विशेषता समीकरण (कलन): Difference between revisions

Latest revision as of 21:31, 3 May 2023

गणित में, विशेषता समीकरण (या सहायक समीकरण^[1]) एक बहुपद की घात $n$ का बीजगणितीय समीकरण है, जिस पर दिए गए nवें क्रम के अवकल समीकरण^[2] या अंतर समीकरण का समाधान निर्भर करता है।^[3]^[4] विशेषता समीकरण तभी बन सकता है, इसी प्रकार जब अवकल या अंतर समीकरण रेखीय और सजातीय हो और स्थिर गुणांक रखता हो,^[1] ऐसा अवकल समीकरण, जिसमें y निर्भर चर है, और $a n, a n - 1, ..., a 1, a 0$ स्थिरांक के रूप में, सुपरस्क्रिप्ट $(n)$ nth-अवकलज को दर्शाता है,

a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y'+a_{0}y=0,

प्रपत्र का एक विशिष्ट समीकरण होता है,

a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0

इसी प्रकार जिनके समाधान $r 1, r 2, ..., r n$ वे मूल हैं जिनसे सामान्य विलयन बनाया जा सकता है।^[1]^[5]^[6] अनुरूपतः, एक रेखीय अंतर समीकरण का रूप,

y_{t+n}=b_{1}y_{t+n-1}+\cdots +b_{n}y_{t}

विशेषता समीकरण है,

r^{n}-b_{1}r^{n-1}-\cdots -b_{n}=0,

इसी प्रकार अधिक विस्तार से निरंतर गुणांक के साथ रैखिक पुनरावृत्ति पर सजातीय स्थिति के समाधान पर चर्चा की गई है।

विशेषता मूल (विशेषता समीकरण की एक बहुपद की मूल) चर के व्यवहार के बारे में गुणात्मक जानकारी भी प्रदान करती हैं जिसका विकास गतिशील समीकरण द्वारा वर्णित है। इस प्रकार समय पर परिचालित एक विभेदक समीकरण के लिए, चर का विकास स्थिर है यदि और केवल यदि प्रत्येक मूल का वास्तविक भाग नकारात्मक है, और केवल यदि प्रत्येक मूल का मापांक 1 से कम हो तो अंतर समीकरणों के लिए, स्थिरता होती है। दोनों प्रकार के समीकरणों के लिए, कम से कम एक जोड़ी सम्मिश्र मूलों के होने पर लगातार उतार-चढ़ाव होता है।

लियोनहार्ड यूलर द्वारा निरंतर गुणांक वाले रैखिक साधारण अंतर समीकरण को एकीकृत करने की विधि की खोज की गई, जिन्होंने उसमे पाया कि समाधान एक बीजगणितीय 'विशेषता' समीकरण पर निर्भर है।^[2] इसी प्रकार यूलर के विशिष्ट समीकरण के गुणों पर पश्चात में फ्रांसीसी गणितज्ञ ऑगस्टिन-लुई कॉची और गैसपार्ड मोंगे द्वारा अधिक विस्तार से विचार किया गया था।^[2]^[6]

व्युत्पत्ति

अचर गुणांक $a n, a n - 1, ..., a 1, a 0$ के साथ एक रेखीय सजातीय अवकल समीकरण से प्रारंभ करना,

a_{n}y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +a_{1}y^{\prime }+a_{0}y=0,

यह देखा जा सकता है कि यदि $y (x) = e rx$ है, तो प्रत्येक पद $e rx$ का एक स्थिर गुणक होता है। यह इस तथ्य से परिणामित होता है कि घातीय फलन $e rx$ का व्युत्पन्न स्वयं का गुणक है, इसलिए, $y' = re rx$ , $y ″ = r 2 e rx$ , और $y (n) = r n e rx$ सभी गुणक हैं। इससे पता चलता है कि $r$ के कुछ मान $e rx$ के गुणकों को शून्य करने की अनुमति देते है, इस प्रकार सजातीय अंतर समीकरण को समाधान करते है।^[5] $r$ का समाधान करने के लिए, $y = e rx$ और इसके यौगिक को अंतर समीकरण में स्थानापन्न कर सकते हैं,

a_{n}r^{n}e^{rx}+a_{n-1}r^{n-1}e^{rx}+\cdots +a_{1}re^{rx}+a_{0}e^{rx}=0

चूँकि $e rx$ कभी भी शून्य के बराबर नहीं हो सकता है, इसे विशेषता समीकरण देते हुए विभाजित किया जा सकता है,

a_{n}r^{n}+a_{n-1}r^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_{0}=0.

इस विशेषता समीकरण में, r के मूलों को समाधान करके, कोई भी अवकल समीकरण का सामान्य समाधान खोज सकता है।^[1]^[6] उदाहरण के लिए, यदि $r$ के मूल 3, 11 और 40 के बराबर हैं, तो सामान्य समाधान होगा $y(x)=c_{1}e^{3x}+c_{2}e^{11x}+c_{3}e^{40x}$ , जहाँ c1, c2 और c3 मनमाने स्थिरांक हैं जिन्हें सीमा और/या प्रारंभिक स्थितियों द्वारा निर्धारित करने की आवश्यकता है।

सामान्य समाधान का गठन

इसी प्रकार इसकी मूलों, $r 1, ..., r n$ के लिए विशेषता समीकरण को समाधान करने से, अवकल समीकरण का सामान्य समाधान ज्ञात किया जा सकता है। मूल वास्तविक या सम्मिश्र हो सकती हैं, साथ ही भिन्न या दोहराई जा सकती हैं। यदि एक विशेष समीकरण में विशिष्ट वास्तविक मूलों वाले भाग हैं, h दोहराए गए मूल, या k सम्मिश्र मूल $y D (x)$ , $y R 1 (x), ..., y R h (x)$ , और $y C 1 (x), ..., y C k (x)$ , क्रमशः, तो अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है,

y(x)=y_{\mathrm {D} }(x)+y_{\mathrm {R} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {R} _{h}}(x)+y_{\mathrm {C} _{1}}(x)+\cdots +y_{\mathrm {C} _{k}}(x)

उदाहरण

स्थिर गुणांकों के साथ रेखीय सजातीय अवकल समीकरण

y^{(5)}+y^{(4)}-4y^{(3)}-16y''-20y'-12y=0

विशेषता समीकरण है,

r^{5}+r^{4}-4r^{3}-16r^{2}-20r-12=0

गुणनखंडन द्वारा विशेषता समीकरण में

(r-3)(r^{2}+2r+2)^{2}=0

कोई देख सकता है कि $r$ के लिए समाधान विशिष्ट एकल मूल $r 1 = 3$ और डबल सम्मिश्र मूल $r 2,3,4,5 = 1 \pm i$ हैं। यह वास्तविक-मूल्यवान सामान्य समाधान के अनुरूप है,

y(x)=c_{1}e^{3x}+e^{x}(c_{2}\cos x+c_{3}\sin x)+xe^{x}(c_{4}\cos x+c_{5}\sin x)

स्थिरांक के साथ $c 1, ..., c 5$ .

विशिष्ट वास्तविक मूल

इसी प्रकार रैखिक सजातीय अवकल समीकरणों के लिए सुपरपोज़िशन सिद्धांत कहता है कि यदि $u 1, ..., u n$ किसी विशेष अवकल समीकरण के $n$ रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान हैं, तो $c 1 u 1 + \dots + c n u n$ भी सभी मानों $c 1, ..., c n$ के लिए एक समाधान है।^[1]^[7] इसलिए, यदि विशेषता समीकरण के भिन्न वास्तविक मूल $r 1, ..., r n$ हों, तो एक व्यापक समाधान इस रूप का होता है,

y_{\mathrm {D} }(x)=c_{1}e^{r_{1}x}+c_{2}e^{r_{2}x}+\cdots +c_{n}e^{r_{n}x}

पुनरावृत्त वास्तविक मूल

यदि विशेषता समीकरण का मूल $r 1$ है जिसे $k$ बार दोहराया जाता है, तो यह स्पष्ट है कि $y p (x) = c 1 e r 1 x$ कम से कम एक समाधान है।^[1] चूंकि, इसी प्रकार इस समाधान में अन्य $k - 1$ मूलों से रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों का अभाव है। चूँकि $r 1$ की बहुलता $k$ है, इसलिए अवकल समीकरण का गुणनखंड किया जा सकता है।^[1]

$\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}y=0.$

तथ्य यह है कि $y p (x) = c 1 e r 1 x$ एक समाधान है जो किसी को यह मानने की अनुमति देता है कि सामान्य समाधान $y (x) = u (x) e r 1 x$ के रूप में हो सकता है, जहां $u (x)$ निर्धारित किया जाने वाला एक फ़ंक्शन है। इसी प्रकार प्रतिस्थापन $ue r 1 x$ देता है।

\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)\!ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}\left(ue^{r_{1}x}\right)-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}+r_{1}ue^{r_{1}x}-r_{1}ue^{r_{1}x}={\frac {d}{dx}}(u)e^{r_{1}x}

जब $k = 1$ , इस तथ्य को $k$ बार लागू करने पर, यह अनुसरण करता है।

\left({\frac {d}{dx}}-r_{1}\right)^{k}ue^{r_{1}x}={\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)e^{r_{1}x}=0.

$e r 1 x$ को विभाजित करके, इसी प्रकार यह देखा जा सकता है,

{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}(u)=u^{(k)}=0.

इसलिए, $u (x)$ के लिए सामान्य स्थिति $k - 1$ घात का एक बहुपद है, जिससे कि $u (x) = c 1 + c 2 x + c 3 x 2 + \dots + c k x k -1$ ^[6] चूँकि $y (x) = ue r 1 x$ , $r 1$ के संगत सामान्य समाधान का भाग है।

y_{\mathrm {R} }(x)=e^{r_{1}x}\!\left(c_{1}+c_{2}x+\cdots +c_{k}x^{k-1}\right).

सम्मिश्र मूल

इस प्रकार यदि दूसरे क्रम के अवकल समीकरण में $r 1 = a + bi$ और $r 2 = a - bi$ के रूप की जटिल संयुग्मी मूलों वाला विशेषता समीकरण है, $y (x) = c 1 e (a + bi) x + c 2 e (a - bi) x$ तो सामान्य समाधान तदनुसार, यूलर के सूत्र द्वारा, जो बताता है कि $e iθ = cos θ + i sin θ$ , इस समाधान को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

{\begin{aligned}y(x)&=c_{1}e^{(a+bi)x}+c_{2}e^{(a-bi)x}\\&=c_{1}e^{ax}(\cos bx+i\sin bx)+c_{2}e^{ax}(\cos bx-i\sin bx)\\&=\left(c_{1}+c_{2}\right)e^{ax}\cos bx+i(c_{1}-c_{2})e^{ax}\sin bx\end{aligned}}

जहाँ $c 1$ और $c 2$ स्थिरांक हैं जो अवास्तविक हो सकते हैं और जो प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर करते हैं।^[6] वास्तव में, चूंकि $y (x)$ वास्तविक है, $c 1 - c 2$ काल्पनिक संख्या या शून्य होना चाहिए और $c 1 + c 2$ वास्तविक होना चाहिए, जिससे की अंतिम बराबर चिह्न के बाद दोनों शब्द वास्तविक हों जाते है।

उदाहरण के लिए, यदि $c1 = c2 = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}1/2$ , तो विशेष समाधान $y 1 (x) = e ax cos bx$ बनता है। इसी प्रकार, यदि $c 1 = 1 / 2 i$ और $c 2 = - 1 / 2 i$ , तो बनने वाला स्वतंत्र समाधान $y 2 (x) = e ax sin bx$ है। इस प्रकार रेखीय सजातीय अवकल समीकरणों के लिए अध्यारोपण सिद्धांत द्वारा, जटिल मूल $r = a \pm bi$ वाले दूसरे क्रम के अवकल समीकरण का परिणाम निम्नलिखित सामान्य समाधान होगा:

y_{\mathrm {C} }(x)=e^{ax}(C_{1}\cos bx+C_{2}\sin bx)

यह विश्लेषण एक उच्च-क्रम अंतर समीकरण के समाधान के भागों पर भी लागू होता है, जिसकी विशेषता समीकरण में गैर-वास्तविक जटिल संयुग्मी मूल सम्मलित होती हैं।

यह भी देखें

विशेषता बहुपद

संदर्भ

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↑ Baumol, William J. (1970). आर्थिक गतिशीलता (3rd ed.). p. 172.
↑ Chiang, Alpha (1984). गणितीय अर्थशास्त्र के मौलिक तरीके (3rd ed.). pp. 578, 600. ISBN 9780070107809.
↑ ^5.0 ^5.1 Chu, Herman; Shah, Gaurav; Macall, Tom. "स्थिर गुणांक वाले रेखीय सजातीय साधारण विभेदक समीकरण". eFunda. Retrieved 1 March 2011.
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↑ Dawkins, Paul. "विभेदक समीकरण शब्दावली". Paul's Online Math Notes. Retrieved 2 March 2011.

[edwards-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 ^1.3 ^1.4 ^1.5 ^1.6 Edwards, C. Henry; Penney, David E. "Chapter 3". Differential Equations: Computing and Modeling. David Calvis. Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Education. pp. 156–170. ISBN 978-0-13-600438-7.

[smith-2] 2.0 ^2.1 ^2.2 Smith, David Eugene. "History of Modern Mathematics: Differential Equations". University of South Florida.

[3] Baumol, William J. (1970). आर्थिक गतिशीलता (3rd ed.). p. 172.

[4] Chiang, Alpha (1984). गणितीय अर्थशास्त्र के मौलिक तरीके (3rd ed.). pp. 578, 600. ISBN 9780070107809.

[eFunda-5] 5.0 ^5.1 Chu, Herman; Shah, Gaurav; Macall, Tom. "स्थिर गुणांक वाले रेखीय सजातीय साधारण विभेदक समीकरण". eFunda. Retrieved 1 March 2011.

[cohen-6] 6.0 ^6.1 ^6.2 ^6.3 ^6.4 Cohen, Abraham (1906). विभेदक समीकरणों पर एक प्राथमिक ग्रंथ. D. C. Heath and Company.

[dawkins-7] Dawkins, Paul. "विभेदक समीकरण शब्दावली". Paul's Online Math Notes. Retrieved 2 March 2011.

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 {{short description|Algebraic equation on which the solution of a differential equation depends}}
-गणित में, विशेषता समीकरण (या सहायक समीकरण<ref name="edwards" /> [[एक बहुपद की डिग्री]] का एक [[बीजगणितीय समीकरण]] है {{mvar|n}} जिस पर दिए गए का समाधान निर्भर करता है {{nowrap begin}}{{mvar|n}}वां-{{nowrap end}}विभेदक समीकरण#समीकरण क्रम अवकल समीकरण<ref name="smith">{{cite web|url=http://etc.usf.edu/lit2go/contents/2800/2892/2892_txt.html|title=History of Modern Mathematics: Differential Equations|last=Smith|first=David Eugene|publisher=[[University of South Florida]]}}</ref> या [[रैखिक अंतर समीकरण]]।<ref>{{cite book|last=Baumol|first=William J.|title=आर्थिक गतिशीलता|url=https://archive.org/details/economicdynamics0000baum_c7i2|url-access=registration|edition=3rd|date=1970|page=[https://archive.org/details/economicdynamics0000baum_c7i2/page/172 172]}}</ref><ref>{{cite book|last=Chiang|first=Alpha|title=गणितीय अर्थशास्त्र के मौलिक तरीके|url=https://archive.org/details/fundamentalmetho0000chia_h4v2|url-access=registration|edition=3rd|date=1984|pages=[https://archive.org/details/fundamentalmetho0000chia_h4v2/page/578 578], 600|isbn=9780070107809 }}</ref> अभिलाक्षणिक समीकरण तभी बन सकता है जब अवकल या अंतर समीकरण रैखिक अवकल समीकरण और समांगी अवकल समीकरण#सजातीय रैखिक अवकल समीकरण हो और जिसमें स्थिर गुणांक हों।<ref name="edwards">{{cite book|last1=Edwards |first1=C. Henry |last2=Penney |first2=David E. |others=David Calvis |title=Differential Equations: Computing and Modeling |publisher=Pearson Education |location=[[Upper Saddle River]], [[New Jersey]] |pages=156–170 |chapter=Chapter 3 |isbn=978-0-13-600438-7}}</ref> ऐसा अंतर समीकरण, के साथ {{mvar|y}} [[निर्भर चर]] के रूप में, सुपरस्क्रिप्ट {{math|(''n'')}} n को दर्शाते हुए<sup>वें</sup>-व्युत्पन्न, और {{math|''a''<sub>''n''</sub>, ''a''<sub>''n''&nbsp;−&thinsp;1</sub>, ..., ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>0</sub>}} स्थिरांक के रूप में,
+गणित में, विशेषता समीकरण (या सहायक समीकरण<ref name="edwards">{{cite book|last1=Edwards |first1=C. Henry |last2=Penney |first2=David E. |others=David Calvis |title=Differential Equations: Computing and Modeling |publisher=Pearson Education |location=[[Upper Saddle River]], [[New Jersey]] |pages=156–170 |chapter=Chapter 3 |isbn=978-0-13-600438-7}}</ref>) [[एक बहुपद की डिग्री|एक बहुपद की घात]] {{mvar|n}} का [[बीजगणितीय समीकरण]] है, जिस पर दिए गए nवें क्रम के अवकल समीकरण<ref name="smith">{{cite web|url=http://etc.usf.edu/lit2go/contents/2800/2892/2892_txt.html|title=History of Modern Mathematics: Differential Equations|last=Smith|first=David Eugene|publisher=[[University of South Florida]]}}</ref> या [[रैखिक अंतर समीकरण|अंतर समीकरण]] का समाधान निर्भर करता है।<ref>{{cite book|last=Baumol|first=William J.|title=आर्थिक गतिशीलता|url=https://archive.org/details/economicdynamics0000baum_c7i2|url-access=registration|edition=3rd|date=1970|page=[https://archive.org/details/economicdynamics0000baum_c7i2/page/172 172]}}</ref><ref>{{cite book|last=Chiang|first=Alpha|title=गणितीय अर्थशास्त्र के मौलिक तरीके|url=https://archive.org/details/fundamentalmetho0000chia_h4v2|url-access=registration|edition=3rd|date=1984|pages=[https://archive.org/details/fundamentalmetho0000chia_h4v2/page/578 578], 600|isbn=9780070107809 }}</ref> विशेषता समीकरण तभी बन सकता है, इसी प्रकार जब अवकल या अंतर समीकरण रेखीय और सजातीय हो और स्थिर गुणांक रखता हो,<ref name="edwards" /> ऐसा अवकल समीकरण, जिसमें y [[निर्भर चर]] है, और {{math|''a''<sub>''n''</sub>, ''a''<sub>''n''&nbsp;−&thinsp;1</sub>, ..., ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>0</sub>}} स्थिरांक के रूप में, सुपरस्क्रिप्ट {{math|(''n'')}} nth-अवकलज को दर्शाता है,
 :<math>a_{n}y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_{1}y' + a_{0}y = 0,</math>
-रूप का एक विशिष्ट समीकरण होगा
+प्रपत्र का एक विशिष्ट समीकरण होता है,
 :<math>a_{n}r^{n} + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_{1}r + a_{0} = 0</math>
-जिनके उपाय {{math|''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub>, ..., ''r''<sub>''n''</sub>}} वे मूल हैं जिनसे सामान्य विलयन बनाया जा सकता है।<ref name="edwards" /><ref name=eFunda>{{cite web |url=http://www.efunda.com/math/ode/linearode_consthomo.cfm |title=स्थिर गुणांक वाले रेखीय सजातीय साधारण विभेदक समीकरण|last1=Chu |first1=Herman |last2=Shah |first2=Gaurav |last3=Macall |first3=Tom |publisher=eFunda |accessdate=1 March 2011}}</ref><ref name="cohen">{{cite book|last=Cohen|first=Abraham|title=विभेदक समीकरणों पर एक प्राथमिक ग्रंथ|url=https://archive.org/details/anelementarytre01cohegoog|publisher=[[D. C. Heath and Company]]|year=1906}}</ref> अनुरूप रूप से, रूप का एक रेखीय अंतर समीकरण
+इसी प्रकार जिनके समाधान {{math|''r''<sub>1</sub>, ''r''<sub>2</sub>, ..., ''r''<sub>''n''</sub>}} वे मूल हैं जिनसे सामान्य विलयन बनाया जा सकता है।<ref name="edwards" /><ref name=eFunda>{{cite web |url=http://www.efunda.com/math/ode/linearode_consthomo.cfm |title=स्थिर गुणांक वाले रेखीय सजातीय साधारण विभेदक समीकरण|last1=Chu |first1=Herman |last2=Shah |first2=Gaurav |last3=Macall |first3=Tom |publisher=eFunda |accessdate=1 March 2011}}</ref><ref name="cohen">{{cite book|last=Cohen|first=Abraham|title=विभेदक समीकरणों पर एक प्राथमिक ग्रंथ|url=https://archive.org/details/anelementarytre01cohegoog|publisher=[[D. C. Heath and Company]]|year=1906}}</ref> अनुरूपतः, एक रेखीय अंतर समीकरण का रूप,
 :<math>y_{t+n} = b_1y_{t+n-1} + \cdots + b_ny_{t}</math>
-विशेषता समीकरण है
+विशेषता समीकरण है,
 :<math>r^n - b_1r^{n-1} - \cdots - b_n =0,</math>
-निरंतर गुणांकों के साथ रैखिक पुनरावृत्ति पर अधिक विस्तार से चर्चा की गई # सजातीय मामले का समाधान।
+इसी प्रकार अधिक विस्तार से निरंतर गुणांक के साथ रैखिक पुनरावृत्ति पर सजातीय स्थिति के समाधान पर चर्चा की गई है।
-चारित्रिक जड़ें (विशेषता समीकरण के [[एक बहुपद की जड़]]) चर के व्यवहार के बारे में गुणात्मक जानकारी भी प्रदान करती हैं जिसका विकास गतिशील समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है। समय पर परिचालित एक विभेदक समीकरण के लिए, चर का विकास Lyapunov स्थिरता है यदि और केवल यदि प्रत्येक जड़ का [[वास्तविक भाग]] नकारात्मक है। अंतर समीकरणों के लिए, स्थिरता होती है यदि और केवल यदि प्रत्येक जड़ की सम्मिश्र संख्या#ध्रुवीय सम्मिश्र तल 1 से कम हो। दोनों प्रकार के समीकरणों के लिए, यदि सम्मिश्र संख्या मूलों की कम से कम एक जोड़ी हो तो लगातार उतार-चढ़ाव होते हैं।
-निरंतर गुणांक वाले [[ अभिन्न ]] लीनियर [[साधारण अंतर समीकरण]] की विधि [[लियोनहार्ड यूलर]] द्वारा खोजी गई थी, जिन्होंने पाया कि समाधान एक बीजगणितीय 'विशेषता' समीकरण पर निर्भर थे।<ref name="smith" />  यूलर के विशिष्ट समीकरण के गुणों पर बाद में फ्रांसीसी गणितज्ञ [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] और [[गैसपार्ड मोंगे]] द्वारा अधिक विस्तार से विचार किया गया।<ref name="smith" /><ref name="cohen" />
+विशेषता मूल (विशेषता समीकरण की [[एक बहुपद की जड़|एक बहुपद की मूल]]) चर के व्यवहार के बारे में गुणात्मक जानकारी भी प्रदान करती हैं जिसका विकास गतिशील समीकरण द्वारा वर्णित है। इस प्रकार समय पर परिचालित एक विभेदक समीकरण के लिए, चर का विकास स्थिर है यदि और केवल यदि प्रत्येक मूल का [[वास्तविक भाग]] नकारात्मक है, और केवल यदि प्रत्येक मूल का मापांक 1 से कम हो तो अंतर समीकरणों के लिए, स्थिरता होती है। दोनों प्रकार के समीकरणों के लिए, कम से कम एक जोड़ी सम्मिश्र मूलों के होने पर लगातार उतार-चढ़ाव होता है।
+[[लियोनहार्ड यूलर]] द्वारा निरंतर गुणांक वाले रैखिक [[साधारण अंतर समीकरण]] को एकीकृत करने की विधि की खोज की गई, जिन्होंने उसमे पाया कि समाधान एक बीजगणितीय 'विशेषता' समीकरण पर निर्भर है।<ref name="smith" /> इसी प्रकार यूलर के विशिष्ट समीकरण के गुणों पर पश्चात में फ्रांसीसी गणितज्ञ [[ऑगस्टिन-लुई कॉची]] और [[गैसपार्ड मोंगे]] द्वारा अधिक विस्तार से विचार किया गया था।<ref name="smith" /><ref name="cohen" />
 == व्युत्पत्ति ==
-स्थिर गुणांकों के साथ एक रेखीय सजातीय अवकल समीकरण से प्रारंभ करना {{math|''a''<sub>''n''</sub>, ''a''<sub>''n''&nbsp;−&thinsp;1</sub>, ..., ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>0</sub>}},
+अचर गुणांक {{math|''a''<sub>''n''</sub>, ''a''<sub>''n''&nbsp;−&thinsp;1</sub>, ..., ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>0</sub>}} के साथ एक रेखीय सजातीय अवकल समीकरण से प्रारंभ करना,
 :<math>a_n y^{(n)} + a_{n-1}y^{(n-1)} + \cdots + a_1 y^\prime + a_0 y = 0,</math>
-यह देखा जा सकता है कि अगर {{math|''y''(''x'') {{=}} ''e''<sup>&hairsp;''rx''</sup>}}, प्रत्येक पद का एक स्थिर गुणक होगा {{math|''e''<sup>&hairsp;''rx''</sup>}}. यह इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि घातीय कार्य का व्युत्पन्न {{math|''e''<sup>&hairsp;''rx''</sup>}} स्वयं का गुणज है। इसलिए, {{math|''y''′ {{=}} ''re''<sup>&hairsp;''rx''</sup>}}, {{math|1=''y''″ = ''r''<sup>2</sup>''e''<sup>&hairsp;''rx''</sup>}}, और {{math|1=''y''<sup>(''n'')</sup> = ''r''<sup>''n''</sup>''e''<sup>&hairsp;''rx''</sup>}} सभी गुणक हैं। इससे पता चलता है कि के कुछ मूल्य {{mvar|r}} के गुणकों की अनुमति देगा {{math|''e''<sup>&hairsp;''rx''</sup>}} को शून्य करने के लिए, इस प्रकार सजातीय अंतर समीकरण को हल करना।<ref name="eFunda" />  समाधान करने के लिए {{mvar|r}}, कोई स्थानापन्न कर सकता है {{math|1=''y'' = ''e''<sup>&hairsp;''rx''</sup>}} और इसके डेरिवेटिव को अंतर समीकरण में प्राप्त करने के लिए
+यह देखा जा सकता है कि यदि {{math|''y''(''x'') {{=}} ''e''<sup>&hairsp;''rx''</sup>}} है, तो प्रत्येक पद {{math|''e''<sup>&hairsp;''rx''</sup>}} का एक स्थिर गुणक होता है। यह इस तथ्य से परिणामित होता है कि घातीय फलन {{math|''e''<sup>&hairsp;''rx''</sup>}} का व्युत्पन्न स्वयं का गुणक है, इसलिए, {{math|''y''′ {{=}} ''re''<sup>&hairsp;''rx''</sup>}}, {{math|1=''y''″ = ''r''<sup>2</sup>''e''<sup>&hairsp;''rx''</sup>}}, और {{math|1=''y''<sup>(''n'')</sup> = ''r''<sup>''n''</sup>''e''<sup>&hairsp;''rx''</sup>}} सभी गुणक हैं। इससे पता चलता है कि {{mvar|r}} के कुछ मान {{math|''e''<sup>&hairsp;''rx''</sup>}} के गुणकों को शून्य करने की अनुमति देते है, इस प्रकार सजातीय अंतर समीकरण को समाधान करते है।<ref name="eFunda" /> {{mvar|r}} का समाधान करने के लिए, {{math|1=''y'' = ''e''<sup>&hairsp;''rx''</sup>}} और इसके यौगिक को अंतर समीकरण में स्थानापन्न कर सकते हैं,
 :<math>a_n r^n e^{rx} + a_{n-1}r^{n-1}e^{rx} + \cdots + a_1 re^{rx} + a_0 e^{rx} = 0</math>
-तब से {{math|''e''<sup>&hairsp;''rx''</sup>}} कभी भी शून्य के बराबर नहीं हो सकता, इसे चारित्रिक समीकरण देते हुए विभाजित किया जा सकता है
+चूँकि {{math|''e''<sup>&hairsp;''rx''</sup>}} कभी भी शून्य के बराबर नहीं हो सकता है, इसे विशेषता समीकरण देते हुए विभाजित किया जा सकता है,
 :<math>a_n r^n + a_{n-1}r^{n-1} + \cdots + a_1 r + a_0 = 0.</math>
-मूलों को हल करने पर, {{mvar|r}}, इस अभिलाक्षणिक समीकरण में, कोई भी अवकल समीकरण का सामान्य हल खोज सकता है।<ref name="edwards" /><ref name="cohen" />  उदाहरण के लिए, यदि {{mvar|r}} के मूल 3, 11 और 40 के बराबर हैं, तो सामान्य समाधान होगा <math>y(x) = c_1 e^{3 x} + c_2 e^{11 x} + c_3 e^{40 x}</math>, कहाँ <math>c_1</math>, <math>c_2</math>, और <math>c_3</math> एकीकरण के स्थिर हैं जिन्हें सीमा और/या प्रारंभिक स्थितियों द्वारा निर्धारित करने की आवश्यकता है।
+इस विशेषता समीकरण में, r के मूलों को समाधान करके, कोई भी अवकल समीकरण का सामान्य समाधान खोज सकता है।<ref name="edwards" /><ref name="cohen" /> उदाहरण के लिए, यदि {{mvar|r}} के मूल 3, 11 और 40 के बराबर हैं, तो सामान्य समाधान होगा <math>y(x) = c_1 e^{3 x} + c_2 e^{11 x} + c_3 e^{40 x}</math>, जहाँ c1, c2 और c3 मनमाने स्थिरांक हैं जिन्हें सीमा और/या प्रारंभिक स्थितियों द्वारा निर्धारित करने की आवश्यकता है।
 == सामान्य समाधान का गठन ==
-इसकी जड़ों के लिए विशेषता समीकरण को हल करना, {{math|''r''<sub>1</sub>, ..., ''r''<sub>''n''</sub>}}, किसी को अंतर समीकरण के सामान्य समाधान को खोजने की अनुमति देता है। जड़ें [[वास्तविक संख्या]] या जटिल संख्या के साथ-साथ अलग या दोहराई जा सकती हैं। यदि एक अभिलाक्षणिक समीकरण के भिन्न वास्तविक मूल वाले भाग हैं, {{mvar|h}} दोहराई गई जड़ें, या {{mvar|k}} के सामान्य समाधान के अनुरूप जटिल जड़ें {{math|''y''<sub>D</sub>(''x'')}}, {{math|''y''<sub>R<sub>1</sub></sub>(''x''), ..., ''y''<sub>R<sub>''h''</sub></sub>(''x'')}}, और {{math|''y''<sub>C<sub>1</sub></sub>(''x''), ..., ''y''<sub>C<sub>''k''</sub></sub>(''x'')}}, क्रमशः, तो अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है
+इसी प्रकार इसकी मूलों, {{math|''r''<sub>1</sub>, ..., ''r''<sub>''n''</sub>}} के लिए विशेषता समीकरण को समाधान करने से, अवकल समीकरण का सामान्य समाधान ज्ञात किया जा सकता है। मूल वास्तविक या सम्मिश्र हो सकती हैं, साथ ही भिन्न या दोहराई जा सकती हैं। यदि एक विशेष समीकरण में विशिष्ट वास्तविक मूलों वाले भाग हैं, h दोहराए गए मूल, या k सम्मिश्र मूल {{math|''y''<sub>D</sub>(''x'')}}, {{math|''y''<sub>R<sub>1</sub></sub>(''x''), ..., ''y''<sub>R<sub>''h''</sub></sub>(''x'')}}, और {{math|''y''<sub>C<sub>1</sub></sub>(''x''), ..., ''y''<sub>C<sub>''k''</sub></sub>(''x'')}}, क्रमशः, तो अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है,
 :<math>y(x) = y_\mathrm{D}(x) + y_{\mathrm{R}_1}(x) + \cdots + y_{\mathrm{R}_h}(x) + y_{\mathrm{C}_1}(x) + \cdots + y_{\mathrm{C}_k}(x)</math>
 === उदाहरण ===
 स्थिर गुणांकों के साथ रेखीय सजातीय अवकल समीकरण
-:<math>y^{(5)} + y^{(4)} - 4y^{(3)} - 16y'' -20y' - 12y = 0</math> विशेषता समीकरण है
+:<math>y^{(5)} + y^{(4)} - 4y^{(3)} - 16y'' -20y' - 12y = 0</math>
+:विशेषता समीकरण है,
 :<math>r^5 + r^4 - 4r^3 - 16r^2 -20r - 12 = 0</math>
 [[गुणन]]खंडन द्वारा विशेषता समीकरण में
 :<math>(r - 3)(r^2 + 2r + 2)^2 = 0</math>
-कोई देख सकता है कि के लिए समाधान {{mvar|r}} विशिष्ट एकल जड़ हैं {{math|''r''<sub>1</sub> {{=}} 3}} और डबल जटिल जड़ें {{math|''r''<sub>2,3,4,5</sub> {{=}} 1&thinsp;±&nbsp;''i''}}. यह वास्तविक-मूल्यवान सामान्य समाधान के अनुरूप है
+कोई देख सकता है कि {{mvar|r}} के लिए समाधान विशिष्ट एकल मूल {{math|''r''<sub>1</sub> {{=}} 3}} और डबल सम्मिश्र मूल {{math|''r''<sub>2,3,4,5</sub> {{=}} 1&thinsp;±&nbsp;''i''}} हैं। यह वास्तविक-मूल्यवान सामान्य समाधान के अनुरूप है,
 :<math> y(x) = c_1 e^{3x} + e^x(c_2 \cos x + c_3 \sin x) + xe^x(c_4 \cos x + c_5 \sin x)</math>
 स्थिरांक के साथ {{math|''c''<sub>1</sub>, ..., ''c''<sub>5</sub>}}.
-=== अलग असली जड़ें ===
+=== विशिष्ट वास्तविक मूल ===
-रैखिक सजातीय अंतर समीकरणों के लिए सुपरपोज़िशन सिद्धांत कहता है कि यदि {{math|''u''<sub>1</sub>, ..., ''u''<sub>''n''</sub>}} हैं {{mvar|n}} किसी विशेष अंतर समीकरण के लिए [[रैखिक रूप से स्वतंत्र]] समाधान, फिर {{math|''c''<sub>1</sub>''u''<sub>1</sub> + ⋯ + ''c<sub>n</sub>u<sub>n</sub>''}} भी सभी मूल्यों के लिए एक समाधान है {{math|''c''<sub>1</sub>, ..., ''c<sub>n</sub>''}}.<ref name="edwards" /><ref name="dawkins">{{cite web|url=http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/PDETerminology.aspx|title=विभेदक समीकरण शब्दावली|last=Dawkins|first=Paul|work=Paul's Online Math Notes|accessdate=2 March 2011}}</ref> इसलिए, यदि अभिलाक्षणिक समीकरण के भिन्न वास्तविक मूल हैं {{math|''r''<sub>1</sub>, ..., ''r<sub>n</sub>''}}, तो एक सामान्य समाधान फॉर्म का होगा
+इसी प्रकार रैखिक सजातीय अवकल समीकरणों के लिए सुपरपोज़िशन सिद्धांत कहता है कि यदि {{math|''u''<sub>1</sub>, ..., ''u''<sub>''n''</sub>}} किसी विशेष अवकल समीकरण के {{mvar|n}} [[रैखिक रूप से स्वतंत्र]] समाधान हैं, तो {{math|''c''<sub>1</sub>''u''<sub>1</sub> + ⋯ + ''c<sub>n</sub>u<sub>n</sub>''}} भी सभी मानों {{math|''c''<sub>1</sub>, ..., ''c<sub>n</sub>''}} के लिए एक समाधान है।<ref name="edwards" /><ref name="dawkins">{{cite web|url=http://tutorial.math.lamar.edu/Classes/DE/PDETerminology.aspx|title=विभेदक समीकरण शब्दावली|last=Dawkins|first=Paul|work=Paul's Online Math Notes|accessdate=2 March 2011}}</ref> इसलिए, यदि विशेषता समीकरण के भिन्न वास्तविक मूल {{math|''r''<sub>1</sub>, ..., ''r<sub>n</sub>''}} हों, तो एक व्यापक समाधान इस रूप का होता है,
 :<math> y_\mathrm{D}(x) = c_1 e^{r_1 x} + c_2 e^{r_2 x} + \cdots + c_n e^{r_n x} </math>
+=== पुनरावृत्त वास्तविक मूल ===
+यदि विशेषता समीकरण का मूल {{math|''r''<sub>1</sub>}} है जिसे {{mvar|k}} बार दोहराया जाता है, तो यह स्पष्ट है कि {{math|1=''y''<sub>p</sub>(''x'') = ''c''<sub>1</sub>''e''<sup>&hairsp;''r''<sub>1</sub>''x''</sup>}} कम से कम एक समाधान है।<ref name="edwards" /> चूंकि, इसी प्रकार इस समाधान में अन्य {{math|''k''&nbsp;−&thinsp;1}} मूलों से रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों का अभाव है। चूँकि {{math|''r''<sub>1</sub>}} की बहुलता {{mvar|k}} है, इसलिए अवकल समीकरण का गुणनखंड किया जा सकता है।<ref name="edwards" />
+<math>\left ( \frac{d}{dx} - r_1 \right )^k y = 0 .</math>
-=== बार-बार वास्तविक जड़ें ===
+तथ्य यह है कि {{math|1=''y''<sub>p</sub>(''x'') = ''c''<sub>1</sub>''e''<sup>&hairsp;''r''<sub>1</sub>''x''</sup>}} एक समाधान है जो किसी को यह मानने की अनुमति देता है कि सामान्य समाधान {{math|1=''y''(''x'') = ''u''(''x'')''e''<sup>&hairsp;''r''<sub>1</sub>''x''</sup>}} के रूप में हो सकता है, जहां {{math|''u''(''x'')}} निर्धारित किया जाने वाला एक फ़ंक्शन है। इसी प्रकार प्रतिस्थापन {{math|''ue''<sup>&hairsp;''r''<sub>1</sub>''x''</sup>}} देता है।
-यदि विशेषता समीकरण की जड़ है {{math|''r''<sub>1</sub>}} जो दोहराया जाता है {{mvar|k}} बार, तो यह स्पष्ट है कि {{math|1=''y''<sub>p</sub>(''x'') = ''c''<sub>1</sub>''e''<sup>&hairsp;''r''<sub>1</sub>''x''</sup>}} कम से कम एक समाधान है।<ref name="edwards" />  हालाँकि, इस समाधान में दूसरे से रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों का अभाव है {{math|''k''&nbsp;−&thinsp;1}} जड़ें। तब से {{math|''r''<sub>1</sub>}} में बहुलता है (गणित) {{mvar|k}}, अवकल समीकरण को कारक बनाया जा सकता है<ref name="edwards" />:<math>\left ( \frac{d}{dx} - r_1 \right )^k y = 0 .</math>
-यह तथ्य कि {{math|1=''y''<sub>p</sub>(''x'') = ''c''<sub>1</sub>''e''<sup>&hairsp;''r''<sub>1</sub>''x''</sup>}} एक समाधान है जो किसी को यह मानने की अनुमति देता है कि सामान्य समाधान प्रपत्र का हो सकता है {{math|1=''y''(''x'') = ''u''(''x'')''e''<sup>&hairsp;''r''<sub>1</sub>''x''</sup>}}, कहाँ {{math|''u''(''x'')}} निर्धारित किया जाने वाला एक कार्य है। स्थानापन्न {{math|''ue''<sup>&hairsp;''r''<sub>1</sub>''x''</sup>}} देता है
 :<math>\left( \frac{d}{dx} - r_1 \right)\! ue^{r_1 x} = \frac{d}{dx}\left(ue^{r_1 x}\right) - r_1 ue^{r_1 x} = \frac{d}{dx}(u)e^{r_1 x} + r_1 ue^{r_1 x}- r_1 ue^{r_1 x} = \frac{d}{dx}(u)e^{r_1 x}</math>
-कब {{math|1=''k''&nbsp;=&thinsp;1}}. इस तथ्य को लागू करके {{mvar|k}} बार, यह इस प्रकार है
+जब {{math|1=''k''&nbsp;=&thinsp;1}}, इस तथ्य को {{mvar|k}} बार लागू करने पर, यह अनुसरण करता है।
 :<math>\left( \frac{d}{dx} - r_1 \right)^k ue^{r_1 x} = \frac{d^k}{dx^k}(u)e^{r_1 x} = 0.</math>
-बाँट कर {{math|''e''<sup>&hairsp;''r''<sub>1</sub>''x''</sup>}}, यह देखा जा सकता है
+{{math|''e''<sup>&hairsp;''r''<sub>1</sub>''x''</sup>}} को विभाजित करके, इसी प्रकार यह देखा जा सकता है,
 :<math>\frac{d^k}{dx^k}(u) = u^{(k)} = 0.</math>
-इसलिए, के लिए सामान्य मामला {{math|''u''(''x'')}} डिग्री का [[बहुपद]] है {{math|''k''&nbsp;−&thinsp;1}}, ताकि {{math|1=''u''(''x'') = ''c''<sub>1</sub> + ''c''<sub>2</sub>''x'' + ''c''<sub>3</sub>''x''<sup>2</sup> + ⋯ + ''c<sub>k</sub>x''<sup>''k''&hairsp;−1</sup>}}.<ref name="cohen" />  तब से {{math|1=''y''(''x'') = ''ue''<sup>&hairsp;''r''<sub>1</sub>''x''</sup>}}, के अनुरूप सामान्य समाधान का हिस्सा {{math|''r''<sub>1</sub>}} है
+इसलिए, {{math|''u''(''x'')}} के लिए सामान्य स्थिति {{math|''k''&nbsp;−&thinsp;1}} घात का एक [[बहुपद]] है, जिससे कि {{math|1=''u''(''x'') = ''c''<sub>1</sub> + ''c''<sub>2</sub>''x'' + ''c''<sub>3</sub>''x''<sup>2</sup> + ⋯ + ''c<sub>k</sub>x''<sup>''k''&hairsp;−1</sup>}}<ref name="cohen" /> चूँकि {{math|1=''y''(''x'') = ''ue''<sup>&hairsp;''r''<sub>1</sub>''x''</sup>}}, {{math|''r''<sub>1</sub>}} के संगत सामान्य समाधान का भाग है।
 :<math>y_\mathrm{R}(x) = e^{r_1 x}\!\left(c_1 + c_2 x + \cdots + c_k x^{k-1}\right).</math>
+=== सम्मिश्र मूल ===
+इस प्रकार यदि दूसरे क्रम के अवकल समीकरण में {{math|''r''<sub>1</sub> {{=}} ''a'' + ''bi''}} और {{math|''r''<sub>2</sub> {{=}} ''a'' − ''bi''}} के रूप की जटिल संयुग्मी मूलों वाला विशेषता समीकरण है, {{math|''y''(''x'') {{=}} ''c''<sub>1</sub>''e''<sup>(''a'' + ''bi''&hairsp;)''x''</sup> + ''c''<sub>2</sub>''e''<sup>(''a'' − ''bi''&hairsp;)''x''</sup>}} तो सामान्य समाधान तदनुसार, यूलर के सूत्र द्वारा, जो बताता है कि {{math|''e<sup>iθ</sup>'' {{=}} cos&thinsp;''θ'' + ''i'' sin&thinsp;''θ''}}, इस समाधान को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:
-=== जटिल जड़ें ===
-यदि एक दूसरे क्रम के अंतर समीकरण में फॉर्म की जटिल संयुग्म जड़ों के साथ एक विशेषता समीकरण है {{math|''r''<sub>1</sub> {{=}} ''a'' + ''bi''}} और {{math|''r''<sub>2</sub> {{=}} ''a'' − ''bi''}}, तो सामान्य समाधान तदनुसार है {{math|''y''(''x'') {{=}} ''c''<sub>1</sub>''e''<sup>(''a'' + ''bi''&hairsp;)''x''</sup> + ''c''<sub>2</sub>''e''<sup>(''a'' − ''bi''&hairsp;)''x''</sup>}}. यूलर के सूत्र द्वारा, जो बताता है कि {{math|''e<sup>iθ</sup>'' {{=}} cos&thinsp;''θ'' + ''i'' sin&thinsp;''θ''}}, इस समाधान को निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:
 :<math>\begin{align}
 y(x) &= c_{1}e^{(a + bi)x} + c_{2}e^{(a - bi)x}\\
@@ Line 66: / Line 62: @@
       &= \left(c_{1} + c_{2}\right)e^{ax} \cos bx + i(c_{1} - c_{2})e^{ax} \sin bx
 \end{align}</math>
-कहाँ {{math|''c''<sub>1</sub>}} और {{math|''c''<sub>2</sub>}} स्थिरांक हैं जो अवास्तविक हो सकते हैं और जो प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर करते हैं।<ref name="cohen" />(वास्तव में, चूंकि {{math|''y''(''x'')}} यह सचमुच का है, {{math|''c''<sub>1</sub> − ''c''<sub>2</sub>}} [[काल्पनिक संख्या]] या शून्य होना चाहिए और {{math|''c''<sub>1</sub> + ''c''<sub>2</sub>}} वास्तविक होना चाहिए, ताकि अंतिम बराबर चिह्न के बाद दोनों पद वास्तविक हों।)
+जहाँ {{math|''c''<sub>1</sub>}} और {{math|''c''<sub>2</sub>}} स्थिरांक हैं जो अवास्तविक हो सकते हैं और जो प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर करते हैं।<ref name="cohen" /> वास्तव में, चूंकि {{math|''y''(''x'')}} वास्तविक है,{{math|''c''<sub>1</sub> − ''c''<sub>2</sub>}} [[काल्पनिक संख्या]] या शून्य होना चाहिए और {{math|''c''<sub>1</sub> + ''c''<sub>2</sub>}} वास्तविक होना चाहिए, जिससे की अंतिम बराबर चिह्न के बाद दोनों शब्द वास्तविक हों जाते है।
-उदाहरण के लिए, यदि {{math|''c''<sub>1</sub> {{=}} ''c''<sub>2</sub> {{=}} {{sfrac|1|2}}}}, फिर विशेष समाधान {{math|''y''<sub>1</sub>(''x'') {{=}} ''e''<sup>&hairsp;''ax''</sup> cos&thinsp;''bx''}} बन गया है। इसी प्रकार यदि {{math|''c''<sub>1</sub> {{=}} {{sfrac|1|2''i''}}}} और {{math|''c''<sub>2</sub> {{=}} −{{sfrac|1|2''i''}}}}, तो बनने वाला स्वतंत्र विलयन है {{math|''y''<sub>2</sub>(''x'') {{=}} ''e''<sup>&hairsp;''ax''</sup> sin&thinsp;''bx''}}. इस प्रकार रैखिक सजातीय अंतर समीकरणों के सुपरपोज़िशन सिद्धांत द्वारा, जटिल जड़ों वाले दूसरे क्रम के अंतर समीकरण {{math|''r''&nbsp;{{=}}&thinsp;''a'' ± ''bi''}} का परिणाम निम्न सामान्य समाधान होगा:
+उदाहरण के लिए, यदि {{math|''c''<sub>1</sub> {{=}} ''c''<sub>2</sub> {{=}} {{sfrac|1|2}}}}, तो विशेष समाधान {{math|''y''<sub>1</sub>(''x'') {{=}} ''e''<sup>&hairsp;''ax''</sup> cos&thinsp;''bx''}} बनता है। इसी प्रकार, यदि {{math|''c''<sub>1</sub> {{=}} {{sfrac|1|2''i''}}}} और {{math|''c''<sub>2</sub> {{=}} −{{sfrac|1|2''i''}}}}, तो बनने वाला स्वतंत्र समाधान {{math|''y''<sub>2</sub>(''x'') {{=}} ''e''<sup>&hairsp;''ax''</sup> sin&thinsp;''bx''}} है। इस प्रकार रेखीय सजातीय अवकल समीकरणों के लिए अध्यारोपण सिद्धांत द्वारा, जटिल मूल {{math|''r''&nbsp;{{=}}&thinsp;''a'' ± ''bi''}} वाले दूसरे क्रम के अवकल समीकरण का परिणाम निम्नलिखित सामान्य समाधान होगा:
 :<math> y_\mathrm{C}(x) = e^{ax}(C_1 \cos bx + C_2 \sin bx)</math>
-यह विश्लेषण एक उच्च-क्रम अंतर समीकरण के समाधान के हिस्सों पर भी लागू होता है, जिसकी विशेषता समीकरण में गैर-वास्तविक जटिल संयुग्मी जड़ें शामिल होती हैं।
+यह विश्लेषण एक उच्च-क्रम अंतर समीकरण के समाधान के भागों पर भी लागू होता है, जिसकी विशेषता समीकरण में गैर-वास्तविक जटिल संयुग्मी मूल सम्मलित होती हैं।
 == यह भी देखें ==
@@ Line 78: / Line 74: @@
 == संदर्भ ==
 {{reflist|2}}
-[[Category: सामान्य अवकल समीकरण]]
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 27/04/2023]]
+[[Category:Lua-based templates]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready]]
+[[Category:Templates that add a tracking category]]
+[[Category:Templates that generate short descriptions]]
+[[Category:Templates using TemplateData]]
+[[Category:सामान्य अवकल समीकरण]]

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