सोबोलेव स्पेस

गणित में एक सोबोलिव स्पेस एक वेक्टर स्पेस से प्रतिबंधित फलनों का सदिश स्थान है। यह किसी दिए गए क्रम तक इसके डेरिवेटिव के साथ फलनों के Lp-मापदंडों का संयोजन है। स्पेस को पूर्ण मीट्रिक स्थान बनाने के लिए डेरिवेटिव्स को एक उपयुक्त अशक्त व्युत्पन्न माना जाता है, अर्थात् एक बनैच स्थान सहज रूप से एक सोबोलेव स्पेस कुछ एप्लिकेशन डोमेन के लिए पर्याप्त डेरिवेटिव वाले फलनों का एक स्थान है। जैसे आंशिक अंतर समीकरण और एक मानक से पूर्णतयः प्रतिबंधित है। जो फलन के आकार और नियमितता दोनों को मापता है।

सोबोलेव रिक्त स्थान का नाम रूसी गणितज्ञ सर्गेई लावोविच सोबोलेव के नाम पर रखा गया है। उनका महत्व इस तथ्य से प्रदर्शित किया जाता है कि कुछ महत्वपूर्ण एवं आंशिक अंतर समीकरणों का अशक्त हल उचित सोबोलिव रिक्त स्थान में उपस्थित है। तथापि मौलिक अर्थों में डेरिवेटिव्स के साथ निरंतर फलनों के रिक्त स्थान में कोई शक्तिशाली हल नहीे प्राप्त हुआ है।

मोटीवेशन

इस खंड में और पूरे लेख में, $\mathbb {R} ^{n}.$ का खुला उपसमुच्चय $\Omega$ है।

गणितीय फलनों की सरलता के लिए कई मापदंड उपस्थित हैं। सबसे मूलभूत मापदंड निरंतर फलन करने का हो सकता है। स्मूथनेस की एक शक्तिशाली धारणा भिन्नता की है (क्योंकि विभिन्न प्रकार के फलन भी निरंतर हैं) और स्मूथनेस की एक और शक्तिशाली धारणा यह है कि व्युत्पन्न भी निरंतर हो (इन फलनों को कक्षा $C^{1}$ के रूप में कहा जाता है - विभेदीकरण वर्ग देखें)। अवकलनीय फलन कई क्षेत्रों में और विशेष रूप से अवकल समीकरणों के लिए महत्वपूर्ण हैं। चूंकि बीसवीं शताब्दी में यह देखा गया था कि स्पेस $C^{1}$ (या $C^{2}$ आदि) अंतर समीकरणों के हल का अध्ययन करने के लिए बिल्कुल सही स्थान नहीं था। सोबोलेव रिक्त स्थान इन स्थानों के लिए आधुनिक प्रतिस्थापन हैं। जिसमें आंशिक अंतर समीकरणों के समाधान की जानकारी की जाती है।

अंतर समीकरण के अंतर्निहित मॉडल की मात्रा या गुण सामान्यतः अभिन्न मापदंडों के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं। एक विशिष्ट उदाहरण 𝐿 2 -नॉर्मड द्वारा तापमान या वेग वितरण की ऊर्जा को माप रहा है। इसलिए यह महत्वपूर्ण है कि Lp स्पेस फलन को विभेदित करने के लिए एक टूल विकसित किया जाए।

$u\in C^{k}(\Omega )$भागों के सूत्र द्वारा एकीकरण से प्रत्येक के लिए यह प्राप्त होता है। जहाँ $k$ एक प्राकृतिक संख्या को दर्शाता है और कॉम्पैक्ट समर्थन $\varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega ),$ के साथ सभी असीमित विभिन्न प्रकार फलनों के लिए-

$\int _{\Omega }u\,D^{\alpha \!}\varphi \,dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }\varphi \,D^{\alpha \!}u\,dx,$

जहाँ $\alpha$ आदेश का एक बहु-सूचकांक है। $|\alpha |=k$ और हम नोटेशन का उपयोग कर रहे हैं:

$D^{\alpha \!}f={\frac {\partial ^{|\alpha |}\!f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}.$

इस समीकरण का बायां पक्ष अभी भी समझ में आता है। यदि स्थानीय रूप से एकीकृत होने के लिए हम केवल मान $u$ लें। यदि कोई स्थानीय रूप से एकीकृत फलन $v$ उपस्थित है। ऐसा है कि-

$\int _{\Omega }u\,D^{\alpha \!}\varphi \;dx=(-1)^{|\alpha |}\int _{\Omega }v\,\varphi \;dx\qquad {\text{for all }}\varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega ),$

फिर हम $v$ अशक्त व्युत्पन्न आंशिक व्युत्पन्न $u$ प्रदर्शित करते हैं। यदि कोई अशक्त आंशिक व्युत्पन्न $u$ है। तब इसे लगभग प्रत्येक स्थान पर विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जाता है और इस प्रकार यह विशिष्ट रूप से Lp स्थान के एक तत्व के रूप में निर्धारित होता है। उसी प्रकार दूसरी ओर यदि $u\in C^{k}(\Omega )$ है। तब मौलिक और अशक्त व्युत्पन्न मिलते हैं। इस प्रकार यदि $v$ एक अशक्त आंशिक व्युत्पन्न $u$ है। हम इसे $D^{\alpha }u:=v$ द्वारा निरूपित कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए फलन-

$u(x)={\begin{cases}1+x&-1<x<0\\10&x=0\\1-x&0<x<1\\0&{\text{else}}\end{cases}}$

शून्य पर निरंतर नहीं है और -1, 0, या 1 पर अवकलनीय नहीं है। फिर भी फलन

$v(x)={\begin{cases}1&-1<x<0\\-1&0<x<1\\0&{\text{else}}\end{cases}}$

$u(x),$ के अशक्त व्युत्पन्न होने की परिभाषा को पूर्णरूप से संतुष्ट करता है। जो उस समय सोबोलिव स्पेस $W^{1,p}$ में होने के योग्य है। (किसी भी अनुमति के लिए $p$ नीचे परिभाषा देखें)।

सोबोलेव रिक्त स्थान $W^{k,p}(\Omega )$ अशक्त भिन्नता और Lp मानदंड की अवधारणाओं को मिश्रित करें।

पूर्णांक k के साथ सोबोलेव रिक्त स्थान-

एक आयामी स्थिति

एक आयामी स्थिति में सोबोलेव स्पेस $W^{k,p}(\mathbb {R} )$ के लिए $1\leq p\leq \infty$ फलनों के सबसेट $f$ $L^{p}(\mathbb {R} )$ में के रूप में परिभाषित किया गया है| ऐसा प्रदर्शित होता है कि $f$ और इसके अशक्त डेरिवेटिव ऑर्डर $k$ तक एक परिमित L^p मापदंड है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है कि उचित अर्थों में डेरिवेटिव को परिभाषित करने के लिए कुछ सावधानी रखनी चाहिए। एक आयामी हल में यह मान लेना पर्याप्त है कि $(k{-}1)$-वें व्युत्पन्न $f^{(k-1)}$ लगभग प्रत्येक स्थान पर विभिन्न प्रकार है और इसके व्युत्पन्न के लेबेस्ग्यू एकीकरण के लिए लगभग प्रत्येक स्थान पर समान हैं (इसमें अप्रासंगिक उदाहरण सम्मिलित नहीं हैं। जैसे कि कैंटर फलन | कैंटर का फलन)।

इस परिभाषा के साथ सोबोलेव रिक्त स्थान एक प्राकृतिक नॉर्म्ड सदिश स्थान स्वीकार करते हैं,

$\|f\|_{k,p}=\left(\sum _{i=0}^{k}\left\|f^{(i)}\right\|_{p}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}=\left(\sum _{i=0}^{k}\int \left|f^{(i)}(t)\right|^{p}\,dt\right)^{\frac {1}{p}}.$

कोई इसे स्थिति तक $p=\infty$ मानक के साथ बढ़ा सकता है। तब आवश्यक सुप्रीमम और आवश्यक न्यूनतम का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है।

$\|f\|_{k,\infty }=\max _{i=0,\ldots ,k}\left\|f^{(i)}\right\|_{\infty }=\max _{i=0,\ldots ,k}\left({\text{ess}}\,\sup _{t}\left|f^{(i)}(t)\right|\right).$

नॉर्मड से प्रतिबंधित $\|\cdot \|_{k,p},W^{k,p}$ बनैच स्थान बन जाता है। यह प्रदर्शित होता है कि यह अनुक्रम में केवल पहले और अंतिम को लेने के लिए पर्याप्त है अर्थात जो नॉर्मड द्वारा परिभाषित मापदंड है-

$\left\|f^{(k)}\right\|_{p}+\|f\|_{p}$

उपरोक्त मापदंड के समतुल्य है (अर्थात् नॉर्मड वेक्टर स्पेस मापदंडों की टोपोलॉजिकल संरचना समान हैं)।

स्थिति p = 2

सोबोलेव रिक्त स्थान के साथ p = 2 विशेष रूप से फूरियर श्रृंखला के साथ उनके संबंध के कारण महत्वपूर्ण हैं और क्योंकि वे एक हिल्बर्ट स्पेस का निर्माण करते हैं। इस स्थिति को कवर करने के लिए एक विशेष संकेतन उत्पन्न किया गया है क्योंकि स्पेस एक हिल्बर्ट स्थान है:

$H^{k}=W^{k,2}.$

स्पेस $H^{k}$ फूरियर श्रृंखला के संदर्भ में स्वाभाविक रूप से परिभाषित किया जा सकता है। जिसका गुणांक पर्याप्त रूप से तेजी से घटता है। अर्थात्,

$H^{k}(\mathbb {T} )={\Big \{}f\in L^{2}(\mathbb {T} ):\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(1+n^{2}+n^{4}+\dots +n^{2k}\right)\left|{\widehat {f}}(n)\right|^{2}<\infty {\Big \}},$

जहाँ ${\widehat {f}}$, $f,$ की फूरियर श्रृंखला है और $\mathbb {T}$ 1-टोरस को प्रदर्शित करता है। ऊपरोक्त कोई समकक्ष मानदंड का उपयोग कर सकता है-

$\|f\|_{k,2}^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\left(1+|n|^{2}\right)^{k}\left|{\widehat {f}}(n)\right|^{2}.$

दोनों प्रतिनिधित्व पारसेवल के प्रमेय से सरलता से अनुसरण करते हैं और तथ्य यह है कि भेदभाव फूरियर गुणांक को गुणा करने के बराबर है $in$.

इसके अतिरिक्त स्पेस $H^{k}$ स्पेस के समान एक आंतरिक उत्पाद स्थान $H^{0}=L^{2}.$ को स्वीकार करता है। वास्तव में $H^{k}$ आंतरिक उत्पाद $L^{2}$ के संदर्भ में परिभाषित किया गया है:

$\langle u,v\rangle _{H^{k}}=\sum _{i=0}^{k}\left\langle D^{i}u,D^{i}v\right\rangle _{L^{2}}.$

स्पेस $H^{k}$ इस आंतरिक उत्पाद के साथ हिल्बर्ट स्पेस बन जाता है।

अन्य उदाहरण

एक आयाम में कुछ अन्य सोबोलिव रिक्त स्थान एक सरल वर्णन की अनुमति देते हैं। उदाहरण के लिए $W^{1,1}(0,1)$ पर पूर्ण निरंतरता का स्थान है (या किन्तु फलनों के समतुल्य वर्ग जो लगभग प्रत्येक स्थान पर समान हैं), किन्तु प्रत्येक अंतराल के लिए I $W^{1,\infty }(I)$ परिबद्ध लिप्सचिट्ज़ निरंतरता का स्थान है। चूंकि ये गुण नष्ट हो गए हैं या एक से अधिक चर के फलनों के लिए अधिक सरल नहीं हैं।

सभी रिक्त स्थान $W^{k,\infty }$ एक क्षेत्र पर बीजगणित (सामान्य) हैं। अर्थात् दो तत्वों का उत्पाद एक बार पुनः इस सोबोलिव स्पेस का एक फलन है। जो कि $p<\infty .$ की स्थिति नहीं है (उदाहरण के लिए |x|^1/3 जैसा व्यवहार करने वाले फलन $L^{2},$ मूल में हैं। किन्तु ऐसे दो फलनों का उत्पाद $L^{2}$में अंदर नहीं है।)

बहुआयामी स्थिति

बहुत से आयामों में परिवर्तन परिभाषा से प्रारम्भ करके अधिक कठिनाइयाँ प्रदर्शित करता है। इसमें आवश्यकता है कि $f^{(k-1)}$, $f^{(k)}$ का अभिन्न अंग हो। जो सामान्यीकरण नहीं करता है और सबसे सरल हल वितरण (गणित) के अर्थ में डेरिवेटिव पर विचार करना है।

एक औपचारिक परिभाषा अब इस प्रकार है। माना कि $k\in \mathbb {N} ,1\leqslant p\leqslant \infty .$ सोबोलेव स्पेस $W^{k,p}(\Omega )$ सभी फलनों $\Omega$ पर $f$ के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है। ऐसा है कि प्रत्येक बहु-सूचकांक $\alpha$ के लिए $|\alpha |\leqslant k,$ के साथ, मिश्रित आंशिक व्युत्पन्न-

$f^{(\alpha )}={\frac {\partial ^{|\alpha |\!}f}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\dots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}$

अशक्त व्युत्पन्न अर्थ में उपस्थित है और अंदर $L^{p}(\Omega ),$ में स्थित है। अर्थात्

$\left\|f^{(\alpha )}\right\|_{L^{p}}<\infty .$

अर्थात् सोबोलेव स्पेस $W^{k,p}(\Omega )$ परिभाषित किया जाता है।

$W^{k,p}(\Omega )=\left\{u\in L^{p}(\Omega ):D^{\alpha }u\in L^{p}(\Omega )\,\,\forall |\alpha |\leqslant k\right\}.$

प्राकृतिक संख्या $k$ सोबोलेव स्पेस $W^{k,p}(\Omega ).$ का क्रम कहा जाता है।

$W^{k,p}(\Omega ).$ के लिए एक मानक के लिए कई विकल्प हैं। जिसमें निम्नलिखित दो सामान्य हैं और सामान्य (गणित) गुण के अर्थ में समकक्ष हैं:

$\|u\|_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\left(\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}&1\leqslant p<\infty ;\\\max _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{\infty }(\Omega )}&p=\infty ;\end{cases}}$

और

$\|u\|'_{W^{k,p}(\Omega )}:={\begin{cases}\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{p}(\Omega )}&1\leqslant p<\infty ;\\\sum _{|\alpha |\leqslant k}\left\|D^{\alpha }u\right\|_{L^{\infty }(\Omega )}&p=\infty .\end{cases}}$

इनमें से किसी भी मानदंड के संबंध में, $W^{k,p}(\Omega )$ एक बनौच स्थान है। $p<\infty ,W^{k,p}(\Omega )$ के लिए एक वियोज्य स्थान भी है। $H^{k}(\Omega )$ द्वारा $W^{k,2}(\Omega )$ निरूपित करना परम्परागत है। इसके लिए नॉर्मड $\|\cdot \|_{W^{k,2}(\Omega )}$ के साथ एक हिल्बर्ट स्थान है।

स्मूथ फलनों द्वारा सन्निकटन-

केवल उनकी परिभाषा के आधार पर सोबोलेव रिक्त स्थान के साथ कार्य करना कठिन है। इसलिए यह जानना अधिक उचित है कि मेयर्स-सेरिन प्रमेय द्वारा एक फलन $u\in W^{k,p}(\Omega )$ सुचारू फलनों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। यह तथ्य अधिकांशतः हमें स्मूथ फलनों के गुणों को सोबोलेव फलनों में अनुवाद करने की अनुमति प्रदान करता है। यदि $p$ परिमित है और $\Omega$ खुला हुआ समुच्चय है। तो किसी $u\in W^{k,p}(\Omega )$ के लिए फलनों का अनुमानित क्रम $u_{m}\in C^{\infty }(\Omega )$ उपस्थित है। ऐसा है कि:

$\left\|u_{m}-u\right\|_{W^{k,p}(\Omega )}\to 0.$

यदि $\Omega$ लिप्सचिट्ज़ सीमा है। हम यह भी मान सकते हैं कि $u_{m}$ सभी पर कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ स्मूथ सभी $\mathbb {R} ^{n}.$ फलनों का प्रतिबंध है

उदाहरण

उच्च आयामों में, यह अब सच नहीं है कि, उदाहरण $W^{1,1}$ के लिए केवल निरंतर फलन सम्मिलित हैं। उदाहरण के लिए, $|x|^{-1}\in W^{1,1}(\mathbb {B} ^{3})$ जहाँ $\mathbb {B} ^{3}$ यूनिट बॉल तीन आयामों में है।$k>n/p$ के लिए स्पेस $W^{k,p}(\Omega )$ केवल निरंतर फलन सम्मिलित होंगे। किन्तु किसके लिए $k$ यह पहले से ही सच है। दोनों $p$ और आयाम पर निर्भर करता है । उदाहरण के लिए जैसा कि फलन के गोलाकार ध्रुवीय निर्देशांक $f:\mathbb {B} ^{n}\to \mathbb {R} \cup \{\infty \}$ का उपयोग करके सरलता से जांचा जा सकता है। हमारे पास एन-डायमेंशनल बॉल पर परिभाषित है:

$f(x)=|x|^{-\alpha }\in W^{k,p}(\mathbb {B} ^{n})\Longleftrightarrow \alpha <{\tfrac {n}{p}}-k.$

सहज रूप से 0 पर f का ब्लो-अप कम कार्य रखता है। जब n बड़ा होता है क्योंकि यूनिट बॉल में उच्च आयामों में बाहर और कम अंदर होता है।

सोबोलेव प्रफलनों का निरन्तर ऑन लाइन्स (एसीएल) अभिलक्षणन

माना कि $1\leqslant p\leqslant \infty .$ यदि $W^{1,p}(\Omega ),$ में कोई फलन है। फिर संभवतः माप शून्य के एक समुच्चय पर फलन को संशोधित करने के बाद समन्वय दिशाओं के समानांतर लगभग प्रत्येक पंक्ति पर प्रतिबंध $\mathbb {R} ^{n}$ बिल्कुल निरंतर है। क्या अधिक है। मौलिक व्युत्पन्न उन रेखाओं के साथ है, जो समन्वय दिशाओं के समानांतर हैं। इसके विपरीत यदि $f$ का प्रतिबंध निर्देशांक दिशाओं के समानांतर लगभग प्रत्येक रेखा बिल्कुल निरंतर है। फिर बिंदुवार ढाल $\nabla f$ लगभग प्रत्येक स्थान पर उपस्थित है और बिना नियम के $f,|\nabla f|\in L^{p}(\Omega ).$, $W^{1,p}(\Omega )$ में $f$ है। विशेष रूप से इस स्थिति में अशक्त आंशिक डेरिवेटिव $f$ और बिंदुवार आंशिक डेरिवेटिव $f$ लगभग प्रत्येक स्थान पर सहमत हैं। सोबोलेव रिक्त स्थान का एसीएल लक्षण वर्णन ओटो एम निकोडिम1933 द्वारा स्थापित किया गया था।

एक शक्तिशाली परिणाम तब होता है, जब $p>n.$ में एक $W^{1,p}(\Omega )$ फलन है। माप शून्य के एक समुच्चय पर संशोधित करने के बाद होल्डर निरंतर एक्सपोनेंट $\gamma =1-{\tfrac {n}{p}},$ सोबोलेव असमानता द्वारा मोरे की असमानता द्वारा प्रदर्शित होता है। विशेष रूप से यदि $p=\infty$ और $\Omega$ लिप्सचिट्ज़ सीमा है। तो फलन लिप्सचिट्ज़ निरंतर है।

सीमा पर विलुप्त होने वाले फलन

See also: ट्रेस ऑपरेटर

$W^{1,2}(\Omega )$ सोबोलेव स्पेस $H^{1}\!(\Omega ).$ द्वारा भी प्रदर्शित किया गया है। यह एक हिल्बर्ट स्पेस है। जिसमें एक महत्वपूर्ण सबस्पेस $H_{0}^{1}\!(\Omega )$ है। असीमित रूप से समर्थित असीमित फलनों को बंद करने के रूप में $\Omega$ में $H^{1}\!(\Omega ).$ परिभाषित किया गया है। ऊपरोक्त परिभाषित सोबोलेव मानदंड यहाँ तक कम हो जाता है।

$\|f\|_{H^{1}}=\left(\int _{\Omega }\!|f|^{2}\!+\!|\nabla \!f|^{2}\right)^{\!{\frac {1}{2}}}.$

जब $\Omega$ एक नियमित सीमा है, $H_{0}^{1}\!(\Omega )$ में फलनों $H^{1}\!(\Omega )$ के स्थान के रूप में वर्णित किया जा सकता है। जो चिन्ह के अर्थ में सीमा पर विलुप्त हो जाता है (सोबोलेव स्पेस#एक्सटेंशन बाई जीरो)। जब $n=1,$ यदि $\Omega =(a,b)$ एक परिबद्ध अंतराल है। तब $H_{0}^{1}(a,b)$ पर $[a,b]$ फार्म का निरंतर फलन होते हैं।

$f(x)=\int _{a}^{x}f'(t)\,\mathrm {d} t,\qquad x\in [a,b]$

जहां सामान्यीकृत व्युत्पन्न $f'$ में है $L^{2}(a,b)$ और 0 अभिन्न है। जिससे $f(b)=f(a)=0.$ जब $\Omega$ घिरा हुआ है। पॉइनकेयर असमानता बताती है कि $C=C(\Omega )$ एक स्थिरांक है। ऐसा है कि:

$\int _{\Omega }|f|^{2}\leqslant C^{2}\int _{\Omega }|\nabla f|^{2},\qquad f\in H_{0}^{1}(\Omega ).$

जब $\Omega$ बँधा हुआ है, $H_{0}^{1}\!(\Omega )$ को $L^{2}\!(\Omega ),$ से इंजेक्शन कॉम्पैक्ट ऑपरेटर है। यह तथ्य डिरिचलेट समस्या के अध्ययन में एक भूमिका प्रदान करता है और इस तथ्य में कि इसका एक ऑर्थोनॉर्मल आधार $L^{2}(\Omega )$ लाप्लास ऑपरेटर के ईजेनवेक्टरों से मिलकर (डिरिचलेट सीमा स्थिति के साथ) उपस्थित है।

चिन्ह

See also: ट्रेस ऑपरेटर

आंशिक अंतर समीकरणों की जांच करते समय सोबोलिव रिक्त स्थान अधिकांशतः माना जाता है। सोबोलिव फलनों के सीमा मूल्यों पर विचार करना आवश्यक है। यदि $u\in C(\Omega )$ उन सीमा मानों को प्रतिबंध $u|_{\partial \Omega }.$ द्वारा वर्णित किया गया है। चूंकि यह स्पष्ट नहीं है कि सीमा के लिये $u\in W^{k,p}(\Omega ),$ पर मूल्यों का वर्णन कैसे किया जाए क्योंकि सीमा का n-आयामी माप शून्य है। जिससे निम्नलिखित प्रमेयसमस्या का हल प्राप्त करता है:

Trace theorem — Assume Ω is bounded with Lipschitz boundary. Then there exists a bounded linear operator $T:W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )$ such that

$${\begin{aligned}Tu&=u|_{\partial \Omega }&&u\in W^{1,p}(\Omega )\cap C({\overline {\Omega }})\\\|Tu\|_{L^{p}(\partial \Omega )}&\leqslant c(p,\Omega )\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}&&u\in W^{1,p}(\Omega ).\end{aligned}}$$

Tu को u का भाग कहा जाता है। सामान्यतः बोलते हुए यह प्रमेय प्रतिबंध ऑपरेटर को सोबोलिव स्पेस $W^{1,p}(\Omega )$ अच्छे व्यवहार के लिए Ω तक फैलाता है। ध्यान दें कि ट्रेस ऑपरेटर T सामान्य रूप से विशेषण नहीं है। किन्तु 1 <p <∞ के लिए यह सोबोलेव-स्लोबोडेकिज स्पेस $W^{1-{\frac {1}{p}},p}(\partial \Omega ).$ पर निरंतर मैप करता है।

सहज रूप से ट्रेस लेने से डेरिवेटिव का 1/p व्यय होता है। u फलन W^1,p(Ω) में शून्य ट्रेस के साथ करता है, अर्थात् Tu = 0 समान रूप से विभाजित हो सकती है।

$W_{0}^{1,p}(\Omega )=\left\{u\in W^{1,p}(\Omega ):Tu=0\right\},$

जहाँ-

$W_{0}^{1,p}(\Omega ):=\left\{u\in W^{1,p}(\Omega ):\exists \{u_{m}\}_{m=1}^{\infty }\subset C_{c}^{\infty }(\Omega ),\ {\text{such that}}\ u_{m}\to u\ {\textrm {in}}\ W^{1,p}(\Omega )\right\}.$

दूसरे शब्दों में Ω के लिए लिप्सचिट्ज़ सीमा के साथ घिरा हुआ है। $W^{1,p}(\Omega )$ में ट्रेस-शून्य फलन कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ स्मूथ फलनों द्वारा अनुमान लगाया जा सकता है।

गैर-पूर्णांक k के साथ सोबोलेव रिक्त स्थान-

बेसेल संभावित स्थान

एक प्राकृतिक संख्या k और 1 < p < ∞ के लिए (गुणक (फूरियर विश्लेषण) का उपयोग करके) कोई दिखा सकता है कि स्पेस $W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})$ के रूप में समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है।

$W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})=H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}):={\Big \{}f\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}{\Big [}{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {k}{2}}{\mathcal {F}}f{\Big ]}\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n}){\Big \}},$

नॉर्मड के साथ-

$\|f\|_{H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})}:=\left\|{\mathcal {F}}^{-1}{\Big [}{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {k}{2}}{\mathcal {F}}f{\Big ]}\right\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}.$

यह सोबोलिव रिक्त स्थान को गैर-पूर्णांक क्रम से प्रेरित करता है क्योंकि उपरोक्त परिभाषा में हम k को किसी भी वास्तविक संख्या s से बदल सकते हैं। परिणामी रिक्त स्थान-

$H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}):=\left\{f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n}):{\mathcal {F}}^{-1}\left[{\big (}1+|\xi |^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}{\mathcal {F}}f\right]\in L^{p}(\mathbb {R} ^{n})\right\}$

बेसेल संभावित स्थान कहलाते हैं(फ्रेडरिक बेसेल के नाम पर)। वे सामान्य रूप से बनैच स्थान हैं और विशेष स्थिति में हिल्बर्ट स्थान p = 2 हैं।

$s\geq 0,H^{s,p}(\Omega )$ के लिए, $H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})$ फलनों के प्रतिबंधों का समुच्चय Ω मानक से प्रतिबंधित करने के लिए है।

$\|f\|_{H^{s,p}(\Omega )}:=\inf \left\{\|g\|_{H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})}:g\in H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}),g|_{\Omega }=f\right\}.$

फिर से H^s,p(Ω) एक बनैच स्थान है और p = 2 स्थिति में एक हिल्बर्ट स्थान है।

सोबोलिव रिक्त स्थान के लिए विस्तार प्रमेय का उपयोग करके यह दिखाया जा सकता है कि W^k,p(Ω) = H^k,p(Ω) समतुल्य मापदंडों के अर्थ में रखता है। यदि Ω समान C^k-सीमा वाला डोमेन है, k एक प्राकृतिक संख्या है और 1 <p < ∞ है। एम्बेडिंग द्वारा-

$H^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s',p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})\hookrightarrow H^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),\quad k\leqslant s\leqslant s'\leqslant k+1$

बेसेल $H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n})$ संभावित रिक्त स्थान सोबोलेव रिक्त स्थान $W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}).$ के बीच एक सतत मापदंड का निर्माण करें। एक अमूर्त दृष्टिकोण से बेसेल संभावित रिक्त स्थान सोबोलेव रिक्त स्थान के जटिल इंटरपोलेशन स्पेस स्थान के रूप में होते हैं, अर्थात् समकक्ष मापदंडों के अर्थ में यह माना गया है कि-

$\left[W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n}),W^{k+1,p}(\mathbb {R} ^{n})\right]_{\theta }=H^{s,p}(\mathbb {R} ^{n}),$

जहाँ:

$1\leqslant p\leqslant \infty ,\ 0<\theta <1,\ s=(1-\theta )k+\theta (k+1)=k+\theta .$

सोबोलेव-स्लोबोडेकिज स्पेस

आंशिक क्रम को परिभाषित करने के लिए एक अन्य दृष्टिकोण सोबोलिव रिक्त स्थान धारक की स्थिति को L^p-सेटिंग को सामान्य बनाने के विचार से उत्पन्न होता है। $1\leqslant p<\infty ,\theta \in (0,1)$ और $f\in L^{p}(\Omega ),$ के लिए, स्लोबोडेकिज सेमिनॉर्म (सामान्यतः होल्डर सेमिनॉर्म के अनुरूप) द्वारा परिभाषित किया गया है-

$[f]_{\theta ,p,\Omega }:=\left(\int _{\Omega }\int _{\Omega }{\frac {|f(x)-f(y)|^{p}}{|x-y|^{\theta p+n}}}\;dx\;dy\right)^{\frac {1}{p}}.$

माना कि s > 0 पूर्णांक न हो और $\theta =s-\lfloor s\rfloor \in (0,1)$ समुच्चय हो। होल्डर रिक्त स्थान के समान विचार का उपयोग करते हुए, सोबोलेव-स्लोबोडेकिज स्थान $W^{s,p}(\Omega )$ परिभाषित किया जाता है।

$W^{s,p}(\Omega ):=\left\{f\in W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega ):\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }<\infty \right\}.$

यह मानक के लिए एक बनैच स्थान है-

$\|f\|_{W^{s,p}(\Omega )}:=\|f\|_{W^{\lfloor s\rfloor ,p}(\Omega )}+\sup _{|\alpha |=\lfloor s\rfloor }[D^{\alpha }f]_{\theta ,p,\Omega }.$

यदि $\Omega$ उपयुक्त रूप से इस अर्थ में नियमित है कि कुछ विस्तार ऑपरेटर उपस्थित हैं। फिर भी सोबोलेव-स्लोबोडेकिज रिक्त स्थान बनैच रिक्त स्थान का एक मापदंड बनाते हैं, अर्थात किसी के पास निरंतर इंजेक्शन या एम्बेडिंग है।

$W^{k+1,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s',p}(\Omega )\hookrightarrow W^{s,p}(\Omega )\hookrightarrow W^{k,p}(\Omega ),\quad k\leqslant s\leqslant s'\leqslant k+1.$

अनियमित Ω के ऐसे उदाहरण हैं कि $W^{1,p}(\Omega )$ की सदिश उपसमष्टि $W^{s,p}(\Omega )$, 0 <s <1 के लिए भी नहीं है। (उदाहरण 9.1 देखें )

अमूर्त दृष्टिकोण से रिक्त स्थान $W^{s,p}(\Omega )$ सोबोलिव रिक्त स्थान के वास्तविक इंटरपोलेशन रिक्त स्थान के साथ मिलान करता है, अर्थात् समकक्ष मापदंडों के अर्थ में निम्नलिखित को प्रदर्शित करता है:

$W^{s,p}(\Omega )=\left(W^{k,p}(\Omega ),W^{k+1,p}(\Omega )\right)_{\theta ,p},\quad k\in \mathbb {N} ,s\in (k,k+1),\theta =s-\lfloor s\rfloor .$

सोबोलिव-स्लोबोडेकिज रिक्त स्थान सोबोलिव फलनों के चिन्ह के अध्ययन में एक महत्वपूर्ण भूमिका प्रदर्शित करते हैं। वे बेसोव रिक्त स्थान के विशेष स्थिति हैं।

एक्सटेंशन ऑपरेटर

यदि $\Omega$ एक डोमेन (गणितीय विश्लेषण) है। जिसकी सीमा बहुत खराब प्रकार से व्यवहार नहीं होता है (उदाहरण के लिए यदि इसकी सीमा कई गुना है या अधिक अनुमोदित शंकु की स्थिति को संतुष्ट करती है)। तो वहां एक ऑपरेटर A मैपिंग फलन $\Omega$ के फलनों के लिए $\mathbb {R} ^{n}$ है। ऐसा है कि:

1. Au(x) = u(x) लगभग प्रत्येक x के लिए $\Omega$ और
2. $A:W^{k,p}(\Omega )\to W^{k,p}(\mathbb {R} ^{n})$ किसी भी 1 ≤ p ≤ ∞ और पूर्णांक k के लिए सतत(निरंतर) है।

हम ऐसे ऑपरेटर A को $\Omega .$ के लिये एक्सटेंशन ऑपरेटर कहते हैं।

P=2 की स्थिति-

एक्सटेंशन ऑपरेटर $H^{s}(\Omega )$ परिभाषित करने का सबसे स्वाभाविक उपाय है। गैर-पूर्णांक s के लिए (हम सीधे Ω पर काम नहीं कर सकते। चूंकि फूरियर ट्रांसफॉर्म लेना एक ग्लोबल ऑपरेशन है)। हम $H^{s}(\Omega )$परिभाषित करते हैं। ऐसा कहकर $u\in H^{s}(\Omega )$ यदि और केवल यदि $Au\in H^{s}(\mathbb {R} ^{n}).$ समतुल्य रूप से जटिल इंटरपोलेशन समान परिणाम देता है। $H^{s}(\Omega )$ रिक्त स्थान जब तक $\Omega$ एक एक्सटेंशन ऑपरेटर है। यदि $\Omega$ कोई एक्सटेंशन ऑपरेटर नहीं है। जटिल इंटरपोलेशन प्राप्त करने का $H^{s}(\Omega )$ रिक्त स्थान एकमात्र उपाय है।

परिणाम स्वरूप प्रक्षेप असमानता अभी भी उपस्थित है।

शून्य से विस्तार

जैसे ऊपर, हम $H_{0}^{s}(\Omega )$ में बंद होना $H^{s}(\Omega )$ स्पेस का $C_{c}^{\infty }(\Omega )$ असीम रूप से विभिन्न प्रकार कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित फलनों को परिभाषित करते हैं। ऊपर दिए गए ट्रेस की परिभाषा को देखते हुए, हम निम्नलिखित जानकारी प्राप्त कर सकते हैं-

Theorem — Let $\Omega$ be uniformly C^m regular, m ≥ s and let P be the linear map sending u in $H^{s}(\Omega )$ to

$$\left.\left(u,{\frac {du}{dn}},\dots ,{\frac {d^{k}u}{dn^{k}}}\right)\right|_{G}$$

where d/dn is the derivative normal to G, and k is the largest integer less than s. Then $H_{0}^{s}$ is precisely the kernel of P.

यदि $u\in H_{0}^{s}(\Omega )$ हम इसके विस्तार को ${\tilde {u}}\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})$ प्राकृतिक प्रकार से शून्य से परिभाषित कर सकते हैं, अर्थात्-

${\tilde {u}}(x)={\begin{cases}u(x)&x\in \Omega \\0&{\text{else}}\end{cases}}$

Theorem — Let $s>{\tfrac {1}{2}}.$ The map $u\mapsto {\tilde {u}}$ is continuous into $H^{s}(\mathbb {R} ^{n})$ if and only if s is not of the form $n+{\tfrac {1}{2}}$ for n an integer.

के लिए f ∈ L^p(Ω) इसका विस्तार शून्य से,

$Ef:={\begin{cases}f&{\textrm {on}}\ \Omega ,\\0&{\textrm {otherwise}}\end{cases}}$

का एक तत्व $L^{p}(\mathbb {R} ^{n}).$ है। आगे,

$\|Ef\|_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}=\|f\|_{L^{p}(\Omega )}.$

सोबोलेव स्पेस के स्थिति में W^1,p(Ω) के लिए 1 ≤ p ≤ ∞ एक फलन u को शून्य से विस्तारित करने से आवश्यक रूप से एक तत्व $W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n}).$ नहीं प्राप्त होगा। किन्तु यदि Ω लिपशिट्ज सीमा से घिरा है (उदाहरण के लिए ∂Ω C¹ है), तो किसी भी बंधे हुए खुले समुच्चय O के लिए जैसे कि Ω⊂⊂O (अर्थात् Ω कॉम्पैक्ट रूप से O में सम्मिलित है), एक परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर उपस्थित है।

$E:W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n}),$

ऐसा कि प्रत्येक के लिए $u\in W^{1,p}(\Omega ):Eu=u$ ए.ई. Ω पर, Eu के पास O के अन्दर कॉम्पैक्ट समर्थन है और केवल p, Ω, O और आयाम n के आधार पर एक निरंतर C उपस्थित है। जैसे कि

$\|Eu\|_{W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}\leqslant C\|u\|_{W^{1,p}(\Omega )}.$

हम $Eu$ का विस्तार $u$ को $\mathbb {R} ^{n}.$ प्रदर्शित करते हैे।

सोबोलेव एम्बेडिंग

Main article: सोबोलेव असमानता

यह जानकारी प्राप्त करना एक स्वाभाविक प्रश्न है कि क्या कोई सोबोलेव फलन निरंतर या यहां तक ​​कि निरंतर विभिन्न प्रकार का होता है। सामान्यतः प्रदर्शित करते हुए पर्याप्त रूप से कई अशक्त डेरिवेटिव्स (अर्थात् बड़े के) का परिणाम मौलिक व्युत्पन्न होता है। इस विचार को सामान्यीकृत किया गया है और सोबोलिव असमानता में स्पष्ट बनाया गया है।

डायमेंशन n के कुछ कॉम्पैक्ट रीमैनियन मैनिफोल्ड के सोबोलेव स्पेस के लिए $W^{k,p}$ लिखना। यहाँ k कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है और 1 ≤ p ≤ ∞। (p = ∞ सोबोलेव स्पेस के लिए $W^{k,\infty }$ होल्डर स्पेस C^n,α के रूप में परिभाषित किया गया है। जहां k = n + α और 0 < α ≤ 1.) सोबोलेव एम्बेडिंग प्रमेय कहता है कि यदि $k\geqslant m$ और $k-{\tfrac {n}{p}}\geqslant m-{\tfrac {n}{q}}$ तब-

$W^{k,p}\subseteq W^{m,q}$

और एम्बेडिंग निरंतर है। इसके अतिरिक्त यदि $k>m$ और $k-{\tfrac {n}{p}}>m-{\tfrac {n}{q}}$, तो एम्बेडिंग पूर्णतयः निरंतर है (इसे कभी-कभी कोंद्राचोव का प्रमेय या रेलिच-कोंड्राचोव प्रमेय कहा जाता है)। $W^{m,\infty }$ फलन में m निरंतर से कम क्रम के सभी डेरिवेटिव हैं। इसलिए विशेष रूप से यह विभिन्न डेरिवेटिव के निरंतर होने के लिए सोबोलेव रिक्त स्थान पर स्थितियां देता है। अनौपचारिक रूप से ये एम्बेडिंग कहते हैं कि L^p को परिवर्तित करने के लिए परिबद्धता अनुमान के लिए अनुमान प्रति आयाम 1/p डेरिवेटिव व्यय करता है।

गैर-कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड्स के लिए एम्बेडिंग प्रमेय के समान रूपांतर हैं। जैसे $\mathbb {R} ^{n}$ (Stein 1970). $\mathbb {R} ^{n}$ पर सोबोलेव एम्बेडिंग संचालित है। जो कॉम्पैक्ट नहीं होते हैं, उनमें अधिकांशतः एक संबंधित, किन्तु अशक्त कोकॉम्पैक्टनेस का गुण प्रदर्शित होता है।

यह भी देखें

• सोबोलेव मैपिंग

संदर्भ

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बाहरी संबंध

• Eleonora Di Nezza, Giampiero Palatucci, Enrico Valdinoci (2011). "Hitchhiker's guide to the fractional Sobolev spaces".