त्रिभुज के कोणों का योग: Difference between revisions
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{{Short description|Fundamental result in geometry}} | {{Short description|Fundamental result in geometry}}[[यूक्लिडियन अंतरिक्ष|यूक्लिडियन अवकलिक्ष]] में, '''त्रिभुज के कोणों का [[योग]]''' सीधे कोण (180 [[डिग्री (कोण)]], {{Pi}} [[रेडियंस]], दो [[समकोण]], या आधा-[[मोड़ (ज्यामिति)]] के बराबर होता है। एक त्रिभुज में तीन कोण होते हैं, प्रत्येक शीर्ष पर एक, आसन्न पक्षों (ज्यामिति) की एक युगल से घिरा होता है। | ||
यह लंबे समय से अविदित था कि क्या अन्य ज्यामिति स्थिति होती हैं, जिनके लिए यह '''[[योग]]''' अलग होता है। गणित पर इस समस्या का प्रभाव विशेष रूप से उन्नीसवीं शताब्दी के समय प्रबल था। अन्य स्थानों (ज्यामिति) में यह योग अधिक या कम हो सकता है, लेकिन फिर इसे [[त्रिकोण]] पर निर्भर होना चाहिए। 180 डिग्री से इसका अवकल [[कोणीय दोष]] की स्थिति होती है और ज्यामितीय प्रणालियों के लिए एक महत्वपूर्ण भेद के रूप में कार्य करता है। | |||
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== | == स्थिति == | ||
=== [[यूक्लिडियन ज्यामिति]] === | === [[यूक्लिडियन ज्यामिति]] === | ||
यूक्लिडियन ज्यामिति में, त्रिभुज अभिधारणा बताती है कि त्रिभुज के कोणों का योग दो समकोण होता है। यह अभिधारणा | यूक्लिडियन ज्यामिति में,त्रिभुज अभिधारणा बताती है कि त्रिभुज के कोणों का योग दो समकोण होता है। यह अभिधारणा समानांतर अभिधारणा के समतुल्य होता है।<ref name=Parallel> | ||
{{Cite book|title=CRC concise encyclopedia of mathematics |author= Eric W. Weisstein |url=https://books.google.com/books?id=aFDWuZZslUUC&pg=PA2147 |page=2147 |quote=The parallel postulate is equivalent to the ''Equidistance postulate'', ''Playfair axiom'', ''Proclus axiom'', the ''Triangle postulate'' and the ''Pythagorean theorem''. |edition=2nd |isbn=1-58488-347-2 |year=2003}} | {{Cite book|title=CRC concise encyclopedia of mathematics |author= Eric W. Weisstein |url=https://books.google.com/books?id=aFDWuZZslUUC&pg=PA2147 |page=2147 |quote=The parallel postulate is equivalent to the ''Equidistance postulate'', ''Playfair axiom'', ''Proclus axiom'', the ''Triangle postulate'' and the ''Pythagorean theorem''. |edition=2nd |isbn=1-58488-347-2 |year=2003}} | ||
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*त्रिभुज अभिधारणा: त्रिभुज के कोणों का योग दो समकोण | *त्रिभुज अभिधारणा: त्रिभुज के कोणों का योग दो समकोण होता है। | ||
* प्लेफेयर का अभिगृहीत: एक सीधी रेखा दी गई है और एक बिंदु रेखा पर नहीं है, दी गई रेखा के समानांतर बिंदु के माध्यम से ठीक एक सीधी रेखा खींची जा सकती है। | * प्लेफेयर का अभिगृहीत: एक सीधी रेखा दी गई है और एक बिंदु रेखा पर नहीं है, दी गई रेखा के समानांतर बिंदु के माध्यम से ठीक एक सीधी रेखा खींची जा सकती है। | ||
*प्रोक्लस की अभिगृहीत: यदि एक रेखा दो समानांतर रेखाओं में से किसी एक को काटती है, तो उसे दूसरी को भी प्रतिच्छेद करना चाहिए।<ref>Essentially, the [[transitive relation|transitivity]] of parallelism.</ref> | *प्रोक्लस की अभिगृहीत: यदि एक रेखा दो समानांतर रेखाओं में से किसी एक को काटती है, तो उसे दूसरी रेखाओं को भी प्रतिच्छेद करना चाहिए।<ref>Essentially, the [[transitive relation|transitivity]] of parallelism.</ref> | ||
*समांतर अभिधारणा: समानांतर रेखाएँ हर जगह समान | *समांतर दूरी अभिधारणा: समानांतर रेखाएँ हर जगह समान दूरी पर होती हैं (अर्थात एक रेखा पर प्रत्येक बिंदु से दूसरी रेखा की दूरी सदैव समान होती है।) | ||
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*तीन बिंदु गुण: तीन बिंदु या तो एक रेखा पर स्थित होते हैं या एक वृत्त पर स्थित होते हैं। | *तीन बिंदु गुण: तीन बिंदु या तो एक रेखा पर स्थित होते हैं या एक वृत्त पर स्थित होते हैं। | ||
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अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिभुज के कोणों का योग 180° से कम होता है। कोणीय दोष और | अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिकोण}} | ||
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अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिभुज के कोणों का योग 180° से कम होता है। कोणीय दोष और त्रिकोण के क्षेत्र के बीच संबंध सबसे पहले [[जोहान हेनरिक लैम्बर्ट]] द्वारा सिद्ध किया गया था।<ref>{{citation|title=Foundations of Hyperbolic Manifolds|volume=149|series=Graduate Texts in Mathematics|first=John|last=Ratcliffe|publisher=Springer|year=2006|isbn=9780387331973|page=99|url=https://books.google.com/books?id=JV9m8o-ok6YC&pg=PA99|quotation=That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph ''Theorie der Parallellinien'', which was published posthumously in 1786.}}</ref> | |||
कोई आसानी से देख सकता है कि [[अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति]] कैसे प्लैफेयर सिद्धांत को विभाजित करती है, प्रोक्लस का सिद्धांत (समानांतरवाद, जिसे अप्रतिच्छेद के रूप में परिभाषित किया गया है, एक अतिशयोक्तिपूर्ण समतलीय में अकर्मक क्रिया है), समदूरी अभिधारणा (किसी रेखा के एक तरफ के बिंदु, और उससे समदूरस्थ बिंदु एक रेखा नहीं बनाते हैं), और पाइथागोरस प्रमेय। एक वृत्त <ref>Defined as the set of points at the fixed [[distance]] from its centre.</ref> मनमाने ढंग से छोटी [[वक्रता]] नहीं हो सकता,<ref>Defined in the differentially-geometrical sense.</ref> इसलिए तीन बिंदुओं की गुण भी विफल हो जाते है। | |||
कोणों का योग | कोणों का योग अव्यवस्थिततः छोटा (लेकिन धनात्मक) हो सकता है। एक अनुकूल त्रिकोण के लिए, अतिपरवलयिक त्रिभुजों का एक सामान्यीकरण, यह योग शून्य के बराबर है। | ||
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[[गोलाकार त्रिभुज]] के कोणों का योग 180° से अधिक होता है और 540° तक हो सकता है। विशेष रूप से, कोणों का योग है | [[गोलाकार त्रिभुज]] के कोणों का योग 180° से अधिक होता है और 540° तक हो सकता है। विशेष रूप से, कोणों का योग है | ||
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जहाँ f गोले के क्षेत्रफल का | जहाँ ''f'' गोले के क्षेत्रफल का भिन्न अंक होता है, जो त्रिभुज से परिवृत्त होता है। | ||
ध्यान दें कि गोलीय ज्यामिति यूक्लिड के कई अभिगृहीतों (समानांतर अभिधारणा सहित।) को संतुष्ट नहीं करती है। | |||
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[[Image:Triangle somme des angles.png|thumb|right|133px|चित्र | [[Image:Triangle somme des angles.png|thumb|right|133px|चित्र बाह्य कोणों के साथ-साथ आंतरिक कोणों को दिखाता है, सबसे दाहिने शीर्ष के लिए इसे इस रूप में दिखाया गया है {{nowrap|1=<span style="display:inline-block; vertical-align:0.5ex; font-size:85%; color:#0000FF">=</span>/<span style="display:inline-block; vertical-align:-0.5ex; font-size:85%; color:#009900; text-decoration:line-through">) </span>}}]] | ||
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त्रिभुज की आसन्न भुजाओं के बीच के कोणों को यूक्लिडियन और अन्य ज्यामितियों में आंतरिक कोण कहा जाता है। बाह्य कोणों को भी परिभाषित किया जा सकता है, और यूक्लिडियन त्रिकोण अभिधारणा को [[बाहरी कोण प्रमेय|बाह्य कोण प्रमेय]] के रूप में तैयार किया जा सकता है। सभी तीन बाह्य कोणों के योग पर भी विचार किया जा सकता है, जो कि 360° के बराबर होता है<ref>From the definition of an exterior angle, its sums up to the straight angle with the interior angles. So, the sum of three exterior angles added to the sum of three interior angles always gives three straight angles.</ref> यूक्लिडियन स्थिति में 360° के बराबर है (किसी भी [[उत्तल बहुभुज]] के लिए), गोलाकार स्थिति में 360° से कम है, और अतिपरवलयिक स्थिति में 360° से अधिक है। | |||
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सतहों के विभेदक ज्यामिति में, त्रिभुज के कोणीय दोष के प्रश्न को [[गॉस-बोनट प्रमेय]] के एक विशेष स्थितियों के रूप में समझा जाता है जहां एक [[बंद वक्र]] की वक्रता एक कार्य नहीं है, लेकिन एक त्रिभुज के ठीक तीन बिंदुओं - त्रिभुज के शीर्ष [[समर्थन (गणित)|समर्थन]] के साथ माप होते है। | |||
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Latest revision as of 17:35, 3 May 2023
यूक्लिडियन अवकलिक्ष में, त्रिभुज के कोणों का योग सीधे कोण (180 डिग्री (कोण), π रेडियंस, दो समकोण, या आधा-मोड़ (ज्यामिति) के बराबर होता है। एक त्रिभुज में तीन कोण होते हैं, प्रत्येक शीर्ष पर एक, आसन्न पक्षों (ज्यामिति) की एक युगल से घिरा होता है।
यह लंबे समय से अविदित था कि क्या अन्य ज्यामिति स्थिति होती हैं, जिनके लिए यह योग अलग होता है। गणित पर इस समस्या का प्रभाव विशेष रूप से उन्नीसवीं शताब्दी के समय प्रबल था। अन्य स्थानों (ज्यामिति) में यह योग अधिक या कम हो सकता है, लेकिन फिर इसे त्रिकोण पर निर्भर होना चाहिए। 180 डिग्री से इसका अवकल कोणीय दोष की स्थिति होती है और ज्यामितीय प्रणालियों के लिए एक महत्वपूर्ण भेद के रूप में कार्य करता है।
स्थिति
यूक्लिडियन ज्यामिति
यूक्लिडियन ज्यामिति में,त्रिभुज अभिधारणा बताती है कि त्रिभुज के कोणों का योग दो समकोण होता है। यह अभिधारणा समानांतर अभिधारणा के समतुल्य होता है।[1] यूक्लिडियन ज्यामिति के अन्य अभिगृहीतों की उपस्थिति में, निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं:[2]
- त्रिभुज अभिधारणा: त्रिभुज के कोणों का योग दो समकोण होता है।
- प्लेफेयर का अभिगृहीत: एक सीधी रेखा दी गई है और एक बिंदु रेखा पर नहीं है, दी गई रेखा के समानांतर बिंदु के माध्यम से ठीक एक सीधी रेखा खींची जा सकती है।
- प्रोक्लस की अभिगृहीत: यदि एक रेखा दो समानांतर रेखाओं में से किसी एक को काटती है, तो उसे दूसरी रेखाओं को भी प्रतिच्छेद करना चाहिए।[3]
- समांतर दूरी अभिधारणा: समानांतर रेखाएँ हर जगह समान दूरी पर होती हैं (अर्थात एक रेखा पर प्रत्येक बिंदु से दूसरी रेखा की दूरी सदैव समान होती है।)
- त्रिभुज क्षेत्र गुण:: त्रिभुज का क्षेत्रफल जितना हम चाहें उतना बड़ा हो सकता है।
- तीन बिंदु गुण: तीन बिंदु या तो एक रेखा पर स्थित होते हैं या एक वृत्त पर स्थित होते हैं।
- पाइथागोरस प्रमेय: एक समकोण त्रिभुज में, कर्ण का वर्ग अन्य दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है।[1]
अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति
अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिभुज के कोणों का योग 180° से कम होता है। कोणीय दोष और त्रिकोण के क्षेत्र के बीच संबंध सबसे पहले जोहान हेनरिक लैम्बर्ट द्वारा सिद्ध किया गया था।[4]
कोई आसानी से देख सकता है कि अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति कैसे प्लैफेयर सिद्धांत को विभाजित करती है, प्रोक्लस का सिद्धांत (समानांतरवाद, जिसे अप्रतिच्छेद के रूप में परिभाषित किया गया है, एक अतिशयोक्तिपूर्ण समतलीय में अकर्मक क्रिया है), समदूरी अभिधारणा (किसी रेखा के एक तरफ के बिंदु, और उससे समदूरस्थ बिंदु एक रेखा नहीं बनाते हैं), और पाइथागोरस प्रमेय। एक वृत्त [5] मनमाने ढंग से छोटी वक्रता नहीं हो सकता,[6] इसलिए तीन बिंदुओं की गुण भी विफल हो जाते है।
कोणों का योग अव्यवस्थिततः छोटा (लेकिन धनात्मक) हो सकता है। एक अनुकूल त्रिकोण के लिए, अतिपरवलयिक त्रिभुजों का एक सामान्यीकरण, यह योग शून्य के बराबर है।
गोलाकार ज्यामिति
गोलाकार त्रिभुज के कोणों का योग 180° से अधिक होता है और 540° तक हो सकता है। विशेष रूप से, कोणों का योग है
- 180° × (1 + 4f ),
जहाँ f गोले के क्षेत्रफल का भिन्न अंक होता है, जो त्रिभुज से परिवृत्त होता है।
ध्यान दें कि गोलीय ज्यामिति यूक्लिड के कई अभिगृहीतों (समानांतर अभिधारणा सहित।) को संतुष्ट नहीं करती है।
बाह्य कोण
त्रिभुज की आसन्न भुजाओं के बीच के कोणों को यूक्लिडियन और अन्य ज्यामितियों में आंतरिक कोण कहा जाता है। बाह्य कोणों को भी परिभाषित किया जा सकता है, और यूक्लिडियन त्रिकोण अभिधारणा को बाह्य कोण प्रमेय के रूप में तैयार किया जा सकता है। सभी तीन बाह्य कोणों के योग पर भी विचार किया जा सकता है, जो कि 360° के बराबर होता है[7] यूक्लिडियन स्थिति में 360° के बराबर है (किसी भी उत्तल बहुभुज के लिए), गोलाकार स्थिति में 360° से कम है, और अतिपरवलयिक स्थिति में 360° से अधिक है।
अवकल ज्यामिति में
सतहों के विभेदक ज्यामिति में, त्रिभुज के कोणीय दोष के प्रश्न को गॉस-बोनट प्रमेय के एक विशेष स्थितियों के रूप में समझा जाता है जहां एक बंद वक्र की वक्रता एक कार्य नहीं है, लेकिन एक त्रिभुज के ठीक तीन बिंदुओं - त्रिभुज के शीर्ष समर्थन के साथ माप होते है।
यह भी देखें
- यूक्लिड के तत्व|यूक्लिड के तत्व
- ज्यामिति की नींव
- हिल्बर्ट के सिद्धांत
- सचेरी चतुर्भुज (उमर खय्याम द्वारा सचेरी से पहले माना गया)
- लैम्बर्ट चतुर्भुज
संदर्भ
- ↑ 1.0 1.1
Eric W. Weisstein (2003). CRC concise encyclopedia of mathematics (2nd ed.). p. 2147. ISBN 1-58488-347-2.
The parallel postulate is equivalent to the Equidistance postulate, Playfair axiom, Proclus axiom, the Triangle postulate and the Pythagorean theorem.
- ↑ Keith J. Devlin (2000). The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible. Macmillan. p. 161. ISBN 0-8050-7254-3.
- ↑ Essentially, the transitivity of parallelism.
- ↑ Ratcliffe, John (2006), Foundations of Hyperbolic Manifolds, Graduate Texts in Mathematics, vol. 149, Springer, p. 99, ISBN 9780387331973,
That the area of a hyperbolic triangle is proportional to its angle defect first appeared in Lambert's monograph Theorie der Parallellinien, which was published posthumously in 1786.
- ↑ Defined as the set of points at the fixed distance from its centre.
- ↑ Defined in the differentially-geometrical sense.
- ↑ From the definition of an exterior angle, its sums up to the straight angle with the interior angles. So, the sum of three exterior angles added to the sum of three interior angles always gives three straight angles.
