== सदिश बंडल ==
-{{see also|Connection (vector bundle)}}
+{{see also|कनेक्शन (वेक्टर बंडल)}}
-=== वेक्टर बंडल पर फ्रेम ===
+=== सदिश बंडल पर फ्रेम ===
-{{main|Frame bundle}}
+{{main|फ्रेम बंडल}}
-बता दें कि ई एक अलग-अलग कई गुना एम पर फाइबर आयाम k का एक वेक्टर बंडल है। ई के लिए एक 'स्थानीय फ्रेम' ई के खंड (फाइबर बंडल) के वेक्टर स्थान का एक आदेशित आधार है। स्थानीय फ्रेम का निर्माण करना हमेशा संभव होता है, सदिश बंडलों को हमेशा स्थानीय तुच्छता के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है, कई गुना के [[एटलस (टोपोलॉजी)]] के अनुरूप। यही है, बेस मैनिफोल्ड एम पर कोई बिंदु एक्स दिया गया है, वहां एक खुला पड़ोस यू ⊂ एम एक्स मौजूद है जिसके लिए यू पर वेक्टर बंडल अंतरिक्ष यू × आर के लिए आइसोमोर्फिक है<sup>k</sup>: यह स्थानीय तुच्छीकरण है। आर पर वेक्टर अंतरिक्ष संरचना<sup>k</sup> इस प्रकार संपूर्ण स्थानीय तुच्छीकरण तक बढ़ाया जा सकता है, और R के आधार पर<sup>k</sup> को बढ़ाया भी जा सकता है; यह स्थानीय फ्रेम को परिभाषित करता है। (यहाँ, R का आशय वास्तविक संख्याओं से है <math>\mathbb{R}</math>, हालांकि यहां अधिकांश विकास सामान्य रूप से छल्ले पर मॉड्यूल और जटिल संख्याओं पर वेक्टर रिक्त स्थान तक बढ़ाया जा सकता है <math>\mathbb{C}</math> विशेष रूप से।)
-चलो ई = (''ई''<sub>''α''</sub>)<sub>''α''=1,2,...,''k''</sub> ई पर एक स्थानीय फ्रेम हो। इस फ्रेम का उपयोग स्थानीय रूप से ई के किसी भी खंड को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि ξ एक स्थानीय खंड है, जिसे उसी खुले सेट पर फ्रेम 'ई' के रूप में परिभाषित किया गया है। तब
+भिन्न कई गुना एम पर फाइबर आयामी k एक सदिश बंडल के रूप में है और ई के लिए एक 'स्थानीय फ्रेम' ई के स्थानीय अनुभागों का क्रमबद्ध आधार है। स्थानीय फ्रेम का निर्माण करना अधिकांशता संभव होता है और इस प्रकार सदिश बंडलों को अधिकांशता स्थानीय निरर्थकता के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है और कई गुना [[एटलस (टोपोलॉजी)]] के अनुरूप होते है। यदि बेस मैनिफोल्ड एम पर कोई बिंदु एक्स दिया गया है, वह एक खुला निकटतम ''U'' ⊂ ''M'' एक्स के रूप में उपस्थित है जिसके लिए यू पर सदिश बंडल के क्षेत्र ''U'' × ''R<sup>k</sup>'' के लिए समरूप होते है यह स्थानीय तुच्छीकरण के रूप में है। और ''R<sup>k</sup>'' पर सदिश स्पेस संरचना को इस प्रकार संपूर्ण स्थानीय तुच्छीकरण तक बढ़ाया जा सकता है और R<sup>k</sup> के आधार को बढ़ाया जा सकता है और यह स्थानीय फ्रेम को परिभाषित करता है। यहाँ, R का आशय वास्तविक संख्याओं से है <math>\mathbb{R}</math>, चूंकि यहां अधिकांश विकास सामान्य रूप से छल्ले पर मॉड्यूल और जटिल संख्याओं <math>\mathbb{C}</math> पर सदिश रिक्त स्थान तक विशेष रूप से बढ़ाया जा सकता है।
+यहाँ '''e''' = (''e<sub>α</sub>'')<sub>''α''=1,2,...,''k''</sub> पर एक स्थानीय फ्रेम E के रूप में होते है। इस फ्रेम का उपयोग स्थानीय रूप से E के किसी भी खंड को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि ξ एक स्थानीय खंड है, जिसे उसी खुले समुच्चय पर फ्रेम 'ई' के रूप में परिभाषित किया गया है। तब यह इस प्रकार दिखाया जाता है।
 :<math>\xi = \sum_{\alpha=1}^k e_\alpha \xi^\alpha(\mathbf e)</math>
-जहां ξ<sup>α</sup>(e) फ्रेम e में ''ξ'' के ''घटकों'' को दर्शाता है। मैट्रिक्स समीकरण के रूप में, यह पढ़ता है
+जहां ξ<sup>α</sup>(e) फ्रेम e में ''ξ'' के ''घटकों'' को दर्शाता है। मैट्रिक्स समीकरण के रूप में यह पढ़ा जा सकता है।
 :<math>\xi = {\mathbf e}
 \begin{bmatrix}
@@ Line 24: / Line 25: @@
 {\mathbf e}\, \xi(\mathbf e)
 </math>
-[[सामान्य सापेक्षता]] में, ऐसे फ्रेम क्षेत्रों को [[टेट्राद औपचारिकता]] कहा जाता है। टेट्रैड विशेष रूप से स्थानीय फ्रेम को बेस मैनिफोल्ड एम (एम पर समन्वय प्रणाली एटलस द्वारा स्थापित किया जा रहा है) पर एक स्पष्ट समन्वय प्रणाली से संबंधित है।
+[[सामान्य सापेक्षता]] में, ऐसे फ्रेम क्षेत्रों को [[टेट्राद औपचारिकता]] कहा जाता है। टेट्रैड विशेष रूप से स्थानीय फ्रेम को बेस मैनिफोल्ड एम पर समन्वय प्रणाली एटलस द्वारा स्थापित किया जाता है और इस प्रकार यह एक स्पष्ट समन्वय प्रणाली से संबंधित है।
 === बाहरी कनेक्शन ===
-{{main|Exterior covariant derivative}}
+{{main|बाहरी सहसंयोजक व्युत्पन्न}}
-ई में एक [[कनेक्शन (वेक्टर बंडल)]] एक प्रकार का [[अंतर ऑपरेटर]] है
+E में एक [[कनेक्शन (वेक्टर बंडल)|कनेक्शन (सदिश बंडल)]] एक प्रकार का [[अंतर ऑपरेटर]] के रूप में होता है
 :<math>D : \Gamma(E) \rightarrow \Gamma(E\otimes\Omega^1M)</math>
-जहां Γ वेक्टर बंडल के स्थानीय [[खंड (फाइबर बंडल)]] के [[शीफ (गणित)]] को दर्शाता है, और Ω<sup>1</sup>M, M पर डिफरेंशियल 1-फॉर्म्स का बंडल है। D के लिए एक कनेक्शन होने के लिए, इसे बाहरी डेरिवेटिव के साथ सही ढंग से जोड़ा जाना चाहिए। विशेष रूप से, यदि v E का एक स्थानीय खंड है, और f एक सहज कार्य है, तो
+जहां Γ सदिश बंडल के स्थानीय [[खंड (फाइबर बंडल)]] के [[शीफ (गणित)]] को दर्शाता है और Ω<sup>1</sup>M, M पर अवकलन 1-प्रपत्र ्स का बंडल के रूप में है। और इस प्रकार D के लिए एक कनेक्शन होने के लिए इसे बाहरी व्युत्पन्न के साथ सही ढंग से जोड़ा जाना चाहिए। विशेष रूप से यदि v E का एक स्थानीय खंड के रूप में है और f एक सहज फलन के रूप में है, तो यह इस प्रकार दिखाया जाता है
 :<math>D(fv) = v\otimes (df) + fDv</math>
 जहाँ df, f का बाह्य व्युत्पन्न है।
-कभी-कभी डी की परिभाषा को मनमाने ढंग से वेक्टर-वैल्यू डिफरेंशियल फॉर्म | ई-वैल्यूड फॉर्म में विस्तारित करना सुविधाजनक होता है, इस प्रकार इसे ई के टेंसर उत्पाद पर डिफरेंशियल फॉर्म के पूर्ण [[बाहरी बीजगणित]] के साथ एक डिफरेंशियल ऑपरेटर के रूप में माना जाता है। इस संगतता संपत्ति को संतुष्ट करने वाले बाहरी कनेक्शन डी को देखते हुए, डी का एक अनूठा विस्तार मौजूद है:
+कभी-कभी डी की परिभाषा को यादृच्छिक ढंग से सदिश मान अवकलन प्रपत्र ई-वैल्यूड प्रपत्र में विस्तारित करना सुविधाजनक होता है, इस प्रकार इसे ई के टेंसर उत्पाद पर अवकलन प्रपत्र के पूर्ण [[बाहरी बीजगणित]] के साथ एक अवकलन ऑपरेटर के रूप में माना जाता है। इस संगतता गुणधर्म को संतुष्ट करने वाले बाहरी कनेक्शन डी को देखते हुए, डी का एक अनूठा विस्तार के रूप में उपस्थित होता है
 :<math>D : \Gamma(E\otimes\Omega^*M) \rightarrow \Gamma(E\otimes\Omega^*M)</math>
 ऐसा है कि
 :<math> D(v\wedge\alpha) = (Dv)\wedge\alpha + (-1)^{\text{deg}\, v}v\wedge d\alpha</math>
-जहाँ v डिग्री deg v का सजातीय है। दूसरे शब्दों में, D ग्रेडेड मॉड्यूल के शीफ पर एक [[व्युत्पत्ति (सार बीजगणित)]] है Γ(E ⊗ Ω<sup>*</sup>म).
+जहाँ v घात deg v का सजातीय रूप है। दूसरे शब्दों में, D ग्रेडेड मॉड्यूल Γ(E ⊗ Ω<sup>*</sup>म).के शीफ पर एक [[व्युत्पत्ति (सार बीजगणित)|व्युत्पत्ति सार बीजगणित]] के रूप में होते है
 === कनेक्शन प्रपत्र ===
-कनेक्शन फॉर्म तब उत्पन्न होता है जब बाहरी कनेक्शन को किसी विशेष फ्रेम में लागू किया जाता है। ''ई'' के बाहरी कनेक्शन को लागू करने पर<sub>''α''</sub>, यह अद्वितीय k × k मैट्रिक्स (ω<sub>''α''</sub><sup>β</sup>) M पर एक-रूप का ऐसा है कि
+कनेक्शन प्रपत्र तब उत्पन्न होता है जब बाहरी कनेक्शन को किसी विशेष फ्रेम में लागू किया जाता है। ''e<sub>α</sub>'' के बाहरी कनेक्शन को लागू करने पर यह अद्वितीय k × k मैट्रिक्स (ω<sub>''α''</sub><sup>β</sup>) M पर एक रूप इस प्रकार है,
 :<math>D e_\alpha = \sum_{\beta=1}^k e_\beta\otimes\omega^\beta_\alpha.</math>
-कनेक्शन फॉर्म के संदर्भ में, ई के किसी भी खंड के बाहरी कनेक्शन को अब व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि ξ = Σ<sub>''α''</sub> e<sub>''α''</sub>ξ<sup>α</sup>. तब
+कनेक्शन प्रपत्र के संदर्भ में, E के किसी भी खंड के बाहरी कनेक्शन को अब व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए मान लीजिए कि ξ = Σ<sub>''α''</sub> e<sub>''α''</sub>ξ<sup>α</sup>. तब
 :<math>D\xi = \sum_{\alpha=1}^k D(e_\alpha\xi^\alpha(\mathbf e)) = \sum_{\alpha=1}^k e_\alpha\otimes d\xi^\alpha(\mathbf e) + \sum_{\alpha=1}^k\sum_{\beta=1}^k e_\beta\otimes\omega^\beta_\alpha \xi^\alpha(\mathbf e).</math>
 दोनों पक्षों पर घटकों को लेना,
 :<math>D\xi(\mathbf e) = d\xi(\mathbf e)+\omega \xi(\mathbf e) = (d+\omega)\xi(\mathbf e)</math>
-जहां यह समझा जाता है कि डी और ω फ्रेम 'ई' के संबंध में घटक-वार डेरिवेटिव का संदर्भ देते हैं, और क्रमशः 1-रूपों का मैट्रिक्स, ξ के घटकों पर कार्य करते हैं। इसके विपरीत, 1-फॉर्म ω का एक मैट्रिक्स खुले सेट पर स्थानीय रूप से कनेक्शन को पूरी तरह से निर्धारित करने के लिए पर्याप्त प्राथमिकता है, जिस पर खंड 'ई' का आधार परिभाषित किया गया है।
+जहां यह समझा जाता है कि डी और ω फ्रेम 'E' के संबंध में घटक-वार व्युत्पन्न का संदर्भ देते हैं और क्रमशः 1-रूपों का मैट्रिक्स, ξ के घटकों पर फलन के रूप में होते है। और इसके विपरीत, 1-प्रपत्र ω का एक मैट्रिक्स खुले समुच्चय पर स्थानीय रूप से कनेक्शन को पूरी तरह से निर्धारित करने के लिए पर्याप्त प्राथमिकता देते है, जिस पर खंड 'ई' का आधार परिभाषित किया गया है।
 ==== फ्रेम का परिवर्तन ====
-एक उपयुक्त वैश्विक वस्तु के लिए ω का विस्तार करने के लिए, यह जांचना आवश्यक है कि जब ई के बुनियादी वर्गों का एक अलग विकल्प चुना जाता है तो यह कैसा व्यवहार करता है। ω लिखो<sub>''α''</sub><sup>β</सुप> = ω<sub>''α''</sub><sup>β</sup>('e') 'ई' के विकल्प पर निर्भरता को इंगित करने के लिए।
+एक उपयुक्त वैश्विक वस्तु के लिए ω का विस्तार करने के लिए यह जांचना आवश्यक है कि जब E के मौलिक वर्गों का एक अलग विकल्प चुना जाता है तो यह कैसा व्यवहार करता है। और इस प्रकार ''ω<sub>α</sub><sup>β</sup>'' = ''ω<sub>α</sub><sup>β</sup>''('''e''')'e' के विकल्प पर निर्भरता को इंगित करने के लिए होते है।
-मान लीजिए कि 'ई'{{prime}} स्थानीय आधार का एक अलग विकल्प है। फिर फ़ंक्शन g का एक व्युत्क्रमणीय k × k मैट्रिक्स होता है जैसे कि
+मान लीजिए कि 'e{{prime}} स्थानीय आधार का एक अलग विकल्प के रूप में है। फिर फलन g का एक व्युत्क्रमणीय k × k मैट्रिक्स होता है जैसे कि दिखाया जाता है
 :<math>{\mathbf e}' = {\mathbf e}\, g,\quad \text{i.e., }\,e'_\alpha = \sum_\beta e_\beta g^\beta_\alpha.</math>
-दोनों पक्षों के बाहरी कनेक्शन को लागू करने से ω के लिए परिवर्तन कानून मिलता है:
+दोनों पक्षों के बाहरी कनेक्शन को लागू करने से ω के लिए परिवर्तन नियम मिलता है जिसे इस प्रकार दिखाया जाता है
 :<math>\omega(\mathbf e\, g) = g^{-1}dg+g^{-1}\omega(\mathbf e)g.</math>
-विशेष रूप से ध्यान दें कि ω एक तन्य तरीके से बदलने में विफल रहता है, क्योंकि एक फ्रेम से दूसरे फ्रेम में जाने के नियम में संक्रमण मैट्रिक्स जी के डेरिवेटिव शामिल होते हैं।
+विशेष रूप से ध्यान दें कि ω एक तन्य विधि से बदलने में विफल रहता है, क्योंकि एक फ्रेम से दूसरे फ्रेम में जाने के नियम में संक्रमण मैट्रिक्स g व्युत्पन्न के रूप में सम्मलित होते हैं।
 ==== वैश्विक कनेक्शन प्रपत्र ====
-अगर तुम<sub>''p''</sub>} M का एक खुला आवरण है, और प्रत्येक U<sub>''p''</sub> एक तुच्छीकरण ई से लैस है<sub>''p''</sub> ई के, तो ओवरलैप क्षेत्रों पर स्थानीय कनेक्शन रूपों के बीच पैचिंग डेटा के संदर्भ में वैश्विक कनेक्शन फॉर्म को परिभाषित करना संभव है। विस्तार से, M पर एक 'कनेक्शन फॉर्म' मैट्रिक्स ω('e') की एक प्रणाली है<sub>''p''</sub>) प्रत्येक यू पर परिभाषित 1-फॉर्म<sub>''p''</sub> जो निम्नलिखित अनुकूलता शर्त को पूरा करते हैं
+यदि {''U<sub>p</sub>''} का एक खुला आवरण के रूप में है और प्रत्येक U<sub>''p''</sub> एक तुच्छीकरण e<sub>''p''</sub> से लैस है, तो E के ओवरलैप क्षेत्रों पर स्थानीय कनेक्शन रूपों के बीच पैचिंग डेटा के संदर्भ में वैश्विक कनेक्शन प्रपत्र को परिभाषित करना संभव है। और इस प्रकार विस्तार से M पर एक 'कनेक्शन प्रपत्र ' मैट्रिक्स ''ω''('''e'''<sub>''p''</sub>) की एक प्रणाली के रूप में है और प्रत्येक U<sub>''p''</sub> पर परिभाषित 1-प्रपत्र जो निम्नलिखित अनुकूलता शर्त को पूरा करते हैं
 :<math>\omega(\mathbf e_q) = (\mathbf e_p^{-1}\mathbf e_q)^{-1}d(\mathbf e_p^{-1}\mathbf e_q)+(\mathbf e_p^{-1}\mathbf e_q)^{-1}\omega(\mathbf e_p)(\mathbf e_p^{-1}\mathbf e_q).</math>
-यह संगतता स्थिति विशेष रूप से सुनिश्चित करती है कि E के एक खंड का बाहरी कनेक्शन, जब सार रूप से E ⊗ Ω के एक खंड के रूप में माना जाता है<sup>1</sup>एम, कनेक्शन को परिभाषित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले आधार अनुभाग की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।
+यह संगतता स्थिति विशेष रूप से सुनिश्चित करती है कि E के एक खंड का बाहरी कनेक्शन के रूप में होते है, जब सार रूप से ''E'' ⊗ Ω<sup>1</sup>''M''के एक खंड के रूप में माना जाता है, और इस प्रकार कनेक्शन को परिभाषित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले आधार अनुभाग की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।
 === वक्रता ===
-{{main|Curvature form}}
+{{main|वक्रता रूप}}
-''ई'' में एक कनेक्शन फार्म के वक्रता दो रूप द्वारा परिभाषित किया गया है
+''E'' में एक कनेक्शन प्रपत्र के वक्रता दो रूप द्वारा परिभाषित किया गया है
 :<math>\Omega(\mathbf e) = d\omega(\mathbf e) + \omega(\mathbf e)\wedge\omega(\mathbf e).</math>
-कनेक्शन फॉर्म के विपरीत, वक्रता फ्रेम के परिवर्तन के तहत अस्थायी रूप से व्यवहार करती है, जिसे पॉइनकेयर लेम्मा का उपयोग करके सीधे चेक किया जा सकता है। विशेष रूप से, यदि ई → ई '' जी '' फ्रेम का परिवर्तन है, तो वक्रता दो-रूप से बदल जाती है
+कनेक्शन प्रपत्र के विपरीत, वक्रता फ्रेम के परिवर्तन के अनुसार अस्थायी रूप से व्यवहार करती है, जिसे पॉइनकेयर लेम्मा का उपयोग करके सीधे चेक किया जा सकता है। विशेष रूप से यदि ई → ई ''जी'' फ्रेम का परिवर्तन है, तो वक्रता दो-रूप से बदल जाती है
 :<math>\Omega(\mathbf e\, g) = g^{-1}\Omega(\mathbf e)g.</math>
-इस परिवर्तन नियम की एक व्याख्या इस प्रकार है। चलो ई<sup>*</sup> फ्रेम ई के अनुरूप [[दोहरा आधार]] हो। फिर 2-रूप
+इस परिवर्तन नियम की एक व्याख्या इस प्रकार है। इसे ई<sup>*</sup> फ्रेम ई के अनुरूप [[दोहरा आधार]] के रूप में होता है। फिर 2-प्रपत्र के रूप में है
 :<math>\Omega={\mathbf e}\Omega(\mathbf e){\mathbf e}^*</math>
-फ्रेम की पसंद से स्वतंत्र है। विशेष रूप से, Ω [[एंडोमोर्फिज्म रिंग]] होम (ई, ई) में मूल्यों के साथ एम पर एक वेक्टर-मूल्यवान दो-रूप है। प्रतीकात्मक रूप से,
+फ्रेम की पसंद से स्वतंत्र है। विशेष रूप से, Ω [[एंडोमोर्फिज्म रिंग]] होम (E,E) में मूल्यों के साथ एम पर एक सदिश -मूल्यवान दो-रूप में होता है। प्रतीकात्मक रूप से इस प्रकार दिखाया जाता है,
 :<math>\Omega\in \Gamma(\Omega^2M\otimes \text{Hom}(E,E)).</math>
 बाहरी कनेक्शन डी के संदर्भ में, वक्रता एंडोमोर्फिज्म द्वारा दिया जाता है
 :<math>\Omega(v) = D(D v) = D^2v\, </math>
-v ∈ E के लिए। इस प्रकार वक्रता अनुक्रम की विफलता को मापती है
+v ∈ E के लिए इस प्रकार वक्रता अनुक्रम की विफलता को मापती है
 :<math>\Gamma(E)\ \stackrel{D}{\to}\ \Gamma(E\otimes\Omega^1M)\ \stackrel{D}{\to}\ \Gamma(E\otimes\Omega^2M)\ \stackrel{D}{\to}\ \dots\ \stackrel{D}{\to}\ \Gamma(E\otimes\Omega^n(M))</math>
-एक [[चेन कॉम्प्लेक्स]] होना ([[डॉ कहलमज गर्भाशय]] के अर्थ में)।
+डी [[आरहैएम कोहोलॉजी]] के अर्थ में एक [[श्रृंखला जटिल]] रूप में होती है।
 === सोल्डरिंग और मरोड़ ===
-मान लीजिए कि E का फाइबर आयाम k कई गुना M के आयाम के बराबर है। इस मामले में, वेक्टर बंडल E कभी-कभी इसके कनेक्शन के अलावा डेटा के एक अतिरिक्त टुकड़े से सुसज्जित होता है: एक सोल्डर फॉर्म। एक 'सोल्डर फॉर्म' विश्व स्तर पर परिभाषित [[वेक्टर-मूल्यवान रूप]] है | वेक्टर-वैल्यू वन-फॉर्म θ ∈ Ω<sup>1</sup>(M,E) ऐसा है कि मैपिंग
+मान लीजिए कि E का फाइबर आयाम k कई गुना M के आयाम के बराबर होती है । इस स्थिति में सदिश बंडल E कभी-कभी इसके कनेक्शन के अतिरिक्त डेटा के एक अतिरिक्त टुकड़े से सुसज्जित होता है एक सोल्डर प्रपत्र ' विश्व स्तर पर परिभाषित [[वेक्टर-मूल्यवान रूप|सदिश -मान]] 1-प्रपत्र θ ∈ Ω<sup>1</sup>(M,E) के रूप में होता है जिसे मैपिंग के रूप में दिखाया जाता है,
 :<math>\theta_x : T_xM \rightarrow E_x</math>
-सभी एक्स ∈ एम के लिए एक रैखिक समरूपता है। यदि एक सोल्डर फॉर्म दिया गया है, तो कनेक्शन के 'मरोड़ (अंतर ज्यामिति)' को परिभाषित करना संभव है (बाहरी कनेक्शन के संदर्भ में)
+सभी एक्स ∈ एम के लिए एक रैखिक समरूपता है। यदि एक सोल्डर प्रपत्र दिया गया है, तो कनेक्शन के 'आक्षेप अंतर ज्यामिति' को परिभाषित करना संभव है, बाहरी कनेक्शन के संदर्भ में जिसे इस प्रकार व्यक्त किया है
 :<math>\Theta = D\theta.\, </math>
-मरोड़ Θ एम पर एक ई-वैल्यू 2-फॉर्म है।
+आक्षेप Θ एम पर एक ई-मान 2-प्रपत्र के रूप में है।
-सोल्डर फॉर्म और संबंधित मरोड़ दोनों को ई के स्थानीय फ्रेम 'ई' के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। यदि θ एक सोल्डर फॉर्म है, तो यह फ्रेम घटकों में विघटित हो जाता है
+सोल्डर प्रपत्र और संबंधित आक्षेप दोनों को ई के स्थानीय फ्रेम 'ई' के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। यदि θ एक सोल्डर प्रपत्र है, तो यह फ्रेम घटकों में विघटित हो जाता है
 :<math>\theta = \sum_i \theta^i(\mathbf e) e_i.</math>
-मरोड़ के घटक तब हैं
+आक्षेप के घटक तब हैं
 :<math>\Theta^i(\mathbf e) = d\theta^i(\mathbf e) + \sum_j \omega_j^i(\mathbf e)\wedge \theta^j(\mathbf e).</math>
-वक्रता की तरह, यह दिखाया जा सकता है कि Θ फ्रेम में बदलाव के तहत सहप्रसरण और सदिशों के प्रतिप्रसरण के रूप में व्यवहार करता है:
+वक्रता की तरह, यह दिखाया जा सकता है कि Θ फ्रेम में बदलाव के अनुसार सहप्रसरण और सदिशों के प्रतिप्रसरण के रूप में व्यवहार करता है:
 :<math>\Theta^i(\mathbf e\, g)=\sum_j g_j^i \Theta^j(\mathbf e).</math>
-फ़्रेम-स्वतंत्र मरोड़ को फ़्रेम घटकों से भी पुनर्प्राप्त किया जा सकता है:
+फ़्रेम-स्वतंत्र आक्षेप को फ़्रेम घटकों से भी पुनर्प्राप्त किया जा सकता है:
 :<math>\Theta = \sum_i e_i \Theta^i(\mathbf e).</math>
-=== [[बियांची पहचान]] ===
+=== [[बियांची पहचान|बियांची सर्वसमिकाएँ]] ===
-बियांची की पहचान मरोड़ को वक्रता से संबंधित करती है। पहली बियांची पहचान बताती है कि
+बियांची की सर्वसमिकाएँ आक्षेप को वक्रता से संबंधित होती है। और इस प्रकार पहली बियांची सर्वसमिकाएँ बताती है कि
 :<math>D\Theta=\Omega\wedge\theta</math>
-जबकि दूसरी बियांची पहचान बताती है कि
+जबकि दूसरी बियांची सर्वसमिकाएँ बताती है कि
 :<math>\, D \Omega = 0.</math>
 === उदाहरण: लेवी-सिविता कनेक्शन ===
-एक उदाहरण के रूप में, मान लीजिए कि M में [[रिमेंनियन मीट्रिक]] है। यदि किसी के पास M के ऊपर एक वेक्टर बंडल E है, तो [[बंडल मीट्रिक]] के रूप में मीट्रिक को पूरे वेक्टर बंडल तक बढ़ाया जा सकता है। कोई तब एक कनेक्शन परिभाषित कर सकता है जो इस बंडल मीट्रिक के साथ संगत है, यह [[मीट्रिक कनेक्शन]] है। ई के स्पर्शरेखा बंडल टीएम होने के विशेष मामले के लिए, मीट्रिक कनेक्शन को [[ रिमानियन कनेक्शन ]] कहा जाता है। एक रिमेंनियन कनेक्शन को देखते हुए, हमेशा एक अद्वितीय, समतुल्य कनेक्शन मिल सकता है जो मरोड़ तनाव | मरोड़-मुक्त है। यह एम के टेंगेंट बंडल टीएम पर लेवी-सिविता कनेक्शन है।<ref>See {{harvtxt|Jost|2011}}, chapter 4, for a complete account of the Levi-Civita connection from this point of view.</ref><ref>See {{harvtxt|Spivak|1999a}}, II.7 for a complete account of the Levi-Civita connection from this point of view.</ref>
+एक उदाहरण के रूप में, मान लीजिए कि M में [[रिमेंनियन मीट्रिक]] है। यदि किसी के पास M के ऊपर एक सदिश बंडल E है, तो [[बंडल मीट्रिक]] के रूप में मीट्रिक को पूरे सदिश बंडल तक बढ़ाया जा सकता है। कोई तब एक कनेक्शन परिभाषित कर सकता है जो इस बंडल मीट्रिक के साथ संगत है, यह [[मीट्रिक कनेक्शन]] है। ई के स्पर्शरेखा बंडल टीएम होने के विशेष स्थिति के लिए, मीट्रिक कनेक्शन को [[ रिमानियन कनेक्शन |रिमानियन कनेक्शन]] कहा जाता है। एक रिमेंनियन कनेक्शन को देखते हुए, अधिकांशता एक अद्वितीय, समतुल्य कनेक्शन मिल सकता है जो आक्षेप तनाव | मरोड़-मुक्त है। यह एम के टेंगेंट बंडल टीएम पर लेवी-सिविता कनेक्शन है।<ref>See {{harvtxt|Jost|2011}}, chapter 4, for a complete account of the Levi-Civita connection from this point of view.</ref><ref>See {{harvtxt|Spivak|1999a}}, II.7 for a complete account of the Levi-Civita connection from this point of view.</ref>
 स्पर्शरेखा बंडल पर एक स्थानीय फ्रेम सदिश क्षेत्रों की एक क्रमबद्ध सूची है {{nowrap|1='''e''' = (''e''<sub>''i''</sub> {{!}} ''i'' = 1, 2, ..., ''n'')}}, कहाँ {{nowrap|1=''n'' = dim ''M''}}, M के एक खुले उपसमुच्चय पर परिभाषित किया गया है जो अपने डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। क्रिस्टोफेल प्रतीक लेवी-सिविता कनेक्शन को परिभाषित करते हैं
 :<math>\nabla_{e_i}e_j = \sum_{k=1}^n\Gamma_{ij}^k(\mathbf e)e_k.</math>
-यदि θ = {{mset|1=''θ''<sup>''i''</sup> {{!}} ''i'' = 1, 2, ..., ''n''}}, [[स्पर्शरेखा बंडल]] के दोहरे आधार को दर्शाता है, जैसे कि θ<sup>मैं</sup>(और<sub>''j''</sub>) = डी<sup>मैं<sub>''j''</sub> ([[क्रोनकर डेल्टा]]), तो कनेक्शन फॉर्म है
+यदि θ = {{mset|1=''θ''<sup>''i''</sup> {{!}} ''i'' = 1, 2, ..., ''n''}}, [[स्पर्शरेखा बंडल]] के दोहरे आधार को दर्शाता है, जैसे कि θ<sup>मैं</sup>(और<sub>''j''</sub>) = डी<sup>मैं<sub>''j''</sub> ([[क्रोनकर डेल्टा]]), तो कनेक्शन प्रपत्र है
 :<math>\omega_i^j(\mathbf e) = \sum_k \Gamma^j{}_{ki}(\mathbf e)\theta^k.</math>
-कनेक्शन फॉर्म के संदर्भ में, वेक्टर क्षेत्र पर बाहरी कनेक्शन {{nowrap|1=''v'' = Σ<sub>''i''</sub>''e''<sub>''i''</sub>''v''<sup>''i''</sup>}} द्वारा दिया गया है
+कनेक्शन प्रपत्र के संदर्भ में, सदिश क्षेत्र पर बाहरी कनेक्शन {{nowrap|1=''v'' = Σ<sub>''i''</sub>''e''<sub>''i''</sub>''v''<sup>''i''</sup>}} द्वारा दिया गया है
 :<math> Dv=\sum_k e_k\otimes(dv^k) + \sum_{j,k}e_k\otimes\omega^k_j(\mathbf e)v^j.</math>
 ई के साथ अनुबंध करके, सामान्य अर्थों में, लेवी-सिविता कनेक्शन को पुनर्प्राप्त कर सकते हैं<sub>i</sub>:
@@ Line 122: / Line 122: @@
 \Omega_i{}^j(\mathbf e) = d\omega_i{}^j(\mathbf e)+\sum_k\omega_k{}^j(\mathbf e)\wedge\omega_i{}^k(\mathbf e).
 </math>
-सादगी के लिए, मान लीजिए कि फ्रेम ई [[होलोनोमिक आधार]] है, ताकि {{nowrap|1=''dθ''<sup>''i''</sup> = 0}}.<ref>In a non-holonomic frame, the expression of curvature is further complicated by the fact that the derivatives dθ<sup>i</sup> must be taken into account.</ref> फिर, अब दोहराए गए सूचकांकों पर योग परिपाटी का उपयोग करते हुए,
+सादगी के लिए, मान लीजिए कि फ्रेम ई [[होलोनोमिक आधार]] है, जिससे कि {{nowrap|1=''dθ''<sup>''i''</sup> = 0}}.<ref>In a non-holonomic frame, the expression of curvature is further complicated by the fact that the derivatives dθ<sup>i</sup> must be taken into account.</ref> फिर, अब दोहराए गए सूचकांकों पर योग परिपाटी का उपयोग करते हुए,
 :<math>\begin{array}{ll}
 \Omega_i{}^j &= d(\Gamma^j{}_{qi}\theta^q) + (\Gamma^j{}_{pk}\theta^p)\wedge(\Gamma^k{}_{qi}\theta^q)\\
@@ Line 134: / Line 134: @@
 ==== मरोड़ ====
-लेवी-सिविता कनेक्शन को शून्य मरोड़ के साथ स्पर्शरेखा बंडल में अद्वितीय मीट्रिक कनेक्शन के रूप में वर्णित किया गया है। मरोड़ का वर्णन करने के लिए, ध्यान दें कि सदिश बंडल E स्पर्शरेखा बंडल है। इसमें एक कैनोनिकल सोल्डर फॉर्म होता है (जिसे कभी-कभी [[विहित एक रूप]] कहा जाता है, विशेष रूप से [[शास्त्रीय यांत्रिकी]] के संदर्भ में) जो कि खंड θ है {{nowrap|1=Hom(T''M'', T''M'') = T<sup>∗</sup>''M'' ⊗ T''M''}} स्पर्शरेखा रिक्त स्थान की पहचान एंडोमोर्फिज्म के अनुरूप। फ्रेम ई में, सोल्डर फॉर्म है {{nowrap|''θ'' = Σ<sub>''i''</sub> ''e''<sub>''i''</sub> ⊗ ''θ''<sup>''i''</sup>}}, जहां फिर से θ<sup>i</sup> दोहरा आधार है।
+लेवी-सिविता कनेक्शन को शून्य आक्षेप के साथ स्पर्शरेखा बंडल में अद्वितीय मीट्रिक कनेक्शन के रूप में वर्णित किया गया है। आक्षेप का वर्णन करने के लिए, ध्यान दें कि सदिश बंडल E स्पर्शरेखा बंडल है। इसमें एक कैनोनिकल सोल्डर प्रपत्र होता है (जिसे कभी-कभी [[विहित एक रूप]] कहा जाता है, विशेष रूप से [[शास्त्रीय यांत्रिकी|मौलिक यांत्रिकी]] के संदर्भ में) जो कि खंड θ है {{nowrap|1=Hom(T''M'', T''M'') = T<sup>∗</sup>''M'' ⊗ T''M''}} स्पर्शरेखा रिक्त स्थान की सर्वसमिकाएँ एंडोमोर्फिज्म के अनुरूप। फ्रेम ई में, सोल्डर प्रपत्र है {{nowrap|''θ'' = Σ<sub>''i''</sub> ''e''<sub>''i''</sub> ⊗ ''θ''<sup>''i''</sup>}}, जहां फिर से θ<sup>i</sup> दोहरा आधार है।
-कनेक्शन का मरोड़ किसके द्वारा दिया जाता है {{nowrap|1=Θ = ''Dθ''}}, या सोल्डर फॉर्म के फ्रेम घटकों के संदर्भ में
+कनेक्शन का आक्षेप किसके द्वारा दिया जाता है {{nowrap|1=Θ = ''Dθ''}}, या सोल्डर प्रपत्र के फ्रेम घटकों के संदर्भ में
 :<math>\Theta^i(\mathbf e) = d\theta^i+\sum_j\omega^i_j(\mathbf e)\wedge\theta^j.</math>
 सादगी के लिए फिर से यह मानते हुए कि ई होलोनोमिक है, यह अभिव्यक्ति कम हो जाती है
 :<math>\Theta^i = \Gamma^i{}_{kj} \theta^k\wedge\theta^j</math>,
-जो गायब हो जाता है अगर और केवल अगर Γ<sup>मैं<sub>''kj''</sub> अपने निचले सूचकांकों पर सममित है।
+जो गायब हो जाता है यदि और केवल यदि Γ<sup>मैं<sub>''kj''</sub> अपने निचले सूचकांकों पर सममित है।
-मरोड़ के साथ एक मीट्रिक कनेक्शन दिया गया है, एक बार हमेशा एक एकल, अद्वितीय कनेक्शन मिल सकता है जो मरोड़ से मुक्त है, यह लेवी-सिविता कनेक्शन है। एक रिमेंनियन कनेक्शन और उससे जुड़े लेवी-सिविता कनेक्शन के बीच का अंतर [[विरूपण टेंसर]] है।
+आक्षेप के साथ एक मीट्रिक कनेक्शन दिया गया है, एक बार अधिकांशता एक एकल, अद्वितीय कनेक्शन मिल सकता है जो आक्षेप से मुक्त है, यह लेवी-सिविता कनेक्शन है। एक रिमेंनियन कनेक्शन और उससे जुड़े लेवी-सिविता कनेक्शन के बीच का अंतर [[विरूपण टेंसर]] है।
 == संरचना समूह ==
-एक अधिक विशिष्ट प्रकार के कनेक्शन फॉर्म का निर्माण तब किया जा सकता है जब वेक्टर बंडल ई एक [[संबद्ध बंडल]] रखता है। यह ई पर फ्रेम 'ई' के एक पसंदीदा वर्ग के बराबर है, जो एक लाइ समूह जी से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, ई में एक [[मीट्रिक (वेक्टर बंडल)]] की उपस्थिति में, एक फ्रेम के साथ काम करता है जो प्रत्येक पर एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाता है बिंदु। संरचना समूह तब ओर्थोगोनल समूह है, क्योंकि यह समूह फ़्रेमों की ऑर्थोनॉर्मलिटी को संरक्षित करता है। अन्य उदाहरणों में शामिल हैं:
+एक अधिक विशिष्ट प्रकार के कनेक्शन प्रपत्र का निर्माण तब किया जा सकता है जब सदिश बंडल ई एक [[संबद्ध बंडल]] रखता है। यह ई पर फ्रेम 'ई' के एक पसंदीदा वर्ग के बराबर है, जो एक लाइ समूह जी से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, ई में एक [[मीट्रिक (वेक्टर बंडल)|मीट्रिक (सदिश बंडल)]] की उपस्थिति में, एक फ्रेम के साथ काम करता है जो प्रत्येक पर एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाता है बिंदु। संरचना समूह तब ओर्थोगोनल समूह है, क्योंकि यह समूह फ़्रेमों की ऑर्थोनॉर्मलिटी को संरक्षित करता है। अन्य उदाहरणों में सम्मलित हैं:
 * पूर्ववर्ती खंड में विचार किए गए सामान्य फ्रेम में संरचनात्मक समूह जीएल (के) होता है जहां के ई का फाइबर आयाम होता है।
 * एक जटिल मैनिफोल्ड (या लगभग जटिल मैनिफोल्ड) का होलोमोर्फिक स्पर्शरेखा बंडल।<ref name=Wells>Wells (1973).</ref> यहाँ संरचना समूह जीएल है<sub>n</sub>(C) ⊂ GL<sub>2n</sub>(आर)।<ref>See for instance Kobayashi and Nomizu, Volume II.</ref> यदि एक [[हर्मिटियन मीट्रिक]] दिया जाता है, तो संरचना समूह एकात्मक फ्रेम पर अभिनय करने वाले [[एकात्मक समूह]] को कम कर देता है।<ref name=Wells/>* [[स्पिन संरचना]] से सुसज्जित कई गुना पर [[स्पिनर]]। स्पिन स्पेस पर एक अपरिवर्तनीय आंतरिक उत्पाद के संबंध में फ्रेम एकात्मक हैं, और समूह [[स्पिन समूह]] को कम कर देता है।
 * [[ सीआर कई गुना ]]्स पर होलोमॉर्फिक स्पर्शरेखा बंडल।<ref>See Chern and Moser.</ref>
-सामान्य तौर पर, E को फाइबर आयाम k का एक दिया गया वेक्टर बंडल और G ⊂ GL(k) 'R' के सामान्य रैखिक समूह का एक दिया गया उपसमूह है।<sup>क</सुप>. अगर (ई<sub>α</sub>) ई का स्थानीय फ्रेम है, फिर एक मैट्रिक्स-मूल्यवान फ़ंक्शन (जी<sub>i</sub><sup>j</sup>): M → G, e पर कार्य कर सकता है<sub>α</sub> एक नया फ्रेम बनाने के लिए
+सामान्यतः , E को फाइबर आयाम k का एक दिया गया सदिश बंडल और G ⊂ GL(k) 'R' के सामान्य रैखिक समूह का एक दिया गया उपसमूह है।<sup>क</सुप>. यदि (ई<sub>α</sub>) ई का स्थानीय फ्रेम है, फिर एक मैट्रिक्स-मूल्यवान फलन (जी<sub>i</sub><sup>j</sup>): M → G, e पर फलन कर सकता है<sub>α</sub> एक नया फ्रेम बनाने के लिए
 :<math>e_\alpha' = \sum_\beta e_\beta g_\alpha^\beta.</math>
-ऐसे दो फ्रेम ''जी'' से संबंधित हैं। अनौपचारिक रूप से, वेक्टर बंडल ''ई'' में ''जी''-बंडल की संरचना होती है, यदि फ्रेम का पसंदीदा वर्ग निर्दिष्ट किया जाता है, जो सभी स्थानीय रूप से ''जी''-एक दूसरे से संबंधित हैं। औपचारिक शब्दों में, 'ई' संरचना समूह 'जी' के साथ एक [[फाइबर बंडल]] है जिसका विशिष्ट फाइबर आर है<sup>k</sup> GL(k) के एक उपसमूह के रूप में G की प्राकृतिक क्रिया के साथ।
+ऐसे दो फ्रेम ''जी'' से संबंधित हैं। अनौपचारिक रूप से, सदिश बंडल ''ई'' में ''जी''-बंडल की संरचना होती है, यदि फ्रेम का पसंदीदा वर्ग निर्दिष्ट किया जाता है, जो सभी स्थानीय रूप से ''जी''-एक दूसरे से संबंधित हैं। औपचारिक शब्दों में, 'ई' संरचना समूह 'जी' के साथ एक [[फाइबर बंडल]] है जिसका विशिष्ट फाइबर आर है<sup>k</sup> GL(k) के एक उपसमूह के रूप में G की प्राकृतिक क्रिया के साथ।
 === संगत कनेक्शन ===
-ई पर जी-बंडल की संरचना के साथ एक कनेक्शन [[मीट्रिक संगत]] है, बशर्ते संबंधित [[समानांतर परिवहन]] मानचित्र हमेशा एक जी-फ्रेम को दूसरे में भेजते हैं। औपचारिक रूप से, एक वक्र γ के साथ, निम्नलिखित को स्थानीय रूप से धारण करना चाहिए (अर्थात, टी के पर्याप्त छोटे मूल्यों के लिए):
+ई पर जी-बंडल की संरचना के साथ एक कनेक्शन [[मीट्रिक संगत]] के रूप में है, बशर्ते संबंधित [[समानांतर परिवहन]] मानचित्र अधिकांशता एक जी-फ्रेम को दूसरे में भेजते हैं। औपचारिक रूप से, एक वक्र γ के साथ, निम्नलिखित को स्थानीय रूप से धारण करना चाहिए अर्थात, टी के पर्याप्त छोटे मूल्यों के लिए परिभाषित करता है।
 :<math>\Gamma(\gamma)_0^t e_\alpha(\gamma(0)) = \sum_\beta e_\beta(\gamma(t))g_\alpha^\beta(t) </math>
-कुछ मैट्रिक्स जी के लिए<sub>α</sub><sup>β</sup> (जो t पर भी निर्भर हो सकता है)। t=0 पर अवकलन देता है
+कुछ मैट्रिक्स ''g''<sub>α</sub><sup>β</sup> के रूप में होते है, जो t पर भी निर्भर हो सकता है। t=0 पर अवकलन देता है
 :<math>\nabla_{\dot{\gamma}(0)} e_\alpha = \sum_\beta e_\beta \omega_\alpha^\beta(\dot{\gamma}(0))</math>
-जहां गुणांक ω<sub>α</sub><sup>β</sup> लाई समूह ''जी'' के लाई बीजगणित जी में हैं।
+जहां गुणांक ω<sub>α</sub><sup>β</sup> लाई समूह ''जी'' के बीजगणित का मान परिभाषित करता है।
-इस अवलोकन के साथ, कनेक्शन ω बनाता है<sub>α</sub><sup>β</sup> द्वारा परिभाषित
+इस अवलोकन के साथ, कनेक्शन ω<sub>α</sub><sup>β</sup> बनाता है जिसे इस प्रकार परिभाषित करता है।
 :<math>D e_\alpha = \sum_\beta e_\beta\otimes \omega_\alpha^\beta(\mathbf e)</math>
-संरचना के साथ संगत है यदि एक-रूपों का मैट्रिक्स ω है<sub>α</sub><sup>β</sup>(e) इसका मान g में लेता है।
+संरचना के साथ संगत है यदि एक-रूपों का मैट्रिक्स ω<sub>α</sub><sup>β</sup>('''e''') के रूप में है, तो g का मान इस प्रकार व्यक्त करता है।
-एक संगत कनेक्शन का वक्रता रूप, इसके अलावा, एक जी-मूल्यवान दो-रूप है।
+एक संगत कनेक्शन का वक्रता रूप, इसके अतिरिक्त एक g का मान दो-रूप में होता ।
 === फ्रेम का परिवर्तन ===
-फ्रेम के बदलाव के तहत
+फ्रेम के बदलाव के अनुसार
 :<math>e_\alpha' = \sum_\beta e_\beta g_\alpha^\beta</math>
-जहाँ g एक G-मूल्यवान फ़ंक्शन है जो M के एक खुले उपसमुच्चय पर परिभाषित है, कनेक्शन प्रपत्र के माध्यम से रूपांतरित होता है <!--Todo: incorporate index version above as well. -->
+जहाँ g एक G-मूल्यवान फलन है जो M के एक खुले उपसमुच्चय पर परिभाषित है, कनेक्शन प्रपत्र के माध्यम से रूपांतरित होता है <!--Todo: incorporate index version above as well. -->
 :<math>\omega_\alpha^\beta(\mathbf e\cdot g) = (g^{-1})_\gamma^\beta dg_\alpha^\gamma + (g^{-1})_\gamma^\beta \omega_\delta^\gamma(\mathbf e)g_\alpha^\delta.</math>
-या, मैट्रिक्स उत्पादों का उपयोग करना:
+मैट्रिक्स उत्पादों का उपयोग इस प्रकार करता है
 :<math>\omega({\mathbf e}\cdot g) = g^{-1}dg + g^{-1}\omega g.</math>
-इनमें से प्रत्येक पद की व्याख्या करने के लिए याद रखें कि g : M → G एक G-मूल्यवान (स्थानीय रूप से परिभाषित) फलन है। इसे ध्यान में रखकर,
+इनमें से प्रत्येक पद की व्याख्या करने के लिए याद रखें कि g : M → G एक G-का मान स्थानीय रूप से परिभाषित फलन के रूप में है। इसे ध्यान में रखकर,
 :<math>\omega({\mathbf e}\cdot g) = g^*\omega_{\mathfrak g} + \text{Ad}_{g^{-1}}\omega(\mathbf e)</math>
-कहाँ ω<sub>'''g'''</sub> समूह जी के लिए [[मौरर-कार्टन फॉर्म]] है, यहां फ़ंक्शन जी के साथ एम को [[ पुलबैक (अंतर ज्यामिति) ]] है, और विज्ञापन इसके लाई बीजगणित पर जी का आसन्न प्रतिनिधित्व है।
+कहाँ ω<sub>'''g'''</sub> समूह जी के लिए [[मौरर-कार्टन फॉर्म|मौरर-कार्टन]] प्रपत्र है, यहां फलन जी के साथ एम को [[ पुलबैक (अंतर ज्यामिति) |पुलबैक (अंतर ज्यामिति)]] है, और विज्ञापन इसके लाई बीजगणित पर जी का आसन्न प्रतिनिधित्व करती है।
-== प्रिंसिपल बंडल ==
+== प्रमुख बंडल ==
-कनेक्शन फॉर्म, जैसा कि अब तक पेश किया गया है, फ्रेम के एक विशेष विकल्प पर निर्भर करता है। पहली परिभाषा में, फ्रेम केवल अनुभागों का एक स्थानीय आधार है। प्रत्येक फ्रेम के लिए, एक फ्रेम से दूसरे फ्रेम में जाने के लिए परिवर्तन कानून के साथ एक कनेक्शन फॉर्म दिया जाता है। दूसरी परिभाषा में, फ्रेम स्वयं एक लाई समूह द्वारा प्रदान की गई कुछ अतिरिक्त संरचना को ले जाते हैं, और फ्रेम के परिवर्तन उन लोगों के लिए विवश होते हैं जो इसमें अपना मान लेते हैं। 1940 के दशक में [[चार्ल्स एह्रेसमैन]] द्वारा अग्रणी प्रमुख बंडलों की भाषा, इन कई कनेक्शन रूपों को व्यवस्थित करने का एक तरीका प्रदान करती है और परिवर्तन के लिए एक ही नियम के साथ उन्हें एक आंतरिक रूप में जोड़ने वाले परिवर्तन कानून प्रदान करती है। इस दृष्टिकोण का नुकसान यह है कि रूपों को अब कई गुना पर ही परिभाषित नहीं किया जाता है, बल्कि एक बड़े प्रिंसिपल बंडल पर।
+कनेक्शन प्रपत्र , जैसा कि अब तक प्रस्तुत किया गया है, फ्रेम के एक विशेष विकल्प पर निर्भर करता है। पहली परिभाषा में फ्रेम केवल अनुभागों का एक स्थानीय आधार के रूप में होता है। प्रत्येक फ्रेम के लिए एक फ्रेम से दूसरे फ्रेम में जाने के लिए मौलिक नियम के साथ एक कनेक्शन प्रपत्र दिया जाता है।दूसरी परिभाषा में, स्वयं फ्रेम में कुछ अतिरिक्त संरचना होती है जो एक लाई समूह द्वारा दी जाती है और फ्रेम के परिवर्तन उन लोगों के लिए विवश हो जाते हैं जो उसका मान लेते हैं। 1940 के दशक में [[चार्ल्स एह्रेसमैन]] द्वारा अग्रणी प्रमुख बंडलों की भाषा इन कई कनेक्शन रूपों को व्यवस्थित करने की एक विधि प्रदान करती है और परिवर्तन के लिए एक ही नियम के साथ उन्हें एक आंतरिक रूप में जोड़ने वाले मौलिक नियम प्रदान करती है। इस दृष्टिकोण का नुकसान यह है कि रूपों को अब कई गुना पर परिभाषित नहीं किया जाता है, बल्कि एक बड़े प्रमुख बंडल के रूप में किया जाता है।
-=== कनेक्शन फॉर्म के लिए मुख्य कनेक्शन ===
+=== कनेक्शन प्रपत्र के लिए मुख्य कनेक्शन ===
-मान लीजिए कि E → M संरचना समूह G के साथ एक सदिश बंडल है। मान लीजिए कि {U} M का एक खुला आवरण है, प्रत्येक U पर G-फ्रेम के साथ, जिसे 'e' द्वारा दर्शाया गया है।<sub>U</sub>. ये द्वारा ओवरलैपिंग ओपन सेट के चौराहों पर संबंधित हैं
+मान लीजिए कि E → M संरचना समूह G के साथ एक सदिश बंडल के रूप में है। मान लीजिए कि {U} M का एक खुला आवरण है, प्रत्येक U पर G-फ्रेम के साथ जिसे '''e'''<sub>U</sub> द्वारा दर्शाया गया है।. ये ओवरलैपिंग ओपन समुच्चय के प्रतिच्छेदन से संबंधित होती है
 :<math>{\mathbf e}_V={\mathbf e}_U\cdot h_{UV}</math>
-कुछ जी-वैल्यू फ़ंक्शन एच के लिए<sub>UV</sub> यू ∩ वी पर परिभाषित।
+कुछ जी-मान फलन ''h''<sub>UV</sub> के लिए ''U'' ∩ ''V'' को परिभाषित करते है।
-चलो एफ<sub>G</sub>ई, एम के प्रत्येक बिंदु पर लिए गए सभी जी-फ्रेमों का सेट है। यह एम पर एक प्रमुख जी-बंडल है। विस्तार से, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि जी-फ्रेम सभी जी-संबंधित हैं, एफ<sub>G</sub>खुले आवरण के सेटों के बीच ग्लूइंग डेटा के संदर्भ में ई को महसूस किया जा सकता है:
+माना F<sub>G</sub>''E'', एम के प्रत्येक बिंदु पर लिए गए सभी जी-फ्रेमों का समुच्चय के रूप में है। यह एम पर एक प्रमुख जी-बंडल है। और इस प्रकार विस्तार से इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि जी-फ्रेम से संबंधित होता है, F<sub>G</sub>''E'' खुले आवरण के समुच्चय के बीच ग्लूइंग डेटा के संदर्भ में महसूस किया जा सकता है:
 :<math>F_GE = \left.\coprod_U U\times G\right/\sim</math>
-जहां [[तुल्यता संबंध]] <math>\sim</math> द्वारा परिभाषित किया गया है
+जहां [[तुल्यता संबंध]] <math>\sim</math> द्वारा परिभाषित किया गया है।
 :<math>((x,g_U)\in U\times G) \sim ((x,g_V) \in V\times G) \iff {\mathbf e}_V={\mathbf e}_U\cdot h_{UV} \text{ and } g_U = h_{UV}^{-1}(x) g_V. </math>
-एफ पर<sub>G</sub>E, प्रत्येक उत्पाद U × G पर एक 'g'-मूल्यवान एक-रूप निर्दिष्ट करके, एक कनेक्शन (प्रिंसिपल बंडल) | प्रिंसिपल G-कनेक्शन को निम्नानुसार परिभाषित करें, जो ओवरलैप क्षेत्रों पर समानता संबंध का सम्मान करता है। पहले चलो
+F<sub>G</sub>''E'' पर प्रत्येक उत्पाद U × G पर एक 'g'-मान एक निर्दिष्ट रूप में होता हैऔर एक कनेक्शन प्रमुख बंडल G- को निम्नानुसार परिभाषित करता है, जो ओवरलैप क्षेत्रों पर समानता संबंध के रूप में होता है जिसे इस प्रकार दिखाया जाता है।
 :<math>\pi_1:U\times G \to U,\quad \pi_2 : U\times G \to G</math>
-प्रक्षेपण नक्शे हो। अब, एक बिंदु (x,g) के लिए ∈ U × G, समुच्चय कीजिए
+प्रक्षेपण नक्शे के रूप में अब, एक बिंदु (''x'',''g'') ∈ ''U'' × ''G'' के लिए समुच्चय के रूप में होते है, जिसे इस प्रकार दिखाया जाता है।
 :<math>\omega_{(x,g)} = Ad_{g^{-1}}\pi_1^*\omega(\mathbf e_U)+\pi_2^*\omega_{\mathbf g}.</math>
-इस तरह से निर्मित 1-फॉर्म ω अतिव्यापी सेटों के बीच संक्रमण का सम्मान करता है, और इसलिए प्रमुख बंडल एफ पर विश्व स्तर पर परिभाषित 1-फॉर्म देने के लिए उतरता है।<sub>G</sub>ई। यह दिखाया जा सकता है कि ω इस अर्थ में एक प्रमुख कनेक्शन है कि यह एफ पर सही जी कार्रवाई के जनरेटर को पुन: उत्पन्न करता है<sub>G</sub>E, और समान रूप से T(F) पर सही कार्रवाई को परस्पर जोड़ता है<sub>G</sub>ई) जी के आसन्न प्रतिनिधित्व के साथ।
+इस तरह से निर्मित 1-प्रपत्र ω अतिव्यापी समुच्चय के बीच संक्रमण के रूप में होता है और इसलिए प्रमुख बंडल F<sub>G</sub>''E'' पर विश्व स्तर पर परिभाषित 1-प्रपत्र देने के लिए उतरता है। यह दिखाया जा सकता है कि ω इस अर्थ में एक प्रमुख कनेक्शन के रूप में है और यह F<sub>G</sub>''E'' पर सही जी घटनाक्रम के जनरेटर को पुन: उत्पन्न करता है और समान रूप से T(F<sub>G</sub>''E'') पर सही कार्रवाई को परस्पर जोड़ता है जी के आसन्न प्रतिनिधित्व के रूप में होता है।
-=== प्रिंसिपल कनेक्शन से जुड़े कनेक्शन फॉर्म ===
+=== प्रमुख कनेक्शन से जुड़े कनेक्शन प्रपत्र ===
-इसके विपरीत, एक प्रमुख G-बंडल P→M में एक प्रमुख G-कनेक्शन ω, M पर कनेक्शन रूपों के संग्रह को जन्म देता है। मान लीजिए कि 'e': M → P, P का एक स्थानीय खंड है। फिर ω का पुलबैक 'ई' एम पर 'जी'-मूल्यवान एक-रूप को परिभाषित करता है:
+इसके विपरीत, एक प्रमुख G-बंडल P→M में एक प्रमुख G-कनेक्शन ω, M पर कनेक्शन रूपों के संग्रह को जन्म देता है। मान लीजिए कि 'e': M → P, P का एक स्थानीय खंड के रूप में है। फिर ω का पुलबैक 'ई' एम पर 'जी'-मूल्यवान एक-रूप को परिभाषित करता है
 :<math>\omega({\mathbf e}) = {\mathbf e}^*\omega.</math>
-जी-वैल्यू फ़ंक्शन जी द्वारा फ्रेम बदलना, कोई देखता है कि ω('e') लीबनिज़ नियम और संयोजन का उपयोग करके आवश्यक तरीके से बदलता है:
+g का मान फलन जी द्वारा फ्रेम बदलना, और इस प्रकार कोई देखता है कि ω('e') लीबनिज़ नियम और संयोजन का उपयोग करके आवश्यक विधि से बदलता है
 :<math>\langle X, ({\mathbf e}\cdot g)^*\omega\rangle = \langle [d(\mathbf e\cdot g)](X), \omega\rangle</math>
-जहां एक्स एम पर एक वेक्टर है, और डी पुशफॉरवर्ड (अंतर) को दर्शाता है।
+जहां एक्स एम पर एक सदिश के रूप में है और डी पुशफॉरवर्ड (अंतर) को दर्शाता है।
 == यह भी देखें ==
@@ Line 227: / Line 227: @@
 {{Manifolds}}
 {{Tensors}}
-[[Category: कनेक्शन (गणित)]] [[Category: विभेदक ज्यामिति]] [[Category: फाइबर बंडल]] [[Category: कई गुना के नक्शे]] [[Category: चिकना कार्य]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
+[[Category:Articles with hatnote templates targeting a nonexistent page]]
+[[Category:Collapse templates]]
 [[Category:Created On 18/04/2023]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
+[[Category:Navigational boxes without horizontal lists]]
+[[Category:Pages with script errors]]
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+[[Category:Templates generating microformats]]
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कनेक्शन प्रपत्र: Difference between revisions

Latest revision as of 16:52, 3 May 2023

सदिश बंडल

सदिश बंडल पर फ्रेम

बाहरी कनेक्शन

कनेक्शन प्रपत्र

फ्रेम का परिवर्तन

वैश्विक कनेक्शन प्रपत्र

वक्रता

सोल्डरिंग और मरोड़

बियांची सर्वसमिकाएँ

उदाहरण: लेवी-सिविता कनेक्शन

वक्रता

मरोड़

संरचना समूह

संगत कनेक्शन

फ्रेम का परिवर्तन

प्रमुख बंडल

कनेक्शन प्रपत्र के लिए मुख्य कनेक्शन

प्रमुख कनेक्शन से जुड़े कनेक्शन प्रपत्र

यह भी देखें

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