पहला मौलिक रूप: Difference between revisions

Latest revision as of 14:48, 30 October 2023

अवकल ज्यामिति में, पहला मौलिक रूप त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में सतह (अंतर ज्यामिति) के स्पर्शरेखा स्थान पर आंतरिक उत्पाद है, जो $R 3$ डॉट उत्पाद से विहित रूप से प्रेरित होता है। यह सतह की वक्रता एवं मीट्रिक गुणों की गणना की अनुमति देता है जैसे कि लंबाई एवं क्षेत्रफल परिवेशी स्थान के अनुरूप पहला मौलिक रूप रोमन अंक $I$ द्वारा निरूपित किया जाता है।

\mathrm {I} (x,y)=\langle x,y\rangle .

परिभाषा

मान लीजिए $X (u, v)$ पैरामीट्रिक सतह है। फिर दो स्पर्शरेखा सदिशों का आंतरिक उत्पाद होता है।

{\begin{aligned}&{}\quad \mathrm {I} (aX_{u}+bX_{v},cX_{u}+dX_{v})\\&=ac\langle X_{u},X_{u}\rangle +(ad+bc)\langle X_{u},X_{v}\rangle +bd\langle X_{v},X_{v}\rangle \\&=Eac+F(ad+bc)+Gbd,\end{aligned}}

जहां

E

,

F

, एवं

G

पहला मौलिक रूप के गुणांक हैं।

पहला मौलिक रूप को सममित आव्यूह के रूप में दर्शाया जा सकता है।

\mathrm {I} (x,y)=x^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}y

आगे का अंकन

जब पहला मौलिक रूप केवल तर्क के साथ लिखा जाता है, तो यह उस सदिश के आंतरिक उत्पाद को स्वयं के साथ दर्शाता है।

\mathrm {I} (v)=\langle v,v\rangle =|v|^{2}

पहला मौलिक रूप प्रायः मीट्रिक टेंसर के आधुनिक अंकन में लिखा जाता है। गुणांक तब

g ij

के रूप में लिखा जा सकता है।

\left(g_{ij}\right)={\begin{pmatrix}g_{11}&g_{12}\\g_{21}&g_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}

इस टेन्सर के घटकों की गणना स्पर्शरेखा सदिशों

X 1

एवं

X 2

के अदिश गुणनफल के रूप में की जाती है।

g_{ij}=X_{i}\cdot X_{j}

i, j = 1, 2

के लिए नीचे उदाहरण देखें।

लंबाई एवं क्षेत्रफल की गणना करना

पहला मौलिक रूप पूर्ण रूप से सतह के मीट्रिक गुणों का वर्णन करता है। इस प्रकार, यह सतह पर वक्रों की लंबाई एवं सतह पर क्षेत्रों के क्षेत्रों की गणना करने में सक्षम बनाता है। रेखा तत्व $ds$ को पहला मौलिक रूप के गुणांकों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

ds^{2}=E\,du^{2}+2F\,du\,dv+G\,dv^{2}\,.

शास्त्रीय क्षेत्र तत्व द्वारा दिया गया

dA = | X u \times X v | du dv

लैग्रेंज की पहचान की सहायता से पहला मौलिक रूप के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।

dA=|X_{u}\times X_{v}|\ du\,dv={\sqrt {\langle X_{u},X_{u}\rangle \langle X_{v},X_{v}\rangle -\left\langle X_{u},X_{v}\right\rangle ^{2}}}\,du\,dv={\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv.

उदाहरण: वृत्त पर वक्र

$R 3$ में इकाई क्षेत्र पर वृत्ताकार वक्र को पैरामीट्रिज्ड किया जा सकता है।

X(u,v)={\begin{bmatrix}\cos u\sin v\\\sin u\sin v\\\cos v\end{bmatrix}},\ (u,v)\in [0,2\pi )\times [0,\pi ].

u

एवं

v

उत्पत्ति के संबंध में

X (u, v)

को भिन्न करना

{\begin{aligned}X_{u}&={\begin{bmatrix}-\sin u\sin v\\\cos u\sin v\\0\end{bmatrix}},\\X_{v}&={\begin{bmatrix}\cos u\cos v\\\sin u\cos v\\-\sin v\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

आंशिक डेरिवेटिव के डॉट उत्पाद को लेकर पहला मौलिक रूप के गुणांक पाए जा सकते हैं।

{\begin{aligned}E&=X_{u}\cdot X_{u}=\sin ^{2}v\\F&=X_{u}\cdot X_{v}=0\\G&=X_{v}\cdot X_{v}=1\end{aligned}}

इसलिए

{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin ^{2}v&0\\0&1\end{bmatrix}}.

वृत्त पर वक्र की लंबाई

इकाई क्षेत्र का भूमध्य रेखा द्वारा दिया गया पैरामीट्रिज्ड वक्र है।

(u(t),v(t))=(t,{\tfrac {\pi }{2}})

t

के साथ 0 से 2

π

तक इस वक्र की लंबाई की गणना करने के लिए रेखा तत्व का उपयोग किया जा सकता है।

\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {E\left({\frac {du}{dt}}\right)^{2}+2F{\frac {du}{dt}}{\frac {dv}{dt}}+G\left({\frac {dv}{dt}}\right)^{2}}}\,dt=\int _{0}^{2\pi }\left|\sin v\right|dt=2\pi \sin {\tfrac {\pi }{2}}=2\pi

गोले पर क्षेत्रफल

क्षेत्र तत्व का उपयोग इकाई क्षेत्र के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए किया जा सकता है।

\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {EG-F^{2}}}\ du\,dv=\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\sin v\,du\,dv=2\pi \left[-\cos v\right]_{0}^{\pi }=4\pi

गाऊसी वक्रता

किसी सतह की गॉसियन वक्रता किसके द्वारा दी जाती है।

K={\frac {\det \mathrm {I\!I} }{\det \mathrm {I} }}={\frac {LN-M^{2}}{EG-F^{2}}},

जहाँ

L

,

M

, एवं

N

दूसरे मौलिक रूप के गुणांक हैं।

कार्ल फ्रेडरिक गॉस के प्रमेय एग्रेगियम में कहा गया है कि सतह के गॉसियन वक्रता को केवल पहला मौलिक रूप एवं इसके डेरिवेटिव के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, जिससे $K$ वास्तव में सतह का आंतरिक अपरिवर्तनीय हो। पहला मौलिक रूप के संदर्भ में गॉसियन वक्रता के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति गॉसियन वक्रता ब्रियोस्ची सूत्र द्वारा प्रदान की जाती है।

यह भी देखें

मीट्रिक टेंसर
दूसरा मौलिक रूप
तीसरा मौलिक रूप
टॉटोलॉजिकल वन-फॉर्म

बाहरी संबंध

First Fundamental Form — from Wolfram MathWorld

@@ Line 1: / Line 1: @@
 {{Short description|Inner product of a surface in 3D, induced by the dot product}}
-विभेदक ज्यामिति में, पहला मूलभूत रूप त्रि-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में एक [[सतह ([[अंतर ज्यामिति]])]] के [[स्पर्शरेखा स्थान]] पर आंतरिक उत्पाद है जो [[डॉट उत्पाद]] से विहित रूप से प्रेरित होता है। {{math|'''R'''<sup>3</sup>}}. यह एक सतह की [[वक्रता]] और मीट्रिक गुणों की गणना की अनुमति देता है जैसे कि लंबाई और क्षेत्रफल परिवेशी स्थान के अनुरूप। पहला मौलिक रूप रोमन अंक द्वारा निरूपित किया जाता है {{math|I}},
+अवकल ज्यामिति में, '''पहला मौलिक रूप''' त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में सतह (अंतर ज्यामिति) के [[स्पर्शरेखा स्थान]] पर आंतरिक उत्पाद है, जो {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} डॉट उत्पाद से विहित रूप से प्रेरित होता है।  यह सतह की वक्रता एवं मीट्रिक गुणों की गणना की अनुमति देता है जैसे कि लंबाई एवं क्षेत्रफल परिवेशी स्थान के अनुरूप पहला मौलिक रूप रोमन अंक {{math|I}} द्वारा निरूपित किया जाता है।
 <math display="block">\mathrm{I}(x,y)= \langle x,y \rangle.</math>
@@ Line 6: / Line 6: @@
 == परिभाषा ==
-होने देना {{math|''X''(''u'', ''v'')}} एक [[पैरामीट्रिक सतह]] हो। फिर दो स्पर्शरेखा सदिशों का आंतरिक उत्पाद है
+मान लीजिए  {{math|''X''(''u'', ''v'')}} पैरामीट्रिक सतह है। फिर दो स्पर्शरेखा सदिशों का आंतरिक उत्पाद होता है।
 <math display="block">
 \begin{align}
@@ Line 14: / Line 14: @@
 \end{align}
 </math>
-कहाँ {{mvar|E}}, {{mvar|F}}, और {{mvar|G}} पहले मौलिक रूप के गुणांक हैं।
+जहां {{mvar|E}}, {{mvar|F}}, एवं {{mvar|G}}  पहला मौलिक रूप के गुणांक हैं।
-पहले मौलिक रूप को [[सममित मैट्रिक्स]] के रूप में दर्शाया जा सकता है।
+पहला मौलिक रूप को सममित आव्यूह के रूप में दर्शाया जा सकता है।
 <math display="block">\mathrm{I}(x,y) = x^\mathsf{T}
@@ Line 27: / Line 27: @@
 == आगे का अंकन ==
-जब पहला मौलिक रूप केवल एक तर्क के साथ लिखा जाता है, तो यह उस सदिश के आंतरिक उत्पाद को स्वयं के साथ दर्शाता है।
+जब पहला मौलिक रूप केवल तर्क के साथ लिखा जाता है, तो यह उस सदिश के आंतरिक उत्पाद को स्वयं के साथ दर्शाता है।
 <math display="block">\mathrm{I}(v)= \langle v,v \rangle = |v|^2</math>
-पहला मौलिक रूप अक्सर [[मीट्रिक टेंसर]] के आधुनिक अंकन में लिखा जाता है। गुणांक तब के रूप में लिखा जा सकता है {{mvar|g<sub>ij</sub>}}:
+पहला मौलिक रूप प्रायः [[मीट्रिक टेंसर]] के आधुनिक अंकन में लिखा जाता है। गुणांक तब {{mvar|g<sub>ij</sub>}} के रूप में लिखा जा सकता है।
- <math display="block"> \left(g_{ij}\right) = \begin{pmatrix}
+<math display="block"> \left(g_{ij}\right) = \begin{pmatrix}
 g_{11} & g_{12} \\
 g_{21} & g_{22}
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 F & G
 \end{pmatrix}</math>
-इस टेन्सर के घटकों की गणना स्पर्शरेखा सदिशों के अदिश गुणनफल के रूप में की जाती है {{math|''X''<sub>1</sub>}} और {{math|''X''<sub>2</sub>}}:
+इस टेन्सर के घटकों की गणना स्पर्शरेखा सदिशों {{math|''X''<sub>1</sub>}} एवं {{math|''X''<sub>2</sub>}} के अदिश गुणनफल के रूप में की जाती है।
 <math display="block">g_{ij} = X_i \cdot X_j</math>
-के लिए {{math|1=''i'', ''j'' = 1, 2}}. नीचे उदाहरण देखें।
+{{math|1=''i'', ''j'' = 1, 2}} के लिए नीचे उदाहरण देखें।
-== लंबाई और क्षेत्रफल की गणना करना ==
+== लंबाई एवं क्षेत्रफल की गणना करना ==
-पहला मौलिक रूप पूरी तरह से सतह के मीट्रिक गुणों का वर्णन करता है। इस प्रकार, यह सतह पर वक्रों की लंबाई और सतह पर क्षेत्रों के क्षेत्रों की गणना करने में सक्षम बनाता है। [[रेखा तत्व]] {{math|''ds''}} को पहले मौलिक रूप के गुणांकों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
+पहला मौलिक रूप पूर्ण रूप से सतह के मीट्रिक गुणों का वर्णन करता है। इस प्रकार, यह सतह पर वक्रों की लंबाई एवं सतह पर क्षेत्रों के क्षेत्रों की गणना करने में सक्षम बनाता है। [[रेखा तत्व]] {{math|''ds''}} को पहला मौलिक रूप के गुणांकों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
-<math display="block">ds^2 = E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2 \,.</math> शास्त्रीय क्षेत्र तत्व द्वारा दिया गया {{math|1=''dA'' = {{abs|''X<sub>u</sub>'' × ''X<sub>v</sub>''}} ''du'' ''dv''}} लैग्रेंज की पहचान की सहायता से पहले मौलिक रूप के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है,
+<math display="block">ds^2 = E\,du^2+2F\,du\,dv+G\,dv^2 \,.</math> शास्त्रीय क्षेत्र तत्व द्वारा दिया गया {{math|1=''dA'' = {{abs|''X<sub>u</sub>'' × ''X<sub>v</sub>''}} ''du'' ''dv''}} लैग्रेंज की पहचान की सहायता से पहला मौलिक रूप के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।
 <math display="block">dA = |X_u \times X_v| \ du\, dv= \sqrt{ \langle X_u,X_u \rangle \langle X_v,X_v \rangle - \left\langle X_u,X_v \right\rangle^2 } \, du\, dv = \sqrt{EG-F^2} \, du\, dv.</math>
-=== उदाहरण: एक गोले पर वक्र ===
+=== उदाहरण: वृत्त पर वक्र ===
-में [[इकाई क्षेत्र]] पर एक [[गोलाकार वक्र]] {{math|'''R'''<sup>3</sup>}} के रूप में parametrized हो सकता है
+{{math|'''R'''<sup>3</sup>}} में इकाई क्षेत्र पर वृत्ताकार वक्र को पैरामीट्रिज्ड किया जा सकता है।
 <math display="block">X(u,v) = \begin{bmatrix} \cos u \sin v \\ \sin u \sin v \\ \cos v \end{bmatrix},\ (u,v) \in [0,2\pi) \times [0,\pi].</math>
-फर्क {{math|''X''(''u'',''v'')}} इसके संबंध में {{mvar|u}} और {{mvar|v}} पैदावार
+{{mvar|u}} एवं {{mvar|v}} उत्पत्ति के संबंध में  {{math|''X''(''u'',''v'')}} को भिन्न करना
 <math display="block">\begin{align}
 X_u &= \begin{bmatrix} -\sin u \sin v \\ \cos u \sin v \\ 0 \end{bmatrix},\\
 X_v &= \begin{bmatrix} \cos u \cos v \\ \sin u \cos v \\ -\sin v \end{bmatrix}.
 \end{align}</math>
-आंशिक डेरिवेटिव के डॉट उत्पाद को लेकर पहले मौलिक रूप के गुणांक पाए जा सकते हैं।
+आंशिक डेरिवेटिव के डॉट उत्पाद को लेकर पहला मौलिक रूप के गुणांक पाए जा सकते हैं।
 <math display="block">\begin{align}
@@ Line 63: / Line 63: @@
 G &= X_v \cdot X_v = 1
 \end{align}</math>
-इसलिए:
+इसलिए
 <math display="block"> \begin{bmatrix}E & F \\F & G\end{bmatrix} =\begin{bmatrix} \sin^2 v & 0 \\0 & 1\end{bmatrix}.</math>
-==== गोले पर वक्र की लंबाई ====
+==== वृत्त पर वक्र की लंबाई ====
-इकाई क्षेत्र का [[भूमध्य रेखा]] द्वारा दिया गया एक पैरामीट्रिज्ड वक्र है
+इकाई क्षेत्र का [[भूमध्य रेखा]] द्वारा दिया गया पैरामीट्रिज्ड वक्र है।
 <math display="block">(u(t),v(t))=(t,\tfrac{\pi}{2})</math>
-साथ {{mvar|t}} 0 से 2 तक{{pi}}. इस वक्र की लंबाई की गणना करने के लिए रेखा तत्व का उपयोग किया जा सकता है।
+{{mvar|t}} के साथ 0 से 2{{pi}}  तक इस वक्र की लंबाई की गणना करने के लिए रेखा तत्व का उपयोग किया जा सकता है।
 <math display="block">\int_0^{2\pi} \sqrt{ E\left(\frac{du}{dt}\right)^2 + 2F \frac{du}{dt} \frac{dv}{dt} + G\left(\frac{dv}{dt}\right)^2 } \,dt = \int_0^{2\pi} \left|\sin v\right| dt = 2\pi \sin \tfrac{\pi}{2} = 2\pi</math>
-==== गोले पर एक क्षेत्र का क्षेत्रफल ====
+==== गोले पर क्षेत्रफल ====
 क्षेत्र तत्व का उपयोग इकाई क्षेत्र के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए किया जा सकता है।
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 == गाऊसी वक्रता ==
-किसी सतह की [[गॉसियन वक्रता]] किसके द्वारा दी जाती है
+किसी सतह की [[गॉसियन वक्रता]] किसके द्वारा दी जाती है।
- <math display="block"> K = \frac{\det \mathrm{I\!I}}{\det \mathrm{I}} = \frac{ LN-M^2}{EG-F^2 }, </math>
+<math display="block"> K = \frac{\det \mathrm{I\!I}}{\det \mathrm{I}} = \frac{ LN-M^2}{EG-F^2 }, </math>
-कहाँ {{mvar|L}}, {{mvar|M}}, और {{mvar|N}} दूसरे मूलभूत रूप के गुणांक हैं।
+जहाँ {{mvar|L}}, {{mvar|M}}, एवं {{mvar|N}} दूसरे मौलिक रूप के गुणांक हैं।
-[[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] के प्रमेय एग्रेगियम में कहा गया है कि सतह के गॉसियन वक्रता को केवल पहले मौलिक रूप और इसके डेरिवेटिव के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, ताकि {{mvar|K}} वास्तव में सतह का आंतरिक अपरिवर्तनीय है। पहले मौलिक रूप के संदर्भ में गॉसियन वक्रता के लिए एक स्पष्ट अभिव्यक्ति गॉसियन वक्रता#Alternative_formulas द्वारा प्रदान की जाती है।
+कार्ल फ्रेडरिक गॉस के प्रमेय एग्रेगियम में कहा गया है कि सतह के गॉसियन वक्रता को केवल पहला मौलिक रूप एवं इसके डेरिवेटिव के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, जिससे {{mvar|K}} वास्तव में सतह का आंतरिक अपरिवर्तनीय हो। पहला मौलिक रूप के संदर्भ में गॉसियन वक्रता के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति गॉसियन वक्रता ब्रियोस्ची सूत्र द्वारा प्रदान की जाती है।
 == यह भी देखें ==
 * मीट्रिक टेंसर
 *दूसरा मौलिक रूप
-*[[तीसरा मौलिक रूप]]
+*तीसरा मौलिक रूप
-* [[टॉटोलॉजिकल वन-फॉर्म]]
+* टॉटोलॉजिकल वन-फॉर्म
 ==बाहरी संबंध==
@@ Line 101: / Line 101: @@
 <!-- *[http://planetmath.org/encyclopedia/FirstFundamentalForm.html PlanetMath: first fundamental form] -->
-{{curvature}}
+[[Category:Collapse templates]]
-[[Category: सतहों की विभेदक ज्यामिति]] [[Category: विभेदक ज्यामिति]] [[Category: सतह]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 05/04/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Navigational boxes| ]]
+[[Category:Navigational boxes without horizontal lists]]
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