मैग्नस विस्तार: Difference between revisions

Latest revision as of 10:37, 4 May 2023

1907-1990 में, गणित और भौतिकी को विल्हेम मैग्नस के नाम पर रखा गया था। मैग्नस विस्तार एक रेखीय ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है। पहले क्रम के सजातीय रैखिक अंतर समीकरण के समाधान में एक घातीय निरूपण के रूप में प्रदान करता है। और यह विशेष रूप से यह भिन्न -भिन्न गुणांक वाले क्रम n के रैखिक अवकल समीकरणों की एक प्रणाली के मौलिक आव्यूह को प्रस्तुत करता है और घातांक को एक अनंत श्रृंखला के रूप में प्रदर्शित करता है, जिसकी शर्तों में एकाधिक समाकलन और नेस्टेड कम्यूटेटर के रूप में सम्मिलत होता हैं।

मैग्नस दृष्टिकोण और इसकी व्याख्या

यदि $n \times n$ गुणांक आव्यूह $A (t)$ , के रूप में होते है और रैखिक अवकल समीकरण से जुड़ी प्रारंभिक-मूल्य समस्या को हल करते है।

Y'(t)=A(t)Y(t),\quad Y(t_{0})=Y_{0}

यदि फलन $Y (t)$ .के लिए $n$ -आयामी सदिश के रूप में होता है

जहाँ n = 1, समाधान के रूप में पढ़ता है

Y(t)=\exp \left(\int _{t_{0}}^{t}A(s)\,ds\right)Y_{0}.

यदि n > 1 के लिए मान्य रूप में है, यदि आव्यूह At1 At2 = At2 At1 को t t1 और t2 के मानों के किसी भी जोड़े के लिए संतुष्ट करता है। यदि आव्यूह A t के रूप में स्वतंत्र है। चूकि सामान्य स्थिति में उपरोक्त अभिव्यक्ति की समस्या का समाधान नहीं है।

आव्यूह प्रारंभिक-मूल्य समस्या को हल करने के लिए मैग्नस द्वारा प्रस्तुत किया गया दृष्टिकोण है, यह एक निश्चित n × n आव्यूह Ω(t, t0) को घातांक के माध्यम से समाधान के रूप में व्यक्त करता है

Y(t)=\exp {\big (}\Omega (t,t_{0}){\big )}\,Y_{0},

जिसे बाद में श्रृंखला (गणित) के विस्तार रूप में बनाया गया है

\Omega (t)=\sum _{k=1}^{\infty }\Omega _{k}(t),

जहां सरलता से लिखने का अभ्यास $Ω(t)$ के लिए $Ω(t, t 0)$ और t₀ = 0.के रूप में बनाया गया है।

मैग्नस ने इसकी सराहना की $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}d/dt (eΩ) e−Ω = A(t)$ , पॉइनकेयर हौसडॉर्फ आव्यूह इकाई का उपयोग करते है, इसलिए वह Ω के व्युत्पन्न समय को बर्नौली संख्याओं के निर्माण फलन और Ω के आसन्न एंडोमोर्फिज्म से संबंधित होता है।

\Omega '={\frac {\operatorname {ad} _{\Omega }}{\exp(\operatorname {ad} _{\Omega })-1}}A,

सीबीएच विस्तार के निरंतर एनालॉग $A$ के संदर्भ में $Ω$ को आवर्ती रूप में हल करने के लिए बनाया गया है, जैसा कि बाद के खंड में बताया गया है।

आव्यूह के रैखिक प्रारंभिक-मूल्य समस्या के समाधान के लिए उपरोक्त समीकरण मैग्नस विस्तार या मैग्नस श्रृंखला का गठन करता है। इस श्रृंखला के पहले चार पदों को इस रूप में दर्शाते है

\begin{aligned} Ω_{1} (t) & = \int_{0}^{t} A (t_{1}) d t_{1}, \\ Ω_{2} (t) & = \frac{1}{2} \int_{0}^{t} d t_{1} \int_{0}^{t_{1}} d t_{2} [A (t_{1}), A (t_{2})], \\ Ω_{3} (t) & = \frac{1}{6} \int_{0}^{t} d t_{1} \int_{0}^{t_{1}} d t_{2} \int_{0}^{t_{2}} d t_{3} ([A (t_{1}), [A (t_{2}), A (t_{3})]] + [A (t_{3}), [A (t_{2}), A (t_{1})]]), \\ Ω_{4} (t) & = \frac{1}{12} \int_{0}^{t} d t_{1} \int_{0}^{t_{1}} d t_{2} \int_{0}^{t_{2}} d t_{3} \int_{0}^{t_{}} \end{aligned}

जहां

[A, B] \equiv A B - B A

है। A और B का आव्यूह कम्प्यूटटेर के रूप में होता है। इन समीकरणों की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है कि

Ω 1 (t)

अदिश घातांक के (n = 1) स्थिति में सामंजस्यपूर्ण मेल खाता है, लेकिन यह समीकरण समस्त समाधान के रूप में नहीं होता है। यदि कोई घातीय प्रतिनिधित्व लही समूह पर जोर देता है, तो घातांक को सही करने की आवश्यकता होती है। मैग्नस श्रृंखला के शेष भागो में यह सुधार व्यवस्थित रूप से किया जाता है। और इस प्रकार Ω या इसके कुछ भागो के समाधान में लही समूह के अस्तित्व को बीजगणित रूप प्रदान करता है। अनुप्रयोगों में संभवतया कभी मैग्नस श्रृंखला का योग किया जा सकता है और अनुमानित समाधान प्राप्त करने के लिए इसे कम करना पड़ता है। मैग्नस प्रस्ताव का मुख्य लाभ यह है ,कि काट-छाँट की गई श्रृंखला अधिकांशतः महत्वपूर्ण गुणात्मक गुणों को सटीक समाधान के रूप में साझा करती है, जो अन्य पारंपरिक क्वांटम यांत्रिकी के साथ भिन्न रूप में होती है। उदाहरण के लिए, मौलिक यांत्रिकी में समय के विकास के संसुघटित गुण को सन्निकटन के हर क्रम में संरक्षित किया जाता है। इसी तरह, क्वांटम यांत्रिकी में समय विस्तार ऑपरेटर के एकात्मक गुण को भी इसके विपरीत संरक्षित किया जाता है, उदाहरण के लिए, उसी समस्या को हल करने वाली डायसन श्रृंखला के लिए उपयोग किया जाता है।

विस्तार का अभिसरण

गणितीय दृष्टिकोण से अभिसरण समस्या के लिए एक विशिष्ट आव्यूह

A (t)

के रूप में दिया गया है, जब घातांक Ωt को मैग्नस श्रृंखला के योग के रूप में प्राप्त किया जाता है।

t \in [0, T)

के लिए अभिसरण करने के लिए इस श्रृंखला के लिए एक पर्याप्त शर्त है।

\int _{0}^{T}\|A(s)\|_{2}\,ds<\pi ,

यहाँ $\|\cdot \|_{2}$ एक आव्यूह विशिष्ट गुण को दर्शाता है। यह परिणाम इस अर्थ में सामान्य रूप में है, कि कोई विशिष्ट आव्यूह का निर्माण करता है जिसके लिए $A (t)$ श्रृंखला किसी के लिए भिन्न रूप में हो जाती है $t > T$ .

मैग्नस जनरेटर

मैग्नस विस्तार में सभी अवस्था को उत्पन्न करने के लिए एक आवर्ती प्रक्रिया मेट्रिसेस का उपयोग करती है $S n (k)$ के माध्यम से आवर्ती रूप को परिभाषित किया जाता है।

S_{n}^{(j)}=\sum _{m=1}^{n-j}\left[\Omega _{m},S_{n-m}^{(j-1)}\right],\quad 2\leq j\leq n-1,

S_{n}^{(1)}=\left[\Omega _{n-1},A\right],\quad S_{n}^{(n-1)}=\operatorname {ad} _{\Omega _{1}}^{n-1}(A),

जो फिर प्रस्तुत करता है

\Omega _{1}=\int _{0}^{t}A(\tau )\,d\tau ,

\Omega _{n}=\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {B_{j}}{j!}}\int _{0}^{t}S_{n}^{(j)}(\tau )\,d\tau ,\quad n\geq 2.

यहाँ ad^k_Ω एक आवृत्ति है ,यहाँ पुनरावृत्त कम्यूटेटर के लिए एक संक्षिप्त आशुलिपि के रूप में है और इस प्रकार इसके निकटवर्ती एंडोमोर्फिज़्म देखे जा सकते है।

\operatorname {ad} _{\Omega }^{0}A=A,\quad \operatorname {ad} _{\Omega }^{k+1}A=[\Omega ,\operatorname {ad} _{\Omega }^{k}A],

जबकि $B j$ के साथ एक बर्नूली नंबर $B 1 = -1/2$ के रूप में हैं

अंत में जब इस पुनर्चक्रण पर स्पष्ट रूप से काम किया जाता है तो $Ω n (t)$ को n आव्यूह A वाले n- 1 नेस्टेड कम्यूटेटर के n-फोल्ड इंटीग्रल के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता हैं,

\Omega _{n}(t)=\sum _{j=1}^{n-1}{\frac {B_{j}}{j!}}\sum _{k_{1}+\cdots +k_{j}=n-1 \atop k_{1}\geq 1,\ldots ,k_{j}\geq 1}\int _{0}^{t}\operatorname {ad} _{\Omega _{k_{1}}(\tau )}\operatorname {ad} _{\Omega _{k_{2}}(\tau )}\cdots \operatorname {ad} _{\Omega _{k_{j}}(\tau )}A(\tau )\,d\tau ,\quad n\geq 2,

जहाँ $n$ .अधिक जटिल रूप में होता है

स्टोकेस्टिक केस

स्टोकेस्टिक साधारण अवकलन समीकरणों का विस्तार

स्टोकेस्टिक स्थिति के विस्तार के लिए अनुमति ${\textstyle \left(W_{t}\right)_{t\in [0,T]}}$ एक प्रणाली है। ${\textstyle \mathbb {R} ^{q}}$ -आयामी एक प्रकार कि गति,है। ${\textstyle q\in \mathbb {N} _{>0}}$ , प्रायिकता के स्थान पर ${\textstyle \left(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} \right)}$ को रखा गया है,

परिमित समय क्षितिज के साथ ${\textstyle T>0}$ प्राकृतिक निस्पंदन को दर्शाती है।अब, रैखिक आव्यूह -मूल्यवान स्टोचैस्टिक इटो अवकलन समीकरण आइंस्टीन सूचकांक के समीकरण के रूप में $j$ के क्रियान्वित किया जाता है।

dX_{t}=B_{t}X_{t}dt+A_{t}^{(j)}X_{t}dW_{t}^{j},\quad X_{0}=I_{d},\qquad d\in \mathbb {N} _{>0},

जहाँ ${\textstyle B_{\cdot },A_{\cdot }^{(1)},\dots ,A_{\cdot }^{(j)}}$ क्रमिक रूप से मापने योग्य हैं ${\textstyle d\times d}$ वैल्यूड बाउंड स्टचास्तिक प्रक्रिया और ${\textstyle I_{d}}$ इकाई आव्यूह के रूप में होता है। स्टोचैस्टिक समायोजन के कारण परिवर्तन के साथ नियतात्मक स्थिति भी उसी दृष्टिकोण की स्वीकृति प्रदान करती है ^[1] और इस प्रकार संबंधित आव्यूह लघुगणक एक इटो-प्रक्रिया के रूप में निकलते है, जिसके पहले दो प्रसार क्रमबद्ध द्वारा दिए गए हैं ${\textstyle Y_{t}^{(1)}=Y_{t}^{(1,0)}+Y_{t}^{(0,1)}}$ और ${\textstyle Y_{t}^{(2)}=Y_{t}^{(2,0)}+Y_{t}^{(1,1)}+Y_{t}^{(0,2)}}$

जहाँ आइंस्टीन के योग कन्वेंशन के साथ $i$ और $j$ काम करते है

\begin{aligned} Y_{t}^{(0, 0)} & = 0, \\ Y_{t}^{(1, 0)} & = \int_{0}^{t} A_{s}^{(j)} d W_{s}^{j}, \\ Y_{t}^{(0, 1)} & = \int_{0}^{t} B_{s} d s, \\ Y_{t}^{(2, 0)} & = - \frac{1}{2} \int_{0}^{t} {(A_{s}^{(j)})}^{2} d s + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} [A_{s}^{(j)}, \int_{0}^{s} A_{r}^{(i)} d W_{r}^{i}] d W_{s}^{j}, \\ Y_{t}^{(1, 1)} & = \frac{1}{2} \int_{0}^{t} [B_{s}, \int_{0}^{s} A_{r}^{(j)} d W_{r}] d s + \frac{1}{2} \int_{0}^{t} [A_{s}^{(j)}, \int_{0}^{s} B_{r} d r] d W_{s}^{j}, \\ Y_{t}^{(0, 2)} & = \frac{1}{2} \int_{0}^{t} [B_{s}, \int_{0}^{s} \end{aligned}

विस्तार का अभिसरण

स्टोकेस्टिक समायोजन में अभिसरण अब रुकने के समय के अधीन होता है

{\textstyle \tau }

पहला अभिसरण परिणाम इसके द्वारा दिया जाता है^[2]

और इस प्रकार गुणांकों पर पिछली आस्था के अनुसार एक मजबूत समाधान उपलब्ध होता है ${\textstyle X=(X_{t})_{t\in [0,T]}}$ , साथ ही एक सख्ती से सकारात्मक

रुकने का समय ${\textstyle \tau \leq T}$ इस रूप में इस प्रकार दिखाया जाता है

${\textstyle X_{t}}$ एक वास्तविक लघुगणक है ${\textstyle Y_{t}}$ समय तक ${\textstyle \tau }$ , अर्थात

$X_{t}=e^{Y_{t}},\qquad 0\leq t<\tau ;$
निम्नलिखित प्रतिनिधित्व धारण करता है ${\textstyle \mathbb {P} }$ -लगभग निश्चित रूप से इस प्रकार व्यक्त किया जाता है

$Y_{t}=\sum _{n=0}^{\infty }Y_{t}^{(n)},\qquad 0\leq t<\tau ,$

जहाँ ${\textstyle Y^{(n)}}$ , $n$ -वाँ शब्द स्टोचैस्टिक मैग्नस विस्तार के रूप में है, जैसा कि उपखंड मैग्नस विस्तार सूत्र में नीचे परिभाषित किया गया है
एक सकारात्मक स्थिरांक $C$ , पर निर्भर है ${\textstyle \|A^{(1)}\|_{T},\dots ,\|A^{(q)}\|_{T},\|B\|_{T},T,d}$ , साथ ${\textstyle \|A_{\cdot }\|_{T}=\|\|A_{t}\|_{F}\|_{L^{\infty }(\Omega \times [0,T])}}$ , ऐसा कि

$\mathbb {P} (\tau \leq t)\leq Ct,\qquad t\in [0,T].$ इस प्रकार व्यक्त किया जाता है

मैग्नस विस्तार सूत्र

स्टोचैस्टिक मैग्नस विस्तार के लिए सामान्य विस्तार सूत्र द्वारा दिया गया है

Y_{t}=\sum _{n=0}^{\infty }Y_{t}^{(n)}\quad {\text{with}}\quad Y_{t}^{(n)}:=\sum _{r=0}^{n}Y_{t}^{(r,n-r)},

जहां सामान्य शब्द ${\textstyle Y^{(r,n-r)}}$ प्रपत्र की एक इटो-प्रक्रिया के रूप में होते है

Y_{t}^{(r,n-r)}=\int _{0}^{t}\mu _{s}^{r,n-r}ds+\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{r,n-r,j}dW_{s}^{j},\qquad n\in \mathbb {N} _{0},\ r=0,\dots ,n,

शर्तें ${\textstyle \sigma ^{r,n-r,j},\mu ^{r,n-r}}$ आवर्ती के रूप में परिभाषित किया गया है

{\begin{aligned}\sigma _{s}^{r,n-r,j}&:=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {\beta _{i}}{i!}}S_{s}^{r-1,n-r,i}{\big (}A^{(j)}{\big )},\\\mu _{s}^{r,n-r}&:=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {\beta _{i}}{i!}}S_{s}^{r,n-r-1,i}(B)-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{q}\sum _{i=0}^{n-2}{\frac {\beta _{i}}{i!}}\sum _{q_{1}=2}^{r}\sum _{q_{2}=0}^{n-r}S^{r-q_{1},n-r-q_{2},i}{\big (}Q^{q_{1},q_{2},j}{\big )},\end{aligned}}

साथ

\begin{aligned} Q_{s}^{q_{1}, q_{2}, j} := \sum_{i_{1} = 2}^{q_{1}} \sum_{i_{2} = 0}^{q_{2}} \sum_{h_{1} = 1}^{i_{1} - 1} \sum_{h_{2} = 0}^{i_{2}} & \sum_{p_{1} = 0}^{q_{1} - i_{1}} \sum_{p_{2} = 0}^{q_{2} - i_{2}} \sum_{m_{1} = 0}^{p_{1} + p_{2}} \sum_{m_{2} = 0}^{q_{1} - i_{1} - p_{1} + q_{2} - i_{2} - p_{2}} \\ (\frac{S_{s}^{p_{1}, p_{2}, m_{1}} (σ_{s}^{h_{1}, h_{2}, j})}{(m_{1} + 1)!} \frac{S_{s}^{q_{1} - i_{1} - p_{1}, q_{2} - i_{2} - p_{2}, m_{2}} (σ_{s}^{i_{1} - h_{1}, i_{2} - h_{2}, j})}{(m_{2} + 1)!} \\ + [S_{s}^{p_{1}, p_{2}, m_{1}} (σ_{s}^{i_{1} - h_{1}, i_{2} - h_{2 <}} \end{aligned}

और ऑपरेटरों के साथ

S

के रूप में परिभाषित किया जाता है

{\begin{aligned}S_{s}^{r-1,n-r,0}(A)&:={\begin{cases}A&{\text{if }}r=n=1,\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}\\S_{s}^{r-1,n-r,i}(A)&:=\sum _{\begin{array}{c}(j_{1},k_{1}),\dots ,(j_{i},k_{i})\in \mathbb {N} _{0}^{2}\\j_{1}+\cdots +j_{i}=r-1\\k_{1}+\cdots +k_{i}=n-r\end{array}}{\big [}Y_{s}^{(j_{1},k_{1})},{\big [}\dots ,{\big [}Y_{s}^{(j_{i},k_{i})},A_{s}{\big ]}\dots {\big ]}{\big ]}\\&=\sum _{\begin{array}{c}(j_{1},k_{1}),\dots ,(j_{i},k_{i})\in \mathbb {N} _{0}^{2}\\j_{1}+\cdots +j_{i}=r-1\\k_{1}+\cdots k_{i}=n-r\end{array}}\operatorname {ad} _{Y_{s}^{(j_{1},k_{1})}}\circ \cdots \circ \operatorname {ad} _{Y_{s}^{(j_{i},k_{i})}}(A_{s}),\qquad i\in \mathbb {N} .\end{aligned}}

अनुप्रयोग

1960 के दशक के बाद से, मैग्नस विस्तार को परमाणु और आणविक भौतिकी से लेकर परमाणु चुंबकीय अनुनाद और क्वांटम विद्युत् गतिकी को भौतिकी और रसायन विज्ञान के कई क्षेत्रों में एक प्रेरक उपकरण के रूप में सफलतापूर्वक लागू किया गया है।^[3] और इसका उपयोग 1998 से मैट्रिक्स रैखिक अंतर समीकरणों के संख्यात्मक एकीकरण के लिए व्यावहारिक कलन विधि बनाने के लिए एक उपकरण के रूप में उपयोग किया गया है। जैसा कि वे मैग्नस विस्तार से प्राप्त करते हैं और इस प्रकार समस्या के गुणात्मक लक्षणों के संरक्षण से संबंधित योजनाएं ज्यामितीय संख्यात्मक समाकलक के प्रोटोटाइपिक के रूप में उदाहरण हैं।

यह भी देखें

बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र
घातांकी मानचित्र का अवकलज

↑ Kamm, Pagliarani & Pascucci 2020
↑ Kamm, Pagliarani & Pascucci 2020, Theorem 1.1
↑ Haeberlen, U.; Waugh, J.S. (1968). "चुंबकीय अनुनाद में सुसंगत औसत प्रभाव". Phys. Rev. 175 (2): 453–467. Bibcode:1968PhRv..175..453H. doi:10.1103/PhysRev.175.453.

संदर्भ

Magnus, W. (1954). "On the exponential solution of differential equations for a linear operator". Comm. Pure Appl. Math. VII (4): 649–673. doi:10.1002/cpa.3160070404.
Blanes, S.; Casas, F.; Oteo, J.A.; Ros, J. (1998). "Magnus and Fer expansions for matrix differential equations: The convergence problem". J. Phys. A: Math. Gen. 31 (1): 259–268. Bibcode:1998JPhA...31..259B. doi:10.1088/0305-4470/31/1/023.
Iserles, A.; Nørsett, S. P. (1999). "On the solution of linear differential equations in Lie groups". Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 357 (1754): 983–1019. Bibcode:1999RSPTA.357..983I. CiteSeerX 10.1.1.15.4614. doi:10.1098/rsta.1999.0362. S2CID 90949835.
Blanes, S.; Casas, F.; Oteo, J.A.; Ros, J. (2009). "The Magnus expansion and some of its applications". Phys. Rep. 470 (5–6): 151–238. arXiv:0810.5488. Bibcode:2009PhR...470..151B. doi:10.1016/j.physrep.2008.11.001. S2CID 115177329.
Kamm, K.; Pagliarani, S.; Pascucci, A. (2021). "On the Stochastic Magnus Expansion and Its Application to SPDEs". Journal of Scientific Computing. 89 (3): 56. arXiv:2001.01098. doi:10.1007/s10915-021-01633-6. S2CID 211259118.

[1] Kamm, Pagliarani & Pascucci 2020

[2] Kamm, Pagliarani & Pascucci 2020, Theorem 1.1

[3] Haeberlen, U.; Waugh, J.S. (1968). "चुंबकीय अनुनाद में सुसंगत औसत प्रभाव". Phys. Rev. 175 (2): 453–467. Bibcode:1968PhRv..175..453H. doi:10.1103/PhysRev.175.453.

[1]

[2]

[3]

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-गणित और भौतिकी को  [[विल्हेम मैग्नस]] (1907-1990) के नाम पर रखा गया था।मैग्नस विस्तार एक रेखीय ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है। पहले क्रम के सजातीय [[रैखिक अंतर समीकरण]] के समाधान में एक घातीय निरूपण के रूप  में प्रदान करता है। विशेष रूप से यह अलग-अलग गुणांकों के साथ रैखिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली  [[मौलिक मैट्रिक्स (रैखिक अंतर समीकरण)|मौलिक आव्यूह  (रैखिक अंतर समीकरण)]] को प्रस्तुत करता हैं। {{mvar|n}} विभिन्न गुणांकों के साथ  रैखिक निरूपण में सामान्य प्रस्तुत करता है, घातांक को एक अनंत श्रृंखला के रूप में एकत्रित किया जाता है, जिसकी शर्तों में एकाधिक इंटीग्रल और नेस्टेड कम्यूटेटर के रूप में शामिल होते हैं।
+-1990 में, गणित और भौतिकी को [[विल्हेम मैग्नस]] के नाम पर रखा गया था। मैग्नस विस्तार एक रेखीय ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है। पहले क्रम के सजातीय [[रैखिक अंतर समीकरण]] के समाधान में एक घातीय निरूपण के रूप में प्रदान करता है। और यह विशेष रूप से यह भिन्न -भिन्न गुणांक वाले क्रम n के [[रैखिक अवकलन समीकरणों|रैखिक अवकल समीकरणों]] की एक प्रणाली के मौलिक [[मौलिक मैट्रिक्स (रैखिक अंतर समीकरण)|आव्यूह]] को प्रस्तुत करता है और घातांक को एक अनंत श्रृंखला के रूप में प्रदर्शित करता है, जिसकी शर्तों में एकाधिक समाकलन और नेस्टेड कम्यूटेटर के रूप में सम्मिलत होता हैं।
 === मैग्नस दृष्टिकोण और इसकी व्याख्या ===
-हम {{math|''n''&nbsp;&times;&nbsp;''n''}} गुणांक आव्यूह  {{math|''A''(''t'')}}, को देखते हुए रैखिक सरल अंतर समीकरण से जुड़ी [[प्रारंभिक-मूल्य समस्या]] को हल करना चाहते है।
+यदि {{math|''n''&nbsp;&times;&nbsp;''n''}} गुणांक आव्यूह {{math|''A''(''t'')}}, के रूप में होते है और रैखिक अवकल समीकरण से जुड़ी [[प्रारंभिक-मूल्य समस्या]] को हल करते है।
 : <math>Y'(t) = A(t) Y(t), \quad Y(t_0) = Y_0</math>
-अज्ञात के लिए {{mvar|n}}-आयामी वेक्टर फलन  {{math|''Y''(''t'')}}.
+यदि फलन {{math|''Y''(''t'')}}.के लिए {{mvar|n}}-आयामी सदिश के रूप में होता है
-जब n = 1, समाधान केवल पढ़ता है
+जहाँ n = 1, समाधान के रूप में पढ़ता है
 : <math>Y(t) = \exp \left( \int_{t_0}^t A(s)\,ds \right) Y_0.</math>
-यह अभी भी n > 1 के लिए मान्य है, यदि आव्यूह  At1 At2 = At2 At1 को t t1 और t2 के मानों के किसी भी जोड़े के लिए संतुष्ट करता है। यदि आव्यूह  ए टी से स्वतंत्र है। हालाँकि, सामान्य स्थिति में, उपरोक्त अभिव्यक्ति की अब समस्या का समाधान नहीं है।
+यदि n > 1 के लिए मान्य रूप में है, यदि आव्यूह At1 At2 = At2 At1 को t t1 और t2 के मानों के किसी भी जोड़े के लिए संतुष्ट करता है। यदि आव्यूह A t के रूप में स्वतंत्र है। चूकि सामान्य स्थिति में उपरोक्त अभिव्यक्ति की समस्या का समाधान नहीं है।
-आव्यूह  प्रारंभिक-मूल्य समस्या को हल करने के लिए मैग्नस द्वारा प्रस्तुत किया गया दृष्टिकोण है,यह एक निश्चित n × n आव्यूह   क्रिया  Ω(t, t0) के घातांक के माध्यम से समाधान को व्यक्त करता है.
+आव्यूह प्रारंभिक-मूल्य समस्या को हल करने के लिए मैग्नस द्वारा प्रस्तुत किया गया दृष्टिकोण है, यह एक निश्चित n × n आव्यूह Ω(t, t0) को घातांक के माध्यम से समाधान के रूप में  व्यक्त करता है
 : <math>Y(t) = \exp\big(\Omega(t, t_0)\big) \, Y_0,</math>
 जिसे बाद में [[श्रृंखला (गणित)]] के विस्तार रूप में बनाया गया है
 : <math>\Omega(t) = \sum_{k=1}^\infty \Omega_k(t),</math>
-जहां सरलता से लिखने का अभ्यास है {{math|Ω(''t'')}} के लिए {{math|Ω(''t'', ''t''<sub>0</sub>)}} और ''t''<sub>0</sub> = 0.के रूप में बनाया गया है।
+जहां सरलता से लिखने का अभ्यास {{math|Ω(''t'')}} के लिए {{math|Ω(''t'', ''t''<sub>0</sub>)}} और ''t''<sub>0</sub> = 0.के रूप में बनाया गया है।
-मैग्नस ने इसकी सराहना की {{math|{{sfrac|''d''|''dt''}} (''e''<sup>Ω</sup>) ''e''<sup>−Ω</sup> {{=}} ''A''(''t'')}},  पॉइनकेयर हौसडॉर्फ  आव्यूह इकाई का उपयोग करते है| इसलिए वह Ω के व्युत्पन्न समय को बर्नौली संख्याओं के उत्पादन ,फलनऔर Ω के आसन्न एंडोमोर्फिज्म से संबंधित कर सकता है।
+मैग्नस ने इसकी सराहना की {{math|{{sfrac|''d''|''dt''}} (''e''<sup>Ω</sup>) ''e''<sup>−Ω</sup> {{=}} ''A''(''t'')}}, पॉइनकेयर हौसडॉर्फ आव्यूह इकाई का उपयोग करते है, इसलिए वह Ω के व्युत्पन्न समय को बर्नौली संख्याओं के निर्माण फलन और Ω के आसन्न एंडोमोर्फिज्म से संबंधित होता है।
 : <math>\Omega' = \frac{\operatorname{ad}_\Omega}{\exp(\operatorname{ad}_\Omega) - 1} A,</math>
-सीबीएच विस्तार के निरंतर एनालॉग {{mvar|A}} के संदर्भ में {{mvar|Ω}} के लिए पुनरावर्ती रूप से हल करने के लिए बनाया गया है जैसा कि बाद के खंड में बताया गया है।
+सीबीएच विस्तार के निरंतर एनालॉग {{mvar|A}} के संदर्भ में {{mvar|Ω}} को आवर्ती रूप में  हल करने के लिए बनाया गया है, जैसा कि बाद के खंड में बताया गया है।
-आव्यूह  के रैखिक प्रारंभिक-मूल्य समस्या के समाधान के लिए उपरोक्त समीकरण मैग्नस विस्तार या मैग्नस श्रृंखला का गठन करता है। इस श्रृंखला के पहले चार पदों को पढ़ते है।
+आव्यूह के रैखिक प्रारंभिक-मूल्य समस्या के समाधान के लिए उपरोक्त समीकरण मैग्नस विस्तार या मैग्नस श्रृंखला का गठन करता है। इस श्रृंखला के पहले चार पदों को इस रूप में दर्शाते है
 : <math>
@@ Line 39: / Line 39: @@
   \end{align}
 </math>
-जहां {{math|[''A'', ''B''] ≡ ''A'' ''B'' − ''B'' ''A''}} है।  A और B का आव्यूह  [[कम्यूटेटर|दिक्परिवर्तकर]] है।
+जहां {{math|[''A'', ''B''] ≡ ''A'' ''B'' − ''B'' ''A''}} है। A और B का आव्यूह कम्प्यूटटेर के रूप में होता है।
-इन समीकरणों की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है: कि {{math|Ω<sub>1</sub>(''t'')}} अदिश घातांक के(n = 1) मामले में सामंजस्यपूर्ण मेल खाता है,लेकिन यह समीकरण समस्त समाधान नहीं दे सकता है । यदि कोई घातीय अभिवेदन ([[अस्तित्व दल]] ) पर जोर देता है, तो घातांक को सही करने की आवश्यकता होती है । मैग्नस श्रृंखला के बाकी हिस्सों में यह सुधार व्यवस्थित रूप से किया जा सकता है । Ω या इसके कुछ हिस्सों के समाधान में अस्तित्व दल के अस्तित्व को बीजगणित रूप  प्रदान करता है।
+इन समीकरणों की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है कि {{math|Ω<sub>1</sub>(''t'')}} अदिश घातांक के (n = 1) स्थिति में सामंजस्यपूर्ण मेल खाता है, लेकिन यह समीकरण समस्त समाधान के रूप में नहीं होता है। यदि कोई घातीय प्रतिनिधित्व [[लही समूह]] पर जोर देता है, तो घातांक को सही करने की आवश्यकता होती है। मैग्नस श्रृंखला के शेष भागो में यह सुधार व्यवस्थित रूप से किया जाता है। और इस प्रकार Ω या इसके कुछ भागो के समाधान में लही समूह के अस्तित्व को बीजगणित रूप प्रदान करता है।
-अनुप्रयोगों में शायद ही कभी मैग्नस श्रृंखला का योग किया जा सकता है,और अनुमानित समाधान प्राप्त करने के लिए इसे कम करना पड़ता है। मैग्नस प्रस्ताव का मुख्य लाभ यह है ,कि काट-छाँट की गई श्रृंखला अक्सर महत्वपूर्ण गुणात्मक गुणों को सटीक समाधान के रूप साझा करती है, जो अन्य पारंपरिक [[क्वांटम यांत्रिकी]] के साथ भिन्न होती है। उदाहरण के लिए, [[शास्त्रीय यांत्रिकी|मौलिक यांत्रिकी]] में समय के विकास को  [[सहानुभूतिपूर्ण ज्यामिति|संवेदी ज्यामिति]]  के चरित्र को  निकटता के हर क्रम में संरक्षित किया जाता है। इसी प्रकार, [[क्वांटम यांत्रिकी]] में [[ समय विकास | समय विस्तार]] को ऑपरेटर  [[एकात्मक संचालक|संगठित संचालक]] के चरित्र को भी संरक्षित किया जाता है (इसके विपरीत, उदाहरण के लिए, उसी समस्या को हल करने वाली [[डायसन श्रृंखला]] के लिए उपयोग  किया जाता है।
+अनुप्रयोगों में संभवतया कभी मैग्नस श्रृंखला का योग किया जा सकता है और अनुमानित समाधान प्राप्त करने के लिए इसे कम करना पड़ता है। मैग्नस प्रस्ताव का मुख्य लाभ यह है ,कि काट-छाँट की गई श्रृंखला अधिकांशतः महत्वपूर्ण गुणात्मक गुणों को सटीक समाधान के रूप में साझा करती है, जो अन्य पारंपरिक [[क्वांटम यांत्रिकी]] के साथ भिन्न रूप में होती है। उदाहरण के लिए, [[मौलिक यांत्रिकी]] में समय के विकास के [[समाकलित|संसुघटित]] गुण को सन्निकटन के हर क्रम में संरक्षित किया जाता है। इसी तरह, [[क्वांटम यांत्रिकी]] में [[ समय विकास |समय विस्तार]] ऑपरेटर के एकात्मक गुण को भी इसके विपरीत संरक्षित किया जाता है, उदाहरण के लिए, उसी समस्या को हल करने वाली डायसन श्रृंखला के लिए उपयोग किया जाता है।
 === विस्तार का अभिसरण ===
-गणितीय दृष्टिकोण से, अभिसरण समस्या निम्न है: एक निश्चित आव्यूह  दिया गया है {{math|''A''(''t'')}}, घातांक कब कर सकता है  {{math|Ω(''t'')}} मैग्नस श्रृंखला के योग के रूप में प्राप्त किया जा सकता है?
+गणितीय दृष्टिकोण से अभिसरण समस्या के लिए एक विशिष्ट आव्यूह {{math|''A''(''t'')}} के रूप में दिया गया है, जब घातांक Ωt को मैग्नस श्रृंखला के योग के रूप में प्राप्त किया जाता है।
-[[अभिसरण श्रृंखला]] के लिए इस श्रृंखला के लिए एक पर्याप्त स्थिति {{math|''t'' ∈  [0,''T'')}} है
+{{math|''t'' ∈  [0,''T'')}} के लिए [[अभिसरण]] करने के लिए इस श्रृंखला के लिए एक पर्याप्त शर्त है।
 : <math>\int_0^T \|A(s)\|_2 \, ds < \pi,</math>
-कहाँ <math>\| \cdot \|_2</math> एक [[मैट्रिक्स मानदंड|आव्यूह  मानदंड]] को दर्शाता है। यह परिणाम इस अर्थ में सामान्य है कि कोई विशिष्ट मैट्रिसेस का निर्माण कर सकता है {{math|''A''(''t'')}} जिसके लिए श्रृंखला किसी के लिए भिन्न हो जाती है {{math|''t'' > ''T''}}.
+यहाँ <math>\| \cdot \|_2</math> एक [[मैट्रिक्स मानदंड|आव्यूह विशिष्ट गुण]] को दर्शाता है। यह परिणाम इस अर्थ में सामान्य रूप में है, कि कोई विशिष्ट आव्यूह का निर्माण करता है जिसके लिए {{math|''A''(''t'')}} श्रृंखला किसी के लिए भिन्न रूप में हो जाती है {{math|''t'' > ''T''}}.
 === मैग्नस जनरेटर ===
-मैग्नस विस्तार में सभी शर्तों को उत्पन्न करने के लिए एक पुनरावर्ती प्रक्रिया मेट्रिसेस का उपयोग करती है {{math| ''S''<sub>''n''</sub><sup>(''k'')</sup>}} के माध्यम से पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया
+मैग्नस विस्तार में सभी अवस्था को उत्पन्न करने के लिए एक आवर्ती प्रक्रिया मेट्रिसेस का उपयोग करती है {{math| ''S''<sub>''n''</sub><sup>(''k'')</sup>}} के माध्यम से आवर्ती रूप को परिभाषित किया जाता है।
-: <math>S_n^{(j)} = \sum_{m=1}^{n-j} \left[\Omega_m, S_{n-m}^{(j-1)}\right], \quad 2 \leq j \leq n - 1,</math>
+:<math>S_n^{(j)} = \sum_{m=1}^{n-j} \left[\Omega_m, S_{n-m}^{(j-1)}\right], \quad 2 \leq j \leq n - 1,</math>
 : <math>S_n^{(1)} = \left[\Omega_{n-1}, A\right], \quad S_n^{(n-1)} = \operatorname{ad}_{\Omega_1}^{n-1}(A),</math>
 जो फिर प्रस्तुत करता है
 : <math>\Omega_1 = \int_0^t A(\tau) \, d\tau,</math>
 : <math>\Omega_n = \sum_{j=1}^{n-1} \frac{B_j}{j!} \int_0^t S_n^{(j)}(\tau) \, d\tau , \quad n \geq 2.</math>
-वह पढ़ा रहा है<sup>क</सुप><sub>Ω</sub> पुनरावर्तक कम्यूटेटर के लिए एक आशुलिपि है (झूठे बीजगणित का संलग्न प्रतिनिधित्व देखें):
+यहाँ ad<sup>''k''</sup><sub>Ω</sub> एक आवृत्ति है ,यहाँ पुनरावृत्त कम्यूटेटर के लिए एक संक्षिप्त आशुलिपि के रूप में है और इस प्रकार इसके निकटवर्ती एंडोमोर्फिज़्म देखे जा सकते है।
 : <math>\operatorname{ad}_{\Omega}^0 A = A, \quad \operatorname{ad}_{\Omega}^{k+1} A = [\Omega, \operatorname{ad}_\Omega^k A],</math>
-जबकि {{math|''B''<sub>''j''</sub>}} के साथ Bernoulli नंबर हैं {{math|1=''B''<sub>1</sub> = −1/2}}.
+जबकि {{math|''B''<sub>''j''</sub>}} के साथ एक बर्नूली नंबर  {{math|1=''B''<sub>1</sub> = −1/2}}  के रूप में हैं
-अंत में, जब इस पुनरावर्तन पर स्पष्ट रूप से काम किया जाता है, तो इसे व्यक्त करना संभव है {{math|Ω<sub>''n''</sub>(''t'')}} एन -1 नेस्टेड कम्यूटेटर के एन-फोल्ड इंटीग्रल के रैखिक संयोजन के रूप में शामिल है {{mvar|n}} आव्यूह  {{mvar|A}}:
+अंत में जब इस पुनर्चक्रण पर स्पष्ट रूप से काम किया जाता है तो {{math|Ω<sub>''n''</sub>(''t'')}} को n आव्यूह A वाले n- 1 नेस्टेड कम्यूटेटर के n-फोल्ड इंटीग्रल के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता हैं,
 : <math>
   \Omega_n(t) =
@@ Line 73: / Line 73: @@
    \int_0^t \operatorname{ad}_{\Omega_{k_1}(\tau)} \operatorname{ad}_{\Omega_{k_2}(\tau )} \cdots
             \operatorname{ad}_{\Omega_{k_j}(\tau)} A(\tau) \, d\tau, \quad n \ge 2,</math>
-जो अधिक जटिल हो जाता है {{mvar|n}}.
+जहाँ {{mvar|n}}.अधिक जटिल रूप में होता है
 == स्टोकेस्टिक केस ==
-=== स्टोकेस्टिक साधारण अंतर समीकरणों का विस्तार ===
+=== स्टोकेस्टिक साधारण अवकलन समीकरणों का विस्तार ===
-स्टोकेस्टिक मामले के विस्तार के लिए चलो <math display="inline">\left(W_t\right)_{t\in [0,T]}</math> एक हो <math display="inline">\mathbb{R}^q</math>-आयामी [[एक प्रकार कि गति]], <math display="inline">q\in \mathbb{N}_{>0}</math>, प्रायिकता स्थान पर <math display="inline">\left(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}\right)</math>
+स्टोकेस्टिक स्थिति के विस्तार के लिए अनुमति <math display="inline">\left(W_t\right)_{t\in [0,T]}</math> एक प्रणाली है। <math display="inline">\mathbb{R}^q</math>-आयामी [[एक प्रकार कि गति]],है। <math display="inline">q\in \mathbb{N}_{>0}</math>, प्रायिकता के स्थान पर <math display="inline">\left(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}\right)</math>को रखा गया है,
-परिमित समय क्षितिज के साथ <math display="inline">T>0</math> और प्राकृतिक निस्पंदन। अब, रैखिक आव्यूह -मूल्यवान स्टोचैस्टिक इटो डिफरेंशियल इक्वेशन पर विचार करें (आइंस्टीन के सूचकांक पर समीकरण सम्मेलन के साथ) {{math|''j''}})
+परिमित समय क्षितिज के साथ <math display="inline">T>0</math> प्राकृतिक निस्पंदन को दर्शाती है।अब, रैखिक आव्यूह -मूल्यवान स्टोचैस्टिक इटो अवकलन समीकरण आइंस्टीन सूचकांक के समीकरण के रूप में {{math|''j''}} के क्रियान्वित किया जाता है।
 : <math> dX_t = B_t X_t dt + A_t^{(j)} X_t dW_t^j,\quad X_0=I_d,\qquad d\in\mathbb{N}_{>0},</math>
-कहाँ <math display="inline">B_{\cdot},A_{\cdot}^{(1)},\dots,A_{\cdot}^{(j)}</math> उत्तरोत्तर मापने योग्य हैं <math display="inline">d\times d</math>-वैल्यूड बाउंड [[स्टचास्तिक प्रोसेसेज़]] और <math display="inline">I_d</math> इकाई आव्यूह  है। स्टोचैस्टिक सेटिंग के कारण परिवर्तन के साथ नियतात्मक मामले में उसी दृष्टिकोण का पालन करना<ref>{{harvnb|Kamm|Pagliarani|Pascucci|2020}}</ref> संबंधित आव्यूह  लघुगणक एक इटो-प्रक्रिया के रूप में निकलेगा, जिसके पहले दो विस्तार आदेश द्वारा दिए गए हैं <math display="inline">Y_t^{(1)}=Y_t^{(1,0)}+Y_t^{(0,1)}</math> और <math display="inline">Y_t^{(2)}=Y_t^{(2,0)}+Y_t^{(1,1)}+Y_t^{(0,2)}</math>, कहाँ
+जहाँ <math display="inline">B_{\cdot},A_{\cdot}^{(1)},\dots,A_{\cdot}^{(j)}</math>क्रमिक रूप से मापने योग्य हैं <math display="inline">d\times d</math> वैल्यूड बाउंड [[स्टचास्तिक प्रोसेसेज़|स्टचास्तिक प्रक्रिया]] और <math display="inline">I_d</math> इकाई आव्यूह के रूप में होता है। स्टोचैस्टिक समायोजन के कारण परिवर्तन के साथ नियतात्मक स्थिति भी उसी दृष्टिकोण की स्वीकृति प्रदान करती है <ref>{{harvnb|Kamm|Pagliarani|Pascucci|2020}}</ref> और इस प्रकार संबंधित आव्यूह लघुगणक एक इटो-प्रक्रिया के रूप में निकलते है, जिसके पहले दो प्रसार क्रमबद्ध द्वारा दिए गए हैं <math display="inline">Y_t^{(1)}=Y_t^{(1,0)}+Y_t^{(0,1)}</math> और <math display="inline">Y_t^{(2)}=Y_t^{(2,0)}+Y_t^{(1,1)}+Y_t^{(0,2)}</math>
-आइंस्टीन के योग सम्मेलन के साथ {{math|''i''}} और {{math|''j''}}
+जहाँ आइंस्टीन के योग कन्वेंशन के साथ {{math|''i''}} और {{math|''j''}} काम करते है
 : <math>
 \begin{align}
@@ Line 96: / Line 99: @@
 === विस्तार का अभिसरण ===
-स्टोकेस्टिक सेटिंग में अभिसरण अब रुकने के समय के अधीन होगा <math display="inline">\tau</math> और पहला अभिसरण परिणाम इसके द्वारा दिया जाता है:<ref>{{harvnb|Kamm|Pagliarani|Pascucci|2020|loc=Theorem 1.1}}</ref>
+स्टोकेस्टिक समायोजन में अभिसरण अब रुकने के समय के अधीन होता है <math display="inline">\tau</math> पहला अभिसरण परिणाम इसके द्वारा दिया जाता है<ref>{{harvnb|Kamm|Pagliarani|Pascucci|2020|loc=Theorem 1.1}}</ref>
-गुणांकों पर पिछली धारणा के अनुसार एक मजबूत समाधान उपलब्ध है <math display="inline">X=(X_t)_{t\in[0,T]}</math>, साथ ही एक सख्ती से सकारात्मक
-रुकने का समय <math display="inline">\tau\leq T</math> ऐसा है कि:
+और इस प्रकार गुणांकों पर पिछली आस्था के अनुसार एक मजबूत समाधान उपलब्ध होता है <math display="inline">X=(X_t)_{t\in[0,T]}</math>, साथ ही एक सख्ती से सकारात्मक
+रुकने का समय <math display="inline">\tau\leq T</math> इस रूप में इस प्रकार दिखाया जाता है
 # <math display="inline">X_t</math> एक वास्तविक लघुगणक है <math display="inline">Y_t</math> समय तक <math display="inline">\tau</math>, अर्थात<br />
 #: <math>X_t = e^{Y_t},\qquad 0\leq t<\tau; </math>
-# निम्नलिखित प्रतिनिधित्व धारण करता है <math display="inline">\mathbb{P}</math>-लगभग निश्चित रूप से:<br />
+# निम्नलिखित प्रतिनिधित्व धारण करता है <math display="inline">\mathbb{P}</math>-लगभग निश्चित रूप से इस प्रकार व्यक्त किया जाता है <br />
 #: <math>Y_t = \sum_{n=0}^{\infty} Y^{(n)}_t,\qquad 0\leq t<\tau,</math><br />
-#:कहाँ <math display="inline">Y^{(n)}</math> है {{math|''n''}}-वाँ शब्द स्टोचैस्टिक मैग्नस विस्तार में जैसा कि उपखंड मैग्नस विस्तार सूत्र में नीचे परिभाषित किया गया है;
+#:जहाँ <math display="inline">Y^{(n)}</math>, {{math|''n''}}-वाँ शब्द स्टोचैस्टिक मैग्नस विस्तार के रूप में है, जैसा कि उपखंड मैग्नस विस्तार सूत्र में नीचे परिभाषित किया गया है
-# एक सकारात्मक स्थिरांक उपलब्ध है {{math|''C''}}, मात्र पर निर्भर है <math display="inline">\|A^{(1)}\|_{T},\dots,\|A^{(q)}\|_{T}, \|B\|_{T}, T, d</math>, साथ <math display="inline">\|A_{\cdot}\|_T=\|\|A_t\|_{F}\|_{L^{\infty}(\Omega\times [0,T])}</math>, ऐसा कि<br />
+# एक सकारात्मक स्थिरांक {{math|''C''}}, पर निर्भर है <math display="inline">\|A^{(1)}\|_{T},\dots,\|A^{(q)}\|_{T}, \|B\|_{T}, T, d</math>, साथ <math display="inline">\|A_{\cdot}\|_T=\|\|A_t\|_{F}\|_{L^{\infty}(\Omega\times [0,T])}</math>, ऐसा कि<br />
-#: <math> \mathbb{P} (\tau \leq t) \leq C t,\qquad t\in[0,T].</math>
+#: <math> \mathbb{P} (\tau \leq t) \leq C t,\qquad t\in[0,T].</math> इस प्रकार व्यक्त किया जाता है
 === मैग्नस विस्तार सूत्र ===
-स्टोचैस्टिक मैग्नस विस्तार के लिए सामान्य विस्तार सूत्र द्वारा दिया गया है:
+स्टोचैस्टिक मैग्नस विस्तार के लिए सामान्य विस्तार सूत्र द्वारा दिया गया है
 : <math>Y_t = \sum_{n=0}^{\infty} Y^{(n)}_t \quad \text{with}\quad Y^{(n)}_t  := \sum_{r=0}^{n} Y^{(r,n-r)}_t,</math>
-जहां सामान्य शब्द <math display="inline">Y^{(r,n-r)}</math> प्रपत्र की एक इटो-प्रक्रिया है:
+जहां सामान्य शब्द <math display="inline">Y^{(r,n-r)}</math> प्रपत्र की एक इटो-प्रक्रिया के रूप में होते है
 : <math> Y^{(r,n-r)}_t = \int_0^t \mu^{r,n-r}_s d s + \int_0^t \sigma^{r,n-r,j}_s d W^j_s, \qquad n\in \mathbb{N}_0, \ r=0,\dots,n, </math>
-शर्तें <math display="inline">\sigma^{r,n-r,j},\mu^{r,n-r}</math> पुनरावर्ती के रूप में परिभाषित किया गया है
+शर्तें <math display="inline">\sigma^{r,n-r,j},\mu^{r,n-r}</math> आवर्ती के रूप में परिभाषित किया गया है
 : <math>
 \begin{align}
@@ Line 139: / Line 145: @@
 \end{align}
 </math>
-और ऑपरेटरों के साथ {{math|''S''}} के रूप में परिभाषित किया जा रहा है
+और ऑपरेटरों के साथ {{math|''S''}} के रूप में परिभाषित किया जाता है
 : <math>
 \begin{align}
@@ Line 167: / Line 173: @@
 == अनुप्रयोग ==
-के दशक के बाद से, [[परमाणु भौतिकी]] और [[आणविक भौतिकी]] से लेकर परमाणु चुंबकीय अनुनाद तक, भौतिकी और रसायन विज्ञान के कई क्षेत्रों में मैग्नस विस्तार को एक प्रेरक उपकरण के रूप में सफलतापूर्वक लागू किया गया है।<ref>{{cite journal |last1=Haeberlen |first1=U. |last2=Waugh |first2=J.S. |title=चुंबकीय अनुनाद में सुसंगत औसत प्रभाव|journal=Phys. Rev. |volume=175 |issue=2 |pages=453–467 |year=1968 |doi=10.1103/PhysRev.175.453|bibcode=1968PhRv..175..453H }}</ref> और [[क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स]]। इसका उपयोग 1998 से आव्यूह  रैखिक अंतर समीकरणों के संख्यात्मक एकीकरण के लिए व्यावहारिक एल्गोरिदम बनाने के लिए एक उपकरण के रूप में भी किया गया है। जैसा कि वे मैग्नस विस्तार से प्राप्त करते हैं
+के दशक के बाद से, मैग्नस विस्तार को [[परमाणु]] और [[आणविक भौतिकी]] से लेकर परमाणु चुंबकीय अनुनाद और [[क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स|क्वांटम विद्युत् गतिकी]] को भौतिकी और रसायन विज्ञान के कई क्षेत्रों में एक प्रेरक उपकरण के रूप में सफलतापूर्वक लागू किया गया है।<ref>{{cite journal |last1=Haeberlen |first1=U. |last2=Waugh |first2=J.S. |title=चुंबकीय अनुनाद में सुसंगत औसत प्रभाव|journal=Phys. Rev. |volume=175 |issue=2 |pages=453–467 |year=1968 |doi=10.1103/PhysRev.175.453|bibcode=1968PhRv..175..453H }}</ref> और इसका उपयोग 1998 से मैट्रिक्स रैखिक अंतर समीकरणों के संख्यात्मक एकीकरण के लिए व्यावहारिक कलन विधि बनाने के लिए एक उपकरण के रूप में  उपयोग किया गया है। जैसा कि वे मैग्नस विस्तार से प्राप्त करते हैं और इस प्रकार समस्या के गुणात्मक लक्षणों के संरक्षण से संबंधित योजनाएं [[ज्यामितीय संख्यात्मक समाकलक]] के प्रोटोटाइपिक के रूप में उदाहरण हैं।
-समस्या के गुणात्मक लक्षणों का संरक्षण, संबंधित योजनाएं [[ज्यामितीय इंटीग्रेटर]] के प्रोटोटाइपिक उदाहरण हैं।
-== यह भी देखें ==
+== यह भी देखें  ==
 * बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र
-* [[घातीय मानचित्र का व्युत्पन्न]]
+* [[घातीय मानचित्र का व्युत्पन्न|घातांकी मानचित्र का अवकलज]]
 == टिप्पणियाँ==
@@ Line 186: / Line 191: @@
 * {{cite journal | doi = 10.1016/j.physrep.2008.11.001 | title = The Magnus expansion and some of its applications| year = 2009 |first1=S. |last1=Blanes |first2=F. |last2=Casas |first3=J.A. |last3=Oteo |first4=J. |last4=Ros | journal = Phys. Rep. | volume = 470 | issue = 5–6 | pages = 151–238|arxiv=0810.5488 |bibcode=2009PhR...470..151B| s2cid = 115177329}}
 * {{cite journal | title = On the Stochastic Magnus Expansion and Its Application to SPDEs| year = 2021 |first1=K. |last1=Kamm |first2=S. |last2=Pagliarani |first3=A. |last3=Pascucci | journal = Journal of Scientific Computing | volume = 89 | issue = 3 | page = 56 | doi = 10.1007/s10915-021-01633-6 |arxiv=2001.01098 | s2cid = 211259118 }}
-{{refend}}[[Category: सामान्य अवकल समीकरण]] [[Category: स्टोचैस्टिक अंतर समीकरण]] [[Category: बीजगणित झूठ बोलो]] [[Category: गणितीय भौतिकी]]
+{{refend}}
-[[Category: Machine Translated Page]]
 [[Category:Created On 27/04/2023]]
+[[Category:Machine Translated Page]]
+[[Category:Pages with script errors]]
+[[Category:Templates Vigyan Ready]]
+[[Category:गणितीय भौतिकी]]
+[[Category:बीजगणित झूठ बोलो]]
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+[[Category:स्टोचैस्टिक अंतर समीकरण]]

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मैग्नस दृष्टिकोण और इसकी व्याख्या

विस्तार का अभिसरण

मैग्नस जनरेटर

स्टोकेस्टिक केस

स्टोकेस्टिक साधारण अवकलन समीकरणों का विस्तार

विस्तार का अभिसरण

मैग्नस विस्तार सूत्र

अनुप्रयोग

यह भी देखें

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मैग्नस दृष्टिकोण और इसकी व्याख्या

विस्तार का अभिसरण

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स्टोकेस्टिक केस

स्टोकेस्टिक साधारण अवकलन समीकरणों का विस्तार

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